(计算机图形学)关于任意直线的对称变换

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计算机图形学第五章图形变换

第五章图形变换重点：掌握二维几何变换、二维观察变换、三维几何变换以及三维观察变换。

难点：理解常用的平移、比例、旋转变换，特别是复合变换。

课时安排：授课4学时。

图形变换包括二维几何变换，二维观察变换，三维几何变换和三维观察变换。

为了能使各种几何变换（平移、旋转、比例等）以相同的矩阵形式表示，从而统一使用矩阵乘法运算来实现变换的组合，现都采用齐次坐标系来表示各种变换。

有齐次坐标系齐次坐标系：n 维空间中的物体可用 n+1维齐次坐标空间来表示。

例如二维空间直线 ax+by+c=O ，在齐次空间成为 aX+bY+cW=0 ，以X 、Y 和W 为三维变量，构成没有常数项的三维平面（因此得名齐次空间）。

点P （x 、y ）在齐次坐标系中用P （wx,wy,w ）表示，其中 W 是不为零的比例系数。

所以从 n 维的通常空间到 n+1维的齐次空间变换是一到多的变换，而其反变换是多到一的变换。

例如齐次空间点P （X 、Y 、W ）对应的笛卡尔坐标是 x=X/W 和y=Y/W 。

将通一地用矩阵乘法来实现变换的组合。

常笛卡尔坐标用齐次坐标表示时， W 的值取1。

采用齐次坐标系可以将平移、比例、旋转这三种基本变换都以相同的矩阵形式来表示,并统齐次坐标系在三维透视变换中有更重要的作用, 示形它使非线形变换也能采用线形变换的矩阵表式。

图形变换平移变换图示如图所示，它使图形移动位置。

新图 p'的每一图元点是原图形 p 中每个图元点在向分别移动Tx 和Ty 产生，所以对应点之间的坐标值满足关系式x'=x+Tx y'=y+Ty可利用矩阵形式表示成：[x' y' ] = : x y ] + : Tx Ty ]简记为：P'= P+T , T= : Tx Ty ］是平移变换矩阵（行向量）二堆几何变换1 1二维观察变換三维几诃变换平移变换比例变换陡转变换对称变换错切变换仿肘变换复合变换平移变换比例变换旋转变换绕空间任意轴離转对称变换蜡切变换三维观察变5.1二维几何变换二维几何变换就是在平面上对二维点的坐标进行变换，从而形成新的坐标。

计算机图形学 7、图形变换

1 0 Rx ( ) 0 0
0 1 0 0
三维几何变换
0 cos sin 0
0 0 0 1
0 sin cos 0
0 0 0 1
cos 0 R y ( ) sin 0
sin 0 cos 0
二维图形平移
• 二维图形平移是将图形上任意一点P(x,y)在x轴方向y轴方向分别平移距离tx,ty，则变换后的新坐标 x’=x+tx y’=y+ty • 用矩阵表示
ty
p
P’
1 0 [ x' , y' ] [ x, y] tx, ty 0 1
tx
二维图形旋转
• 二维图形旋转是将图形绕圆 P’ 点旋转。图形上任意一点 y’ P(x,y)旋转后的位置为P’(x’,y’)。 p • 若|OP|=R,由图可知： y α • x=Rcosθ,y=Rsinθ θ x’ x O • x’=Rcos(θ+α) 用矩阵表示： =Rcosθcosα-Rsinθsinα cos sin x' , y' x, y =x cosα-y sinα sin cos • y’=Rsin (θ+α) R =x sinα+ y cosα
α
(X0,y0) (X0,y0)
(X0,y0)
α
(X0,y0)
(X0,y0)
绕任意点的旋转
• 用矩阵表示各个过程
x1
x2
y1 1 x
y2 1 x1
y 1 T1
y1 1 T2
1 T1 0 x0
0 1 y0
0 0 1
x' x'

计算机图形学第7讲图形变换

x' x y' y
x o
y
几何关系
齐次矩阵形式
x' x y' y
x 1 0 0 x x y 0 1 0 y y 1 0 0 1 1 1
5
齐次坐标表示法

二维齐次坐标在三维空间中
6
齐次坐标技术的优点

齐次坐标可以表达无穷远点

对于h=0的齐次坐标表示无穷远点，如(a,b,0)表示ay=bx 直线上的无穷远点图形变换统一为图形的点集矩阵与某一变换矩阵进行矩阵相乘的单一形式将平移转换成矩阵乘法运算

采用齐次坐标可以统一图形变换的运算形式
当Sx≠Sy时，图形沿坐标轴方向作非均匀缩放发生形变（如正方形变为长方形、圆形变为椭圆）当Sx<0时或Sy<0时，图形不仅大小发生变化，而且将相对于y轴、x轴或原点作对称变换

15
y
y
x x
Sx S y 1
y y
Sx S y
x
x
Sy 0
Sx 0
16
整体比例变换
1 0 0 0 1 0 整体比例矩阵： 0 0 S
齐次表示法
列向量
x1 矩阵 y1 1
x y 1
x2 x2 1 xn xn 1
齐次表示法
图形几何变换表示：
b e h
c x ax dy g f y cx fy i i 1
Sx 比例矩阵： 0 0 0 Sy 0 0 0 1
简写为：

几何变换的基本定义

几何变换的基本定义几何变换是指通过改变图形的位置、形状、大小或方向来实现对图形的转换。

在数学和几何学中，几何变换是广泛应用于图像处理、计算机图形学和几何推理等领域的重要概念。

本文将简要介绍几何变换的基本定义，包括平移、旋转、缩放和对称变换。

一、平移变换平移变换是指将图形沿着平行于原始位置的直线方向移动一定距离。

平移变换不改变图形的形状和大小，只改变了其位置。

设图形上的点坐标为(x, y)，平移变换后的新坐标为(x', y')，则有以下公式：x' = x + ay' = y + b其中，a和b分别表示平移的水平和垂直距离。

在平面几何中，平移变换可以通过将所有点坐标加上相同的位移矢量来实现。

二、旋转变换旋转变换是指将图形绕某一点或绕原点按一定角度旋转。

旋转变换改变了图形的方向和位置，但不改变其大小和形状。

设图形上的点坐标为(x, y)，旋转中心为(cx, cy)，旋转角度为θ，则旋转变换后的新坐标为(x', y')，可以通过以下公式计算：x' = (x - cx) * cosθ - (y - cy) * sinθ + cxy' = (x - cx) * sinθ + (y - cy) * cosθ + cy其中，cosθ和sinθ分别表示旋转角度的余弦和正弦值。

通过调整旋转角度可以实现图形的顺时针或逆时针旋转。

三、缩放变换缩放变换是指通过改变图形的尺寸来实现对图形的变换。

缩放变换可以使图形变大或变小，但图形的形状和位置保持不变。

设图形上的点坐标为(x, y)，缩放中心为(cx, cy)，水平和垂直缩放比例分别为sx和sy，则缩放变换后的新坐标为(x', y')，计算公式如下：x' = (x - cx) * sx + cxy' = (y - cy) * sy + cy通过调整sx和sy的值，可以实现图形的水平或垂直方向上的缩放。

数学中的对称性与变换的性质与应用

电磁波：对称性在电磁波的传播和散射中的应用
相对论：对称性与时空结构的关系
对称性与化学分子的关系
对称性在化学分子中具有重要应用，可以预测分子的性质和行为。
对称性可以用于描述化学反应的过程和机制，帮助理解反应机理。
对称性在化学合成中具有指导作用，可以预测化合物的合成路线和产物结构。
对称性在化学分析中也有应用，可以通过对称性分析确定化合物的晶体结构和分子结构。
拉普拉斯变换：将时域函数转换为复平面上的函数，用于求解微分方程、控制系统等领域
Z变换：将离散信号转换为连续信号，用于数字信号处理、离散控制系统等领域
小波变换：用于多尺度分析、信号处理和图像压缩等领域
变换在几何学中的应用：刚体变换、仿射变换等
投影变换：将三维图形投影到二维平面上，包括正投影、斜投影和透视投影等。
对称性在几何学中的其他应用：除了对称空间和对称流形外，对称性在几何学中还有许多其他应用，如对称函数、对称群等。这些应用在数学和物理学等领域有广泛的应用。
对称性在数学中的重要性：对称性是数学中的重要概念之一，它在数学各个分支中都有广泛的应用。通过对称性的研究，可以深入了解数学对象和数学结构的基本性质和特点，为数学的发展和应用提供重要的理论支持和实践指导。
对称性在分析学中的应用：对称函数、对称级数等
对称函数：具有对称性质的函数，如正弦函数、余弦函数等
对称积分：利用对称性简化积分的计算，如奇偶函数积分性质等
对称微分：利用对称性简化微分方程的求解，如对称变换求解微分方程等
对称级数：具有对称性质的级数，如正项级数、交错级数等
对称性在几何学中的应用：对称空间、对称流形等
常见的变换包括平移、旋转、缩放、镜像反射等，这些变换在几何、代数和微积分等领域有着广泛的应用。

几何变换的对称与旋转

几何变换的对称与旋转几何变换是对图形进行改变的一种方法，其中对称和旋转是两种常见的变换方式。

在这篇文章中，我们将探讨几何变换中的对称和旋转，并深入了解它们的定义、性质以及在实际生活中的应用。

一、对称变换对称变换是指将一个图形进行镜像翻转的操作。

具体来说，对称变换将图形中的每个点关于某一条直线、平面或中心点翻转，使得原图形与翻转后的图形完全重合。

对称变换有以下几个重要的性质：1. 线对称：当图形的每个点关于某一条直线进行翻转后，原图形与翻转后的图形重合。

2. 平面对称：当图形的每个点关于某一平面进行翻转后，原图形与翻转后的图形重合。

对称变换在生活中广泛应用，例如在建筑设计中，对称结构可以增加建筑物的稳定性和美观性。

另外，在艺术和设计领域，对称变换也经常被运用于图案设计和装饰。

二、旋转变换旋转变换是指将一个图形绕某一中心点进行旋转的操作。

旋转变换可以按照顺时针或逆时针方向进行，具体角度可以是任意值。

通过旋转变换，图形将保持形状不变，但位置及方向发生改变。

旋转变换有以下几个重要的性质：1. 中心旋转：旋转变换是以一个中心点为基准进行的，图形中的每个点都绕着该中心点进行旋转。

2. 旋转角度：通过改变旋转的角度，可以实现不同程度的旋转变换，包括90度、180度、270度以及任意角度。

旋转变换在科学研究和实践中具有广泛的应用。

例如，在地图制作中，通过旋转变换可以将地图上的各个实际位置与相对方向准确展示出来。

此外，在计算机图形学中，旋转变换也是三维模型呈现和动画效果实现的重要手段之一。

三、对称与旋转的联系和区别对称变换与旋转变换在几何变换中有着密切的关系，同时也存在一些区别。

对称变换是将图形镜像翻转，通过直线或平面来实现；而旋转变换是围绕中心点进行旋转，改变图形的位置和方向。

对称变换保持图形的形状不变，只是改变了位置；而旋转变换保持图形的形状和位置不变，只是改变了方向。

四、几何变换的实际应用几何变换在现实生活中有着广泛的应用，以下是部分例子：1. 建筑设计：对称变换可以帮助设计师创造对称美感的建筑结构，旋转变换可以实现建筑物在不同角度的呈现。

空间直线方程转化为对称式

空间直线方程转化为对称式空间直线方程转化为对称式在解决三维空间中的几何问题时，我们常常需要将空间直线方程转化为对称式来简化问题的求解。

本文将介绍如何将空间直线方程转化为对称式。

一、空间直线方程的一般形式空间直线的一般形式可以表示为P(x,y,z) = A + tB，其中A和B分别是直线上的一点和方向向量，t为实数。

这个方程包含三个未知数x, y和z，难以直观地表示空间直线在三维空间中的位置和形态。

二、空间直线对称式的定义对称式是一种更加简单且直观的方式来表示空间直线的位置和形态。

空间直线的对称式可以表示为{(x-x0)/l = (y-y0)/m = (z-z0)/n}，其中(x0,y0,z0)是直线上的一点，l, m和n是直线的方向比。

这个方程只包含了两个未知数l和n，更加方便求解问题。

三、空间直线方程转换成对称式的步骤1. 求出直线的方向向量B和一点A的坐标。

2. 将空间直线方程中的(x,y,z)表示为(x0 + lt, y0 + mt, z0 + nt)的形式。

3. 代入对称式中的{x = x0 + lt, y = y0 + mt, z = z0 + nt}。

4. 化简得到直线的对称式。

四、实例演示以直线P(x,y,z) = (1,-3,3) + t(2,1,-1)为例，演示如何将其转化为对称式。

1. 直线的方向向量为B = (2,1,-1)，一点A的坐标为(1,-3,3)。

2. 将直线方程表示为(x0 + lt, y0 + mt, z0 + nt)的形式，得到x=1+2t, y=-3+t, z=3-t。

3. 代入对称式中的{x = x0 + lt, y = y0 + mt, z = z0 + nt}，得到{(x-1)/2 = (y+3)/1 = (z-3)/-1}。

4. 化简得到直线的对称式为{(x-1)/2 = (y+3)/1 = (z-3)/-1}。

五、总结转换成对称式的空间直线方程相对于一般形式更加简单，易于处理。

简单的几何变换与对称性

简单的几何变换与对称性几何变换是几何学中重要的概念，可以通过对图形的平移、旋转、镜像和缩放等操作，使得图形在平面或空间中发生形状和位置的变化。

与此同时，对称性作为几何学的一个重要性质，描述了图形在某种操作下保持不变的特点。

本文将探讨简单的几何变换与对称性的关系，以及它们在实际生活中的应用。

一、平移变换与平移对称性平移变换是指将图形沿着某一方向移动一定距离的操作。

在平面几何中，平移变换可以理解为将图形整体平行地移动，而不改变其形状和大小。

平移对称性则指的是对于一个图形，将其整体平移一段距离后，仍然与原图形完全重合。

平移操作和平移对称性的实际应用非常广泛。

例如，在地图上测量两个地点之间的距离时，我们需要考虑地球表面的曲率，通过平移操作将地图上的两个点同步平移到平面上进行测量，以保证精确性。

二、旋转变换与旋转对称性旋转变换是指将图形绕一个固定点旋转一定角度的操作。

在平面几何中，旋转变换可以理解为将图形绕着中心点进行旋转，从而改变其方向或位置。

旋转对称性则指的是对于一个图形，在不同角度下进行旋转，旋转后的图形与原图形完全重合。

旋转变换和旋转对称性的应用也非常广泛。

例如，在机器人技术中，通过旋转关节和电机等装置，可以使机器人的手臂或身体在空间中进行各种形式的旋转，从而实现人体动作的模拟。

三、镜像变换与镜像对称性镜像变换是指通过镜面反射将图形关于某一直线对称翻转的操作。

在平面几何中，镜像变换可以理解为将图形沿着镜面进行翻转，从而改变其左右或上下关系。

镜像对称性则指的是对于一个图形，在镜面对称下，反射后的图形与原图形完全重合。

镜像变换和镜像对称性的应用也非常广泛。

例如，在建筑设计中，我们可以通过镜像变换得到一个建筑物的立体投影图，从而帮助我们更好地理解建筑设计方案。

四、缩放变换与缩放对称性缩放变换是指通过改变图形的尺寸比例来变换图形的操作。

在平面几何中，缩放变换可以理解为将图形以某个中心点为基准进行放大或缩小，从而改变其大小与比例。

平移变换与对称变换

平移变换与对称变换平移变换和对称变换是几何学中常见的两种变换方式，它们在图形的位置和形状改变方面起着重要作用。

本文将介绍平移变换和对称变换的概念、性质以及实际应用，并对它们进行比较和分析。

一、平移变换1.1 概念平移变换是指在二维或三维平面上，将一幅图形向某一方向移动一定距离的变换方式。

平移变换并不改变图形的形状和大小，只是改变了它的位置。

在平移变换中，所有的点都按照相同的方式进行移动，即移动前后的所有点之间的距离和相对位置保持不变。

1.2 性质平移变换具有以下性质：（1）平移变换可以将一条直线映射为平行于它的另一条直线。

（2）平移变换保持图形的面积、周长和内角度不变。

（3）平移变换是可逆的，即对一个图形进行平移变换，再对其进行逆变换，可以还原到原来的位置。

1.3 应用平移变换在日常生活中广泛应用，比如：（1）导航地图中的位置标记，通过平移变换可以将标记移动到准确的位置。

（2）计算机图形学中的图像平移，可以实现图像的拼接和移动效果。

（3）工程设计中的布局规划，通过平移变换可以调整建筑物或设备的位置。

二、对称变换2.1 概念对称变换是指通过某一中心或某一轴进行图形的位置改变的变换方式。

在对称变换中，图形经过变换后，仍然保持相同的形状和大小，只是相对于中心或轴的位置发生了改变。

对称变换有三种常见的形式，即轴对称、中心对称和点对称。

2.2 性质对称变换具有以下性质：（1）轴对称：轴对称变换将图形映射为关于某一直线对称的图形。

（2）中心对称：中心对称变换将图形映射为关于某一点对称的图形。

（3）点对称：点对称变换将图形映射为关于某一点对称的图形。

（4）对称变换保持图形的面积、周长和内角度不变。

（5）对称变换是可逆的，即对一个图形进行对称变换，再对其进行逆变换，可以还原到原来的位置。

2.3 应用对称变换在许多领域中得到广泛应用，比如：（1）建筑设计中的立面对称，通过对称变换可以保持建筑的整体美感。

（2）艺术创作中的图案设计，对称变换可以创造出美观的对称效果。

计算机图形学-第三章-变换及裁剪

xh hx, yh hy, h 0
(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线
xh hx
yh
hy
zh h
7
齐次坐标的作用
1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。
2. 便于表示无穷远点。
例如：（x h, y h, h)，令h等于0
25
3 规格化设备坐标系用于用户的图形是定义在用户坐标系里，
而图形的输出定义在设备坐标系里，它依赖于基体的图形设备。由于不同的图形设备有不同的设备坐标系，且不同设备间坐标范围也不尽相同，例如：分辨率为1024*768的显示器其屏幕坐标的范围：x方向为0~1023，y方向为0~767，分辨率为640*480的显示器，其屏幕坐标范围为：x 方向0~639，y方向0~479
y 1)，则
1 0 0
P'x' y' 1 x y 1 0 1 0 x
Tx1
Ty1
1
y 1Tt1
经第二次平移变换后的坐标为P*(x* y* 1)
P * x *
y * 1 x'
y'
1
1 0
0 0 1 0
Tx
2
Ty 2
1
1 0 0 1 0 0
x y 1 0 1 0 0 1 0 x y 1 Tt1Tt2
44
关于透视投影
一点透视投影
两点透视投影
三点透视投影
45
内容
二维变换三维变换裁剪
二维线裁剪二维多边形裁剪文本裁剪三维裁剪关于三维变换与裁剪
46
三维变换流程图

fx关于直线点对称的公式

FX关于直线点对称的公式
设点A(x1,y1)和点B(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称。

首先，点A和点B的中点M必定在直线l上。

中点M的坐标可以通过下式求得：
M(2x1+x2,2y1+y2)
由于中点M在直线l上，代入直线方程Ax+By+C=0，得到：
A(2x1+x2)+B(2y1+y2)+C=0
化简得：
A(x1+x2)+B(y1+y2)+2C=0(方程1)
其次，由于点A和点B关于直线l对称，直线AB与直线l垂直。

直线AB 的斜率kAB为：
kAB=x2−x1y2−y1
直线l的斜率kl为：
kl=−BA
由于AB⊥l，有kAB⋅kl=−1，即：
x2−x1y2−y1⋅(−BA)=−1
化简得：
A(y2−y1)=B(x2−x1)(方程2)
联立方程1和方程2，可以解出x2和y2，即点B的坐标。

注意：这个公式适用于一般情况下的点关于直线对称问题。

当直线l的斜
率不存在（即垂直于x轴）时，需要特殊处理。

此外，当A=0或B=0时，也需要特别注意。

计算机图形学-第七章-几何变换

则比例变换可以表示成以下的矩阵形式：
x' y'
Sx
0
0 x
Sy
y
记为： P'SP
7.1.3 旋转变换
物体上的各点绕一固定点沿圆周路径作转动称为旋转变换。我们可用旋转角表示旋转量的大小。
一个点由位置（x、y）旋转到（x′y′）如下图所示，θ为旋转角。
旋转变换
由图可得到如下三角关系式：
y’=y+ Ty 1=1
上两式正好是坐标的平移变换。
二维几何变换的齐次坐标表示
使用这种表示方法，坐标的平移变换可以表示为：
x ' 1 0 Tx x
y
'
0
1
T
y
y
1 0 0 1 1
平移变换的矩阵形式缩写： P'T(Tx, Ty)P
这样，我们就把矩阵的加法运算转化为矩阵的乘法运算，我们使用的这种表达坐标的方法就叫齐次坐标表示。
•三维几何变换方程也可以用变换矩阵表示。任何一个变换序列均可用一个矩阵表示，此矩阵是把序列中的各个矩阵级联到一起而得到的 .
•对于三维空间点需要用4个数来表示，而相应的变换矩阵是4×4阶矩阵。
7.4.1 三维坐标系的建立
右手坐标系 :伸出右手，当用大姆指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，则与手心垂直的中指方向就是z轴正向。在计算机图形学中，两种坐标系都可以使用。
二维图形和三维图形都可以进行图形变换。图形变换通常采用矩阵的方法，图形所做的变换不同其变换矩阵也不同。变换的实质是对由图形上各点的坐标组成的矩阵进行运算，因此在讨论各种具体图形几何变换时，可以归结为一个点的变换。
7.1 二维基本变换

几何图形的对称性与变换

几何图形的对称性与变换是几何学中的重要概念，它们在数学、艺术、工程设计等多个领域都有着广泛的应用。

对称性是指物体或图形在某种变换下保持不变的性质，而变换则是指图形在空间中的位置、形状、大小等特征的改变。

一、对称性对称性是几何图形的一种基本属性，它反映了图形在某种对称变换下的不变性。

对称性可以分为两种基本类型：轴对称和中心对称。

1. 轴对称：如果一个几何图形关于一条直线（对称轴）对称，即在直线两侧的部分能够通过这条直线对折而完全重合，那么这个图形具有轴对称性。

轴对称的图形在日常生活中非常常见，如蝴蝶、叶子等。

轴对称的性质在数学上有助于简化一些问题的求解，如计算图形的面积或周长等。

2. 中心对称：如果一个几何图形关于一个点（对称中心）对称，即图形上的每一点与对称中心连接形成的线段都被该点平分，那么这个图形具有中心对称性。

中心对称的图形如圆形、正方形等，它们在视觉上呈现出一种平衡和稳定感。

中心对称的性质在数学上也有着广泛的应用，如计算图形的旋转、平移等变换后的位置。

对称性不仅存在于二维平面图形中，还存在于三维立体图形中。

在三维空间中，几何图形的对称性可以表现为面对称、线对称和旋转对称等多种形式。

这些对称性质在工程设计、建筑设计等领域中具有重要的应用价值，可以帮助设计师创造出美观且结构稳定的作品。

二、变换变换是指几何图形在空间中的位置、形状、大小等特征的改变。

常见的变换包括平移、旋转、缩放等。

1. 平移：平移是指图形在空间中沿某一方向移动一定的距离，而形状和大小保持不变的操作。

平移是一种简单的变换，它不会改变图形的任何内在属性，只是改变了图形在空间中的位置。

平移在数学、计算机图形学等领域有着广泛的应用，如在动画制作中通过平移实现物体的运动效果。

2. 旋转：旋转是指图形在空间中以某一点为中心，沿某一方向旋转一定的角度，而形状和大小保持不变的操作。

旋转变换可以改变图形的方向，但不会改变图形的大小和形状。

在日常生活中，许多物体都具有旋转对称性，如轮子、表盘等。

平移变换和对称变换

平移变换和对称变换平移变换和对称变换是数学中常见的两种几何变换方式。

它们在图形的移动和对称性研究中扮演着重要角色。

本文将介绍平移变换和对称变换的概念、性质以及在实际应用中的意义。

一、平移变换平移变换是指将一个图形沿着同一方向移动一定的距离，移动前后保持图形的大小、形状和相对位置不变。

平移变换可以用向量来表示，即将所有点的坐标都加上一个相同的位移向量。

设图形上任一点的坐标为(x, y)，位移向量为(a, b)，则平移变换后该点的新坐标为(x+a, y+b)。

平移变换具有以下性质：1. 保持图形的大小和形状不变；2. 保持图形内部的点仍然属于图形本身；3. 保持图形上任意两点之间的距离和夹角不变。

平移变换在几何学中的应用十分广泛。

例如，在计算机图形学中，平移变换用于移动、平移图形对象；在地理学中，平移变换用于研究地壳板块的相对运动等。

二、对称变换对称变换是指将一个图形围绕着某个中心轴进行镜像反转，使得图形的左右两侧完全对称。

对称变换可以分为对称轴为直线的对称变换和对称轴为点的对称变换两种形式。

1. 对称轴为直线的对称变换：对称轴为直线的对称变换就是常见的镜像变换。

其图形在对称轴两侧完全一致，对称轴上的点不发生变化。

例如，以x轴为对称轴进行对称变换，任一点(x, y)变换后的坐标为(x, -y)。

2. 对称轴为点的对称变换：对称轴为点的对称变换是将图形围绕着某个点进行反转，使得图形的每个点与该点的连线关于该点对称。

例如，以原点(0, 0)为对称中心进行对称变换，任一点(x, y)变换后的坐标为(-x, -y)。

对称变换的性质如下：1. 保持图形上的任意两点与对称轴的距离相等；2. 保持图形上的任意两点与对称轴的夹角不变。

对称变换在数学、物理和工程等领域都有广泛应用。

例如，在建筑设计中，对称变换可以用于设计具有对称美感的建筑物；在密码学中，对称加密算法利用对称变换实现数据加密和解密等。

三、平移变换与对称变换的关系平移变换和对称变换都是几何变换的重要内容，它们有一定的联系和区别。

(计算机图形学)关于任意直线的对称变换

实验3：关于任意直线的对称变换实验类型：验证、设计所需时间：3学时主要实验内容及要求：对于任意直线的二维图形对称变化的实验，要求输入的直线是任意直线，直线的端点只能由键盘输入或者鼠标拾取，要做对称变换的图形也是一个任意图形（至少应是一个任意多边形）。

对称变换，先分析如何使用一系列简单变换来构造题目要求的复合变换。

本体要实现的变换可以用如下一组变换组合来实现：①将直线任一点移至与坐标原点重合②将平移后的直线绕原点旋转至与某一坐标轴重合③将题目要求的对称变换转为实现已知图形关于上述坐标轴的对称变换④按逆序求上述①、②变换的逆变换⑤将上述矩阵依次相乘得到最终的复合变换矩阵则某一多边形关于任意直线的对称变换就转变为将该多边形的各顶点与上述求得的复合变换进行矩阵乘法，求得变换后的新多边形的各个顶点坐标。

根据上述流程，编程实现，并测试程序功能。

源代码：#include<iostream>#include<gl/glut.h>using namespace std;void Initial(void){glClearColor(1.0f,1.0f,1.0f,1.0f);glMatrixMode(GL_PROJECTION);gluOrtho2D(0.0,200.0,0.0,150.0);}class CPoint{public:int x;int y;CPoint(){}CPoint(int x1,int y1){x=x1;y=y1;}static CPoint ZeroMoveToXY(CPoint p, CPoint XY);//原始坐标向屏幕坐标XY的平移static CPoint ToZero(CPoint p);//关于原点对称static CPoint XYMoveToZero(CPoint p, CPoint XY);//XY坐标向屏幕坐标的平移static CPoint Charge_AllLine(CPoint p, CPoint line_start, CPoint line_end);//关于Ax+By+C = 0对称};CPoint CPoint::ZeroMoveToXY(CPoint p, CPoint XY){//原始坐标向屏幕坐标XY的平移CPoint result;int change[3][3] = {{1,0,0},{0,1,0},{-XY.x,-XY.y,1}};int p1[3] = {0,0,0};for (int j = 0;j < 3;j++){p1[j]=p.x * change[0][j] + p.y * change[1][j] + change[2][j];}result.x = p1[0];result.y = p1[1];return result;}CPoint CPoint::ToZero(CPoint p){//关于原点对称CPoint result;int change[3][3] = {{-1,0,0},{0,-1,0},{0,0,1}};int p1[3] = {0,0,0};for (int j = 0;j < 3;j++){p1[j]=p.x * change[0][j] + p.y * change[1][j] + change[2][j];}result.x = p1[0];result.y = p1[1];return result;}CPoint CPoint::XYMoveToZero(CPoint p, CPoint XY){//XY坐标向屏幕坐标的平移CPoint result;int change[3][3] = {{1,0,0},{0,1,0},{XY.x,XY.y,1}};int p1[3] = {0,0,0};for (int j = 0;j < 3;j++){p1[j]=p.x * change[0][j] + p.y * change[1][j] + change[2][j];}result.x = p1[0];result.y = p1[1];return result;}CPoint CPoint::Charge_AllLine(CPoint p, CPoint line_start, CPoint line_end){//关于Ax+By+C = 0对称double A,B,C;if(line_start.x == line_end.x){A = 1;B = 0;C = -line_start.x;}else if(line_start.y == line_end.y){A = 0;B = 1;C = -line_start.y;}else{A = 1000/(line_end.x - line_start.x);B = -1000/(line_end.y - line_start.y);C = 1000*(-line_start.x/(line_end.x-line_start.x)+line_start.y/(line_end. y - line_start.y));}CPoint result;float Y_f = (-A*B*p.x + A*A*p.y - B*C)/(B*B+A*A);float X_f = (-A*B*p.y + B*B*p.x - A*C)/(B*B+A*A);CPoint xy,m1,m2;xy.x=X_f;xy.y = Y_f;m1 = CPoint::ZeroMoveToXY(p, xy);m2 = CPoint::ToZero(m1);result = XYMoveToZero(m2, xy);return result;}void Display(void){glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);glColor3f(1.0f,0.0f,0.0f);glBegin(GL_LINES);int n,x,y,i;cout<<"请输入对称图形的顶点数："<<endl;cin>>n;CPoint *p=new CPoint[n];for(i=0;i<n;i++){cout<<"请输入第"<<i+1<<"个顶点坐标"<<endl;cin>>x>>y;p[i].x=x;p[i].y=y;if(i==0||i==1){glVertex2i(p[i].x,p[i].y);}else if(i==n-1){glVertex2i(p[i-1].x,p[i-1].y);glVertex2i(p[i].x,p[i].y);glVertex2i(p[i].x,p[i].y);glVertex2i(p[0].x,p[0].y);}else{glVertex2i(p[i-1].x,p[i-1].y);glVertex2i(p[i].x,p[i].y);}}cout<<"请输入对称直线的两个顶点："<<endl;CPoint *p2=new CPoint[2];for(i=0;i<2;i++){cout<<"请输入第"<<i+1<<"个顶点坐标"<<endl;cin>>x>>y;p2[i].x=x;p2[i].y=y;glVertex2i(p2[i].x,p2[i].y);}for(i=0;i<n;i++){p[i]=CPoint::Charge_AllLine(p[i], p2[0], p2[1]);if(i==0||i==1){glVertex2i(p[i].x,p[i].y);}else if(i==n-1){glVertex2i(p[i-1].x,p[i-1].y);glVertex2i(p[i].x,p[i].y);glVertex2i(p[i].x,p[i].y);glVertex2i(p[0].x,p[0].y);}else{glVertex2i(p[i-1].x,p[i-1].y);glVertex2i(p[i].x,p[i].y);}}glEnd();glFlush();}int main(int argc,char*argv[]){glutInit(&argc,argv);glutInitDisplayMode(GLUT_SINGLE|GLUT_RGB);glutInitWindowSize(400,300);glutInitWindowPosition(0,0);glutCreateWindow("矩形");glutDisplayFunc(Display);Initial();glutMainLoop();return 0;}实验结果：。

空间直线一般方程转对称式

空间直线一般方程转对称式1. 引言在空间解析几何中，我们经常需要研究关于直线的一些问题。

而直线的一般方程形式为$Ax+By+Cz+D=0$，但有时候我们需要将其转化为对称式，以便更方便地研究直线的性质。

本文将介绍如何将空间直线的一般方程转化为对称式。

2. 什么是对称式？我们先来理解一下什么是对称式。

对称式是指关于某一平面或直线对称的方程形式。

在空间直线的情况下，直线的对称式一般形式为$\dfrac{x-x_0}{l}=\dfrac{y-y_0}{m}=\dfrac{z-z_0}{n}$，其中$(x_0,y_0,z_0)$为直线上的一点，$(l,m,n)$为直线的方向向量。

3. 空间直线一般方程的转化过程现在我们介绍一下将空间直线的一般方程转化为对称式的具体过程。

我们以一般方程为$Ax+By+Cz+D=0$的直线为例进行讲解。

步骤一：求出直线的方向向量要求出直线的方向向量$(l,m,n)$，我们可以任选一点$(x_0,y_0,z_0)$在直线上，然后再选择另外一点$(x_1,y_1,z_1)$，则有：$$Ax_0+By_0+Cz_0+D=0\\Ax_1+By_1+Cz_1+D=0\end{cases}$$然后我们将两个方程相减，得到：$$\begin{cases}A(x_1-x_0)+B(y_1-y_0)+C(z_1-z_0)=0 \end{cases}$$因此：$$\begin{cases}l=x_1-x_0\\m=y_1-y_0\\n=z_1-z_0$$步骤二：将方向向量带入对称式中将方向向量带入对称式中，得到：$$\dfrac{x-x_0}{l}=\dfrac{y-y_0}{m}=\dfrac{z-z_0}{n}$$此即为该空间直线的对称式。

4. 例题我们来看一个例题，将一般方程为$2x-3y+4z+5=0$的直线转化为对称式。

首先我们需要求出该直线的方向向量。

选取两个点$(1,0,-5)$和$(0,1,-\dfrac{13}{4})$，则方向向量为$(2,-3,4)$。

实验3：关于任意直线的对称变换

/*任意多边形关于任意直线的对称变换*/#include <graphics.h>#include <math.h>void main(){float co,si;int x,y,pt[100]={100,50},tx;float a,b,c;int i,a1,n,af;float dtheta,theta,aff;float q2,q1;int gdriver=DETECT,gmode;initgraph(&gdriver,&gmode,"c:\\win-tc");cleardevice();setbkcolor(9);setcolor(4);line(10,250,450,250); /*坐标轴*/line(250,10,250,450);printf("input the a1 ,n and af(exp:100,4,0):\n");/*a1为边长，n为几边形，af为与x轴正向的夹角*/scanf("%d,%d,%d",&a1,&n,&af);while(n<3){printf("ERROR!");printf("input the a1 ,n and af(exp:100,4,0):\n");scanf("%d,%d,%d",&a1,&n,&af);}dtheta=6.28318/n;theta=af*0.0174533;moveto(pt[0]+250,-pt[1]+250);for(i=2;i<2*n;i=i+2){ pt[i]=pt[i-2]+a1*cos(theta);pt[i+1]=pt[i-1]+a1*sin(theta);lineto(pt[i]+250,-pt[i+1]+250);theta=theta+dtheta;}lineto(pt[0]+250,-pt[1]+250);printf("please input a,b,c,which is in ax+by+c=0:exp:1,-1,100):\n");scanf("%f,%f,%f",&a,&b,&c);if(a==0){line(30,(250+c/b),450,(250+c/b));getch();for(i=0;i<=2*n;i=i+2){pt[i+1]=-(pt[i+1]+c/b)-c/b;}moveto(pt[0]+250,-pt[1]+250);for(i=2;i<2*n;i=i+2)lineto(pt[i]+250,-pt[i+1]+250);lineto(pt[0]+250,-pt[1]+250);getch();}else if(b==0){line((250-c/a),100,(250-c/a),450);getch();for(i=0;i<2*n;i=i+2)pt[i]=-(pt[i]+c/a)-c/a;moveto(pt[0]+250,-pt[1]+250);for(i=2;i<2*n;i=i+2)lineto(pt[i]+250,-pt[i+1]+250);lineto(pt[0]+250,-pt[1]+250);getch();}else{line(250-c/a,250,250,250+c/b);getch();aff=atan(-a/b) ;for(i=0;i<2*n;i=i+2){ tx= pt[i];pt[i]=pt[i]*cos(2*aff)+pt[i+1]*sin(2*aff)+(c/a)*(cos(2*aff)-1);pt[i+1]=tx*sin(2*aff)-pt[i+1]*cos(2*aff)+(c/a)*sin(2*aff);}moveto(pt[0]+250,-pt[1]+250);for(i=2;i<2*n;i=i+2)lineto(pt[i]+250,-pt[i+1]+250);lineto(pt[0]+250,-pt[1]+250);getch();}closegraph();}。

《计算机图形学》05 图形的几何变换

绕 y 轴的旋转矩阵：
绕 z 轴的旋转矩阵：
cos sin 0 0 sin cos 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
绕空间任意轴规定角度的旋转变换：思路：将旋转轴转到 z 轴方向，对图形作绕 z 轴的旋转变换后在转回原位置
P P*
例：设旋转轴由空间一点A(xa , ya , za ) 及其方向
(5) 求 Ry, Rx, TA 的逆变换 z
cos b 0 1 Ry sin b 0 0 sin b 0 1 0 0 0 cos b 0 0 0 1
x
0 0 1 0 cos a sin a 1 Rx 0 sin a cos a 0 0 0
5.2 二维图形变换
采用齐次坐标可将二维图形变换表示成如下形式： a d 0 [ x* y* 1 ] = [ x y 1 ] b e 0 c f 1 P*
变换后的顶点坐标
=
P
变换前的顶点坐标
•
M
二维变换矩阵
二维变换矩阵中： a b [c d e f] 是对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换。是对图形进行平移变换
第五章
图形的几何变换
5.1 概述
为了使被显示的对象数字化，通常是采用适当的坐标系耒描述被处理的对象。图形和数字之间的联系也就是通过坐标建立起来的。因此，所谓图形的几何变换实质上就是图形的坐标变换。图形坐标数字化
几何变换，投影变换，视窗变换线性变换，属性不变，拓扑关系不变。作用：把用户坐标系与设备坐标系联系起来；可由简单图形生成复杂图形；可用二维图形表示三维形体；动态显示。
当 b (或 d ) < 0 时，图形沿 X (或 Y )负向错切。

如何画函数关于直线对称的图像

如何画函数关于直线对称的图像
不知道大家还记得以前上学时，老师在黑板上画函数关于直线对称的图像是很困难的，一般老师们都是只画个大概的，现在有了几何画板这样专业的数学绘图工具，就可以轻松画出关于直线对称的图像了。

比如怎么用几何画板画y=e x的图像关于直线y=2x对称的图像呢？下面就一起来看看具体的绘制方法。

具体的操作步骤如下：
步骤一利用几何画板分别画出y=e x的图像和直线y=2x。

打开几何画板，点击上方菜单栏“绘图”菜单，在其下拉菜单选择“绘制函数”命令，在弹出的函数对话框输入“e”、“^”、“x”，点击确定，就画出了y=e x的图像；直线y=2x 的绘制方法同上。

在几何画板中分别画出y=e x的图像和直线y=2x
步骤二构造反射镜面。

一次函数的图像虽然是直线，但是不可以作为反射镜面的，我们可以利用“直线工具”在y=2x上从新构造出一条直线，双击该直线标记镜面。

在直线y=2x上构造直线并标记镜面
步骤三函数图像不可以直接进行反射的，我们可以先在y=e x取一点A，然后选中点A，点击上方菜单栏“变换”命令，在其下拉菜单选择“反射”命令，这样就得到一个点B，如下图所示。

作点A的对称点B示例
步骤四选中点A和点B，点击上方菜单栏“构造”菜单，在其下拉选项选择“轨迹”命令，这样就得到y= e x的图象关于直线y=2x对称的图像，如下图所示。

利用构造轨迹得到对称图像示例
利用以上方法，就可以用几何画板轻松画出函数关于直线对称的图像，比在黑板上画图容易多了，所以这也是为什么几何画板这么受老师青睐的原因。

线对称与点对称

线对称与点对称线对称与点对称是几何学中常见的概念，用来描述图形在空间中的变化和对称性。

线对称和点对称都是对称变换的一种形式，它们在几何学和许多其他学科中都有广泛的应用。

本文将从定义、特点、应用等方面综合介绍线对称和点对称的概念，使读者更好地理解和运用这两种对称变换。

一、线对称线对称是指图形绕着某条直线进行旋转180度后能够重合的性质。

具体地说，当一幅图形的每一个点与以某条直线为镜像的对称点相互重合时，这个图形就是关于这条直线线对称的。

直线称为线对称的轴线。

线对称的轴线可以是任意位置、方向和长度的直线。

线对称的特点有以下几点：1. 线对称具有对称性。

一幅图形沿着某条直线进行线对称变换后，新的图形与原图形完全相同。

这种对称性使得线对称在几何学中具有重要的意义，并且可以简化分析和计算的过程。

2. 线对称保持图形的形状。

即图形进行线对称变换后，形状、大小和比例等几何性质保持不变。

线对称变换只是改变了图形的位置和方向，而没有改变其本质属性。

3. 线对称可以叠加。

即当一幅图形进行两次线对称变换时，结果与进行一次线对称变换后的结果相同。

这个性质可以简化对图形进行复杂线对称变换的计算过程。

线对称在几何学的应用非常广泛，常见的应用有：1. 电子设计中的线对称网络。

在电子电路设计中，使用线对称网络可以实现信号的匹配、滤波和增益等功能，提高电路性能。

2. 动画和图像处理中的线对称变换。

在计算机图形学中，通过对图像进行线对称变换，可以改变图像的形状、风格和艺术效果，使得图像更加丰富多样。

3. 建筑设计中的线对称结构。

在建筑设计中，使用线对称结构可以增加建筑物的稳定性和美观性，提高建筑的结构强度和空间利用率。

二、点对称点对称是指图形围绕某个点进行旋转180度后能够重合的性质。

具体来说，当一幅图形的每一个点与以某个点为中心的对称点相互重合时，这个图形就是关于这个点点对称的。

这个点称为点对称的中心。

点对称的特点有以下几点：1. 点对称具有对称性。