小升初奥数知识点讲解 比和比例
六年级下小升初典型奥数之比例问题
六年级下小升初典型奥数之比例问题在六年级下学期的小升初备考中,比例问题是一个非常重要的知识点,也是奥数中常常出现的题型。
掌握好比例问题,不仅能够提升我们的数学思维能力,还能在考试中取得更好的成绩。
首先,我们来了解一下什么是比例。
比例就是表示两个比相等的式子。
比如,2:3 = 4:6,这就是一个比例。
在比例中,两个内项的积等于两个外项的积,这就是比例的基本性质。
那么,比例问题在奥数中会以哪些形式出现呢?让我们一起来看看。
一、简单的比例计算比如这样一道题:已知甲、乙两个数的比是 3:5,甲数是 12,求乙数是多少。
我们可以设乙数为 x ,根据比例的性质,3:5 = 12:x ,通过交叉相乘得到 3x = 60 ,解得 x = 20 。
再比如:如果 a:b = 4:7 ,且 a + b = 66 ,求 a 和 b 分别是多少。
我们可以把 a 看作 4 份,b 看作 7 份,那么一共是 11 份,11 份是66 ,一份就是 6 。
所以 a = 4×6 = 24 ,b = 7×6 = 42 。
二、比例中的分数问题有这样一道题:已知甲、乙两数的比是 3:4 ,乙数比甲数多几分之几?我们先求出乙数比甲数多的部分,即 4 3 = 1 。
然后用多的部分除以甲数,1÷3 = 1/3 ,所以乙数比甲数多 1/3 。
反过来,如果问甲数比乙数少几分之几,同样先求出少的部分 1 ,再除以乙数,1÷4 = 1/4 ,甲数比乙数少 1/4 。
三、比例的应用比如:工厂要生产一批零件,原计划每天生产 60 个,20 天完成。
实际每天生产的零件数与原计划每天生产的零件数的比是 6:5 ,实际多少天完成?我们先算出这批零件的总数,60×20 = 1200 (个)因为实际每天生产的零件数与原计划每天生产的零件数的比是6:5 ,原计划每天生产 60 个,所以实际每天生产 60÷5×6 = 72 (个)最后用总数除以实际每天生产的个数,1200÷72 = 50/3 (天)四、比例中的图形问题例如:一个长方形的长和宽的比是 5:3 ,周长是 80 厘米,求这个长方形的面积。
小学奥数比和比例
1、比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化,有目的的转化;4、单位“1”变化的比例问题5、方程解比例应用题知识点拨比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用,这一部 分内容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有: 一、比和比例的性质性质 1 :若 a : b=c : d ,则(a + c) : (b + d)= a : b=c : d ;性质 2 :若 a: b=c : d ,则(a - c) : (b - d)= a : b=c : d ;性质 3 :若 a : b=c : d ,则(a +x c) : (b +x d)=a : b=c : d ; (x 为常数)性质4 :若a : b=c : d ,则axd = bxc ;(即外项积等于内项积)正比例:如果a :b=k (k 为常数),则称a 、b 成正比;反比例:如果axb=k (k 为常数),则称a 、b 成反比.二、主要比例转化实例ma=(其中m 丰0);mb x a y c x ac ④ 一二一,—=— n —=——;% : y : z — ac : bc : bd ; y b z d z bd教学 目标mxmy x — a —b⑤%的c等于y的d,则%是y的㈣,y是%的吃.a b bc ad三、按比例分配与和差关系⑴按比例分配例如:将%个物体按照a: b的比例分配给甲、乙两个人,那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与%的比分别为a: (a + b)和b: (a + b),所以甲分配到至个,乙分配到回a +b a + b 个.⑵已知两组物体的数量比和数量差,求各个类别数量的问题例如:两个类别A、B,元素的数量比为a: b (这里a> b),数量差为%,那么A的元素数量为三,B的元素数量为反,所以解题的关键是求出(a - b)与a或b的比值.a -b a - b四、比例题目常用解题方式和思路解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“1”。
六年级下册数学知识点解析:比和比例
小升初数学知识点解析:比和比例两个数相除又叫做两个数的比.一、比和比例的性质性质1:若a: b=c:d,则(a + c):(b + d)= a:b=c:d;性质2:若a: b=c:d,则(a - c):(b - d)= a:b=c:d;性质3:若a: b=c:d,则(a +x c):(b +x d)=a:b=c:d;(x为常数)性质4:若a: b=c:d,则a×d = b×c;(即外项积等于内项积)正比例:如果a÷b=k(k为常数),则称a、b成正比;反比例:如果a×b=k(k为常数),则称a、b成反比.二、比和比例在行程问题中的体现在行程问题中,因为有速度=路程时间,所以:当一组物体行走速度相等,那么行走的路程比等于对应时间的反比;当一组物体行走路程相等,那么行走的速度比等于对应时间的反比;当一组物体行走时间相等,那么行走的速度比等于对应路程的正比.1.A和B两个数的比是8:5,每一数都减少34后,A是B的2倍,试求这两个数.【分析与解】方法一:设A为8x,则B为5x,于是有(8x-34):(5x-34)=2:1,x=17,所以A为136,B为85.方法二:因为减少的数相同,所以前后A 、B的差不变,开始时差占3份,后来差占1份且与B 一样多,也就是说减少的34,占开始的3-1=2份,所以开始的1份为34÷2=17,所以A为17×8=136,B为17×5=85.2.近年来火车大提速,1427次火车自北京西站开往安庆西站,行驶至全程的511再向前56千米处所用时间比提速前减少了60分钟,而到达安庆西站比提速前早了2小时.问北京西站、安庆西站两地相距多少千米?【分析与解】设北京西站、安庆西站相距多少千米?(511x+56):x=60:120,即(511x+56):x=1:2,即x=1011x+112,解得x=1232.即北京西站、安庆西站两地相距1232千米,3.两座房屋A和B各被分成两个单元.若干只猫和狗住在其中.已知:A房第一单元内猫的比率(即住在该单元内猫的数目与住在该单元内猫狗总数之比)大于B房第一单元内猫的比率;并且A房第二单元内猫的比率也大于B房第二单元内猫的比率.试问是否整座房屋A内猫的比率必定大于整座房屋B内猫的比率?【分析与解】如下表给出的反例指出:对所提出问题的回答应该是否定的.表中具体写出了各个单元及整座房屋中的宠物情况和猫占宠物总数的比率.4.家禽场里鸡、鸭、鹅三种家禽中公篱与母篱数量之比是2:3,已知鸡、鸭、鹅数量之比是8:7:5,公鸡、母鸡数量之比是1:3,公鸭、母鸭数量之比是3:4.试求公鹅、母鹅的数量比.【分析与解】公鸡占家禽场家禽总数的=21124615:(3544)45:46:(3544)46:47.333345⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=8118751310⨯=+++,母鸡占总数的3 10;公鸭占总数的8338753420⨯=+++,母鸭占总数的420;公鹅占总数的213332102020-+=+(),母鹅占总数的234232102020-+=+(),公鹅、母鹅数量之比为322020::3:2.5.在古巴比伦的金字塔旁,其朝西下降的阶梯旁6m的地方树立有1根走子,其影子的前端正好到达阶梯的第3阶(箭头).另外,此时树立l根长70cm自杆子,其影子的长度为175cm,设阶梯各阶的高度与深度都是50cm,求柱子的高度为多少?【分析与解】70cm的杆子产生影子的长度为175cm;所以影子的长度与杆子的长度比为:175:70=2.5倍.于是,影子的长度为6+1.5+1.5×2.5=11.25,所以杆子的长度为11.25÷2.5=4.5m.6.已知三种混合物由三种成分A、B、C组成,第一种仅含成分A和B,重量比为3:5;第二种只含成分B和C,重量比为I:2;第三种只含成分A和C,重量之比为2:3.以什么比例取这些混合物,才能使所得的混合物中A,B和C,这三种成分的重量比为3:5:2 ?【分析与解】注意到第一种混合物种A、B重量比与最终混合物的A、B重量比相同,均为3:5.所以,先将第二种、第三种混合物的A 、B 重量比调整到 3:5,再将第二种、第三种混合物中A 、B 与第一种混合物中A 、B 视为单一物质.第二种混合物不含A ,第三种混合物不含B ,所以1.5倍第三种混合物含A 为3,5倍第二种混合物含B 为5,即第二种、第三种混合物的重量比为5:1.5.于是此时含有C 为5×2+1.5×3=14.5,在最终混合物中C 的含量为3A /5B 含量的2倍.有14.5÷2-1=6.25,所以含有第一种混合物6.25.即第一、二、三这三种混合物的比例为6.25:5:1.5=25:20:6.7.现有男、女职工共1100人,其中全体男工和全体女工可用同样天数完成同样的工作;若将男工人数和女工人数对调一下,则全体男25天完成的工作,全体女工需36天才能完成,问:男、女工各多少人?【分析与解】 直接设出男、女工人数,然后在通过方程求解,过程会比较繁琐.设开始男工为“1”,此时女工为“k ”,有1名男工相当k 名女工.男工、女工人数对调以后,则男工为“k ”,相当于女工“k 2”,女工为“I”.有k 2:1=36:25,所以k=65. 于是,开始有男工数为11k +×1100=500人,女工600人.8.有甲乙两个钟,甲每天比标准时间慢5分钟,而乙每天比标准时间快5分钟,在3月15日的零点零分的时候两钟正好对准.若已知在某一时刻,乙钟和甲钟时针与分针都分别重合,且在从3月15日开始到这个时候,乙钟时针与分针重合的次数比甲钟多10次,那么这个时候的标准时间是多少?【分析与解】 标准的时钟每隔56511分钟重合一次. 假设经历了x 分钟. 于是,甲钟每隔52460651124605⨯⨯⨯-分钟重合一次,甲钟重合了246052460⨯-⨯×x 次; 同理,乙钟重合了246052460⨯+⨯×x 次; 于是,需要乙钟比甲钟多重合 246052460⨯+⨯×x-246052460⨯-⨯×x=102460⨯×x=10; 所以,x=24×60;所以要经历24×60×65511分钟,则为524606551165246011⨯⨯=⨯天. 于是为65天510(24)10()1111⨯=小时106(60)541111⨯=分钟.9.一队和二队两个施工队的人数之比为3:4,每人工作效率之比为5:4,两队同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程,结果二队比一队早完工9天.后来,由一队工人23与二队工人13组成新一队,其余的工人组成新二队.两支新队又同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程,结果新二队比新一队早完工6天.试求前后两次工程的工作量之比?【分析与解】一队与二队的工作效率之比为:(3×5):(4×4)=15:16.一队干前一个工程需9÷116=144天.新一队与新二队的工作效率之比为:2112(3544):(3544)46:47.3333⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=新一队干后一个工程需6÷147=282天.一队与新一队的工作效率之比为2115:(3544)45:46 33⨯⨯+⨯⨯=所以一队干后一个工程需282×4645天.前后两次工程的工作量之比是144:(282×4645)=(144×45):(282×46)=540:1081.。
小升初数学比和比例的知识点
小升初数学比和比例的知识点小升初数学比和比例的知识点上学的时候,大家都背过不少知识点,肯定对知识点非常熟悉吧!知识点就是学习的重点。
你知道哪些知识点是真正对我们有帮助的吗?下面是店铺精心整理的小升初数学比和比例的知识点,希望能够帮助到大家。
1比和比例:比和比例一直是学数学容易弄混的几大问题之一,其实它们之间的问题完全可以用一句话概括:比,等同于算式中等号左边的式子,是式子的一种(如:a:b);比例,由至少两个称为比的式子由等号连接而成,且这两个比的比值是相同(如:a:b=c:d)。
所以,比和比例的联系就可以说成是:比是比例的一部分;而比例是由至少两个比值相等的比组合而成的。
表示两个比相等的式子叫做比例,是比的意义。
比例有4项,前项后项各2个.2.比的基本性质:比的前项和后项都乘以或除以一个不为零的数。
比值不变。
比的性质用于化简比。
比表示两个数相除;只有两个项:比的前项和后项。
比例是一个等式,表示两个比相等;有四个项:两个外项和两个内项。
3.比例的性质:在比例里,两个外项的乘积等于两个内项的乘积。
比例的性质用于解比例。
4.比和比例的区别(1)意义、项数、各部分名称不同。
比表示两个数相除;只有两个项:比的前项和后项。
如:a:b这是比比例是一个等式,表示两个比相等;有四个项:两个外项和两个内项。
a:b=3:4这是比例。
(2)比的基本性质和比例的基本性质意义不同、应用不同。
比的性质:比的前项和后项都乘或除以一个不为零的数。
比值不变。
比例的性质:在比例里,两个外项的乘积等于两个内项的乘积相等。
比例的性质用于解比例。
联系:比例是由两个相等的比组成。
5比和比例的意义比的意义是两个数的除又叫做两个数的比,而比例的意义是表示两个比相等的式子是叫做比例。
比是表示两个数相除,有两项;比例是一个等式,表示两个比相等,有四项。
因此,比和比例的意义也有所不同。
而且,比号没有括号的.含义而另一种形式,分数有括号的含义!6比和比例的联系:比和比例有着密切联系。
比和比例—小升初复习讲义(通用版 含详解)17页
2021-2022学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义第5讲比和比例知识点一:比1.比的意义:两个数相除又叫作两个数的比。
2.比的各部分名称及比的读法:4 : 5=4÷5=0.8↓↓↓↓前项比号后项比值3.比的基本性质:比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外),比值不变4.求比值与化简比(1)求比值:前项除以后项所得的商是比的结果,叫比值。
同类量的比,其比值没有单位名称; 不同类量的比,其比值有单位名称。
例如:100千米:5时=20千米/时(2)化简比:比的前项和后项都是整数,并且是互质数,这样的比就是最简整数比。
把两个数的比化成最简整数比的,称为化简比或比的化简。
5.比与分数、除法的关系关系:比与分数相比,比的前项相当于分子,比的后项相当于分母,比值相当于分数值,比号相当于分数线;比与除法比较,比的前项相当于除法中的被除数,比的后项相当于除法中的除数,比值相当于商,比号相当于除号。
(1)比、分数和除法之间的联系与区别如下表所示:由比与分数、除法各部分间的关系可知,比的基本性质、分数的基本性质以及商不变的规律三者只是说法不同,其实质是一样的。
6.按比分配:(1)在工农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配,这种分配方法通常叫作按比分配。
(2)按比分配应用题的特征:已知总数量和部分数量的比,求各部分数量。
(3)常用的解题方法有两种:一种是先求总份数,再求各部分量占总量的几分之几,最后求各部分数量;另一种是先求每份是多少,再求几份是多少。
知识点二:比例1.比例的意义:表示两个比相等的式子叫做比例。
2.比例的各部分名称:组成比例的四个数,叫做比例的项。
两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项。
3.比例的基本性质:在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。
这叫做比例的基本性质。
4.比和比例的区别(1)比表示两个量相除的关系,它有两项(即前、后项);比例表示两个比相等的式子,它有四项(即两个内项和两个外项)。
小升初数学3.5比和比例
小升初数学3.5比和比例五比和比例1.比的意义和性质(1) 比的意义两个数相除又叫做两个数的比。
“:”是比号,读作“比”。
比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。
比的前项除以后项所得的商,叫做比值。
同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商。
比值通常用分数表示,也可以用小数表示,有时也可能是整数。
比的后项不能是零。
根据分数与除法的关系,可知比的前项相当于分子,后项相当于分母,比值相当于分数值。
(2)比的性质比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数(0除外),比值不变,这叫做比的基本性质。
(3) 求比值和化简比求比值的方法:用比的前项除以后项,它的结果是一个数值可以是整数,也可以是小数或分数。
根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。
它的结果必须是一个最简比,即前、后项是互质的数。
(4)比例尺图上距离:实际距离=比例尺要求会求比例尺;已知图上距离和比例尺求实际距离;已知实际距离和比例尺求图上距离。
线段比例尺:在图上附有一条注有数目的线段,用来表示和地面上相对应的实际距离。
(5)按比例分配在农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。
这种分配的方法通常叫做按比例分配。
方法:首先求出各部分占总量的几分之几,然后求出总数的几分之几是多少。
2 比例的意义和性质(1) 比例的意义表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数,叫做比例的项。
两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项。
(2)比例的性质在比例里,两个外项的积等于两个两个内向的积。
这叫做比例的基本性质。
(3)解比例根据比例的基本性质,如果已知比例中的任何三项,就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。
求比例中的未知项,叫做解比例。
3 正比例和反比例(1) 成正比例的量两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系。
小升初讲座 比和比例
【风雨数学小升初讲座】比和比例比是两个量相除的关系,例如男女生人数比是3:4,我们通常理解成男生有3份,女生有4份,他们的每份都相同。
比例包括正比例和反比例,正比例是比值相同,反比例是积相等,并且构成比的前项后项都是变量。
根据比和比例的定义,我们可以把它转化成份数计算,也可以转化成分数计算。
当然,用方程来计算也是不错的。
【题目1】圆珠笔和铅笔的价格比是4:3,20支圆珠笔和21支铅笔共用71.5元。
问圆珠笔的单价是每支多少元。
【解法一】用份数法来解答。
假设圆珠笔的单价是4份,铅笔的单价是4份,20支圆珠笔是20×4=80份,21支铅笔21×3=63份,80+63=143份共71.5元,每份71.5÷143=0.5元,圆珠笔的单价是4份,那么就是0.5×4=2元。
【解法二】用分数的方法解答。
铅笔的单价是圆珠笔的3/4,把圆珠笔的单价看作单位1,铅笔的单价就是3/4,那么21支圆珠笔相当于3/4×21=63/4,那么总共相当于20+63/4=143/4,圆珠笔的单价是71.5÷143/4=2元【解法三】用方程解答。
有两种设未知数的方法,设圆珠笔的单价是x元,或者设圆珠笔的单价是4x元。
前者用分数形式列方程,后面用整数的形式列方程。
3如果以圆珠笔的单价是x元来列方程,那么铅笔的单价就是x,则43可以列出方程20x+x×21=71.5元,解得x=24如果以圆珠笔的单价是4x来列方程,那么铅笔的单价是3x,则可列出方程4x×20+3x×21=71.5【题目2】加工一个零件,甲要2分钟,乙要3分钟,丙要4分钟。
现有1170个零件,甲乙丙三人各加工几个零件,才能使他们同时完成任务?【解答】先算出工作效率的比,然后按照工作效率的比来分配任务。
(1)甲每分钟加工1/2个零件,乙每分钟加工1/3个零件,丙每分钟加工1/4个零件。
小学六年级数学小升初珍藏版复习资料第5讲 比和比例(解析)
2022-2023学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义第5讲比和比例知识点一:比1.比的意义:两个数相除又叫作两个数的比。
2.比的各部分名称及比的读法:4 : 5=4÷5=0.8↓↓↓↓前项比号后项比值3.比的基本性质:比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外),比值不变4.求比值与化简比(1)求比值:前项除以后项所得的商是比的结果,叫比值。
同类量的比,其比值没有单位名称; 不同类量的比,其比值有单位名称。
例如: 100千米:5时=20千米/时(2)化简比:比的前项和后项都是整数,并且是互质数,这样的比就是最简整数比。
把两个数的比化成最简整数比的,称为化简比或比的化简。
5.比与分数、除法的关系关系:比与分数相比,比的前项相当于分子,比的后项相当于分母,比值相当于分数值,比号相当于分数线;比与除法比较,比的前项相当于除法中的被除数,比的后项相当于除法中的除数,比值相当于商,比号相当于除号。
(1)比、分数和除法之间的联系与区别如下表所示:名称比分数除法联系前项分子被除法:(比号)一(分数线)÷(除号)后项分母除数比值分数值商知识精讲除法各部分间的关系可知,比的基本性质、分数的基本性质以及商不变的规律三者只是说法不同,其实质是一样的。
6.按比分配:(1)在工农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配,这种分配方法通常叫作按比分配。
(2)按比分配应用题的特征:已知总数量和部分数量的比,求各部分数量。
(3)常用的解题方法有两种:一种是先求总份数,再求各部分量占总量的几分之几,最后求各部分数量;另一种是先求每份是多少,再求几份是多少。
知识点二:比例1.比例的意义:表示两个比相等的式子叫做比例。
2.比例的各部分名称:组成比例的四个数,叫做比例的项。
两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项。
3.比例的基本性质:在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。
这叫做比例的基本性质。
备战小升初数学知识点之比和比例
备战2019小升初数学知识点之比和比例比和比例1.比的意义和性质(1)比的意义两个数相除又叫做两个数的比。
“:”是比号,读作“比”。
比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。
比的前项除以后项所得的商,叫做比值。
同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商。
比值通常用分数表示,也可以用小数表示,有时也可能是整数。
比的后项不能是零。
根据分数与除法的关系,可知比的前项相当于分子,后项相当于分母,比值相当于分数值。
(2)比的性质比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数(0除外),比值不变,这叫做比的基本性质。
(3)求比值和化简比求比值的方法:用比的前项除以后项,它的结果是一个数值可以是整数,也可以是小数或分数。
根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。
它的结果必须是一个最简比,即前、后项是互质的数。
(4)比例尺图上距离:实际距离=比例尺要求会求比例尺;已知图上距离和比例尺求实际距离;已知实际距离和比例尺求图上距离。
线段比例尺:在图上附有一条注有数目的线段,用来表示和地面上相对应的实际距离。
(5)按比例分配在农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。
这种分配的方法通常叫做按比例分配。
方法:首先求出各部分占总量的几分之几,然后求出总数的几分之几是多少。
2、比例的意义和性质(1)比例的意义表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数,叫做比例的项。
两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项。
(2)比例的性质在比例里,两个外项的积等于两个两个内向的积。
这叫做比例的基本性质。
(3)解比例根据比例的基本性质,如果已知比例中的任何三项,就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。
求比例中的未知项,叫做解比例。
3、正比例和反比例(1)成正比例的量两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系。
小升初备考:数学比和比例知识点
小升初备考:数学比和比例知识点1.比的意义和性质(1)比的意义两个数相除又叫做两个数的比。
“:”是比号,读作“比”。
比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。
比的前项除以后项所得的商,叫做比值。
同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商。
比值通常用分数表示,也可以用小数表示,有时也可能是整数。
比的后项不能是零。
根据分数与除法的关系,可知比的前项相当于分子,后项相当于分母,比值相当于分数值。
(2)比的性质比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数(0除外),比值不变,这叫做比的基本性质。
(3)求比值和化简比求比值的方法:用比的前项除以后项,它的结果是一个数值可以是整数,也可以是小数或分数。
根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。
它的结果必须是一个最简比,即前、后项是互质的数。
(4)比例尺图上距离:实际距离=比例尺要求会求比例尺;已知图上距离和比例尺求实际距离;已知实际距离和比例尺求图上距离。
线段比例尺:在图上附有一条注有数目的线段,用来表示和地面上相对应的实际距离。
(5)按比例分配在农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。
这种分配的方法通常叫做按比例分配。
方法:首先求出各部分占总量的几分之几,然后求出总数的几分之几是多少。
2、比例的意义和性质(1)比例的意义表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数,叫做比例的项。
两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项。
(2)比例的性质在比例里,两个外项的积等于两个两个内向的积。
这叫做比例的基本性质。
(3)解比例根据比例的基本性质,如果已知比例中的任何三项,就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。
求比例中的未知项,叫做解比例。
3、正比例和反比例(1)成正比例的量两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系。
小升初奥数专题-第八讲比和比例关系
第八讲比和比例关系比和比例,是小学数学中的最后一个内容,也是学习更多数学知识的重要基础.有了“比”这个概念和表达方式,处理倍数、分数等问题,要方便灵活得多.我们希望,小学同学学完这一讲,对“除法、分数、比例实质上是一回事,但各有用处”有所理解.这一讲分三个内容:一、比和比的分配;二、倍数的变化;三、有比例关系的其他问题.8.1 比和比的分配最基本的比例问题是求比或比值.从已知一些比或者其他数量关系,求出新的比.例1甲、乙两个长方形,它们的周长相等.甲的长与宽之比是3∶2,乙的长与宽之比是7∶5.求甲与乙的面积之比.解:设甲的周长是2.甲与乙的面积之比是答:甲与乙的面积之比是864∶875.作为答数,求出的比最好都写成整数.例2 如右图,ABCD是一个梯形,E是AD的中点,直线CE把梯形分成甲、乙两部分,它们的面积之比是10∶7.求上底AB与下底CD的长度之比.解:因为E是中点,三角形CDE与三角形CEA面积相等.三角形ADC与三角形ABC高相等,它们的底边的比AB∶CD=三角形ABC的面积∶三角形ADC的面积=(10-7)∶(7×2)= 3∶14.答:AB∶CD=3∶14.两数之比,可以看作一个分数,处理时与分数计算几乎一样.三数之比,却与分数不一样,因此是这一节讲述的重点.例3 大、中、小三种杯子,2大杯相当于5中杯,3中杯相当于4小杯.如果记号表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和,求与之比.解:大杯与中杯容量之比是5∶2=10∶4,中杯与小杯容量之比是4∶3,大杯、中杯与小杯容量之比是10∶4∶3.∶=(10×2+4×3+3×4)∶(10×5+4×4+3×3)=44∶75.答:两者容量之比是44∶75.把5∶2与4∶3这两个比合在一起,成为三样东西之比10∶4∶3,称为连比.例3中已告诉你连比的方法,再举一个更一般的例子.甲∶乙=3∶5,乙∶丙=7∶4,3∶5=3×7∶5×7=21∶35,7∶4=7×5∶4×5=35∶20,甲∶乙∶丙=21∶35∶20.花了多少钱?解:根据比例与乘法的关系,连比后是甲∶乙∶丙=2×16∶3×16∶3×2=32∶48∶63.答:甲、乙、丙三人共花了429元.例5有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子,甲与乙,而它们留在墙外的部分一样长.问:甲、乙、丙的长度之比是多少?解:设甲的长度是6份.∶x=5∶4.乙与丙的长度之比是而甲与乙的长度之比是 6∶5=30∶25.甲∶乙∶丙=30∶25∶26.答:甲、乙、丙的长度之比是30∶25∶26.于利用已知条件6∶5,使大部分计算都整数化.这是解比例和分数问题的常用手段.例6 甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果,在每种糖果上所花钱数一样多,问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元?解一:设每种糖果所花钱数为1,因此平均价是答:这些糖果每千克平均价是27.5元.上面解法中,算式很容易列出,但计算却使人感到不易.最好的计算方法是,用22,30,33的最小公倍数330,乘这个繁分数的分子与分母,就有:事实上,有稍简捷的解题思路.解二:先求出这三种糖果所买数量之比.不妨设,所花钱数是330,立即可求出,所买数量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10.平均数是(15+11+10)÷3=12.单价33元的可买10份,要买12份,单价是下面我们转向求比的另一问题,即“比的分配”问题,当一个数量被分成若干个数量,如果知道这些数量之比,我们就能求出这些数量.例7 一个分数,分子与分母之和是100.如果分子加23,分母加32,解:新的分数,分子与分母之和是(10+23+32),而分子与分母之比2∶3.因此例8加工一个零件,甲需3分钟,乙需3.5分钟,丙需4分钟,现有1825个零件要加工,为尽早完成任务,甲、乙、丙应各加工多少个?所需时间是多少?解:三人同时加工,并且同一时间完成任务,所用时间最少,要同时完成,应根据工作效率之比,按比例分配工作量.三人工作效率之比是他们分别需要完成的工作量是所需时间是700×3=2100分钟)=35小时 .答:甲、乙、丙分别完成700个,600个,525个零件,需要35小时.这是三个数量按比例分配的典型例题.例9某团体有100名会员,男会员与女会员的人数之比是14∶11,会员分成三个组,甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是:甲:12∶13,乙:5∶3,丙:2∶1,那么丙有多少名男会员?解:甲组的人数是100÷2=50(人).乙、丙两组男会员人数是 56-24=32 (人).答:丙组有12名男会员.上面解题的最后一段,实质上与“鸡兔同笼”解法一致,可以设想,“兔例10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段,各段路程长之比依次是1∶2∶3.小龙走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6.已知他上坡时速度为每小时3千米,路程全长50千米.问小龙走完全程用了多少时间?解一:通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度,先求出走各段路程的速度比.上坡、平路、下坡的速度之比是走完全程所用时间答:小龙走完全程用了10小时25分.上面是通常思路下解题.1∶2∶3计算中用了两次,似乎重复计算,最后算式也颇费事.事实上,灵活运用比例有简捷解法.解二:全程长是上坡这一段长的(1+2+3)=6(倍).如果上坡用的时设小龙走完全程用x小时.可列出比例式8.2 比的变化已知两个数量的比,当这两个数量发生增减变化后,当然比也发生变化.通过变化的描述,如何求出原来的两个数量呢?这就是这一节的内容.例11 甲、乙两同学的分数比是5∶4.如果甲少得22.5分,乙多得22.5分,则他们的分数比是5∶7.甲、乙原来各得多少分?解一:甲、乙两人的分数之和没有变化.原来要分成5+4=9份,变化后要分成5+7=12份.如何把这两种分法统一起来?这是解题的关键.9与12的最小公倍数是36,我们让变化前后都按36份来算.5∶4=(5×4)∶(4×4)=20∶16.5∶7=(5×3)∶(7×3)=15∶21.甲少得22.5分,乙多得22.5分,相当于20-15=5份.因此原来甲得22.5÷5×20=90(分),乙得 22.5÷5×16=72(分).答:原来甲得90分,乙得72分.我们再介绍一种能解本节所有问题的解法,也就是通过比例式来列方程.解二:设原先甲的得分是5x,那么乙的得分是4x.根据得分变化,可列出比例式.(5x-22.5)∶(4x+22.5)=5∶7即 5(4x+22.5)=7(5x-22.5)15x=12×22.5x=18.甲原先得分18×5=90(分),乙得18×4=72(分).解:其他球的数量没有改变.增加8个红球后,红球与其他球数量之比是5∶(14-5)=5∶9.在没有球增加时,红球与其他球数量之比是1∶(3-1)=1∶2=4.5∶9.因此8个红球是5-4.5=0.5(份).现在总球数是答:现在共有球224个.本题的特点是两个数量中,有一个数量没有变.把1∶2写成4.5∶9,就是充分利用这一特点.本题也可以列出如下方程求解:(x+8)∶2x=5∶9.例13 张家与李家的收入钱数之比是8∶5,开支的钱数之比是8∶3,结果张家结余240元,李家结余270元.问每家各收入多少元?解一:我们采用“假设”方法求解.如果他们开支的钱数之比也是8∶5,那么结余的钱数之比也应是8∶5.张家结余240元,李家应结余x元.有240∶x=8∶5,x=150(元).实际上李家结余270元,比150元多120元.这就是8∶5中5份与8∶3中3份的差,每份是120÷(5-3)=60.(元).因此可求出答:张家收入720元,李家收入450元.解二:设张家收入是8份,李家收入是5份.张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多.我们画出一个示意图:张家开支的3倍是(8份-240)×3.李家开支的8倍是(5份-270)×8.从图上可以看出5×8-8×3=16份,相当于270×8-240×3=1440(元).因此每份是1440÷16=90(元).张家收入是90×8=720(元),李家收入是90×5=450(元).本题也可以列出比例式:(8x-240)∶(5x-270)=8∶3.然后求出x.事实上,解方程求x的计算,与解二中图解所示是同一回事,图解有算术味道,而且一些数量关系也直观些.例14 A和B两个数的比是8∶5,每一数都减少34后,A是B的2倍,求这两个数.解:减少相同的数34,因此未减时,与减了以后,A与B两数之差并没有变,解题时要充分利用这一点.8∶5,就是8份与5份,两者相差3份.减去34后,A是B的2倍,就是2∶1,两者相差1.将前项与后项都乘以3,即2∶1=6∶3,使两者也相差3份.现在就知道34是8-6=2(份)或5-3=2(份).因此,每份是34∶2=17.A数是17×8=136,B数是17×5=85.答:A,B两数分别是136与85.本题也可以用例13解一“假设”方法求解,不过要把减少后的2∶1,改写成8∶4.例15小明和小强原有的图画纸之比是4∶3,小明又买来15张.小强用掉了8张,现有的图画纸之比是5∶2.问原来两人各有多少张图画纸?解一:充分利用已知数据的特殊性.4+3=7,5+2=7,15-8=7.原来总数分成7份,变化后总数仍分成7份,总数多了7张,因此,新的1份=原来1份+1原来4份,新的5份,5-4=1,因此新的1份有15-1×4=11(张).小明原有图画纸11×5-15=40(张),小强原有图画纸11×2+8=30(张).答:原来小明有40张,小强有30张图画纸.解二:我们也可采用例13解一的“假设”方法.先要将两个比中的前项化成同一个数(实际上就是通分)4∶3=20∶155∶2=20∶8.但现在是20∶8,因此这个比的每一份是当然,也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法.解三:设原来小明有4“份”,小强有3“份”图画纸.把小明现有的图画纸张数乘2,小强现有的图画纸张数乘5,所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图:从图上可以看出,3×5-4×2=7(份)相当于图画纸15×2+8×5=70(张).因此每份是10张,原来小明有40张,小强有30张.例11至15这五个例题是同一类型的问题.用比例式的方程求解没有多大差别.用算术方法,却可以充分利用已知数据的特殊性,找到较简捷的解法,也启示一些随机应变的解题思路.另外,解方程的代数运算,对小学生说来是超前的,不容易熟练掌握.例13的解一,也是一种通用的方法.“假设”这一思路是很有用的,希望读者能很好掌握,灵活运用.从课外的角度,我们更应启发小同学善于思考,去找灵巧的解法,这就要充分利用数据的特殊性.因此我们总是先讲述灵巧的解法,利于心算,促进思维.例16粗蜡烛和细蜡烛长短一样.粗蜡烛可以点5小时,细蜡烛可以点4小时.同时点燃这两支蜡烛,点了一段时间后,粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍.问这两支蜡烛点了多少时间?我们把问题改变一下:设细蜡烛长度是2,每小时点等需要时间是答:这两支蜡烛点了3小时20分.把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以2,使原来要考虑的“2倍”变成“相等”,思考就简捷了.解这类问题这是常用的技巧.再请看一个稍复杂的例子.例17箱子里有红、白两种玻璃球,红球数是白球数的3倍多2只.每次从箱子里取出7只白球,15只红球,经过若干次后,箱子里剩下3只白球,53只红球,那么,箱子里原来红球数比白球数多多少只?解:因为红球是白球的3倍多2只,每次取15只,最后剩下53只,所以对3倍的白球,每次取15只,最后应剩51只.因为白球每次取7只,最后剩下3只,所以对3倍的白球,每次取 7×3=21只,最后应剩 3×3= 9只.因此.共取了(51- 3×3)÷(7×3-15)= 7(次).红球有 15×7+ 53= 158(只).白球有 7×7+3=52(只).原来红球比白球多 158-52=106(只).答:箱子里原有红球数比白球数多106只.8.3 比例的其他问题,这里必须用分数来说,而不能用比.实际上它还是隐含着比例关系:(甲-7)∶乙= 2∶3.因此,有些分数问题,就是比例问题.加33张,他们两人取的画片一样多.问这些画片有多少张?答:这些画片有261张.解:设最初的水量是1,因此最后剩下的水是样重,就有因此原有水的重量是答:容器中原来有8.4千克水.例18和例19,通常在小学数学中,叫做分数应用题.“比”有前项和后项,当两项合在一起写成一个分数后,才便于与其他数进行加、减运算.这就是把比(或除法)写成分数的好处.下面一个例题却是要把分数写成比,计算就方便些.例20 有两堆棋子, A堆有黑子 350个和白子500个, B堆有黑子堆中拿到 A堆黑子、白子各多少个?子100个,使余下黑子与白子之比是(40-100)∶100=3∶1.再要从 B堆拿出黑子与白子到A堆,拿出的黑子与白子数目也要保持3∶1的比.现在 A堆已有黑子 350+ 100= 450个),与已有白子500个,相差从B堆再拿出黑子与白子,要相差50个,又要符合3∶1这个比,要拿出白子数是50÷(3-1)=25(个).再要拿出黑子数是 25×3= 75(个).答:从B堆拿出黑子 175个,白子25个.人,问高、初中毕业生共有多少人?解一:先画出如下示意图:6-5=1,相当于图中相差 17-12=5(份),初中总人数是 5×6=30份,因此,每份人数是520÷(30-17)= 40(人).因此,高、初中毕业生共有40×(17+12)= 1160(人).答:高、初中毕业生共1160人.计算出每份是例21与例14是完全一样的问题,解一与例14的解法也是一样的.(你是否发现?)解二是通常分数应用题的解法,显然计算不如解一简便.例18,19,20,21四个例题说明分数与比例各有好处,你是否从中有所心得?当然关键还是在于灵活运用.下的钱共有多少元?解:设钢笔的价格是1.这样就可以求出,钢笔价格是张剩下的钱数是李剩下的钱数答:张、李两人剩下的钱共28元.题中有三个分数,但它们比的基准是不一样的.为了统一计算单位,设定钢笔的价格为1.每个人原有的钱和剩下的钱都可以通过“1”统一地折算.解分数应用题中,设定统一的计算单位是常用的解题技巧.作为这一讲最后的内容,我们通过两个例题,介绍一下“混合比”.用100个银币买了100头牲畜,问猪、山羊、绵羊各几头?这是十八世纪瑞士大数学家欧拉(1707~1783)提出的问题.们设1头猪和5头绵羊为A组,3头山羊和2头羊绵为B组.A表示A组的数,B表示B 组的数,要使(1+ 5)× A+(3+ 2)× B=100,或简写成 6A+5B=100.就恰好符合均价是1.类似于第三讲鸡兔同笼中例17,很明显,A必定是5的整数倍.A=5, B= 4, 6×5+ 5×4=50,50是 100的约数,符合要求.A=5,猪 5头,绵羊 25头,B=4,山羊12头,绵羊8头.猪∶山羊∶绵羊=5∶12∶(25+8).现在已把1∶5和3∶2两种比,组合在一起通常称为混合比.要注意,这样的问题常常有多种解答.A= 5, B=14或 A=15,B=2才能产生解答,相应的猪、山羊、绵羊混合比是5∶42∶53或15∶6∶79.答:有三组解答.买猪、山羊、绵羊的头数是10,24,66;或者5,42,53;或者15,6,79.求混合比是一种很实用的方法,对数学有兴趣的小学同学,学会这种方法是有好处的,会增加灵活运用比例的技巧.通常求混合比可列下表:下面例题与例23是同一类型,但由于题目的条件,解法上稍有变化.例24某商品76件,出售给33位顾客,每位顾客最多买三件,买 1件按定价,买2件降价 10%,买 3件降价 20%.最后结算,平均每件恰好按原定价的 85%出售,那么买3件的顾客有多少人?解:题目已给出平均数 85%,可作比较的基准.1人买3件少 5%×3;1人买2件多 5%×2;1人买1件多 15%×1.1人买3件与1人买1件成A组,即按1∶1比例,2人买3件与3人买2件成B组,即按2∶3的比例.A组是2人买4件,每人平均买2件.B组是5人买12件,每人平均买2.4件.现在已建立了一个鸡兔同笼型问题:总脚数76,总头数33,兔脚数2.4,鸡脚数2.B组人数是(76-2×33)÷(24-2)= 25(人),A组人数是 33-25=8(人),其中买 3件4人,买 1件4人.10+ 4= 14(人).答:买3件的顾客有14位.建立两种比的A组和B组,与例23的解题思路完全一致,只是后面解法稍有不同.因为对A组和B组,不仅要从人数考虑满足2A+5B=33,还要从买的件数考虑满足 4A+12B=76.这已完全确定了A组和B组的数,不必再求混合比.。
小升初备考:数学比和比例知识点
小升初备考:数学比和比例知识点1.比的意义和性质〔1〕比的意义两个数相除又叫做两个数的比。
〝:〞是比号,读作〝比〞。
比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。
比的前项除以后项所得的商,叫做比值。
同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商。
比值通常用分数表示,也可以用小数表示,有时也可能是整数。
比的后项不能是零。
根据分数与除法的关系,可知比的前项相当于分子,后项相当于分母,比值相当于分数值。
〔2〕比的性质比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数〔0除外〕,比值不变,这叫做比的基本性质。
〔3〕求比值和化简比求比值的方法:用比的前项除以后项,它的结果是一个数值可以是整数,也可以是小数或分数。
根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。
它的结果必须是一个最简比,即前、后项是互质的数。
〔4〕比例尺图上距离:实际距离=比例尺要求会求比例尺;图上距离和比例尺求实际距离;实际距离和比例尺求图上距离。
线段比例尺:在图上附有一条注有数目的线段,用来表示和地面上相对应的实际距离。
〔5〕按比例分配在农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。
这种分配的方法通常叫做按比例分配。
方法:首先求出各部分占总量的几分之几,然后求出总数的几分之几是多少。
2、比例的意义和性质〔1〕比例的意义表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数,叫做比例的项。
两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项。
〔2〕比例的性质在比例里,两个外项的积等于两个两个内向的积。
这叫做比例的基本性质。
〔3〕解比例根据比例的基本性质,如果比例中的任何三项,就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。
求比例中的未知项,叫做解比例。
3、正比例和反比例〔1〕成正比例的量两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值〔也就是商〕一定,这两种量就叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系。
用字母表示y/x=k〔一定〕〔2〕成反比例的量两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。
比和比例总结讲解+例题解析
比和比例总结讲解+例题解析
本文将对比和比例进行总结讲解,并通过例题解析的方式帮助读者更好地理解这两个概念。
一、比的概念
比是指两个量的大小关系。
比可以用“:”或“/”表示,比如“2:3”或“2/3”,表示第一个数量是第二个数量的2/3倍。
二、比例的概念
比例指两个或多个比的关系。
如果两个比相等,我们就说它们成比例。
比例也可以用“:”或“/”表示,比如“2:3=4:6”或“2/3=4/6”,表示两个比成比例。
三、比例的性质
1. 比例的四个量中,如果已知其中三个量,可以求出第四个量。
2. 如果两个比成比例,它们的各项之比相等。
3. 如果两个比成比例,它们的倒数也成比例。
四、例题解析
例1:如果2:3=4:x,那么x的值是多少?
解析:因为2:3=4:x,所以2/3=4/x。
通过交叉相乘,得到2x=12,所以x=6。
例2:如果3:4=x:20,那么x的值是多少?
解析:因为3:4=x:20,所以3/4=x/20。
通过交叉相乘,得到3x=80,所以x=80/3。
通过以上例题的解析,我们可以发现比和比例的概念和性质十分
重要,掌握它们能够帮助我们解决实际问题,同时也是数学学习中的基础知识。
小升初奥数第23节:比与比例讲义
5.反比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。
即 (一定),x与y 成反比例关系
题型一:解比例
例1:18﹕(x-1)= 2﹕7 x﹕5 = 1÷3
练习:2: = (联考) = (联考)
8、甲、乙两人原有的钱数之比为 ,后来甲又得到180元,乙又得到30元,这时甲、乙钱数之比为 ,求原来两人的钱数之和为多少?
9、一项机械加工作业,用4台 型机床,5天可以完成;用4台 型机床和2台 型机床3天可以完成;用3台 型机床和9台 型机床,2天可以完成,若3种机床各取一台工作5天后,剩下 、 型机床继续工作,还需要______ 天可以完成作业.
5、把一批书按4:5:6的比例分给甲、乙、丙三个班,已知甲班比丙班少分到24本,三个班各分到多少本书?
(二)综合提升训练。
1、师徒二人加工一批零件,师傅加工一个零件用9分钟,徒弟加工一个零件用15分钟.完成任务时,师傅比徒弟多加工100个零件,求师傅和徒弟一共加工了多少个零件?
2、师徒二人共加工零件 个,师傅加工一个零件用 分钟,徒弟加工一个零件用 分钟.完成任务时,师傅比徒弟多加工多少个零件?
8、加工某种零件,甲 分钟加工 个,乙 分钟加工 个,丙 分钟加工 个.现在三人在同样的时间内一共加工 个零件.问:甲、乙、丙三人各加工多少个零件?
5、一班和二班的人数之比是 ,如果将一班的 名同学调到二班去,则一班和二班的人数比变为 .求原来两班的人数.
6、幼儿园大班和中班共有32名男生,18名女生.已知大班男生数与女生数的比为 ,中班男生数与女生数的比为 ,那么大班有女生多少名?
小升初-比和比例
比和比例知识集结知识精讲比和比例知识讲解一、比的读法、写法及各部分名称1.读法:几比几,如15:10读作15比10.2.写法:把“比”字用比号代替.如15比10 记作15:10或1510.3.各部分名称:比的前项:在两个数的比中,比号前面的数叫做比的前项.比的后项:在两个数的比中,比号后面的数叫做比的后项.比值:比的前项除以后项所得的商.二、比与分数、除法的关系1.联系:比的前项相当于分数的分子、除法中的被除数;比号相当于分数的分数线、除法中的除号;比的后项相当于分数的分母、除法中的除数;比值相当于分数的分数值、除法中的商.2.区别:比是一种关系,分数是一种数,除法是一种运算.三、比的性质比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变.这叫做比的基本性质.四、求比值和化简比1.求两个数的比值,就是用比的前项除以比的后项,它的结果是一个数值,这个数值可以是整数,也可以是小数或分数.2.求比值和化简比的方法:把两个数的比化成最简单的整数比.(1)整数比化简方法:把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数.(2)分数比化简方法:把比的前项和后项同时乘它们的分母的最小公倍数,变成整数比,再进行化简;利用求比值的方法也可化简分数比,但结果必须写成比的形式.(3)小数比化简方法:先把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同位数,完成整数比,再进行化简.五、比例的意义及基本性质比例的意义:表示两个比相等的式子,叫做比例.组成比例的四个数,叫做比例的项.组成比例两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项.比例的性质:在比例中,两个外项的积等于两个内项的积,这叫做比例的基本性质.如:4:5=16:20⇔4×20=5×16六、正比例和反比例的意义1.正比例的意义:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系.如果用字母x和y表示这两种相关联的量,用k表示它们的比值(一定),正比例关系可以用式子表示为:yx=k(一定).2.反比例的意义:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系.如果用字母x和y表示这两种相关联的量,用k表示它们的乘积(一定),反比例的关系可以表示为:xy=k(一定).七、解比例根据比例的基本性质,如果已知比例中的任何三项,就可以求出这个比例中的另外一个未知项.求比例中的未知项,叫做解比例.一般来说,求比例的未知项有以下两种情况:八、比的应用1.按比例分配问题的解题方法:(1)把比看作分得的份数,用先求出每一份的方法来解答.解题步骤:a.求出总份数;b.求出每一份是多少;c.求出各部分相应的具体数量.(2)转化成份数乘法来解答.解题步骤:a.先根据比求出总份数;b.再求出各部分量占总量的几分之几;c.求出各部分的数量.2.按比例分配问题常用解题方法的应用:(1)已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量,求另外几个部分量;(2)已知两个量或几个量的比和其中两个量的差,求总量.九、辨识成正比例的量和成反比例的量1.成正比例的量:(1)“变化方向”相同,一种量扩大或缩小,另一种量也扩大或缩小.(2)相对应的两个数的比值(商)一定.(3)关系式:yx=k(一定).2.成反比例的量:(1)“变化方向”相反,一种量扩大或缩小,另一种量反而缩小或扩大.(2)相对应的两个数的乘积一定.(3)关系式:xy=k(一定).3.判断方法:关键是看着两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定,如果商一定,就成正比例;如果积一定,就成反比例.例题精讲比和比例例1.甲数是乙数的3倍,甲与甲、乙两数和的比是()A.1:3 B.3:1 C.3:4 D.4:1例2.如图,空白部分与阴影部分面积的比是()A.1:2 B.1:4 C.1:3 D.无法确定例3.下面两个比不能组成比例的是()A.10:12=35:42 B.20:10=60:20C.:12:8 D.0.6:0.2:例4.两个变量X和Y,当X∙Y=45时,X和Y是()A.成正比例量B.成反比例量C.不成比例量例5.某班女生人数与男生人数的比是4:5,最近又转进1名女生,这时女生人数是男生人数的,现在全班有学生()A.30人B.25人C.45人D.55人例6.下面4个关系式中,x和y成反比例关系的是()A.(x+1)y=6 B.x 3C.3x=5y(x、y均不为零)D.x-y=0例7.20:________÷40=____%=___折。
2020年小升初数学热点题型 四 比和比例
【要点归纳】一、比的认识2020年小升初数学热点题型四比和比例【重点】1.比的基本性质--比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0 除外),比值不变。
2.求比值--比的前项除以后项所得的商。
(结果可是整数、小数、分数;一定不能含有比号)3.化简比--把两个数的比化成最简整数比。
(结果是最简整数比;一定含有比号)【难点】比跟分数、除法的主要区别--比表示两个数的倍数关系;分数是一种数;除法是一种运算。
二、比例的认识【重点】1.比例的意义--表示两个比相等的式子。
2.比例的各部分名称--组成比例的四个数叫作比例的项,其中两端的两项叫作比例的外项,中间的两项叫作比例的内项。
3.比例的基本性质--在比例里,两个内项的积等于两个外项的积。
【难点】解稍复杂一点的比例。
解比例的依据是比例的基本性质。
三、按比例分配问题的应用【重点】1.已知总量及两个(或几个)部分量间比的关系,求各部分量的具体数量。
方法一:分数法--先求按一定的比将总量分成几份,再用总量乘各部分量占总量的分率;方法二:平均分法--先求按一定的比将总量分成几份,用总量除以份数,求出一份的具体数量,再用一份的具体数量与各部分量所占的份数相乘。
2.已知一个具体数量和它与另外一个具体数量间比的关系,求总量。
方法一:分数法--先求按一定的比将总量分成几份,再用具体数量除以它所占总量的分率;方法二:平均分法--先用具体数量除以它所占的份数,求出一份的具体数量,再用一份的具体数量乘总量的份数。
3.已知一个具体数量和它与另外一个具体数量间比的关系,求另一个量。
方法一:分数法--先求按一定的比将总量分成几份,再用具体数量除以它所占总量的分率;求出总量,然后用总量乘另一个量所占总量的分率;方法二:平均分法--先用具体数量除以它所占的份数,求出一份的具体数量,再用一份的具体数量乘另一个量所占的份数。
4.已知总量及两个部分量间比的关系与差,求具体量或总量。
方法一:分数法--先求出每个具体量各占总量的几分之几,然后用较大的具体数量所占总量的分率减去较小的具体数量所占总量的分率,最后用两个具体数量的差除以这个分率,就可求出总量。
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【小升初奥数知识点讲解】比和比例
比和比例
比:两个数相除又叫两个数的比。
比号前面的数叫比的前项,比号后面的数叫比的后项。
比值:比的前项除以后项的商,叫做比值。
比的性质:比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(零除外),比值不变。
比例:表示两个比相等的式子叫做比例。
a:b=c:d或
比例的性质:两个外项积等于两个内项积(交叉相乘),ad=bc。
正比例:若A扩大或缩小几倍,B也扩大或缩小几倍(AB的商不变时),则A与B成正比。
反比例:若A扩大或缩小几倍,B也缩小或扩大几倍(AB的积不变时),则A与B成反比。
比例尺:图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
按比例分配:把几个数按一定比例分成几份,叫按比例分配。