高二数学线性规划问题习题

3．3.2 简单的线性规划问题 （微习题）

【知识梳理】

【基础过关】

1.若实数x ,y 满足{x -y +1≥0,

x +y ≥0,x ≤0,

若z=x+2y ,则z 的最大值为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

2.设变量x ,y 满足约束条件{3x +y -6≥0,

x -y -2≤0,y -3≤0,

则目标函数z=y-2x 的最小值为( )

A .-7

B .-4

C .1

D .2

3.若变量x ,y 满足约束条件{y ≤1,

x +y ≥0,x -y -2≤0,

则z=x-2y 的最大值为 .

4.已知变量x ,y 满足{2x -y ≤0,x -3y +5≥0,

则z=x+y-2的最大值为 . 【能力提升】

1.设z=2y-2x+4,式中x ,y 满足{0≤x ≤1,

0≤y ≤2,2y -x ≥1,

则z 的最大值为 ,

最小值为 .

2.已知x ,y 满足条件{x ≥0,

y ≤x ,2x +y +k ≤0

(k 为常数),若目标函数z=x+3y 的最大值为8,则k=( )

A.-16

B.-6

C.-8

D.6

3.若A 为不等式组{x ≤0,

y ≥0,y -x ≤2

表示的平面区域,则当a 从-2连续变化到1时,动直线x+y=a

扫过A 中的那部分区域的面积为( )

A.34

B.1

C.74

D.2

3．3.2 简单的线性规划问题 （微试卷参考答案）

【知识梳理】 名称 意义

约束条件 由变量x ，y 组成的不等式或方程

线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组

目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的函数解析式

线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式

可行解 满足线性约束条件的解(x ，y )

可行域 所有可行解组成的集合

最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

【基础过关】

1.若实数x ,y 满足{x -y +1≥0,

x +y ≥0,x ≤0,

若z=x+2y ,则z 的最大值为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

答案:B

解析:作出不等式组对应的平面区域,

由z=x+2y ,得y=-12x+z 2,平移直线y=-12x+z

2,

由图象可知当直线经过点A (0,1)时,直线y=-12x+z 2的截距最大,此时z 最大,代入目标函数得z=2.故选B .

2.设变量x ,y 满足约束条件{3x +y -6≥0,

x -y -2≤0,y -3≤0,

则目标函数z=y-2x 的最小值为( )

A .-7

B .-4

C .1

D .2

答案:A

解析:作约束条件{3x +y -6≥0,

x -y -2≤0,y -3≤0

所表示的可行域,如图所示,z=y-2x 可化为y=2x+z ,z 表示

直线在y 轴上的截距,截距越大z 越大,作直线l 0:y=2x ,平移l 0,当l 0过点A (5,3)时,z 取最小值,且为-7,选A .

3.若变量x ,y 满足约束条件{y ≤1,

x +y ≥0,x -y -2≤0,

则z=x-2y 的最大值为 .

答案:3

解析:线性约束条件对应的平面区域如图所示,由z=x-2y ,得y=x 2−z 2,当直线y=x 2−z 2在y 轴上的截距最小时,z 取得最大值.由图知,当直线通过点A 时,在y 轴上的截距最小,

由{x +y =0,x -y -2=0,解得A (1,-1).

所以z max =1-2×(-1)=3.

4.已知变量x ,y 满足{

2x -y ≤0,x -3y +5≥0,

则z=x+y-2的最大值为 . 答案:1

解析:作出可行域,如图所示的阴影部分,

由图知,目标函数z=x+y-2在点A 处取最大值.又A (1,2),∴z max =1+2-2=1.

【能力提升】

1.设z=2y-2x+4,式中x ,y 满足{0≤x ≤1,

0≤y ≤2,2y -x ≥1,

则z 的最大值为

最小值为 .

答案: 8 , 4.

解析:作出满足条件{0≤x ≤1,

0≤y ≤2,2y -x ≥1

的可行域如图:

作直线l :2y-2x=t ,当l 过点A (0,2)时,z max =2×2-2×0+4=8.

当l 过点B (1,1)时,z min =2×1-2×1+4=4.

所以,z 的最大值为8,最小值为4.

2.已知x ,y 满足条件{x ≥0,

y ≤x ,2x +y +k ≤0

(k 为常数),若目标函数z=x+3y 的最大值为8,则k=( )

A.-16

B.-6

C.-83

D.6

答案:B

解析:由z=x+3y 得y=-13x+z 3.

先作出{x ≥0,y ≤x 的图象,