2021高考数学一轮复习课时作业35基本不等式理(含答案及解析)
高考数学一轮复习(北师大版文科)课时作业34
课时作业(三十四) 一元二次不等式A 级1．不等式x －1x ＋2＜0的解集为( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)2．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( ) A ．{x |x ＞1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x ＝－2}D ．{x |x ≥－2且x ≠－1} 3．(2012·济宁模拟)设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则不等式f (－x )＜6的解集是( )A ．{x |－2＜x ＜3}B ．{x |－3＜x ＜2}C ．{x |x ＞3或x ＜－2}D ．{x |x ＞2或x ＜－3}4．(2012·长春模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞a2x －4＜2a 有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)5．(2012·长沙模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)6．(2012·长春模拟)已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．7．不等式|x －2|－|x －1|＞0的解集为________．8．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2＜0的解集为(1，m )，则实数m ＝________. 9．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．10．解下列不等式： (1)0＜x 2－x －2≤4； (2)axx －2＞1(a ＜1)．11．行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速v (km/h)满足下列关系：s ＝n v 100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N )，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧6＜s 1＜814＜s 2＜17，(1)求n 的值；(2)要使刹车距离不超过12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？B 级1．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．－1＜b ＜0B ．b ＞2C ．b ＜－1或b ＞2D ．不能确定2．若关于x 的不等式x 2＋12x －⎝⎛⎭⎫12n ≥0对任意n ∈N ＋在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是________．3．已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．答案课时作业(三十四)A 级1．C 原不等式化为(x －1)(x ＋2)＜0，解得－2＜x ＜1，∴原不等式的解集为(－2,1)．2．C 由(x －1)x ＋2≥0，可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＞0，x －1≥0或x ＋2＝0，解得x ≥1或x ＝－2.3．A ∵f ′(x )＝2x ＋1，∴f (x )＝x 2＋x . 又∵f (－x )＜6，∴(－x )2－x ＜6， 即x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3.4．A ∵⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＞a 2x －4＜2a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a 2＋1x ＜2a ＋4，由题意得a 2＋1＜2a ＋4， 即a 2－2a －3＜0，解得－1＜a ＜3.5．C ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点， 又f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)＜0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)＜0，∴－32＜a ＜－56，又a ∈Z ，∴a ＝－1，不等式f (x )＞1即为－x 2－x ＞0，解得－1＜x ＜0. 6．解析： 由题意可得Δ＝a 2－16＞0，即a ＞4或a ＜－4. 答案： {a |a ＞4或a ＜－4}7．解析： 原不等式等价于|x －2|＞|x －1|，则(x －2)2＞(x －1)2，解得x ＜32.答案： ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜32 8．解析： 由已知得1，m 是ax 2－6x ＋a 2＝0的两根，且a ＞0， ∴a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍)． 又1＋m ＝6a ，∴m ＝2.答案： 29．解析： 由题意得，3 860＋500＋[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]×2≥7 000， 化简得(x %)2＋3·x %－0.64≥0， 解得x %≥0.2，或x %≤－3.2(舍去)． ∴x ≥20，即x 的最小值为20.答案： 2010．解析： 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，或x ＜－1，－2≤x ≤3.如图所示，原不等式的解集为{x |－2≤x ＜－1，或2＜x ≤3}． (2)原不等式可化为(a －1)x ＋2x －2＞0，因为a ＜1，所以a －1＜0.故原不等式化为x ＋2a －1x －2＜0，等价于⎝⎛⎭⎫x ＋2a －1(x －2)＜0.当0＜a ＜1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2＜x ＜21－a ；当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当a ＜0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪21－a ＜x ＜2. 11．解析： (1)依题意得⎩⎨⎧6＜40n 100＋1 600400＜814＜70n 100＋4 900400＜17，解得⎩⎪⎨⎪⎧5＜n ＜1052＜n ＜9514，又n ∈N ，所以n ＝6.(2)s ＝3v 50＋v 2400≤12.6⇒v 2＋24v －5 040≤0⇒－84≤v ≤60，因为v ≥0，所以0≤v ≤60，即行驶的最大速度为60 km/h.B 级1．C 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图像关于直线x ＝1对称，即a2＝1得a ＝2.又f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数，∴f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2.2．解析： 由题意得x 2＋12x ≥⎝⎛⎭⎫12n max＝12， ∴x ≥12或x ≤－1.又x ∈(－∞，λ]，∴λ∈(－∞，－1]．答案： (－∞，－1]3．解析： (1)由题意可得m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇔m ＝0 或－4＜m ＜0⇔－4＜m ≤0.故m 的取值范围为(－4,0]． (2)∵f (x )＜－m ＋5⇔m (x 2－x ＋1)＜6，∵x 2－x ＋1＞0，∴m ＜6x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]，记h (x )＝x 2－x ＋1，h (x )在x ∈[1,3]上为增函数．则g (x )在[1,3]上为减函数， ∴[g (x )]min ＝g (3)＝67，∴m ＜67.所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，67.。
【创新方案】2021届高考数学一轮复习 5.3等比数列及其前n项和讲解与练习 理 新人教A版
第三节等比数列及其前n项和[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解等比数列的概念．2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3.能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4.了解等比数列与指数函数的关系. 1.以客观题的形式考查等比数列的性质及其基本量的计算，如2012年新课标全国T5，浙江T13等．2.以解答题的形式考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及性质的综合应用，如2012年湖北T18等.[归纳·知识整合] 1．等比数列的相关概念相关名词等比数列{a n}的有关概念及公式定义a n＋1a n＝q(q是常数且q≠0，n∈N*)或a na n－1＝q(q是常数且q≠0，n∈N*且n≥2)通项公式a n＝a1q n－1＝a m·q n－m前n项和公式S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na1q＝1a11－q n1－q＝a1－a n q1－qq≠1等比中项设a，b为任意两个同号的实数，则a，b的等比中项G＝±ab[探究] 1.b2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？提示：b2＝ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件，因为当b＝0时，a，c至少有一个为零时，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比数列；若a，b，c成等比数列，则必有b2＝ac.2．如何理解等比数列{a n}与指数函数的关系？提示：等比数列{a n }的通项公式a n ＝a 1qn －1可改写为a n ＝a 1q·q n.当q >0，且q ≠1时，y＝q x是一个指数函数，而y ＝a 1q·q x是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a n }的图象是函数y ＝a 1q·q x的图象上的一群孤立的点．2．等比数列的性质(1)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q 则a m ·a n ＝a p ·a q . 特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p .(2)若等比数列前n 项和为S n 则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列，即(S 2m －S m )2＝S m (S 3m－S 2m )(m ∈N *，公比q ≠－1)．(3)数列{a n }是等比数列，则数列{pa n }(p ≠0，p 是常数)也是等比数列．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n＋3k，…为等比数列，公比为q k.[自测·牛刀小试]1．在等比数列{a n }中，如果公比q <1，那么等比数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列C ．常数列D ．无法确定数列的增减性解析：选D 当a 1>0,0<q <1，数列{a n }为递减数列，当q <0，数列{a n }为摆动数列． 2．(教材习题改编)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 35解析：选B ∵数列{a n }为等比数列，∴a 5a 6＝a 4a 7＝9， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2·…·a 10) ＝log 3(a 5a 6)5＝5log 3a 5a 6＝5log 39＝10.3．(教材习题改编)在等比数列{a n }中，若a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝________.解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4－1＝15，a 1q 3－q ＝6.∴q 2－1≠0，q 4－1q 3－q ＝52.∴2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝12或q ＝2.当q ＝2时，a 1＝1，∴a 3＝a 1q 2＝4. 当q ＝12时，a 1＝－16，∴a 3＝a 1q 2＝－4.答案：4或－44．在等比数列{a n }中，a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5的值为________． 解析：由等比数列性质，已知转化为a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25， 即(a 3＋a 5)2＝25，又a n >0，故a 3＋a 5＝5. 答案：55．在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这三个数分别是________． 解析：设等比数列的公比为q ，则4＝q 4.即q ＝± 2. 当q ＝2时，插入的三个数是2，2,2 2. 当q ＝－2时，插入的三个数是－2，2，－2 2. 答案：2，2,22或－2，2，－2 2等比数列的基本运算[例1] (1)(2012·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7(2)(2012·辽宁高考)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(3)(2012·浙江高考)设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.[自主解答] (1)设数列{a n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5·a 6＝a 4·a 7＝－8，得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q 3＝－12，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q 3＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，a 10＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 10＝－8，所以a 1＋a 10＝－7.(2)∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴2a n ＋2a n ·q 2＝5a n ·q ， 即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12(舍去)．又∵a 25＝a 10＝a 5·q 5， ∴a 5＝q 5＝25＝32. ∴32＝a 1·q 4，解得a 1＝2. ∴a n ＝2×2n －1＝2n ，故a n ＝2n.(3)由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2作差可得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即2a 4－a 3－3a 2＝0，所以2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1(舍去)．[答案] (1)D (2)2n(3)32———————————————————等比数列运算的通法与等差数列一样，求等比数列的基本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等比数列的通项公式a n ＝a 1·q n －1(a 1q ≠0)及前n 项和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n1－q，q ≠1中共有五个变量，已知其中的三个变量，可以通过构造方程或方程组求另外两个变量，在求公比q 时，要注意应用q ≠0验证求得的结果．1．(1)(2013·海淀模拟)在等数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝a 3a 5，则a 7＝( ) A.116B.18C.14D.12(2)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.152 B.314 C.334D.172解析：(1)选B 在等比数列{a n }中，a 24＝a 3a 5，又a 4＝a 3a 5，所以a 4＝1，故q ＝12，所以a 7＝18.(2)选B 显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 11－q 31－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，q ＝－13，(舍去)故S 5＝a 11－q 51－q＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝314.等比数列的判定与证明[例2] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明数列{b n }是等比数列； (2)在(1)的条件下证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列，并求a n .[自主解答] (1)证明：∵由a 1＝1，及S n ＋1＝4a n ＋2， 有a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 2＝3a 1＋2＝5， ∴b 1＝a 2－2a 1＝3. 由S n ＋1＝4a n ＋2，①知当n ≥2时，有S n ＝4a n －1＋2，② ①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)． 又∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1.∴{b n }是首项b 1＝3，公比q ＝2的等比数列． (2)由(1)可得b n ＝a n ＋1－2a n ＝3×2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列．∴a n 2n ＝12＋(n －1)34＝34n －14. a n ＝(3n －1)×2n －2.———————————————————等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n－k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．注意：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.2．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．解：(1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d .依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1×22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，以2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54×2n －1＝5×2n －3.(2)证明：由(1)得数列{b n }的前n 项和S n ＝541－2n1－2＝5×2n －2－54，即S n ＋54＝5×2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5×2n －15×2n －2＝2.因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，以2为公比的等比数列.等比数列的性质及应用[例3] (1)在等比数列{a n }中，若a 1·a 2·a 3·a 4＝1，a 13·a 14·a 15·a 16＝8，则a 41·a 42·a 43·a 44＝________.(2)已知数列{a n }为等比数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *，若a 1＋a 2＋a 3＝3，a 4＋a 5＋a 6＝6，则S 12＝________.[自主解答] (1)法一：a 1·a 2·a 3·a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41·q 6＝1，①a 13·a 14·a 15·a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15＝a 41·q 54＝8，② 由②÷①，得a 41·q 54a 41·q6＝q 48＝8⇒q 16＝2，又a 41·a 42·a 43·a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43＝a 41·q 166＝a 41·q 6·q 160＝(a 41·q 6)·(q 16)10＝1·210＝1 024.法二：由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为q ，T 1＝a 1·a 2·a 3·a 4＝1，T 4＝a 13·a 14·a 15·a 16＝8，∴T 4＝T 1·q 3＝1·q 3＝8，即q ＝2.∴T 11＝a 41·a 42·a 43·a 44＝T 1·q 10＝210＝1 024.(2)法一：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝a 1·q 3＋a 2·q 3＋a 3·q 3a 1＋a 2＋a 3＝q 3＝63，即q 3＝2.故S 12＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋(a 7＋a 8＋a 9)＋(a 10＋a 11＋a 12)＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 1·q 3＋a 2·q 3＋a 3·q 3)＋(a 1·q 6＋a 2·q 6＋a 3·q 6)＋(a 1·q 9＋a 2·q 9＋a 3·q 9)＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 1＋a 2＋a 3)q 3＋(a 1＋a 2＋a 3)q 6＋(a 1＋a 2＋a 3)q 9＝(a 1＋a 2＋a 3)(1＋q 3＋q 6＋q 9)＝3×(1＋2＋22＋23)＝45.法二：设等比数列{a n }的公比为q ， 则a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝q 3＝63，即q 3＝2.因为S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝9，S 12－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＋a 12，所以S 12－S 6S 6＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＋a 12a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝ a 1·q 6＋a 2·q 6＋a 3·q 6＋a 4·q 6＋a 5·q 6＋a 6·q 6a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝q 6＝4.所以S 12＝5S 6＝45. [答案] (1)1 024 (2)45———————————————————等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：①通项公式的变形，②等比中项的变形，③前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．3．已知等比数列前n 项的和为2，其后2n 项的和为12，求再后面3n 项的和． 解：∵S n ＝2，其后2n 项为S 3n －S n ＝S 3n －2＝12， ∴S 3n ＝14.由等比数列的性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列， 即(S 2n －2)2＝2·(14－S 2n )解得S 2n ＝－4，或S 2n ＝6.当S 2n ＝－4时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…是首项为2，公比为－3的等比数列， 则S 6n ＝S n ＋(S 2n －S n )＋…＋(S 6n －S 5n )＝－364， ∴再后3n 项的和为S 6n －S 3n ＝－364－14＝－378.当S 2n ＝6时，同理可得再后3n 项的和为S 6n －S 3n ＝126－14＝112. 故所求的和为－378或112.3个防范——应用等比数列的公比应注意的问题 (1)注意q ＝1时，S n ＝na ，这一特殊情况．(2)由a n ＋1＝qa n (q ≠0)，并不能断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.(3)在应用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1和q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情况而导致错误．4个思想——求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和的公式中联系着五个量：a 1，q ，n ，a n ，S n ，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 1与q ，在解题中根据已知条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组，是解题的关键．(2)整体思想：当公比q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 11－q ·(1－q n)，令a 11－q ＝t ，则S n ＝t (1－q n )．把a 11－q与q n当成一个整体求解，也可简化运算．(3)分类讨论思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必须分类求和，当q ＝1时，S n＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 11－q n1－q；在判断等比数列单调性时，也必须对a 1与q 分类讨论．(4)函数思想：在等比数列{a n }中，a n ＝a 1q·q n，它的各项是函数y ＝a 1q·q x图象上的一群孤立的点，可以根据指数函数的一些性质研究等比数列问题(如单调性)，注意函数思想在等比数列问题中的应用.创新交汇——以等比数列为背景的新定义问题1．在新情境下先定义一个新数列，然后根据定义的条件推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来新兴起的一类问题，同时，数列也常与函数、不等式等形成交汇命题．2．对于此类新定义问题，我们要弄清其本质，然后根据所学的数列的性质即可快速解决．[典例] (2012·湖北高考)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f(a n)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”，现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝|x|；④f(x)＝ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为( )A．①②B．③④C．①③D．②④[解析] 法一：设{a n}的公比为q.①f(a n)＝a2n，∵a2n＋1a2n＝⎝⎛⎭⎪⎫a n＋1a n2＝q2，∴{f(a n)}是等比数列．排除B、D.③f(a n)＝|a n|，∵|a n＋1||a n|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n＋1a n＝|q|，∴{f(a n)}是等比数列．法二：不妨令a n＝2n.①因为f(x)＝x2，所以f(a n)＝4n.显然{f(2n)}是首项为4，公比为4的等比数列．②因为f(x)＝2x，所以f(a1)＝f(2)＝22，f(a2)＝f(4)＝24，f(a3)＝f(8)＝28，所以f a 2f a 1＝2422＝4≠f a 3f a 2＝2824＝16，所以{f (a n )}不是等比数列．③因为f (x )＝|x |，所以f (a n )＝2n ＝(2)n. 显然{f (a n )}是首项为2，公比为2的等比数列． ④因为f (x )＝ln|x |，所以f (a n )＝ln 2n＝n ln 2. 显然{f (a n )}是首项为ln 2，公差为ln 2的等差数列． [答案] C [名师点评]1．本题具有以下创新点(1)命题背景新颖：本题是以“保等比数列函数”为新定义背景，考查等比数列的有关性质．(2)考查内容创新：本题没有直接指明判断等比数列的有关性质，而是通过新定义将指数函数、对数函数及幂函数、二次函数与数列有机结合，对学生灵活处理问题的能力有较高要求．2．解决本题的关键有以下两点(1)迅速脱掉“新定义”的外衣，认清本题的实质是：已知数列{a n }为正项等比数列，判断数列{a 2n }，{2a n }，{|a n |}及{ln|a n |}是否为等比数列问题．(2)灵活运用排除法或特殊值法也是正确解决本题的关键． [变式训练]1．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则m n ＝( )A.32 B.32或23 C.23D ．以上都不对解析：选B 设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a <c <d <b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到c ＝1，d ＝2，则m ＝a ＋b＝92，n ＝c ＋d ＝3，或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或m n ＝23. 2．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 解析：选D 由已知可得a 1＝f (1)＝12，a 2＝f (2)＝[f (1)]2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，a 3＝f (3)＝f (2)·f (1)＝[f (1)]3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，…，a n ＝f (n )＝[f (1)]n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴S n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .∵n ∈N *，∴12≤S n <1.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝( )A ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32nB ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫23nC ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1D ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1解析：选C (a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)⇒a ＝5，a 1＝4，q ＝32，故a n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.2．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B 由题意可知a 3a 11＝a 27＝16，因为{a n }为正项等比数列，所以a 7＝4.所以log 2a 10＝log 2(a 7×23)＝log 225＝5.3．各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．33 B ．72 C ．84D ．189解析：选C ∵a 1＋a 2＋a 3＝21，∴a 1＋a 1·q ＋a 1·q 2＝21,3＋3×q ＋3×q 2＝21， 1＋q ＋q 2＝7，解得q ＝2或q ＝－3.∵a n >0，∴q ＝2，a 3＋a 4＋a 5＝21×q 2＝21×4＝84.4．(2013·西安模拟)已知a ，b ，m ，n ，x ，y 均为正数，且a ≠b ，若a ，m ，b ，x 成等差数列，a ，n ，b ，y 成等比数列，则有( )A ．m >n ，x >yB ．m >n ，x <yC ．m <n ，x <yD ．m <n ，x >y解析：选B ∵m ＝a ＋b2，n ＝ab (a ≠b )，∴m >n .又2b ＝m ＋x ，由b 2＝ny ，得b ＝ny ， 即2ny ＝m ＋x ≥2mx ，∴ny ≥mx ， 即ny ≥mx ，y x ≥mn>1.∴y >x .5．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 5＝18，则a 2a 3a 4等于( ) A ．36 B ．216 C ．±36D ．±216解析：选B 由等比数列的性质得a 23＝a 1·a 5＝2×18＝36， 又a 3＝a 1q 2＝2q 2>0，故a 3＝6. 所以a 2a 3a 4＝a 33＝216.6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1解析：选B 利用等比数列知识求解． ∵S n ＝2a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＝2a n .∴a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n .∴3a n ＝2a n ＋1. ∴a n ＋1a n ＝32.又∵S 1＝2a 2，∴a 2＝12.∴a 2a 1＝12.∴{a n }从第二项起是以32为公比的等比数列．∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －11－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1⎝⎛也可以先求出n ≥2时，a n ＝3n －22n －1，再利用S n ＝2a n ＋1，⎭⎪⎫求得S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________. 解析：∵S 3＋3S 2＝0，即a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0， ∴a 1(4＋4q ＋q 2)＝0. ∵a 1≠0，∴q ＝－2. 答案：－28．若数列{a n }(a n ∈R )对任意的正整数m ，n 满足a m ＋n ＝a m a n ，且a 3＝22，那么a 12＝________.解析：令m ＝1，则a n ＋1＝a n a 1⇒a 1＝q ，a 3＝a 1q 2＝22⇒q 3＝22，a 12＝q 12＝64. 答案：649．(2013·聊城模拟)已知f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b∈R ，满足f (a ·b )＝af (b )＋bf (a )，f (2)＝2，a n ＝f 2n n (n ∈N *)，b n ＝f 2n 2n(n ∈N *)，考察下列结论．①f (0)＝f (1)；②f (x )为偶函数；③数列{a n }为等比数列；④{b n }为等差数列．其中正确的是________．解析：令a ＝0，b ＝0，则f (0)＝0，令a ＝b ＝1， 则f (1)＝2f (1)，故f (0)＝f (1)＝0； 设a ＝－1，b ＝x ，因为f (1)＝f [(－1)×(－1)]＝－2f (－1)， 则f (－1)＝0，所以f (－x )＝－f (x )＋xf (－1)＝－f (x )，f (x )为奇函数；f (2n)＝2f (2n －1)＋2n －1f (2)＝2f (2n －1)＋2n⇒f 2n2n＝f 2n －12n －1＋1，则{b n }为等差数列；∵b 1＝f 22＝1，∴b n ＝1＋(n －1)×1＝n .∴f 2n2n ＝n ，a n ＝f 2n n＝2n，则数列{a n }为等比数列．答案：①③④三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．数列{a n }中，S n ＝1＋ka n (k ≠0，k ≠1)． (1)证明：数列{a n }为等比数列； (2)求通项a n ；(3)当k ＝－1时，求和a 21＋a 22＋…＋a 2n . 解：(1)∵S n ＝1＋ka n ，①S n －1＝1＋ka n －1，②①－②得S n －S n －1＝ka n －ka n －1(n ≥2)， ∴(k －1)a n ＝ka n －1，a n a n －1＝k k －1为常数，n ≥2. ∴{a n }是公比为kk －1的等比数列．(2)∵S 1＝a 1＝1＋ka 1，∴a 1＝11－k. ∴a n ＝11－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1n －1＝－kn －1k －1n.(3)∵{a n }中a 1＝11－k ，q ＝k k －1，∴{a 2n }是首项为⎝⎛⎭⎪⎫1k －12，公比为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －12的等比数列．当k ＝－1时，等比数列{a 2n }的首项为14，公比为14，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n .11．设数列{a n }是一等差数列，数列{b n }的前n 项和为S n ＝23(b n －1)，若a 2＝b 1，a 5＝b 2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)∵S 1＝23(b 1－1)＝b 1，∴b 1＝－2.又S 2＝23(b 2－1)＝b 1＋b 2＝－2＋b 2，∴b 2＝4.∴a 2＝－2，a 5＝4. ∵{a n }为等差数列， ∴公差d ＝a 5－a 23＝63＝2， 即a n ＝－2＋(n －2)·2＝2n －6. (2)∵S n ＋1＝23(b n ＋1－1)，①S n ＝23(b n －1)，②①－②得S n ＋1－S n ＝23(b n ＋1－b n )＝b n ＋1，∴b n ＋1＝－2b n .∴数列{b n }是等比数列，公比q ＝－2，首项b 1＝－2， ∴b n ＝(－2)n. ∴S n ＝23[(－2)n－1]．12．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013. 解：(1)∵由已知得a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ， ∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )， 解得d ＝2或d ＝0(舍去)．∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1(n ∈N *)． 又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9， ∴数列{b n }的公比为3. ∴b n ＝3·3n －2＝3n －1(n ∈N *)．(2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n＝a n ＋1得 当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n －1b n －1＝a n . 两式相减得，n ≥2时，c n b n＝a n ＋1－a n ＝2. ∴c n ＝2b n ＝2·3n －1(n ≥2)．又当n ＝1时，c 1b 1＝a 2， ∴c 1＝3.∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＝1，2·3n －1n ≥2.∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013＝3＋6－2×32 0131－3＝3＋(－3＋32 013)＝32 013.1．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( ) A ．5 2 B ．7 C ．6D ．4 2解析：选A 法一：由等比中项的性质知a 1a 2a 3＝(a 1a 3)·a 2＝a 32＝5，a 7a 8a 9＝(a 7a 9)·a 8＝a 38＝10，所以a 2a 8＝5013，所以a 4a 5a 6＝(a 4a 6)·a 5＝a 35＝(a 2a 8)3＝(5016)3＝5 2.法二：由等比数列的性质知a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9构成等比数列，所以(a 1a 2a 3)(a 7a 8a 9)＝(a 4a 5a 6)2，即a 4a 5a 6＝±5×10＝±52，又数列各项均为正数，所以a 4a 5a 6＝5 2.2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( ) A ．1∶2 B ．2∶3 C ．3∶4D ．1∶3解析：选C 由等比数列的性质：S 3、S 6－S 3、S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34.3．设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝4，a 4a 5a 6＝212. (1)求首项a 1和公比q 的值； (2)若S n ＝210－1，求n 的值． 解：(1)∵a 4a 5a 6＝a 35＝212⇒a 5＝16，∴a 5a 3＝q 2＝4⇒q ＝2，a 1q 2＝a 3，解得a 1＝1.(2)由S n ＝210－1，得S n ＝a 1q n －1q －1＝2n－1，∴2n －1＝210－1⇒2n ＝210，即n ＝10.4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式． 解：(1)b 1＝a 2－a 1＝1， 当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，所以{b n }是以1为首项，以－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1， 又a 1＝1也符合上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N *)．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
2020_2021学年高中数学第三章不等式3.3.3基本不等式的实际应用作业课件北师大版必修5
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 9．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的 内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为 20 (m)．
解析：如图，过A作AH⊥BC于H，交DE于F，易知 DBCE ＝ 4x0 ＝
AD AB
＝
AF AH
，则AF＝x，故FH＝40－x.则矩形面积S＝x(40－
站的距离x(km)成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与仓库到
车站的距离x(km)成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，费用
y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓
库应建在离车站( A )
A．5 km处
B．m处
解析：由题意知y1＝
k1 x
解析：C＝
t22＋0t4＝
20 t＋4t
.因为t>0，所以t＋4t
≥2
4 t·t
＝4(当且仅当t
＝
4t ，即t＝2时等号成立)，所以C＝
20 t＋4t
≤240
＝5，即当t＝2时，C取得
最大值．
11．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为 72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是 56 dm2.
小．设这种汽车使用n年报废最合算，n年汽车的维修总费用为0.2
＋0.4＋0.6＋…＋0.2n＝0.2n＋nn2－1×0.2＝0.1(n2＋n)(万元)，年
平均费用y＝
10＋0.9n＋0.1n2＋n＝10＋
n
n
1n0＋1≥2
1n0·1n0＋1＝
3，当且仅当1n0＝1n0，即n＝10时取等号．
6．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车
数学高考一轮复习基本不等式专项练习(带解析)
数学高考一轮复习基本不等式专项练习（带解析）学习数学能够让我们的思维更清晰，我们在摸索和解决问题的时候，条理更清晰。
小编预备了差不多不等式专项练习，期望你喜爱。
1.若xy0，则对xy+yx说法正确的是()A.有最大值-2B.有最小值2C.无最大值和最小值D.无法确定答案：B2.设x，y满足x+y=40且x，y差不多上正整数，则xy的最大值是()A.400B.100C.40D.20答案：A3.已知x2，则当x=____时，x+4x有最小值____.答案：2 44.已知f(x)=12x+4x.(1)当x0时，求f(x)的最小值;(2)当x0 时，求f(x)的最大值.解：(1)∵x0，12x，4x0.12x+4x212x4x=83.当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，当x0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x0，-x0.则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83，当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.当x0时，f(x)的最大值为-83.一、选择题1.下列各式，能用差不多不等式直截了当求得最值的是()A.x+12xB.x2-1+1x2-1C.2x+2-xD.x(1-x)答案：C2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()A.32-3B.-3C.62D.62-3解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.3.已知m、nR，mn=100，则m2+n2的最小值是()A.200B.100C.50D.20解析：选A.m2+n22mn=200，当且仅当m=n时等号成立.4.给出下面四个推导过程：①∵a，b(0，+)，ba+ab2ba②∵x，y(0，+)，lgx+lgy2lgx③∵aR，a0，4a+a 24a④∵x，yR，，xy0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2.其中正确的推导过程为()A.①②B.②③C.③④D.①④解析：选D.从差不多不等式成立的条件考虑.①∵a，b(0，+)，ba，ab(0，+)，符合差不多不等式的条件，故①的推导过程正确;②尽管x，y(0，+)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的;③∵aR，不符合差不多不等式的条件，4a+a24aa=4是错误的;④由xy0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后，(-xy)均变为正数，符合差不多不等式的条件，故④正确.5.已知a0，b0，则1a+1b+2ab的最小值是()A.2B.22C.4D.5解析：选C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()A.最大值64B.最大值164C.最小值64D.最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，xy=8x+2y28x2y=8xy，当且仅当8x=2y时等号成立.xy64.二、填空题7.函数y=x+1x+1(x0)的最小值为________.答案：18.若x0，y0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.解析：1=x+4y4y=4xy，xy116.答案：大1169.(2021年高考山东卷)已知x，yR+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为________.解析：∵x0，y0且1=x3+y42xy12，xy3.当且仅当x3=y4时取等号.答案：3三、解答题10.(1)设x-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;(2)求函数y=x2+8x-1(x1)的最值.解：(1)∵x-1，x+10.y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+52 x+14x+1+5=9，当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.x=1时，函数的最小值是9.(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1=(x-1)+9x-1+2.∵x1，x-10.(x-1)+9x-1+22x-19x-1+2=8.当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，y有最小值8.11.已知a，b，c(0，+)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.证明：∵a，b，c(0，+)，a+b+c=1，1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca2bca，同理1b-12acb，1c-12abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.当且仅当a=b=c时取等号.12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建筑单价为每米400元，中间一条隔壁建筑单价为每米100元，池底建筑单价每平方米60元(池壁忽略不计).问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.总造价f(x)=400(2x+2200x)+100200x+60200=800(x+225x)+120211600x225x+12021=36000(元)家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
高考数学一轮复习课时作业(三十五) 等比数列及其前n项和 (3)
课时作业(三十五) 等比数列及其前n 项和1．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a6＋a8a3＋a5 ＝127 ，则a 6的值为( )A ．127B ．181C ．1243D ．1729C [设等比数列{a n }的公比为q ，由a6＋a8a3＋a5 ＝q 3＝127 ⇒q ＝13 ，所以a 6＝a 1·q 5＝1243 .故选C.]2．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11C [由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6＝9， ∴m ＝10.]3．(多选)记单调递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＝10，a 2a 3a 4＝64，则( ) A ．S n ＋1－S n ＝2n ＋1 B ．a n ＝2n －1 C ．S n ＝2n －1D ．S n ＝2n －1－1BC [由a 2a 3a 4＝64得a 33 ＝43，则a 3＝4.设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，由a 2＋a 4＝10，得4q ＋4q ＝10，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12 .又因为数列{a n }单调递增，所以q ＝2，所以2a 1＋8a 1＝10，解得a 1＝1.所以a n ＝2n －1，S n ＝1×（1－2n ）1－2＝2n －1，所以S n ＋1－S n ＝2n ＋1－1－(2n－1)＝2n .故选BC.]4．(2020·全国卷Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则Sn an ＝( )A ．2n －1B ．2－21－n C ．2－2n －1D ．21－n －1B [法一：设等比数列{a n }的公比为q ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a5－a3＝a1q4－a1q2＝12，a6－a4＝a1q5－a1q3＝24 解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝1，q ＝2.所以S n ＝a1（1－qn ）1－q＝2n －1，a n ＝a 1q n －1＝2n －1，所以Sn an ＝2n －12n －1＝2－21－n ，故选B.法二：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a6－a4a5－a3 ＝a4（1－q2）a3（1－q2） ＝a4a3 ＝2412 ＝2，所以q ＝2，所以Sn an ＝a1（1－qn ）1－q a1qn －1 ＝2n －12n －1＝2－21－n ，故选B.] 5．(多选)(2020·江苏省邗江中学高二月考)已知等比数列{a n }中，满足a 1＝1，q ＝2，S n 是{a n }的前n 项和，则下列说法正确的是( )A ．数列{a 2n }是等比数列B ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 是递增数列C ．数列{log 2a n }是等差数列D ．数列{a n }中，S 10，S 20，S 30仍成等比数列AC [等比数列{a n }中，满足a 1＝1，q ＝2，所以a n ＝2n －1，所以a 2n ＝22n －1，所以数列{a 2n }是等比数列，故A 正确；又1an ＝12n －1 ＝⎝⎛⎭⎫12 n －1 ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 是递减数列，故B 不正确；因为log 2a n ＝log 22n －1＝n －1，所以{log 2a n }是等差数列，故C 正确；数列{a n }中，S 10＝1－2101－2 ＝210－1，S 20＝220－1，S 30＝230－1，S 10，S 20，S 30不成等比数列，故D 不正确；故选AC.]6．等比数列{a n }中，a 1＝ 2 ，a 2＝33 ，则a2＋a2013a8＋a2019 ＝________，a 1a 2a 3a 4＝________．解析： 因为等比数列{a n }中，a 1＝ 2 ，a 2＝33 ， 所以q ＝a2a1 ＝332，所以a2＋a2013a8＋a2019 ＝a2＋a2013（a2＋a2013）q6 ＝1q6＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫3326 ＝89 ， a 1a 2a 3a 4＝a 41·q 6＝( 2 )4·⎝ ⎛⎭⎪⎫332 6 ＝4×98 ＝92 .答案： 89 ；927．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2 020，a 2＋a 4＝－2a 3，则S 2 021＝________． 解析： ∵a 2＋a 4＝－2a 3，∴a 2＋a 4＋2a 3＝0，a 2＋2a 2q ＋a 2q 2＝0， ∵a 2≠0，∴q 2＋2q ＋1＝0，解得q ＝－1. ∵a 1＝2 020，∴S 2 021＝a1（1－q2 021）1－q ＝2 020×[1－（－1）2 021]2 ＝2 020.答案： 2 0208.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有 1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．解析： 由题意，得正方形的边长构成以22 为首项，以22为公比的等比数列，现已知共得到1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1 023，∴n ＝10，∴最小正方形的边长为22 ×⎝⎛⎭⎫22 9 ＝132 .答案：1329．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝4a n －p ，其中p 为非零常数． (1)求证：数列{a n }为等比数列；(2)若a 2＝43，求{a n }的通项公式．解析： (1)证明：当n ＝1时，S 1＝4a 1－p ，得a 1＝p3 ≠0，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(4a n －p )－(4a n －1－p )＝4a n －4a n －1， 得3a n ＝4a n －1，即an an －1 ＝43， 因而数列{a n }是首项为p 3 ，公比为43的等比数列．(2)由(1)知，数列{a n }的通项公式为a n ＝p 3 ×⎝⎛⎭⎫43 n －1 ，又a 2＝43 ，可知p ＝3，于是a n ＝⎝⎛⎭⎫43 n －1 .10．在等比数列{a n }中，a 1＝6，a 2＝12－a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝66，求m . 解析： (1)设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 1＝6，a 2＝12－a 3，∴6q ＝12－6q 2，解得q ＝－2或q ＝1， ∴a n ＝6×(－2)n －1或a n ＝6. (2)①若a n ＝6×(－2)n －1，则S n ＝6×[1－（－2）n]3 ＝2[1－(－2)n ]，由S m ＝66，得2[1－(－2)m ]＝66，解得m ＝5. ②若a n ＝6，q ＝1，则{a n }是常数列， ∴S m ＝6m ＝66，解得m ＝11. 综上，m 的值为5或11.11．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这3个数可适当排序后构成等差数列，也可适当排序后构成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．7B ．8C ．9D ．10C [因为a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，所以a ＋b ＝p ，ab ＝q .因为p ＞0，q ＞0，所以a ＞0，b ＞0，又a ，b ，－2这3个数可适当排序后构成等差数列，也可适当排序后构成等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a －2，ab ＝4 或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝b －2，ab ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4(负值已舍去).所以p ＝a ＋b ＝5，q ＝1×4＝4，所以p ＋q ＝9.故选C.]12．(多选)(2020·江苏南京高三期中)已知等比数列{a n }的公比q ＝－23 ，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9＞b 9且a 10＞b 10，则以下结论正确的有( )A ．a 9·a 10＜0B ．a 9＞a 10C ．b 10＞0D ．b 9＞b 10AD [数列{a n }是公比q 为－23 的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列，则a 9＝a 1⎝⎛⎭⎫－23 8，a 10＝a 1⎝⎛⎭⎫－23 9， ∴a 9·a 10＝a 21 ⎝⎛⎭⎫－23 17 ＜0，故A 正确； ∵a 1正负不确定，故B 错误；∵a 10正负不确定，∴由a 10＞b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误； 由a 9＞b 9且a 10＞b 10，则a 1⎝⎛⎭⎫－23 8＞12＋8d ，a 1⎝⎛⎭⎫－23 9＞12＋9d ， 由于a 9，a 10异号，因此a 9＜0或a 10＜0， 故b 9＜0或b 10＜0，且b 1＝12.可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d ＜0， 即有a 9＞b 9＞b 10，故D 正确． 故选AD.]13．已知数列{a n }是等比数列，公比q <1，前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 3＝7. (1)求{a n }的通项公式；(2)设m ∈Z ，若S n <m 恒成立，求m 的最小值．解析： (1)由a 2＝2，S 3＝7得⎩⎪⎨⎪⎧a1q ＝2，a1＋a1q ＋a1q2＝7解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝4，q ＝12 或⎩⎪⎨⎪⎧a1＝1，q ＝2 (舍去).所以a n ＝4·⎝⎛⎭⎫12 n －1 ＝⎝⎛⎭⎫12 n －3 .(2)由(1)可知，S n ＝a1（1－qn ）1－q ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝8⎝⎛⎭⎫1－12n <8. 因为a n >0，所以S n 单调递增． 又S 3＝7，所以当n ≥4时，S n ∈(7，8). 又S n <m 恒成立，m ∈Z ，所以m 的最小值为8. 14．(开放型)在①an ＋1an ＝－12 ，②a n ＋1－a n ＝－16，③a n ＋1＝a n ＋n －8这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的S n 存在最大值，则求出最大值；若问题中的S n 不存在最大值，请说明理由．问题：设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝4，________，求{a n }的通项公式，并判断S n 是否存在最大值．解析： 选①因为an ＋1an ＝－12 ，a 1＝4，所以{a n }是首项为4.公比为－12 的等比数列，所以a n ＝4×⎝⎛⎭⎫－12 n －1 ＝⎝⎛⎭⎫－12 n －3 .当n 为奇数时，S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1＋12＝83 ⎝⎛⎭⎫1＋12n ， 因为83 ⎝⎛⎭⎫1＋12n 随着n 的增加而减少， 所以此时S n 的最大值为S 1＝4. 当n 为偶数时，S n ＝83 ⎝⎛⎭⎫1－12n ， 且S n ＝83 ⎝⎛⎭⎫1－12n ＜83 ＜4.综上，S n 存在最大值，且最大值为4. 选②因为a n ＋1－a n ＝－16 ，a 1＝4.所以{a n }是首项为4，公差为－16 的等差数列，所以a n ＝4＋(n －1)⎝⎛⎭⎫－16 ＝－16 n ＋256 . 由－16 n ＋256≥0得n ≤25，所以S n 存在最大值．且最大值为S 25(或S 24)，因为S 25＝25×4＋25×242 ×⎝⎛⎭⎫－16 ＝50，所以S n 的最大值为50.选③因为a n ＋1＝a n ＋n －8，所以a n ＋1－a n ＝n －8， 所以a 2－a 1＝－7，a 3－a 2＝－6，…a n －a n －1＝n －9， 则a n －a 1＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋…＋a n －a n －1＝（－7＋n －9）（n －1）2＝n2－17n ＋162，又a 1＝4，所以a n ＝n2－17n ＋242 .当n ≥16时，a n ＞0， 故S n 不存在最大值．15．(多选)(2020·山东枣庄期中)将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如下：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中m >0).已知a 11＝2，a 13＝a 61＋1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有( )A ．m ＝3B ．a 67＝17×37C ．a ij ＝(3i －1)×3j －1D ．S ＝14n (3n ＋1)(3n －1)ACD [由题意可得，a 13＝a 11m 2＝2m 2，a 61＝a 11＋5m ＝2＋5m ，所以2m 2＝2＋5m ＋1，解得m ＝3或m ＝－12 (舍去)，所以A 正确．由题意，得a 67＝a 61m 6＝(2＋3×5)×36＝17×36，所以B 错误．因为a ij ＝a i 1m j －1＝[a 11＋(i －1)×m ]×m j －1＝[2＋(i －1)×3]×3j －1＝(3i －1)×3j －1，所以C 正确．因为S ＝(a 11＋a 12＋…＋a 1n )＋(a 21＋a 22＋…＋a 2n )＋…＋(a n 1＋a n 2＋…＋a nn )＝a11（1－3n ）1－3＋a21（1－3n ）1－3 ＋…＋an1（1－3n ）1－3 ＝12 (3n －1)（2＋3n －1）n 2 ＝14 n (3n ＋1)(3n －1)，所以D 正确，故选ACD.]16．(2021·广东梅州质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且S n ＝λa n －1(λ为常数).若数列{b n }满足a n b n ＝－n 2＋9n －20，且b n ＋1<b n ，则满足条件的n 的取值集合为________．解析： 当n ＝1时，a 1＝S 1＝λa 1－1.又a 1＝1，所以λ－1＝1，解得λ＝2.所以S n ＝2a n －1，所以S n －1＝2a n －1－1(n ≥2)，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1又a n b n ＝－n 2＋9n －20，所以b n ＝－n2＋9n －202n －1，所以b n ＋1－b n ＝－（n ＋1）2＋9（n ＋1）－202n－－n2＋9n －202n －1＝n2－11n ＋282n<0.又2n >0，所以n 2－11n ＋28＝(n －4)(n －7)<0，解得4<n <7又n ∈N ，所以满足条件的n 的取值集合为{5，6}答案： {5，6}。
2023年高考数学(文科)一轮复习——基本不等式及其应用
第3节 基本不等式及其应用考试要求 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数. 2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小).(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).1.b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2.ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22.3.21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a>0，b>0).4.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错.5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的.()(2)函数y＝x＋1x的最小值是2.()(3)函数f(x)＝sin x＋4sin x的最小值为－5.()(4)x＞0且y＞0是xy＋yx≥2的充要条件.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×解析(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式a＋b2≥ab成立的条件是a≥0，b≥0.(2)函数y＝x＋1x的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(4)x>0且y>0是xy＋yx≥2的充分不必要条件.2.(易错题)已知x＞2，则x＋1x－2的最小值是()A.1B.2C.2 2D.4 答案 D解析∵x＞2，∴x－2＞0，∴x＋1x－2＝x－2＋1x－2＋2≥2（x－2）1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时，等号成立.3.若x<0，则x＋1x()A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为－2D.有最大值，且最大值为－2 答案 D解析因为x<0，所以－x>0，x＋1x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x＋⎝⎛⎭⎪⎫－1x≤－2（－x）·⎝⎛⎭⎪⎫－1x＝－2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋1x≤－2.4.若x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A.9B.18C.36D.81 答案 A解析因为x＋y＝18，所以xy≤x＋y2＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立.5.一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大.答案1515 2解析设矩形的长为x m，宽为y m.则x＋2y＝30，所以S＝xy＝12x·(2y)≤12⎝⎛⎭⎪⎫x＋2y22＝2252，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝152时取等号.6.已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋18b的最小值为________.答案 14解析 由题设知a －3b ＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋18b ≥22a·18b ＝2×2a －3b 2＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号.故2a ＋18b 的最小值为14.考点一 利用基本不等式求最值 角度1 配凑法求最值例1 (1)已知0＜x ＜1，则x (3－2x )的最大值为________. (2)已知x ＞54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最小值为________.(3)(2021·沈阳模拟)若0＜x ＜12，则y ＝x 1－4x 2的最大值为________. 答案 (1)98 (2)5 (3)14解析 (1)x (3－2x )＝12·2x (3－2x )≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3－2x 22＝98， 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号. (2)∵x ＞54，∴4x －5＞0， ∴f (x )＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3≥21＋3＝5. 当且仅当4x －5＝14x －5，即x ＝32时取等号. (3)∵0＜x ＜12， ∴y ＝x1－4x 2＝x 2（1－4x 2）＝124x 2（1－4x 2）≤12·4x 2＋1－4x 22＝14，当且仅当4x 2＝1－4x 2，即x ＝24时取等号，则y ＝x1－4x 2的最大值为14.角度2 常数代换法求最值例 2 (2022·江西九校联考)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b 3a ＋3b 的最小值为________. 答案 5解析 因为a ＋b ＝1，所以b 3a ＋3b ＝b 3a ＋3（a ＋b ）b ＝b 3a ＋3a b ＋3，因为a ＞0，b ＞0，所以b 3a ＋3ab ＋3≥2b 3a ·3a b ＋3＝5，当且仅当b 3a ＝3a b ，即a ＝14，b ＝34时等号成立， 即b 3a ＋3b 的最小值为5. 角度3 消元法求最值例3 已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 答案 6解析 法一(换元消元法) 由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x >0，y >0， 所以x ＋3y ≥23xy ， 所以3xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22， 所以13×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22≥9－(x ＋3y )， 即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0，则x ＋3y ≤－18(舍去)或x ＋3y ≥6(当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号)，故x＋3y的最小值为6. 法二(代入消元法)由x＋3y＋xy＝9，得x＝9－3y 1＋y，所以x＋3y＝9－3y1＋y＋3y＝9＋3y21＋y＝3（1＋y）2－6（1＋y）＋121＋y＝3(1＋y)＋121＋y－6≥23（1＋y）·121＋y－6＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y)＝121＋y，即y＝1，x＝3时取等号，所以x＋3y的最小值为6.感悟提升利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”.但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立.(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件.(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解.训练1 (1)已知函数f(x)＝－x2x＋1(x＜－1)，则()A.f(x)有最小值4B.f(x)有最小值－4C.f (x )有最大值4D.f (x )有最大值－4(2)正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则a ＋b 的最小值为________. 答案 (1)A (2)6解析 (1)f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－（x ＋1）＋2.因为x ＜－1，所以x ＋1＜0，－(x ＋1)＞0， 所以f (x )≥21＋2＝4， 当且仅当－(x ＋1)＝1－（x ＋1），即x ＝－2时，等号成立. 故f (x )有最小值4.(2)∵a ＞0，b ＞0，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 即a ＋b ＋3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 整理得(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0，解得a ＋b ≤－2(舍)或a ＋b ≥6(当且仅当a ＝b ＝3时取等号). 故a ＋b 的最小值为6.考点二 基本不等式的综合应用例4 (1)(2022·河南名校联考)已知直线ax ＋2by －1＝0和x 2＋y 2＝1相切，则ab 的最大值是( ) A.14B.12C.22D.1(2)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A.2B.4C.6D.8答案 (1)A (2)B解析 (1)圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0，0)，半径r ＝1，由直线ax ＋2by －1＝0和x 2＋y 2＝1相切，得|－1|a 2＋4b 2＝1，则a 2＋4b 2＝1，又由1＝a 2＋4b 2≥4ab ，可得ab ≤14，当且仅当a ＝2b ，即a ＝22，b ＝24时等号成立，故ab 的最大值是14.(2)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只需求(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值大于或等于9， ∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥a ＋2a ＋1＝(a ＋1)2， 当且仅当y ＝ax 时，等号成立， ∴(a ＋1)2≥9，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4.感悟提升 1.当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.2.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围.训练2 (1)若△ABC 的内角满足3sin A ＝sin B ＋sin C ，则cos A 的最小值是( ) A.23B.79C.13D.59(2)当x ∈(0，＋∞)时，ax 2－3x ＋a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析(1)由题意结合正弦定理有3a＝b＋c，结合余弦定理可得：cos A＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－⎝⎛⎭⎪⎫b＋c322bc＝89b2＋89c2－29bc2bc＝89b2＋89c22bc－19≥2×89b×89c2bc－19＝79.当且仅当b＝c时等号成立.综上可得，cos A的最小值是79.(2)ax2－3x＋a≥0，则a≥3xx2＋1＝3x＋1x，x∈(0，＋∞)，故x＋1x≥2，当且仅当x＝1时等号成立，故y＝3x＋1x≤32，故a≥32.考点三基本不等式的实际应用例5 为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，N两点为AMBN一组相对的顶点，当AMBN 的周长恒为20米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为()A.6B.12C.18D.24答案 D解析设AM＝x，AN＝y，则由已知可得x＋y＝10，在△MAN中，MN＝6，由余弦定理可得，cos A ＝x 2＋y 2－622xy ＝（x ＋y ）2－362xy －1＝32xy －1≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22－1＝3225－1＝725， 当且仅当x ＝y ＝5时等号成立， 此时(cos A )min ＝725， 所以(sin A )max ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫7252＝2425，所以四边形AMBN 的最大面积为2×12×5×5×2425＝24，此时四边形AMBN 是边长为5的菱形.感悟提升 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.训练3 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨. 答案 20解析 该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x 次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用为之和为⎝ ⎛⎭⎪⎫400x ·4＋4x 万元，400x ·4＋4x ≥160，当且仅当1 600x ＝4x ，即x ＝20时，一年的总运费与总存储费用之和最小.1.已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( ) A.a ＋b ≥2ab B.a b ＋ba ≥2 C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2 D.a 2＋b 2>2ab答案 C解析 因为a b 和b a 同号，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ≥2.2.若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y 的最小值为( ) A.4 B.4 2 C.2 D.2 2答案 A解析 因为3x ＋2y ＝2，所以8x ＋4y ≥28x ·4y ＝223x ＋2y ＝4，当且仅当3x ＋2y ＝2且3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时等号成立.3.若a ＞0，b ＞0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( ) A.8 B.6 C.4 D.2答案 C解析 依题意ab ＝a ＋b ，∴a ＋b ＝ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即a ＋b ≤（a ＋b ）24，∴a ＋b ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号， ∴a ＋b 的最小值为4.4.已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( )A.12 B.43C.－1D.0答案 D解析 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号.又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为0.5.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60件 B.80件 C.100件 D.120件答案 B解析 设每批生产产品x 件，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是⎝ ⎛⎭⎪⎫800x ＋x 8元，由基本不等式得800x ＋x 8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x＝x8，即x ＝80时取等号.6.对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为( ) A. 2 B.2 2C.4D.92答案 B解析 ∵对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0， ∴m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn ＝m n ＋2nm 恒成立， ∵m n ＋2n m ≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2n m 即m ＝2n 时取等号，∴a ≤22，故a 的最大值为2 2.7.(2022·河南顶级名校联考)已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 6，3a 5，a 7成等差数列，若{a n }中存在两项a m ，a n ，使得4a 1为其等比中项，则1m ＋4n 的最小值为( ) A.4 B.9C.23D.32答案 D解析 设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ，q ＞0，由a 6，3a 5，a 7成等差数列，可得6a 5＝a 6＋a 7，即6a 1q 4＝a 1q 5＋a 1q 6， 解得q ＝2(q ＝－3舍去)，由{a n }中存在两项a m ，a n ，使得4a 1为其等比中项，可得16a 21＝a m a n ＝a 21·2m ＋n －2， 化简可得m ＋n ＝6，m ，n ∈N *， 则1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝32. 当且仅当n ＝2m ＝4时，上式取得等号. 8.已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( ) A.3 B.5C.7D.9答案 C解析 ∵x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，∴x ＋1＋y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y ) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y ≥2⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋2y x ＋1·x ＋1y ＝8，当且仅当y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝3，y ＝4时取等号， ∴x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7.9.(2021·宜昌期末)某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本y (单位：元)与月处理量x (单位：吨)之间的函数关系可近似表示为y ＝12x 2－300x ＋80 000，为使每吨的平均处理成本最低，该厂每月的垃圾处理量应为________吨.答案 400解析 由题意知，每吨垃圾的平均处理成本为y x ＝12x 2－300x ＋80 000x ＝x 2＋80 000x －300，其中300≤x ≤600，又x 2＋80 000x －300≥2x 2·80 000x －300＝400－300＝100，所以当且仅当x 2＝80 000x ，即x ＝400吨时，每吨垃圾的平均处理成本最低. 10.(2022·兰州诊断)设a ，b ，c 均为正实数，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c ≥________. 答案 9解析 ∵a ，b ，c 均为正数，a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.11.(2020·江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________. 答案 45解析 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x 2＝1－y 45y 2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45，当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号.所以x 2＋y 2的最小值为45.12.(2020·天津卷)已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为__________. 答案 4解析 因为a ＞0，b ＞0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b ≥2a ＋b 2·8a ＋b＝4，当且仅当a ＋b2＝8a ＋b，即a ＋b ＝4时，等号成立. 故12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4.13.(2022·宜春调研)已知x >0，y >0，x ＋2y ＝3，则x 2＋3yxy 的最小值为( )A.3－2 2B.22＋1C.2－1D.2＋1答案 B解析 x >0，y >0，x ＋2y ＝3， 则x 2＋3y xy ＝x 2＋y （x ＋2y ）xy＝x y ＋2yx ＋1≥2x y ·2yx ＋1＝22＋1. 当且仅当x ＝2y 时，上式取得等号， 则x 2＋3yxy 的最小值为22＋1.14.(2022·西安一模)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2≥ab (a >0，b >0)B.a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2aba ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D解析 由图形可知OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12（a ＋b ）－b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12（a －b ），在Rt △OCF 中，由勾股定理可得 CF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＝12（a 2＋b 2）， ∵CF ≥OF ，∴12（a 2＋b 2）≥12(a ＋b )(a >0，b >0).故选D.15.若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________.答案 4解析 ∵a ，b ∈R ，ab >0， ∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. 16.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞解析 对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *， 则g (x )＝x ＋8x ≥42， 当且仅当x ＝22时等号成立， 又g (2)＝6，g (3)＝173， ∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173. ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.。
【五年高考三年模拟】2021届高三数学(理)新课标一轮复习练习：5.3 解三角形
§5.3 解三角形考点一 正弦、余弦定理17.(2021湖南,3,5分)在锐角△ABC 中,角A,B 所对的边长分别为a,b.若2asin B=√3b,则角A 等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3答案 D 由正弦定理可知:2sin A ·sin B=√3sin B,由于B 为三角形的内角,所以sin B ≠0,故sin A=√32,又由于△ABC 为锐角三角形,所以A ∈(0,π2),故A=π3,选D.评析 本题主要考查正弦定理及特殊角的三角函数值,考查同学运算求解力量,本题同学简洁记错特殊角的三角函数值导致选错失分.18.(2021辽宁,6,5分)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=12b,且a>b,则∠B=( )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案 A 由正弦定理得sin B(sin Acos C+sin Ccos A)=12sin B,即sin Bsin(A+C)=12sin B,由于sin B ≠0,所以sin B=12,所以∠B=π6或56π,又由于a>b,故∠B=π6,选A.19.(2021陕西,7,5分)设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的外形为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案 B 由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin 2A,得sin(B+C)=sin 2A,∴sin A=1,即A=π2.故选B.20.(2021福建,12,4分)若锐角△ABC 的面积为10√3,且AB=5,AC=8,则BC 等于 . 答案 7解析 设内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.由已知及12bcsin A=10√3得sin A=√32,由于A 为锐角,所以A=60°,cos A=12.由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos A=25+64-2×40×12=49,故a=7,即BC=7. 评析 本题考查了三角形的面积和解三角形,利用三角形的面积求出cos A 是求解关键.21.(2021浙江,16,4分)在△ABC 中,∠C=90°,M 是BC 的中点.若sin ∠BAM=13,则sin ∠BAC= . 答案√63解析 令∠BAM=β,∠BAC=α, 故|CM|=|AM|sin(α-β),∵M 为BC 的中点,∴|BM|=|AM|sin(α-β). 在△AMB 中,由正弦定理知:|AM|sinB =|BM|sinβ, 即|AM|sin (π2-α)=|AM|·sin(α-β)sinβ, ∵sin β=13,∴cos β=2√23, ∴1=cos α·(2√2sinα-1cosα) =2√2sin αcos α-1cos 2α, 整理得1=2√2sin αcos α-cos 2α, 解得tan α=√2,故sin α=√63.评析 本题考查解三角形,正弦定理的应用和三角函数求值问题.考查同学的图形观看力量和数据处理力量.如何利用M 是BC 中点是解答本题的关键.22.(2022湖北,11,5分)设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角C= . 答案2π3解析 由已知得a 2+b 2-c 2=-ab,∴cos C=a 2+b 2-c 2=-1, ∴C=2π3.评析 本题考查余弦定理,考查同学的运算求解力量.23.(2022重庆,13,5分)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且cos A=35,cos B=513,b=3,则c= . 答案145解析 ∵A,B,C 为三角形内角且cos A=35,cos B=513, ∴sin A=45,sin B=1213.sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B=45×513+35×1213=5665. 由正弦定理c sinC =bsinB ,得c=b×sinC sinB =3×56651213=145.评析 本题考查同角三角函数关系及正弦定理.24.(2021北京,15,13分)在△ABC 中,a=3,b=2√6,∠B=2∠A. (1)求cos A 的值; (2)求c 的值.解析 (1)由于a=3,b=2√6,∠B=2∠A,所以在△ABC 中,由正弦定理得3sinA =2√6sin2A .所以2sinAcosA sinA =2√63.故cos A=√63.(2)由(1)知cos A=√63,所以sin A=√1-cos 2A =√33. 又由于∠B=2∠A, 所以cos B=2cos 2A-1=13.所以sin B=√1-cos 2B =2√23.在△ABC 中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=5√39.所以c=asinCsinA =5.评析 本题考查正弦定理及三角恒等变换,主要考查同学运算技巧和运算求解力量,二倍角公式和诱导公式的娴熟应用是解决本题的关键.考点二 解三角形及其综合应用16.(2022重庆,10,5分)已知△ABC 的内角A,B,C 满足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+12,面积S 满足1≤S ≤2,记a,b,c 分别为A,B,C 所对的边,则下列不等式肯定成立的是( ) A.bc(b+c)>8 B.ab(a+b)>16√2 C.6≤abc ≤12 D.12≤abc ≤24答案 A 设△ABC 的外接圆半径为R,由三角形内角和定理知A+C=π-B,A+B=π-C.于是sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+12⇒sin 2A+sin 2B=-sin 2C+12⇒sin 2A+sin 2B+sin 2C=12⇒2sin(A+B)cos(A-B)+2sin Ccos C=12⇒2sin C ·[cos(A-B)-cos(A+B)]=12⇒4sin Asin Bsin C=12⇒sin Asin Bsin C=18.则S=12absin C=2R 2·sin Asin Bsin C=14R 2∈[1,2],∴R ∈[2,2√2],∴abc=8R 3sin Asin Bsin C=R 3∈[8,16 √2],知C 、D 均不正确.bc(b+c)>bc ·a=R 3≥8,∴A 正确.事实上,留意到a 、b 、c 的无序性,并且16√2>8,若B 成立,则A 必定成立,排解B.故选A.17.(2021浙江,16,14分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.已知A=π4,b 2-a 2=12c 2. (1)求tan C 的值;(2)若△ABC 的面积为3,求b 的值.解析 (1)由b 2-a 2=12c 2及正弦定理得sin 2B-12=12sin 2C,所以-cos 2B=sin 2C.又由A=π4,即B+C=34π,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C, 解得tan C=2.(2)由tan C=2,C ∈(0,π)得sin C=2√5,cos C=√5. 又由于sin B=sin(A+C)=sin (π4+C),所以sin B=3√1010. 由正弦定理得c=2√23b, 又由于A=π4,12bcsin A=3,所以bc=6√2,故b=3.评析 本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础学问,同时考查运算求解力量.18.(2021陕西,17,12分)△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.向量m =(a,√3b)与n =(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=√7,b=2,求△ABC 的面积.解析 (1)由于m ∥n ,所以asin B-√3bcos A=0, 由正弦定理,得sin Asin B-√3sin Bcos A=0, 又sin B ≠0,从而tan A=√3, 由于0<A<π,所以A=π3.(2)解法一:由a 2=b 2+c 2-2bccos A 及a=√7,b=2,A=π3, 得7=4+c 2-2c,即c 2-2c-3=0,由于c>0,所以c=3. 故△ABC 的面积为12bcsin A=3√32. 解法二:由正弦定理,得√7sin π3=2sinB , 从而sin B=√217,又由a>b,知A>B,所以cos B=2√77. 故sin C=sin(A+B)=sin (B +π3)=sin Bcos π3+cos Bsin π3=3√2114. 所以△ABC 的面积为12absin C=3√32. 19.(2021四川,19,12分)如图,A,B,C,D 为平面四边形ABCD 的四个内角. (1)证明:tan A 2=1-cosAsinA;(2)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan A2+tan B2+tan C2+tan D2的值.解析(1)tan A 2=sin A2cos A 2=2sin 2A22sin A 2cosA 2=1-cosA sinA .(2)由A+C=180°,得C=180°-A,D=180°-B. 由(1),有tan A2+tan B 2+tan C 2+tan D 2=1-cosA sinA +1-cosB sinB +1-cos(180°-A)sin(180°-A)+1-cos(180°-B)sin(180°-B) =2sinA +2sinB . 连结BD.在△ABD 中,有BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·ADcos A,在△BCD 中,有BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CDcos C,所以AB 2+AD 2-2AB ·ADcos A=BC 2+CD 2+2BC ·CDcos A.则cos A=AB 2+AD 2-BC 2-CD 2=62+52-32-42=3. 于是sin A=√1-cos 2A =√1-(37)2=2√107.连结AC.同理可得cos B=AB 2+BC 2-AD 2-CD 22(AB ·BC+AD ·CD)=62+32-52-422×(6×3+5×4)=119,于是sin B=√1-cos 2B =√1-(119)2=6√1019. 所以,tan A2+tan B2+tan C2+tan D2 =2+2=2√10+6√10=4√10. 评析 本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简洁的三角恒等变换等基础学问,考查运算求解力量、推理论证力量,考查函数与方程、化归与转化等数学思想.20.(2022北京,15,13分)如图,在△ABC 中,∠B=π3,AB=8,点D 在BC 边上,且CD=2,cos ∠ADC=17.(1)求sin ∠BAD;(2)求BD,AC 的长.解析 (1)在△ADC 中,由于cos ∠ADC=17, 所以sin ∠ADC=4√37.所以sin ∠BAD=sin(∠ADC-∠B) =sin ∠ADCcos B-cos ∠ADCsin B=4√37×12-17×√32=3√314. (2)在△ABD 中,由正弦定理得BD=AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB=8×3√314437=3.在△ABC 中,由余弦定理得 AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos B =82+52-2×8×5×12=49.所以AC=7.评析 本题考查了三角恒等变换,及利用正、余弦定理解三角形;考查分析推理、运算求解力量. 21.(2022陕西,16,12分)△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c. (1)若a,b,c 成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若a,b,c 成等比数列,求cos B 的最小值. 解析 (1)证明:∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b. 由正弦定理得sin A+sin C=2sin B. ∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C), ∴sin A+sin C=2sin(A+C). (2)∵a,b,c 成等比数列,∴b 2=ac.由余弦定理得cos B=a 2+c 2-b 22ac =a 2+c 2-ac 2ac ≥2ac -ac 2ac =12,当且仅当a=c 时等号成立.∴cos B 的最小值为12.评析 本题考查了等差、等比数列,正、余弦定理,基本不等式等学问;考查运算求解力量. 22.(2022安徽,16,12分)设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B. (1)求a 的值;(2)求sin (A +π4)的值.解析 (1)由于A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B. 由正、余弦定理得a=2b ·a 2+c 2-b 22ac .由于b=3,c=1,所以a 2=12,a=2√3. (2)由余弦定理得cos A=b 2+c 2-a 22bc =9+1-126=-13.由于0<A<π,所以sin A=√1-cos 2A =√1-1=2√2. 故sin (A +π4)=sin Acos π4+cos Asin π4=2√23×√22+(-13)×√22=4-√26. 评析 本题考查正、余弦定理,三角变换等学问,属简洁题.23.(2022浙江,18,14分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a ≠b,c=√3,cos 2A-cos 2B=√3sin Acos A-√3sin Bcos B. (1)求角C 的大小;(2)若sin A=45,求△ABC 的面积. 解析 (1)由题意得1+cos2A 2-1+cos2B 2=√32sin 2A-√32sin 2B, 即√32sin 2A-12cos 2A=√32sin 2B-12cos 2B,sin (2A -π6)=sin (2B -π6).由a ≠b,得A ≠B,又A+B ∈(0,π),得 2A-π+2B-π=π, 即A+B=2π3, 所以C=π3.(2)由c=√3,sin A=45,asinA =csinC ,得a=85, 由a<c,得A<C.从而cos A=35,故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=4+3√310, 所以,△ABC 的面积为S=12acsin B=8√3+1825. 评析 本题主要考查诱导公式、二倍角公式、正弦定理、三角形面积公式等基础学问,同时考查运算求解力量. 24.(2021四川,17,12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2cos 2A -B2cos B-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-35. (1)求cos A 的值;(2)若a=4√2,b=5,求向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影. 解析 (1)由2cos2A -B2cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=-35,得[cos(A-B)+1]cos B-sin(A-B)sin B-cos B=-35,即cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-35. 则cos(A-B+B)=-35,即cos A=-35. (2)由cos A=-35,0<A<π,得sin A=45, 由正弦定理,有a sinA =bsinB ,所以sin B=bsinA a =√22. 由题意知a>b,则A>B,故B=π4.依据余弦定理,有(4√2)2=52+c 2-2×5c×(-35), 解得c=1或c=-7(舍去).故向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos B=√22. 评析 本题主要考查两角和的余弦公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系等基础学问,考查运算求解力量,考查化归与转化等数学思想.25.(2021安徽,16,12分)在△ABC 中,∠A=3π4,AB=6,AC=3√2,点D 在BC 边上,AD=BD,求AD 的长.解析 设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos ∠BAC=(3√2)2+62-2×3√2×6×cos 3π4=18+36-(-36)=90,所以a=3√10. 又由正弦定理得sin B=bsin ∠BAC a =33√10=√1010, 由题设知0<B<π4,所以cos B=√1-sin 2B =√1-110=3√1010.在△ABD 中,由正弦定理得AD=AB ·sinB sin(π-2B)=6sinB2sinBcosB=3cosB =√10.26.(2021湖南,17,12分)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B 为钝角. (1)证明:B-A=π2;(2)求sin A+sin C 的取值范围.解析 (1)由a=btan A 及正弦定理,得sinA =a =sinA ,所以sin B=cos A,即sin B=sin (π+A). 又B 为钝角,因此π2+A ∈(π2,π),故B=π2+A,即B-A=π2. (2)由(1)知,C=π-(A+B)=π-(2A +π2)=π2-2A>0,所以A ∈(0,π4).于是sin A+sin C=sin A+sin (π2-2A) =sin A+cos 2A=-2sin 2A+sin A+1=-2(sinA -14)2+98.由于0<A<π4,所以0<sin A<√22,因此√22<-2(sinA -14)2+98≤98.由此可知sin A+sin C 的取值范围是(√22,98].评析 本题以解三角形为背景,考查三角恒等变形及三角函数的图象与性质,对考生思维的严谨性有较高要求.27.(2021江西,16,12分)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cos C+(cos A-√3sin A)cos B=0. (1)求角B 的大小;(2)若a+c=1,求b 的取值范围. 解析 (1)由已知得-cos(A+B)+cos Acos B-√3sin Acos B=0, 即有sin Asin B-√3sin Acos B=0, 由于sin A ≠0,所以sin B-√3cos B=0, 又cos B ≠0,所以tan B=√3, 又0<B<π,所以B=π3.(2)由余弦定理,有b 2=a 2+c 2-2accos B. 由于a+c=1,cos B=12,所以b 2=3(a -12)2+14.又0<a<1,于是有1≤b 2<1,即有1≤b<1.28.(2021课标全国Ⅰ,17,12分)如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=√3,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°. (1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan ∠PBA.解析 (1)由已知得,∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.在△PBA 中,由余弦定理得PA 2=3+14-2×√3×12cos 30°=74.故PA=√72.(2)设∠PBA=α,由已知得PB=sin α. 在△PBA 中,由正弦定理得√3sin150°=sinαsin(30°-α), 化简得√3cos α=4sin α. 所以tan α=√34,即tan ∠PBA=√34.评析 本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形,考查了运算求解力量和分析、解决问题的力量.题目新颖且有肯定的难度,通过PB 把△PBC 和△PAB 联系起来利用正弦定理是解题关键.29.(2022江西,17,12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知A=π4,bsin (π4+C)-csin (π4+B)=a. (1)求证:B-C=π2;(2)若a=√2,求△ABC 的面积.解析 (1)证明:由bsin (π4+C)-csin (π4+B)=a,应用正弦定理,得sin Bsin (π4+C)-sin Csin (π4+B)=sin A, sinB (√22sinC +√22cosC)-sin C√22sin B+√22cos B =√22,整理得sin Bcos C-cos Bsin C=1,即sin(B-C)=1, 由于0<B,C<34π,从而B-C=π2. (2)B+C=π-A=3π4,因此B=5π8,C=π8.由a=√2,A=π4,得b=asinBsinA =2sin 5π8,c=asinCsinA =2sin π8,所以△ABC 的面积S=12bcsin A=√2sin 5π8·sin π8=√2cos π8·sin π8=12. 评析 本题主要考查解三角形的基本学问,运用正弦定理、三角恒等变换及三角形的面积公式进行求解,考查了推理运算力量及应用意识.。
高考数学一轮复习全套课时作业3-3-4利用导数证明不等式
专题层级快练3.3.4利用导数证明不等式1．(2020·沧州七校联考)设a 为实数，函数f(x)＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，e x >x 2－2ax ＋1.2．(2021·赣州模拟)已知函数f(x)＝1－lnx x ，g(x)＝ae e x ＋1x－bx ，若曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A 处的切线互相垂直．(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x ≥1时，f(x)＋g(x)≥2x.3．(2017·课标全国Ⅲ)已知函数f(x)＝lnx ＋ax 2＋(2a ＋1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a<0时，证明：f(x)≤－34a－2.4．(2021·河南开封市高三模拟)已知函数f(x)＝lnx ＋a x(a ∈R )e ，其中e 为自然对数的底数．(1)求实数a 的值，并求f(x)的单调区间；(2)证明：xf(x)>x ex .5．已知函数f(x)＝xlnx －m 2x 2－x ＋e 2(0<x ≤e 2)．(1)当m ＝1e时，求函数f(x)的单调区间；(2)证明：当0<m<1e2时，f(x)>0.6．(2021·八省联考)已知函数f(x)＝e x －sinx －cosx ，g(x)＝e x ＋sinx ＋cosx.(1)证明：当x>－5π4时，f(x)≥0.(2)若g(x)≥2＋ax ，求a 的值．3.3.4利用导数证明不等式参考答案1．答案(1)单调递减区间为(－∞，ln2)，单调递增区间为(ln2，＋∞)；极小值为2(1－ln2＋a)，无极大值(2)略解析(1)由f(x)＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ，得f ′(x)＝e x －2，x ∈R .令f ′(x)＝0，得x ＝ln2.于是当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f ′(x)－0＋f(x)极小值故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)．f(x)在x ＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝e ln2－2ln2＋2a ＝2(1－ln2＋a)，无极大值．(2)证明：设g(x)＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R .于是g ′(x)＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a>ln2－1时，g ′(x)最小值为g ′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是对任意x ∈R ，都有g ′(x)>0，所以g(x)在R 内单调递增．于是当a>ln2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．又g(0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g(x)>0.即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.2．答案(1)a ＝－1，b ＝－1(2)略解析(1)因为f(x)＝1－lnx x ，x>0，所以f ′(x)＝lnx －1x2，f ′(1)＝－1.因为g(x)＝ae e x ＋1x－bx ，所以g ′(x)＝－ae e x －1x2－b.因为曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A 处的切线互相垂直，所以g(1)＝1，且f ′(1)·g ′(1)＝－1，所以g(1)＝a ＋1－b ＝1，g ′(1)＝－a －1－b ＝1，解得a ＝－1，b ＝－1.(2)证明：由(1)知，g(x)＝－e e x ＋1x＋x ，则f(x)＋g(x)≥2x ⇔1－lnx x －e e x －1x＋x ≥0.令h(x)＝1－lnx x －e e x －1x＋x(x ≥1)，则h(1)＝0，h ′(x)＝－1＋lnx x 2＋e e x ＋1x 2＋1＝lnx x 2＋e e x ＋1.因为x ≥1，所以h ′(x)＝lnx x 2＋e ex ＋1>0.所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ≥1时，h(x)≥h(1)＝0，即1－lnx x －e e x －1x＋x ≥0，所以当x ≥1时，f(x)＋g(x)≥2x.3．答案(1)当a ≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，f(x)在(0，－12a )上单调递增，在(－12a，＋∞)上单调递减(2)略解析(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝（x ＋1）（2ax ＋1）x.若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a<0，则当x f ′(x)>0；当x －12a，＋f ′(x)<0.故f(x)－12a，＋(2)证明：由(1)知，当a<0时，f(x)在x ＝－12a 处取得最大值，最大值为1－14a.所以f(x)≤－34a －2等价于1－14a ≤－34a －2，即＋12a＋1≤0.设g(x)＝lnx －x ＋1，则g ′(x)＝1x－1.当x ∈(0，1)时，g ′(x)>0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x)<0.所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x ＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.所以当x>0时，g(x)≤0.从而当a<0时，＋12a ＋1≤0，即f(x)≤－34a－2.4．答案(1)a ＝2e，函数的单调递减区间为(2)证明见解析思路(1)先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求a ，结合导数与单调性关系即可求解；(2)要证明原不等式成立，可转化为证明求解相应函数的范围，进行合理的变形后构造函数，结合导数可证．解析(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f ′(x)＝1x －a x 2，由题意可得，f e －ae 2＝－e ，故a ＝2e ，f ′(x)＝1x －2ex 2＝ex －2ex 2.当x f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，故函数f(x)(2)证明：设h(x)＝xf(x)＝xlnx ＋2e，则h ′(x)＝lnx ＋1(x>0)．当x h ′(x)<0，函数h(x)单调递减，当x h ′(x)>0，函数h(x)单调递增，故h(x)min ＝＝1e.设t(x)＝x e x ，则t ′(x)＝1－x ex ，当x ∈(0，1)时，t ′(x)>0，函数t(x)单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，t ′(x)<0，函数t(x)单调递减，故t(x)max ＝t(1)＝1e.又h(x)和t(x)不同时为1e，综上可得，x>0时，恒有h(x)>t(x)，即xf(x)>x ex .5．答案(1)略(2)略解析(1)f(x)＝xlnx －12e x 2－x ＋e 2.f ′(x)＝1＋lnx －x e －1＝lnx －x e.f ″(x)＝1x －1e，y ＝f ′(x)在(0，e)上单调递增，在(e ，e 2]上单调递减．f ′(e)＝0，∴f ′(x)≤0.∴y ＝f(x)在(0，e 2]上单调递减．(2)证明：f(x)＝xlnx －m 22－x ＋e 2.f ′(x)＝1＋lnx －mx －1＝lnx －mx.f ″(x)＝1x －m ，1m>e 2.y ＝f ′(x)在(0，e 2]上单调递增，当x →0时f ′(x)→－∞.f ′(e 2)＝2－me 2.∵m me 2∈(0，1)，me∴f ′(e 2)>0，f ′(1)＝－m<0，f ′(e)＝1－me>0.∴∃x 0∈(1，e)，使得f ′(x 0)＝0.即lnx 0＝mx 0.∴y ＝f(x)在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，e 2]上单调递增．∴f(x)min ＝f(x 0)＝x 0lnx 0－m 2x 02－x 0＋e 2.f(x)min ＝x 0·lnx 0－lnx 02·x 0－x 0＋e 2＝12x 0lnx 0－x 0＋e 2，x 0∈(1，e)．令g(x)＝12xlnx －x ＋e 2，x ∈(1，e)，g ′(x)＝12(1＋lnx)－1＝12(lnx －1)<0.g(x)在(1，e)上单调递减，∴g(x)>g(e)＝0.∴f(x)min >0，∴f(x)>0.即证．6．答案(1)证明见解析(2)2解析(1)证明：因为f(x)＝e x －sinx －cosx ＝e x －2sinf ′(x)＝e x －cosx ＋sinx ＝e x ＋2sinf ″(x)＝g(x)＝e x ＋sinx ＋cosx ＝e x ＋2sin考虑到f(0)＝0，f ′(0)＝0，所以当x －5π4，－时，2sin ，此时f(x)>0；当x ∈－π4，0，f ″(x)>0，所以f ′(x)单调递增，所以f ′(x)≤f ′(0)＝0，所以f(x)单调递减，f(x)≥f(0)＝0；当x f ″(x)>0，所以f ′(x)单调递增，f ′(x)>f ′(0)＝0，所以f(x)单调递增，f(x)≥f(0)＝0；当x ∈3π4，＋f(x)＝e x －2sin e 1－2>0.综上，当x>－5π4时，f(x)≥0.(2)设r(x)＝e x ＋sinx ＋cosx －2－ax ，则r(0)＝0，其导函数r ′(x)＝e x ＋cosx －sinx －a ，于是r ′(0)＝2－a ，又r ″(x)＝e x －sinx －cosx ＝f(x)，于是根据第(1)小题的结果，r ′(x)－5π4，＋情形一：若a<2，则r ′(0)>0.若r 0－5π4，r′(x)>0，于是r(x)在此区间上单调递增，因此在该区间上有r(x)<r(0)＝0，不符合题意．若r －5π4，r ′(x)存在唯一零点x 0，使得r(x)在(x 0，0)上单调递增，因此在该区间上有r(x)<r(0)＝0，不符合题意．情形二：若a>2，则r ′(0)<0.考虑到r ′(ln(|a|＋2))≥|a|＋2＋(－1)－1－a ≥0，于是函数r ′(x)在(0，ln(|a|＋2)]上有唯一零点x 1，使得r(x)在(0，x 1)上单调递减，因此在该区间上有r(x)<r(0)＝0，不符合题意．情形三：若a ＝2，则函数r(x)－5π4，(0，＋∞)上单调递增，而r(0)＝0，因此r(x)在－5π4，＋r(x)≥0.当x ≤－5π4时，有r(x)>0＋(－1)＋(－1)－2－2＝5π2－4>0，命题也成立．综上所述，a ＝2.。
高考数学一轮复习 第九单元 不等式 高考研究课(三)基本不等式课件 文
2 a
＋
3 b
＝
2a＋3b
(2a＋3b)＝4＋9＋ 6ab ＋ 6ba ≥13＋2
6b 6a a ·b
＝25，当且仅当
6b a
＝6ba，即a＝b＝15时取等号，所以2a＋3b的最小值为25. 答案：B 12/11/2021
5．已知正数x，y满足x＋y＝1，则
4 x＋2
＋
1 y＋1
的最小值为
________． 解析：正数 x，y 满足 x＋y＝1，即有(x＋2)＋(y＋1)＝4，
12/11/2021
[方法技巧] (1)利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提“一 正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用 基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满 足等号成立的条件． (2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特 征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本 (均值)不等式．
2．已知x，y为正实数，则x＋4x3y＋3xy的最小值为
()
5
பைடு நூலகம்
10
A.3
B. 3
3 C.2
D．3
解析：由题意得 x>0，y>0，x＋4x3y＋3xy＝x＋4x3y＋x＋x3y－1≥
2
x＋4x3y·x＋x3y－1＝4－1＝3(当且仅当 x＝3y 时等号成立)．
答案：D
12/11/2021
3．若b>a>1，且3logab＋6logba＝11，则a3＋
12/11/2021
谢 谢观 看
THANK YOU FOR WATCHING
12/11/2021
12/11/2021
2．运货卡车以每小时xkm的速度匀速行驶130 km，按交通法规 限制50≤x≤100(单位：km/h)．假设汽油的价格是每升2元， 而汽车每小时耗油2＋3x620升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y关于x的表达式； (2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用 的值．
【高考调研】高考数学一轮复习课时作业(五十一) 新人教版
课时作业(五十一)1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1、F 2，b ＝4，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20答案 D解析 如图，由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ，又e ＝c a ＝35，即c ＝35a ， ∴a 2－c 2＝1625a 2＝b 2＝16，∴a ＝5，△ABF 2的周长为20.2．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值是( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4答案 A解析 长轴长为2a ＝2m，短轴长为2，∴2m＝4.∴m ＝14.3．(·衡水调研)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任一点到两焦点的距离分别为d 1，d 2，焦距为2c .若d 1,2c ，d 2成等差数列，则椭圆的离心率为( )A.12 B.22C.32D.34答案 A解析 由d 1＋d 2＝2a ＝4c ，∴e ＝c a ＝12.4．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为( )A.233 B.263C.33D. 3答案 B解析 由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M (x ，y )，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝0，整理得x 2＋y 2＝3.①又因为点M 在椭圆上，故x 24＋y 2＝1，即y 2＝1－x 24. ②将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±263.故点M 到y 轴的距离为263.5．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(3，163)C ．(0,3)∪(163，＋∞)D ．(0,2)答案 C解析 当k >4时，c ＝k －4，由条件知14<k －4k <1，解得k >163；当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件知14<4－k4<1，解得0<k <3，综上知选C.6．(·温州五校)已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)上的一点，若PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( ) A.12 B.23 C.13 D.53答案 D解析 由PF 1→·PF 2→＝0，得△PF 2F 2为直角三角形，由tan ∠PF 1F 2＝12，设|PF 2|＝s ，则|PF 1|＝2s ，又|PF 2|2＋|PF 1|2＝4c 2(c ＝a 2－b 2)，即4c 2＝5s 2，c ＝52s ，而|PF 2|＋|PF 1|＝2a ＝3s ，∴a ＝3s 2.∴离心率e ＝c a ＝53，故选D.7．已知椭圆x24＋y23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，点P 为该椭圆上一动点，则当PF 2→·PA 1→的最小值时|PA 1→＋PF 2→|取值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5答案 B解析 由已知得a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以F 2(1,0)，A 1(－2,0)，设P (x ，y )，则PF 2→·PA 1→＝(1－x ，－y )·(－2－x ，－y ) ＝(1－x )(－2－x )＋y 2.又点P (x ，y )在椭圆上，所以y 2＝3－34x 2，代入上式，得PF 2→·PA 1→＝14x 2＋x ＋1＝14(x ＋2)2，又x ∈[－2,2]，∴x ＝－2时，PF 2→·PA 1→取得最小值．所以P (－2,0)，求得|PF 2→＋PA 1→|＝3.8．已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为______________．答案 8解析 直线y ＝k (x ＋3)过定点N (－3，0)，而M 、N 恰为椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4×2＝8.9．已知中心在原点，长轴在x 轴上，一焦点与短轴两端点连线互相垂直，焦点与长轴上较近顶点的距离为4(2－1)，则此椭圆方程是________．答案x 232＋y 216＝1 解析 由题意，得⎩⎨⎧a －c ＝42－1，b ＝c ，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝42，b ＝4，所以椭圆方程为x 232＋y 216＝1.10．已知点A (4,0)和B (2,2)，M 是椭圆x 225＋y 29＝1上一动点，求|MA |＋|MB |的最大值为________．答案 10＋210 解析显然A 是椭圆的右焦点，如图所示，设椭圆的左焦点为A 1(－4,0)，连BA 1并延长交椭圆于M 1，则M 1是使|MA |＋|MB |取得最大值的点．事实上，对于椭圆上的任意点M 有：|MA |＋|MB |＝2a －|MA 1|＋|MB |≤2a ＋|A 1B |(当M 1与M 重合时取等号)，∴|MA |＋|MB |的最大值为 2a ＋|A 1B |＝2×5＋62＋22＝10＋210.11．(·烟台调研)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．答案 2－ 3解析 如图，不妨设|F 1F 2|＝1，∵直线MF 2的倾斜角为120°，∴∠MF 2F 1＝60°.∴|MF 2|＝2，|MF 1|＝3，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2＋3，2c ＝|F 1F 2|＝1.∴e ＝c a＝2－ 3.12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，直线l 为圆O ：x 2＋y 2＝b 2的一条切线，记椭圆C 的离心率为e .若直线l 的倾斜角为π3，且恰好经过椭圆的右顶点，则e 的大小为______．答案 12解析如图所示，设直线l 与圆O 相切于C 点，椭圆的右顶点为D ，则由题意，知△OCD 为直角三角形，且OC ＝b ，OD ＝a ，∠ODC ＝π3，∴CD ＝OD 2－OC 2＝a 2－b 2＝c (c 为椭圆的半焦距)，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝cosπ3＝12. 13．如下图所示：已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝8，定点A (1,0)，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM上，且满足AM →＝2AP →，NP →·AM →＝0，点N 的轨迹为曲线E ，求曲线E 的方程．答案x 22＋y 2＝1 解析 ∵AM →＝2AP →，NP →·AM →＝0， ∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA |＝|NM |，又|CN |＋|NM |＝22，∴|CN |＋|NA |＝22>2.∴动点N 的轨迹为以点C (－1,0)，A (1,0)为焦点的椭圆，且2a ＝22，2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1. ∴曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1.14．(·沧州七校联考)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶ 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．答案 (1)x 216＋y 212＝1 (2)1≤m ≤4解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2a b ＝23a 2＝b 2＋4，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16b 2＝12，∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x 0，y 0)，且x 2016＋y 2012＝1，∴|MP →|2＝(x 0－m )2＋y 20 ＝x 20－2mx 0＋m 2＋12(1－x 216)＝14x 20－2mx 0＋m 2＋12 ＝14(x 0－4m )2－3m 2＋12 ∴|MP →|2为关于x 0的二次函数，开口向上，对称轴为4m ，由题意知，当x 0＝4时，|MP →|2最小，∴4m ≥4，∴m ≥1.又点M (m,0)在椭圆长轴上，∴1≤m ≤4.1．椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点．则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8 D.32答案 B解析 |ON |＝12|MF 2|＝12(2a －|MF 1|)＝12(10－2)＝4，故选B.2．方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的椭圆的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个端点，若3DF 1→＝DA →＋2DF 2→，则该椭圆的离心率为( )A.12B.13C.14D.15答案 D解析 设点D (0，b )，则DF 1→＝(－c ，－b )，DA →＝(－a ，－b )，DF 2→＝(c ，－b )，由3DF 1→＝DA →＋2DF 2→得－3c＝－a ＋2c ，即a ＝5c ，故e ＝15.3．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．答案x 236＋y 29＝1 解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，根据椭圆定义，有2a ＝12，即a ＝6.又c a ＝32，得c ＝33，故b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为x 236＋y 29＝1.4．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△PF 2F 1为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．答案2－1解析 数形结合：令|F 1F 2|＝1，则|PF 2|＝1，|PF 1|＝ 2. ∴e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝12＋1＝2－1.5．(·上海春季高考)若点O 和点F 分别为椭圆x 22＋y 2＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则|OP |2＋|PF |2的最小值为________．答案 2解析 由题意可知，O (0,0)，F (－1,0)，设P (2cos α，sin α)，则|OP |2＋|PF |2＝2cos 2α＋sin 2α＋(2cos α＋1)2＋sin 2α＝2cos 2α＋22cos α＋3＝2(cos α＋22)2＋2，所以当cos α＝－22时，|OP |2＋|PF |2取得最小值2.6．从一块短轴长为2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b 2,4b 2]，则这一椭圆离心率e 的取值范围是________．答案 [53，32]思路 先求椭圆内接矩形的最大面积，然后根据这个范围建立关于a ，b ，c 的不等式．解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，设矩形在第一象限的顶点坐标为(x ，y )，根据对称性，知该矩形的面积为S ＝4xy ＝4ab (x a )(yb )≤2ab [(x a)2＋(y b)2]＝2ab ，即划出的矩形的最大面积是2ab .根据已知，得3b 2≤2ab ≤4b 2，即3b 2≤a ≤2b ，即12≤b a ≤23，故e ＝ca＝a 2－b 2a 2＝1－b a2∈[53，32]．1．椭圆M ：x2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且PF 1→·PF 2→的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1答案 B解析 P (x 0，y 0)．∴PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)， PF 2→＝(c －x 0，－y 0)，∴PF 1→·PF 2→＝x 2－c 2＋y 20＝x 20－c 2＋b 2(1－x 20a 2)＝(1－b 2a 2)x 20＋b 2－c 2＝c 2a2x 20＋b 2－c 2，∵x 0∈[－a ，a ]，∴PF 1→·PF 2→的最大值为c 2a2·a 2＋b 2－c 2＝b 2，∴c 2≤b 2≤3c 2，∵e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c2，∴c 23c 2＋c2≤c 2b 2＋c2≤c 2c 2＋c 2即12≤e ≤22. 2．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2答案 D解析 三角形的面积S ＝12·2c ·b ＝bc ＝1，∴a 2＝b 2＋c 2≥2bc ＝2.∴a ≥ 2.∴2a ≥2 2.选D.3．设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点．若P 是该椭圆上的一个动点，求PF 1→·PF 2→的最大值和最小值．解析 易知a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设P (x ，y )， 则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2＋y 2－3＝x 2＋1－x 24－3＝14(3x 2－8)．因为x ∈[－2,2]，故当x ＝0，即点P 为椭圆短轴端点时，PF 1→·PF 2→有最小值－2； 当x ＝±2，即点P 为椭圆长轴端点时，PF 1→·PF 2→有最大值1.4．如下图，椭圆x 24＋y 23＝1内有一点P (1，－1)，F 为椭圆的右焦点，在椭圆上有一动点M ，求|MP |＋|MF |的最值．解析 设椭圆的另一个焦点为F ′，由椭圆定义及基本几何不等式得：|MP |＋|MF |＝|MP |＋4－|MF ′|＝4＋|MP |－|MF ′|≤4＋|PF ′|＝4＋1＋12＋12＝4＋5，∴当M ，P ，F ′共线且F ′在线段MP 上时取等号． 即(|MP |＋|MF |)max ＝4＋5， 又∵|MP |＋|MF |＝|MP |＋4－|MF ′| ＝4－(|MF ′|－|MP |)≥4－|PF ′|.∴当F ′，P ，M 三点且点P 在线段MF ′上时取等号． 即(|MP |＋|MF |)min ＝4－ 5. 5.如图所示，已知△OFQ 的面积为S ，且OF →·FQ →＝1.(1)若12<S <2，求向量OF →与FQ →的夹角θ的正切值的取值范围．(2)设|OF →|＝c (c ≥2)，S ＝34c ，若以O 为中心、F 为焦点的椭圆经过Q ，当|OQ →|取得最小值时，求此椭圆的方程．解析 (1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧12|OF →||FQ →|sin π－θ＝S ，|OF →||FQ →|cos θ＝1.∴tan θ＝2S .∵12<S <2，∴1<tan θ<4.(2)以O 为原点，OF →所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，Q (x ，y )．12c ·y ＝34c ，∴y ＝32. 又∵OF →·FQ →＝c (x －c )＝1，∴x ＝c ＋1c.则|OQ →|＝x 2＋y 2＝c ＋1c2＋94(c ≥2)． 可以证明：当c ≥2时，函数t ＝c ＋1c为增函数，∴当c ＝2时，|OQ →|min ＝2＋122＋94＝342， 此时Q (52，32)．将Q 的坐标代入椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧254a 2＋94b 2＝1，a 2－b 2＝ 4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝10，b 2＝6.∴椭圆方程为x210＋y26＝1.6.如图，从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，且它的长轴端点A与短轴端点B 的连线AB ∥OM .(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上任一点，F 2的右焦点，F 1是左焦点，求∠F 1QF 2的取值范围；(3)设Q 是椭圆上任一点，当QF 2⊥AB 时，延长QF 2与椭圆交于另一点P ，若△F 1PQ 的面积为203，求此时椭圆的方程．解析 (1)∵MF 1⊥x 轴，∴x M ＝－c .代入椭圆方程，得y M ＝b 2a ，∴k OM ＝－b 2ac.又∵k AB ＝－ba且OM ∥AB ，∴－b 2ac ＝－b a .故b ＝c ，从而e ＝22.(2)设|QF 1|＝r 1，|QF 2|＝r 2，∠F 1QF 2＝θ. ∵r 1＋r 2＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，∴cos θ＝r 21＋r 22－4c22r 1r 2＝r 1＋r 22－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝4b 22r 1r 2－1＝a 2r 1r 2－1≥a 2r 1＋r 222－1＝0.(当且仅当r 1＝r 2时，等号成立)∵0≤cos θ≤1，故θ∈[0，π2]．(3)∵b ＝c ，a ＝2c ，∴设椭圆方程为x 22c 2＋y 2c2＝1.∵PQ ⊥AB ，k AB ＝－22，k PQ ＝2， ∴直线PQ 的方程为y ＝2(x －c )． 联立可得5x 2－8cx ＋2c 2＝0， ∴|PQ |＝[8c 52－4×2c 25]1＋2＝62c5. 又点F 1到PQ 的距离d ＝263c ，∴S △F 1PQ ＝12d |PQ |＝12×263c ×625c ＝435c 2.由435c 2＝203，得c 2＝25，故2c 2＝50. ∴所求椭圆方程为x 250＋y 225＝1.。
2022北师大版高考数学一轮复习—基本不等式和不等式的性质习题含答案
基本不等式[A 组 基础保分练]1．（2021·荆门一中期中测试）函数f （x ）＝x 2＋4|x |的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8解析：f （x ）＝x 2＋4|x |＝|x |＋4|x |≥4，当且仅当x ＝±2时取等号，所以f （x ）＝x 2＋4|x |的最小值为4．答案：B 2．（2021·钦州期末测试）已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2＝15－ab ，则ab 的最大值是（ ） A ．15 B ．12 C ．5 D ．3 解析：因为a 2＋b 2＝15－ab ≥2ab ，所以3ab ≤15，即ab ≤5，当且仅当a ＝b ＝±5时等号成立．所以ab 的最大值为5． 答案：C3．（2021·烟台期中测试）已知x ，y ∈R 且x －2y －4＝0，则2x ＋14y 的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．256解析：∵x －2y －4＝0，∴x －2y ＝4，∴2x ＋14y ≥22x －2y ＝8，当且仅当x ＝2，y ＝－1时等号成立，∴2x ＋14y 的最小值为8．答案：B 4．（2021·湖南衡阳期末）已知P 是面积为1的△ABC 内的一点（不含边界），若△P AB ，△P AC和△PBC 的面积分别为x ，y ，z ，则y ＋z x ＋1y ＋z的最小值是（ ）A ．23＋13B ．3＋23C ．13D ．3解析：因为x ＋y ＋z ＝1，0<x <1，0<y <1，0<z <1，所以y ＋z x ＋1y ＋z ＝1－x x ＋11－x ＝1－x x ＋1－x ＋x 1－x ＝1－x x ＋x 1－x ＋1≥2 1－x x ·x 1－x ＋1＝3，当且仅当x 1－x ＝1－x x ，即x ＝12时等号成立，所以y ＋z x ＋1y ＋z 的最小值为3． 答案：D5．（2021·北京通州区期中测试）设f （x ）＝ln x ，0<a <b ，若p ＝f （ab ），q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12（f（a ）＋f （b ）），则下列关系式中正确的是（ ） A ．q ＝r <p B ．q ＝r >p C ．p ＝r ＜q D ．p ＝r >q解析：∵0<a <b ，∴ab <a ＋b 2，∵f （x ）＝ln x 在（0，＋∞）上是增函数，∴f （ab ）<f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，又f （a ）＋f （b ）2＝ln ab <ln ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2， ∴f （a ）＋f （b ）2<f⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，∴p ＝r <q ．答案：C6．（2021·鹰潭模拟）已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为（ ）A ．4B ．2 2C ．8D ．16解析：因为a ＞0，b ＞0，所以根据a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，可得ab ＝1，所以1a ＋2b ≥21a ·2b＝22，当且仅当b ＝2a ＝2时等号成立． 答案：B7．已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．解析：由a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，得32b ＋12a＝1，所以a ＋b ＝（a ＋b ）⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋3a 2b ＋b2a≥2＋3，当且仅当b ＝3a 时等号成立，则a ＋b 的最小值为2＋3． 答案：2＋38．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y （单位：万元）与机器运转时间x （单位：年）的关系为y ＝－x 2＋18x －25（x ∈N ＋），则该公司年平均利润的最大值是 万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x >0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元． 答案：89．设a ，b 为正实数，且1a ＋1b＝22．（1）求a 2＋b 2的最小值；（2）若（a －b ）2≥4（ab ）3，求ab 的值．解析：（1）由22＝1a ＋1b ≥21ab 得ab ≥12，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，故a 2＋b 2≥2ab ≥1，当且仅当a ＝b ＝22时取等号，所以a 2＋b 2的最小值是1．（2）由（a －b ）2≥4（ab ）3得⎝⎛⎭⎫1a －1b 2≥4ab ，即⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2－4ab ≥4ab ，从而ab ＋1ab≤2，又ab＋1ab ≥2，所以ab ＋1ab＝2，所以ab ＝1． 10．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋45 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？解析：（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为12x ＋45 000x －200≥212x ·45 000x－200＝100，当且仅当12x ＝45 000x，即x ＝300时等号成立，故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．（2）获利．设该单位每月获利为s 元，则s ＝200x －y ＝－12x 2＋400x －45 000＝－12（x －400）2＋35 000．因为x ∈[300，600]，所以s ∈[15 000，35 000]．故该单位每月获利，最大利润为35 000元．[B 组 能力提升练]1．（2021·吕梁月考）一元二次不等式ax 2＋2x ＋b >0（a >b ）的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－1a ，则a 2＋b 2a －b的最小值是（ ）A ．1B ．2C ． 2D ．22解析：∵一元二次不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－1a ，∴a >0且Δ＝4－4ab ＝0，即ab ＝1，且a >b >0，∴a 2＋b 2a －b ＝（a －b ）2＋2aba －b＝a －b ＋2a －b≥22，当且仅当a ＝6＋22，b ＝6－22时等号成立，∴a 2＋b 2a －b的最小值为22．答案：D2．设函数f （x ）＝x a －x 2－12对任意x ∈[－1，1]，都有f （x ）≤0成立，则a ＝（ ）A ．4B ．3C ． 2D ．1解析：由a －x 2≥0对任意x ∈[－1，1]恒成立得a ≥1；又由f （x ）＝x a －x 2－12≤x 2＋a －x 22－12≤0得a ≤1，所以a ＝1． 答案：D3．（2021·吉安期中测试）设正数x ，y 满足x ＋y ＝1，若不等式1x ＋ay≥4对任意的x ，y 成立，则正实数a 的取值范围是（ ） A ．[4，＋∞） B ．（1，＋∞） C ．[1，＋∞） D ．（4，＋∞）解析：∵x ＋y ＝1，且x >0，y >0，a >0，∴1x ＋a y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋a y （x ＋y ）＝a ＋1＋y x ＋axy≥a ＋1＋2a ， ∴a ＋2a ＋1≥4，即a ＋2a －3≥0，解得a ≥1． 答案：C4．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是边BC 上的动点，且|AB →|＝3，|AC →|＝4，AD →＝λAB →＋μAC→（λ>0，μ>0），则当λμ取得最大值时，|AD →|的值为（ ）A ．72B ．3C ．52D ．125解析：∵点D 是边BC 上的动点且AD →＝λAB →＋μAC →（λ>0，μ>0），∴λ＋μ＝1，∴λμ≤（λ＋μ）24＝14，当且仅当λ＝μ＝12时等号成立，λμ取得最大值，此时点D是边BC 的中点，∴|AD →|＝12|BC →|，∵|AB →|＝3，|AC →|＝4，∠BAC ＝90°，∴|AD →|＝12|BC →|＝52．答案：C 5．（2021·上海普陀区月考）设正数a ，b 满足2a ＋3b ＝ab ，则a ＋b 的最小值是________．解析：∵2a ＋3b ＝ab ，a >0，b >0，∴3a ＋2b＝1，∴a ＋b ＝（a ＋b ）⎝⎛⎭⎫3a ＋2b ＝2a b ＋3b a ＋5≥26＋5，当且仅当2a 2＝3b 2时等号成立，∴a ＋b 的最小值为26＋5． 答案：26＋56．（2021·鹤岗一中月考）已知x <0，且x －y ＝1，则x ＋12y ＋1的最大值是________．解析：∵x <0，且x －y ＝1，∴x ＝y ＋1，y <－1，∴x ＋12y ＋1＝y ＋1＋12y ＋1＝y ＋12＋12y ＋12＋12，∵y ＋12<0，∴y ＋12＋12y ＋12＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎫y ＋12＋12－⎝⎛⎭⎫y ＋12≤－2，当且仅当y ＝－1＋22时等号成立，∴x ＋12y ＋1≤12－2，∴x ＋12y ＋1的最大值为12－2．答案：12－27．（2021·唐山模拟）已知a >0，b >0，c >0，d >0，a 2＋b 2＝ab ＋1，cd >1． （1）求证：a ＋b ≤2；（2）判断等式ac ＋bd ＝c ＋d 能否成立，并说明理由．解析：（1）证明：由题意得（a ＋b ）2＝3ab ＋1≤3⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋1，当且仅当a ＝b 时取等号．解得（a ＋b ）2≤4，又a ，b >0， 所以a ＋b ≤2． （2）不能成立．理由：由均值不等式得ac ＋bd ≤a ＋c 2＋b ＋d2，当且仅当a ＝c 且b ＝d 时等号成立．因为a ＋b ≤2，所以ac ＋bd ≤1＋c ＋d2．因为c >0，d >0，cd >1，所以c ＋d ＝c ＋d 2＋c ＋d 2≥c ＋d 2＋cd >c ＋d2＋1≥ac ＋bd ，故ac ＋bd ＝c ＋d 不能成立．[C 组 创新应用练]1．已知f （x ）＝13x 3＋ax 2＋（b －4）x （a >0，b >0）在x ＝1处取得极值，则2a ＋1b的最小值为（ ）A ．3＋223B ．3＋22C ．3D ．22解析：由f （x ）＝13x 3＋ax 2＋（b －4）x （a >0，b >0），得f ′（x ）＝x 2＋2ax ＋b －4．由题意得f ′（1）＝12＋2a ＋b －4＝0，则2a ＋b ＝3，所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ×2a ＋b 3＝13⎝⎛⎭⎫2a ＋1b （2a ＋b ）＝13⎝⎛⎭⎫5＋2b a ＋2a b ≥13⎝⎛⎭⎫5＋22b a ·2a b ＝3，当且仅当2b a ＝2a b ，即a ＝b ＝1时，等号成立．故2a ＋1b 的最小值为3． 答案：C2．若直线l ：ax －by ＋2＝0（a >0，b >0）经过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心，则1a ＋1b的最小值为（ ） A ．2 2 B ．2C ．22＋1D ．2＋32解析：直线ax －by ＋2＝0（a >0，b >0）经过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心，即圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心（－1，2）在直线ax －by ＋2＝0上，可得－a －2b ＋2＝0，即a ＋2b ＝2，所以1a ＋1b ＝12（a ＋2b ）⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝32＋12⎝⎛⎭⎫2b a ＋a b ≥32＋ 2b a ·a b ＝32＋2，当且仅当2b a ＝a b时等号成立，所以1a ＋1b 的最小值为32＋2．答案：D3．已知棱长为6的正四面体ABCD ，在侧棱AB 上任取一点E （与A ，B 不重合），若点E 到平面ACD 与平面BCD 的距离分别为a ，b ，则43a ＋1b的最小值为（ ）A ．72 B ．7＋336C ．7＋436D ．76解析：如图，连接CE ，DE ，设O 为底面三角形BCD 的中心，连接OA ，则正四面体的高OA＝2．因为V A BCD ＝V E BCD ＋V E ACD ，所以a ＋b ＝2，所以43a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫43a ＋1b （a ＋b ）＝12⎝⎛⎭⎫73＋4b 3a ＋a b ≥12⎝⎛⎭⎫73＋24b 3a ·a b ＝7＋436，当且仅当4b 3a ＝a b ，即b ＝32a 时取等号．答案：C不等式的性质、一元二次不等式[A 组 基础保分练]1．已知a ，b ∈R ，若a ＜b ，则一定有（ ） A ．a ＜2b B ．ab ＜b 2C ．a 12＜b 12D ．a 3＜b 3解析：因为－2＜－1，而－2＜2×（－1）不成立，A 项错误；当b ＝0时，B 项错误；当两者均小于0时，根式没有意义，C 项错误；y ＝x 3是增函数，若a ＜b ，则a 3＜b 3，D 项正确． 答案：D2．设m ＝6－5，n ＝7－6，p ＝8－7，则m ，n ，p 的大小关系为（ ） A ．m ＞p ＞n B ．p ＞n ＞m C ．n ＞m ＞p D ．m ＞n ＞p解析：m －n ＝6－5－7＋6＝26－（5＋7），因为（26）2＝24，（5＋7）2＝12＋235＜12＋2×6＝24，所以m －n ＞0，同理n ＞p ，所以m ，n ，p 的大小关系是m ＞n ＞p ． 答案：D 3．（2021·湖北黄冈元月调研）关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是（1，＋∞），则关于x 的不等式（ax ＋b ）（x －2）<0的解集是（ ） A ．（－∞，1）∪（2，＋∞） B ．（－1，2） C ．（1，2） D ．（－∞，－1）∪（2，＋∞）解析：因为关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是（1，＋∞），所以a >0，且－ba＝1，所以关于x的不等式（ax ＋b ）（x －2）<0可化为⎝⎛⎭⎫x ＋ba （x －2）<0，即（x －1）（x －2）<0，所以不等式的解集为{x |1<x <2}． 答案：C 4．（2021·六安一中第四次月考）在区间（1，2）上，不等式x 2＋mx ＋4＞0有解，则m 的取值范围为（ ） A ．m ＞－4 B ．m ＜－4 C ．m ＞－5 D ．m ＜－5解析：记f （x ）＝x 2＋mx ＋4，则由二次函数的图像知，f （1）＞0或f （2）＞0时，不等式x 2＋mx ＋4＞0一定有解，即m ＋5＞0或2m ＋8＞0，解得m ＞－5． 答案：C5．若存在x ∈[－2，3]，使不等式2x －x 2≥a 成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（－∞，1] B ．（－∞，－8] C ．[1，＋∞） D ．[－8，＋∞）解析：设f （x ）＝2x －x 2，则当x ∈[－2，3]时，f （x ）＝－（x －1）2＋1∈[－8，1]，因为存在x ∈[－2，3]，使不等式2x －x 2≥a 成立，所以a ≤f （x ）max ，所以a ≤1． 答案：A 6．若命题“存在x ∈R ，使得x 2＋mx ＋2m －3＜0”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[2，6] B ．[－6，－2] C ．（2，6） D ．（－6，－2） 解析：由题意知不等式x 2＋mx ＋2m －3≥0对一切x ∈R 恒成立，所以Δ＝m 2－4（2m －3）≤0，解得2≤m ≤6． 答案：A7．a ，b ∈R ，a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是________．解析：若ab ＜0，由a ＜b 两边同除以ab 得，1b ＞1a ，即1a ＜1b ；若ab ＞0，则1a ＞1b．所以a ＜b和1a ＜1b同时成立的条件是a ＜0＜b ． 答案：a ＜0＜b8．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1＜0的解集是（－∞，－1）∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝________． 解析：ax －1x ＋1＜0⇔（ax －1）（x ＋1）＜0，根据解集的结构可知，a ＜0且1a ＝－12，∴a ＝－2．答案：－29．已知函数f （x ）＝kx 2＋kx ＋2（k ∈R ）． （1）若k ＝－1，求不等式f （x ）≤0的解集；（2）若不等式f （x ）＞0的解集为R ，求实数k 的取值范围． 解析：（1）若k ＝－1，则f （x ）＝－x 2－x ＋2≤0， x 2＋x －2≥0，即x ≤－2或x ≥1，所以不等式的解集为（－∞，－2]∪[1，＋∞）．（2）当k ＝0时，f （x ）＝2＞0，显然恒成立，解集为R ；当k ≠0时，要使f （x ）＝kx 2＋kx ＋2＞0的解集为R ，则k ＞0且Δ＝k 2－8k ＜0，即0＜k ＜8． 综上所述，k ∈[0，8）．10．设二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ，函数F （x ）＝f （x ）－x 的两个零点为m ，n （m ＜n ）． （1）若m ＝－1，n ＝2，求不等式F （x ）＞0的解集；（2）若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比较f （x ）与m 的大小．解析：（1）由题意知，F （x ）＝f （x ）－x ＝a （x －m ）·（x －n ）， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F （x ）＞0， 即a （x ＋1）（x －2）＞0．当a ＞0时，不等式F （x ）＞0的解集为 {x |x ＜－1或x ＞2}；当a ＜0时，不等式F （x ）＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}． （2）f （x ）－m ＝a （x －m ）（x －n ）＋x －m ＝（x －m ）（ax －an ＋1），因为a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，所以x －m ＜0，1－an ＋ax ＞0．所以f （x ）－m ＜0，即f （x ）＜m ．[B 组 能力提升练]1．（2021·安徽蒙城五校联考）在关于x 的不等式x 2－（a ＋1）x ＋a <0的解集中至多包含2个整数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（－3，5） B ．（－2，4） C ． [－3，5] D ．[－2，4]解析：因为关于x 的不等式x 2－（a ＋1）x ＋a <0可化为（x －1）（x －a ）<0， 当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }； 当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}，要使不等式的解集中至多包含2个整数，则a ≤4且a ≥－2，所以实数a 的取值范围是a ∈[－2，4]． 答案：D 2．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间（1，4）内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜－2 B ．a ＞－2 C ．a ＞－6 D ．a ＜－6解析：令g （x ）＝x 2－4x －2，不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间（1，4）内有解，等价于a ＜g （x ）的最大值，因为g （x ）＝（x －2）2－6，x ∈（1，4），所以g （x ）＜g （4）＝－2，所以a ＜－2． 答案：A 3．已知函数f （x ）＝ax 2＋（a ＋2）x ＋a 2为偶函数，则不等式（x －2）f （x ）<0的解集为（ ） A ．（－2，2）∪（2，＋∞） B ．（－2，＋∞） C ．（2，＋∞） D ．（－2，2）解析：因为函数f （x ）＝ax 2＋（a ＋2）x ＋a 2为偶函数，所以a ＋2＝0，得a ＝－2，所以f （x ）＝－2x 2＋4，所以不等式（x －2）f （x ）<0可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，f （x ）>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，f （x ）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <2，－2x 2＋4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，－2x 2＋4<0，解得－2<x <2或x >2． 故原不等式的解集为（－2，2）∪（2，＋∞）． 答案：A4．设实数x ，y 满足0<xy <4，且0<2x ＋2y ＜4＋xy ，则x 、y 的取值范围是（ ） A ．x >2且y ＞2 B ．x <2且y <2 C ．0<x <2且0<y <2 D ．x >2且0<y <2解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧xy >0，x ＋y >0，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y ＞0，由2x ＋2y －4－xy ＝（x －2）·（2－y ）<0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >2，y >2或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2，又xy <4，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2. 答案：C 5．函数y ＝log 13（4x 2－3x ）的定义域为________．解析：函数y ＝log 13（4x 2－3x ） 的定义域应保证满足0<4x 2－3x ≤1，解得－14≤x ＜0或34<x ≤1．答案：⎣⎡⎭⎫－14，0∪⎝⎛⎦⎤34，1 6．规定符号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b （a ，b 为非负实数），若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是________．解析：因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b （a ，b 为非负实数），1⊙k 2<3，所以k 2＋1＋k 2<3，化为（|k |＋2）（|k |－1）<0，所以|k |<1，所以－1<k <1． 答案：（－1，1）7．已知函数f （x ）＝ax 2＋（b －8）x －a －ab ，当x ∈（－∞，－3）∪（2，＋∞）时，f （x ）<0，当x ∈（－3，2）时，f （x ）>0． （1）求f （x ）在[0，1]内的值域；（2）若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围． 解析：（1）因为当x ∈（－∞，－3）∪（2，＋∞）时，f （x ）<0，当x ∈（－3，2）时，f （x ）>0．所以－3，2是方程ax 2＋（b －8）x －a －ab ＝0的两个根．所以⎩⎨⎧－3＋2＝8－ba，－3×2＝－a －aba，所以a ＝－3，b ＝5．所以f （x ）＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝⎛⎭⎫x ＋122＋754．因为函数图像关于x ＝－12对称且抛物线开口向下，所以f （x ）在[0，1]上为减函数， 所以f （x ）max ＝f （0）＝18，f （x ）min ＝f （1）＝12，故f （x ）在[0，1]内的值域为[12，18]．（2）由（1）知不等式ax 2＋bx ＋c ≤0可化为－3x 2＋5x ＋c ≤0，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ＝25＋12c ≤0，所以c ≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－2512． [C 组 创新应用练]1．若实数a ，b ，c 满足对任意实数x ，y 有3x ＋4y －5≤ax ＋by ＋c ≤3x ＋4y ＋5，则（ ） A ．a ＋b －c 的最小值为2 B ．a －b ＋c 的最小值为－4 C ．a ＋b －c 的最大值为4 D ．a －b ＋c 的最大值为6解析：当x ＝1，y ＝－1时，－6≤a －b ＋c ≤4，所以a －b ＋c 的最小值为－6，最大值为4，故B 、D 两项错误；当x ＝－1，y ＝－1时，－12≤－a －b ＋c ≤－2，则2≤a ＋b －c ≤12，所以a ＋b －c 的最小值为2，最大值为12，故A 项正确，C 项错误． 答案：A2．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足：当x ≥0时，f （x ）＝x 3，若不等式f （－4t ）＞f （2m ＋mt 2）对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（－∞，－2） B ．（－2，0） C ．（－∞，0）∪[2，＋∞） D ．（－∞，－2）∪[2，＋∞）解析：∵f （x ）在R 上为奇函数，且在[0，＋∞）上为增函数，∴f （x ）在R 上是增函数，结合题意得－4t ＞2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立⇒mt 2＋4t ＋2m ＜0对任意实数t 恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝16－8m 2＜0⇒m ∈（－∞，－2）． 答案：A3．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则ca的取值范围为________．解析：由已知及三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋ca≤3，1＋b a >ca ，1＋c a >b a，所以⎩⎨⎧1<b a ＋ca≤3，－1<c a －ba <1，两式相加得，0<2×c a <4，所以ca的取值范围为（0，2）．答案：（0，2）。
2021年高中数学 3.4.1 基本不等式同步练习 理(实验班)新人教A版必修5
修51.设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )A.12B ．a 2＋b 2C ．2abD ．a 2．已知x ＜54，则函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值是( ) A ．2 B ．3 C ．1D.12 3．设a 、b 是正实数，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A 、B 的大小关系是( )A ．A ≥B B ．A ≤BC ．A ＞BD ．A ＜B4．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( )A ．x ＝a ＋b 2B ．x ≤a ＋b 2C ．x ＞a ＋b 2D ．x ≥a ＋b 25．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D.146．若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b7．若0<x <1，则x (1－x )的最大值为________．8．已知a是正实数，x＝12a，y＝12a＋1，z＝1a＋a＋1，则x、y、z从大到小的顺序是__________．9. 今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．有人说要用它称物体的质量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实质量，这种说法对吗？证明你的结论．10.某商场预计全年分批购入每台2 000元的电视机共3 600台．每批都购入x 台(x是自然数)且每批均需付运费400元．贮存购入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元．现在全年只有24 000元资金可以支付这笔费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．3.4.1详解答案1. [答案] B[解析] ∵0＜a＜b，∴1＝a＋b＞2a，∴a＜1 2，又∵a2＋b2≥2ab，∴最大数一定不是a和2ab，∵1＝a＋b＞2ab，∴ab＜1 4，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab＞1－12＝12，即a2＋b2＞12..解法2：特值检验法：取a＝13，b＝23，则2ab＝49，a2＋b2＝59，∵59＞12＞49＞13，∴a2＋b2最大．2.[答案] C[解析] ∵x＜54，∴4x－5＜0，y＝4x－2＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋3＝3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－4x＋15－4x≤3－2＝1，等号在5－4x＝15－4x，即x＝1时成立，故选C.3.[答案] C[解析] ∵a＞0，b＞0，∴A＞0，B＞0，A2－B2＝(a＋b＋2ab)－(a＋b)＝2ab＞0，∴A2＞B2，∵A>0，B>0，∴A＞B.[点评] 可取特值检验．4.[答案] B[解析] ∵这两年的平均增长率为x∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∴(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )，由题设a ＞0，b ＞0.∴1＋x ＝1＋a 1＋b ≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b2，∴x ≤a ＋b2，等号在1＋a ＝1＋b 即a ＝b 时成立．5.[答案] B[解析] 根据题意得3a ·3b ＝3，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥4.当a ＝b ＝12时“＝”成立． 6.[答案] D[解析] 解法1：∵0<a <1,0<b <1，∴a 2＋b 2>2ab ，a ＋b >2ab ，a >a 2，b >b 2，∴a ＋b >a 2＋b 2，故选D.解法2：取a ＝12，b ＝13，则a 2＋b 2＝1336，2ab ＝63，2ab ＝13，a ＋b ＝56，显然56最大．7.[答案]14[解析] ∵0<x <1，∴1－x >0， ∴x (1－x )≤[x ＋1－x2]2＝14，等号在x ＝1－x ，即x ＝12时成立， ∴所求最大值为14. 8.[答案] x >z >y [解析] ∵a >0，∴2a <a ＋a ＋1<2a ＋1∴12a >1a ＋a ＋1>12a ＋1，即x >z >y .9.[解析] 不对．设左右臂长分别为l 1，l 2，物体放在左、右托盘称得重量分别为a 、b ，真实重量为G ，则由杠杆平衡原理有：l 1·G ＝l 2·a ，①l 2·G ＝l 1·b ，②①×②得G 2＝ab ，∴G ＝ab ，由于l 1≠l 2，故a ≠b ，由均值不等式a ＋b 2＞ab 知说法不对，真实重量是两次称量结果的几何平均数.10.[解析] 设总费用为y 元(y ＞0)，且将题中正比例函数的比例系数设为k ，则y ＝3 600x ×400＋k (2 000x )，依条件，当x ＝400时，y ＝43 600，可得k ＝5%， 故有y ＝1440000x ＋100x ≥21440000x ·100x ＝24 000(元)． 当且仅当1440000x＝100x ，即x ＝120时取等号． 所以只需每批购入120台，可使资金够用．28380 6EDC 滜737672 9328 錨 A23106 5A42 婂28742 7046 灆 <34015 84DF 蓟40713 9F09 鼉22937 5999 妙30166 75D6 痖31783 7C27 簧。
浙江专用2021届高考数学一轮复习专题三函数的概念性质与基本初等函数3.3二次函数与幂函数试题含解析
§3。
3 二次函数与幂函数基础篇固本夯基【基础集训】考点一二次函数的图象与性质1.若二次函数y=kx2-4x+2在区间[1，2］上是单调递增函数,则实数k的取值范围为(）A。
[2,+∞) B.（2，+∞)C。
(-∞,0）D。
（-∞，2）答案A2。
已知abc>0,则二次函数f（x)=ax2+bx+c的图象可能是()答案D考点二幂函数3。
函数y=√x23的图象大致是()答案C4.函数f(x）=（m2—m—1）·x m2-2m-3是幂函数,且在x∈(0，+∞）上是减函数，则实数m的值为（)A.2B。
3C。
4 D.5答案A5.已知幂函数f（x)的图象过点（2,√2），则f(4）的值为.答案2综合篇知能转换【综合集训】考法一求二次函数在闭区间上的最值(值域)1。
二次函数f(x)满足f（x+2）=f（-x+2)，f(0）=3, f（2）=1，若在［0，m］上有最大值3,最小值1,则m的取值范围是（）A。
（0,+∞）B。
[2,+∞）C。
（0，2］D。
[2，4]答案D2。
已知函数f（t)=log2（2-t）+√t-1的定义域为D。
(1)求D；（2)若函数g（x）=x2+2mx—m2在D上存在最小值2,求实数m的值。
解得1≤t〈2，故D=［1,2）。
解析（1)由题意知{2-t>0,t-1≥0,(2）g(x)=x2+2mx-m2=（x+m)2-2m2,此二次函数图象的对称轴为直线x=-m.①当-m≥2，即m≤—2时，g（x）在[1,2）上单调递减,不存在最小值;②当1〈—m<2，即-2<m〈—1时,g(x)在[1,-m）上单调递减，在(-m,2)上单调递增,此时g（x)min=g（-m）=—2m2≠2,m值不存在；③当-m≤1，即m≥—1时，g(x）在[1，2)上单调递增，此时g(x)min=g（1）=1+2m-m2=2,解得m=1.综上，m=1.考法二一元二次方程根的分布3。
2023年高考数学(理科)一轮复习——不等式选讲 第二课时 不等式的证明
(2)用 max{a，b，c}表示 a，b，c 中的最大值，证明：max{a，b，c}≥3 4. 证明 不妨设max{a，b，c}＝a. 因为abc＝1，a＝－(b＋c)， 所以a>0，b<0，c<0. 由 bc≤（b＋4 c）2，可得 abc≤a43， 当且仅当 b＝c＝－2a时取等号， 故 a≥3 4，所以 max{a，b，c}≥3 4.
索引
感悟提升
1.比较法证明不等式的方法与步骤 (1)作差比较法：作差、变形、判号、下结论. (2)作商比较法：作商、变形、 判断、下结论. 2.利用放缩法证明不等式时要目标明确，通过添、拆项后，适当放缩.
索引
训练1 (1)已知a≥b＞0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为 __M_≥__N___. 解析 M－N＝2a3－b3－(2ab2－a2b) ＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b) ＝(a－b)(a＋b)(2a＋b). 因为a≥b＞0， 所以a－b≥0，a＋b＞0，2a＋b＞0， 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0， 故2a3－b3≥2ab2－a2b，即M≥N.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 logx10＋lg x＝lg1x＋lg x≥2(x>1)，①正确； ab≤0 时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确； 因为 ab≠0，ab与ba同号， 所以ba＋ab＝ba＋ab≥2，③正确； 由|x－1|＋|x－2|的几何意义知， |x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④也正确， 综上①③④正确.
索引
(2) bac＋ abc＋ acb≥ 3( a＋ b＋ c).
证明
bac＋ abc＋ acb＝a＋abb＋c c.
数学一轮复习第六章第2讲基本不等式课时作业含解析
第2讲基本不等式组基础关1．设非零实数a，b,则“a2＋b2≥2ab”是“错误!＋错误!≥2”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab,而错误!＋错误!≥2成立的条件是ab＞0,所以“a2＋b2≥2ab”是“错误!＋错误!≥2"成立的必要不充分条件．2．已知a>0，b〉0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋错误!，n＝a＋错误!，则m＋n的最小值是（)A．3 B．4C．5 D．6答案B解析由题意知ab＝1，∴m＝b＋1a＝2b,n＝a＋错误!＝2a，∴m＋n＝2（a＋b)≥4错误!＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，故m ＋n的最小值为4.3．已知p＝a＋错误!,q＝错误!x2－2,其中a＞2，x∈R，则p，q的大小关系是(）A．p≥q B．p＞qC．p＜q D．p≤q答案A解析由a＞2，故p＝a＋错误!＝（a－2)＋错误!＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．因为x2－2≥－2,所以q ＝错误!x2－2≤错误!－2＝4，当且仅当x＝0时取等号，所以p≥q.故选A。
4．(2019·郑州外国语学校月考）若a＞b＞1,P＝错误!,Q＝错误!（lg a＋lg b),R＝lg 错误!，则()A．R＜P＜Q B．Q＜P＜RC．P＜Q＜R D．P＜R＜Q答案C解析因为a＞b＞1，所以lg a＞0，lg b＞0,且lg a≠lg b，所以错误!＜错误!（lg a＋lg b)，由错误!＜错误!，得lg错误!＜lg 错误!.所以错误!（lg a＋lg b)＜lg 错误!，综上知P＜Q＜R.5．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30,则xy的最大值是（）A.错误!B．错误!C．2 D．错误!答案C解析由x>0，y〉0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y）＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30,即xy≤2，∴xy的最大值为2.6．《几何原本》第二卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理,很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上,点C在半径OB上，且OF⊥AB,设AC＝a，BC＝b,则该图形可以完成的无字证明为(）A.错误!≥错误!（a＞0，b＞0）B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)C.错误!≤错误!(a＞0，b＞0）D。
高考数学专题《基本不等式及其应用》习题含答案解析
专题2.2 基本不等式及其应用1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知(),,0,a b c ∈+∞，320a b c -+=的（ ） AB C D ．最小值是3【答案】B 【解析】 由题意得32a cb +=，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案； 【详解】因为320a b c -+=，所以32a cb +=， =≤3a c =. 故选：B.2．（2021·山东高三其他模拟）已知a b ，均为正实数，则“2aba b≤+”是“16ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】取100,2a b ==可得由2ab a b ≤+推不出16ab ≤，反过来，由基本不等式可得由16ab ≤能推出2aba b≤+，然后可选出答案. 【详解】取100,2a b ==，则2002102ab a b =<+，但20016ab =>，所以由2ab a b≤+推不出16ab ≤， 练基础反过来，若16ab ≤，则2ab a b ≤=≤+，当且仅当4a b ==时取等号， 所以由16ab ≤能推出2ab a b ≤+，所以“2ab a b≤+”是“16ab ≤”的必要不充分条件， 故选：C3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积是()2214S b c =+ ，则ABC 的三个内角大小为（ ） A ．60A B C === B ．90,45A B C === C ．120,30A B C === D ．90,30,60A B C ===【答案】B 【解析】由ABC 的面积是()2214S b c =+，利用面积公式及基本不等式判断出90A =︒，由b=c 得45B C ==. 【详解】因为222b c bc +≥，所以()221142S b c bc =+≥（当且仅当b=c 时取等号）. 而ABC 的面积是1sin 2S bc A =, 所以11sin 22S bc A bc =≥，即sin 1A ≥，所以sin =1A ， 因为A 为三角形内角，所以90A =︒. 又因为b=c ，所以90,45A B C ===. 故选：B4．（2021·浙江高三月考）已知实数x ，y 满足2244x y +=，则xy 的最小值是（ ）A ．2-B ．C ．D ．1-【答案】D 【解析】运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】由22224414x x y y +=⇒+=，令2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩， 因此2cos sin sin 2xy θθθ==，因为1sin 21θ-≤≤，所以11xy -≤≤， 因此xy 的最小值是1-， 故选：D5．（2021·北京高三二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s (万元)与机器运转时间t (年数，*t ∈N )的关系为22364s t t =-+-，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t 为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】D 【解析】根据题意求出年平均利润函数。
2021高中数学一轮复习课件第一章 集合与常用逻辑用语、不等式第四节 基本不等式
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3．(2019·河南许昌、洛阳第三次质量检测)已知 x>0，y>0，
且1x＋2y＝1，则 xy＋x＋y 的最小值为________． 解析：因为1x＋2y＝1，所以 xy＝y＋2x，xy＋x＋y＝3x＋2y＝
(3x
＋
2y)· 1x＋2y
＝
7
＋
2y x
＋
6x y
≥7
＋
4
3
当且仅当y＝ 3x，即x＝1＋233，y＝2＋ 3时取等号， 所以 xy＋x＋y 的最小值为 7＋4 3.
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2. 变设问 保持本例条件不变，则 1＋1a 1＋1b 的最小值为 ________．
解析：1＋1a1＋1b＝1＋a＋a b1＋a＋b b ＝2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.当且仅当 a＝b＝12 时，取等号．
答案：9
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[解题技法] 通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
x＋12y＋1 xy
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的最小值为________．
解析：∵ x>0，y>0，∴ xy>0.
∵
x＋2y＝5，∴
x＋12y＋1＝2xy＋x＋2y＋1
xy
xy
＝2xyx＋y 6＝2 xy＋ 6xy≥2 12＝4 3.
当且仅当2
xy＝
6 时取等号． xy
∴ x＋1x2yy＋1的最小值为4 3.
答案：4 3
解析：因为x＋y＝18，所以 xy≤x＋2 y＝9，当且仅当x＝y＝9
时，等号成立．
答案：A
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2．(必修5P100练习T1改编)设a>0，则9a＋1a的最小值为
2023年新高考数学一轮复习2-1 不等式的性质及常见不等式解法(知识点讲解)解析版
专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1．结合集合，考查不等式的概念、性质，结合作差法，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．2．结合函数的图象，考查不等式的解法，凸显直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）不等式的性质1．实数的大小(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(2)对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b是负数，那么a<b；如果a－b等于零，那么a＝b.2．不等关系与不等式我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式.3.比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．*(3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．4．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．5．求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时．一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．6.不等式性质(1)对称性：a>b⇔b<a.(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c.(3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c.(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc.(5)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d.(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.(7)乘方法则：a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥2)．(8)开方法则：a>b>0⇒na>nb(n∈N，n≥2)．（二）不等式的解法1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．*2．分式不等式的解法定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x 的多项式的不等式称为分式不等式.f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )__>__0，f (x )g (x )<0⇔f (x )·g (x )__<__0. f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )g (x ) ≥ 0，g (x )≠0. ⇔f (x )·g (x )__>__0或⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )＝0g (x )≠0. f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )·g (x ) ≤ 0，g (x )≠0⇔f (x )·g (x )__<__0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝0g (x )≠0. 3．简单的高次不等式的解法高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.解法：穿根法①将f (x )最高次项系数化为正数；②将f (x )分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；④观察曲线显现出的f (x )的值的符号变化规律，写出不等式的解集．4．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式．(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．（三）绝对值不等式1．绝对值不等式的解法（1）形如|ax ＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．（2）形如|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式①绝对值不等式|x|>a 与|x|<a 的解集②|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax ＋b|≤c ⇔－c≤ax＋b≤c (c>0)，|ax ＋b|≥c ⇔ax ＋b≥c 或ax ＋b≤－c(c>0)．2. 绝对值不等式的应用如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立．（四）几条常用结论1．倒数性质的几个必备结论(1)a >b ，ab >0⇒1a <1b. (2)a <0<b ⇒1a <1b. (3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d. (4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a. 2．两个重要不等式若a >b >0，m >0，则(1)b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m(b －m >0)． (2)a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m(b －m >0)． 【常考题型剖析】题型一 用不等式表示不等关系例1. （2010·浙江·高考真题（文））某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值_______【答案】20【解析】【详解】把一月份至十月份的销售额相加求和,列出不等式,求解.七月份:500(1+x%),八月份:500(1+x%)2.所以一月份至十月份的销售总额为:3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,解得1+x%≤-2.2(舍)或1+x%≥1.2,所以x min =20.【规律总结】用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示． 题型二：比较数或式子的大小例2.（2022·全国·模拟预测（理））已知10a b a >>>，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b b a -⎛⎫> ⎪⎝⎭ B ．log log a a b ba b < C ．log log a b b a a b < D ．11b a a b-<- 【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质，结合指数函数、对数函数的单调性、作差法比较大小等知识，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】 因为10a b a>>>，所以1a >， 对于A ：01b a <<，0a b ->，所以01a b b b a a -<⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭，故A 错误； 对于B ：1a b>，所以log a b y x =在(0,)+∞上为增函数， 又a b >，所以log log a a b b a b>，故B 错误； 对于C ：log log log log log a b a a a b a b b b b a b a ab -=+=， 因为1a b>，1ab >，所以log log 10a a b b ab =>， 所以log log a b b a a b >，故C 错误；对于D ：11111()ab b a b a a b a b b a ab -⎛⎫⎛⎫---=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为0a b ->，1ab >， 所以111()0ab b a a b a b ab -⎛⎫⎛⎫---=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11b a a b -<-，故D 正确. 故选：D例3.比较大小：(1)比较x 2＋y 2＋1与2(x ＋y －1)的大小；(2)设a ∈R 且a ≠0，比较a 与1a的大小． 【答案】见解析【解析】 (1)x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝x 2－2x ＋1＋y 2－2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2＋1＞0，∴x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)．(2)由a －1a ＝(a －1)(a ＋1)a当a ＝±1时，a ＝1a； 当－1＜a ＜0或a ＞1时，a ＞1a； 当a ＜－1或0＜a ＜1时，a ＜1a. 【领悟技法】1.比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．(3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．题型三：不等式性质及其应用例4.（2022·上海·高考真题）已知a b c d >>>，下列选项中正确的是（ ）A ．a d b c +>+B ．a c b d +>+C ．ad bc >D ．ac bd >【答案】B【解析】【分析】用不等式的基本性质得解.【详解】3210>>>，但3021+=+，3021⨯<⨯，A 、C 错a b c d >>>，,a c b d ∴>>，所以a c b d +>+.B 正确.30212>>->-，但()()30122⨯-<⨯-，D 错.故选:B.例5.（2014·四川·高考真题（文））若0,0,a b c d >><<则一定有A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c< 【答案】D【解析】【详解】本题主要考查不等关系．已知0,0a b c d >><<,所以110d c->->，所以a b d c ->-，故a b d c <．故选D 例6.【多选题】（2021·河北高三二模）若实数a ，b 满足43a a b <，则下列选项中一定成立的有（ ） A ．22a b <B ．33a b <C ．1a b e -<D ．ln 0a b ⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】AD【解析】根据条件，可得0a b >>或0b a >>，逐一分析四个选项，即可得答案.【详解】因为43a a b <，所以3()0a a b -<， 所以300a a b ⎧<⎨->⎩或300a ab ⎧>⎨-<⎩，所以0a b >>或0b a >>，所以22b a >，故A 正确；若0a b >>，则33a b >，故B 错误；若0a b >>，则0a b ->，所以1a b e ->，故C 错误；因为0a b >>或0b a >>，所以01a b <<， 所以ln 0a b ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD【规律总结】1．判断不等式的真假．(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件．(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一反例．2．证明不等式(1)要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推证时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．3．求取值范围(1)建立待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围．(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．4．掌握各性质的条件和结论．在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同时乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定．题型四：不等式的解法例7．（2020·全国·高考真题（理））设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B【解析】【分析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值.【详解】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a -=，解得：2a =-. 故选：B.例8.（广东高考真题（理））不等式的解集为 . 【答案】.【解析】 令，则，(][),32,-∞-⋃+∞()12f x x x =-++()21,2{3,2121,1x x f x x x x --<-=-≤≤+>（1）当时，由得，解得，此时有；（2）当时，，此时不等式无解；（3）当时，由得，解得，此时有；综上所述，不等式的解集为. 例9．（2019·天津·高考真题（文）） 设x ∈R ，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为__________. 【答案】2(1,)3- 【解析】【分析】通过因式分解，解不等式．【详解】2320x x +-<，即(1)(32)0x x +-<， 即213x -<<， 故x 的取值范围是2(1,)3-． 例10.（2022·上海·高考真题）不等式10x x-<的解集为_____________.【答案】{}01x x << 【解析】【分析】 根据分式的运算性质分类讨论求出不等式的解集.【详解】10100x x x x -<⎧-<⇒⎨>⎩或100x x ->⎧⎨<⎩，解第一个不等式组，得01x <<，第二个不等式组的解集为空集. 故答案为：{}01x x <<【规律方法】1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．2x <-()5f x ≥215x --≥3x ≤-3x ≤-21x -≤≤()3f x =1x >()5f x ≥215x +≥2x ≥2x ≥(][),32,-∞-⋃+∞(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．2．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式．(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．【易错警示】忽视二次项系数的符号致误3.形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)几何法：利用|x －a|＋|x －b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a|＋|x －b|≥|x－a －(x －b)|＝|a －b|.(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a|＋|x －b|和y 2＝c 的图象，结合图象求解．题型五： 绝对值不等式的应用例11.（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知,x y R ∈，则“1x <且2y <”是“3x y +<”的（ ）条件． A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】A【解析】【分析】判断充分性可利用绝对值三角不等式，由3x y +<1,2x y <<可以举反例 【详解】 解：充分性：若1,2x y <<，则3x y x y +≤+<，充分性得证； 必要性：若3x y +<，取2x =，0.5y =满足条件，但不能得出1,2x y <<，故为非必要条件；综上所述，“1,2x y <<”是“3x y +<”的充分不必要条件，故选：A ．例12．（2022·浙江·高考真题）已知,a b ∈R ，若对任意,|||4||25|0x a x b x x ∈-+---≥R ，则（ ） A ．1,3a b ≤≥ B ．1,3a b ≤≤ C ．1,3a b ≥≥ D ．1,3a b ≥≤【答案】D【解析】【分析】将问题转换为|||25||4|a x b x x -≥---，再结合画图求解．【详解】由题意有：对任意的x ∈R ，有|||25||4|a x b x x -≥---恒成立．设()||f x a x b =-，()51,2525439,421,4x x g x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩， 即()f x 的图像恒在()g x 的上方（可重合），如下图所示： 由图可知，3a ≥，13b ≤≤，或13a ≤<，3143b a≤≤-≤， 故选：D ．【总结提升】1.两类含绝对值不等式的证明问题 一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．2.含绝对值不等式的应用中的数学思想(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想．3.求f (x )＝|x ＋a |＋|x ＋b |和f (x )＝|x ＋a |－|x ＋b |的最值的三种方法(1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解.(2)利用绝对值三角不等式进行“求解”，但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值.(3)利用绝对值的几何意义.。
基本不等式-高考数学复习
链教材·夯基固本 聚焦知识
2．利用基本不等式求最值问题
若x＞0，y＞0，则： (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当___x_＝__y__时，x＋y有最小值__2__p___；(简记：积 定和最小)
p2 (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当___x_＝__y__时，xy有最大值___4___．(简记：和 定积最大)
总结 提炼
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”； (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等 式求最值．
研题型·通法悟道 举题说法
变式 (1)已知 a＞1，b＞0，且a－2 1＋1b＝1，则 2a＋b 的最小值为___1_1__．
【解析】 因为 a＞1，b＞0，a－1＞0，所以 2a＋b＝2(a－1)＋b＋2＝[2(a－1)＋b]
研题型·通法悟道 举题说法
目标 3 基本不等式的实际应用
3 某小区要建一座八边形的休闲公园，它的主体造型的平 面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的 十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4 200 元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造 价为210元/m2，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造 价为80元/m2．设总造价为S(单位：元)，AD长为x(单位：m)， 则S的最小值是___1_1_8__0_0_0___，此时x的值是___1_0__．
【解析】 设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 x m，y m，由已知得 2(x＋y)＝36，矩 形菜园的面积为 xy m2．由 xy≤x＋2 y＝9，可得 xy≤81，当且仅当 x＝y＝9 时等号成 立． 因此，当这个矩形菜园是边长为9 m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81 m2．
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高考数学一轮复习：课时作业35 基本不等式[基础达标]一、选择题1．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0，b >0；④a <0，b <0，其中能使b a ＋a b≥2成立的条件有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：当b a ，a b 均为正数时，b a ＋a b≥2，故只须a 、b 同号即可，∴①③④均可以． 答案：C2．[2020·北京101中学统考]“a >0”是“a ＋2a≥22”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a >0时，由基本不等式易得a ＋2a ≥22成立；当a ＋2a ≥22时，得a 2－22a ＋2a≥0即a －22a≥0，所以a >0，所以“a >0”是“a ＋2a≥22”的充要条件，故选C 项．答案：C3．[2019·湖北荆门一中期中]函数f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为( )A ．3B ．4C ．6D ．8解析：f (x )＝x 2＋4|x |＝|x |＋4|x |≥4，当且仅当x ＝±2时取等号，所以f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为4，故选B 项．答案：B4．[2020·陕西西安铁路一中月考]下列不等式中正确的是( ) A ．a ＋4a≥4 B．a 2＋b 2≥4abC.ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3解析：若a <0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错误．取a ＝1，b ＝1，则a 2＋b 2<4ab ，故B 错误．取a ＝4，b ＝16，则ab <a ＋b2，故C 错误．由基本不等式可知选项D 正确．答案：D5．[2019·山东烟台期中]已知x ，y ∈R 且x －2y －4＝0，则2x＋14y 的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．256解析：∵x －2y －4＝0，∴x －2y ＝4，∴2x ＋14y ≥22x －2y＝8，当且仅当x ＝2，y ＝－1时等号成立，∴2x＋14y 的最小值为8，故选B 项．答案：B6．[2019·北京通州区期中]设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f (a ＋b2)，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．q ＝r >pC ．p ＝r <qD ．p ＝r >q 解析：∵0<a <b ，∴ab <a ＋b2，∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上是增函数，∴f (ab )<f (a ＋b2)，又f a ＋f b2＝ln ab <ln(a ＋b2)，∴f a ＋f b2<f (a ＋b2)，∴p ＝r <q ，故选C 项．答案：C7．[2020·辽宁沈阳联考]若a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则14a ＋19b 的最小值为( )A.125 B ．5 C.2536D ．25 解析：由已知得，14a ＋19b ＝（14a ＋19b ）·(a ＋b )＝14＋19＋b 4a ＋a 9b ≥1336＋2b 4a ·a 9b ＝2536，当且仅当a ＝35，b ＝25时取等号，所以14a ＋19b 的最小值为2536，故选C 项．答案：C8．[2019·贵州贵阳一中期中]已知a >0，b >0，则b ＋12a＋a ＋12b的最小值为( )A ．4B ．7.5C ．8D ．16解析：∵a >0，b >0，∴b ＋12a ≥4ba ，a ＋12b≥4ab ，∴b ＋12a＋a ＋12b≥4ba＋4a b≥8，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，∴b ＋12a＋a ＋12b的最小值为8，故选C 项．答案：C9．[2020·黑龙江哈尔滨二十六中月考]对任意实数x ，若不等式4x －m ·2x＋1>0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－2,2)C ．(－∞，2]D ．[－2,2]解析：∵4x－m ·2x＋1>0，∴m ·2x<4x＋1，∴m <2x＋2－x，∵2x ＋2－x≥2，∴要使对任意实数x ，原不等式恒成立，则需m <2，故选A 项．答案：A10．[2020·内蒙古鄂尔多斯月考]设函数f (x )＝x a －x 2－12对任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≤0成立，则a ＝( )A ．4B ．3 C. 2 D ．1解析：由a －x 2≥0对任意x ∈[－1,1]恒成立得a ≥1；又由f (x )＝x a －x 2－12≤x 2＋a －x22－12≤0得a ≤1，所以a ＝1.故选D 项． 答案：D 二、填空题11．设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．解析：y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3－2x 22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．又∵34∈⎝⎛⎭⎪⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <32的最大值为92. 答案：9212．[2020·上海普陀区月考]设正数a ，b 满足2a ＋3b ＝ab ，则a ＋b 的最小值是________．解析：∵2a ＋3b ＝ab ，a >0，b >0，∴3a ＋2b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b ) （3a ＋2b ）＝2a b ＋3ba＋5≥26＋5，当且仅当2a 2＝3b 2时等号成立，∴a ＋b 的最小值为26＋5.答案：26＋513．[2020·黑龙江鹤岗一中月考]已知x <0，且x －y ＝1，则x ＋12y ＋1的最大值是________．解析：∵x <0，且x －y ＝1，∴x ＝y ＋1，y <－1，∴x ＋12y ＋1＝y ＋1＋12y ＋1＝y ＋12＋12y ＋12＋12，∵y ＋12<0，∴y ＋12＋12y ＋12＝－[－(y ＋12)＋12－(y ＋12)]≤－2，当且仅当y ＝－1＋22时等号成立，∴x ＋12y ＋1≤12－2，∴x ＋12y ＋1的最大值为12－ 2.答案：12－ 214．[2020·湖南五市十校联考]已知正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，则当ab c取得最大值时，3a ＋1b －12c的最大值为________．解析：∵a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，∴a 2＋9b 2≥6ab ，当且仅当a ＝3b 时等号成立，∴0≥6ab－2ab －c ，∴4ab ≤c ，∴ab c ≤14，∴c ＝12b 2，∴3a ＋1b －12c ＝2b －1b 2＝－(1b －1)2＋1≤1，∴3a＋1b －12c的最大值为1.答案：1[能力挑战]15．“节能减排，绿色生态”为当今世界各国所倡导，某公司在科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该公司每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为：y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该公司每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该公司每月能否获利？解析：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x－200≥212x ·80 000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该公司每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为x ∈[400,600]， 所以S ∈[－80 000，－40 000]， 故该公司每月不获利．。