高中数学 4.1.2 极坐标系(1)学案 苏教版选修4-4

选修4－4坐标系与参数方程 4.1.2 极坐标系（1）

学习目标

能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。

学习过程：

一、预习：

（一）情境： 军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们

引爆？

问题1：如何刻画一个几何图形的位置？如何创建坐标系？

问题2：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？如何刻画这些点的

位置？

（二）极坐标系的知识：

1、极坐标系的建立：

在平面内取一个定点O ，叫做 。引一条射线OX ，叫做 。再选定 及 （通常取逆时针方向）。这样就建立了一个极坐标系。

2、极坐标系内一点的极坐标的规定

对于平面上任意一点M ，用 ρ 表示线段OM 的长度，用 θ 表示从OX 到OM 的角度，ρ叫做点M 的 ， θ叫做点M 的 ，有序数对（ρ，θ）就叫做M 的 。 特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角.

③负极径的规定

在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角

当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=

ρ。M （ρ，θ）也可以

表示为))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或 )(z k ∈

练习

如图是某校园的平面示意图.假设某同学在教学楼处，请回

答下列问题：

1、他向东偏北600方向走120m 后到达什么位置？该位置

惟一确定吗？

2.如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？

二、课堂训练：

例1．写出下图中各点的极坐标：

例2． 在极坐标系中，

1、 已知两点P （5，45π），Q )4

,1(π，求线段PQ 的长度； 2、已知M 的极坐标为（ρ，θ）且θ=

3π，ρR ∈，说明满足上述条件的点M 的所组成的图形。

变式训练

1、若ABC ∆的的三个顶点为.),6

7,3(),65,8(),25,

5(判断三角形的形状πππC B A

2、若A 、B 两点的极坐标为),(),,(2211θρθρ求AB 的长以及AOB ∆的面积。（O 为极点）

例3．已知Q （ρ，θ），分别按下列条件求出点P 的极坐标。

（1） P 是点Q 关于极点O 的对称点；

（2） P 是点Q 关于直线2π

θ=的对称点；

（3） P 是点Q 关于极轴的对称点。

变式训练

1.在极坐标系中,与点)6

,8(π

-关于极点对称的点的一个坐标是 ( ) )6,8(),65,8(),65,8(),6,8(ππππ----D C B A

2在极坐标系中，如果等边ABC ∆的两个顶点是),45,2(),4,

2(B A π求第三个顶点C 的坐标。

三、课后巩固：

1、已知直角三角形两条直角边的长分别为6和8，选择两种不同的坐标系，表示它的顶点及外心的坐标.

2、建立极坐标系，并画出点,6,

4⎪⎭⎫ ⎝⎛πA ())32,3(,,1,3,5,45,3,2,2πππππ--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛F E D C B

3、在极坐标系中，已知⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝

⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛67,5,32,3,6,4,6,4ππππD C B A ，则AB=_________，AC=____________，AD=___________，BC=___________，BD=_____________.

4、设点⎪⎭

⎫ ⎝⎛3,2πA ，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴、直线l 、极点的对称点的极坐标（限定(]ππθρ,,0-∈>）.

5. 写出图中A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 各点的极坐标

)20,0(πθρ<≤>.

6、（2006年上海高考题）在极坐标系中，设O 是极点，A 、B 两点的极坐标分别是)3,4(π、)65,5(π-，则⊿OAB 的面积是 .

7、在极坐标系中，已知两点

)32,1(),3,3(ππB A -，求A ，B 两点间的距离.

8、在极坐标系中，已知),(),,(2211θρθρB A )0,0(21>>ρρ，求⊿AOB 的面积

.