第04讲-函数的概念(讲义版)
高中数学《函数的概念》课件
定义域和值域
了解函数定义的形式及其定义域 和值域非常重要。
函数的图像
函数图像的概念
掌握如何根据函数的定义、域、值域和公式绘制函数的图像。
如何绘制函数图像
学习如何使用函数的公式和几何方法来绘制函数的图像。
函数的对称性
探究函数的不同对称性，例如奇偶性和周期性。
函数的性质
1
奇偶性与周期性
了解函数的基本性质，例如奇偶性和周期性，可以帮助简化函数的分析。
高中数学《函数的概念》 ppt课件
数学是一门让人兴奋的学科。接下来，我们将探讨高中数学的一个关键主题： 函数的概念。通过本课程，你将深入了解函数的基本定义、图像、性质及其 实际应用。
函数的定义
定义及其常见表示形式
掌握函数的不同表示形式是理解 数学中其他相关概念的基础。
自变量和因变量
发现自变量和因变量之间的关系 对于定义函数是至关重要的。
函数在工程学中的应用
了解如何在工程学中使用函数来 解决复杂的问题，例如建筑和机 械设计。
总结与展望
1
函数的重要性及其实际应用
掌握函数的概念和应用，可以让你更好地理解标准数学中的其他相关主题。
2
未来函数研究的发展趋势
了解当前对函数研究的最新趋势是什么，可以让你更好地理解数学的未来。
3
课程回顾及展望
回顾本课程的内容，并思考如何将所学应用到实际的问题中。
2
单调性和极值
发现函数的单调性和极值有助于确定函数的最大值和最小值。
3
泰勒公式与函数的逼近
了解如何使用泰勒公式来将函数逼近到无穷小的阶数，以获得更多信息。
函数的应用
函数在经济学中的应用
学习如何使用函数来分析经济数 据，例如股票市场和消费趋势。
函数的概念解读课件
02
一次函数与二次函数
一次函数概念及性质
一次函数定义
一次函数是形如 $y = kx + b$ （其中 $k neq 0$）的函数，它 描述了两个变量之间的线性关系
。
斜率 $k$
表示函数的增减性。当 $k > 0$ 时，函数递增；当 $k < 0$ 时，
函数递减。
截距 $b$
表示函数图像与 $y$ 轴交点的纵 坐标。当 $b > 0$ 时，交点在 $y$ 轴正半轴；当 $b < 0$ 时， 交点在 $y$ 轴负半轴；当 $b = 0$ 时，函数图像经过原点。
反函数的性质
反函数的图像关于直线$y=x$对称；原函数与反函数的单调性相反。
复合函数与反函数关系
复合函数与反函数的联系
复合函数与反函数都是基于已知函数构造新函数的方法，它们之间存在一定的联系。例如，一个复合函数的反函 数可以通过逐步求反得到。
复合函数与反函数的区别
复合函数是通过将一个函数的输出作为另一个函数的输入来构造的，而反函数则是通过交换原函数的输入和输出 来构造的。此外，复合函数的定义域和值域可能发生变化，而反函数的定义域和值域则是原函数的值域和定义域 。
复合函数的性质
复合函数保持原函数的增减性、奇偶性、周期性等性质。
反函数概念及性质
反函数的定义
设函数$y=f(x)$的定义域为$D_f$，值域为$R_f$。如果存在一个函数$x=g(y)$ ，其定义域为$R_f$，值域为$D_f$，且对任意$x in D_f$，都有$g[f(x)]=x$，则 称函数$x=g(y)$为函数$y=f(x)$的反函数。
该点的函数值。
03
极限与连续在解决实际问题中的应用
函数的概念课件
函数的概念课件一、导入在数学中，函数是一个核心的概念。
它描述了变量之间的依赖关系，用函数的观点去看待问题，是数学学习中一个极为重要的思想方法。
因此，大家要认真理解函数的概念，掌握函数的基本性质，为后续学习做好准备。
二、新课导入1、定义函数是数学中的一种关系，它把一个数集中的元素与另一个数集中的元素对应起来，其中对应的规则称为对应关系。
2、函数的表示方法我们可以用解析式、图象、表格等多种形式来表示函数。
例如，如果y是x的函数，那么可以用y=x^2表示一个二次函数。
3、函数的性质本文1）函数的单调性：在区间(a,b)上，如果对于任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在(a,b)上单调递增；如果对于任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在(a,b)上单调递减。
本文2）函数的奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)的定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。
本文3）函数的值域：函数值的取值范围称为函数的值域。
三、例题解析例1：求下列函数的定义域和值域：本文1）y=x^2+1 （2）y=√x+1解：（1）定义域为R，值域为[0,∞)本文2）定义域为[0,∞)，值域为[1,∞)例2：判断下列函数的单调性：本文1）y=x^2 （2）y=x+1解：（1）在区间(-∞,0)上单调递减，在区间(0,∞)上单调递增。
本文2）在定义域内单调递增。
例3：判断下列函数的奇偶性：本文1）y=x^2 （2）y=√x解：（1）偶函数（2）奇函数四、课堂小结本节课我们学习了函数的概念和基本性质，掌握了函数的表示方法，了解了函数的单调性、奇偶性和值域等概念。
希望大家能够认真领会函数的思想方法，为后续学习做好准备。
一、引言函数是高中数学的核心概念，是数学学习中不可或缺的一部分。
函数的概念及其表示课件
复合函数及其运算
复合函数的概念
复合函数是由两个或多个基本函数通过嵌套方式组合而成的新函数。内部函数 的值作为外部函数的自变量，形成一个新的函数关系。
复合函数的运算
对复合函数进行运算时，需要遵循从内到外的顺序，先计算内部函数的值，再 将结果代入外部函数进行计算。
函数在实际问题中的应用举例
01
经济学领域应用
函数的性质
包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期 性等。这些性质帮助我们更深入地理解函数
的行为和特征。
02
函数的表示方法
表格法
定义
通过列表格的方式来表示函数关 系，列出输入值与对应输出值的
一种表示方法。
优点
表格法简单明了，能够直观地展示 函数输入输出之间的关系，方便查 找特定输入值对应的输出值。
函数关于y轴对称。
函数的奇偶性是函数的另一种重 要性质，它与函数的对称性有关 ，可以帮助我们更好地理解函数
的图像和性质。
04
函数的运算与应用
函数的加减乘除运算
函数加减运算
当两个函数的定义域相同时，可以进行加减运算，将对应自变量上的函数值相加 或相减得到新的函数。
函数乘除运算
函数乘除运算也是基于相同的定义域进行的，将对应自变量上的函数值相乘或相 除得到新的函数。需要注意的是，函数除法运算中，除数函数不能为0。
在生物学研究中，函数可以描述生物种群数量随时间的变化关系，通过 函数的建模和分析，可以揭示生态系统中种群的动态平衡规律，为生态 保护提供科学依据。
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图象法
定义
通过画图的方式来表示函数关系，将函数的输入值作为自 变量，输出值作为因变量，在坐标系中描点并连成曲线表 示函数关系的方法。
函数的概念 课件
x＋1≠0， 解析：(1)要使函数有意义，需满足
1－x≥0， 即x≠－1，所以函数的定义域为{x|x≤1 且 x≠－1}．
x≤1， (2)要使函数有意义，必须满足|x|－x≠0，即|x|≠x， 所以 x<0.所以函数的定义域为{x|x<0}． 答案：(1){x|x≤1 且 x≠－1} (2){x|x<0}
{x|a<x<b} 开区间 (a，b)
半开半闭
{x|a≤x<b}
[a，b)
区间
半开半闭
{x|a<x≤b}
(a，b]
区间
3.函数相等
(1)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全 一致，我们就称这两个函数相等．
类型 1 函数概念的理解(自主研析)
[典例 1] (1)下列各对应关系中给出了实数集 R 上的
温馨提示 (1)对函数概念的理解：①A，B 必须为非 空数集；②集合 A 中元素具有任意性；③集合 B 中元素 必须有唯一确定性．
(2)如果值域记作 C，上述定义中，集合 B，C 必满足 C⊆B.
2．区间表示
设 a，b 是两个实数，且 a<b.
定义
名称 符号表示 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
2．根据图形判断对应是否为函数的方法步骤：(1)任 取一条垂直于 x 轴的直线 l；(2)在定义域内平行移动直线 l；(3)若 l 与图形有且只有一个交点，则是函数，否则不 是函数．
3．两个函数相等，当且仅当定义域与对应关系分别 对应相同．
类型 2 求函数的定义域 [典例 2] (1)函数 y＝（xx＋＋11）2－ 1－x的定义域是 ____________________； (2)函数 y＝|xx＋ |－1x的定义域是________．
函数概念ppt课件
复合函数的性质
复合函数具有一些重要的性质，如单 调性、奇偶性等，这些性质可以通过 对组成复合函数的各个函数的性质进 行分析得出。
复合函数的运算规则是先计算内层函 数，再计算外层函数，依次类推，直 到所有的函数都计算完毕。
反函数的概念与运算
01
02
03
反函数的概念
反函数是指将一个函数的 输入和输出互换，得到一 个新的函数。
一次函数
形如f(x)=kx+b的函数， 其中k和b为常数且k≠0。
分式函数
形如f(x)=k/x的函数，其 中k为常数且k≠0。
对数函数
形如f(x)=log_a x的函数， 其中a为常数且a>0且a≠1
。
02 函数的性质
有界性
总结词
函数的值域在一定范围内变动，不会 无限增大或减小。
详细描述
函数的输出结果总是在一定的范围内 ，不会超出这个范围。例如，正弦函 数和余弦函数的值域都在-1到1之间。
函数的定义域和值域是函数的重要属性，它们决定了函数的作用范围和 结果范围。
函数的表示方法
解析法
用数学表达式来表示函数，是最 常用的一种表示方法。例如， f(x)=x^2表示一个函数，当x取 任意实数时，都有唯一的y值与 之对应。
表格法
通过表格的形式来表示函数，对 于一些离散的函数可以用此方法 。例如，一个离散函数的值可以
函数概念ppt课件
• 函数的基本概念 • 函数的性质 • 函数的运算 • 函数的应用 • 函数的图像
01 函数的基本概念
函数的定义
函数是数学上的一个概念，它是一种特殊的对应关系，这种对应关系使 得对于数集A中的每一个元素，通过某种法则，都可以唯一地对应到数集 B中的一个元素。
第04讲 函数的图象(解析版)
第04讲 函数的图象【知识点总结】一、掌握基本初等函数的图像 （1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数.二、函数图像作法 1.直接画①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）. 2.图像的变换 （1）平移变换①函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向左平移a 个单位得到的；②函数()(0)y f x a a =->的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向右平移a 个单位得到的；③函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向上平移a 个单位得到的；④函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向下平移a 个单位得到的；（2）对称变换①()y f x =的图像是将函数()f x 的图像保留x 轴上方的部分不变，将x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折上来得到的②()y f x =的图像是将函数()f x 的图像只保留y 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y 轴对称得到函数()y f x =左边的图像即函数()y f x =是一个偶函数. 三、函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.【典型例题】例1．（2022·浙江·高三专题练习）函数2ln ()1||x f x x =+的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【详解】当0x >时2ln ()1x f x x=+，则()222222212ln 2ln 2(1ln )x x x x x f x x x x ⋅---'===． 当0e x <<时，()0f x '>，所以()f x 在区间(0,e)上单调递增， 当e x >时()0f x '<，所以()f x 在区间(e,)+∞上单调递减，排除A ，B ． 又2ln e 2(e)110lel ef =+=+>，排除D ． 故选：C ．例2．（2022·全国·高三专题练习）已知()21πsin 42f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【详解】 ∵()221π1sin cos 424f x x x x x ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭， ∴()1sin 2f x x x '=- 易知()1sin 2f x x x '=-是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B 和D ，由ππ106122f ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，排除C ，所以A 正确.故选：A.例3．（2022·全国·高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【详解】设圆锥PO 底面圆半径r ，高H ，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O '，水面半径AO x '=，此时水面高度PO h '=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，x hr H =，即r x h H=⋅，则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H Hπππ==⋅⋅=⋅， 令水匀速注入的速度为v ，则注水时间为t 时的水的体积为V vt =，于是得22332233r H vt h vt h h H r ππ⋅=⇒=⇒而,,r H v 是常数，所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是h =203r H t v π≤≤，23103h t -'=>，函数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，A 选项的图象与其图象大致一样，B ，C ，D 三个选项与其图象都不同. 故选：A例4．（2022·全国·模拟预测）函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．3()cos f x x x =-B ．1()sin f x x x =+C ．21()cos f x x x =- D ．1()sin f x x x=-【答案】D 【详解】由图知0x ≠，排除A 选项；当0x >，且x 趋近于0时，由图知()f x 趋近于-∞，排除B ； 又C 选项中2211()cos()cos ()()f x x x f x x x -=--=-=-，其图象关于y 轴对称，不符合. 故选：D.例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【答案】D 【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ； 对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ； 对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，210221642y ππ⎛⎫'=++⨯> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C. 故选：D.【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）函数()()1xxa f x a x=>的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【分析】按x 的正负分类讨论，结合指数函数图象确定结论． 【详解】由题意,0,0x x a x y a x ⎧>=⎨-<⎩，∵1a >，∴只有C 符合． 故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象大致形状为（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊点的函数值判断可得； 【详解】解：因为()21sin 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以定义域为R ，且()()()221sin 1sin 11x xf x x x f x e e -⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即()f x 为偶函数，函数图象关于y 轴对称，故排除C 、D ；当2x =时，222210111e e e--=<++，sin 20>，所以()2221sin 201f e ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，故排除B ； 故选：A3．（2022·全国·高三专题练习）如图，正△ABC 的边长为2，点D 为边AB 的中点，点P 沿着边AC ，CB 运动到点B ，记∠ADP ＝x ．函数f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】根据题意，结合图形，分析区间（0，2π）和（2π，π）上f （x ）的符号，再分析f （x ）的对称性，排除BCD ，即可得答案． 【详解】根据题意，f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，∠ADP ＝x ． 在区间（0，2π）上，P 在边AC 上，|PB |＞|P A |，则f （x ）＞0，排除C ； 在区间（2π，π）上，P 在边BC 上，|PB |＜|P A |，则f （x ）＜0，排除B ， 又由当x 1+x 2＝π时，有f （x 1）＝﹣f （x 2），f （x ）的图象关于点（2π，0）对称，排除D ， 故选：A4．（2022·江苏·高三专题练习）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据导函数看正负，原函数看升降，分析出大致图像，在结合每个选项可得出答案.【详解】由函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值， 所以当1x >时，()0f x '<；1x =时，()0f x '=；1x <时，()0f x '>； 所以当0x <时，()0y xf x '=->，当01x <<时，()0y xf x '=-<， 当0x =或1x = 时，()0y xf x '=-=，当1x >时，()0y xf x '=->， 可得选项B 符合题意. 故选：B ．5．（2022·全国·高三专题练习）函数()ln ,0ln(),0x x e x x f x e x x -⎧>=⎨-<⎩在[)(]2,00,2-上的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】通过函数的奇偶性可排除A ，B ；通过计算(2)f 的值可排除C ，进而可得结果． 【详解】由题可知函数()f x 的定义域关于原点对称，且当0x >时，0x -<，[]()()ln ()ln ()x x f x ex e x f x ---=⋅--=⋅=， 当0x <时，0x ->，()ln()()x f x e x f x --=⋅-=，故()f x 为偶函数，排除A ，B ；而222(2)ln 232e f e e =>>，排除C ．故选：D ．6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）＝x +12x -，x ∈（2，8），当x ＝m 时，f （x ）有最小值为n ．则在平面直角坐标系中，函数1()log mg x x n =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】由均值不等式易知m ＝3，n ＝4，则函数13()log |4|g x x =+，判断函数g （x ）的单调性，结合选项即可得解． 【详解】∵函数1()2224,(2,8)2f x x x x =-++≥=∈-，当且仅当122x x -=-，即m＝3时取等号， ∴m ＝3，n ＝4， 则函数13()log |4|g x x =+的图象在（﹣4，+∞）上单调递减，在（﹣∞，﹣4）上单调递增，观察选项可知，选项A 符合． 故选：A ．7．（2022·全国·高三专题练习）函数()||3e x x xf =的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】先求解()f x 的定义域并判断奇偶性，然后根据()1f 的值以及()f x 在()0,∞+上的单调性选择合适图象. 【详解】()e3xf x x =定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()e 3xf x x-=-， 则()()f x f x -=-，()f x 为奇函数，图象关于原点对称，故排除B ；()e113f =<，故排除A ； ∵()e3xf x x =，当0x >时，可得()()21e 3xx f x x -'=，当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，故排除D. 故选：C.8．（2022·全国·高三专题练习）函数y 3）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】判定奇偶性，根据奇函数的图象性质排除C;考察在（0，1）和（1，+∞)上的函数值的正负，进一步取舍判定.（也可使用赋值法） 【详解】 由题意，设3()f x =3()()f x f x -==-，所以函数的奇函数，故排除C;当01x <<时，()410,0x f x -<∴<，当1x >时，()41,0x f x >∴>，排除BD ,故选:A.9．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()2,101x x f x x --≤≤⎧⎪=<≤，则下列图象错误的是（ ）A ．()y f x =的图象：B ．()1y f x =-的图象：C ．()y f x =的图象：D ．()y f x =-的图象：【答案】C 【分析】作出函数()2,101x x f x x --≤≤⎧⎪=<≤，结合四个选项的函数及图象变换，即可得出图象错误的选项，得到答案. 【详解】先作出()2,101x x f x x --≤≤⎧⎪=<≤的图象，如图所示，所以A 正确；对于B ，()1y f x =-的图象()f x 是由的图象向右平移一个单位得到，故B 正确； 对于C ，当0x >时，()y f x =的图象与()f x 的图象相同，且函数()y f x =的图象关于y 轴对称，故C 错误；对于D ，()y f x =-的图象与()f x 的图象关于y 轴对称而得到，故D 正确. 故选：C .10．（2022·全国·高三专题练习（文））下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为（ ）①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； ②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； ③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.其中y 表示离开家的距离，t 表示所用时间. A ．④①② B ．③①②C ．②①④D ．③②①【答案】A 【分析】根据三个事件的特征，分析离家距离的变化情况，选出符合事件的图像. 【详解】对于事件①，中途返回家，离家距离为0，故图像④符合；对于事件②，堵车中途耽搁了一些时间，中间有段时间离家距离不变，故图像①符合； 对于事件③，前面速度慢，后面赶时间加快速度，故图像②符合； 故选：A.11．（2022·全国·高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】设出圆锥底面圆半径r ，高H ，利用圆锥与其轴垂直的截面性质，建立起盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式即可判断得解. 【详解】设圆锥PO 底面圆半径r ，高H ，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O '，水面半径AO x '=，此时水面高度PO h '=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，x hr H =，即r x h H=⋅，则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H H πππ==⋅⋅=⋅，令水匀速注入的速度为v ，则注水时间为t 时的水的体积为V vt =，于是得22332233r H vt h vt h h H r ππ⋅=⇒=⇒而,,r H v 是常数，所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是h =203r H t v π≤≤，23103h t -'=>，函数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，A 选项的图象与其图象大致一样，B ，C ，D 三个选项与其图象都不同. 故选：A12．（2022·全国·高三专题练习）函数()b x f x a -=的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．1a >，0b <B ．1a >，0b >C ．01a <<，0b <D ．01a <<，0b >【答案】A 【分析】 由()b xf x a-=，可得1()x bf x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由图像可知函数是减函数，则101a<<，从而可求出a 的范围，由0(0)1f <<可求出b 的取值范围 【详解】 由()b xf x a-=，可得1()x bf x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为由图像可知函数是减函数，所以101a<<，所以1a >， 因为0(0)1f <<，所以001b a a <<=，所以0b <， 故选：A13．（2022·浙江·高三专题练习）函数2()x xe ef x ax bx c-+=++的图象如图所示，则（ ）A ．0,0,0a b c <=<B ．0,0,0a b c <<=C ．0,0,0a b c >=>D ．0,0,0a b c >=<【答案】D 【分析】由函数的奇偶性可求出0b =，再由函数图象不连续即可知分母等于零有解，即可排除AC. 【详解】解：由图象可知，函数的偶函数，即()()f x f x -=，即22x x x xe e e e ax bx c ax bx c--++=+++-，则0b =，B 不正确；由图象可知，20ax bx c ++=有解，即0ac <，故AC 不正确， 故选:D. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.14．（2022·全国·高三专题练习）若函数()2()mx f x e n =-的大致图象如图所示，则（ ）A ．0,01m n ><<B ．0,1m n >>C ．0,01m n <<<D ．0,1m n <>【答案】B 【分析】 令()0f x =得到1ln x n m=，再根据函数图象与x 轴的交点和函数的单调性判断. 【详解】令()0f x =得mx e n =，即ln mx n =， 解得1ln x n m=， 由图象知1l 0n x mn =>， 当0m >时，1n >，当0m <时，01n <<，故排除AD ， 当0m <时，易知mx y e =是减函数，当x →+∞时，0y →，()2f x n →，故排除C故选：B15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )＝1331,,log 1x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩则函数y ＝f (1－x )的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】由()f x 得到()1f x -的解析式，根据函数的特殊点和正负判断即可. 【详解】因为函数()f x 133,1log ,1x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，所以函数()1f x -()1133,0log 1,0x x x x -⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，当x ＝0时，y ＝f (1)＝3，即y ＝f (1－x )的图象过点(0，3)，排除A ；当x ＝－2时，y ＝f (3)＝－1，即y ＝f (1－x )的图象过点(－2，－1)，排除B ； 当0x <时，()1311,(1)log 10x f x x ->-=-<，排除C ，故选：D ．16．（2022·江苏·高三专题练习）为调整某学校路段的车流量问题，对该学校路段115时的车流量进行了统计，折线图如图，则下列结论错误的是（ ）A ．9时前车流量在逐渐上升B ．车流量的高峰期在9时左右C ．车流量的第二高峰期为12时D ．9时开始车流量逐渐下降【答案】D 【分析】根据图象得出车流量的增减性与最值，由此可得出结论. 【详解】由折线图知，9时前车流量在逐渐增加，选项A 正确； 车流量的高峰期在9时左右，选项B 正确；12时是车流量的第二高峰期，选项C 正确；12时左右车流量又有些回升，所以9时开始车流量逐渐下降错误，选项D 错误．故选：D ．17．（2022·全国·高三专题练习）在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当01a <<时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D. 【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性. 18．（2022·全国·高三专题练习）函数(1)lg ||()|1|x x g x x +=+的图象向右平移1个单位长度得到函数()f x 的图象，则()f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据函数图象的变换，求得函数lg |1|()||x x f x x -=，根据当0x <时，得到()0f x <，可排除A 、B ；当01x <<时，得到()0f x <，可排除C ，进而求解. 【详解】由题意，可得lg |1|()(1)||x x f x g x x -=-=，其定义域为(,0)(0,1)(1,)-∞⋃⋃+∞， 当0x <时，11x -+>，函数lg |1|lg(1)()||x x x x f x x x--+===-lg(1)0x --+<， 故排除A 、B 选项；当01x <<时，011x <-+<，故函数lg |1|()||x x f x x -==lg(1)lg(1)0x x x x-+=-+<，故排除C 选项；当x 1>时，函数lg |1|lg(1)()lg(1)||x x x x f x x x x--===-， 该函数图象可以看成将函数lg y x =的图象向右平移一个单位得到，选项D 符合. 故选：D .19．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )的图像如图所示，则函数f (x )的解析式可能是（ ）A ．()()44||x xf x x -=+ B ．()2()44log ||x xf x x -=-C ．()2()44log ||x xf x x -=+D ．()12()44log ||x xf x x -=+【答案】C 【分析】()(44)||x x f x x -=+， f (1)≠0，A 不正确；2()(44)log ||x x f x x -=-是奇函数，不满足题意，B 不正确；12()(44)log ||x x f x x -=+，当x ∈(0，1)时，()0f x >，不满足题意，D 不正确.【详解】由函数f (x )的图像知函数f (x )是偶函数，且当x=1时，f (1)=0. ()(44)||x x f x x -=+是偶函数，但是f (1)≠0，A 不正确； 2()(44)log ||x x f x x -=-是奇函数，不满足题意，B 不正确；12()(44)log ||x x f x x -=+是偶函数，f (1)=0，但当x ∈(0，1)时，()0f x >，不满足题意，D不正确. 故选：C.20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）的图象如图所示，则函数f （x ）的解析式可能是（ ）A ．f （x ）＝（4x ﹣4﹣x ）|x |B ．f （x ）＝（4x ﹣4﹣x ）log 2|x |C ．f （x ）＝（4x +4﹣x ）|x |D ．f （x ）＝（4x +4﹣x ）log 2|x |【答案】D 【分析】根据题意，用排除法分析：利用函数的奇偶性可排除A 、B ，由区间（0，1）上，函数值的符号排除C ，即可得答案． 【详解】根据题意，用排除法分析：对于A ，f （x ）＝（4x ﹣4﹣x ）|x |，其定义域为R ，有f （﹣x ）＝（4﹣x ﹣4x ）|x |＝﹣f （x ），则函数f （x ）为奇函数，不符合题意；对于B ，f （x ）＝（4x ﹣4﹣x ）log 2|x |，其定义域为{x |x ≠0}，有f （﹣x ）＝（4﹣x ﹣4x ）log 2|x |＝﹣f （x ），则函数f （x ）为奇函数，不符合题意；对于C ，f （x ）＝（4x +4﹣x ）|x |，在区间（0，1）上，f （x ）＞0，不符合题意；对于D ， f （﹣x ）＝（4x +4﹣x ）log 2|x |＝f （x ）为偶函数，且在区间（0，1）上，f （x ）<0，符合题意 故选：D21．（2022·全国·高三专题练习）已知某函数的部分图象大致如图所示，则下列函数中最合适的函数是（ ）A ．()()sin x xf x e e -=+ B ．()()sin x xf x e e -=- C ．()()cos x xf x e e -=-D ．()()cos x xf x e e -=+【答案】D 【分析】根据特殊值排除A 、C ，再判断函数的奇偶性即可排除B ； 【详解】解：对于A ：()()sin x x f x e e -=+，()()000sin sin 20f e e =+=>，故A 错误； 对于B ：()()sin x xf x e e -=-，则()()()()sin sin x x x x f x e e e e f x ---=-=--=-，故()()sin x x f x e e -=-为奇函数，故B 错误；对于C ：()()cos x x f x e e -=-，则()()000cos cos01f e e =-==，故C 错误；对于D ：()()cos x x f x e e -=+，()()000cos cos 20f e e =+=<，且()()()cos x xf x e e f x --=+=，即()()cos x xf x e e -=+为偶函数，满足条件；故选：D22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是（ ）A ．()sin ln f x x x =⋅B ．()sin ln f x x x =-⋅C ．()sin ln f x x x =⋅D ．()sin ln f x x x =⋅【答案】A 【分析】由图象对称性确定奇偶性，再由函数值的正负排除错误选项，得出正确结论． 【详解】图象关于原点对称，为奇函数，选项BCD 中定义域都是{|0}x x >，不合，排除， 选项A 是奇函数． 故选：A ． 【点睛】思路点睛：本题考查由函数图象选择函数解析式，可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.23．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()f x 的大致图象如下，下列选项中e 为自然对数的底数，则函数()f x 的解析式可能为（ ）A ．x x eB ．1x x e +C ．2x x e e --D ．x xx x e e e e--+-【答案】D 【分析】分析各选项中函数的奇偶性，结合特殊值法可得出合适的选项. 【详解】由图可知，函数()f x 为奇函数. 对于A 选项，函数()x x f x e =的定义域为R，()()x xx xf x f x e e ---=≠-=-， 函数()xxf x e =不是奇函数，排除A 选项； 对于B 选项，函数()1x x f x e +=的定义域为R，()()11x xx x f x f x e e --+-=≠-=-，函数()1xx f x e +=不是奇函数，排除B 选项； 对于C 选项，由0x x e e --≠可得0x ≠，即函数()2x x e ef x -=-的定义域为{}0x x ≠， ()()2x x f x f x e e --==--，函数()2x x e e f x -=-为奇函数，()22221f e e-=<-， C 选项不满足要求；对于D 选项，由0xxe e --≠可得0x ≠，即函数x x x xe ef xe e的定义域为{}0x x ≠，()()x xx x e e f x f x e e --+-==--，函数x x x xe ef xe e为奇函数，当0x >时，()1x xx x e e f x e e--+=>-，满足题意.故选：D. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.二、多选题24．（2022·全国·高三专题练习）函数()||()af x x a R x=+∈的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】ABD 【分析】根据题意，分0a =、0a >以及0a <三种情况讨论函数的图象，分析选项即可得答案．【详解】 解：根据题意，当0a =时，()||f x x =，(0)x ≠，其图象与选项A 对应，当0a >时，,0(),0a x x xf x a x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩，在区间(0,)+∞上，()a f x x x =+，其图象在第一象限先减后增，在区间(,0)-∞上，()f x 为减函数，其图象与选项B 对应，当0a <时，,0(),0a x x xf x a x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩，在区间(0,)+∞上，()f x 为增函数，在区间(,0)-∞上，()[()]a af x x x x x-=-+=-+-，其图象在第二象限先减后增，其图象与选项D 对应， 故选：ABD ．25．（2022·全国·高三专题练习）已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD 【分析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()x x f x e e -=+为偶函数，当1k =-时，()x x f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当1k =时，()x x f x e e -=+为偶函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=+在1) [,t ∈+∞上单调递增，故函数()x x f x e e -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误； 当1k =-时，()x x f x e e -=-为奇函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=-在1) [,t ∈+∞上单调递减，故函数()x x f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误. 故选:AD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知1k =或1k =-，再判断函数的单调性.26．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器项部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BCD 【分析】根据几何体的形状判断每增加一个高度需要的水是越多那么增加的比较平缓，每增加一个高度需要的水越少，那么增加的比较快，比较图象判断选项. 【详解】对于第一幅图，不难得知水面高度的增加应是均匀的，因此A 不正确；对于第二幅图，随着时间的增加，越往上，增加同一个高度，需要的水越多，因此趋势愈加平稳，所以B 正确；对于第三幅图，开始是下面窄，上面宽，增加同一个高度需要的水越多，因此趋势愈加平稳，过了一半以后，越往上面越窄，增加同一个高度需要的水越少，因此趋势越快，所以C 正确；对于第四幅图，开始下面宽，上面窄，随着时间的增加，越往上，增加同一个高度，需要的水越少，因此趋势越快，过了一半以后，越往上面越宽，增加同一个高度，需要的水水越多，因此趋势越平稳，所以D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查根据实际问题判断函数的图象，重点考查理解能力，属于中档题型. 27．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）的局部图象如图所示，则下列选项中不可能是函数f（x）解析式的是（）A．y＝x2cos x B．y＝x cos x C．y＝x2sin x D．y＝x sin x【答案】ABCD【分析】根据图象判断函数为奇函数，且当x＞0，f（x）＞0，利用排除法进行判断即可．【详解】由图象知函数为奇函数，则排除A，D，两个函数为偶函数，当x＞0时，f（x）＞0，排除B，C，故ABCD都不成立，故选：ABCD．三、填空题28．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图像只有一个交点，则a的值为________.【答案】1 2【分析】在同一平面直角坐标系内，作出函数图象，找出符合题意的临界条件，求出a的值，【详解】在同一平面直角坐标系内，作出函数y=2a与y=|x-a|-1的大致图象，如图所示.由题意，可知2a=-1，则a=1 2 -.故答案为：1 2 -【点睛】本题考查函数的图象，考查学生数形结合思想，属于基础题.。
人教版八年级数学下学期期末重难点知识专题04一次函数重难点知识1(解析版).doc
学校班级姓名1【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】2专题04 一次函数期末总复习重难点知识一遍过1一、基础知识点综述基础讲解基 础 知 识函数与变量一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.常见自变量取值范围：00100y x x y x xy x x =≥=≠=≠ ()() ()常量：其值在变化过程中始终保持不变的量叫常量. 变量：其值在变化过程中会发生变化的量叫变量. 正比例函数 解析式 y =kx （k ≠0）形状一条过（0,0）、（1，k ）的直线 坐标系中位置k >0时过一、三象限；k <0时过二、四象限 增减性k >0时，y 随x 的增大而增大；k <0时，y 随x 的增大而减小一次函数解析式 y =kx +b （k ≠0）形状一条过（0,b ）、（bk-，0）的直线 坐标系中位置k >0，b >0时过一、二、三象限；k >0,b <0时过一、三、四象限；k <0，b >0时过一、二、四象限；k <0,b <0时过二、三、四象限增减性k >0时，y 随x 的增大而增大；k <0时，y 随x 的增大而减小【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】3基 础 知 识一次函数图象的位置关系 l 1∥l 2，则k 1=k 2，b 1≠b 2；l 1⊥l 2，则k 1·k 2=－1一次函数图象平移 上下平移与b 有关，上加下减；左右平移与x 有关，左加右减一次函数图象的对称y =kx +b 关于y 轴对称的解析式为：y =－kx +b ；y =kx +b 关于x 轴对称的解析式为：y =－kx －b ；一次函数与二元一次方程组方程组的解是两条直线的交点坐标一次函数与不等式会借助图象判断y =0，y <0，y >0时自变量取值范围；会借助图象判断y 1=y 2，y 1<y 2，y 1>y 2时自变量取值范围；求一次函数解析式方法待定系数法上表中，l 1：y 1=k 1x +b 1；l 2：y 2=k 2x +b 2二、典型例题讲解题1. （1）函数11y x x=+-自变量的取值范围是（2）函数()02y x x=--自变量的取值范围是（3）函数214y x x =-+自变量的取值范围是（4）在三角形中，它的一条边是a ，这条边上的高是h ，则其面积S =0.5ah ，当a 为定长时，在此式中变量是，常量是（5）将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水（如图所示），则小水杯内水面的高度h （cm ）与注水时间t （min ）的函数图象大致为（ ）【答案】（1）x ≥－1且x ≠0；（2）x >0且x ≠2；（3）全体实数；（4）S 、h ；0.5、a ；（5）B ；【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】4【解析】解：（1）由10x x +≥⎧⎨≠⎩，解得：x ≥－1且x ≠0；（2）由020x x >⎧⎨-≠⎩，解得：x >0且x ≠2；（3）由2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，得x 为全体实数；（4）由题意知S 随h 的变化而变化，所以S 和h 是变量，a 、0.5是常量；（5）通过分析可知，在注水开始至水面与小玻璃杯水面平齐过程中，水面高度不变，随后增大至最大后不再变化，故选B .题2. （1）正比例函数y =kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而增大,则一次函数y =x +k 的图象过象限；（2）若函数y =(m +1)x ﹣(4m ﹣3)的图象在第一、二、四象限，则m 的取值范围（3）在平面直角坐标系中，将直线l 1：y =-3x -3平移后，得到直线l 2：y =-3x +2，则应向上平移个单位，或向右平移个单位；（4）已知点A （﹣5，y 1），B （10，y 2）在一次函数y =﹣x +9的图象上，则y 1y 2（5）直线y =k 1x +b 1（k 1＞0）与y =k 2x +b 2（k 2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y 轴围成的三角形面积为4，那么b 1﹣b 2等于（6）一次函数y =（m 2-4）x +（1-m ）和y =（m -1）x +m 2-3的图象与y 轴分别交于点P 和点Q ，若点P 与点Q 关于x 轴对称，则m =（7）函数y =－2x ＋4的图象上存在点P ，使得点P 到y 轴的距离等于1，则点P 的坐标为 . （8）过点（﹣1，7）的一条直线与x 轴，y 轴分别相交于点A ，B ，且与直线123+-=x y 平行.则在线段AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是【答案】（1）一、二、三；（2）m <－1；（3）5，53；（4）>；（5）4或－4；（6）－1； （7）（1,2）或（－1,6）；（8）（1,4）、（3,1）；【解析】解：（1）∵正比例函数y =kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而增大， ∴k >0，则y =x +k 的图象过一、二、三象限；（2）∵函数y =(m +1)x ﹣(4m ﹣3)的图象在第一、二、四象限，【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】5∴()10430m m +<⎧⎨-->⎩，解得：m <－1；（3）y =-3x -3平移后，得到直线l 2：y =-3x +2，可向上平移5个单位；设向右平移m 个单位，则y =－3（x －m ）－3，即－3（x －m ）－3=－3x +2，解得：m =53即向右平移53个单位； （4）y =﹣x +9中，y 随x 的增大而减小，因为A （﹣5，y 1），B （10，y 2）在一次函数图象上， 而－5<10，所以y 1>y 2 （5）由题意知：12122S b b =⨯⨯-， 即121422b b =⨯⨯-解得：b 1﹣b 2=4或－4 （6）由题意知：221304010m m m m ⎧-+-=⎪-≠⎨⎪-≠⎩，解得：m =－1； （7）点P 到y 轴的距离等于1，则P 点的横坐标为1或－1， 在y =－2x ＋4中，当x =1时，y =2；x =－1时，y =6， 即P 点坐标为（1,2）或（－1,6）；（8）设直线AB 解析式为y =kx +b ，由题意知：k =32-， 将（﹣1，7）代入得：7=32-×（－1）+b ，解得：b =112， 即直线AB 解析式为：y =32-x +112，整理得：2y +3x =11，由题意知x 、y 均为整数时，有x =1，y =4；x =3，y =1，即符合要求的点的坐标是（1,4）、（3,1）. 题3. （1）一次函数y =kx +b ，当1≤x ≤4时，3≤y ≤6，求k 、b 的值.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】6【答案】见解析.【解析】解：①当k >0时，由当1≤x ≤4时，3≤y ≤6得： x =1，y =3；x =4，y =6，代入y =kx +b 得：346k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：12k b =⎧⎨=⎩ ②当k <0时，由当1≤x ≤4时，3≤y ≤6得： x =1，y =6；x =4，y =3，代入y =kx +b 得：643k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：17k b =-⎧⎨=⎩即k =1，b =2或k =－1，b =7.（2）如图3-1,函数y =2x 和y =ax +4的图象相交于点A (m ,4),则不等式2x <ax +4的解集为图3-1【答案】x <2.【解析】解：因为函数y =2x 和y =ax +4的图象相交于点A (m ,4)， 所以当y =4时，x =2，由图象知：不等式2x <ax +4的解集为x <2.（3）甲骑摩托车从A 地去B 地,乙开汽车从B 地去A 地,同时出发,匀速行驶，各自到达终点后停止,设甲、乙两人间距离为s (千米)，甲行驶的时间为t (小时)，s 与t 之间的函数关系如图3-2所示.有下列结论：①出发1小时时，甲、乙在途中相遇； ②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米； ③出发3小时时，甲、乙同时到达终点； ④甲的速度是乙速度的一半． 其中正确结论是.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】7图3-2【答案】①②④.【解析】解：由图象可得：出发1小时，甲、乙在途中相遇，故①正确；甲骑摩托车的速度为：120÷3=40（千米/小时），设乙开汽车的速度为a 千米/小时， 则120140a=+，解得：a =80，∴乙开汽车的速度为80千米/小时， ∴甲的速度是乙速度的一半，故④正确；∴出发1.5小时，乙比甲多行驶了：1.5×（80-40）=60（千米），故②正确； 乙到达终点所用的时间为1.5小时，甲得到终点所用的时间为3小时，故③错误； ∴正确的结论是①②④.题4. 如图4-1所示,在平面直角坐标系xOy 中,矩形ABCD 的AB 边在x 轴上,AB =3,AD =2,经过点C 的直线y =x ﹣2与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ．（1）求：①点D 的坐标；②经过点D ,且与直线FC 平行的直线的函数表达式；（2）直线y =x ﹣2上是否存在点P ,使得△PDC 为等腰直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由．（3）在平面直角坐标系内确定点M ,使得以点M 、D 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M 的坐标．图4-1【答案】见解析.【解析】解：（1）①设点C的坐标为（m，2），∵点C在直线y=x﹣2上，∴2=m﹣2，解得m=4，即点C的坐标为（4，2），∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，AD=BC=2，∴点D的坐标为（1，2）；②设经过点D且与FC平行的直线函数表达式为y=x+b，将D（1，2）代入y=x+b，得b=1，∴经过点D且与FC平行的直线函数表达式为y=x+1；（2）存在．∵△EBC为等腰直角三角形，∴∠CEB=∠ECB=45°，∵DC∥AB，∴∠DCE=∠CEB=45°，∴△PDC是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形，如图4-2所示，图4-2①当∠D=90°时，延长DA与直线y=x﹣2交于点P1，8【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】9∵点D 的坐标为（1，2）， ∴点P 1的横坐标为1，把x =1代入y =x ﹣2得，y =﹣1，即P 1（1，﹣1）；②当∠DPC =90°时，作DC 的垂直平分线与直线y =x ﹣2的交点即为点P 2， 点P 2的横坐标为52， 将x =52代入y =x ﹣2得，y =12，即P 2（52，12）， 综上所述，符合条件的点P 的坐标为（1，﹣1）、（52，12）； （3）当y =0时，x ﹣2=0，解得x =2， ∴OE =2，∵以点M 、D 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形， ①若DE 是对角线，则EM =CD =3， OM =EM ﹣OE =3﹣2=1， 点M 的坐标为（﹣1，0），②CE 是对角线，则EM =CD =3，OM =OE +EM =2+3=5， 点M 的坐标为（5，0），③CD 是对角线，则平行四边形的中心坐标为（52，2）， 设点M 的坐标为（x ，y ）， 则2522x +=，22y=， 解得x =3，y =4，此时，点M 的坐标为（3，4），综上所述，点M 的坐标为（﹣1，0），（5，0）（3，4）．题5. 小华和爸爸上山游玩，爸爸乘电缆车，小华步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小华行走到缆车终点的路程是爸爸乘缆车到山顶的线路长的2倍，爸爸在小华出发后50min 才乘上电缆车，电缆车的平均速度为180m /min ．设小华出发x （min ）行走的路程为y （m ），图5-1中的折线表示小华在整个行走过程中y （m ）与x （min ）之间的函数关系．（1）小华行走的总路程是＿＿＿＿＿m ，他途中休息了＿＿＿＿＿min ； （2）当50≤x ≤80时，求y 与x 的函数关系式；【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】10（3）当爸爸到达缆车终点时，小华离缆车终点的路程是多少？图5-1【答案】（1）3600，20；（2）（3）见解析. 【解析】解：（2）①当50≤x ≤80时， 设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ， 根据题意，当x =50时，y =1950； 当x =80时，y =3600，得：195050360080k bk b =+=+⎧⎨⎩解得k =55，b =－800，∴函数关系式为：y =55x －800；（3）缆车到山顶的线路长为3600×2=1800米， 缆车到达终点所需时间为1800÷180=10分钟 小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10+50=60分钟， 把x =60代入y =55x ﹣800，得y =55×60﹣800=2500， ∴当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是3600﹣2500=1100米.题6. 某校运动会需购买A 、B 两种奖品.若购买A 种奖品3件和B 种奖品2件，共需60元；若购买A 种奖品5件和B 种奖品3件，共需95元.(1)求A 、B 两种奖品单价各是多少元？(2)学校计划购买A 、B 两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A 种奖品的数量不大于B 种奖品数量的3倍.设购买A 种奖品m 件，购买费用为W 元，写出W （元）与m （件）之间的函数关系式，求出自变量m 的取值范围，并确定最少费用W 的值.【答案】见解析.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】11【解析】解：（1）设A 奖品的单价是x 元，B 奖品的单价是y 元，由题意，得：60329553x y x y =+=+⎧⎨⎩， 解得：1015x y ==⎧⎨⎩．答：A 奖品的单价是10元，B 奖品的单价是15元；（2）由题意，得W =10m +15（100-m ）=-5m +1500∴()150051150310m m m -≤≤-⎧⎨⎩， 解得：70≤m ≤75．∵m 是整数，∴m =70，71，72，73，74，75．在W =-5m +1500中，∴-5＜0，∴W 随m 的增大而减小，∴m =75时，W 最小=1125．∴应买A 种奖品75件，B 种奖品25件，才能使总费用最少为1125元．题7. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y =kx ＋4(k ≠0)与y 轴交于点A .(1)如图，直线y =-2x ＋1与直线y =kx ＋4(k ≠0)交于点B ，与y 轴交于点C ，点B 的横坐标为－1.①求点B 的坐标及k 的值；②直线y =－2x ＋1与直线y =kx ＋4与y 轴所围成的△ABC 的面积等于；(2)直线y =kx ＋4(k ≠0)与x 轴交于点E (x 0，0)，若－2＜x 0＜－1，求k 的取值范围．【答案】见解析.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】12【解析】解：（1）①∵直线y =-2x +1过点B ，点B 的横坐标为-1，∴y =2+1=3，即B （-1，3），∵直线y =kx +4过B 点，∴3=-k +4，解得：k =1；②∵k =1，∴直线AB 的解析式为：y =x +4，∴A （0，4），在y =-2x +1中，当x =0时，y =1，∴C （0，1），∴AC =4-1=3， ∴△ABC 的面积为：12×1×3=32； 故答案为：32； （2）∵直线y =kx +4（k ≠0）与x 轴交于点E （x 0，0），-2＜x 0＜-1，∴当x 0=-2，则E （-2，0），代入y =kx +4得：0=-2k +4，解得：k =2，当x 0=-1，则E （-1，0），代入y =kx +4得：0=-k +4，解得：k =4，故k 的取值范围是：2＜k ＜4．中考数学知识点代数式一、 重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
函数概念及性质课件
03
函数的运算
函数的四则运算
01
02
03
04
加法运算
函数加法是指将两个函数的值 分别对应相加，得到一个新的
函数。
减法运算
函数减法是指将一个函数的值 对应相减，得到一个新的函数
。
乘法运算
函数乘法是指将两个函数的值 分别对应相乘，得到一个新的
函数。
除法运算
函数除法是指将一个函数的值 对应相除，得到一个新的函数
幂函数的定义
幂函数是指形式为$y=x^n$的函数，其中$n$为实数。
幂函数的性质
幂函数具有指数为实数、幂次为整数、幂次为负数等性质，其性质与 指数和幂次有关。
幂函数的图象
幂函数的图象根据指数的不同而变化，当指数为正整数时，幂函数的 图象为凸函数；当指数为负整数时，幂函数的图象为凹函数。
对数函数
对数函数
利用函数的单调性
通过函数的单调性判断函 数的增减性，进而解决不 等式问题。
利用函数的奇偶性
利用函数的奇偶性判断函 数的对称性，简化函数图 像的绘制。
利用函数的周期性
利用函数的周期性，可以 快速求解一些周期性问题 。
利用函数解决物理问题
描述运动规律
利用函数描述物体的运动规律， 如匀速运动、匀加速运动等。
分析电路特性
利用函数分析电路的电压、电流 等特性，理解电路的工作原理。
解决波动问题
利用函数描述波动现象，如声波 、光波等，分析波的传播规律。
05
函数的扩展Байду номын сангаас识
分段函数
分段函数
分段函数是指函数在其定义域的不同 区间上由不同的表达式所表示的函数 。分段函数广泛应用于实际生活中， 如气温变化、人口增长等。
函数的概念ppt课件
函数的特性
确定性
对于给定的输入值，函数总是产生一个唯一的 输出值。
可计算性
函数可以在有限的步骤内计算出输出值。
可重复性
对于相同的输入值，函数总是产生相同的输出值。
函数的类别
多项式函数
由多项式组成的函数，如二次 函数、三次函数等。
指数函数
输出值与输入值的指数相关的 函数。
线性函数
输出值与输入值成正比关系的 函数。
极限的分类
根据函数趋于某点的不同方 式，极限分为左极限和右极 限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、 局部保号性等性质。
极限的运算性质
极限的加减乘除法则
极限的加减乘除运算法则可以用来计算极限。
极限的复合运算
复合运算是指将多个基本运算组合在一起进行计算。
重要极限及其推论
重要极限是极限计算中常用的几个基本极限，它们具 有形式简单、应用广泛的特点。
优化组织管理
在组织管理中，函数可以用来优化流程和资源配置，提高组织效率和 绩效。
1.谢谢聆 听
对应关系
自变量与因变量之 间的对应关系。
变量
函数中的自变量和 因变量。
定义域
函数中自变量的取 值范围。
解析式
用数学表达式来表 示函数关系。
值域
函数中因变量的取 值范围。
图表法表示函数
坐标系
建立直角坐标系，以横轴表示自变量，纵轴 表示因变量。
连线
描点
根据函数的对应关系，在坐标系上描出相应 的点。
用平滑的曲线将这些点连接起来，形成函数 图像。
函数的连续性
连续性的定义
如果函数在某一点处的极限等于该点的函数 值，则函数在该点连续。
函数的概念及表示PPT课件
27
若f(x)的定义域为[－3，5],求g(x)＝f(－x)＋f(x2)的定义域． 解：由f(x)的定义域为[－3,5]，则g(x)必有
3 x 5 3 x2 5
,即
5 x 3 5 x
5
5 5 解得 -
≤x≤
所以函数g(x)的定义域为[－ 5 , 5 ]
函数的概念及表示
2019/9/19
1
复习：初中学习的函数概念是什么？
设在一个变化过程中有两个变量x与y，如 果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对 应，则称x是自变量，y是x的函数。
2019/9/19
2
考虑下面两个问题：
(1) y 1是函数吗？ (2) y x与y x2 是同一个函数吗？
① x叫做自变量，
② x的取值范围集合A叫做函数的定义域(domain)；
③ 与x的值相对应的y的值叫做函数值，
④ 函数值集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range)。
2019/9/19
6
回顾已学函数
初中各类函数的对应法则、定 义域、值域分别是什么？
2019/9/19
7
函数
对应法则
定义域
值域
正比例 函数 反比例 函数 一次函数
二次函数
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y kx(k 0) R
k y x (k 0) {x | x 0}
R
{ y | y 0}
y kx b
(k 0)
R
y ax2 bx c
(a 0)
R
R
a 0时{ y | y 4ac b2 } 4a
（4）
f (x)
函数的概念与性质课件
函数的概念与性质课件一、函数的基本概念函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
简而言之，函数是一种对应关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素上。
换句话说，函数可以看作是一种规则，它将输入映射为输出。
二、函数的表示方法1. 函数的符号表示：一般使用小写字母来表示函数，如f(x)，其中f表示函数，x表示自变量。
2. 函数的图像表示：我们可以通过绘制函数的图像来表示函数。
横轴代表自变量，纵轴代表函数值。
函数图像可以直观地展示函数的性质和特点。
三、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指函数的所有可能输出值的集合。
在函数的定义中，要确保对于定义域中的每个自变量值，都能得到一个唯一的函数值。
2. 单调性：函数的单调性描述了函数在定义域内的变化趋势。
若对于任意的x1和x2（x1 < x2），都有f(x1) ≤ f(x2)，则函数为递增函数；若对于任意的x1和x2（x1 < x2），都有f(x1) ≥ f(x2)，则函数为递减函数。
3. 奇偶性：若对于任意的x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数；若对于任意的x，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数。
4. 周期性：若存在常数T>0，对于任意的x，有f(x+T) = f(x)，则函数为周期函数。
5. 极值点：函数在定义域内某一点上的函数值是最大值或最小值，称为该点上的极值点。
极值点分为最大值点和最小值点，也可以分别称为极大值点和极小值点。
6. 零点：函数在定义域内满足f(x) = 0的点，称为函数的零点或根。
四、函数的应用函数作为数学的基础概念，在各个领域都有着广泛的应用。
1. 自然科学中，函数用于描述物理量之间的关系，如速度和时间的关系、温度和时间的关系等。
2. 经济学中，函数用于描述供需关系、价格变化等经济现象。
3. 金融学中，函数用于描述收益与风险之间的关系，如投资组合的效用函数。
函数的概念ppt课件
。
THANKS
感谢观看
插值法
利用已知的离散数据点，通过数学计算得到更多的数据点，从而绘制出 更精确的函数图像。
03
பைடு நூலகம்计算几何法
利用几何知识，将函数表达式转换为几何图形，从而得到函数的图像。
函数图像的性质
01
02
03
04
连续性
函数图像在定义域内连续不断 ，没有间断点。
单调性
函数在某个区间内单调增加或 单调减少。
奇偶性
函数图像关于原点对称或关于 y轴对称。
周期性
函数图像呈现周期性变化。
函数图像的应用
数学分析
通过函数图像分析函数的性质 和变化规律，解决数学问题。
自然科学
在物理学、化学、生物学等自 然科学领域中，函数图像被广 泛应用于实验数据的分析和解 释。
工程学
在工程学中，函数图像可以用 来描述各种实际问题的变化规 律，如机械运动、电路电流等 。
经济和社会科学
函数的乘法
总结词
函数乘法是指将两个函数的输出值相乘，得到一个新的函数。
详细描述
函数乘法是一种数学运算，其操作是将两个函数的输出值逐一对应相乘。假设有 两个函数f(x)和g(x)，函数乘法就是将f(x)和g(x)的输出值相乘，得到一个新的函 数h(x)=f(x)*g(x)。
函数的除法
总结词
函数除法是指将一个函数的输出值除以另一个函数的输出值，得到一个新的函数。
函数的实际应用
生活中的函数
总结词：无处不在
详细描述：函数的概念在日常生活中随处可见，如物品价格与数量的关系、时间 与路程的关系等。这些关系都可以通过函数来描述和预测。
函数的概念(全国优质课课件)
[2,5)
(1, 3]
(-∞,-10]
(-∞, -6)
[3,+∞)
[-2,8]
*
*
*
半开半闭区间:满足a＜x≤b或a≤x＜b的实数x 的集合,分别记作(a, b],[a, b).
05
实数集R记作 (-∞,+∞),
*
把下列不等式写成区间表示
1. -2<x<4,记作： ____；
2.x >4,记作:__________；
3. 5≤x≤7,记作: ；
4. 2≤x＜5,记作: ；
注：由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定。定义域必须写成集合的形式。
例4．求下列函数的定义域。
例5、判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数， 说明理由？ （1）f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 （2）f ( x ) = x； g ( x ) =
A＝{t|0≤t≤26}，B＝{h|0≤h≤845}
思考1：这里的变量t的变化范围是什么？变量h的变化范围是什么？试用集合表示？
思考2：高度变量h与时间变量t之间的对应关系 是否为函数？若是，其自变量是什么？
思考3：炮弹在空中的运行轨迹是什么？射高845m是怎样得到的？
*
知识探究（二）
近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题. 下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.
下例函数中哪个与函数y=x相等 （1）
（2）
(4)
2、
区间的概念
(设a, b为实数,且a<b)
闭区间:满足a≤x≤b的实数x的集合,记作 [a,b]
《函数》第04讲 二次函数课件
奎屯 新疆
七、二次函数与方程、不等式的关系
判别式 △=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0) 的根 △>0 y
x1 o x2
△=0 y x
△<0 y
o x1=x2
x
o
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根 b x1=x2= - 2 a b {x | x≠- 2a }
o
y o
2 4
x
x
2 4
(3) 若 a ＞ 4 时，f ( x ) 在[ 2，4 ]上为减函数 ∴ f ( x ) min = f ( 4 ) = 18 －8a
y
2 4
故f ( x )min
a2 6 4a 2 a2 2 a 4 18 8a a 4
王新敞
综上所述, a=1- 2 或 a=5+ 10.
一、二次函数的解析式
1.一般式: y=ax2+bx+c(a≠0); 2.顶点式: y=a(x -m)2+n(其中(m, n)为抛物线的顶点坐标); 3.两根式: y=a(x -x1)(x -x2)(其中x1, x2为抛物线与 x 轴两交点 的横坐标);
二、二次函数的图象
有关知识: 图象形状; 对称轴; 顶点坐标; 与 x 轴交点坐标; 截 x 轴线段长.
-----------“活动范围” 定义域（区间）
引例. 已知a,b,c∈R，函数f(x)=ax2+bx+c， 若f(0)= f(4)> f(1), 则 A. a>0, 4a+b=0 C. a>0, 2a+b=0 B. a<0, 4a+b=0 D. a<0, 2a+b=0
函数的性质-人教版高中数学
知识图谱-函数的单调性-函数的奇偶性利用定义法判断或证明函数的单调性求函数的单调区间复合函数的单调性函数的奇偶性函数奇偶性的应用函数单调性的应用第04讲_函数的性质错题回顾函数的单调性知识精讲一．函数单调性的定义如果函数对区间内的任意，当时都有，则称在内是增函数；当时都有，则在内是减函数．二．单调性的定义的等价形式设且，那么在是增函数；在是减函数．三．判断函数的单调性的方法1．用定义；用定义法证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：即设，是该区间内的任意两个值，且（2）作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．（3）定号：确定差（或）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．（4）下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．2．用已知函数的单调性；3．如果在区间上是增（减）函数，那么在的任一非空子区间上也是增（减）函数；4．图象法；5．在公共定义域内，增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数．四．复合函数的单调性定理：设函数在区间上有意义，函数在区间上有意义，且当时，．有以下四种情况：1．若在上是增函数，在上是增函数，则在上也是增函数；2．若在上是增函数，在上是减函数，则在上也是减函数；3．若在上是减函数，在上是增函数，则在上也是减函数；4．若在上是减函数，在上是减函数，则在上也是增函数．即：同增异减．注意：内层函数的值域是外层函数的定义域的子集．三点剖析一．注意事项讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集．二．必备公式若在区间上递增则（）；若在区间上递减则．（）．三．拓展应用函数单调性的应用：1．比较函数值的大小；2．可用来解不等式；3．求函数的值域或最值等．题模精讲题模一利用定义法判断或证明函数的单调性例1.1、试讨论函数的单调性例1.2、用函数单调性的定义证明：在上是减函数例1.3、设函数，试确定：当取什么值时，函数在上为单调函数．题模二求函数的单调区间例2.1、函数y=的单调递减区间是（）A、[-1，]B、[，2]C、[2，+∞）D、（-∞，-1）例2.2、已知函数，则在下面区间内不是递减函数（）A、B、C、D、例2.3、下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A、f（x）=3-xB、f（x）=x2-3xC、f（x）=-x2D、f（x）=-例2.4、二次函数在上为增函数，则a的取值范围是_____．题模三复合函数的单调性例3.1、已知函数的图象如图所示，则函数的单调递减区间是（）A、B、C、D、例3.2、判断函数在定义域上的单调性例3.3、函数的单调递减区间是（）B、A、D、题模四函数单调性的应用例4.1、已知x∈[0，1]，则函数y=-的值域是（）A、[-1，-1]B、[1，]C、[-1，]D、[0，-1]例4.2、已知函数f（x）=是（-∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）A、（0，3）B、（0，3]C、（0，2）D、（0，2]例4.3、设函数f （x）是（-∞，+∞）上的减函数，又若a∈R，则（）A、f （a）＞f （2a）B、f （a2）＜f （a）C、f （a2+a）＜f （a）D、f （a2+1）＜f （a）例4.4、已知函数f（x）定义域为[0，+∞）且对任意非负实数x，y都有f（x+y）=f （x）+f（y）-3且x＞0时f（x）＜3．（1）求f（0）；（2）判断f（x）在定义域上的单调性，并给出证明；（3）若f（1）=1且f（x2-x）+f（8-5x）≥0，求x的取值范围．随堂练习随练1.1、讨论函数在区间上的单调性．随练1.2、已知函数f（x）=-x m，且f（4）=-．（1）求m的值；（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．随练1.3、讨论函数在上的单调性．随练1.4、函数的递增区间为________，递减区间为________．随练1.5、函数的单调递减区间为_______________．随练1.6、如果二次函数在区间上是增函数，则的取值范围是_____．随练1.7、函数在上是减函数，则在上的单调性为________．随练1.8、判断函数的单调区间：．随练1.9、函数y=的单调增区间是____．随练1.10、已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，-1），B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（x）|＜1的解集是（）A、（-3，0）B、（0，3）C、（-∞，-1]∪[3，+∞）D、（-∞，0]∪[1，+∞）随练1.11、已知函数f（x）=，则满足不等式f（1-x2）＞f（2x）的x的范围是____．A、B、C、D、随练1.12、已知函数f(x)=-(a＞0，x＞0)．（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；（2）若f（x）在[，2]上的值域是[，2]，求a的值．函数的奇偶性知识精讲一．函数的奇偶性的概念1．奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，且，那么函数就叫做奇函数．2．偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，都有，那么函数就叫做偶函数．二．奇函数、偶函数的性质1．图像特征如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数；如果一个函数是偶函数，则它的的图象是以轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于轴对称，则这个函数是偶函数．2．函数特征（1）若函数具有奇偶性则其定义域关于原点对称；若定义域不关于原点对称，则函数不具备奇偶性．（2）是偶函数的图象关于轴对称；是奇函数的图象关于原点对称．（3）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性．（4）为偶函数．（5）若奇函数的定义域包含，则．（6）对称性关于轴对称：；关于原点对称：；关于直线对称：或；关于点对称：或．三. 判断函数的奇偶性1. 定义法：首先确定函数的定义域，看是否关于原点对称.否则既不是奇函数也不是偶函数.若定义域关于原点对称,则可用进一步用下述方法进行判断.（1）由,得为偶函数；由得为奇函数.（2）由,得为偶函数；由得为奇函数.（3）由,得为偶函数；由得为奇函数.2. 图象法：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称.3. 性质法：在公共定义域内（1）两个奇函数的和与差是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；（2）两个偶函数的和、差及积都是偶函数；（3）一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．四．函数的周期性1．周期函数对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期．2．具有周期性的一些抽象函数：函数满足对定义域内任一实数（其中为常数），（1），则是以为周期的周期函数；（2），则是以为周期的周期函数；（3），则是以为周期的周期函数；（4），则是以为周期的周期函数；（5），则是以为周期的周期函数；（6），则是以为周期的周期函数；（7），则是以为周期的周期函数；（8）函数满足（），若为奇函数，则其周期为，若为偶函数，则其周期为；（9）函数的图象关于直线和都对称，则函数是以为周期的周期函数；（10）函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；（11）函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数．三点剖析一．注意事项1.判断函数奇偶性前先判断定义域；2.既是奇函数又是偶函数的函数有一类：（定义域关于原点对称）．二．方法点拨1．判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：．2．判断周期性的主要方法：（1）判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的恒有；二是能找到适合这一等式的非零常数，一般来说，周期函数的定义域均为无限集．（2）解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值．题模精讲题模一函数的奇偶性例1.1、判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）．例1.2、下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③（）为奇函数；④（）既是奇函数又是偶函数；其中正确结论的个数是（）A、4B、3C、2D、1例1.3、设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A、f（x）g（x）是偶函数B、|f（x）|g（x）是奇函数C、f（x）|g（x）|是奇函数D、|f（x）g（x）|是奇函数例1.4、定义在实数集上的函数f（x）对任意x，y∈R，有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y）且f（0）≠0，（1）求证：f（0）=1（2）求证：y=f（x）是偶函数．例1.5、判断函数的奇偶性．题模二函数奇偶性的应用例2.1、已知函数f(x)=a-，若f（x）为奇函数，则a=____．例2.2、已知定义域为R的函数f（x）在（8，+∞）上为减函数，且函数y=f（x+8）为偶函数，则（）A、f（6）＞f（7）B、f（6）＞f（9）C、f（7）＞f（9）D、f（7）＞f（10）例2.3、偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（-1）=____．例2.4、设函数f（x）=，则使得f（x2-2x）＞f（3x-6）成立的x的取值范围是（）A、（-∞，2）∪（3，+∞）B、（2，3）C、（-∞，2）D、（3，+∞）例2.5、设曲线y=f（x）与曲线y=x2+a（x＞0）关于直线y=﹣x对称，且f（﹣2）=2f（﹣1），则a=（）A、0B、C、D、1例2.6、定义在R上的函数y=f（x）的图象关于点(-，0)成中心对称，对任意的实数x都有f（x）=-f（x+），且f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+f （3）+…+f（2014）的值为（）A、2B、1C、-1D、-2随堂练习随练2.1、函数f(x)=的奇偶性为____．随练2.2、定义在R上函数f（x）不是常数函数，满足f（x-1）=f（x+1），f（x+1）=f（1-x），则f（x）为（）A、奇函数且是周期函数B、偶函数且是周期函数C、奇函数不是周期函数D、偶函数不是周期函数随练2.3、德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有如下四个命题：①f（f（x））=0；②函数f（x）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中正确命题的序号有________随练2.4、已知下列4个命题：①若f（x）为减函数，则-f（x）为增函数；②若f（x）为增函数，则函数g(x)=在其定义域内为减函数；③若函数f(x)=在R上是增函数，则m的取值范围是（1，2）；④函数f（x），g（x）在区间[-a，a]上都是奇函数，则f（x）•g（x）在区间[-a，a]是偶函数．其中正确命题的个数是：（）A、1个B、2个C、3个D、4个随练2.5、若f（x）=为奇函数，则实数m=____．随练2.6、设奇函数的定义域为．若当时，的图象如图所示，则不等式的解是______________．随练2.7、已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，且f（-4）=-2，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有＞0．则给出下列命题：（1）f（2008）=-2；（2）函数y=f（x）图象的一条对称由为x=-6；（3）函数y=f（x）在[-9，-6]上为减函数；（4）方程f（x）=0在[-9，9]上有4个根；其中正确的命题个数为（）A、1B、2C、3D、4随练2.8、已知函数f（x）的定义域为（3-2a，a+1）且f（x+1）为偶函数，则实数a 的值可以是（）A、B、2C、4D、6随练2.9、已知为R上的奇函数，当时，，则当时，_____________．随练2.10、已知函数和均为奇函数，在区间上有最大值5，那么在上的最小值为________．随练2.11、已知奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+3成立，且f（1）=1，则f（2015）+f（2016）=________自我总结课后作业作业1、已知：函数，且．（1）求实数k的值及函数的定义域；（2）判断函数在上的单调性，并用定义加以证明．作业2、设函数f(x)=x-．（1）求使得f（x）＞0成立的x的取值范围；（2）判断f（x）在区间(，+∞)上的单调性，并用定义加以证明．作业3、已知函数．（1）证明：对于定义域中任意的x均有；（2）用函数单调性的定义证明函数在上是减函数．作业4、在区间上不是增函数的是（）A、B、C、D、作业5、函数在区间上是增函数，则的递增区间是（）A、B、C、D、作业6、若f（x）=-x2+2ax与g（x）=在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是（）A、（0，1）B、（0，1]C、（-1，0）∪（0，1）D、（-1，0）∪（0，1 ]作业7、已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）A、B、C、D、作业8、函数f（x）=的单调增区间是____．作业9、已知函数f（x）=在区间（-2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是( )．A、{a|a＜}B、{a|a≤}C、{a|a＞}D、{a|a≥}作业10、已知f（x）为R上的减函数，则满足f（||）＜f（1）的实数x的取值范围是（）A、（-1，1）B、（0，1）C、（-1，0）∪（0，1）D、（-∞，-1）∪（1，+∞）作业11、已知函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，且f（2）=0，若f（x-1）＞0，则x的取值范围____．作业12、已知f（x）=x2-2ax+5（a＞1）（Ⅰ）若f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤4，求a的取值范围．作业13、下列函数中为偶函数的是（）A、y=x4-3B、y=x2，x∈（-3，3]C、D、y=2（x-1）2+1y=-作业14、下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是C、D、作业15、下列函数：①；②；；③；其中奇函数的个数是（）A、0B、1C、2D、3作业16、已知函数，当为何值时，是奇函数．作业17、定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1），都有f(x) +f(y)=f()；②f（x）在（-1，1）上是单调递增函数，f()=1．（1）求f（0）的值；（2）证明f（x）为奇函数；（3）解不等式f（2x-1）＜2．作业18、设f（x）是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且x＞0时，f（x）=x2+1，则f （-2）=（）C、3D、-3作业19、已知函数是偶函数，其图象与轴有四个交点，则方程的所有实根之和是（）A、4B、2C、1D、0作业20、已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（-1）+g（1）=2，f（1）+g （-1）=4，则g（1）等于（）A、4B、3C、2D、1作业21、函数y=f（2x-1）是偶函数，则函数y=f（2x）的对称轴是（）A、x=0B、x=-1C、x=D、x=-作业22、设f（x）是定义在R上以6为周期的函数，f（x）在（0，3）内单调递减，且y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是（）A、f（1.5）＜f（3.5）＜f（6.5）B、f（3.5）＜f（1.5）＜f（6.5）C、f（6.5）＜f（3.5）＜f（1.5）D、f（3.5）＜f（6.5）＜f（1.5）作业23、已知f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）是定义在R上的奇函数，且g（x）=f（x-1），则f（2011）+f（2013）的值为（）A、-1B、1C、0D、无法计算。
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第04讲函数的概念一、考情分析1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用；3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.二、知识梳理1.函数的概念设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则f，对A中的任意数x，都有唯一确定的数y与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2.函数的定义域、值域(1)函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数.(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. [微点提醒]1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点.2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.三、经典例题考点一求函数的定义域【例1-2】函数y＝1－x2＋log2(tan x－1)的定义域为________；【解析】 (1)要使函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)有意义，则1－x 2≥0，tan x －1>0，且x ≠k π＋π2(k ∈Z ).∴－1≤x ≤1且π4＋k π<x <k π＋π2，k ∈Z ， 可得π4<x ≤1.则函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，1.【例1-2】若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为________. 【解析】因为y ＝f (x )的定义域为[0，2]，所以要使g (x )有意义应满足⎩⎨⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1.所以g (x )的定义域是[0，1). 考点二 求函数的解析式【例2-1】已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________；【解析】 (1)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1).【例2-2】已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________； 【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝2ax ＋a ＋b ＝x －1， 所以⎩⎨⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.【例2-3】已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.【解析】在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1中，将x 换成1x ，则1x 换成x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1，解得f (x )＝23x ＋13.规律方法 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f [g (x )]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x ). 考点三 分段函数【例3－1】（2020·全国高三月考（理））设221log (1),1()21,1x x x f x x +⎧->=⎨-≤⎩，则((1))f f 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】因为221log (1),1()21,1x x x f x x +⎧->=⎨-≤⎩ 所以()21213f =-=所以()2((1))3log 83f f f === 故选：B【例3－2】（2020·天津南开中学高三月考）函数()f x 满足(4)()()f x f x x R +=∈，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1,20,2xx f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩则((15))f f 的值为____．【解析】由(4)()f x f x +=得函数()f x 的周期为4，所以11(15)(161)(1)1,22f f f =-=-=-+=因此1π((15))()cos 242f f f ===【例3－3】（2020·天津四中高三二模）已知()3,0,0x x x f x x π⎧≥=⎨<⎩，若对任意[]1,1x a a ∈---，不等式)()2fa f x -≥⎡⎤⎣⎦恒成立，则非零实数a 的取值范围是_____.【答案】⎛ ⎝⎦.【解析】3,0(),0x x x f x x π⎧=⎨<⎩，2[()](2)f x f x ∴=，对任意[1x a ∈--，1]a -，不等式2)[()]f a f x -恒成立， 即对任意[1x a ∈--，1]a -，不等式)(2)f a f x -恒成立，()f x 在R 上是增函数，∴2a x -，即(22)a x --，又[1x a ∈--，1]a -，∴当1x a =-时，(2x --取最小值(21)a ---，(22)(1)a a ∴---，解得427a-， 又11a a ->--，即0a >， 故420a-<， 故答案为：(0，47-． 【例3－4】（2020·全国高三月考（文））已知ln 2,0()12,02x x x f x x ->⎧⎪=⎨-≤⎪⎩，则满足()12(())12f m f f m ++=的实数m 的取值范围是（ ）.A ．(,1]-∞-B ．(2(,1]0,e ⎤-∞-⋃⎦C ．(,1]-∞D ．(,1](0,1]-∞-⋃【答案】B【解析】令()t f m =，则()1212t f t ++=，()122tf t ∴=-，()0f m t ∴=≤，当0m >时，ln 20m -≤，解得：20m e <≤；当0m ≤时，1202m-≤，解得：1m ≤-； 综上所述：m 的取值范围为(](2,10,e ⎤-∞-⎦.故选：B .规律方法 1.根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. [方法技巧]1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.2.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识.3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法. [易错防范]1.复合函数f [g (x )]的定义域也是解析式中x 的范围，不要和f (x )的定义域相混.2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.四、 课时作业1．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2},则函数()y f x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，记图中正方形介于两平行线x y a +=与1x y a +=+之间的部分的面积为()S S a =，则()S a 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．函数()21162y x lg x =--的定义域为( )A ．（2，3）B ．（3，4]C ．（2，4]D ．（2，3）∪（3，4]4．函数()()2lg 311f x x x=++-的定义域是（ ） A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭5．已知函数f （x ）2233x x log x x ⎧=⎨≥⎩，＜，，则f [f （2）]＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．设1,0(){2,0xx x f x x ≥=<，则((2))f f -=（ ）A ．1-B ．14C ．12D ．327．已知函数221,0()log ,0x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(4][2,)-∞-+∞B ．[1,2]-C ．[4,0)(0,2]-D ．[4,2]-8．函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若方程()f x x a =+有且只有两个不等的实根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,1)-∞B ．[0,1)C ．(,0)-∞D ．[0,)+∞9．设函数246,0()6,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()(1)f x >f 的解集是（ ）A ．(3,1)(3,)-⋃+∞B ．(3,1)(2,)-+∞ C ．(1,1)(3,)-+∞ D ．(,3)(1,3)-∞-10．函数()f x =_______. 11．函数ln(1)y x =++的定义域为________． 12．已知函数ln ,1()3,1xx x f x x >⎧=⎨⎩，若()1f a ，则a 的取值范围是__ 13．设函数2lg ,0()1,04xx x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎩，则((10))f f -=________.14．已知{},,max ,,a b a a b b b a ≤⎧=⎨>⎩，()21max ln ,2f x x tx x tx e ⎧⎫=----⎨⎬⎩⎭（e 为自然对数的底数），若()2f x ≥-在[]1,x e ∈上恒成立，则实数t 的取值范围为______.15．求下列函数()f x 的解析式.（1）已知()2121f x x x -=-+，求()f x ；（2）已知一次函数()f x 满足()()41f f x x =-，求()f x .16．某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元．在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得下面统计表：记x 表示1台机器在三年使用期内的维修次数，y 表示1台机器在维修上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的维修服务次数．（1）若10n =，求y 与x 的函数解析式；（2）若要求“维修次数不大于n ”的频率不小于0.8，求n 的最小值．。