浙教版八下二次根式题型归纳总结

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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第1章二次根式1

浙江版2022-2023学年度下学期八年级数学下册第1章二次根式1.3 二次根式的运算（2）【知识重点】一、同类二次根式：1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.2.注意：一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式. 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数或因式，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断.3.同类二次根式合并法则：“同类二次根式相加减，根式不变，系数相加减”. 二、二次根式的运算法则：实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序相同，而且有理数的运算法则、运算律以及运算公式在实数范围内仍然适用.【经典例题】【例1】若最简二次根式√x 2+3x 与√x +15是同类二次根式，则x 的值是．【例2】如果最简根式 √3a −8 与√17−2a 是同类二次根式，那么使√4a −2x 有意义的x 的取值范围是（） A ．x≤10 B ．x≥10 C ．x ＜10 D ．x ＞10 【例3】计算：（1）(√27−3√13)÷√3×√20−(2+√5)2．（2）√8+√32−(√2−4√12)【例4】a=1√2−1，b=1√2+1，则a +b −ab 的值是．【例5】已知x =5−√17√17−3，y =√17−35−√17，则4x 2−3xy +4y 2= ．【基础训练】1．若最简二次根式√x +3与最简二次根式√2x 是同类二次根式，则x 的值为（） A ．x ＝0 B ．x ＝1 C ．x ＝2 D ．x ＝3 2．已知二次根式√32−a 与√8化成最简二次根式后，被开方数相同，则符合条件的正整数a 有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．计算 4√12+3√13−√8 的结果是（）A ．√3+√2B ．√3C ．√33D ．√3−√24．化简 √12−√0.5−√13+√18 的结果是 .5．若最简二次根式√2−3a 与√2a +7可以合并，则a 的值为．6．已知x ，y 是两个不相等的有理数，且满足等式(3√2−1)x =3−√2y ，则x = ；y = ．7．计算（1）√12−√127+√48（2）√24 × √13 -4× √18 ×(1- √2 )0-( √23)-1（3）(2 √48 -3 √27 )÷ √3 -( √2 - √3 )28．计算：（1）√48÷√3－√12×√12＋√24；（2）√8－18√48－（23√412－2√34）；（3）（2－√3）2017×（2＋√3）2016－2|−√32|－（－√2）0（4）（a ＋2√ab ＋b ）÷（√a ＋√b ）－（√b －√a ）．【培优训练】9．下列二次根式中，同类二次根式是（）A ．√81ab 3和3√a 316bB ．√4a 2b 和和√2abC ．√a 3bc 和和√bcD ．√a 3+b 2和和√a 2+b 3 10．我们知道6−√2的小数部分b 为2−√2，如果用a 代表它的整数部分，那么ab 2−a 2b 的值是（） A ．8 B ．－8 C ．4 D ．－4 11．已知x 为实数，化简√−x 3−x √−1x的结果为（）A ．(x −1)√−xB ．(−1−x )√−xC ．(1−x )√−xD ．(1+x )√−x 12．化简 −√−a +√−a 3−a √−1a＝ .13．已知：m+n ＝10，mn ＝9，则 √m−√n√m+√n＝．14．先化简，再求值： [4(√x+√y)(√x−√y)+√x+√y √xy(√y−√x)]÷√x−√y √xy，其中x ＝1，y ＝2．15．若x，y为实数，且y＝√1−4x＋√4x−1＋12．求√xy+2+yx－√xy−2+yx的值．16．已知：x＝√3+√2√3−√2，y＝√3−√2√3+√2，求x3−xy2x4y−2x3y2+x2y3的值．17．计算（√a＋b−√ab√a+√b ）÷（a√ab+b＋b√ab−a－a+b√ab）（a≠b）．18．已知函数y=kx，其中x>0，且满足√xy−y√xy−x +3=0.（1）求k；（2）求√xy−3yx+2√xy+y的值.19．观察下列格式，√5−12-√5−1，√8−222√8−2，√13−322√13−3，√20−422√20−4…（1）化简以上各式，并计算出结果；（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．20．先阅读，再解答问题：恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式.例如：当x =√3+1时，求12x 3−x 2−x +2的值.为解答这道题，若直接把x =√3+1代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答.方法：将条件变形，因x =√3+1，得x −1=√3，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算.由x −1=√3，可得x 2−2x −2=0，即x 2−2x =2，x 2=2x +2.原式=12x(2x +2)−x 2−x +2=x 2+x −x 2−x +2=2.请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：（1）若x =√2−1，求2x 3+4x 2−3x +1的值；（2）已知x =2+√3，求x 4−x 3−9x 2−5x+5x 2−4x+3的值.21．如果记 y =x 1+x =f(x) ，并且 f(√1) 表示当 x =√1 时y 的值，即 f(√1)=√11+√1=12 ；f(√2) 表示当 x =√2 时y 的值，即 f(√2)=√21+√2； f(√12) 表示当 x =√12 时 y 的值，即 f(√12)=√12√12=√2+1；… （1）计算下列各式的值：f(√2)+f(√12)= .f(√111)+f(√1111)= .（2）当n 为正整数时，猜想 f(√n)+f(√1n) 的结果并说明理由；（3）求 f(√1)+f(√2)+f(√12)+f(√3)+f(√13)+⋅⋅⋅+f(√100)+f(√1100) 的值.【直击中考】22．计算：√12−2√3= ．23．估计(2√5+5√2)×√15的值应在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间24．计算(√27+√18)(√3−√2)=；25．计算√24−√65×√45的结果是．26．计算：(√5+12−1)⋅√5+12=（）A．0B．1C．2D．√5−1227．从√2，−√3，−√2这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（）个.A．0B．1C．2D．328．人们把√5−12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数.设a=√5−12，b=√5+12，则ab=1，记S1=11+a+11+b，S2=11+a2+11+b2，…，S10=11+a10+11+b10.则S1+S2+⋯+S10=.。

浙教版八年级数学下册各章节知识点及重难点整理（版）

第一章二次根式知识点一：二次根式的概念二次根式的定义：形如（a≥0）的代数式叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。

但与都是非负数，即，。

因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七: 最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。

浙教版八年级数学下册各章节知识点及重难点整理（版）

第一章二次根式知识点一：二次根式的概念二次根式的定义：形如（a≥0）的代数式叫做二次根式。

2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

但与都是非负数，即，。

浙教版八年级下第一章二次根式复习

⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 二次根式一、本章知识内容归纳1.概念：①二次根式——形如的式子；当时有意义，当时无意义；②最简二次根式——根号中不含和的二次根式；③同类二次根式—— 的二次根式。

2.性质：①)0(0≥≥a a 非负性; ②)0()(2≥=a a a ;?③ (分类讨论思想：字母从根号中开出来时要带绝对值再根据具体情况判断是否需要讨论)3.运算: 运算结果每一项都是最简二次根式，且无可合并的同类二次根式.①乘法和积的算术平方根可互相转化:)0,0(≥≥=⋅b a ab b a ;②除法和商的算术平方根可互相转化:)0,0(>≥=b a ba b a③加减法：先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式；④混合运算：有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用；《二、本章常用方法归纳方法1.分母有理化：①常用的有理化因式：a 与a 、b a +与b a -、b a +与b a -互为有理化因式；②分母有理化步骤：先将二次根式尽量化简，找分母最简有理化因式；将计算结果化为最简二次根式的形式。

方法2. 非0的二次根式的倒数 ①a 的倒数：a a a a ==11（a>0）; ②b a 的倒数：a b （a>0, b>0）; ! ③※因为=-+++)1)(1(n n n n ，所以)1(n n ++的倒数为。

方法3. 利用“”外的因数化简“” ①a aa a a ==1)0(≥a ； ②)0,0(2≥≥=b a b a b a三、本章典型题型归纳（一）二次根式的概念和性质！1．x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义（1）2+x －x 23-；（2）x -－11+x ；（3）2||12--x x ；2．若x 、y 为实数，y ＝2-x ＋x -2＋3．则y x=(3．根据下列条件，求字母x 的取值范围：（1）3)3(2+=+x x ；（2）x x -=2；（3）122+-x x ＝1－x ；（4）※22)3()2(-+-x x ＝14．在实数范围内因式分解：x 4－4＝______________．5．已知a,b,c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+= $6.若最简二次根式1452+x 与最简二次根式164-x 可以合并，则x 的取值为——————※7．把mm 1-根号外的因式移到根号内，得______________ 8．若y=5-x +x -5+2018，则x+y=______________。

浙教版八下二次根式题型归纳总结

浙教版八下二次根式题型归纳总结一、知识框架1. 二次根式：式子7a (a At)叫做二次根式。

2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中丕立汁方犬地尽电H数或国式…….；⑵被开方数中丕含分生；⑶分母中丕登根虫。

3. 同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4. 二次根式的性质：「a( a > 0)(1) (奇a ) =a ( a >Q ；(2) (a2=|a—0 ( a =0)•L—a( a v 0)5. 二次根式的运算：(1) 因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，？变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2) 二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3) 二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商) 仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.b b 小Vab = 4a•布(a>Q b>0 ；—=—；=(b AQ a>0).a a(4) 有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，？乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.三、例题讲解1、概念与性质□,2)R,3) —J x2 +2,4)74,5) J(一〕)2,6) ^/T^,7)Ja2—2a + 1 ,其例1下列各式1)5 . 3中是二次根式的是 (填序号)例2、求下列二次根式中字母的取值范围------ 1X 52(1) 寸3— x；(2)v(x - 2)例3、在根式1) J a2十b2;2) J X；3) J x2— xy;4) J27abc，最简二次根式是( )A. 1) 2) B . 3) 4) C . 1) 3) D . 1) 4)' Iy Z商+1,求代数式件+y +2 一u _2的值。

浙教版数学八年级下册二次根式的运算

w 二次根式的运算【知识梳理】1、当0≥a 时，称a 为二次根式，显然0≥a 。

2、二次根式具有如下性质：（1）()()02≥=a a a ；（2）⎩⎨⎧<-≥==时；，当时，，当002a a a a a a（3）()00≥≥⋅=b a b a ab ，；（4）()00>≥=b a bab a ，。

3、二次根式的运算法则如下：（1）()()0≥±=±c c b a c b c a ；（2）()()0≥=a a a n n。

4、设Q m d c b a ∈，，，，，且m 不是完全平方数，则当且仅当d b c a ==，时，m d c m b a +=+。

5、二次根式是代数式中应掌握的非常复杂的内容，其运算常用到换元、拆项相消、分解相约等方法，还应注意运用乘法公式、分母有理化等技巧，最后的结果一定要化成最简二次根式的形式。

6、最简二次根式与同类二次根式（1）一个根式经过化简后满足：被开方数的指数与根指数互质；被开方数的每一个因式的指数都小于根指数；被开方数不含分母。

适合上述这些条件的根式叫做最简根式。

（2）几个根式化成最简根式后，如果被开方数都相同，根指数也都相同，那么这几个根式叫做同类根式。

【例题精讲】【例1】已知254245222+-----=xx x x y ，则=+22y x ___________________。

【巩固一】若y x ，为有理数，且42112=+-+-y x x ，则xy 的值为___________。

【巩固二】已知200911+-+-=x x y ，则=+y x _______________________。

【拓展】若m 适合关系y x y x m y x m y x --⋅+-=-++--+19919932253，求m 的值。

【例2】当b a 2<时，化简二次根式ab ab a b a a 22442+--。

【巩固】1、化简()2232144--+-x x x 的结果是__________________。

初二数学浙教版下册二次根式的运算知识点

初二数学浙教版下册二次根式的运算知识
点
知识点
二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减.
(1)二次根式的加减：
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减，被开方数不变。

注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数.
(2)二次根式的乘除：
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式.
(3)二次根式的混合运算：
先乘方(或开方)，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的;能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算.
注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法
公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便.二次根式运算结果应尽可能化简.另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数.
课后练习
二次根式的运算知识点的全部内容就是这些，不知道大家是否已经都掌握了呢？预祝大家可以更好的学习，取得优异的成绩。

浙教版初中数学八年级下册二次根式全章复习与巩固(提高)知识讲解

《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（提高）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】知识点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式0)a ≥等式子，都叫做二次根式.要点诠释：有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子才有意义.2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.要点诠释：（1）一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2=（0a ≥），如22212;;3x ===（0x ≥）.（2）a 的取值范围可以是任意实数，即不论a .（3a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a ，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2.3. 最简二次根式1）被开方数是整数或整式；2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.显然是同类二次根式.知识点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法0,0)a b=≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如= （2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二=+-=次根式，最后合并同类二次根式.(13【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)； (2).【答案】（1）;（2）.【解析】(1) 要使在实数范围内有意义，则必有∴当时，在实数范围内有意义；(2) 要使在实数范围内有意义，则必有∴当时，在实数范围内有意义；a≥才是二次根【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0式.举一反三：【变式】已知，求的值.【答案】根据二次根式的意义有将代入已知等式得2.（2016•柘城县校级一模）把-中根号外的因式移到根号内的结果是( ).A B ． C ． D 【答案】A.【解析】由二次根式的意义知10a-> ，则0a <-==.【总结升华】反过来将根号外的因式移到根号内时，也必须向里移非负数。

1.1二次根式浙教版数学八年级下册同步讲义知识梳理+经典例题+巩固练习+中考链接

二、二次根式的非负性二次根式的实质是一个正数的算术平方根，它具有非负性，即当0≥a 时，a ≥0.【经典例题】例题1、下列各式中，是二次根式的是（）)5≤x )0>x ；A ．3B ．4C ．5D ．6【考点】二次根式的定义.【分析】二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2，结合选项所给图形进行判断即可．【解答】②④⑤⑦能满足被开方数为非负数，故本选项正确；①⑥⑧不能满足被开方数为非负数，故本选项错误；③不是二次根式，故本选项错误.故选：B ．【点评0≥a )的式子叫做二次根式，a ≥0.例题2、当x【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可列出不等式，解出即可得出x 的范围．【解答】∵x 312-有意义，∴12-3x ≥0，解得：x ≤4．即当x ≤4时，二次根式x 312-在实数范围内有意义．故答案为：x ≤4．【点评】此题考查二次根式有意义的条件，解答本题关键是掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，难度一般．【夯实基础】1、下列各式中一定是二次根式的是( ).A. aB. 100+aC. 1.02+aD. 12-a2、当x =6时，在实数范围无意义的是（）A ．6-xB ．x -6C ．26x -D ．62-x3、若6343++-x x 有意义，则x 的取值范围（） A ．x ≤0 B ．x ≥0 C ．x ≤0且x >-2 D ．x ≤0且x ≠-2513=--+b a ，则直线y =ax +b 不经过的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5、当二次根式1422+x 的值为8时，则x6、当=x7、a 取何值时，下列各式在实数范围内有意义？（1）a 32019- （2）12++a a（3）2.02+a （4）62312-+-a a8x x ---65.【提优特训】9、要使式子x 39-有意义且取最小值的x 的取值，那么在平面直角坐标系中，点A ),(x x -的所在的象限是（）.A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10、如果代数式1)105(17---+-x x 有意义，则x 的取值范围是（）．A ．x ≤0B ．x ≤-2C ．x ≤0且x ≠-2D ．x <-211、若等式14520=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 成立，则x 的取值范围是（）． A. x ≥0 B. x ≥4 C. x ≥0且x ≠40 D. x ≠4012、已知a 、b 、c 15a =，b 15450=，c 6180=，则a 、b 、c13、已知x ，y 为实数，且xx x y 122+-+-=，则y x14、当012222=+-+++-z z y x x ，则3x -y +z15、若x ，y 均为实数，且满足等式y x y x a y x y x -+-++-=-++-+2019201953264，求a 的值.16．已知53+=-b a ，53-=-c b ，求ab +bc +ac -a 2-b 2-c 2的值17183子比较稳定，现有一梯子，稳定摆放时，顶端达到6米高的墙头，请问：梯子有多长？【中考链接】 19、2018江苏苏州4．（3.00分）若2+x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．第18题图20、2018江苏扬州2．使3-x 有意义的x 的取值范围是（）A ．3>xB ．3<xC ．3≥xD ．3≠x21、2018四川绵阳6.等式1313+-=+-x x x x 成立的x 的取值范围在数轴上可表示为（）22、2018山东济宁11．（3.00 分）则 x 的取值范围是．参考答案1、C2、C3、D4、B5、±56、3 9、D 10、D 11、C 12、a +b =c 13、12± 14、8 19、C 20、C 21、B 22、x ≥17、a 取何值时，下列各式在实数范围内有意义？（1）a 32019- （2）12++a a（3）2.02+a （4）62312-+-a a解：（1）要使a 32019-有意义，∴2019-3a ≥0，解得：a ≤673．即当a ≤673时，二次根式a 32019-在实数范围内有意义．（2）∵12++a a =43412+++a a =4343)21(2≥++a ∴不论a 取何值12++a a 都有意义.（3）∵a 2+0.2≥0.2，∴不论a 取何值2.02+a 都有意义.（4）要使62312-+-a a 有意义，∴⎩⎨⎧≥-≥-0620312a a ，不等式组的解集3≤a ≤4. 即当3≤a ≤4时，二次根式62312-+-a a 在实数范围内有意义．A. B. C. D.8x x ---65. 解：∵二次根式∴-2x +10≥0，解得x ≤5.∴x -5≥0，∴5-x ≥0，6-x ≥0. ∴x x ---65=5-x -(6-x )=5-x -6+x =-115、若x ，y 均为实数，且满足等式y x y x a y x y x -+-++-=-++-+2019201953264，求a 的值. 解：∵y x y x a y x y x -+-++-=-++-+2019201953264∴x -2019+y ≥0，-x +2019-y ≥0，∴x +y ≥2019 ，x +y ≤2019.∴x +y =2019. ∴053264=-++-+a y x y x ，∴4x +6y -5=0①，3x +5y -a=0②，①-②得，x +y =5-a ,a =5-2019=-2014.16．已知53+=-b a ，53-=-c b ，求ab +bc +ac -a 2-b 2-c 2的值解：∵53+=-b a ，53-=-c b ，∴6=-c a .∴ab +bc +ac -a 2-b 2-c 221-=(2a 2+2b 2+2c 2-2ab -2bc -2ca ) 21-=［(a 2-2ab +b 2)+(b 2-2bc +c 2)+(c 2-2ca +a 2)］ 21-=［(a -b )2+(b -c )2+(c -a )2］ 21-=［(53+)2+(53-)2+(-6)2］ =-32.17解：不相同，理由如下：∴⎩⎨⎧>-≥0420a a ，不等式组的解集为a >2.的取值范围为a >2.∴⎩⎨⎧>-≥0420a a 或⎩⎨⎧<-≤0420a a ∴不等式组的解集为a >2或a ≤0.a >2或a ≤0.18子比较稳定，现有一梯子，稳定摆放时，顶端达到6米高的墙头，请问：梯子有多长？解：在Rt △ABC 中，x 2=(3x )2+36，解得x ≈6.4米. 答：梯子大约有6.4米高．第18题图。

(完整)浙教版八年级数学下册第1章二次根式知识点总结,推荐文档

x -3 - m mn x - 5 5 - x a x -1 1 - x 2a +1 5 5 17 - x + 2x -1 飞驰教育个性化辅导讲义知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．1【例 2】若式子有意义，则 x 的取值范围是．举一反三：1、使代数式2有意义的 x 的取值范围是+12、如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点 P （m ，n ）的位置在（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例 3】若 y=+ +2009，则 x+y=⎧⎨x - 5 ≥ 0解题思路：式子（a≥0）， ⎩5 - x ≥ 0 , x = 5，y=2009，则 x+y=2014举一反三：1、若 - = (x + y )2 ，则 x －y 的值为（）A ．－1B ．1C ．2D ．33、当 a 取什么值时，代数式+1取值最小，并求出这个最小值。

a +已知 a 是整数部分，b 是的小数部分，求 1 b + 2 的值。

若的整数部分为 x ，小数部分为 y ，求x 2 + 1y 的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2. ( a )2= a(a ≥ 0)．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a 2 a 2 a 2b -3 y 2 - 5 y + 6 a + 2b + 4 a 2 5 a 2 x 2- 4x + 4 4x 2 - 4x +14 + (a - 1)2a ⎨-a(a < 0) ⎨ 则．= a = 0)) =|a|= ⎧a(a ≥ 0)3.⎩注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．a2 =|a|= ⎧a(a ≥ 0) -a(a < 0) ( a ) 2 = a(a ≥ 0) 4. 公式 ⎩ 与的区别与联系（1）表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数．（2）(2 表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数．（3）和( 2 的运算结果都是非负的．【典型例题】a - 2 + 【例 4】若+ (c - 4)2 = 0a -b +c =举一反三：1、已知直角三角形两边 x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.a -b +12、若与(a - b )2005 =互为相反数，则。

浙教版数学八下知识点总结易错

浙教版数学八下知识点总结易错浙教版数学八下知识点总结（易错点标注）一、二次根式。

1. 二次根式的概念。

- 一般地，形如√(a)(a≥0)的式子叫做二次根式。

这里a可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0这个条件。

- 易错点：容易忽略被开方数a≥0这个条件。

例如，当a = - 1时，√(-1)在实数范围内无意义，但有些同学在计算时可能会错误地进行运算。

2. 二次根式的性质。

- √(a^2)=| a|=a(a≥0) -a(a < 0)- (√(a))^2=a(a≥0)- 易错点：- 在计算√(a^2)时，容易直接写成a而忽略a的正负性。

例如，当a=-2时，√((-2)^2)=| - 2| = 2，而不是-2。

- 对于(√(a))^2，容易忘记a≥0这个前提条件就进行运算。

3. 二次根式的运算。

- 二次根式的乘法法则：√(a)·√(b)=√(ab)(a≥0,b≥0)- 二次根式的除法法则：(√(a))/(√(b))=√(frac{a){b}}(a≥0,b > 0)- 易错点：- 在乘法运算中，忽略a≥0,b≥0的条件。

例如，计算√(-2)·√(-3)是错误的，因为被开方数不能为负数。

- 在除法运算中，容易忘记b > 0这个条件，并且在分母有理化时可能出现计算错误。

二、一元二次方程。

1. 一元二次方程的概念。

- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

- 易错点：- 容易忽略a≠0这个条件。

例如，当a = 0时，方程ax^2+bx + c = 0就不是一元二次方程，而是一元一次方程bx + c = 0。

2. 一元二次方程的解法。

- 直接开平方法：对于方程x^2=k(k≥0)，解得x=±√(k)。

- 配方法：将方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)转化为(x + m)^2=n(n≥0)的形式，再用直接开平方法求解。

浙教版八年级数学下册第1章二次根式知识点总结计划

知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【例 2】假设式子有意义，那么x 的取值范围是．举一反三：1、使代数式21有意义的 x 的取值范围是x 2x2、如果代数式m 1P〔 m， n〕的位置在〔〕有意义，那么，直角坐标系中点mnA、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例 3】假设 y=++2021，那么 x+y=解题思路：式子〔举一反三：a≥0〕，，y=2021，那么x+y=20211、假设，那么x－y 的值为〔〕A．－ 1 B．1C．2D．33、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。

a 是5整数局部，b 是 5 的小数局部，求1的值。

假设17的整数局部为 x，小数局部为y，求x21a的值 .b 2y知识点二：二次根式的性质【知识要点】1.非负性：是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2.( a ) 2 a(a 0) ．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a2a( a0)3.a注意：〔 1〕字母不一定是正数．| |a( a0)（2〕能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3〕可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式2a( a0)2| |与(a)a(a )0 a( a0)〔1〕a2表示求一个数的平方的算术根， a 的范围是一切实数．〔2〕( a ) 2表示一个数的算术平方根的平方， a 的范围是非负数．〔 3〕a 2和 ( a) 2的运算结果都是非负的．【典型例题】【例 4】假设那么．举一反三： 1、直角三角形两边x 、 y 的长满足｜ x 2 －4｜＋y 2 5y 6 ＝ 0，那么第三边长为＿＿＿＿＿＿ .2、假设与互为相反数，那么。

〔公式 (a ) 2 a( a0) 的运用〕【例 5】化简：的结果为〔〕A 、 4— 2aB 、 0C 、 2a — 4D 、4举一反三：3 直角三角形的两直角边分别为2和5 ，那么斜边长为〔公式 a2aa( a 0)a(a的应用〕0)【例 6】 x2 , 那么化简x 2 4x 4 的结果是A 、 x 2B 、 x2C 、 x 2D 、 2 x2、化简4x22举一反三： 4x 12x 3得〔〕〔 A 〕 2 〔 B 〕4x 4 〔 C 〕－ 2〔 D 〕4x 43、，化简求值：【例 7】如果表示 a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如下图，那么化简│a －b │+ 的结果等于〔〕A ．－ 2bB．2bC．－ 2a D ． 2a举一反三：实数 a 在数轴上的位置如下图：化简： a 1 (a2)2______．a【例 8】化简1 xx 2 8x16 的结果是 2x -5 ，那么 x 的取值范围是〔〕112〔 A 〕 x 为任意实数〔 B 〕 1≤x ≤ 4〔C 〕 x ≥1 〔D 〕 x ≤ 1举一反三：假设代数(a 4)2的值是常数2，那么 a 的取值范围是〔〕式(2a)2Ａ．a≥ 4Ｂ． a ≤ 2Ｃ． 2 ≤ a ≤ 4Ｄ．a 2 或 a 4【例 9】如果a a 22a11，那么 a 的取值范围是〔〕 A. a=0 B. a=1 C. a=0或 a=1 D. a≤ 1举一反三：1、如果a a26a9 3 成立，那么实数a 的取值范围是〔〕A . a0B . a 3 ;C . a 3 ;D . a32、假设( x3) 2x30，那么 x 的取值范围是〔〕〔 A〕x 3〔B〕x3〔C〕x3〔 D〕x 3【例 10】化简二次根式a a2的结果是a2〔 A〕a2(B)a2(C) a 2(D)a21、把根号外的因式移到根号内：当b＞ 0 时，bx ＝； (a1)11 ＝。

(完整版)2018最新浙教版八年级下第一章二次根式复习

⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 二次根式一、本章知识内容归纳 1.概念：①二次根式——形如的式子；当时有意义，当时无意义； ②最简二次根式——根号中不含和的二次根式； ③同类二次根式—— 的二次根式。

2.性质：①)0(0≥≥a a 非负性; ②)0()(2≥=a a a ;③ (分类讨论思想：字母从根号中开出来时要带绝对值再根据具体情况判断是否需要讨论)3.运算: 运算结果每一项都是最简二次根式，且无可合并的同类二次根式. ①乘法和积的算术平方根可互相转化:)0,0(≥≥=⋅b a ab b a ; ②除法和商的算术平方根可互相转化:)0,0(>≥=b a baba ③加减法：先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式；④混合运算：有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用；二、本章常用方法归纳方法1.分母有理化： ①常用的有理化因式：a 与a 、b a +与b a -、b a +与b a -互为有理化因式；②分母有理化步骤：先将二次根式尽量化简，找分母最简有理化因式；将计算结果化为最简二次根式的形式。

方法2. 非0的二次根式的倒数 ①a 的倒数：a aa a==11（a>0）; ②b a 的倒数：ab （a>0, b>0）; ③※因为=-+++)1)(1(n n n n ，所以)1(n n ++的倒数为。

方法3. 利用“”外的因数化简“”①a aaa a==1)0(≥a ； ②)0,0(2≥≥=b a b a b a三、本章典型题型归纳（一）二次根式的概念和性质1．x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）2+x －x 23-；（2）x -－11+x ；（3）2||12--x x ；2．若x 、y 为实数，y ＝2-x ＋x -2＋3．则y x=3．根据下列条件，求字母x 的取值范围：（1）3)3(2+=+x x ；（2）x x -=2；（3）122+-x x ＝1－x ；（4）※22)3()2(-+-x x ＝14．在实数范围内因式分解：x 4－4＝______________．5．已知a,b,c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=6.若最简二次根式1452+x 与最简二次根式164-x 可以合并，则x 的取值为——————※7．把mm 1-根号外的因式移到根号内，得______________8．若y=5-x +x -5+2018，则x+y=______________ 9．实数a ，b ，c ，如图所示，化简2a －│a －b │+2()b c +=______．oc a10．将根号外的a 移到根号内，得 ( ) A.； B. －； C. －； D.11．已知0<x<12211()4()4x x x x-++-．（二）同类与最简二次根式1.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）A B C2. 已知最简二次根式b a=______，b=_______ （三）二次根式的运算 1．乘除法口算：（1）61= （2）81= （3）312= （4）322= （5）33= （6）26= （7）326-= （8）bb 2142= （9）8517÷= （10）211311÷= （11）52245454÷=（12）)25(122)341(-÷⋅-（13）61132135÷⋅=3. 计算：（1）． 2484554+-+ （2）8＋(－1)3－2×22(3) 3)154276485(÷+- （4) 2)32()122)(488(---+(5) 21418122-+-4. 若一个正方体的长为cm 62，宽为cm 3，高为cm 2，则它的体积为 3cm .5. 观察下列各式的特点：2312->-，3223->-，2532->-，……(1)请根据以上规律填空20182018 (2)请根据以上规律写出第)1(≥n n 个不等式，并证明你的结论.（四）二次根式的化简求值 1．若,3=xy 求yxyx y x +的值。

(2021年整理)浙教版八下二次根式题型归纳总结

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浙教版八下二次根式题型归纳总结一、知识框架1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式.2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式.3.同类二次根式:二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式.4.二次根式的性质：（1）（a)2=a (a≥0）；（2）5。

二次根式的运算:(1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,•变形为积的形式，再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．(2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．(3)二次根式的乘除法:二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除）,所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．=a〉0）．a（a＞0）==aa2a-（a＜0）0 （a=0）；项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．三、例题讲解1、概念与性质例1下列各式1-，其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）xx--+315；（2）22)-(x例3、在根式,最简二次根式是（）A．1) 2） B．3) 4） C．1) 3） D．1） 4）例4、已知：的值。