数论算法讲义 3章(同余方程)
同余方程在数论中的应用解析
同余方程在数论中的应用解析同余方程是数论中一个重要的概念，它在解决很多数学问题中起着关键作用。
它的应用涉及到数论的诸多领域，如同余定理、模运算、密码学等。
本文将从数论的角度出发，对同余方程在数论中的应用进行一番解析。
首先，我们来了解一下同余方程的概念。
同余方程是指两个整数之间满足模同余的关系，即模一个固定的数时，它们的余数相等。
比如，对于整数a和b，若a-b能被m整除，我们可以表示为a≡b (mod m)，其中≡表示模同余关系，mod表示取模运算。
同余方程可以用来描述两个数之间的关系，并在数论中发挥重要作用。
在数论中，同余方程有很多应用。
首先，同余方程与同余定理密切相关。
同余定理是一种用于处理同余方程的重要工具。
根据同余定理，如果两个整数a和b在模m下的余数相等，则它们的和、积、幂等也在模m下具有相等的余数。
利用同余定理，我们可以解决一些整数方程、方程组以及一些特殊的数学问题。
其次，同余方程在模运算中有广泛的应用。
模运算是一种将数按照某一数值取模的运算。
同余方程可以用来求解模运算中的问题，如求模运算下的乘法逆元、模幂运算等。
模运算广泛应用于计算机科学、密码学等领域，通过同余方程的应用，我们可以实现密码的加密和解密，保证数据的安全性。
此外，同余方程也在数论中的素数检测以及素数生成中扮演着重要的角色。
素数是指只能被1和自身整除的数。
同余方程可以用来判断一个数是否为素数。
根据费马小定理，如果p是一个素数，a是任意与p互质的正整数，则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
根据这个性质，我们可以通过同余方程进行素性检测。
最后，同余方程还在数论中的循环小数表示、离散数学以及组合数学等领域发挥着重要作用。
循环小数是指一个有限小数部分和重复的无限循环部分组成的数。
同余方程可以用来分析循环小数的性质，如确定循环节的长度、循环节中的数字等。
此外，在离散数学和组合数学中，同余方程是探索数与数之间的整除关系、约数关系以及数列性质的重要工具。
数论中的同余方程
数论是研究整数性质及其相互关系的一门学科。
而同余方程作为数论中的基本概念之一，在数学领域中具有重要的地位。
同余方程可以帮助我们研究整数的行为规律，解决实际问题，并且在密码学、计算机科学等领域中也有广泛的应用。
同余方程是指满足某种特定关系的整数方程。
具体来说，对于给定的整数a，b和正整数m，如果a和b除以m所得的余数相等，即a mod m = b mod m，那么我们就称a与b在模m下同余，记作a ≡ b (mod m)。
在同余方程中，a被称作余数，m被称作模数。
同余方程在数论中的研究往往涉及到判断是否存在整数解，以及如何寻找整数解的问题。
为了解决这些问题，我们需要掌握一些重要的定理与技巧。
其中，最基本的定理就是模运算的性质：若a ≡ b (mod m) 且c ≡ d (mod m)，那么a + c ≡ b + d (mod m)，a - c ≡ b - d (mod m)，ac ≡ bd (mod m)。
这些定理使得我们在处理同余方程时，可以像处理等式一样进行运算。
而对于寻找同余方程的解，则涉及到一些更加高级的数论技巧。
其中最重要的技巧之一就是使用求解线性同余方程的方法。
对于一般形式的同余方程ax ≡b (mod m)，若gcd(a,m) | b，那么该方程存在整数解。
通过求解该方程，我们可以得到原方程的一个特解。
另外，对于m和a互质的情况，我们可以使用费马小定理或欧拉定理来求解同余方程。
同余方程的应用非常广泛。
首先，同余方程在数论领域中作为基础概念，包含了很多重要的数论定理。
例如，中国剩余定理就是基于同余方程的理论推导。
在实际问题中，同余方程也具有重要的应用。
例如，我们可以通过解决同余方程来计算某个数的阶乘的最后一位数字，或者判断一个数是否是质数等。
同样，在密码学领域中，同余方程被广泛应用于构建加密算法，特别是RSA加密算法。
综上所述，同余方程作为数论中的重要概念，具有很大的研究和应用价值。
通过研究同余方程，我们可以了解整数的行为规律，解决实际问题，并在密码学、计算机科学等领域中应用于构建加密算法等。
数论中的同余定理与同余方程的解法
数论中的同余定理与同余方程的解法数论是研究整数性质和整数运算规律的数学分支。
同余定理和同余方程是数论中重要的概念和工具。
本文将介绍同余定理的基本思想和应用，以及解决同余方程的常见方法。
一、同余定理同余是指两个整数除以同一个数所得的余数相等。
同余定理是数论中的一个基本理论，用于刻画整数之间的关系。
设a、b和n都是整数，n>0，我们称a与b关于模n同余，记作a≡b(mod n)，当且仅当n|(a-b)。
同余定理可以分为以下几条：1. 同余的基本性质（1）自反性：a≡a(mod n)（2）对称性：若a≡b(mod n)，则b≡a(mod n)（3）传递性：若a≡b(mod n)，b≡c(mod n)，则a≡c(mod n)2. 同余的运算性质（1）加法：若a≡b(mod n)，c≡d(mod n)，则a+c≡b+d(mod n)（2）减法：若a≡b(mod n)，c≡d(mod n)，则a-c≡b-d(mod n)（3）乘法：若a≡b(mod n)，c≡d(mod n)，则a*c≡b*d(mod n)3. 同余的整除性质若a≡b(mod n)，则m|a的充分必要条件是m|b。
同余定理不仅在数论中有重要应用，还广泛用于密码学、计算机科学等领域。
二、同余方程的解法同余方程是形如ax≡b(mod n)的方程，其中a、b和n为已知整数，x 为未知整数。
解同余方程可以通过以下几种方法：1. 借助同余定理直接解法：若gcd(a,n)|b，方程ax≡b(mod n)存在解。
具体解法为，求出gcd(a,n)的一个解d，然后将方程两边同时除以d，得到新方程a'x≡b' (mod n')，其中a'、b'和n'为新方程的系数，满足gcd(a',n')=1，然后再求解新方程，最后合并得到原方程的所有解。
2. 中国剩余定理：中国剩余定理是解决同余方程组的一种有效方法。
初等数论同余
富，应用广泛的一个分支．
定义：给定一个正整数m，我们把它叫做模， 如果用m去除任意两个整数a与b所得的余数 相同，我们就说a,b 对模m同余， 记作 a b(modm). 如果余数不同，我们就说a,b对模m不同余， a b(modm). 记作 注1：上面所说的模m>1,因为m=1对所有整 数就都同余了。
解：∵111111被7整除，
50
∴
11 1 ≡11（mod 7）≡4（mod 7）
50
即余数为4。
33 26 例4：求(257 46) 被50除的余数
解： (25733 46)26 (733 4)26 (7 (72 )16 4)26
(7 4)26 326 3 (35 )5 3 (7)5 3 7 (72 )2
性质5 (1)若 a b(modm).k>0 则 ak bk(modm k)
(2)若a b(modm).d|(a,b,m), d>0 ,则
a b m (mod ). d d d
证:性质5显然.
性质6 若 a b(modm), d m, d 0则
a b(modd ).
证：由已知m|a-b,又d|m,所以d|a-b 性质7 a b(modm).d|(a,b),(d,m)=1 则
§2 同余的应用
1、算术中的整除规律 (1)个位数是偶数的数能被２整除； (2)个位数是０或５的数能被５整除； (3)末两位数能被４（或２５）整除的数能被 ４（或２５）整除； (4)末三位数能被８（或１２５）整除的数能 被８（或１２５）整除；
5)各位数字之和能被３（或９）整除的数能 被３（或９）整除；
6)奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能 被１１整除的数能被１１整除。
数论中的同余方程与模运算性质
数论中的同余方程与模运算性质数论是研究整数性质的学科，同余方程和模运算是数论中重要的概念和工具。
同余方程是指具有相同余数的方程，而模运算是指在同余方程中，对方程中的数进行模除运算。
本文将探讨同余方程与模运算的性质及其在数论中的应用。
一、同余方程1. 同余关系的定义在整数集合中，对于给定的正整数m，若整数a和b满足a-b能被m整除，即(a-b) mod m = 0，则称a与b对于模m同余，记作a ≡ b (mod m)。
将这种关系称为同余关系。
2. 同余方程的定义同余方程是指形如ax ≡ b (mod m)的方程，其中a、b、m是已知的整数，x是未知的整数。
3. 同余方程的性质（1）同余方程的解集性质若同余方程ax ≡ b (mod m)有解，设x0是该方程的一个解，则所有解x满足x ≡ x0 (mod m)。
（2）同余方程的等价性若同余方程ax ≡ b (mod m)和ax ≡ c (mod m)的解集相等，则b ≡ c (mod m)。
（3）同余方程的合并若同余方程ax ≡ b (mod m)和cx ≡ d (mod m)的解集相等，则(a+c)x ≡ (b+d) (mod m)。
二、模运算性质1. 模运算的定义对于给定的整数a、b和正整数m，称a除以m的余数为a对于模m的模余数，记作a mod m。
2. 模运算的性质（1）模运算的基本性质若a和b对于模m同余，则a mod m = b mod m。
（2）模运算的运算性质设a1和a2对于模m同余，b1和b2对于模m同余，则有：a1 + b1 ≡ (a2 + b2) (mod m)；a1 - b1 ≡ (a2 - b2) (mod m)；a1 · b1 ≡ (a2 · b2) (mod m)。
（3）模运算的幂运算对于给定的整数a和正整数m，有：a^k mod m ≡ (a mod m)^k (mod m)，其中k为非负整数。
三、同余方程与模运算的应用1. 方程求解通过对同余方程进行变形和运算，可以解决一些实际问题，例如日历计算、时间转换等。
同余的基本概念和性质
例3 说明 是否被641整除。
因此 0 (mod 641)，
即641 。
第一节 同余的基本性质
第一节 同余的基本性质
设式(4)对于n = k成立，则有 1 (mod 2k + 2) = 1 q2k + 2， 其中qZ，所以
=(1 q2k + 2)2=1 q 2k + 31(mod 2k + 3)， 其中q 是某个整数。这说明式(4)当n = k 1也成立。 由归纳法知式(4)对所有正整数n成立。
第一节 同余的基本性质
a2 1 (mod p) pa2 1 = (a 1)(a 1)，
证明 由
pa 1或pa 1，
所以必是
a 1或a 1 (mod p)。
例8 设p是素数，a是整数，则由a2 1(mod p)可以推出
即a 1 (mod p)或a 1 (mod p)。
解 因为792 = 8911，故 792n 8n，9n及11n。 我们有 8n 8 z = 6，
证明 留作习题。
定理5 下面的结论成立： (ⅰ) a b (mod m), dm, d>0 a b (mod d); (ⅱ) a b (mod m), k > 0, kN ak bk (mod mk)； (ⅲ) a b (mod mi )，1 i k a b (mod [m1, m2, , mk])； (ⅳ) a b (mod m) (a, m) = (b, m)； (ⅴ) ac bc(modm), (c, m) =1 a b (mod m).
定义1 给定正整数m，如果整数a与b之差被m整除，则称a与b对于模m同余，或称a与b同余，模m，记为 a b (mod m)， 此时也称b是a对模m的同余
初等数论第三章课件
, n 1)时，每一项3i xi 各取3个值， 3x1 x0共通过3n 1 个数；
② 在这3n 1 个数中，若有 3n 1 xn 1 3n xn x0 =3n xn 3n 1 xn 1 3x1 3x1 x0 3n ( xn xn ) 3n 1 ( xn 1 xn 1 ) 则x0 x0 x0 x0 3 x0 x0 x1 ) 3( x1
同余的一个应用——检查因数的一些方法
A、一整数能被3（9）整除的充要条件是它的十进位 数码的和能被3（9）整除。
证：a Z , 将a写成十进位数的形式： a an10 an 110
n
i n n
n 1
a0 , 0 ai 10.
i n
因10 1(mod 3), 故10 1(mod 3), ai 10 ai (mod 3), 从而 ai 10i ai (mod 3),即a ai (mod 3).
n
n 1
3 x1 x
也是模3 =2H+1的绝对最小完全剩余系。（再由 模2H+1的绝对最小完全剩余系具有唯一性得到结论）
① 3n xn 3n 1 xn 1 xi 1, 0,1(i 0,1, 故3n xn 3n 1 xn 1
3x1 x0共有n 1项，当
i ! p( p 1)
( p i 1) Z i! ( p i 1)
当i 1, 2, 故C ip pq,
, p 1时, (i !, p) 1 即p C ip
i ! ( p 1)
( p i 1)，
例3、（ 1）求所有的正整数n，使得2n 1能被7整除； （2）证明：对于任何正整数n，2n +1不能被7整除。
初等数论(三)同余
初等数论（三）--同余基本性质：（1） 反身性：(mod )a a m ≡（2） 对称性：若(mod ),a b m ≡则(mod ),b a m ≡（3） 传递性：如果(mod ),a b m ≡(mod ),b c m ≡那么(mod ),a c m ≡以上三个性质说明∙“同余是一个等价关系，Z 中元素可以按照模m 分成m 个类，粗略地讲，用一类中的元素可以认为是相同的”（4） 如果(mod ),a b m ≡(mod ),c d m ≡那么(mod ),(mod ),a c b d m ac bd m ±≡±≡（5） 如果(mod ),a b m ≡那么(mod ),n n a b m ≡（6） 如果(mod )ac ab m ≡，不一定有(mod )c b m ≡（整数之间的乘法消去律不一定成立），（7） 若(mod ),ac bc m ≡则mod (,)m a b c m ⎛⎫≡ ⎪⎝⎭。
因此，(,)1c m =时，才会有(mod )a b m ≡。
例1.若质数5,p ≥并且21p +也是质数，证明：41p +是合数。
例2.对于任何n 个整数的集合，存在一个子集，该子集的元素之和被n 整除。
例3.证明表达式23,95x y x y ++按照相同的,x y 被17整除。
例4.设3p ≥为奇质数且111...21a p b +++=-， 证明：p a 。
作业：证明：3131421x x ++++被7整除。
例5.30对夫妻围着圆桌而坐。
证明：至少有两名妻子到各自丈夫的距离相等。
例6.设(,)1a m =，证明方程(mod )ax b m ≡在{0,1,2,3,...,1}m -中有唯一解。
例7.设01,,,,1,2,3,...n n a b x N x ax b n -∈=+=。
证明：数列12,,....,,...n x x x 不可能都是质数。
例8.证明方程2222x y z xyz ++=只有一个整数解0x y z ===。
数论算法讲义3章(同余方程)
第 3 章 同余方程（一） 内容：● 同余方程概念● 解同余方程● 解同余方程组（二） 重点● 解同余方程（三） 应用● 密码学，公钥密码学3.1 基本概念及一次同余方程(一) 同余方程（1） 同余方程【定义3.1.1】（定义1）设m 是一个正整数，f(x)为n 次多项式()0111a x a x a x a x f n n n n ++++=--Λ其中i a 是正整数（n a ≠0（mod m ）），则f (x)≡0（mod m ） （1） 叫做模m 的（n 次）同余式（或模m 的（n 次）同余方程），n 叫做f(x)的次数，记为deg f 。
（2） 同余方程的解若整数a 使得 f (a)≡0（mod m ）成立，则a 叫做该同余方程的解。
（3） 同余方程的解数若a 是同余方程（1）的解，则满足x ≡a （mod m ）的所有整数都是方程（1）的解。
即剩余类a C ＝{x ｜x ∈Z ，x ≡a （mod m ）}中的每个剩余都是解。
故把这些解都看做是相同的，并说剩余类a C 是同余方程(1)的一个解，这个解通常记为x ≡a （mod m ）当21,c c 均为同余方程(1)的解，且对模m 不同余时，就称它们是同余方程(2)的不同的解，所有对模m 的两两不同余的解的个数，称为是同余方程（1）的解数，记作()m f T ;。
显然()m f T ;≤m（4） 同余方程的解法一：穷举法任意选定模m 的一组完全剩余系，并以其中的每个剩余代入方程（1），在这完全剩余系中解的个数就是解数()m f T ;。
【例1】（例1）可以验证，x ≡2，4（mod 7）是同余方程15++x x ≡0（mod 7）的不同的解，故该方程的解数为2。
50＋0＋1＝1≡3 mod 751＋1＋1＝3≡3 mod 752＋2＋1＝35≡0 mod 753＋3＋1＝247≡2 mod 754＋4＋1＝1029≡0 mod 755＋5＋1＝3131≡2 mod 756＋6＋1＝7783≡6 mod 7【例2】求同余方程122742-+x x ≡0（mod 15）的解。
数论中的同余方程与不定方程
数论中的同余方程与不定方程数论是研究整数的性质和结构的学科，其中同余方程和不定方程属于重要的研究内容。
本文将介绍同余方程和不定方程的概念、性质以及解法。
一、同余方程同余方程是指形如ax ≡ b (mod m) 的方程，其中 a、b和m都是整数，≡表示同余，意味着 a与b对于模m同余。
1.1 概念同余方程是用来描述整数之间的关系的方程。
同余方程中的 a、b和m都是整数，其中 a和m是已知的，b是未知的。
解同余方程就是要找到满足这个关系的整数b的值。
1.2 性质同余方程具有一些重要的性质：- 如果a≡b (mod m) ，那么对于所有的整数k，有a+km≡b (mod m) 。
- 如果a≡b (mod m) ，那么对于所有的整数k，有ak≡bk (mod m) 。
- 如果a≡b (mod m) 且b≡c (mod m) ，那么a≡c (mod m) 。
1.3 解法一般而言，我们可以通过穷举法或代入法求解同余方程。
- 穷举法：我们可以从 0开始，依次将整数代入方程，判断是否满足同余关系。
这种方法比较直观，但对于大数目的解比较复杂。
- 代入法：我们可以将 b 替换成一个待定整数 x，然后通过一定的数学变换，将原方程转化为一个简化的同余方程。
然后我们可以通过简化后的方程来求解。
二、不定方程不定方程是指形如 ax+by=c 的方程，其中 a、b和c都是整数，且给定整数解x和y。
2.1 概念不定方程是一种用来描述整数之间的关系的方程。
不定方程中的a、b和c都是整数，其中 a和b是已知的，c是未知的。
我们需要找到满足该关系的整数解x和y。
2.2 性质不定方程具有一些重要的性质：- 如果 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 是不定方程 ax+by=c 的解，那么(x₁+x₂, y₁+y₂) 也是其解。
- 不定方程 ax+by=c 只有有限多个整数解，当且仅当 c 是 a和b的公倍数。
2.3 解法解决不定方程一般有以下几种方法：- 整数分拆法：我们可以通过对方程逐项进行整数分拆，得到不同的解。
初等数论-第三章-同余
第三章 同 余§1 同余的概念及其基本性质。
，所有奇数；所有偶数，例如，。
不同余，记作：对模则称；若所得的余数不同，同余，记作：对模则称所得的余数相同，与去除两个整数，称之为模。
若用设)2(mod 1)2(mod 0)7(mod 18)(mod ,)(mod ,≡≡≡≡/≡∈+a a m b a m b a m b a m b a b a m m Z 定义1。
故同余关系是等价关系；（传递性），则，、若；（对称性），则、若；（反身性）、：关系，它具有下列性质同余是整数之间的一种)(mod )(mod )(mod 3)(mod )(mod 2)(mod 1m c a m c b m b a m a b m b a m a a ≡≡≡≡≡≡。
则，，，设。
，，即同余的充分必要条件是对模整数)(|)()(mod ,0)(|,2121212211b a m q q m b a r r m b a m r r r mq b r mq a t mt b a b a m m b a -⇔-=-⇔=⇔≡<≤+=+=∈+=-证明定理1Z。
，则若；，则，若)(mod )(mod )2()(mod )(mod )(mod )1(21212211m b c a m c b a m b b a a m b a m b a -≡≡++≡+≡≡性质1。
，则特别地，若；，则，若)(mod )(mod )(mod )(mod )(mod 21212211m kb ka m b a m b b a a m b a m b a ≡≡≡≡≡性质2。
，则，；特别地，若则，，，若)(mod ,,2,1,0)(mod )(mod ,,2,1)(mod )(mod 0110111111111111m b x b x b a x a x a n i m b a m y y Bx x Ak i m y x m B A n n n n n n n n i i k k i i kk kkk kk k +++≡+++=≡≡=≡≡----∑∑ αααααααααααααααα定理2。
同余方程的解法
同余方程的解法同余方程是数论中的重要内容，研究同余方程的解法对于解决一些数学问题具有重要的意义。
本文将介绍同余方程的求解方法及其应用。
一、基本概念在开始讨论同余方程的解法之前，我们先来了解一些基本概念。
1. 同余关系：设a、b、m是整数，如果m能整除(a-b)，即(a-b)是m 的倍数，则称a与b同余，记作a≡b(mod m)。
2. 同余方程：形如ax≡b(mod m)的方程称为同余方程，其中a、b、m是已知整数，x是待求的整数。
二、同余方程的解法解同余方程的关键是找到满足条件的整数解。
下面将介绍三种常见的解法。
1. 试错法：通过尝试不同的整数值，检验是否满足同余关系来求解同余方程。
当方程较简单时，这种方法可以很快得到解。
但对于复杂的方程，试错法并不是一个高效的解题方法。
2. 求模逆法：对于一些特定的同余方程，可以通过求解模逆来得到解。
若a存在模逆，即存在整数a'，使得aa'≡1(mod m)，则同余方程ax≡b(mod m)的解为x≡ba'(mod m)。
3. 扩展欧几里德算法：对于一般的同余方程，可以利用扩展欧几里德算法来求解。
该算法可以求解形如ax+my=gcd(a,m)的线性方程，进而得到同余方程的解。
三、同余方程的应用同余方程是数论的重要工具，在密码学、编码理论、计算机科学等领域有广泛的应用。
1. 密码学：同余方程在RSA加密算法中起到了关键作用。
RSA算法依赖于大素数因子分解的困难性，而同余方程的求解正是对此问题的解答。
2. 编码理论：同余方程可以用于解码、纠错码的设计以及信息传输中的误差检测和纠正等方面。
3. 计算机科学：同余方程在计算机科学中有着广泛的应用，例如在计算机图形学中用于生成伪随机数、在计算机网络中用于数据包分组与重组等。
四、总结同余方程作为数论中的一个重要内容，具有重要的理论和应用价值。
本文介绍了同余方程的基本概念、解法以及一些应用领域。
了解并掌握同余方程的求解方法，对于深入理解数论以及解决实际问题具有重要的意义。
数论算法讲义3章(同余方程)
第3章同余方程（一）内容：同余方程概念解同余方程解同余方程组（二）重点解同余方程（三）应用密码学，公钥密码学3.1基本概念及一次同余方程（一）同余方程（1）同余方程【定义3.1.1】（定义1）设m是一个正整数，f（x）为n次多项式n n 1f x a n x a n 1x a1x a0其中a i是正整数（a n工0 （mod m））,贝Sf （x）三0 （mod m）（1）叫做模m的（n次）同余式（或模m的（n次）同余方程）, n叫做f（x）的次数，记为deg f。
（2）同余方程的解若整数a使得f （a尸0 （mod m）成立，则a叫做该同余方程的解。
（3）同余方程的解数若a是同余方程（1）的解，则满足x三a （mod m）的所有整数都是方程（1）的解。
即剩余类C a= {x | x€ Z, x三a (mod m) }中的每个剩余都是解。
故把这些解都看做是相同的，并说剩余类C a是同余方程(1)的一个解，这个解通常记为x三a (mod m)当c「c2均为同余方程(1)的解，且对模m不同余时，就称它们是同余方程(2)的不同的解，所有对模m的两两不同余的解的个数，称为是同余方程(1)的解数，记作T f;m。
显然T f;m < m(4)同余方程的解法一：穷举法任意选定模m的一组完全剩余系，并以其中的每个剩余代入方程(1 ),在这完全剩余系中解的个数就是解数T f; m。
【例1](例1)可以验证，x三2, 4 (mod 7)是同余方程x5 x 1 三0 ( mod 7) 的不同的解，故该方程的解数为2。
05+0+ 1 = 1 三3mod 715+ 1 + 1 = 3 三3mod 725+2+ 1 = 35三Omod 735+3+ 1 = 247三2mod 745+4+ 1= 1029三Omod 755+ 5+ 1 = 3131 三2mod 765+6+ 1 = 7783三6mod 7【例2]求同余方程4x227x 12三0 (mod 15)的解(解)取模15的绝对最小完全剩余系：—7,—6,…，—1,0,1, 2,…，7,直接计算知x = —6, 3是解。
§3同余ppt课件
20
21
引言
§3.2 剩余类与完全剩余系
一个整数被正整数n除后，余数有n种情形：0， 1，2，3，…，n-1，它们彼此对模n不同余。这表 明，每个整数恰与这n个整数中某一个对模n同余。 这样一来，按模n是否同余对整数集进行分类，可 以将整数集分成n个两两不相交的子集。
n
11 N 11 (1)i ai i0 14
例4 设N an1000 n an11000 n1 a11000 1 a0 (0 ai 1000 )
n
则 7(或11或13) N 7(或11或13) （-1）iai i0
证：Q1000 1(mod 7或mod11或mod13)
1000i (1)i (mod 7或mod11或mod13) (i 1, 2L n)
19
五、弃九法〔验算计算结果〕 若ab c,则有 ab a b c(mod 9) 应用这种方法可以验算较大整数的乘法。
例9. 验算 28997×39495＝1145236415是否正确。
Q 28997 17 8(mod9)， 39495 3(mod9) 1145236415 32 5(mod9) 但8 3 5(mod 9) 所以结果不正确。
2
中学数学竞赛
1、今天是星期一，再过100天是星期几？ 再过1010 天呢？
2、3145×92653=2910 93995的横线处漏写了一个 数字，你能以最快的办法补出吗？
3、13511，13903，14589被自然数m除所得余数 相同，问m最大值是多少？
4、你知道777 的个位数是多少吗？
3
§3.1 同余的概念及其基本性质
9n 9（1 3 x y 4 5 z ）= 19 x y 9x y 1， (1)
数论中的同余方程
数论是数学中的一个分支，研究的是整数及其性质。
同余方程是数论中的一个重要概念和研究对象。
同余方程是一个关于整数的等价关系，通过同余方程我们可以更好地理解整数的性质和特点。
同余方程的定义非常简单，如果两个整数a和b除以一个正整数m所得的余数相等，即a mod m = b mod m，我们就说a和b对于模m同余，记作a ≡ b (mod m)。
换句话说，如果a和b除以m所得的余数相等，即它们与m的除法不同余，我们就说它们对于模m同余。
通过同余方程，我们可以获得一些有意义的结论和性质。
比如，如果a ≡ b (mod m)，那么a和b对于模m的各种运算都是等价的。
例如，如果a ≡ b (mod m)和c ≡ d (mod m)，那么a + c ≡ b + d (mod m)，a - c ≡ b - d (mod m)，ac ≡ bd (mod m)等等。
这为我们在数论中的一些运算提供了便利，可以通过计算模m的余数来简化运算过程。
同余方程不仅可以用来研究整数的运算性质，还可以在密码学中发挥重要作用。
比如，著名的RSA加密算法就是基于同余方程的。
RSA加密算法使用两个不同的素数p和q作为加密密钥的一部分，通过这两个素数的乘积生成的同余方程来加密和解密信息。
由于质因子分解是一个非常耗时的过程，对于大的质数p和q，求解这个同余方程时需要耗费大量的计算时间，从而保证了RSA加密算法的安全性。
此外，同余方程还可以用来求解一些实际问题。
比如，我们可以通过同余方程来求解一些数学问题中的未知数。
例如，假设我们有一组同余方程x≡ x_1 (mod x_1)，x≡ x_2 (mod x_2)，… x≡ x_x (mod x_x)，其中b1，b2，…，bn和m1，m2，…，mn都是给定的整数。
如果这组同余方程满足一定的条件，我们可以通过一定的方法求解出x的值。
这个过程叫做求解同余方程组，是数论中的一个重要问题。
总之，同余方程是数论中的一个重要概念，通过对整数的模m余数的等价关系进行研究，我们可以得到一些有意义和有用的结果。
初等数论第三章同余
⑥ a b c (m o d m ) a c b (m o d m )
证 ： a b c (m o d m ) m c a b
m ( c b ) a a ( c b )(m o d m ).
① a b (mod m)，dm，d > 0 a b (mod d)；
证 ： a b (m o d m )
d |a b
a b (m o d d ).
② a b (mod m)，k > 0，kN ak bk (mod mk)；
证 ： a b (m o d m ) m | a b
证 ： a b (m o d m i ) m i a b [ m 1 , , m k ] a b .
④ a b (mod m) (a, m) = (b, m)；
证 ： a m q1 r
( a , m ) ( m , r ),
同 理 ， b m q 2 r ( b , m ) ( m , r ).
n n1
a1 10 a 0
1
(1)
i
3、9 的整除特征 ——各位上的数字之和能被3（9）整除
10 1 m od(3)
a a n 10 a1 10 a 0 a n a1 a 0 m od ( 3 )
n
例1
检查5874192、435693 能否被3（9）整除。
证 ： a b (m o d m )
d |a b
a b (m o d d ).
数论 第三章 同余式03
(
i= 2,„,k
2012-8-6 数论
二 中国剩余定理证法二
证明二：归纳构造同余式组的解. k=1 时，同余式
x b 1 ( mod m 1 ) 的解为 x x 1 b 1 ( mod m1)
k=2 时，原同余式组等价于
x b 1 ( mod x b 2 ( mod
' i i i 1 i
2012-8-6
数论
二 中国剩余定理证法二
x b 1 ( mod x b ( mod i m1)
的解,i=1,„,k,并满足递归关
mi)
'
系式
x i x i 1 N i 1 ( N i 1 ( b i x i 1 )( mod m i ))( modm 1 m i )
' 1
我们有 y≡1·10(mod 11) 故同余式组的解为
x x 3 11 210 10 2111(mod
2012-8-6 数论
2310)
三 中国剩余定理应用的整数，如 定理1 设m是大于1
果a是满足(a,m)=1的整数，则
例 2 计算 2
1000000
( mod 77 ).
x x 1 b 1 ( modN
2012-8-6
N1) m2)
), 我们
(4)
由(4)式的第一个同余式有解
1
数论
二 中国剩余定理证法二
可以将同余式组的解表示为(y1 待定参数)
x x 1 N 1y1
将 x 代入同余式组(4)式的第二个同余式，我们有
x 1 N 1 y 1 b 2 ( mod m 2 ) 或 N 1 y 1 b 2 x 1 ( mod m2) (5 )
数论中的同余方程研究
数论中的同余方程研究数论是研究整数的性质和关系的数学分支，同余方程是数论中的重要概念。
同余方程是指在同一模数下，两个整数除以模数的余数相等的方程。
在本文中，我们将重点讨论数论中的同余方程及其研究。
一、同余方程的定义和性质同余方程可以用符号表示为a ≡ b (mod m)，其中a和b是整数，m 是大于1的正整数。
这个方程的含义是a与b在模m下同余，也就是它们除以m的余数相等。
同余方程的性质有以下几点：1. 同余关系具有自反性、对称性和传递性，即对任意整数a和正整数m，有a ≡ a (mod m)，若a ≡ b (mod m)，则b ≡ a (mod m)，若a ≡ b (mod m)且b ≡ c (mod m)，则a ≡ c (mod m)。
2. 同余方程的解存在唯一性。
对于同余方程a ≡ b (mod m)，如果存在整数x使得a ≡ x (mod m)，那么x对应的值在模m下唯一确定。
3. 同余方程的解集具有封闭性，即对于同余方程a ≡ b (mod m)，如果x1和x2是该方程的解，那么x1 + x2，x1 - x2，kx1 (k为整数)也是它的解。
4. 若a ≡ b (mod m)，则对任意整数k，有a + km ≡ b (mod m)，a - km ≡ b (mod m)，ak ≡ bk (mod m)。
二、求解同余方程的方法1. 试探法：通过试探不同的整数值，不断代入同余方程，直到找到合适的解。
这种方法适用于方程较简单、模数较小的情况。
2. 借助同余运算性质：利用同余方程的性质，可以通过运算简化方程，以便更容易求解。
例如，将方程中的元素用模数进行替换，将方程转化为更简单的形式。
3. 扩展欧几里德算法：扩展欧几里德算法是一种求解同余方程ax ≡1 (mod m) 的有效方法。
通过扩展欧几里德算法，可以求得同余方程的唯一解。
三、应用举例同余方程在密码学、计算机科学、编码理论等领域有着广泛的应用。
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第 3 章 同余方程（一） 内容：● 同余方程概念● 解同余方程● 解同余方程组（二） 重点● 解同余方程（三） 应用● 密码学，公钥密码学3.1 基本概念及一次同余方程(一) 同余方程（1） 同余方程【定义3.1.1】（定义1）设m 是一个正整数，f(x)为n 次多项式()0111a x a x a x a x f n n n n ++++=--Λ其中i a 是正整数（n a ≠0（mod m ）），则f (x)≡0（mod m ） （1） 叫做模m 的（n 次）同余式（或模m 的（n 次）同余方程），n 叫做f(x)的次数，记为deg f 。
（2） 同余方程的解若整数a 使得 f (a)≡0（mod m ）成立，则a 叫做该同余方程的解。
（3） 同余方程的解数若a 是同余方程（1）的解，则满足x ≡a （mod m ）的所有整数都是方程（1）的解。
即剩余类a C ＝{x ｜x ∈Z ，x ≡a （mod m ）}中的每个剩余都是解。
故把这些解都看做是相同的，并说剩余类a C 是同余方程(1)的一个解，这个解通常记为x ≡a （mod m ）当21,c c 均为同余方程(1)的解，且对模m 不同余时，就称它们是同余方程(2)的不同的解，所有对模m 的两两不同余的解的个数，称为是同余方程（1）的解数，记作()m f T ;。
显然()m f T ;≤m（4） 同余方程的解法一：穷举法任意选定模m 的一组完全剩余系，并以其中的每个剩余代入方程（1），在这完全剩余系中解的个数就是解数()m f T ;。
【例1】（例1）可以验证，x ≡2，4（mod 7）是同余方程15++x x ≡0（mod 7）的不同的解，故该方程的解数为2。
50＋0＋1＝1≡3 mod 751＋1＋1＝3≡3 mod 752＋2＋1＝35≡0 mod 753＋3＋1＝247≡2 mod 754＋4＋1＝1029≡0 mod 755＋5＋1＝3131≡2 mod 756＋6＋1＝7783≡6 mod 7【例2】求同余方程122742-+x x ≡0（mod 15）的解。
（解）取模15的绝对最小完全剩余系：－7，－6，…，－1，0，1，2，…，7，直接计算知x ＝－6，3是解。
所以，该同余方程的解是x ≡－6，3（mod 15）且解数()15;f T ＝2。
【例3】求同余方程72742-+x x ≡0（mod 15）的解 （解）同样直接计算知4,1,2,7---=x 是解。
所以它的解是()15mod 4,1,2,7---≡x ，解数为4。
【例4】求解同余方程()15mod 092742≡-+x x 。
（解）经直接计算知，本方程无解，即解数为0。
说明：当()x f 的系数都是模m 的倍数时，显见，任意的整数值x 都是同余方程（1）的解，这样的同余方程 （1）的解数为m 。
但这并不是同余方程（1）的解数为m 的必要条件。
例如 215x ＋35x ＋14≡0（mod 7）显然，上方程等价于方程 0≡0（mod 7）【例5】由Fermat －Euler 定理知，同余方程 ()5mod 05≡-x x的解数为5；同余方程()7mod 07≡-x x的解数为7。
一般地，对素数p ，同余方程()p x x p mod 0≡-的解数为p 。
【例6】同余方程 ()()()()35mod 01112422≡+++-x x x x x即()35mod 0379≡--+x x x x的解数为35。
（证）记()x x f =1，()122-=x x f ，()123+=x x f ，()1244++=x x x f ，由同余的性质，()()()()35mod 01112422≡+++-x x x x x ⇔ ()()()()()()⎩⎨⎧≡+++-≡+++-7mod 01115mod 011124222422x x x x x x x x x x ⇔ 存在i ，j 使得()()⎩⎨⎧≡≡7mod 05mod 0x f x f j i 成立（因5、7都是素数）直接计算：()x f 1为奇函数，其余为偶函数x ＝0时，()01f ≡0（mod 5），()01f ≡0（mod 7） x ＝±1时，()x f 2≡0（mod 5），()x f 2≡0（mod 7）⇔()x f 2≡0（mod 35）即()x f i ＝()x f j ＝()x f 2x ＝±2时，()x f 3≡5≡0（mod 5），()x f 4≡21≡0（mod 7）即()x f i ＝()x f 3，()x f j ＝()x f 4x ＝±3时，()x f 3≡10≡0（mod 5），()x f 4≡91≡0（mod 7）x ＝±4时，()x f 2≡15≡0（mod 5），()x f 4≡273＝39·7≡0（mod 7）x ＝±5时，()x f 1≡±5≡0（mod 5），()x f 4≡651＝93·7≡0（mod 7）x ＝±6时，()x f 2≡35≡0（mod 35），x ＝±7时，()x f 3≡50≡0（mod 5），()x f 1≡±7≡0（mod 7）x ＝±8时，()x f 3≡65≡0（mod 5），()x f 2≡63≡0（mod 7）x ＝±9时，()x f 2≡80≡0（mod 5），()x f 4≡949·7≡0（mod 7）x ＝±10时，()x f 1≡±10≡0（mod 5），()x f 4≡1443·7≡0（mod 7）x ＝±11时，()x f 2≡24·5≡0（mod 5），()x f 4≡2109·7≡0（mod 7）x ＝±12时，()x f 2≡29·5≡0（mod 5），()x f 4≡2983·7≡0（mod 7）x ＝±13时， ()x f 3≡34·5≡0（mod 5），()x f 2≡24·7≡0（mod 7）x ＝±14时，()x f 2≡39·5≡0（mod 5），()x f 1≡±14≡0（mod 7）x ＝±15时， ()x f 1≡±15≡0（mod 5），()x f 2≡32·7≡0（mod 7）x ＝±16时， ()x f 2≡51·5≡0（mod 5），()x f 4≡9399·7≡0（mod 7）x ＝±17时， ()x f 3≡58·5≡0（mod 5），()x f 4≡11973·7≡0（mod 7）注意：由于本方程()35mod 0379≡--+x x x x 中x 的幂都是奇数，故当x 为其解释时，－x 也是其解。
(二) 同余方程的性质【定理3.1.1】（i ）若两个多项式f(x)≡g(x)（mod m ），则同余方程（1）的解和解数与同余方程g(x)≡0（mod m ）相同，此时称两个方程同解。
（ii ）若()1,=m a ，则同余方程（1）的解和解数与同余方程()()m x af mod 0≡相同。
特别地，当()1,=m a n 时，取a≡1-n a （mod m ），则多项式()x af 的首项系数为()m aa n mod 1≡ （证）（i ）显然。
（ii ）因为()1,=m a 时，有f (x)≡0（mod m ） ⇔a f (x)≡0（mod m ）（当(a,m)＝1时，b ≡c （mod m ）⇔ab ≡ac （mod m ））【例6】证明同余方程092742≡-+x x （mod 15）与方程632-+x x （mod 15）同解。
（证）首先92742-+x x ≡6342+-x x （mod 15），故方程092742≡-+x x （mod 15）与06342≡+-x x （mod15）同解。
其次，由于14-≡4（mod 15），所以，原方程又可以化简为14-(92742-+x x )≡0（mod 15）36108162-+x x ≡0（mod 15）632-+x x ≡0（mod 15）另外，同余方程093360223≡-++x x x （mod 12）与方程03323≡+-x x （mod 12）同解。
【定理3.1.2】（i ）设正整数d │m ，那么，模m 的同余方程（1）有解的必要条件是模d 的同余方程 ()()d x f mod 0≡ （2）有解。
（ii ）设方程（2）有解，它的全部解为s x x x ,,1Λ≡（mod d ） （3） 那么，对（1）的每个解（如果有的话）a ，有且仅有一个i x 满足a ≡i x （mod d ）（证）（i ）设a 是同余方程（1）的解，即f (a)≡0（mod m ）从而由同余性质知 m │f (a)。
已知m d |，所以d │f (a)所以 f (a)≡0（mod d ），即（2）成立。
（ii ）又若有两个解1x 和2x 同时满足a ≡1x （mod d ）， a ≡2x （mod d ） 则由同余的等价性之传递性知，必有1x ≡2x （mod d ）即（ii ）成立。
意义：方程（1）的解一定要在与方程（2）的解同余的数中去找。
如a 是（1）的解，i x 是（2）的解，则必有a ＝i x ＋kd ，其中k 为某个整数【例7】解同余方程()15mod 092742≡-+x x 。
（解）考虑模5的同余方程()5mod 092742≡-+x x （4）由于 ()5mod 12927422++-≡-+x x x x由定理3.1.1知，方程（4）与方程()5mod 0122≡++-x x 的解相同。
上式即 ()().5mod 212≡-x容易验证它无解。
因而由定理3.1.2知原同余方程无解。
【例8】解同余方程()9mod 09523≡++x x 。
（解）由直接计算知，同余方程()3mod 09523=++x x （即方程23x x -≡()x x x -2≡0（mod 3））有两个解：().3mod 1,0≡x方法一：利用方程23x x -≡0（mod 3）的解试探或穷举。
已知方程23x x -≡0（mod 3）的解为x ≡0,1（mod 3），故由定理3.1.2知原方程的不同的解一定在集合{0，3，6，1，4，7}中。
逐个试验：以x ≡0，3，－3，1，4，－2分别代入原方程中，可知x ≡－3，0，3，4满足原方程，而x ≡－2，1不满足原方程。