第4章受弯构件的受力分析2(精)
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( b )
( b )
s y s y s y
超筋
判断超筋：
超筋
b b
x xb
b
界限
x xb
x xb
b
适筋
b
b
四、基本公式的应用
（一）截面设计 已知：弯矩M、砼强度等级及钢筋强度等级、 构件截面尺寸和受荷情况等 求：纵向受力钢筋面积As
1 fc bx f y As
M M u 1 fc bxh0 0.5 x
x
或 M M u f y As h0 0.5 x
2 M x h0 1 1 2 f bh 1 c 0
⑤判别是否适筋
x xb
若
b
三、梁内的钢筋
四、材料选择与一般构造
1. 梁、板的混凝土强度等级
梁、板常用的混凝土强度等级是C20、C30、C40。 2.梁、板的钢筋强度等级和常用直径 1、梁的钢筋强度和常用直径 ⑴、梁内纵向受力钢筋强度和常用直径 受力钢筋强度： HRB335 、HRB400、RRB400 直径：12mm、14mm、16mm、18mm、20mm、22mm、 25mm
的M=80kN· m。校核该梁是否安全。 解：(2) h0 h 35 450 35 415mm f y As 300 804 1 f c bh0 1.0 9.6 200 415 0.303 b 0.55 不超筋
4 16 200
M u 1 fc bh0 (1 0.5 )
⑵、梁内纵筋的净距和保护层
⑶、梁内箍筋强度和常用直径
钢筋强度：HRB400、HRB335、HPB235
直径：6mm、8mm、10mm 2、板的钢筋强度和常用直径 ⑴、板的受拉钢筋 钢筋强度：HRB400、HRB335、HPB235 直径：6mm、8mm、10mm
⑵、板的分布钢筋 钢筋强度：HRB335、HPB235 直径：6mm、8mm ⑶、板的配筋
1)、矩形截面梁的高宽比h/b一般取2.0~3.5;T形截面梁的 高宽比h/b一般取2.0~4.0。 2)、梁的高度采用h=250、300、350、750、800、900、 1000等尺寸。800mm以下的级差为50mm，以上为100。 3)、现浇板的宽度较大，设计时一般采用单位宽度 （b=1000mm）计算。 4)、现浇板最小厚度。
由平衡方程可得承载力计算的基本公式
单筋矩形正截面受弯承载力计算图形
X 0
1、基本公式
M 0
M M u 1 fc bxh0 0.5 x M M u f y As h0 0.5 x
1 fc bx f y As
或
M —— 外荷载所产生的弯矩设计值
M u —— 截面自身的抗弯承载力
步骤： ①内力计算，求M ②确定材料等级（混凝土、钢筋），即 fc 、 f y ③确定截面尺寸
bh
(初估)
1 1 h ( ~ )l （梁） 10 16 1 1 h( ~ )l （板） 30 35 1 1 b ( ~ )h 2 3
④利用正截面承载力计算公式，确定梁、板
内纵向受力钢筋截面面积：
1 n 2 ( f cuk 50) 2.0 60
0 0.002 0.5 ( f cuk 50) 106 0.002
cu 0.0033 0.5 ( fcuk 50) 106 0.0033
二、单筋矩形截面正截面承载力计算公式 当单筋矩形截面达到极限状态时的计算简图：
2
1.0 9.6 200 4152 0.303 (1 0.5 0.303)
85( kN m )
80( kN m )
故安全
450
例题2
某简支梁，受力情况如下图所示。试对该梁 进行截面设计。
gk=12.3kN/m qk=7.8kN/m
l0=6000
解题分析： 梁的截面设计
h0 h as 500 35 465
2M x h0 1 1 2 f bh 1 c 0
119.87mm
bh0 0.55 465 255.75mm
6 2 115 . 56 10 465 1 1 2 1 . 0 11 . 9 200 465
1 2 M [1.35 gk 1.4 0.7 qk ]l0 （永久荷载控制） 8 1 1.35 12.3 1.4 0.7 7.8 62 8 109.1( kN m ) 取 M 115.56( kN m )
(3)配筋计算
选用C25砼，HRB335钢筋，并先设钢筋为单层，则：
特点：有明显的预兆，塑性破坏。 材料得到充分利用
二、正截面受弯的三种破坏形态----少筋破坏
少筋破坏 受拉钢筋配置较少 拉区混凝土开裂 受拉钢筋立即屈服甚至拉断，构件破坏
特点：破坏突然，无明显预兆，脆性破坏
二、正截面受弯的三种破坏形态---超筋破坏
超筋破坏 受拉钢筋配置过多 拉区混凝土开裂 受拉钢筋未屈服
As 804 bh 200 450
0.0089
4 16 200
min 0.002
min
满足不少筋的条件
ft 1.1 0.45 0.45 0.0017 fy 300
450
例题1
已知梁bh=200 450，采用HRB335级受拉筋
4
16 (As = 804 mm2)，混凝土C20，梁承受
c
s
fc
0
fy
0
cu c
0
4、采用理想化的钢筋
s ~ s 曲线
s Es s f y
y
s
s
当εc≤ ε0时，
当ε0≤ εc≤ εcu时，
n c c f c 1 1 0
c fc
第三节
单筋矩形截面正截 面受弯承载力计算
单筋矩形截面:
单筋矩形截面梁
仅在受拉区配置纵向受 力钢筋的矩形截面梁
双筋矩形截面梁 在拉区、区压都通过 计算配置纵向受力筋
一、正截面承载力计算的基本假定 1、构件弯曲后，正截面仍为平面—平截面假定 2、拉区的拉力完全由钢筋承担(不考虑砼的抗拉强度)
3、采用理想化的砼 c ~ c 曲线
T
—— 钢筋所受拉力
f y —— 钢筋抗拉强度设计值（屈服强度）
As —— 钢筋截面面积
fc —— 砼的轴心抗压强度设计值。
b —— 梁截面宽
x
—— 砼受压区高度
3、 基本公式的适用条件
为了保证梁为适筋梁，防止出现超筋破坏或少筋破坏， 上述的基本公式应满足下列两个条件：
防止少筋破坏：
As min bh 0
受压混凝土屈服
特点：破坏突然，无明显预兆，脆性破坏
钢筋强度未充分利用。
超筋梁、适筋梁、少筋梁的界限 少 筋 梁
min
适 筋 梁
b
超 筋 梁
min
的配筋率
min b
b
min—— 最小配筋率，砼裂缝一出现钢筋应力即达屈服时
b —— 界限配筋率，是保证钢筋达到屈服的最大配筋率
五、梁、板纵向钢筋的配筋百分率 配筋率
As ρ (%) bh0
—— 纵向受拉钢筋的配筋率
As —— 纵向受拉钢筋的截面面积
bh 0 —— 砼的有效截面面积
第二节
受弯构件正截面受弯的 受力全过程
一、适筋梁正截面受弯的三个受力全过程 1、适筋梁正截面受弯承载力的试验：
1、适筋梁正截面受弯承载力的试验：
b、 h
砼等级，钢筋级别
As
解：(1)选择截面
l 6000 h 0 500mm 12 12
h 500 b 200mm 2.5 2.5
(2)内力计算 1 2 （可变荷载控制） M [ G gk Q qk ]l0 8 1 1.2 12.3 1.4 7.8 62 8 115.56( kN m )
(2)选择截面
l0 1200 根部： h 100mm 12 12 自由端：60mm
(3)荷载计算 恒载标准值
2 0 . 02 20 0 . 4 kN m 20防水砂浆： 2 0 . 08 25 2 . 0 kN m 板重(平均厚80)： 2 0.02 20 0.4 kN m 20水泥砂浆：
第四章 受弯构件的正截 面受弯承载力
提示：
单筋矩形截面
内 容
双筋矩形截面 T形截面
第一节 受弯构件的一般构造
（ M、 V ） 受弯构件 梁、板结构
矩 形 梁
T 形 梁
Ⅰ 形 梁
L 形 梁
倒 T 形 梁
花 篮 梁
受弯构件的两种破坏形态：
4.1.1 截面形状和尺寸 梁的截面形式：
板的截面形式：
二、梁、板的常用截面尺寸
As max bh0 As min bh
不超筋
若
不少筋
（二）截面复核 已知：内力M，梁截面尺寸 b h ，纵向受力钢筋截 面积As ，砼等级（ fc ） ，钢筋级别（ f y ） 求：试校核该梁是否安全？（Mu）
步骤：
1、由已知的 b h ，M，As ， fc
2、适筋受弯构件截面受力的三个阶段
弹性 阶段
c t s y fy
抗裂度计 算 依 据
受拉裂缝 即将出现
带裂缝工作 阶段，
受拉钢筋 即将屈服
破坏阶段
压区砼 被压碎
s fy
s fy
变形、裂缝 验算依据
s fy 正截面承载 力计算依据
c cu
第 I 阶段——未裂阶段
Ia——拉区混凝土即将开裂 Mcr：截面抗裂验算的依据 第 Ⅱ 阶段——带裂缝工作阶段 Ⅱa——受拉钢筋即将屈服
My：构件使用阶段的变形和裂缝宽度验算的依据
第 Ⅲ 阶段——破坏阶段 Ⅲa ——受压混凝土即将屈服 Mu：截面的承载力计算的依据
二、正截面受弯的三种破坏形态---适筋破坏
适筋破坏 受拉钢筋配置合适 拉区混凝土开裂 受拉钢筋屈服 受压混凝土屈服
min ——梁的最小配筋率
45
受弯构件、受拉构件一侧最小配筋率：
ft fy
0.2％
防止超筋破坏：
b
b
—混凝土的界限配筋率，表示能够使钢筋屈服 的同时（即钢筋应变为 y ），受压区混凝土压碎 （即混凝土的应变为 cu ）的配筋率。
wk.baidu.com
三、适筋梁与超筋梁的界限及界限配筋率
cu
a
适筋 ( b ) 界限 配筋
及公式
，
fy
A sf y 1fc bh 0
2、求Mu
b M u max 1 f cbh02b 1 0.5b
2 b M u 1 f cbh0 1 0.5
3、验算最小配筋率条件 min
例题5-1 已知梁bh=200 450，采用HRB335级受拉筋 4 16 (As = 804 mm2)，混凝土C20，梁承受 的M=80kN· m。校核该梁是否安全。 解：(1)验算最小配筋率
不超筋
1 fc bx 1.0 11.9 200 119.87 2 As 950 . 97 ( mm ) fy 300
选用 3 20 ( As 942mm )
2
(4)验算
As 942 bh 200 500 min 0.002 0.0094 f
适筋梁受力的第 Ⅲa 阶段
1、等效矩形应力图 砼压应力的合力大小相等 简化原则 等效
压应力合力作用位置完全相同
结论：
（１）矩形应力图形的砼受压区高度
x 1 xc
xc 实际混凝土受压区高度
x 等效混凝土受压区高度
（２）矩形应力图形的应力值为
1 fc
2、基本计算公式：
中和轴以下的受拉区 T f y As 正截面受力分析 中和轴以上的受压区 C 1 fc bx
min
不少筋
经济配筋率： (0.6 ~ 1.5)%
1.27 0.45 0.45 0.0019 fy 300
t
例题3
试设计图示的雨篷，其中Fk=1kN/m，为沿板 宽方向每米作用的施工活载标准值。
解：(1)确定材料
混凝土：C15 f c 7.2 N mm 2 钢筋：HPB235级 f y 210 N mm 2
( b )
s y s y s y
超筋
判断超筋：
超筋
b b
x xb
b
界限
x xb
x xb
b
适筋
b
b
四、基本公式的应用
（一）截面设计 已知：弯矩M、砼强度等级及钢筋强度等级、 构件截面尺寸和受荷情况等 求：纵向受力钢筋面积As
1 fc bx f y As
M M u 1 fc bxh0 0.5 x
x
或 M M u f y As h0 0.5 x
2 M x h0 1 1 2 f bh 1 c 0
⑤判别是否适筋
x xb
若
b
三、梁内的钢筋
四、材料选择与一般构造
1. 梁、板的混凝土强度等级
梁、板常用的混凝土强度等级是C20、C30、C40。 2.梁、板的钢筋强度等级和常用直径 1、梁的钢筋强度和常用直径 ⑴、梁内纵向受力钢筋强度和常用直径 受力钢筋强度： HRB335 、HRB400、RRB400 直径：12mm、14mm、16mm、18mm、20mm、22mm、 25mm
的M=80kN· m。校核该梁是否安全。 解：(2) h0 h 35 450 35 415mm f y As 300 804 1 f c bh0 1.0 9.6 200 415 0.303 b 0.55 不超筋
4 16 200
M u 1 fc bh0 (1 0.5 )
⑵、梁内纵筋的净距和保护层
⑶、梁内箍筋强度和常用直径
钢筋强度：HRB400、HRB335、HPB235
直径：6mm、8mm、10mm 2、板的钢筋强度和常用直径 ⑴、板的受拉钢筋 钢筋强度：HRB400、HRB335、HPB235 直径：6mm、8mm、10mm
⑵、板的分布钢筋 钢筋强度：HRB335、HPB235 直径：6mm、8mm ⑶、板的配筋
1)、矩形截面梁的高宽比h/b一般取2.0~3.5;T形截面梁的 高宽比h/b一般取2.0~4.0。 2)、梁的高度采用h=250、300、350、750、800、900、 1000等尺寸。800mm以下的级差为50mm，以上为100。 3)、现浇板的宽度较大，设计时一般采用单位宽度 （b=1000mm）计算。 4)、现浇板最小厚度。
由平衡方程可得承载力计算的基本公式
单筋矩形正截面受弯承载力计算图形
X 0
1、基本公式
M 0
M M u 1 fc bxh0 0.5 x M M u f y As h0 0.5 x
1 fc bx f y As
或
M —— 外荷载所产生的弯矩设计值
M u —— 截面自身的抗弯承载力
步骤： ①内力计算，求M ②确定材料等级（混凝土、钢筋），即 fc 、 f y ③确定截面尺寸
bh
(初估)
1 1 h ( ~ )l （梁） 10 16 1 1 h( ~ )l （板） 30 35 1 1 b ( ~ )h 2 3
④利用正截面承载力计算公式，确定梁、板
内纵向受力钢筋截面面积：
1 n 2 ( f cuk 50) 2.0 60
0 0.002 0.5 ( f cuk 50) 106 0.002
cu 0.0033 0.5 ( fcuk 50) 106 0.0033
二、单筋矩形截面正截面承载力计算公式 当单筋矩形截面达到极限状态时的计算简图：
2
1.0 9.6 200 4152 0.303 (1 0.5 0.303)
85( kN m )
80( kN m )
故安全
450
例题2
某简支梁，受力情况如下图所示。试对该梁 进行截面设计。
gk=12.3kN/m qk=7.8kN/m
l0=6000
解题分析： 梁的截面设计
h0 h as 500 35 465
2M x h0 1 1 2 f bh 1 c 0
119.87mm
bh0 0.55 465 255.75mm
6 2 115 . 56 10 465 1 1 2 1 . 0 11 . 9 200 465
1 2 M [1.35 gk 1.4 0.7 qk ]l0 （永久荷载控制） 8 1 1.35 12.3 1.4 0.7 7.8 62 8 109.1( kN m ) 取 M 115.56( kN m )
(3)配筋计算
选用C25砼，HRB335钢筋，并先设钢筋为单层，则：
特点：有明显的预兆，塑性破坏。 材料得到充分利用
二、正截面受弯的三种破坏形态----少筋破坏
少筋破坏 受拉钢筋配置较少 拉区混凝土开裂 受拉钢筋立即屈服甚至拉断，构件破坏
特点：破坏突然，无明显预兆，脆性破坏
二、正截面受弯的三种破坏形态---超筋破坏
超筋破坏 受拉钢筋配置过多 拉区混凝土开裂 受拉钢筋未屈服
As 804 bh 200 450
0.0089
4 16 200
min 0.002
min
满足不少筋的条件
ft 1.1 0.45 0.45 0.0017 fy 300
450
例题1
已知梁bh=200 450，采用HRB335级受拉筋
4
16 (As = 804 mm2)，混凝土C20，梁承受
c
s
fc
0
fy
0
cu c
0
4、采用理想化的钢筋
s ~ s 曲线
s Es s f y
y
s
s
当εc≤ ε0时，
当ε0≤ εc≤ εcu时，
n c c f c 1 1 0
c fc
第三节
单筋矩形截面正截 面受弯承载力计算
单筋矩形截面:
单筋矩形截面梁
仅在受拉区配置纵向受 力钢筋的矩形截面梁
双筋矩形截面梁 在拉区、区压都通过 计算配置纵向受力筋
一、正截面承载力计算的基本假定 1、构件弯曲后，正截面仍为平面—平截面假定 2、拉区的拉力完全由钢筋承担(不考虑砼的抗拉强度)
3、采用理想化的砼 c ~ c 曲线
T
—— 钢筋所受拉力
f y —— 钢筋抗拉强度设计值（屈服强度）
As —— 钢筋截面面积
fc —— 砼的轴心抗压强度设计值。
b —— 梁截面宽
x
—— 砼受压区高度
3、 基本公式的适用条件
为了保证梁为适筋梁，防止出现超筋破坏或少筋破坏， 上述的基本公式应满足下列两个条件：
防止少筋破坏：
As min bh 0
受压混凝土屈服
特点：破坏突然，无明显预兆，脆性破坏
钢筋强度未充分利用。
超筋梁、适筋梁、少筋梁的界限 少 筋 梁
min
适 筋 梁
b
超 筋 梁
min
的配筋率
min b
b
min—— 最小配筋率，砼裂缝一出现钢筋应力即达屈服时
b —— 界限配筋率，是保证钢筋达到屈服的最大配筋率
五、梁、板纵向钢筋的配筋百分率 配筋率
As ρ (%) bh0
—— 纵向受拉钢筋的配筋率
As —— 纵向受拉钢筋的截面面积
bh 0 —— 砼的有效截面面积
第二节
受弯构件正截面受弯的 受力全过程
一、适筋梁正截面受弯的三个受力全过程 1、适筋梁正截面受弯承载力的试验：
1、适筋梁正截面受弯承载力的试验：
b、 h
砼等级，钢筋级别
As
解：(1)选择截面
l 6000 h 0 500mm 12 12
h 500 b 200mm 2.5 2.5
(2)内力计算 1 2 （可变荷载控制） M [ G gk Q qk ]l0 8 1 1.2 12.3 1.4 7.8 62 8 115.56( kN m )
(2)选择截面
l0 1200 根部： h 100mm 12 12 自由端：60mm
(3)荷载计算 恒载标准值
2 0 . 02 20 0 . 4 kN m 20防水砂浆： 2 0 . 08 25 2 . 0 kN m 板重(平均厚80)： 2 0.02 20 0.4 kN m 20水泥砂浆：
第四章 受弯构件的正截 面受弯承载力
提示：
单筋矩形截面
内 容
双筋矩形截面 T形截面
第一节 受弯构件的一般构造
（ M、 V ） 受弯构件 梁、板结构
矩 形 梁
T 形 梁
Ⅰ 形 梁
L 形 梁
倒 T 形 梁
花 篮 梁
受弯构件的两种破坏形态：
4.1.1 截面形状和尺寸 梁的截面形式：
板的截面形式：
二、梁、板的常用截面尺寸
As max bh0 As min bh
不超筋
若
不少筋
（二）截面复核 已知：内力M，梁截面尺寸 b h ，纵向受力钢筋截 面积As ，砼等级（ fc ） ，钢筋级别（ f y ） 求：试校核该梁是否安全？（Mu）
步骤：
1、由已知的 b h ，M，As ， fc
2、适筋受弯构件截面受力的三个阶段
弹性 阶段
c t s y fy
抗裂度计 算 依 据
受拉裂缝 即将出现
带裂缝工作 阶段，
受拉钢筋 即将屈服
破坏阶段
压区砼 被压碎
s fy
s fy
变形、裂缝 验算依据
s fy 正截面承载 力计算依据
c cu
第 I 阶段——未裂阶段
Ia——拉区混凝土即将开裂 Mcr：截面抗裂验算的依据 第 Ⅱ 阶段——带裂缝工作阶段 Ⅱa——受拉钢筋即将屈服
My：构件使用阶段的变形和裂缝宽度验算的依据
第 Ⅲ 阶段——破坏阶段 Ⅲa ——受压混凝土即将屈服 Mu：截面的承载力计算的依据
二、正截面受弯的三种破坏形态---适筋破坏
适筋破坏 受拉钢筋配置合适 拉区混凝土开裂 受拉钢筋屈服 受压混凝土屈服
min ——梁的最小配筋率
45
受弯构件、受拉构件一侧最小配筋率：
ft fy
0.2％
防止超筋破坏：
b
b
—混凝土的界限配筋率，表示能够使钢筋屈服 的同时（即钢筋应变为 y ），受压区混凝土压碎 （即混凝土的应变为 cu ）的配筋率。
wk.baidu.com
三、适筋梁与超筋梁的界限及界限配筋率
cu
a
适筋 ( b ) 界限 配筋
及公式
，
fy
A sf y 1fc bh 0
2、求Mu
b M u max 1 f cbh02b 1 0.5b
2 b M u 1 f cbh0 1 0.5
3、验算最小配筋率条件 min
例题5-1 已知梁bh=200 450，采用HRB335级受拉筋 4 16 (As = 804 mm2)，混凝土C20，梁承受 的M=80kN· m。校核该梁是否安全。 解：(1)验算最小配筋率
不超筋
1 fc bx 1.0 11.9 200 119.87 2 As 950 . 97 ( mm ) fy 300
选用 3 20 ( As 942mm )
2
(4)验算
As 942 bh 200 500 min 0.002 0.0094 f
适筋梁受力的第 Ⅲa 阶段
1、等效矩形应力图 砼压应力的合力大小相等 简化原则 等效
压应力合力作用位置完全相同
结论：
（１）矩形应力图形的砼受压区高度
x 1 xc
xc 实际混凝土受压区高度
x 等效混凝土受压区高度
（２）矩形应力图形的应力值为
1 fc
2、基本计算公式：
中和轴以下的受拉区 T f y As 正截面受力分析 中和轴以上的受压区 C 1 fc bx
min
不少筋
经济配筋率： (0.6 ~ 1.5)%
1.27 0.45 0.45 0.0019 fy 300
t
例题3
试设计图示的雨篷，其中Fk=1kN/m，为沿板 宽方向每米作用的施工活载标准值。
解：(1)确定材料
混凝土：C15 f c 7.2 N mm 2 钢筋：HPB235级 f y 210 N mm 2