武汉大学计算机学院组合数学第一章排列与组合
《排列与组合》的说课稿
《排列与组合》的说课稿引言概述：排列与组合是数学中重要的概念，它们在各个领域都有着广泛的应用。
通过排列与组合的学习，可以帮助我们解决各种实际问题，提高我们的逻辑思维能力和数学素养。
本文将从排列与组合的定义、性质、应用等方面进行详细阐述。
一、排列的概念1.1 排列的定义：排列是指从给定的元素中按照一定的顺序选取若干个元素进行排列的方式。
1.2 排列的计算公式：排列的计算公式为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n表示总元素个数，m表示选取的元素个数。
1.3 排列的性质：排列的个数随着元素个数和选取个数的增加而增加，排列的顺序不同则视为不同的排列。
二、组合的概念2.1 组合的定义：组合是指从给定的元素中按照一定的规则选取若干个元素进行组合的方式。
2.2 组合的计算公式：组合的计算公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n表示总元素个数，m表示选取的元素个数。
2.3 组合的性质：组合的个数不受元素的排列顺序影响，组合的个数随着选取的元素个数的增加而减少。
三、排列组合的应用3.1 排列组合在概率统计中的应用：排列组合可以帮助我们计算事件发生的可能性，从而进行概率统计的分析。
3.2 排列组合在密码学中的应用：排列组合可以帮助我们设计安全的密码算法，保护信息的安全性。
3.3 排列组合在工程设计中的应用：排列组合可以帮助我们设计出更加合理的工程结构，提高工程的效率和可靠性。
四、排列组合的解题方法4.1 利用计算公式：根据排列组合的计算公式，可以直接计算出排列组合的个数。
4.2 利用递推关系：通过递推关系可以简化排列组合的计算过程，提高解题效率。
4.3 利用实际问题进行练习：通过解决实际问题，可以更好地理解排列组合的概念和应用。
五、总结排列与组合作为数学中的重要概念，具有广泛的应用价值。
通过学习排列与组合，可以提高我们的逻辑思维能力和解决问题的能力，为我们的学习和工作带来更多的帮助。
希望大家能够认真学习排列与组合的知识，不断提升自己的数学素养。
排列与组合的基本概念和计算方法
排列与组合的基本概念和计算方法排列与组合是概率论中非常重要的概念，它们用于解决计算和统计问题。
在本文中，我们将探讨排列与组合的基本概念以及它们的计算方法。
一、排列的基本概念和计算方法排列是指从给定的元素集合中按照一定的顺序选取若干元素的方式。
排列中的每个元素都是独立的，不可重复利用。
对于给定的 n 个元素中选取 r 个进行排列，排列的种类数可以用数学符号 P(n, r) 表示。
计算排列的种类数的公式为：P(n, r) = n! / (n-r)!其中 n! 表示 n 的阶乘，即 n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。
这个公式可以理解为从 n 个元素中选取一个元素进行排列，然后再从剩下的n-1 个元素中选取一个元素进行排列，依次类推，直到选取 r 个元素进行排列。
例如，我们有一个由 A、B、C、D 四个字母组成的集合，需要从中选取三个字母进行排列。
那么，P(4, 3) = 4! / (4-3)! = 4 × 3 × 2 = 24 种排列方式。
二、组合的基本概念和计算方法组合是指从给定的元素集合中按照一定的顺序选取若干元素的方式。
组合中的元素是无序的，不考虑元素的排列顺序。
对于给定的 n 个元素中选取 r 个进行组合，组合的种类数可以用数学符号 C(n, r) 或者 nCr 表示。
计算组合的种类数的公式为：C(n, r) = n! / (r! × (n-r)!)其中 nCr 表示从 n 个元素中选取 r 个元素进行组合。
例如，我们有一个由 A、B、C、D 四个字母组成的集合，需要从中选取三个字母进行组合。
那么，C(4, 3) = 4! / (3! × (4-3)!) = 4 种组合方式，分别是 ABC、ABD、ACD 和 BCD。
三、排列和组合的应用场景排列和组合的数学概念和计算方法在实际生活中有广泛的应用。
数学排列与组合
数学排列与组合在数学中，排列和组合是两个重要的概念。
排列是指从一组元素中选择若干个元素按照一定的顺序排列的方式，而组合是指从一组元素中选择若干个元素，不考虑其顺序。
在实际问题中，排列和组合可以用来解决各种计数和概率问题。
一、排列排列是指从一组元素中选择若干个元素按照一定的顺序排列的方式。
在排列中，元素的顺序是重要的。
假设我们有n个元素，要从这n个元素中选择r个元素进行排列，那么排列的总数可以表示为P(n, r)，其中P表示排列数。
排列数的计算可以使用以下的公式：P(n, r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，表示从1到n的连乘。
阶乘的计算方式如下：n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1举个例子来说明，假设我们有5个不同的球，要从这5个球中选择3个进行排列，那么排列的总数可以计算如下：P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (2 * 1) = 60所以，在这个例子中，从5个不同的球中选择3个进行排列的方式有60种。
二、组合组合是指从一组元素中选择若干个元素，不考虑其顺序。
在组合中，元素的顺序不重要。
假设我们有n个元素，要从这n个元素中选择r个元素进行组合，那么组合的总数可以表示为C(n, r)，其中C表示组合数。
组合数的计算可以使用以下的公式：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)举个例子来说明，假设我们有5个不同的球，要从这5个球中选择3个进行组合，那么组合的总数可以计算如下：C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 5! / (3! * 2!) = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (2 * 1)) = 10所以，在这个例子中，从5个不同的球中选择3个进行组合的方式有10种。
三、应用场景排列和组合在实际问题中有广泛的应用。
组合数学课件-第一章：排列与组合
积分性质
若G(x)是母函数，则它的不定积分∫G(x)dx （其中C为常数）也是母函数。
线性性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 线性组合k1*G1(x)+k2*G2(x)（k1和k2是 常数）也是母函数。
微分性质
若G(x)是母函数，则它的导数G'(x)也是母 函数。
乘积性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 乘积G1(x)*G2(x)也是母函数。
对称性
C(n,m) = C(n,n-m)，即从n个元素中取出m个元 素的组合数与从n个元素中取出n-m个元素的组 合数相等。
递推关系
C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)，即当前组合 数等于前一个元素在组合中和不在组合中的两种 情况之和。
边界条件
C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取出0个或 n个元素的组合数均为1。
典型例题解析
例1
从10个数中任取4个数，求其中最大数为6的组合数。
解析
此问题等价于从6个数（1至6）中取4个数的组合数，即 C(6,4)。
例2
在所有的三位数中，各位数字之和等于10的三位数有 多少个？
解析
此问题可转化为从9个数字（1至9）中取3个数字的组合 数，即C(9,3)，然后考虑三个数字的全排列，即3!，因此 总共有C(9,3) × 3!个符合条件的三位数。
组合与排列的关系
组合数可以看作是从n个元素中取出m个元素进行排 列的种数除以m的阶乘，即C(n，m)=A(n，m)/m!。 因此，在计算组合数时也可以利用排列数和容斥原 理来进行计算。
THANKS
隔板法
将n个相同的元素分成r组的方法数可以用母函数表示为 C(n+r-1,r)，其中C表示组合数。
组合数学第一章
P(n, r) = n(n-1)(n-2)…(n-r+1) 球入盒模型：n个不同的球，取r个放入r个不同的 盒子里,每盒一个的方式数为P(n, r)。 ♦ 例1.7
♦ 例1.8
♦ 二、 n-元集的r-可重(线)排列 ♦ Def 1.3(n-元集的r-可重(线)排列)
Theorem 1.4 n-元集的r-可重(线)排列个数 为nr. 678 4r 4 ♦ Proof •••L•
n = p1 p2 ... pk ≥ 2
β1 β2 βk
α1
α2
αk
s | n ⇒ s = p1 p2 ... pk ,0 ≤ βi ≤ αi .
(α1 +1)(α2 +1)...(αk +1) = ∏(αi +1)
i=1 k
§1.2 (线)排列
♦ 一、 n-元集的r- (线)排列 ♦ Def 1.1(P5) ♦ 计算公式：
♦ 二、n-元集的r-可重组合 ♦ Def 1.12(n-元集的r-可重组合)
Theorem 1.15 n-元集的r-可重组合数为 C(n + r – 1, r)。 ♦ Proof ♦ (采用一一对应技巧) ♦ 假定n个不同的元素分别为1, 2, …, n.从中 可重复取r个元素的组合为：a1, a2,…, ar.
本到同等学历考试,到博士生入学考试)
♦ 20世纪40年代, 随着计算机的出现, 组合
研究焕发了青春和活力,有着广阔的应用 前景: 计算机科学、空间技术、信息处理、人工智能、
数字通信、物质结构、物理学、化学、生物学、过程 控制、经济管理、国防工业、实验设计、心理学、工 艺美术。
♦ 组合数学研究的问题： ♦ (1)存在性; ♦ (2)构造性(Design); ♦ (3)计数(?Algorithms); ♦ (4)优化。 ♦ 学习目的： – (1)组合内容; – (2)组合方法; – (3)组合技巧; – (4)组合思维.
组合数学第三版+卢开澄+习题答案
第1章 排列与组合经过勘误和调整，已经消除了全部的文字错误，不过仍有以下几个题目暂时没有找到解答：1.8 1.9 1.161.41（答案略） 1.42（答案略）1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b}，使其满足：()5;() 5.a ab b a b -=-≤[解] (a) 5=-b a将上式分解，得到55a b a b -=+⎧⎨-=-⎩a =b –5，a=0时，b ＝5，6，7，…,50。
满足a=b-5的点共50-4=46个点. a = b+5，a=5时，b ＝0，1，2，…,45。
满足a=b+5的点共45-0+1=46个点. 所以，共计92462=⨯个点. (b) 5≤-b a(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。
1.2 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？ (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？[解] (a) 女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。
（7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空中选5个空隙，有58C 种选择。
将女生插入，有5!种方案。
故按乘法原理，有： 7!×58C ×5!=33868800(种)方案。
(c) 先从5个女生中选3个女生放入A ，B 之间，有35C 种方案，在让3个女生 排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有 (7+1)! = 8!由于A ，B 可交换，如图**A***B** 或 **B***A**故按乘法原理，有：2×35C ×3!×8!=4838400（种）1.3 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m ，n 都是正整数，若(a) 男生不相邻(m ≤n+1)； (b) n 个女生形成一个整体； (c) 男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案.[解] (a) 先将n 个女生排列，有n!种方法，共有n+1个空隙，选出m 个空隙，共有m n C 1+种方法，再插入男生，有m!种方法，按乘法原理，有：n!×mn C 1+×m!＝n!×)!1(!)!1(m n m n -++×m!=)!1()!1(!m n n n -++种方案。
组合和排列知识点总结
组合和排列知识点总结1. 组合和排列的定义组合和排列是两种基本的组合数学概念，它们都与集合相关。
在数学中，集合是由一些互不相同的对象组成的整体，而排列和组合则是从一个给定的集合中选取一定数量的对象并按照一定的规则进行排列或组合。
排列是指从一个集合中取出一定数量的对象，并按照一定的顺序进行排列，即排列是有序的。
假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象按照一定的顺序进行排列，符合条件的排列个数称为排列数。
通常用P(n, m)表示排列数。
组合是指从一个集合中取出一定数量的对象，但不考虑其排列顺序，即组合是无序的。
假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象，符合条件的组合个数称为组合数。
通常用C(n, m)表示组合数。
2. 排列的性质排列具有一些基本的性质，这些性质在排列的计算中具有重要的意义。
（1）排列的计算公式在排列中，通过一个简单的计算公式可以求出排列数。
假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象按照一定的顺序进行排列，则排列数可以用以下公式计算：P(n, m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1。
（2）排列的性质排列具有如下的性质：- P(n, m) = n × (n-1) × … × (n-m+1)- P(n, n) = n!3. 组合的性质组合也具有一些基本的性质，这些性质在组合的计算中同样具有重要的意义。
（1）组合的计算公式在组合中，同样可以通过一个简单的计算公式求出组合数。
假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象，组合数可以用以下公式计算：C(n, m) = n! / [m! × (n-m)!]（2）组合的性质组合具有如下的性质：- C(n, m) = C(n, n-m)- C(n, 0) = 1- C(n, n) = 1- C(n, 1) = n- C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)4. 组合和排列的应用组合和排列在实际中有着广泛的应用，它们在数学、计算机科学、统计学等领域都有着重要的作用。
组合与排列的计算方法(知识点总结)
组合与排列的计算方法（知识点总结）组合和排列是离散数学中的两个重要概念，用于描述从一组元素中选择出一部分元素的方式。
在实际生活和数学问题中，我们经常需要计算不同元素的排列或组合情况。
下面将介绍组合和排列的定义、计算方法及应用。
1. 组合的计算方法组合指的是从一个元素集合中选出若干个元素，不考虑元素的顺序。
假设有n个元素，要从中选出k个元素的组合数可以用C(n, k)表示。
计算组合数的公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
例如，从5个元素中选出3个元素的组合数为：C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 5! / (3! * 2!) = 102. 排列的计算方法排列指的是从一个元素集合中选出若干个元素，考虑元素的顺序。
同样假设有n个元素，要从中选出k个元素的排列数可以用P(n, k)表示。
计算排列数的公式为：P(n, k) = n! / (n-k)!例如，从5个元素中选出3个元素的排列数为：P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 603. 组合与排列的应用组合和排列的计算方法在实际生活和数学问题中有广泛的应用。
在数学问题中，组合和排列的计算方法可以用于计算概率。
例如，在一个抽奖活动中，有10个人参与，每人只能抽出一张奖券，那么获奖的组合数为C(10, 1) = 10。
如果要计算中奖概率，则需要将获奖的组合数除以总的可能组合数。
在计算机科学中，组合和排列的计算方法可以用于算法设计。
例如，在某个问题中，需要对一组数据进行全排列的处理，即将这组数据的所有可能的排列情况都生成出来。
通过排列的计算方法，可以快速计算出所有排列的结果。
在实际生活中，组合和排列的计算方法常用于安排座位、制定菜单、组织比赛等场景下。
例如，某个宴会上有8个座位，要从10个人中选出来安排座位，那么可能的座位组合数为C(10, 8) = 45。
排列、组合
排列、组合
篇
排列和组合是数学中比较重要的范畴，它们都是指通过不同的顺序来组合数学元素。
排列是指按照一定的规则、顺序或习惯将一群相同或不同的元素分别放在某些位置上，以便更好地查找、比较和操作这些对象，用于解决简单或复杂的计算问题。
而组合则是将
一系列元素结合成一个整体，其模式可以是一对一的、一对多的等，从而构成一个更大的
群体，用于解决更复杂的计算问题。
排列和组合的应用广泛，在现实世界的各个领域中都有重要的指导意义。
比如在编程
语言中，就存在一系列抽象算法，通过把问题数据按一定的顺序排列或组合起来，Von Neumann 就提出以排列和组合为主要支持结构的“抽象机”结构，它有效地打开了大规模
数据计算的大门。
同样，在统计学中，我们也可以将数据按不同的顺序排列或组合起来，
以便更好地探索和分析数据之间的潜在规律。
此外，排列和组合在普通考试中也时常使用，其优势在于以简单易懂的方式展示出复
杂的问题，因此它是一种非常实用的工具，便于测试考生对知识的理解和应用能力，从而
发掘人才和挑选最佳学员。
总之，排列和组合是一种重要且灵活的工具，它们可以用来解决各种形式的问题，而
且它们也可以用来测试和挑剔学习者的综合能力，它们无疑是一个解决现实问题的有效工具。
排列与组合的基本概念
排列与组合的基本概念排列与组合是概率论与离散数学中重要的基本概念。
在数学中，排列与组合是用来描述从给定对象集合中选择、排列出一部分或全部对象的方式或方法。
在实际生活中，排列与组合的概念也被广泛应用于组织、计划和解决问题的过程中。
本文将介绍排列与组合的基本概念，并通过一些例子来说明其应用。
一、排列排列是指在给定的对象集合中，选取一部分或全部的对象进行排列。
排列与有序，也就是说考虑了对象的顺序。
从n个不同对象中取出m个进行排列，可以表示为P(n, m)，读作从n个对象中取出m个对象的排列数。
排列数的计算公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 3 × 2 × 1。
例如，从5个不同的球中取出3个进行排列，可以计算为：P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 / 2 ×1 = 60因此，从5个不同的球中取出3个进行排列的方式有60种。
二、组合组合是指在给定的对象集合中，选取一部分或全部的对象进行组合。
组合与无序，也就是说不考虑对象的顺序。
从n个不同对象中取出m个进行组合，可以表示为C(n, m)，读作从n个对象中取出m个对象的组合数。
组合数的计算公式为：C(n, m) = n! / (m! × (n-m)!)例如，从5个不同的球中取出3个进行组合，可以计算为：C(5, 3) = 5! / (3! × (5-3)!) = 5! / (3! × 2!) = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 / (3 × 2 × 1 × 2 × 1) = 10因此，从5个不同的球中取出3个进行组合的方式有10种。
组合数学 第一章课件
乘法：2^22
自变量数为n个时：2^2n
*8
1.2 一一对应
1、从n个数中找出最大值问题 2、n个人参加单淘汰赛，最后产生冠军的 过程。
9
1.2 一一对应 例1.6：求n2个人站成一排和站成n排（方阵） 的方案数，并比较两种方案数的大小？ 解：9个人站成一排的方案数是9!， 设a1a2a3a4a5a6a7a8a9是9个人的一排， 可构成一个方阵 给定一个方阵 a 1a 2a 3 b 1b 2b 3 a 4a 5a 6 b 4b 5b 6 a 7a 8a 9 b 7b 8b 9 也唯一确定一排b1b2b3b4b5b6b7b8b9
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1.3：排列与组合
例1.7:由5种颜色的星状物,20种不同的花共25 个元素中任取5个排成如下图案：两边是星状物,中 间是3朵花，问共有多少种这样的图案？ ★ ★
解1：5×20×19×18×4=136800 解2：5种颜色的星状物取两个排列的排列数为 P(5,2)=5!/3!=5*4=20 20种不同的花取3种排列的排列数为： P(20,3)=20!/17!=20*19*18=6840 根据乘法法则，共有图案数为： 6840*20=136800
定义：在排列中，如果我们不横排而是将 各元素排列在一个圆周上，那么我们称这种排 列方式为圆周排列。
规定相对位置不变算一个排列。 在排列中1234,2341,3412,4123为四个不 同的排列，而在圆排列中这些排列是一个.
20
1.4：圆周排列
将从n中取r个作圆排列的排列数记作Q(n,r)。 从n中取r个作排列，与圆排列相比，重复了r倍；
《组合数学》第1章(排列组合基础)(1)
第1章组合数学基础1.1绪论（一）背景起源：数学游戏幻方问题：给定自然数1, 2, …, n2，将其排列成n阶方阵，要求每行、每列和每条对角线上n个数字之和都相等。
这样的n阶方阵称为n阶幻方。
每一行（或列、或对角线）之和称为幻方的和（简称幻和）。
例：3阶幻方，幻和＝(1＋2＋3＋…＋9)/3＝15。
关心的问题（1）存在性问题：即n阶幻方是否存在？（2）计数问题：如果存在，对某个确定的n，这样的幻方有多少种？（3）构造问题：即枚举问题，亦即如何构造n阶幻方。
奇数阶幻方的生成方法：一坐上行正中央，依次斜填切莫忘，上边出格往下填，右边出格往左填，右上有数往下填，右上出格往下填。
例：将2，4，6，8，10，12，14，16，18填入下列幻方：【例1.1.1】（拉丁方）36名军官问题：有1，2，3，4，5，6共六个团队，从每个团队中分别选出具有A、B、C、D、E、F六种军衔的军官各一名，共36名军官。
问能否把这些军官排成6×6的方阵，使每行及每列的6名军官均来自不同的团队且具有不同军衔？本问题的答案是否定的。
A1 B2 C3 D4 E5 F6 A1 B2 C3 D4 E5 F6B2 C3 D4 E5 F6 A1B3 C4 D5 E6 F1 A2C3 D4 E5 F6 A1 B2 C5 D6 E1 F2 A3 B4D4 E5 F6 A1 B2 C3 D2 E3 F4 A5 B6 C1E5 F6 A1 B2 C3 D4 E4 F5 A6 B1 C2 D3F6 A1 B2 C3 D4 E5 F6【例1.1.2】（计数——图形染色）用3种颜色红（r）、黄（y）、蓝（b）涂染平面正方形的四个顶点，若某种染色方案在正方形旋转某个角度后，与另一个方案重合，则认为这两个方案是相同的。
求本质上不同的染色方案。
举例：形式总数：43＝81种。
实际总数（见第6章）：L ＝()32334124⨯++＝24 【例1.1.3】（存在性）不同身高的26个人随意排成一行，那么，总能从中挑出6个人，让其出列后，他们的身高必然是由低到高或由高到低排列的（见第5章）。
第一章排列与组合
在气象学方面。他曾亲自组织人力进行过大气压和天气状况 的观察
1691年，莱布尼茨致信巴本，提出了蒸汽机的基本思想。 1677年，莱布尼茨发表《通向一种普通文字》，以后他长时
期致力于普遍文字思想的研究，对逻辑学、语言学做出了一 定贡献。今天，人们公认他是世界语的先驱
……………………
2020/4/23
一种常见的思路是按轮计场，费事。
另一种思路是淘汰的选手与比赛(按场计)集一一对 应。99场比赛。
2020/4/23
组合数学-上海理工大学
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例10 设凸n边形的任意三条对角线不共点，求对 角线在多边形内交点的个数。
可以先计算对角线的个数，然后计算交点，但是 存在在多边形内无交点的情形，比较复杂。
可以考虑对应关系：多边形内交点to多边形四个顶 点。
2020/4/23
组合数学-上海理工大学
15
例6 (1) n=73*112*134，求除尽n的数的个数； (2) n=73*142，求除尽n的数的个数；
(1)4×3×5＝60；7 i 1 j 1 1 k 0 3 i 3 ,0 j 2 ;0 k 4 (2) 6×3＝18
例7 在1000和9999之间有多少每位上的数字均不同 的奇数？
2020/4/23
组合数学-上海理工大学
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乘法法则：设具有性质A的事件有m个，具有性质B 的事件有n个，则具有性质A和B的事件有mn个。
集合论语言： 若 |A| = m , |B| = n , AB = {(a,b) | aA,bB} , 则
| AB | = mn 。
例3 从A到B有三条道路，从B到C有两条道路，则 从A经B到C有 32 = 6 条道路。
1646.7.1.—1716.11.14.）德国最重要的自然科学家、数学家、 物理学家、历史学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和 牛顿同为微积分的创建人。
武汉大学计算机学院组合数学第一章排列与组合
2014-1-7 24
1.5 组合
例1.24某广场有6个入口处，每个入口处每次只能 通过一辆汽车，有9辆汽车要开进广场，问有多 少种入场方案？ 解 方法1： 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1.1 基本计数法则
例1.4 求长度为n的二元码的数目。 解 长度为n的二元码的形式为
a1a2 an , ai {0,1}, i 1, 2, , n
由乘法法则，长度为n的二元码的数目为
2 2 22 2n
2014-1-7
6
1.1 基本计数法则
例1.6 求布尔函数 f ( x1 , x2 , , xn )的数目。
2014-1-7
18
1.4 圆周排列
例1.20 5对夫妻出席一宴会，围一圆桌坐下，问 有几种方案？若要求每对夫妻相邻又有多少种方 案？ 解 (1) 9! 种方案； (2) 4!25 24 32 768 种方案。
2014-1-7
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1.5 组合
定义 从n个不同的元素中，取出r个而不考虑其 次序，称为从这n个元素中取r个组合，其组合数 C 记为( n, r ) 。
1.1 基本计数法则
例1.3 求比10000小的正整数中含有数字1的数的 个数。
解 比10000小的正整数可以写为
a1a2a3a4 , 0 ai 9
的形式。
共有104-1=9999个
其中不含1的正整数有 94-1=6560个
所求正整数的个数为 9999-6560=3439个。
2014-1-7 5
5位数 a1a2 a3 a4 a5 共有90000个
第一章排列和组合精品文档
组合数学 第1章
8
如何学好组合数学
组合数学经常使用的方法并不高深复杂。最 主要的方法是计数时的合理分类和组合模型 的转换。
但是，要学好组合数学并非易事，既需要一 定的数学修养，也要进行相当的训练。
2004深研
组合数学 第1章
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本课程章节安排
本学期主要讲组合分析（计数和枚举）以及组合优 化的一部分（线性规划的单纯形解法）。
解：3名学生或者都是1组的：C(7,3); 或者都是2组的：C(6,3)。
可能组合总数为： C(7,3)+C(6,3) = 7!/3!4! + 6!/3!3! = 35+20 = 55
若任选3人，可能组合为： C(7+6, 3) = 13!/3!10! = 286
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组合数学 第1章
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1.2 加法法则和乘法法则
[ 乘法法则 ] 设事件A有m种产生式，事件B 有n种产生方式，则事件A与B有 m ·n种产生 方式。
集合论语言：
若 |A| = m , |B| = n , AB = {(a,b) | a A,b B}, 则 |A B| = m ·n 。
2004深研
项链排列: 排列的方法和项链一样,在圆排列的基础上，顺时 针和反时针是同一个排列。
从n个中取r个的项链排列的排列数
R(n,r) = Q(n,r) / 2 = P(n,r) / 2r, 3≤r≤n
1
1
23
32
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组合数学 第1章
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1.1 排列与组合——可重排列
求r1个1，r2个2，…，rt个t的排列
组合数学 第1章
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组合数学1.1-1.2
H | H—C—H | H
n=1甲烷
n=2 乙烷
n=3 丙烷
1.2 一一对应
H | H—C—H | H—C—H | H—C—H | H—C—H | H H | H H—C H | | H—C—C—H | | H—C H | H H
第一章排列与组合
前言
组合数学经常使用的方法并不高深 复杂。最主要的方法是计数时的合理分 类和组合模型的转换。 但是，要学好组合数学并非易事， 既需要一定的数学修养，也要进行相当 的训练。
1.1 加法法则与乘法法则
1.加法法则 (分类计数法则)
完成一件事有n类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在 第二类办法中有 m2 种不同的方法……，第n类办法中有 mn 种不 同的方法，那么完成这件事共有 N =m1 +m2 ++mn种不同的方法
1.1 加法法则与乘法法则
例1-7：有a,b,c,d,e这五个字符，从中6个构成一组字符串。 要求：（1）第一个和第六个必须是子音b,c,d； （2)每一个字符串都必有a,e两个母音，且a,e不相邻； （3）相邻子音不允许相同； 求字符串数目。
例1-5：求n元布尔函数 f (x1,x 2 x n ) 的数目
1 1 1 1 1 1
b 便成为消去后余下的树T 的顶点 在余下的树T 中寻找标号最小的树叶，设为a ， 的邻接点为b
1 1 1 2
2
，从图中消去a ，和边(a , b2). 如此步骤n-2次，直到剩下一条边为止。 于是一棵树T对应于一序列
2 2
b1 , b2 ,bn2 ,
b1 , b2 ,bn2 , 是1到n的数，并且允许重复
-排列和组合教学课件.docx
10. 2排列与组合1.排列(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m (M W H)个元素，按照 ____________ 排成一列，叫做从几个不同元素屮取出加个元素的一个排列.(2)排列数的定义：从«个不同元素中取出加(加Wn)个元素的_______________ 的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.⑶排列数公式：=. 这里“，mWM,并且.(4) ____ 全排列：n个不同元素全部取出的一个 ___________ ，叫做n个元素的一个全排列.An = nX U-l) X S-2) X・・・X3X2X1= _________________ ,因此，排列数公式写成阶乘的形式为A；；' = , 这里规定0! = ___ .2.组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m (加个元素 _______________ ,叫做从n个不同元素中取出加个元素的一个组合.(2)组合数的定义：从,7个不同元素中取出m(m^w)个元素的______________ 的个数，叫做从n个不同元素屮取岀加个元素的组合数，用符号表示.A,n(3)组合数公式：常=令= _________________ =___________ .这里口丘2, /KEN,并且(4)组合数的两个性质：① CR ____________ ;®C…+1 —________ + __________ ・自查自纟L］：1-~(1) 一定的顺序(2)所有不同排列A；；1(3)〃 (〃—1) (/?—2) ••• (/?—m+1) M W”>7 1(4)排列n\ 12.(1)合成一组(2)所有不同组合C；r/Q\H (界―1) (戸―2〉・・・(/?—〃？+l) ___ nlm\ m\ (n—m) !⑷①CT"②以C 1基础自测厂小易全活牛刀小试r❶若6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A. 144B. 120C. 72D. 24解：剩余的3个座位共有4个空供3人选择就座，故任何两人不相邻的坐法种数为A； = 24.故选D.❷(2016・郑州二模)某校开设A类选修课2 门；B类选修课3门，一位同学从中选3 n,若要求两类课程屮至少选一门，则不同的选法共有()A. 3 种B. 6 种C. 9 种D. 18 种解：可分以下两种情况：①A类选修课选1 H, B 类选修课选2 H,有种不同选法；②4类选修课选2 n, B类选修课选1门，有&C；种不同选法.所以根据分类加法计数原理知不同的选法共有: C；&+&Cl=6+3 = 9(种).故选C.❸(2016 •四川)用数字1, 2, 3, 4, 5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A. 24B. 48C. 60D. 72解：由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1, 3, 5;分为两步：先从1, 3, 5三个数中选一个作为个位数有C：种方法，再将剩下的四个数字排列有种方法，则满足条件的五位数有Ci A： = 72个.故选D.0 (2016 •河北石家庄一模)将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为________________________ (用数字作答).解：甲、乙不能分在同一个班，则不同的分组有甲单独一组，只有1种；甲和丙或丁两人一组，有2种；甲、丙、丁一组，只有1种.然后再把分成的两组分到不同班级里，则共有(l + 2 + l)A； = 8(种).故填8・❺(2015・上海)在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为(结果用数值表示).解：由题意，总数去掉选5名女教师的情况即可，故所求为d-d=126-6=120.故填120.典例解析分类解析类型一排列数与组合数公式仃)解方程3A：J=4A-r1；(2)解方程C$=CR+CJ+C；盒8 I解：⑴利用3AA3(8_° ! , 4AI-1 = 9!(9一卄1) !'得到务利用(10-x) ! =(10-x)(9-x)(8-x) !,将上式化简后得到(10—0 (9-x) =4X3.再化简得到X2-19X+78=0.解方程得須=6,匕=13.由于A:：和A厂有意义, 所以x满足兀W8和X—1W9.于是将X2=13舍去，原方程的解是x=6.*考点梳理多思勤笔夯实基础(2) 由组合数的性质可得C ；+1 + C ：+1 + Cx+2 = C ；+ ] + C ；+1 + C ；+2 =C ：+2 + U+2,又 C ：-：3 = C ；+3,且 C ；+3=C-.».2+C ；+2, 即 C ；+2 + C ；+2 = C ；+2 + C ；+2.所以 C ；+2 = C ；+2,所以5=兀+2, x=3.经检验知x=3符合题意 且使得各式有意义，故原方程的解为x=3.点拨： $)应用排列、组合数公式解此类方程吋，应 注意验证所得结果能使各式有意义.(2)应用组合 数性质C^ = C r ；r l+ Cn 时，应注意其结构特征： 右边下标相同，上标相差1;左边(相对于右边)下 标加1,上标取大.使用该公式，像拉手风琴，既 可从左拉到右，越拉越长，又可以从右推到左，越 推越短.(2) 已知吉一吉=沽7,则伏= 解：⑴由 3A ；=2A ；+i + 6A ；得3x(x _ 1) (x —2) =2 (x+l)x+6x(x —1), 由 xHO 整理得 3x-17x+10 = 0. 解得x=5或彳(舍去).即原方程的解为x=5.(2) 由已知得w 的取值范围为{加|0W 加W5, ” 1 m! (5—加)! m! (6—加)! 加 W Z} , 71 - 臣 =7X !加'整理可得亦一23〃+42=0,解得加= 21(舍去)或m=2.故Cx w = Cs = 28.故填 2&类型二排列的基本问题 7位同学站成一排照相. (1) 甲站在中间，共有多少种不同的排法？ (2) 甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (3) 甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？(4) 甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种?(5) 甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种?(6) 甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？解：(1)甲的位置固定，则只需排其他六个人, 则有Al=720(种)排法.(2) 分两步，先排甲、乙，则有A ；种排法；再 排其他5个人，有朮种排法，由分步乘法计数原 理则有A ； • As =240(种)排法.(3) 直接法：分两种情况：①甲站在排尾，则 有A ：种排法；②甲不站排尾，先排甲、乙，再排 其他，则有As • As • As 种排法.综上，则共有A ： + A ；・As ・At=3 720(种)排法.间接法：总的排法数减去甲站在排头的和乙站 在排尾的情况，但是这就把甲站在排头且乙站在排 尾的情况减了两次，故后面要加回来，即A?-At -Al+As=3 720(种)排法.(4) 采用“捆绑”法，将甲乙看成一个整体进 行排列(甲乙之间也有排列)，故有A ：・Ae=l 440(种)排法.(5) 采用“插空”法，先排其他5个人，然后 将甲乙插入到由这5个人形成的6个空中，故有 As • Al=3 600(种)排法.(6) 甲站在乙的左边的排法总数等于乙站在甲 的左边的排法总数，故有|A ?=2 520(种)排法.点拨： 6)有约束条件的排列问题一般有以下儿种基 本类型与方法：①特殊元素优先考虑；②对于相邻 问题采用“捆绑法”，整体参与排序后，再考虑整 体内容排序；③对于不相邻问题，釆用“插空”法, 先排其他元素，再将不相邻元素插入空档；④对于 定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定 序元素的全排列数.(2)解题的基本思路通常有正 向思考和逆向思考两种.正向思考时，通过分步、 分类设法将问题分解；逆向思考时，从问题的反面 入手，然后“去伪存真”・_____ 3名女生和5名男生排成一排.(1) 如果女生全排在一起，有多少种不同排法? (2) 如果女生都不相邻，有多少种排法？ (3) 如果女生不站两端，有多少种排法？ (4) 其中甲必须排在乙前面(可不邻)，有多少 种排法？(5) 其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种 排法？解：(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她 们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个 元素，排成一排有种排法，而其中每一种排法 中，三个女生又有种排法，因此共有A ；；・A ； = 4 320(种)不同排法. (2) (插空法)先排5个男生，有A?种排法，这 5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位 置排女生，有A ：种排法，因此共有As - A>14 400(种)不同排法. (3) 法一(位置分析法)因为两端不排女生， 只能从5个男生中选2人排列，有A ：种排法，剩 余的位置没有特殊要求，有A ；：种排法，因此共有 Al ・A6=14 400（种）不同排法.法二（元素分析法） 从中间6个位置选3个安 排女生，有种排法，其余位置无限制，有思种 排法，因此共有思・As=14 400（种）不同排法.（4） 8名学生的所有排列共A ：种，其中甲在乙 前面与乙在甲前面各占其中的*,所以符合要求的 排法(1)解方程：3=21 +6A ；；种数为|A!=20 160（种）.（5）甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置.法一（特殊元素法）甲在最右边时，其他的可全排，有种；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A；种.而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任意一个上，有A：种，其余人全排列，共有A；・A；・A：种.由分类加法计数原理，共有A；+A；・A；・Ac：=30 960（种）.法二（特殊位置法）先排最左边，除去甲外，有种，余下7个位置全排，有种，但应剔除乙在最右边时的排法Ae • A G种，因此共有A；・A：； -Ai •A S=30 960（种）.法三（间接法）8个人全排，共A；种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有A；种，乙在最右边时，有A；种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A；种.因此共有As-2A?+ Al=30 960（种）.类型三组合的基本问题^0 课外活动小组共13人，其中男生8 人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？（1）只有1名女生；（2）两队长当选；（3）至少有1名队长当选；（4）至多有2名女生当选；（5）既要有队长，又要有女生当选.解：（1）1名女生，4名男生，故共有Cs - Cs = 350（种）.（2）将两队长作为一类，其他11个作为一类，故共有&・C?i = 165（种）.（3）至少有1名队长当选含有两类：只有1名队长和2名队长.故共有：C；・ch + d ・ch = 825（种）.或采用间接法：Cn-C?i=825（种）.（4）至多有2名女生含有三类：有2名女生、只有1名女生、没有女生，故选法为：Ci• Cs + d •d+d=966（种）.（5）分两类：第一类女队长当选：有C；2种选法; 第二类女队长不当选：有c'i • d+c'・&+ Ci・d+c；种选法.故选法共有：cl+c；・ c?+d ・ c?+d ・ c；+c：=79o（种）.点拨：£分类时不重不漏；②注意间接法的使用，在涉及“至多” “至少”等问题时，多考虑用间接法（排除法）；③应防止出现如下常见错误：如对（3）, 先选1名队长，再从剩下的人中选4人得C；・C；2H825,请同学们自己找错因.从7名男同学和5名女同学中选出5人，分别求符合下列条件的选法总数为多少？（1）A, B必须当选；（2）A, B都不当选；（3）A, B不全当选；（4）至少有2名女同学当选；（5）选出3名男同学和2名女同学，分别担任体育委员、文娱委员等五种不同的工作，但体育委员必须由男同学担任，文娱委员必须由女同学担任.解：（1）只要从其余的10人中再选3人即可，有Clo=120（种）.（2） 5个人全部从另外10人中选，总的选法有Cfo=252（种）.（3）直接法，分两类：A, B一人当选，有dClo=42O（种）.A, B都不当选,有Cio=252（种）.所以总的选法有420+252 = 672（种）.间接法：从12人中选5人的选法总数中减去从不含A, B的10人中选3人（即A, B都当选）的选法总数，得到总的选法有C：2—Cio=672（种）.（4）直接法，分四步：选2名女生，有dd=10X35 = 350（种）;选3名女生，有dC?=210（种）；选4名女生，有dci=35（种）；选5名女生，有Cs=l（种）.所以总的选法有350 + 210 + 35+1=596（种）. 间接法：从12人中选5人的选法总数中减去不选女生与只选一名女生的选法数之和，即满足条件的选法有C12-（C? + CsCj）=596（种）.（5）分三步：选1男1女分别担任体育委员、文娱委员的方法有dC',=35 （种）；再选出2男1女，补足5人的方法有Cic\=60（种）；最后为第二步选出的3人分派工作，有Aa=6（种）方法.所以总的选法有35X60X6=12 600（种）.多少种不同的分配方式？⑴分成三份，1份1本，1份2本，1份3本; (2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得 2本，一人得3本；(3) 平均分成三份，每份2本；(4) 平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本； (5) 分成三份，1份4本，另外两份每份1本; (6) 甲、乙、丙三人屮，一人得4本，另外两 人每人得1本；(7) 甲得1本，乙得1本，丙得4本. 解：(1)无序不均匀分组问题.先选1本，有C ；种选法；再从余下的5本中 选2本，有《种选法；最后余下3本全选，有d 种选法.故共有Cldd=60(种). ①处理分配问题要注意先分堆再分配；②被分配的 元素是不同的(像“名额”等则是相同元素，不适 用)，位置也应是不同的(如不同的“盒子”)；③ 分堆时要注意是否均匀，如6分成(2, 2, 2)为均 匀分组，分成(1, 2, 3)为非均匀分组，分成(4, 1, 1)为部分均匀分组.(1) 国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生, 毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养 的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教, 有 _____________ 种不同的分派方法.解：先把6个毕业生平均分成3组，有七」 种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A^ = 6 种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有 C 加 •A ：=90种分派方法.故填90.(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础 上，还应考虑再分配，共有氐=360(种).(3) 无序均匀分组问题. 先分三步，则应是Cedd 种方法，但是这里 出现了重复.不妨记六本书为A, B, C, D, E, F,若第一步取了 AB,第二步取了 CD,第三步取 了 EF,记该种分法为(4B, CD, EF),则 ddd 种分法中还有(AB, EF, CD), (CD, AB, EF), (CD, EF, AB) , (EF, CD, AB) , (EF, AB, CD) f 共有A ；种情况，而这种情况仅是AB, CD, EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配⑷有序均匀分组问题.在(3)的基础上再分配给3个人, ⑸无序部分均匀分组问题.共有七115(种).(6) 有序部分均匀分组问题.在(5)的基础上再分配给3个人， 共有分配方式呼•思=90(种)•(7) 直接分配问题.(2) (2015 •广州调研)有4名优秀学生A, B, C, D 全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学 校至少去一名，则不同的保送方案共有 种.解：先把4名学生分为2、1、1的3组，有 cWc' 七丄=6种分法，再将3组分到3个学校，有At A2 =6种情况，则共有6X6 = 36种不同的保送方 案.故填36.(3) (2015・江西模拟改编)若将6名教师分到 3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名， 则有 _____________ 种不同的分法.解：＜6 J 教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有 Ci 种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一 组，有&种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有&种 取法. 6名教师分组共有ddd=60种取法.再把这3组教师分配到3所中学，有思=6种 分法，因此共有60X6 = 360种不同的分法.故填 360.甲选1本，有C ；种方法；乙从余下的5本中 选1本，有C ；种方法，余下4本留给丙，有C ：种 方法，故共有分配方式c ；dd=3o (种).点拨：类型四 分堆与分配问题平均分堆到指定位置堆数的阶乘.对于分堆与分配问题应注意:按下列要求分配6本不同的书，各有方式有= 15（种）.共有分配方式• As ・ A3=ddd=9o （种）.类型五数字排列问题平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列.分堆到位相当于分堆后各堆再全排列，平均分堆不到指定位置，英分法数为:用0, 1, 2, 3, 4, 5这6个数字.(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数(无重复数字)？解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时，有个；第二类：2在个位时，千位从1, 3, 4, 5中选定一个(A；种)，十位和百位从余下的数字中选，有A］种，于是有Al・A：个；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A：• A：个.由分类加法计数原理得，共有As+2A.! - A4 = 156(个).(2)先排0, 2, 4,再让1, 3, 5插空，总的排法共A；・A：=144(种),其中0在排头，将1, 3, 5插在后三个空的排法共A：・A B=12(种)，此时构不成六位数，故总的六位数的个数为A；・A：—A：・A；= 144-12=132(种).点拨：亲例是有限制条件的排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意题中隐含条件0不能在首位.(2015・山西模拟改编)用五个数字0, 1, 2, 3, 4组成没有重复数字的自然数，问：(1)四位数有儿个？(2)比3 000大的偶数有几个？解：(1)首位数字不能是0,其他三位数字可以任意，所以四位数有C!A I =96个.(2)比3 000大的必是四位数或五位数.(I)若是四位数，则首位数字必是3或4.①若4在首位，则个位数字必是0或2,有C； A：个数，②若3在首位，则个位数字必是0或2或4, 有G A Y个数,所以比3 000大的四位偶数有C；A： + C；Al= 30个.(II)若是五位数，则首位数字不能是0,个位数字必是0或2或4,①若0在个位，则有个；②若0不在个位，则有dcU"个数，所以比3 000大的五位偶数有A： + C；CW=60 个.故比3 000大的偶数共有30 + 60 = 90个.名师点睛,厂揭示规律豆结方法r1.排列与组合的区别与联系排列、组合Z间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题, 需要考虑顺序的是排列问题，排列是在组合的基础上对入选的元素进行全排列，因此，分析解决排列问题的基本思路是"先选，后排”・2.解排列、组合题的基本方法(1)限制元素(位置)优先法：①元素优先法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素；②位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再考虑其他位置.(2)正难则反排异法：有些问题，正面考虑情况复杂，可以反面入手把不符合条件的所有情况从总体中去掉.(3)复杂问题分类分步法：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类加法计数原理解决或分成若干步，再由分步乘法计数原理解决.在解题过程中，常常既耍分类，也要分步，其原则是先分类，再分步.(4)相离问题插空法：某些元素不能相邻或要在某特殊位置吋可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间.(5)相邻问题捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”作全排列，最后再“松绑” 一一将“捆绑”元素在这些位置上作全排列.(6)相同元素隔板法：将77个相同小球放入个盒子里，要求每个盒子里至少有一,个小球的放法，等价于将八个相同小球串成一串，从间隙里选加一1个结点，剪截成m段，共有C；；仃种放法.这是针对相同元素的组合问题的一种方法.(7)定序问题用除法：对于某儿个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.3.解组合问题时应注意(1)在解组合应用题时，常会遇到“至少”“至多” “含”等词，要仔细审题，理解其含义.(2)关于几何图形的组合题目，一定要注意图形自身对其构成元素的限制，解决这类问题常用间接法(或排除法).(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者则即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的.对于这类问题必须取法先分组后排列，若平均分加组，则分法=呼.课时作业一厂壹漏补缺拓展延伸’1. A；“=10A；, n =( )A. 1B. 8C. 9D. 10解：原式等价于2n(2n—1) (2n—2) =10n(n— 1) Gz-2), Q3且整理得n=8.故选B・2.某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法的种数为()A. 16B. 18 C・ 24 D. 32解：将4个连在一起的空车位“捆绑”，作为一个整体考虑，则所求即为4个不同元素的全排列A：=24,故选C.3.（2015・西安模拟）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A. 10 种B. 20 种C. 36 种D. 52 种解：1号盒子可以放1个或2个球，2号盒子可以放2个或3个球，故不同的放球方法有c!ci + Cid =10种.故选A・4.（2016 •徐州期中）4名男生和2名女生站成一排照相，要求男生甲不站在最左端，女生乙不站在最右端，则不同的排法有（）A. 480B. 504C. 696D. 600解：利用间接法，4名男生和2名女生站成一排照相任意排有At=720种排法，其中男生甲站在最左端有As= 120种，女生乙站在最右端有A?= 120种.男生甲站在最左端且女生乙站在最右端有A： = 24种，故男生甲不站在最左端，女生乙不站在最右端有720-120-120 + 24 = 504种排法.故选B.5.某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下耍求：节FI甲必须排在前两位，节FI乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位.该台晩会节目演出顺序的编排方案共有（）A. 36 种B. 42 种C. 48 种D. 54 种解：分两类，第一类：甲排在第一位，丙排在最后一位时，中间4个节目无限制条件，有A：种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C；种排法，其他3个节目有种排法，故有种排法.依分类加法计数原理知，共有A\ + ClA3 = 42（种）编排方案.故选〃.6.从正方体六个面的对角线中任収两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（）A. 24 对B. 30 对C. 48 对D. 60 对解：利用正方体中两个独立的正四面体解题，它们的棱是原正方体的12条面对角线.一个正四面体中两条棱成60°角的有（Ce-3）对，两个正四面体有（d-3） X2对.又正方体的面对角线中平行成对，所以共有（Ce-3）X2X2 = 48（对）.故选C.另解：任取一条对角线，与其在同一面内的一条对角线及对面的两条对角线与该线所成角不为12X860°,其余均为60° ,故所求为-^=48（对）.7.有一个不规则的六面体盒子（六个面大小不同），现要用红、黄、蓝三种颜色刷盒子的六个面，其中一种颜色刷3个面，一种颜色刷2个面，一种颜色刷1个面，则刷这个六面体盒子的刷法有种.解：可先分组后分配，即将6个面分成3, 2, 1三组共有CeC'C：种分组方法，然后每一组用三种颜色去刷，各有A；种，由分步计数原理可知共有CodC；As=360（种）刷法.故填360.8.（2016 •山东潍坊联考）数字1, 2, 3, 4, 5, 6按如图形式随机排列，设第一行的数为其中M, M分别表示第二、三行中的最大数，则满足MvMvM的所有排列的个数是_____________________________ .®……第一行®®……第二行®®®……第三行解：（元素优先法）由题意知6必在第三行，安排6有C；种方法，第三行中剩下的两个空位安排数字有A辭中方法，在留下的三个数字中，必有一个最大数，把这个最大数安排在第二行，有G种方法，剩下的两个数字有A；种排法.按分步乘法计数原理，所有排列的个数是C：；AlC底=240.故填240.9・给定数字0, 1, 2, 3, 5, 9,每个数字最多用一次.（1）可以组成多少个四位数？（2）可以组成多少个四位奇数？解：（1）从“位置”考虑，由于0不能放在千位，因此千位数字只能有A•:种取法，其余3个数位可以从余下的5个数字中任取3个排列，所以可以组成A：• A?=300（个）四位数.（2）从“位置”考虑，个位数字必须是奇数的有种排法，首位数字不能是0,则在余下的4个非0数字中取1个有A；种取法，其余两个数位的排法是Ai,所以共有A； - A!・A"=192（个）四位奇数.10.现有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有儿种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有儿种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有儿种放法？解：（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球, 3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”，即把4个球分成2, 1, 1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有ClCi C；XA；=144（种）放法.（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.（3）确定2个空盒有C：种方法.4个球放进2个盒子可分成（3, 1）, （2, 2）两类，第一类有序不均匀分组有ClC\A?.种放法；第二类有序均匀分组有• A舟种放法.故共有A2C（C；C：A；+爭・A》=84（种）放法.令附加题（2015・长沙模拟改编）将7个相同的小球放入4个不同的盒子中.（1）不出现空盒时的放入方式共有多少种？（2）可出现空盒时的放入方式共有多少种？解：（1）将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C- = 20种不同的放入方式.（2）每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的"隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C：；o=12O种放入方式.1.如图所示，使电路接通，开关不同的开闭1=7（种），故使电路接通，3X7 = 21（种）.故选C.2.从1, 3, 5, 7, 9 两个不同的数分别记为6/, 的不同值的个数是（）A. 9B. 10C. 18解：lgd — lg/? = l谤，问题转化为彳的值的个数, 所以共有Al-2 = 20-2=18（个）.故选C.3.（2014 •绵阳一模）某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等八名学生中选派四名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为（）A. 1 860B. 1 320C. 1 140D. 1 020解：依题意，就甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的人数进行分类计数：第一类，甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有一人，满足题意的不同的演讲顺序的种数为C；・C；・ A： = 960;第二类，甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有两人，满足题意的不同的演讲顺序的种数为& •&・A；・A3=180,因此满足题意的不同的演讲顺序的种数为960+180=1 140.故选C.4.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A. 152B. 126C. 90D. 54解：若有2人从事司机工作，则方案有dx As=18（种）；若有1人从事司机工作，则方案有C3XC4X A3=108（种），所以共有18+108 = 126（种）.故选B.5.两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A. 10 种B. 15 种C. 20 种D. 30 种解：先分类：3 ： 0, 3 ： 1, 3 ： 2共计3类，当比分为3： 0时，共有2种情形；当比分为3 : 1 时，共有C：；A； = 6种情形；当比分为3 : 2时，共有C I A2=12种情形；总共有2 + 6+12 =20（种）.故选C.6.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）A. 232B. 252C. 472D. 484解：若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有C\C\C\ = 64（种）,若2色相同，则有dC；dC.!=144（种）；若红色卡片有1张，则剩余2张若不同色，有C； dcic 1=192（种），如同色则有CiciCi = 72（种），所以共有64+144 + 192 + 72 = 472（种）.故选C・7.某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，且甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为 _________________ .解：见分组，再分配.共有两种分组情况：2, 2, 1和3, 1, 1.①若分成2, 2, 1三组，共有CA3=18种分法；②若分成3, 1, 1三组，共有C：；A；=18种分法.由分类加法计数原理知，共有18 + 18 = 36种分法.故填36.&将6位志愿者分成4组，其中两个组各2 人，另两个组各1人，分赴全运会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_________________ 种.（用数字作答）解：先将6位志愿者分组，共有二厂种方法；A2再把各组分到不同场馆，共有种方法.由分步乘法计数原理知，不同的分配方案共有・A；=1 080（种）.故填1 080.9•将9个人以下列三种方式分为三个小组，完成三项不同的任务，则不同的分配方法各有多少种？（1）将9个人以2, 3, 4分为三组；（2）将9个人以2, 2, 5分为三组；课时作业二方式有（）D. 12 种解：使电路接通，左边两个开关的开闭方式有労一1=3（种），右边三个开关的开闭方式有23-开关不同的开闭方式有这五个数屮，每次収出b,共可得到｝ga — ]gbD. 20。
排列与组合的认知与计算
排列与组合的认知与计算排列与组合是组合数学中的两个重要概念，用于描述和计算对象的选择和排列方式。
在现实生活中，我们经常会遇到排列与组合的问题，如考生在选择填空题答案时的可能性、排队等待时的不同出队方式、商品的打折搭配等。
本文将从认知和计算两个方面，探讨排列与组合的概念、相关理论以及应用。
一、排列与组合的认知排列与组合是组合数学中的基础概念，两者都涉及到从一组对象中进行选择，但又有所不同。
在了解二者区别之前，我们先来看一下它们的定义。
1. 排列排列指的是从一组对象中，按照一定的顺序选择部分或全部对象的方式。
在排列中，每个对象只能用一次，且不同的顺序被看作是不同的排列。
举个例子，假设我们有三个字母A、B、C，在进行排列时，选择方式是考虑ABC、ACB、BAC等不同的顺序。
2. 组合组合指的是从一组对象中，选择部分或全部对象的方式，不考虑它们的顺序。
在组合中，每个对象只能用一次，但不同的顺序被视为相同的组合。
比如，当我们选择一个班级里的学生参加一次活动时，我们只关心参与的学生人数，而不关心他们的具体排列方式。
从以上的定义可以看出，排列强调了顺序，而组合则忽略了顺序。
在实际问题中，我们需要根据不同的场景和需求，判断应该使用排列还是组合的概念和计算方法。
二、排列与组合的计算方法在具体计算排列与组合时，有以下几种常见方法：乘法原理、加法原理、阶乘、二项式系数等。
1. 乘法原理乘法原理适用于求解多个步骤的排列或组合问题。
该原理指出，如果一个事件可以分为若干个独立的步骤，每个步骤分别有m1、m2、...、mn种选择方式，则总的选择方式数为m1 × m2 × ... × mn。
举个例子，假设我们有三个位置，每个位置分别有3种选择方式，则总的排列方式数为3 × 3 × 3 = 27。
2. 加法原理加法原理适用于求解排列或组合的情况中存在多种情况的问题。
该原理指出，如果一个事件可以从两种或多种不同的方式进行选择，则总的选择方式数为各种选择方式的总和。
排列与组合
排列与组合的关系：排列是从n个不同元素中取出m个元素的所有可能的排列的集合， 而组合是从n个不同元素中取出m个元素的所有可能的组合的集合。
排列的应用场景
密码学：排列可用于生成加密 密钥和加密算法
P(n+1)=n*P( n)
组合的推广公 式：
C(n+1,k)=C( n,k)+C(n,k-1)
排列与组合的 定理：对于有 限集合，排列 数等于组合数
乘以阶乘
排列与组合的 应用：在数学、 物理、计算机 科学等领域有
广泛应用
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汇报人：稻壳儿
应用领域：组合数学、离散概率论、统计学等。
高维空间的排列与组合
定义：在n维空间中，将n个元素进行全排列或组合 特点：具有高度的空间复杂性和计算难度 应用：在物理学、化学、生物学等领域有广泛的应用 推广：将排列与组合的原理推广到高维空间，可以解决一些传统问题
排列与组合的推广公式及定理
排列的推广公 式：
广泛应用
组合的应用场景
统计学：利用组合来计算概 率和统计数据
密码学：利用组合来生成加 密密钥
计算机科学：利用组合来生 成算法和数据结构
物理学：利用组合来描述粒 子和物质的状态
组合的实例解析
组合的定义：从n个不同元素中取出m个元素的所有取法组成的集合。 组合的公式：C(n,m) = n! / [m!(n-m)!] 实例1：从5个不同数字中取出3个数字的所有组合，共有C(5,3) = 10种。 实例2：从10个不同字母中取出5个字母的所有组合，共有C(10,5) = 252种。
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所求的字符串个数为：3 23 33 648 个。
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1.2 一一对应
例 设某地的街道把城市分割成矩形方格，每个 方格叫做它的块。某甲从家中出发上班，向东要 走过m块，向北要走过n块，问某甲上班的路径有 多少条？ y 解 问题可划为求右图从点 (m,n) (0,0)到(m,n)的路径数: 每一条从点(0,0)到(m,n)的路径与 一个由m个x和n个y的排列相对应 x (0,0) 所求路径数为： ( m n, m) C
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14
1.3 排列
例1.15 若例1.14中A单位的两人排在两端，B单位 的3人不能相邻，问有多少种不同的排列方案？ 解 共有 7!(6 5 4) 604800 种方案。
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15
1.3 排列
例1.16 求20000到70000之间的偶数中由不同的数 字所组成的5位数的个数。 解 设所求的数的形式为 abcde 其中 2 a 6, e {0,2,4,6,8} (1)若 a {2, 4, 6 } ，这时e有4种选择，有 3 4 P (8,3) 4032 (2)若 a {3,5} ，这时e有5种选择，有
故1000!的末尾有249个0
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习题
1.2 1.4 1.5 1.8 1.9
3
1.1基本计数法则
乘法法则：设事件A有m种产生方式，事件B有 n种产生方式，则“事件A与事件B”有mn种产 生方式。 例1.1 设一个符号由两个字符组成，第1个字符 由a,b,c,d,e组成，第2个字符由1,2,3组成，则由 乘法法则，该符号有5 3 15 种方式。
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4
★〇〇〇★ 共有 (5 4) ( 20 19 18) P (5,2) P ( 20,3) 136800 种图案。
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13
1.3 排列
例1.14 A单位有7位代表，B单位有3位代表，排在 一列合影，要求B单位的人排在一起，问有多少 种不同的排列方案？ 解 B单位的某一排列作为一个元素参加单位A进 行排列，可得 8! 种排列。 B单位的3人共有 3!个排列， 故共有 8!3! 排列方案。
n ak 10k ak 1 10k 1 a1 10 a0 ak ak 1 a1 a0 (mod 3) 于是 n 0 (mod 3) iff ak ak 1 a1 a0 0 (mod 3)
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1.5 组合
P ( n, r ) C ( n, r ) r! C ( n, r )
P ( n, r ) r!
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20
1.5 组合
例1.21 从1～300之间任取3个不同的数，使得这3个数 的和正好被3除尽，问共有几种方案？ 解 将这300个数按照其被3除所得的余数分为三组： A={1,4,…,298}，B={2,5,…,299}，C={3,6,…,300} ① 三个数取自集合A：有C(100,3)种方案； ② 三个数取自集合B：有C(100,3)种方案； ③ 三个数取自集合C：有C(100,3)种方案； ④ 三个数分别取自集合A、B、C：有1003种方案； 所求的方案数为：3C(100,3)+1003=1485100
1.1 基本计数法则
例1.3 求比10000小的正整数中含有数字1的数的 个数。
解 比10000小的正整数可以写为
a1a2a3a4 , 0 ai 9
的形式。
共有104-1=9999个
其中不含1的正整数有 94-1=6560个
所求正整数的个数为 9999-6560=3439个。
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n! P ( n, r ) n( n 1)( n r 1) , 0! 1 ( n r )!
当r=n时有, P ( n, n) n ( n 1)2 1 n!
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1.3 排列
例1.13 由5种颜色的星状物，20种不同的花排成 如下的图案：两边是星状物，中间是3朵花，问 共有多少种这样的图案？ 解 图案的形状为
2014-1-7 23
1.5 组合
方法2： , , , , 1 2 3 4 将8个人分为4组，第1组有 C (8, 2) 种选择，第2 组有 C (6,2) 种选择，第3组有 C (4, 2) 种选择，第 4组有 C ( 2,2) 种选择，但由于各组与顺序无关， 故所求分配方案数为：
2 5 P (8,3) 3360 共有 4032 3360 7392 个。
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1.4 圆周排列
从n个对象中取r个沿一圆周排列的排列数用 Q( n, r )
表示，则有
P ( n, r ) Q ( n, r ) r abcd, dabc, cdab, bcda
2014-1-7181. Nhomakorabea 圆周排列
例1.20 5对夫妻出席一宴会，围一圆桌坐下，问 有几种方案？若要求每对夫妻相邻又有多少种方 案？ 解 (1) 9! 种方案； (2) 4!25 24 32 768 种方案。
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1.5 组合
定义 从n个不同的元素中，取出r个而不考虑其 次序，称为从这n个元素中取r个组合，其组合数 C 记为( n, r ) 。
14! C (14,5)9! 5!
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1.5 组合
例1.25 求5位数中至少出现一个6，而被3整除的 数的个数。 正整数n能够被3整除的的充要条件是n的各个数 字之和能够被3整除。 设 n ak 10k ak 1 10k 1 a1 10 a0 因为 10 1 (mod 3) ，所以
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1.1基本计数法则
1.1 基本计数法则
加法法则：设事件A有m种产生方式，事件B有 n种产生方式，则“事件A或事件B”有m+n种产 生方式。
例. 一位学生想选修一门数学课程或一门生物 课程。若有4门数学课程和3门生物课程，则该 学生有4+3=7种不同的选课方式。
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9辆汽车和5个标志的一个排列可表示一种入场方 案，其重复数为5!，所求方案数为
14! 5!
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1.5 组合
方法2： 在9辆汽车和5个标志共14个位置中，首先选择5个 作为标志的位置，这有C (14,5) 种选择，对每一 种选择，将9辆汽车依次填入剩余的位置，这有 9!种填入方式，故所求方案数为
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1.5 组合
例1.23 假定有8位成员，两两配对分成4组，问有 多少种分配方案？ 解 方法1：
将8位成员排列，共有8!个排列，每个排列两 两划分，分成4组，其重复数为24.4!，所求分配方 案数为 8! 105 4 2 4!
7 11 13 , 0 a1 3, 0 a2 2, 0 a1 4 故能整除n的正整数的个数为
a1 a2 a3
4 3 5 60
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1.1 基本计数法则
例1.9 求从a,b,c,d,e这5个字母中取6个所组成的字符 串个数。要求(1)第1个和第6个字符必为子音字符； (2)每一字符串必有两个母音字符，且两个母音字母 不相邻；(3) 相邻的两个子音字符必不相同。 解 符合要求的字符串有以下几种模式：
第1章 排列与组合
组合数学
组合数学是研究离散结构的存在、计数、分析和 优化的一门学科。 应用领域: 计算机科学、概率论、社会科学、生 物科学、信息论等。 参考书：
1. R.A.Rrualdi. Introductory Combinatorics
组合数学 机械工业出版社
2. 孙淑玲 许胤龙. 组合数学引论 中国科学技术大 学出版社
其中 pm n pm1 。
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1.5 组合
例6．求1000!的末尾有几个0 解 1000!的末尾所含0的个数为1000!的因子分解 中2和5的幂的最小者 1000!因子分解中5的幂为：
1000 1000 1000 1000 5 5 2 5 3 54 200 40 8 1 249
5位数 a1a2 a3 a4 a5 共有90000个
被3整除的有30000个 在这30000个数中不包含6的数有
8 93 3 17496 个 所求个数为
30000-17496=12504
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1.5 组合
定理 在n!中，质数p的最高幂
n n n p(n!) 2 m p p p
a d c b
特别地，
P ( n, n) n! Q ( n, n) ( n 1)! n n
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1.4 圆周排列
例1.19 5颗红色的珠子，3颗蓝色的珠子装在圆板 的四周，试问有多少种排列方案？若蓝色的珠子 不相邻又有多少种排列方案？蓝色珠子在一起又 如何？ 解 (1)有 7! 种； (2)有 4!(5 4 3) 1440 种； (3)有 5!3! 种。
C ( 8, 2)C ( 6, 2)C ( 4, 2)C ( 2, 2) 8! 4 4! 2 4!
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1.5 组合
例1.24某广场有6个入口处，每个入口处每次只能 通过一辆汽车，有9辆汽车要开进广场，问有多 少种入场方案？ 解 方法1： 1 2 3 4 5 6 7 8 9