十、概率PPT教学课件
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10.1.2事件的关系与运算 课件-2020-2021学年高中数学人教A版(2019)必修第二册
5}．
第十章 概率
小结
事件的关系或运算
含义
包含
A发生导致B发生
并事件(和事件)
A与B至少一个发生
交事件(积事件)
A与B同时发生
互斥(互不相容)
A与B不能同时发生
互为对立
A与B有且仅有一个发生
符号表示 A⊆B
AUB或A+B A∩B或AB
A∩B=Φ
A∩B=Φ,AUB=Ω
作业：
第十章 概率
(1)包含关系
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生， 则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A （或称事件A包含于事件B）,记作 B A（或A B)
第十章 概率
特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即 B⊇A且 A⊇B，则称事件A与事件B相等，记作A=B 。
A（B）
第十章 概率
作A B（或AB） 。
第十章 概率
观察事件：C3 3,C4 4
可以发现，事件C3和事件C4不可能同时发生，用集合表示就
是：34 ，即 C3 C4 ，这时我们称事件C3与事件C4互斥。
(4)互斥事件
一般地，如果事件A与事件B不可能同时发生，也就是
A B 是一个不可能事件，即 A B ，则称事件A
用(x，y)表示取出的两个球，则试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,3)，(2,4)，(3,4)}，设A＝“至少有1个白球”，(1)设B＝“都是白球”，B ＝{(3,4)}，所以B⊆A.即A和B不是互斥事件．(2)设C＝“至少有一个红球”，则 C＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，因为A∩C＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)， (2,4)}，所以A和C不互斥．(3)设D＝“都是红球”，则D＝{(1,2)}，因为A∪D＝ Ω，A∩D＝∅，所以A和D为对立事件．
第十章 概率
小结
事件的关系或运算
含义
包含
A发生导致B发生
并事件(和事件)
A与B至少一个发生
交事件(积事件)
A与B同时发生
互斥(互不相容)
A与B不能同时发生
互为对立
A与B有且仅有一个发生
符号表示 A⊆B
AUB或A+B A∩B或AB
A∩B=Φ
A∩B=Φ,AUB=Ω
作业：
第十章 概率
(1)包含关系
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生， 则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A （或称事件A包含于事件B）,记作 B A（或A B)
第十章 概率
特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即 B⊇A且 A⊇B，则称事件A与事件B相等，记作A=B 。
A（B）
第十章 概率
作A B（或AB） 。
第十章 概率
观察事件：C3 3,C4 4
可以发现，事件C3和事件C4不可能同时发生，用集合表示就
是：34 ，即 C3 C4 ，这时我们称事件C3与事件C4互斥。
(4)互斥事件
一般地，如果事件A与事件B不可能同时发生，也就是
A B 是一个不可能事件，即 A B ，则称事件A
用(x，y)表示取出的两个球，则试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,3)，(2,4)，(3,4)}，设A＝“至少有1个白球”，(1)设B＝“都是白球”，B ＝{(3,4)}，所以B⊆A.即A和B不是互斥事件．(2)设C＝“至少有一个红球”，则 C＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，因为A∩C＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)， (2,4)}，所以A和C不互斥．(3)设D＝“都是红球”，则D＝{(1,2)}，因为A∪D＝ Ω，A∩D＝∅，所以A和D为对立事件．
概率论绪论PPT课件
也可以按某种标准把支出分为高、 中、低三档. 这时，样本点有（高,高）, （高,中），…，(低,低）等9种，样本空 间就由这9个样本点构成 .
引入样本空间后，事件便可以表示为 样本空间的子集 .
例如，掷一颗骰子，观察出现的点数
样本空间：
Ω = { i ：i=1,2,3,4,5,6｝
B = {1,3,5｝
计学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列 的数学分支学科，并无从属关系.
概率论是一门研究客观世界随机现象数量 规律的 数学分支学科. —— 其起源与博弈问题 有关.
16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博 中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B. 帕 斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯 基于排列组合的方 法，研究了较复杂 的赌博问题， 解决了“ 合理 分配赌注问题” ( 即得分问题 ).
A1, A2,..., An 构成一个完备事件组.
举例
例1：掷一颗骰子的试验，观察其出现的点 数：事件A表示{出现奇数点}；事件B表示 {出现点数小于5}；事件C表示{出现小于5 的偶数点}。用列举法表_示_ 事件：
Ω ,A+B,A-B,B-A,AB,AC, A B
例2：设A、B、C为三个随机事件，表示下列 事件：
序论
第二次世界大战军事上的需要以及大工业 与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息 论、控制论与数理统计学等学科.
数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、 整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的 问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策 和行动提供依据和建议的 数学分支学科.
统计方法的数学理论要用到很多近代数学 知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数 学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这 样说：《概率论》是数理统计学的基础，数理统
引入样本空间后，事件便可以表示为 样本空间的子集 .
例如，掷一颗骰子，观察出现的点数
样本空间：
Ω = { i ：i=1,2,3,4,5,6｝
B = {1,3,5｝
计学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列 的数学分支学科，并无从属关系.
概率论是一门研究客观世界随机现象数量 规律的 数学分支学科. —— 其起源与博弈问题 有关.
16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博 中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B. 帕 斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯 基于排列组合的方 法，研究了较复杂 的赌博问题， 解决了“ 合理 分配赌注问题” ( 即得分问题 ).
A1, A2,..., An 构成一个完备事件组.
举例
例1：掷一颗骰子的试验，观察其出现的点 数：事件A表示{出现奇数点}；事件B表示 {出现点数小于5}；事件C表示{出现小于5 的偶数点}。用列举法表_示_ 事件：
Ω ,A+B,A-B,B-A,AB,AC, A B
例2：设A、B、C为三个随机事件，表示下列 事件：
序论
第二次世界大战军事上的需要以及大工业 与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息 论、控制论与数理统计学等学科.
数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、 整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的 问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策 和行动提供依据和建议的 数学分支学科.
统计方法的数学理论要用到很多近代数学 知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数 学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这 样说：《概率论》是数理统计学的基础，数理统
中职数学教学：第10章-概率与统计初步PPT课件
概率的起源
• 第一个系统地推算概率的人是16世纪的卡尔达诺。记载在他的著作《 Liber de Ludo Aleae》中。书中关于概率的内容是由古尔德从拉丁文 翻译出来的。
• 卡尔达诺的数学著作中有很多给赌徒的建议。这些建议都写成短文。 例如：《谁，在什么时候，应该赌博？》、
《为什么亚里斯多德谴责赌博？》、《那些教别人赌博的人是否也擅长 赌博呢？》等。
解 由于100件商品中含有3件次品，随机地抽取1件，可能是次品， 也可能是正品；随机地抽取4件，全是次品是不可能的；随机地抽取10 件，其中含有正品是必然的．
因此，事件B是不可能事件，事件C是必然事件．
-
19
动脑思考 探索新知
作为试验和观察的基本结果，在试验和观察中不能再分的最简单的随机 事件，叫做基本事件．可以用基本事件来描绘的随机事件叫做复合事件．
解 （1）记A={ 生产的产品是次品 }，则事件A发生的频率为
m 109 0.091． n 1200 即星期五该厂生产的产品是次品的频率约为0.091．
（2）本周内生产-的产品是次品的概率约为0.100．
25
运用知识 强化练习
某市工商局要了解经营人员对工商执法人员的满意程度． 进行了5次“问卷调查”，结果如下表所示：
在描述一个事件的时候，采用加花括号的方式．如抛掷一枚硬币，出现正 面向上的事件，记作 A={抛掷一枚硬币，出现正面向上}．
在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件，用 表示．在一定条件下
不可能发生的事件叫做不可能事件，用表示．
-
17
创设情境 兴趣导入
任意抛掷一颗骰子，观察掷出的点数．事件A＝{点数是1 }， B＝{点数是2 }，C＝{点数不超过2 } 之间存在着什么联系呢？
人教版九年级数学上册《概率》概率初步PPT优质课件
13
13
4 1.
求简单随机事件的概
率
练习
把一副普通扑克牌中的 13 张梅花牌洗匀后正面向下
3
放在桌子上，从中随机抽取一张，求下列事件的概
11 抽出的牌是梅花 6；
率：
21 抽出的牌带有人像；
31 抽出的牌上的数小于 5；
41 抽出的牌的花色是梅花.
1
3
4
1
； 2
； 3
；
13
13
13
4 1.
求简单随机事件的概
活动 2：掷骰子
在上节课的问题 2 中，掷一枚六个面上分别刻有 1 到 6
的点数的骰子，向上一面出现的点数有几种可能？每种点数
出现的可能性大小又是多少？
有 6 种可能，即 1，2，3，4，5，6.
1
6
我们用 表示每一个点数出现的可能性大小.
如何求概率
活动 3
掷一枚硬币，落地后：
1 会出现几种可能的结果? 两种
8
5
(摸出黄球 ) =_________
8
.
求简单随机事件的概
率
练习2 有 7 张纸签，分别标有数字 1，1，2，2，3，4，5，
从中随机地抽出一张，求:
11 抽出标有数字 3 的纸签的概率；
2
(2)抽出标有数字
1 的纸签的概率；
3
(3)抽出标有数字为奇数的纸签的概率.
1
： (数字 3) = 7；
生的概率，记为 ().
认识概率
活动 1：抽纸团
在上节课的问题 1 中，从分别写有数字 1，2，3，4，
5 的五个纸团中随机抽取一个，这个纸团里的数字有几种可
能？每个数字被抽到的可能性大小是多少？
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4 1.
求简单随机事件的概
率
练习
把一副普通扑克牌中的 13 张梅花牌洗匀后正面向下
3
放在桌子上，从中随机抽取一张，求下列事件的概
11 抽出的牌是梅花 6；
率：
21 抽出的牌带有人像；
31 抽出的牌上的数小于 5；
41 抽出的牌的花色是梅花.
1
3
4
1
； 2
； 3
；
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4 1.
求简单随机事件的概
活动 2：掷骰子
在上节课的问题 2 中，掷一枚六个面上分别刻有 1 到 6
的点数的骰子，向上一面出现的点数有几种可能？每种点数
出现的可能性大小又是多少？
有 6 种可能，即 1，2，3，4，5，6.
1
6
我们用 表示每一个点数出现的可能性大小.
如何求概率
活动 3
掷一枚硬币，落地后：
1 会出现几种可能的结果? 两种
8
5
(摸出黄球 ) =_________
8
.
求简单随机事件的概
率
练习2 有 7 张纸签，分别标有数字 1，1，2，2，3，4，5，
从中随机地抽出一张，求:
11 抽出标有数字 3 的纸签的概率；
2
(2)抽出标有数字
1 的纸签的概率；
3
(3)抽出标有数字为奇数的纸签的概率.
1
： (数字 3) = 7；
生的概率，记为 ().
认识概率
活动 1：抽纸团
在上节课的问题 1 中，从分别写有数字 1，2，3，4，
5 的五个纸团中随机抽取一个，这个纸团里的数字有几种可
能？每个数字被抽到的可能性大小是多少？
概率的基本性质ppt课件
5
我们借助树状图来求相应事件的样本点数,
可以得到,样本空间包含的样本点个数为 n 6 5 30 , 解法二： 上述解法需要分若干种情况计算概率， 注意到事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”。
因为n A1 A2
4 3 12，P A1 A2
12 2 30 5
所以PA 1 P A1 A2
所以P(R1)=P(R2)=6/12, P(R1UR2)=10/12.因此 P(R1∪R2)≠P(R1)+P(R2). 这是因为R1∩R2={(1,2),(2,1)}≠Φ,即事件R1, R2不是互斥的, 容易得到P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)－P(R1∩R2).
性质6 设A,B是一个随机试验中的两个事件，我 们有P(AUB)=P(A)+P(B)－P(A∩B)
解析 设事件 A=“中奖”,事件 A1 =“第一罐中奖”,事件 A2 =“第二罐中奖”,
那么事件 A1A2 =“两罐都中奖”, A1 A2 =“第一罐中奖,第二罐不中奖”,
A1A2 =“第一罐不中奖,第二罐中奖”,且 A A1A2 A1 A2 A1A2 ,
因为 A1A2, A1 A2, A1A2 两两互斥,所以根据互斥事件的概率加法公式,
这种处理问题的方法称为逆向思维,有时能使问题的解决事半功倍.
练习1.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别
为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；(2)不够7环的概率．
[解析] (1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B， 由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥 事件．“射中10环或7环”的事件为A∪B. 故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49. ∴射中10环或7环的概率为0.49.
我们借助树状图来求相应事件的样本点数,
可以得到,样本空间包含的样本点个数为 n 6 5 30 , 解法二： 上述解法需要分若干种情况计算概率， 注意到事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”。
因为n A1 A2
4 3 12，P A1 A2
12 2 30 5
所以PA 1 P A1 A2
所以P(R1)=P(R2)=6/12, P(R1UR2)=10/12.因此 P(R1∪R2)≠P(R1)+P(R2). 这是因为R1∩R2={(1,2),(2,1)}≠Φ,即事件R1, R2不是互斥的, 容易得到P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)－P(R1∩R2).
性质6 设A,B是一个随机试验中的两个事件，我 们有P(AUB)=P(A)+P(B)－P(A∩B)
解析 设事件 A=“中奖”,事件 A1 =“第一罐中奖”,事件 A2 =“第二罐中奖”,
那么事件 A1A2 =“两罐都中奖”, A1 A2 =“第一罐中奖,第二罐不中奖”,
A1A2 =“第一罐不中奖,第二罐中奖”,且 A A1A2 A1 A2 A1A2 ,
因为 A1A2, A1 A2, A1A2 两两互斥,所以根据互斥事件的概率加法公式,
这种处理问题的方法称为逆向思维,有时能使问题的解决事半功倍.
练习1.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别
为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；(2)不够7环的概率．
[解析] (1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B， 由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥 事件．“射中10环或7环”的事件为A∪B. 故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49. ∴射中10环或7环的概率为0.49.
《概率的基本性质》PPT课件
(2)“取出 1 球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出 1 球为绿球”，即 A∪B ∪C 的对立事件为 D，所以“取出 1 球为红球或黑球或白球”的概率为 P(A∪B∪C) ＝1－P(D)＝1－112＝1112.
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求交、并事件的概率的一般方法 (1)交、并事件也是随机事件，利用交事件、并事件的含义列举对应的样本点，根据 随机事件的概率公式计算； (2)并事件的概率可以根据概率的性质：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)计算，特别 地，若事件 A，B 互斥，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
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[解析] 从五张卡片中任取两张，对应的样本空间 W＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)， (2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，共有 10 个样本点． (1)A＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，共有 6 个样本点，∴P(A)＝160＝35. (2)B＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)}，共有 6 个样本点，∴P(B)＝160＝35. (3)C＝A∩B＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)}，共有 3 个样本点，∴P(C)＝P(A∩B)＝130.
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[解析] 设 4 个白球的编号为 1,2,3,4,2 个红球的编号为 5,6.从袋中的 6 个小球中任取 2 个球，对应的样本空间 W＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)， (2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共有 15 个样本点． (1)A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共有 6 个样本点． ∴取出的两个球全是白球的概率为 P(A)＝165＝25. (2)B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}，共有 8 个样本点． ∴取出的两个球一个是白球，一个是红球的概率为 P(B)＝185.
《概率论》课件
物理学
描述粒子在气体或液体中的运动状态。
金融学
用于股票价格和收益率的分析。
隐马尔科夫模型
定义
隐马尔科夫模型是一种特殊的马尔科夫模型 ，其中观测状态与隐藏状态有关，而隐藏状 态之间相互独立。
应用
语音识别、手写识别、生物信息学等领域。
05
大数定律与中心极限定理
大数定律及其应用
大数定律
在独立重复试验中，当试验次数趋于无穷时，事件发 生的频率趋于该事件发生的概率。
《概率论》ppt课 件
目录
• 概率论简介 • 概率的基本性质 • 随机变量及其分布 • 随机过程与马尔科夫链 • 大数定律与中心极限定理 • 贝叶斯统计推断
01
概率论简介
概率论的定义
概率论
研究随机现象的数学学科，通过数学模型和公式 来描述随机事件、随机变量和随机过程。
随机变量
表示随机现象的数值变量，其取值具有随机性。
THANKS
感谢观看
计算机科学
概率论在计算机科学中用于算法设计和数据 挖掘等领域。
02
概率的基本性质
概率的公理化定义
概率的公理化定义是概率论的基础，它规定了概率的几个基本性质，包括非负性 、规范性、可加性和有限可加性。
非负性指的是任何事件的概率都不小于0；规范性指的是必然事件的概率为1；可 加性指的是两个独立事件的概率等于它们各自概率的和；有限可加性指的是任意 有限个两两独立的事件的概率等于这些事件概率的和。
应用
在统计学中，大数定律用于估计样本的统计量和参数 ，如平均值、方差等。
中心极限定理及其应用
中心极限定理
无论随机变量的分布是什么，当样本量足够大时，样 本均值的分布近似正态分布。
新教材2023年高中数学 第10章 概率 10
典例 2 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女， 乙校1男2女．
(1) 若 从 甲 校 和 乙 校 报 名 的 教 师 中 各 任 选 1 名 ， 写 出 所 有 可 能 的 结 果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出 的2名教师来自同一所学校的概率．
【对点练习】❹ 小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种 题(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不 是同一种题型的概率；
(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不 是同一种题型的概率．
[解析] 将3道选择题依次编号为1,2,3；2道填空题依次编号为4,5． (1)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则样本空间Ω1 ＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)， (3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，共 20个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的．
①若xy≤3，则奖励玩具一个； ②若xy≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动． (1)求小亮获得玩具的概率； (2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
[解析] 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件 空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．
[正解] 因为通过列举法可得甲抽到选择题、乙抽到填空题的可能结 果有 6 个，而甲、乙两人依次抽取 1 道题的可能结果有 20 个，所以甲抽 到选择题、乙抽到填空题的概率为260＝130．
概率论ppt课件
先验概率与后验概率
先验概率是指在事件产生前对某一事件产生的概率的估计， 后验概率是指在事件产生后，根据新的信息对某一事件产生 的概率的重新估计。
贝叶斯分析在实践中的应用
金融风险评估
贝叶斯分析可以用于金融风险评估，通过对历史数据的分析，猜测未来市场的 走势和风险。
医学诊断
在医学诊断中，贝叶斯分析可以用于根据患者的症状和体征，结合疾病的特点 ，对疾病进行诊断和猜测。
遍历性和安稳散布
遍历性的定义
01
如果一个马尔科夫链的任意状态在长期平均下占据相同的时间
比例，则称该马尔科夫链具有遍历性。
安稳散布的定义
02
如果一个马尔科夫链的状态概率散布不随时间变化，则称该散
布为安稳散布。
遍历性和安稳散布的关系
03
一个具有遍历性的马尔科夫链通常会有一个唯独的安稳散布，
该散布描写了马尔科夫链在长期运行下的状态概率散布。
伯努利实验
只有两种可能结果的实验 ，例如抛硬币。
二项散布
在n次伯努利实验中成功的 次数所服从的散布。
泊疏松布
在单位时间内（或单位面 积上）随机事件的次数所 服从的散布。
连续型随机变量
正态散布
一种常见的连续型随机变量，其 概率密度函数呈钟形。
指数散布
描写某随机事件的时间间隔所服从 的散布。
均匀散布
在一定区间内均匀散布的概率密度 函数。
的散布假设检验中。
强大数定律
强大数定律的定义
强大数定律是概率论中的一个强大工具，它表明在独立同散布随 机变量序列中，几乎必定有任意给定的收敛子序列。
强大数定律的证明
可以通过切比雪夫不等式和Borel-Cantelli引理等工具来证明。
先验概率是指在事件产生前对某一事件产生的概率的估计， 后验概率是指在事件产生后，根据新的信息对某一事件产生 的概率的重新估计。
贝叶斯分析在实践中的应用
金融风险评估
贝叶斯分析可以用于金融风险评估，通过对历史数据的分析，猜测未来市场的 走势和风险。
医学诊断
在医学诊断中，贝叶斯分析可以用于根据患者的症状和体征，结合疾病的特点 ，对疾病进行诊断和猜测。
遍历性和安稳散布
遍历性的定义
01
如果一个马尔科夫链的任意状态在长期平均下占据相同的时间
比例，则称该马尔科夫链具有遍历性。
安稳散布的定义
02
如果一个马尔科夫链的状态概率散布不随时间变化，则称该散
布为安稳散布。
遍历性和安稳散布的关系
03
一个具有遍历性的马尔科夫链通常会有一个唯独的安稳散布，
该散布描写了马尔科夫链在长期运行下的状态概率散布。
伯努利实验
只有两种可能结果的实验 ，例如抛硬币。
二项散布
在n次伯努利实验中成功的 次数所服从的散布。
泊疏松布
在单位时间内（或单位面 积上）随机事件的次数所 服从的散布。
连续型随机变量
正态散布
一种常见的连续型随机变量，其 概率密度函数呈钟形。
指数散布
描写某随机事件的时间间隔所服从 的散布。
均匀散布
在一定区间内均匀散布的概率密度 函数。
的散布假设检验中。
强大数定律
强大数定律的定义
强大数定律是概率论中的一个强大工具，它表明在独立同散布随 机变量序列中，几乎必定有任意给定的收敛子序列。
强大数定律的证明
可以通过切比雪夫不等式和Borel-Cantelli引理等工具来证明。
10.1.4概率的基本性质课件(人教版)(1)
性质6 设A，B是一个随机实验中的两个事件，我们有 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
例题讲授
例1、从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一 张，设事件A=“抽到红心”，事件B=“抽到方片”，P(A)= P(B)=1/4，那么
(1)C=“抽到红花色”，求P(C); (2)D=“抽到黑花色”，求P(D)。
课堂小结
概率的6个基本性质。
例题讲授
解：(1)因为C=AUB，且A与B不会同时产生， 所以A与B是互斥事件。 则P(C)=P(A)+P(B)=1/4+1/4=1/2. (2)因为C与D互斥，又因为CUD是必然事件， 所以C与D互为对峙事件. 则P(D)=1-P(C)=1-1/2=1/2.
例题讲授
例2、为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了 有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐 能够中奖的饮料。若从一箱中随机抽取2罐，能中奖的概 率为多少？
所以PA 2 8 8 18 3
30 30 30 30 5
例题讲授
解法二： 上述解法需要分若干种情况计算概率， 注意到事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”。
因为n A1 A2
4 3 12，P A1 A2
12 2 30 5
所以PA 1 P
A1 A2
1 2 3 55
小试牛刀
1、某同学军训时打靶一次击中10环、9环、8环的概率分 别是0.3、0.3、0.3，那么他射击一次不够8环的概率是 _________
解：设击中10环、9环、8环的事件分别是A、B、C， 不够8环的事件为D， 则事件A、B、C两两互斥， 则P(D)=1-P(AUBUC)=1-P(A)-P(B)-P(C)
例题讲授
例1、从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一 张，设事件A=“抽到红心”，事件B=“抽到方片”，P(A)= P(B)=1/4，那么
(1)C=“抽到红花色”，求P(C); (2)D=“抽到黑花色”，求P(D)。
课堂小结
概率的6个基本性质。
例题讲授
解：(1)因为C=AUB，且A与B不会同时产生， 所以A与B是互斥事件。 则P(C)=P(A)+P(B)=1/4+1/4=1/2. (2)因为C与D互斥，又因为CUD是必然事件， 所以C与D互为对峙事件. 则P(D)=1-P(C)=1-1/2=1/2.
例题讲授
例2、为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了 有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐 能够中奖的饮料。若从一箱中随机抽取2罐，能中奖的概 率为多少？
所以PA 2 8 8 18 3
30 30 30 30 5
例题讲授
解法二： 上述解法需要分若干种情况计算概率， 注意到事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”。
因为n A1 A2
4 3 12，P A1 A2
12 2 30 5
所以PA 1 P
A1 A2
1 2 3 55
小试牛刀
1、某同学军训时打靶一次击中10环、9环、8环的概率分 别是0.3、0.3、0.3，那么他射击一次不够8环的概率是 _________
解：设击中10环、9环、8环的事件分别是A、B、C， 不够8环的事件为D， 则事件A、B、C两两互斥， 则P(D)=1-P(AUBUC)=1-P(A)-P(B)-P(C)
九年级概率ppt课件
用树状图或表格表示概率
利用树状图或表格可以清晰地表示
出某个事件发生的所有可能出现的 结果，从而较方便地求出某些事件 发生的概率.
问题4：用频率估计概率
探索之旅
用频率估计概率
利用频率估计概率
当试验的可能结果有很多并且各种结果发生的可能性相等时，我们可以 用 的方式得出概率，当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能 结果发生的可能性不相等时，我们一般还要通过统计频率来估计概率．
问题2 某水果公司以2元/千克的成本新进了10 000千克的柑橘， 如果公司希望这些柑橘能够获得利润5 000元，那么在出售柑橘 （已去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？
销售人员首先从所有的柑橘中随机地抽取若干柑橘，进行了“柑
橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在表中，请你帮忙完成此
我与他的结果不同:
会出现四种可能的结果:牌面数字为(1,1),牌面数字为 (1,2),牌面数字为(2,1),牌面数字为(2,2). 每种结果出现的可能性相同.
问题3：概率的表示
探索之旅
用树状图表示概率
实际上,摸第一张
开始
牌时,可能出现的结
果是:牌面数字为1 第一张牌的牌 或2,而且这两种结 面数字
400
369
0.923
750
662
0.883
1500
1335
0.890
3500
3203
0.915
7000
6335
0.905
9000
8073
0.897
14000
12628
0.902
从上表可以发现,幼树移植成活的频率在 _________左右摆动,并且随着统计数据的增加, 这种规律愈加明显,所以估计幼树移植成活率的概 率为________
概率的计算公式ppt课件-PPT课件
0 . 2 0 . 8 0 . 7 0 . 4 0 .424
三．全概率公式
设 A ， A ， ， A 为一互不相容完备 组， 1 2 n 且 A , i j . 即 A ..... A ; iA j 1 n
则事件 B的概率为：
P ( B ) P ( A ) P ( B A ) P ( A ) P ( B A ) 1 1 2 2 P (A ) P ( B A ) n n
P （ A ）
P（ AB ）
P（B）
P（ B| A）
B 所选人 是 . 求 一 下 班 列 的 事
条件概率计算公式
P ( AB ) 当 P ( A ) 0 ,P ( B A ) P ( A ) P ( AB ) 当 P ( B ) 0 ,P ( A B ) P ( B )
Note
P ( X ) P A B P A P ( B / A ) 1 0 . 8 0 . 3 0 . 2 1 1 1 1
P ( Y ) P ( A A B A ) P ( A ) P ( A B A ) 1 1 1 2 1 1 1 2
0 . 2 P ( A ) P ( B / A ) P ( A / A B ) 1 1 1 2 1 1
Notes 全概率公式用于求某一 件事， 事由两步
问第二步出现某结果的 概率。
而 组成，第二步紧紧依赖 于第一步的结果
例 设某厂用甲、乙、丙三 种机器生产同样零
件，它们的产量各占总 产量的 25 % ， 35 % ， 40 % .
而在各自产品中次品率 分别为 5 % ， 4 % ， 2 %.
求该厂生产的这种零件 的次品率 .
其中 P ( B ) ， P （ A ） P （ B / A . i i)) P ( A / B ) 1 .
10.1.4概率的基本性质 课件【共17张PPT】
1 5
,故甲、乙两人各投篮一次，
恰有一人投进球的概率是 3 1 7 ，故选 D. 20 5 20
4.设两个相互独立事件 A，B 都不发生的概率为 1 ， 9
则 A 与 B 都发生的概率的取值范围是(D )
A.
0,
8 9
C.
2 3
,
8 9
B.
1 9
,
5 9
D.
0,
4 9
设事件 A，B 发生的概率分别为 P(A) x ， P(B) y ，
27 32
,
9
P(B∣A)
P( AB) P( A)
32 27
1 3
，故选
A.
32
2.电路从 A 到 B 上共连接着 6 个灯泡(如图)，每个灯泡断路的概率是 1 ， 3
整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从 A 到 B 连通的概率是( B )
A. 10 27
B. 448 729
C. 100 243
第十章 概率
10.1.4 概率的基本性质
学习目标：
1通过实例，理解概率的性质. 2结合实例，掌握随机事件概率的运算法则. 3能够利用概率的性质求较复杂事件的概率.
学习重点：
概率的运算法则及性质.
.
探究一: 概率的基本性质
性质 1 对任意的事件 A，都有 P(A)≥0. 性质 2 必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0，即 P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质 3 如果事件 A 和事件 B 互斥，那么 P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
3.某校高二(1)班甲、乙两名同学进行投篮比赛,
他们投进球的概率分别是 3 和 4 ,现甲、乙两人各投篮一次, 45
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公式，得到
95 P( A)
S阴影 S正方形
602
(60 20)2 2
602
2
5
9 .所以，两人能够会面的概率为
.
2020/12/11
8
典例精析：
例1甲、乙两名同学假期相约去新华书店购书，两人上了公共汽 车后发现只有最后一排共有4个连续的空位，现记为1,2，3,4位， 约定有序实数对(x，y)表示“甲座第x位，乙座第y位”。
A、①②③
B、①③
C20、20/1②2/11③
D、①②③④
3
要点扫描：
2．事件与事件间的关系
(2)事件间的关系:
① 互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件 ② 对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做对
立事件
③ 包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B
（或事件B包含事件A）
(1)请问事件“甲座第一位”与“乙座第一位”是什么关系？
(2)用有序实数对(x，y)把甲、乙两人就座的所有可能的结果列 举出来；
(3)求事件“甲、乙两人坐在相邻座位上”的概率。
【解析】(1)互斥但非对立事件；
(2)所有可能结果为(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、 (2,3)、(2,4)、 (3,1)、(3,2)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)，共有12种。
(3)由上可知n=12，而nA=6，所以P(A)=1/2。
2020/12/11
9
典例精析：
例2高二某班有2位乒乓球爱好者，他们的水平相当，单局比赛 两人获胜的概率都为0.5，若两人比赛三局，规定胜局多者赢， 求甲获胜的概率。
【解析】记甲获胜为1，甲失败为0。因为在每局比赛中甲获胜 与失败的可能性相等，所以三局比赛的所有可能结果是(111)、 (110)、(101)、(011)、(100)、(010)、(001)、(000)，共8种不 同结果，所以甲获胜的概率为4/8=1/2。
2020/12/11
学考复习 必修3
第十课
概率
1
考点点击：
节次
学习目标
随机事件 的概率
知道概率的意义及频率和概率的区别.
了解两个互斥事件的概率加法公式及应用,理 古典概率 解古典概型及其概率的计算公式、用列举法计
算概率。
几何概率 了解几何概型的意义
2020/12/11
2
要点扫描：
1．频率与概率
频率与概率有本质的区别，频率随着试验次数的改变而改变，概 率是一个常数，是客观存在的，与每次试验无关，它是频率的科 学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近。
（2）古典概型的概率公式： P（A）=事件A所包含的基本事 件的个数÷基本事件的总数
【案例3】已知3件产品中有2件正品和1件次品，从中任意抽取2
件，则“2件产品中恰有1件次品”的概率为___2__________。 3
2020/12/11
6
要点扫描：
4.几何概率
（1）如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个，并且每个 结果发生的可能性相等，那么该试验可以看作是几何概型. （2）几何概型的概率公式 ： P（A）= 构成事件A的区域长度（面积或体积）÷试验的全部 结果所构成的区域长度（面积或体积）
且有P（A+ A ）=P（A）+P（ A ）=1。
② 交事件（积事件） 若某事件的发生是事件A发生和事件B同时发生，则此事件称 为事件A与事件B的交事件。
2020/12/11
5
要点扫描：
3.古典概率
（1）古典概率：如果一次试验中所有可能出现的基本事件只有 有限个，且每个基本事件出现的可能性相等，则具有这两个特 点的概率模型称为古典概型. 古典概型的两大特点：①试验中所 有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可 能性相等；
2020/12/11
10
PPT教学课件
ng
11
【案例4】两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20 分钟，过时离去. 求两人能够会面的概率.
2020/12/11
7
典例精析：
【解析】：设两人到达的时间分别为 7 点到 8 点之间的 x 分钟、y 分钟.
用 (x, y) 表示每次试验的结果，则所有可能结果为
{(x, y) | 0 x 60,0 y 60}；
1
【案例2】先后抛掷两颗骰子，两次都出现1点的概率是___36___；
至少有一次不出现1点的概率是______3_5 _______。 36
2020/12/11
4
A要点扫描：
(3)事件间的运算 ① 并事件（和事件）
若某事件的发生是事件A发生或事件B发生，则此事件称为 事件A与事件B的并事件。
注：当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式： P(A+B)=P(A)+P(B)（A、B互斥）；
2．事件与事件间的关系
(1)随机事件的概念：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。
① 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； ② 必然事件：在一定条件下必然要发生的事件； ③ 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。
【案例1】下列事件：①某射手射击一次中靶；②某一自动装置无 故障运行；③掷一枚均匀硬币一次出现正面朝上；④常温下，焊 锡熔化。其中是随机事件的是( A )
记两人能够会面为事件 A，则事件 A 的可
能结果为
A {(x, y) || y x | 20,0 x 60,0 y 60}
如图所示，试验全部结果构成区域Ω为正
方形 ABCD. 而事件 A 所构成区域是正方形内
两条直线 y x 20 ， x y 20 所夹中间的阴影部分. 根据几何概型
95 P( A)
S阴影 S正方形
602
(60 20)2 2
602
2
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9 .所以，两人能够会面的概率为
.
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典例精析：
例1甲、乙两名同学假期相约去新华书店购书，两人上了公共汽 车后发现只有最后一排共有4个连续的空位，现记为1,2，3,4位， 约定有序实数对(x，y)表示“甲座第x位，乙座第y位”。
A、①②③
B、①③
C20、20/1②2/11③
D、①②③④
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要点扫描：
2．事件与事件间的关系
(2)事件间的关系:
① 互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件 ② 对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做对
立事件
③ 包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B
（或事件B包含事件A）
(1)请问事件“甲座第一位”与“乙座第一位”是什么关系？
(2)用有序实数对(x，y)把甲、乙两人就座的所有可能的结果列 举出来；
(3)求事件“甲、乙两人坐在相邻座位上”的概率。
【解析】(1)互斥但非对立事件；
(2)所有可能结果为(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、 (2,3)、(2,4)、 (3,1)、(3,2)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)，共有12种。
(3)由上可知n=12，而nA=6，所以P(A)=1/2。
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典例精析：
例2高二某班有2位乒乓球爱好者，他们的水平相当，单局比赛 两人获胜的概率都为0.5，若两人比赛三局，规定胜局多者赢， 求甲获胜的概率。
【解析】记甲获胜为1，甲失败为0。因为在每局比赛中甲获胜 与失败的可能性相等，所以三局比赛的所有可能结果是(111)、 (110)、(101)、(011)、(100)、(010)、(001)、(000)，共8种不 同结果，所以甲获胜的概率为4/8=1/2。
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第十课
概率
1
考点点击：
节次
学习目标
随机事件 的概率
知道概率的意义及频率和概率的区别.
了解两个互斥事件的概率加法公式及应用,理 古典概率 解古典概型及其概率的计算公式、用列举法计
算概率。
几何概率 了解几何概型的意义
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要点扫描：
1．频率与概率
频率与概率有本质的区别，频率随着试验次数的改变而改变，概 率是一个常数，是客观存在的，与每次试验无关，它是频率的科 学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近。
（2）古典概型的概率公式： P（A）=事件A所包含的基本事 件的个数÷基本事件的总数
【案例3】已知3件产品中有2件正品和1件次品，从中任意抽取2
件，则“2件产品中恰有1件次品”的概率为___2__________。 3
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要点扫描：
4.几何概率
（1）如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个，并且每个 结果发生的可能性相等，那么该试验可以看作是几何概型. （2）几何概型的概率公式 ： P（A）= 构成事件A的区域长度（面积或体积）÷试验的全部 结果所构成的区域长度（面积或体积）
且有P（A+ A ）=P（A）+P（ A ）=1。
② 交事件（积事件） 若某事件的发生是事件A发生和事件B同时发生，则此事件称 为事件A与事件B的交事件。
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5
要点扫描：
3.古典概率
（1）古典概率：如果一次试验中所有可能出现的基本事件只有 有限个，且每个基本事件出现的可能性相等，则具有这两个特 点的概率模型称为古典概型. 古典概型的两大特点：①试验中所 有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可 能性相等；
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PPT教学课件
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【案例4】两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20 分钟，过时离去. 求两人能够会面的概率.
2020/12/11
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典例精析：
【解析】：设两人到达的时间分别为 7 点到 8 点之间的 x 分钟、y 分钟.
用 (x, y) 表示每次试验的结果，则所有可能结果为
{(x, y) | 0 x 60,0 y 60}；
1
【案例2】先后抛掷两颗骰子，两次都出现1点的概率是___36___；
至少有一次不出现1点的概率是______3_5 _______。 36
2020/12/11
4
A要点扫描：
(3)事件间的运算 ① 并事件（和事件）
若某事件的发生是事件A发生或事件B发生，则此事件称为 事件A与事件B的并事件。
注：当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式： P(A+B)=P(A)+P(B)（A、B互斥）；
2．事件与事件间的关系
(1)随机事件的概念：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。
① 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； ② 必然事件：在一定条件下必然要发生的事件； ③ 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。
【案例1】下列事件：①某射手射击一次中靶；②某一自动装置无 故障运行；③掷一枚均匀硬币一次出现正面朝上；④常温下，焊 锡熔化。其中是随机事件的是( A )
记两人能够会面为事件 A，则事件 A 的可
能结果为
A {(x, y) || y x | 20,0 x 60,0 y 60}
如图所示，试验全部结果构成区域Ω为正
方形 ABCD. 而事件 A 所构成区域是正方形内
两条直线 y x 20 ， x y 20 所夹中间的阴影部分. 根据几何概型