第04讲-函数的概念(讲义版)

第04讲函数的概念

一、考情分析

1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域；

2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用；

3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.

二、知识梳理

1.函数的概念

设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则f，对A中的任意数x，都有唯一确定的数y与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.

2.函数的定义域、值域

(1)函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.

(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

4.分段函数

(1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数.

(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. [微点提醒]

1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点.

2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.

三、经典例题

考点一求函数的定义域

【例1-2】函数y＝1－x2＋log2(tan x－1)的定义域为________；

【解析】 (1)要使函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)有意义，则1－x 2≥0，tan x －1>0，且x ≠k π＋π

2(k ∈Z ).

∴－1≤x ≤1且π4＋k π

2，k ∈Z ， 可得π

4

则函数的定义域为⎝ ⎛⎦

⎥⎤

π4，1.

【例1-2】若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )

x －1

的定义域为________. 【解析】因为y ＝f (x )的定义域为[0，2]，

所以要使g (x )有意义应满足⎩⎨⎧0≤2x ≤2，

x －1≠0，解得0≤x <1.

所以g (x )的定义域是[0，1). 考点二 求函数的解析式

【例2-1】已知f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________；

【解析】 (1)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2

t －1

，

∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2

x －1

(x >1).

【例2-2】已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________； 【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，

f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝2ax ＋a ＋b ＝x －1， 所以⎩⎨⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，

即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1

2，b ＝－32.

∴f (x )＝12x 2－3

2x ＋2.

【例2-3】已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1x ·x －1，则f (x )＝________.

【解析】在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1x ·x －1中，

将x 换成1x ，则1

x 换成x ，

得f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1x ＝2f (x )·1x －1，

由⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

1x ＝2f (x )·1x －1，解得f (x )＝23

x ＋1

3.

规律方法 求函数解析式的常用方法

(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.

(2)换元法：已知复合函数f [g (x )]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通

过解方程组求出f (x ). 考点三 分段函数

【例3－1】（2020·全国高三月考（理））设221log (1),1

()21,1x x x f x x +⎧->=⎨-≤⎩，则((1))f f 的值为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

【答案】B 【解析】

因为221

log (1),1

()21,1

x x x f x x +⎧->=⎨-≤⎩ 所以()2

1213f =-=

所以()2((1))3log 83f f f === 故选：B

【例3－2】（2020·天津南开中学高三月考）函数()f x 满足(4)()()f x f x x R +=∈，且在区间(2,2]

-上，cos ,02,2()1,20,2x

x f x x x π⎧<≤⎪⎪

=⎨⎪+-<≤⎪⎩则((15))f f 的值为____．

【解析】由(4)()f x f x +=得函数()f x 的周期为4，所以11(15)(161)(1)1,22

f f f =-=-=-+

=因