离散线性时不变系统分析

实验六 离散线性时不变系统分析

一、 实验目的

1. 掌握离散LSI 系统的单位序列响应、单位阶跃响应和任意激励下响应的MATLAB 求解方法。

2. 掌握离散LSI 系统的频域分析方法；

3. 掌握离散LSI 系统的复频域分析方法；

4. 掌握离散LSI 系统的零极点分布与系统特性的关系。

二、实验原理及方法

1.

离散LSI 系统的时域分析

描述一个N 阶线性时不变离散时间系统的数学模型是线性常系统差分方程，N 阶LSI 离散系统的差分方程一般形式为

)

()(0

i n x b k n y a M

i i N k k -=-∑∑== （6.1） 也可用系统函数来表示

12001212120

()

()()()

()1M

i

M i

i M N

N

k

N k k b z

b b z b z b z Y z b z H z X z a z a z a z a z a z

----=----=++++==

==

++++∑∑ （6.2）

系统函数()H z 反映了系统响应和激励间的关系。一旦上式中k a ，i b 的数据确定了，系统的性质也就确定了。特别注意0a 必须进行归一化处理，即01a =。

对于复杂信号激励下的线性系统，可以将激励信号在时域中分解为单位序列或单位阶跃

序列的线性叠加，把这些单元激励信号分别加于系统求其响应，然后把这些响应叠加，

即可得到复杂信号作用于系统的零状态响应。因此，求解系统的单位序列响应和单位阶跃响应尤为重要。由图6-1可以看出一个离散LSI 系统响应与激励的关系。

()()()

z X z H z =()()*()

n x n h n

图6-1 离散LSI 系统响应与激励的关系

(1) 单位序列响应（单位响应）

单位响应()h n 是指离散LSI 系统在单位序列()n δ激励下的零状态响应，因此()h n 满足线性常系数差分方程(6.1)及零初始状态，即

()()

N M

k

i

k i a h n k b n i δ==-=-∑∑， (1)(2)0h h -=-== (6.3)

按照定义，它也可表示为

()()()h n h n n δ=* (6.4) 对于离散LSI 系统，若其输入信号为()x n ，单位响应为()h n ，则其零状态响应()

zs

y n

为

()()*()zs y n x n h n = (6.5)

可见，()h n 能够刻画和表征系统的固有特性，与何种激励无关。一旦知道了系统的单位响应()h n ，就可求得系统对任何输入信号()x n 所产生的零状态响应()zs

y n 。

MATLAB 提供了专门用于求连续系统冲激响应的函数impz()，其调用格式有 [h,n]=impz(b,a)

求解离散系统的单位响应，其中012[,,,,]M b b b b b =，12[1,,,,]N

a a a a =，

[0,1,2,]n '=；

[h,n]=impz(b,a,N)

求解离散系统的单位响应，采样点数由N 确定，[0,1,2,

,N-1]n '=；

impz(b,a) ：在当前窗口，用stem(n,h)绘出图形。 （2）单位阶跃响应

单位阶跃响应()s n 是指离散LTI 系统在单位阶跃序列()u n 激励下的零状态响应，它可以表示为

()()()()n

m s n u n h n h m =-∞

=*=

∑ (6.6)

上式表明，离散LSI 系统的单位阶跃响应是单位响应的累加和，系统的单位阶跃响应和系统的单位响应之间有着确定的关系，因此，单位阶跃响应也能完全刻画和表征一个LSI 系统。

MATLAB 提供了专门用于求离散系统单位阶跃响应的函数stepz( )，其调用格式有 [s,n]=stepz(b,a) ：求解离散系统的单位阶跃响应，其中0

1

2

[,,,,]M

b b b b b =，

12[1,,,

,]N a a a a =，[0,1,2,]n '=；

[s,n]=stepz(b,a,N) ：求解离散系统的单位阶跃响应，采样点数由N 确定，[0,1,2,,N-1]n '=；

stepz(b,a) ：在当前窗口，用stem(n,s)绘出图形。 (3) 任意激励下的零状态响应

已经知道，离散LSI 系统可用常系数线性差分方程(6.1)式来描述，Matlab 提供的函数dlsim( )能对上述差分方程描述的离散LSI 系统的响应进行仿真，该函数不仅能绘制指定时间范围内的系统响应波形图，而且还能求出系统响应的数值解。其调用格式有

dlsim(b,a, x) ：求解输入序列为x 的零状态响应

需要特别强调的是，Matlab 总是把由分子和分母多项式表示的任何系统都当作是因果系统。所以，利用impz (b,a)，stepz(b,a)，d lsim(b,a,x)函数求得的响应总是因果信号。

同时，卷积和也是LSI 系统求解零状态响应的重要工具之一。假设系统的输入信号为

()x n ，单位响应为()h n ，则系统的零状态响应()zs y n 可由（6.5）式求解。Matlab 提供了

专门用于求离散系统卷积和的函数conv( )，其调用格式有

y=conv(x,h) ：求解序列x ，h 的卷积和，若序列x 的长度为n1，序列h 的长度为n2，卷积和y 的长度为n1+n2-1。这一点需要特别注意，否则，作图时容易造成横纵坐标长度不匹配。

（4）带初始状态的任意激励下的全响应

任意激励下的离散LSI 系统的全响应为零输入响应和零状态响应之和，表示为

()()()zi zs y n y n y n =+ （6.7）