2.2.1 等差数列-王后雄学案

张喜林制

2.2.1 等差数列

教材知识检索

考点知识清单

1．等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 都等于____ ，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数d 叫做等差数列的 .

2．等差数列的单调性：等差数列的公差 时，数列为递增数列；等差数列的公差 时，数列

为递减数列； 等差数列的公差 时，数列为常数列．等差数列不会是 ．

3．等差数列的通项公式=n a

4．要证明数列}{n a 为等差数列，只要证明：当2≥n 时，

要点核心解读

1．等差数列的定义

在等差数列的定义中，要强调“从第二项起”和“同一常数”，这体现了等差数列的基本特征，还要注意公差是“每一项与它前一项的差”，防止将被减数和减数颠倒，如果用数学符号来描述，可叙述为：

若d n d a a n n ,2(]≥=-- 为常数）

，则}{n a 是等差数列．还可以写成：若d N n d a a u n ,1++∈<=- 为常数），则}{n a 是等差数列．

[注意] 以上定义中的常数是相对于变量n （项数）而言的．

2．等差中项

如果a 、b 、c 成等差数列，则称b 是a 与c 的等差中项，

由以上定义知：b 是a 与c 的等差中项甘a 、b 、c 成等差数列2

2c a b b c a +=

⇔=+⇔ 3．等差数列的判定

(1)用定义判定：即判定d a a n n =-+1（常数）)(+∈N n 或1

22++=+n n n a a a （即)112n n n n a a a a -=-+++ 是否成立．

(2)用通项公式判定：即用}{n a 为等差数列q pn a n +=⇔q p 、(为常数）判定．

4．等差数列的通项公式及其变式

通项公式：d n a a n )1(1-+=（其中1a 为首项，d 为公差）．

变式1：).()(⋅=/-+=m n d m n a a m n

变式2：).2(1

1+∈≥--=

N n n n a a d n 且 变式3：).(m n m n a a d m n =/--= [注意] (1)等差数列的通项公式是关于变量n （项数）的一次函数或常数函数（d=0时），因此在解决有关问题时，可用函数方法处理．

(2)等差数列的通项公式实质是d a n a n ,,,1四者之间的关系式，只要知道其中三个的值，由它们便可求出另一个的值，特别地，要求等差数列的通项公式，只需先求出首项1a 和公差d

5．等差数列的性质

(1)等差数列}{n a 中，⋅∈-=-+),()(N m n d m n a a m n

(2)若a ，b ，c 成等差数列，则k mc k mb k ma +++,.,也成等差数列（m ，k 为常数）．

(3)等差数列}{n a 中，若,q p n m +=+则q p m n a a a a +=+).,,,(+∈N q p m n

[特别注意] “数列}{n a 中，若,q p m +=则=m a ,,q P a a +是不成立的．

(4)等差数列}{n a 中，若公差d>0，则数列}{n a 为递增数列；等差数列}{n a 中，若公差d<0，则数列}{n a 为递减数列．

(5)等差数列}{n a 中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，但剩下的项按原来的顺序排列，构成的新数列不一定是等差数列，

证明：假设从第p 项起，每隔q 项抽出等差数列的项，则组成的新数列是,,,,32q p q q p p a a a a +++ρ ,,)1(q n p a -+ 则有--+q n p a )1(=-+q n p a )2(---+]1)1({q n r p qd d q n p =--+]}1)2([为常数所以等差数列}{n a 中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，

显然，剩下的项按原来的顺序排列，构成的新数列不一定是等差数列．

(6)若数列}{n b 也是公差为d 的等差数列，则数列+

n a 1{λ212}(λλλh n b 是常数）是公差为d )(21λλ+ 的等差数列.

证明：因为,)1(,)1(11d n b b d n a a n n -+=-+=所以+n a ]λ])1([112d n a b n -+=λλ-++n b ([12λ

,))(1()(]12]1211d n b a d λλλλ+-++=）所以=+--1211n n b a λλ+11[a λ+-])2(d n ])2([12d n b -+λ =)2()(1211-++n b a λλ+

](λ,)2d λ所以=+-+--)()(121121n n n n b a b a λλλλ.)(21d λλ+所以数列

2121,}{λλλλ<+n n b a 是常数）是公差为d )(21λλ+的等差数列．

利用等差数列的性质可使有些问题的解题过程十分简捷．

6．等差数列与一次函数的关系

通项公式,)1(11d a dn d n a a n -+=-+=即n a 是n 的一次函数式，故表示等差数列各项的点都在一条直线上．如：首项为l ，公差为2的等差数列的通项公式为,12-=n a n 相应的图象是直线12)(-=x x f 上均匀排列开的无穷多个孤立的点，如图2 -2 -1 -1所示，

由函数的图象可得等差数列的单调性：

当d>0时，数列}{n a 为递增数列（图2 -2 -1-2甲）；

当d<0时，数列}{n a 为递减数列（图2 -2 -1-2乙）；

当d=0时，数列}{n a 为常数列（图2 -2 -1-2丙）．

请注意图象，公差d 恰好为所在直线的斜率，因此有=d ,(n m n m a a n m =

/--斜率公式）． 典例分类剖析

考点1 等差数列的概念

命题规律

(1)判断所给出的数列是否为等差数列．

(2)判断某一项或某些项是否为等差数列中的项．(3)证明某一数列为等差数列．

[例1] (1)求等差数列8，5，2，…的第20项；

(2) -401是不是等差数列-5，-9，-13，…中的项？如果是，是第几项？

(3)若数列}{n a 的通项⎩

⎨⎧≥+==),2(12),1(1n n n a n 试问数列}{n a 是等差数列吗？ [解析] 第(1)小题是求等差数列的指定项，我们可以先求出首项1a 和公差d ，然后将它们代入等差