2020北京中考数学一模分类汇编24题圆综合
2024年北京市九年级中考一模数学汇编：圆(含解析)
2024北京初三一模数学汇编圆章节综合一、单选题1．（2024北京东城初三一模）如图，是的弦，是的直径，于点E ．在下列结论中，不一定成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2024北京东城初三一模）如图，作线段，在线段的延长线上作点，使得，取线段的中点，以为圆心，线段的长为半径作，分别过点作直径的垂线，交于点，连接，过点作于点．设，给出下面4个结论：①；；；④；上述结论中，正确结论的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题3．（2024北京门头沟初三一模）如图所示，为了验证某个机械零件的截面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作可以得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是 ．4．（2024北京大兴初三一模）如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为 ．AB O CD O CD AB ⊥AE BE =90CBD ∠=︒2COB D ∠=∠COB C∠=∠AC a =AC B ()CB b a b =<AB O O OA O C O 、AB O D F 、OD AF CF 、、C CE OD ⊥E CF c =2a b c +<c <)a b <+2ab ac bc <+AB O C D O AC BC =D ∠︒5．（2024北京通州初三一模）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法，刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．例如，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计的面积，的面积近似为的面积，可得的估计值为 ．6．（2024北京平谷初三一模）如图，内接于，为的直径， D 为上一点，连接．若，则的度数为 ．7．（2024北京西城初三一模）如图， 在的内接四边形中， 点A 是的中点，连接， 若，则 ．8．（2024北京石景山初三一模）如图，是的直径，是延长线上一点， 与相切于点．若，则 ．πO O 1612S =⨯⨯正六边形O πO πABC O BC O O AD CD 、20D ∠=︒ACB ∠O ABCD BDAC 130DAB ∠=︒ACB =∠︒AB O P AB PC O C 40P ∠=︒A ∠=︒9．（2024北京顺义初三一模）如图，是的外接圆，，，平分，交于点D ，则的度数为 ．10．（2024北京朝阳初三一模）如图，是的外接圆，于点，交于点，若，，则的长为 ．11．（2024北京燕山初三一模）如图，是的直径，点在上，过点作的切线与直线交于点．若，则 °．三、解答题12．（2024北京朝阳初三一模）如图，在矩形中，，，点A 在直线l 上，与直线l 相交所得的锐角为．点F 在直线l 上，，⊥直线l ，垂足为点F 且，以为直径，在的左侧作半圆O ，点M 是半圆O 上任一点．发现：的最小值为 ，的最大值为 ，与直线l 的位置关系是 ．思考：矩形保持不动，半圆O 沿直线l 向左平移，当点E 落在边上时，重叠部分面积为多少？O ABC AB AC =36BAC ∠=︒BD ABC ∠O DAB ∠O Rt ABC △OE AB ⊥D O E 8AB =2DE =BC AB O C O B O AC D 50D ∠=︒BOC ∠=ABCD 6AB =8BC =AD 60︒8AF =EF 6EF =EF EF AM AM OB ABCD AD13．（2024北京通州初三一模）如图，为的直径，过点A 作的切线，C 是半圆上一点（不与点A 、B 重合），连结，过点C 作于点E ，连接并延长交于点F ．(1)求证：；(2)若的半径为5，，求的长．14．（2024北京东城初三一模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点，，且，则称线段是的“倍弦线”．(1)如图，点的横、纵坐标都是整数，在线段，，中，的“倍弦线”是_____；(2)的“倍弦线”与直线交于点，求点纵坐标的取值范围；(3)若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出的取值范围．AB O O AM AB AC CD AB ⊥BD AM ∠=∠CAB AFB O 8AC =DF xOy O PQ PQ O M N ==PM MN NQ PQ O A B C D ，，，AB CB CD O O PQ 2x =E E E y O PQ (1,0)y x b =+PQ b15．（2024北京西城初三一模）在平面直角坐标系 中，已知的半径为．对于上的点 和平面内的直线 给出如下定义：点关于直线的对称点记为，若射线 上的点满足 则称点为点关于直线的“衍生点”．(1)当时，已知上两点 在点， 中，点关于直线的“衍生点”是 ，点关于直线的“衍生点”是 ；(2)为 上任意一点， 直线 与轴， 轴的交点分别为点 ，． 若线段上存在点，，使得点是点关于直线的“衍生点”，点不是点关于直线的“衍生点”，直接写出的取值范围；(3)当时，若过原点的直线上存在线段 ，对于线段 上任意一点，都存在上的点和直线，使得点是点关于直线的“衍生点”． 将线段长度的最大值记为，对于所有的直线，直接写出的最小值．16．（2024北京房山初三一模）在平面直角坐标系中，将中心为的等边三角形记作等边三角形，对于等边三角形和点（不与重合）给出如下定义：若等边三角形的边上存在点N ，使得直线与以为半径的⊙相切于点，则称点为等边三角形的“相关切点”．xOy O 1O P :l y ax =P l P 'OP Q OQ PP ='，Q P l 0a =O121.2P P ⎛⎛ ⎝⎝，()112Q，232Q ⎫⎪⎪⎭，()(341,1Q Q --，1P l 2P l P O y x m =+()0m ≠x y A B AB S T S P l T P l m 11a -≤≤s MN MN R O P l R P l MN ()D s s ()D s xOy M M M P O M OP MN M P P M(1)如图，等边三角形的顶点分别为点，，．①在点，，中，等边三角形的“相关切点”是 ；②若直线上存在等边三角形的“相关切点”，求的取值范围；(2)已知点，等边三角形的边长为的两个“相关切点”，，使得△为等边三角形，直接写出的取值范围．17．（2024北京顺义初三一模）在平面直角坐标系中，对于图形M 和图形N 给出如下定义：如果图形M 上存在点P 、轴上存在点T ，使得点P 以点T 为旋转中心，逆时针旋转得到的点Q 在图形N 上，那么称图形N 是形M 的“关联图形”．(1)如图，点，，，．①在点B ，C ，D 中，点A 的“关联图形”是_____；②若不是点A 的“关联图形”，求的半径的取值范围；(2)已知点，，，的半径为1，以线段为对角线的正方形为，若是正方形的“关联图形”，直接写出的最小值和最大值．18．（2024北京门头沟初三一模）在平面直角坐标系中，的半径为2，点P 、Q 是平面内的点，如果点P 关于点Q 的中心对称点在上，我们称圆上的点为点P 关于点Q 的“等距点”．M ()0,0O (A (3,B 132P ⎛ ⎝23,2P ⎛ ⎝()32,2P M y x b =+M b (2)M m m -，M M E F OEF m xOy y 90︒()3,2A -()0,1B -()3,2C ()1,6D -O O r (),0O m '()3,0E m -()2,1G m -O ' EG EFGH O ' EFGH m xOy O O(1)已知如图1点．①如图1，在点 中，上存在点P 关于点Q 的“等距点”的是________；②如图2，点 ，上存在点P 关于点Q 的“等距点”，则m 的取值范围是________；(2)如图3，已知点，点P 在的图象上，若上存在点P 关于点Q 的“等距点”，求b 的取值范围．40（，）P ()()()12330,2,1,1,1Q Q Q -，O (),Q m n O ()1,1Q y x b =-+O参考答案1．D【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．根据垂径定理、圆周角定理判断求解即可．【详解】解：是的直径，，，，，，故A 、B 、C 不符合题意，D 符合题意；故选：D ．2．C【分析】本题考查了圆的基本性质以及勾股定理内容以及完全平方公式的应用，先找出半径，结合斜边大于直角边，得知①是正确的，结合勾股定理以及完全平方公式的变形运算，得证③是错误的；同理得证②是正确的．对④运用反证法，得出，与①的结论相矛盾，即可作答．【详解】解：∵∴∵∴（斜边）大于即故①是正确的；∴在中，即∴∵故③是错误的；∵∴∴CD OCD AB ⊥AE BE ∴=90CBD ∠=︒2COB D ∠=∠CBO C ∠=∠2a b c +<2a b c +>2a b c +<()A b C a CB b a ==>，()1122OF AB a b ==+OF AB⊥CF OF2a bc +>()111222OC AO AC a b a b a =-=+-=-Rt COF △222OC OF FC +=22211222a b b a c +⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222a b c +==2a b c +<)a b =+b a>()2b a ->222b a ab +>，故②是正确的；假设是正确的则∴∵，且∴∴即与①的结论相矛盾故④是错误的综上：正确结论的个数是个故选：C3．的圆周角所对的弦是直径【分析】本题考查圆周角定理，掌握“的圆周角所对的弦是直径”是正确解答的关键．根据圆周角定理进行判断即可．【详解】解：根据“的圆周角所对的弦是直径”即可得出答案，故答案为：的圆周角所对的弦是直径．4．45【分析】本题主要考查了圆周角定理，先由直径所对的圆周角为，可得，然后由得：，然后根据同弧所对的圆周角相等，即可求出的度数．【详解】解：∵是的直径，∴，∵，∴，∴．故答案为：455．3【分析】过作于，求得的度数，根据直角三角形的性质得到，求出三角形的面积，于是得到正十二边形的面积，根据圆的面积公式即可得到结论．本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．【详解】如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，设的半径为1，过作于，>=>c 2ab ac bc <+0ac ab bc ab<-+-()()0a c b b c a <-+-00c b c a -<->，a b<0c b c a ->->b c c a->-2a b c +>2a b c +<290︒90︒90︒90︒90︒90ACB ∠=︒AC BC =45CAB CBA ∠=∠=︒D ∠AB O 90ACB ∠=︒AC BC =45CAB CBA ∠=∠=︒45D CAB ∠=∠=︒A AM OB ⊥M AOB ∠AM AB O O A AM OB ⊥M在正十二边形中，，∴正十二边形的面积为,，,的近似值为3，故答案为：3．6．/70度【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等是解题的关键．由为的直径，可得，由，可得，根据，计算求解即可．【详解】解：∵为的直径，∴，∵，∴，∴，故答案为：．7．25【分析】本题考查了圆的内接四边形性质，圆周角定理等知识，利用圆的内接四边形的性质求出的性质，然后利用圆周角定理求解即可．【详解】解：∵的内接四边形中，，∴，∵点A 是的中点，3601230AOB ∠=︒÷=︒1122AM OA ∴==111112224AOB S OB AM ∴=⋅=⨯⨯= 11234⨯=231π∴=⨯3π∴=π∴70︒BC O 90BAC ∠=︒ AC AC =20ABC D ∠=∠=︒180ACB BAC ABC ∠=︒-∠-∠BC O 90BAC ∠=︒ AC AC =20ABC D ∠=∠=︒18070ACB BAC ABC ∠=︒-∠-∠=︒70︒BCD ∠O ABCD 130DAB ∠=︒18500DA BCD B ∠︒∠==︒- BD∴，∴，故答案为：25．8．【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，切线的性质，如图，连接，求解，再根据圆周角定理即可得答案．【详解】解：如图，连接，∵ 与相切于点．，∴，，∴，故答案为：9．/72度【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质及圆周角定理是解题的关键．根据等边对等角和三角形内角和定理可求得，再由角平分线及圆周角定理确定，即可求解．【详解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∴，∴，故答案为：．10．【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理和中位线定理，由垂径定理得，，则可得是的中位线，设半径为，由勾股定理得，求出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵，AD AB =1252ACD ACB BCD ∠=∠=∠=︒25OC 904050COP ∠=︒-︒=︒OC PC O C 40P ∠=︒90OCP ∠=︒904050COP ∠=︒-︒=︒1252A COP ∠=∠=︒2572︒72ABC C ∠=∠=︒36CBD CAD ∠=∠=︒AB AC =36BAC ∠=︒180180367222BAC ABC C ︒-∠︒-︒∠=∠===︒BD ABC ∠36CBD ∠=︒36CBD CAD ∠=∠=︒72DAB DAC CAB ∠=∠+∠=︒72︒6142AD BD AB ===90ADO BDO ∠=∠=︒OD ABC r 222OA OD AD =+=5r OE AB ⊥∴，，∵，∴是的中位线，∴，即，设半径为，则，在中，由勾股定理得：，∴，解得，∴，∴．11．【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．先根据圆的切线垂直于经过切点的半径得到，根据直角三角形两个锐角互余计算出，然后根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵是的直径，为的切线，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：．12；；平行（或）；思考：【分析】发现：如图1，连接，作于，由题意知，，，当三点共线时，最小，为；当重合时，最大，由勾股定理求解即可；由题意知，则，进而求解作答即可； 思考：如图2，连接，作于，则，，由，可得，，根据，计算求解即可．【详解】发现：解：如图1，连接，作于，142AD BD AB ===90ADO BDO ∠=∠=︒OA OC =OD ABC 12OD BC =2BC OD =r 2OD OE DE r =-=-Rt AOD 222OA OD AD =+()22224r r =-+=5r 23OD r =-=26BC OD ==8090ABD Ð=°40A ∠=︒AB O BD O AB BD ⊥90ABD Ð=°50D ∠=︒40A ∠=︒280BOC A ∠=∠=︒80310 3πAO AE 、BP AF ⊥P 3OM =60DAF ∠=︒A M O 、、AM AO OM -M E 、AM 30BAP ∠=︒132BP AB OF ===OG OH AD ⊥H 30AEF ∠=︒1322OH OE ==OE OG =120EOG ∠=︒2GE EH =EOG EOG S S S =- 重叠扇形AO AE 、BP AF ⊥P由题意知，，，当三点共线时，最小，由勾股定理得，∴；当重合时，最大，由勾股定理得，，∴的最大值为；∵矩形，∴，∴，∴，又∵，∴，故答案为：平行（或）；；；平行（或）；思考：解：如图2，连接，作于，∵，∴，∴，∵，∴，∴3OM =60DAF ∠=︒A M O 、、AM AO ==AM 3-M E 、AM 10AE ==AM 10ABCD 90BAD ∠=︒30BAP ∠=︒132BP AB OF ===BP OF ∥OB l ∥ 310 OG OH AD ⊥H 60DAF EF AF ∠=︒⊥，30AEF ∠=︒1322OH OE ==OE OG =120EOG ∠=︒2GE EH ===EOG EOG S S S =- 重叠扇形212031336022π⋅=-⨯3π=∴重叠部分面积为【点睛】本题考查了勾股定理，含的直角三角形，平行线的判定，等腰三角形的判定与性质，扇形面积等知识．熟练掌握勾股定理，含的直角三角形，平行线的判定，等腰三角形的判定与性质，扇形面积是解题的关键．13．(1)证明见解析(2)【分析】本题考查切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理，掌握切线的性质和判断方法，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理是正确解答的关键．（1）根据切线的性质，平行线的判定和性质以及圆周角定理即可得出结论；（2）根据相似三角形的判定和性质以及垂径定理进行计算即可．【详解】（1）证明：是的切线，，于点，，，，，．（2）解：连结，于点，是的直径，，是的垂直平分线，，的半径为5，，，是的直径，，3π30︒30︒323DF =AM O 90BAM ∴∠=o CD AB ⊥ E 90CEA ∴∠= CD AF ∴∥∴∠=∠CDB AFB CDB CAB ∠=∠ ∴∠=∠CAB AFB AD CD AB ⊥ E AB O CE DE ∴=AB ∴CD 8AC AD ∴==O 10AB ∴=6BD =∴AB O 90BDA =∴∠，，，，．14．(1)、；(2)；(3)．【分析】本题是新定义阅读题，考查了理解能力，与圆的位置关系，勾股定理等知识，解决问题的关键是几何直观能力，数形结合．（1）根据定义验证可得结果；（2）根据最大值为6，所以以为圆心，3为半径画圆，根据勾股定理求得，进而求得结果；（3）以为圆心，1为半径作圆，直线与圆相切，此时，以为圆心，2为半径作圆，直线与圆相切，求得，进而求得结果．【详解】（1）解：如图1，，，，是的“倍弦线”，与不相交，，和不是的“倍弦线”，故答案为：、；（2）如图2，BAD AFB ∴∠=∠tan tan ∴∠=∠BAD AFB ∴=AD BD DF AD2AD DF BD ∴=⋅323∴=DF AB CD ≤≤E y 21b -≤≤+PQ O EF (2,0)y x b =+2b =-(1,0)-y x b =+I b 2AF FH BH === CG GF DF ===AB ∴CD O BC O 23AI AE DI BH ==BC ∴AD O AB CD以为圆心，3 为半径画圆交直线于和，，；（3）如图3，以为圆心，2为半径画圆，直线与相切，此时，以为圆心，1为半径作，直线与线切，此时15．(1)(2)(3)【分析】（1）先得出直线为，根据轴对称得出进而可得，勾股定理求得点与原点的距离，进而根据新定义即可求解；（2）依题意，当线段上存在一个点到原点的距离为时，则符合题意，进而分画出图形，即可求解；（3）根据题意，画出图形，就点的位置，分类讨论，根据新定义即可求解．【详解】（1）解：∵当时，直线为，即轴，∵∴∴∵， O 2x =E E'EFE y (1,0)O '-O '1y x b =+ 11b =(2,0)O ''O '' 2y x b =+O '' 22b =-21b ∴-≤≤+23Q Q ，2m ≤≤2m -≤≤-2l 0y =121,.2P P ''⎛⎛ ⎝⎝，11PP '=22P P '=1234,,,Q Q Q Q 02PP '≤≤AB 20,0m m ><P 0a =l 0y =x 121.2P P ⎛⎛ ⎝⎝，121,.2P P ''⎛⎛ ⎝⎝，11PP '=22P P '=()112Q ，232Q ⎫⎪⎪⎭，()(341,1Q Q --，∴，，∴点关于直线的“衍生点”是，点关于直线的“衍生点”是，故答案为：．（2）解：依题意，，由（2）可得当点是点关于直线的“衍生点”则，∵为 上任意一点， 直线 与轴， 轴的交点分别为点 ，．∴，∴当线段上存在一个点到原点的距离为时，当时，如图所示，当时，即与点重合时，存在点是点关于直线的“衍生点”，则则（除端点外）上所有的点到的距离都，∵对称轴为直线，不能为轴，则和不是点关于直线的“衍生点”，则符合题意，∵线段上存在点，，使得点是点关于直线的“衍生点”，点不是点关于直线的“衍生点”，∴，当，此时最短，则当时，，此时只有1个点到的距离为，其他的点都不是点关于直线的“衍生点”，∴根据对称性，当时，可得；综上所述，（3）∵时∴随着的变化，点关于直线的对称点始终在圆上，如图所示，依题意，直线是经过圆心，且经过的直线，经过圆心，1OQ =2OQ ==3OQ ==42OQ ==1P l 2Q 2P l 3Q 23Q Q ，02PP '≤≤S P l 2OS ≤P O y x m =+()0m ≠x y A B OA OB m ==AB 20m >2OS =S B S P l 2m =AB O 2<y ax =y ()0,2()2,0-P l 2m =AB S T S P l T P l m 2≥OS y x m '⊥=+OS '2OS '=m =O 2P l 2m ≤≤0m <2m -≤≤-2m ≤≤2m -≤≤-11a -≤≤a P l P 'l AB s①当点在（包括边界）上时，当重合时，当为直径时，则，根据新定义可得，∴，②当点在的内部的圆弧上时（不包括边界），当为直径时，则，则对于线段 上任意一点，都存在上的点和直线，使得点是点关于直线的“衍生点”．当在轴上时，两条边界线的正中间，则P AB ,P P 'PP '2OQ PP '==02PP '≤≤()2D s =P AD PP '2OQ PP '==MN R O P l R P l P y PP '即综上所述，【点睛】本题考查了一次函数，圆的定义，轴对称的性质，勾股定理求线段长，理解新定义，熟练掌握几何变换是解题的关键．16．(1)①，；②；(2)或．【分析】（）根据新定义即可求解；找到关键点先求出此时的值，然后即可求解；（）由可知，点在直线上，再根据新定义分四种情况画出图即可；本题考查了圆的切线，勾股定理和等边三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）如图，根据题意，直线与以为半径的相切，由图可知，等边三角形的“相关切点”是，故答案为：；根据题意，满足题意的点是以，半径为的弧上，如图，2PP OQ '≤=≤()2D s =()2D s =1P 2P 312b -≤21m ≤≤10m ≤1①②b 2().2M m m -2y x =-①OP MN M M 12P P 、12P P 、②P ()1,01若直线上存在等边三角形的“相关切点”，如图，由，是等腰直角三角形，，∴，∴，即，∵，∴，∴此时，∴的取值范围为；（2）如图，此时中，，，y x b =+M HIK OSK 1HI=KI =1OK OS ==b =3,2P ⎛ ⎝PL =32KL =OG =b =b b 312b -≤≤OEM △30EOM ∠=︒90OEM ∠=︒(),2M m m -此时，，解得：，如图，此时中，，，此时，，解得：（正值舍去），如图，4OM =()22224m m +-=1m =+OEM △30EOM∠=︒90OEM ∠=︒(),2M m m -4OM =()22224m m +-=1m =此时，，解得：或（舍去），如图，此时，，解得：（舍去）或，综上可知：．17．(1)①②；(2)．【分析】（1）①根据“关联图形”的定义判断即可；②根据关联图形的定义，判断出点旋转后的轨迹， 从而得到的半径范围（2）根据关联图形的定义，求出点旋转后的轨迹，当与该轨迹有唯一交点时，取最小值；根据关联图形的定义，求出点旋转后的轨迹，当与该轨迹有唯一交点时，取最大值；2OM =()22222m m +-=2m =0m =2OM =()22222m m +-=2m =0m =21m ≤≤10m ≤B0r <<m m A O G O ' m E O ' m【详解】（1）①点绕逆时针旋转得到点，故答案为：；②设点，那么点绕点逆时针旋转得到点,作轴交轴于点，作轴交轴于点，如图所示由旋转可知，，，，坐标为在上运动设与轴的交点为，与轴交点为当，，当时，，，以点为圆心，作圆，当与有为唯一交点时，半径为斜边上的高当不是点的关联图形时，故答案为：．（2）设点绕点逆时针旋转对应点为点，过点作轴交轴于点，连接A (0,2)90B B (0,)T a A T 90 A 'AJ y ⊥y J A K y '⊥y K AT A T '=90ATA ∠='︒90AJT ∠=︒90TAJ ATJ ∴∠+∠=︒90ATJ A TK =︒'+ TAJ A TK'∴∠=ATJ A KT'∴ ≌(3,2)A - 2TJ a KA '∴=-=3AJ TK==3OK TO TK a ∴=-=-∴A '(2,3)a a --A '∴1y x =-1y x =-x M y N0x =1y =-0y =1x =(1,0)M ∴(0,1)N-MN ∴==O O 1y x =-OMNOM ON r MN ⋅∴===∴OA 0r <0r <<(3,0)E m -(0,)T a 90︒E 'E 'E S y '⊥y S，，如图所示由旋转可知，，，，点坐标为所以在上运动，与轴的夹角为设在轴的交点为，那么点坐标为当与有唯一交点时，最大与相切为等腰直角三角形且故；TE TE 'AE =TE T E '=90ETE ∠='︒90ETO E TO '∴∠+∠=︒90ETO TEO ∠+∠=︒0E T TEO'∴∠=∠90EOT E ST '∠=∠=︒ETO TE S'∴ ≌3EO TS m ∴==-TO E S a'==(3)3TS TO SO a m a m∴=-=--=+-E '∴(,3)a a m +-E '3y x m =+-1k = 3y x m ∴=+-x 45︒3y x m =+-x Q Q (3,0)m -3y x m =+-O ' R m 3y x m =+- O ' 90O RQ ∴='∠︒O RQ '∴ 1O R '=(3)23O Q m m m '∴=--=-=m ∴=m设点绕点逆时针旋转对应点为点，过点作轴交轴于点，过点作轴交连接，，如图所示同理可证，，的坐标是在上运动设与轴的交点为，当与该直线有唯一交点时，取最小值．同理可证为等腰直角三角形，且故【点睛】本题考查了线段的旋转，三角形全等的判定与性质，圆与直线的关系判断，圆的切线的性质与计算，一次函数， “关联图形”等知识点，熟练掌握以上知识点并根据画出正确的图形是解题的关键．18．(1)①；②(2)【分析】（1）①求出点P关于的对称点，利用点到圆心的距离与半径比较，即可判断“等距点”；②在上任取一点点P 关于点Q 的“等距点”M ，连接，取的中点即为点Q ，连接，取其中点，连接，根据中位线定理则判断出点Q 的在以为圆心，半径为1的上，即可求解；（2）过点O 作点Q 的对称点，则点为，则上所有的点关于点Q 的对称点都在以为圆心，半径为2的上，那么直线与有公共点即可，找到两个临界状态，即相切位置，分别求b 即可．(2,1)G m -(0,)T a 90 G 'G 'G P y '⊥y P G GQ y ⊥TG TG 'GTQ G TP ' ≌1TQ PG a '∴==-2GQ TP m==-(2)2PO TO TP a m a m ∴=-=--=+-G '∴(1,2)a a m -+-G '∴1y x m =+-1y x m =+-x (1,0)L m -O ' K m O KL ' O L K ''==112O L m m m '∴=--=-=m ∴=m 12,Q Q 13m ≤≤44b -≤≤+()()()12330,2,1,1,1Q Q Q -，O MP MP OP O 'QO '()2,0O 'O ' O 'O '()2,2O O '()2,2O ' y x b =-+O '【详解】（1）解：①如图，点P 关于的对称点分别为，则，，∴在上，∴点P 关于点Q 的“等距点”的是故答案为：；②在上任取一点点P 关于点Q 的“等距点”M ，连接，取的中点即为点Q ，连接，取其中点，连接，∴，∴点Q 的在以为圆心，半径为1的上，()()()12330,2,1,1,1Q Q Q -，()()()2,0,0,2,2,2--12d R ==22d R ==3d R==>()()2,0,0,2-O 12,Q Q 12,Q Q O MP MP OP O 'QO '112QO OM '==()2,0O 'O '∵与轴交于点，∴，故答案为：．（2）解：过点O 作点Q 的对称点，则点为，∴上所有的点关于点Q 的对称点都在以为圆心，半径为2的上，∵点P 在的图象上，∴当直线与相交即可，当直线与第一次相切时，设切点为点E ，直线与y 轴交点G ，当直线与第二次相切时，设切点为点F ，∵，∴∴，∵点，∴其点Q 与点O 的水平距离与铅锤距离均是1，∴，由相切得：，∴为等腰直角三角形，∴，同理可求当直线与第二次相切时，综上：【点睛】本题考查了新定义，中心对称，圆的定义，中位线定理，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．O ' x ()()1,0,3,0-13m ≤≤13m ≤≤O 'O '()2,2O O '()2,2O ' y x b =-+y x b =-+O ' y x b =-+O ' y x b =-+O ' ()2,2O 'OO ¢=2OE OO O E ''=-=()1,1Q 45EOG ∠=︒GE OO '⊥ OGE 4OG b ==-=y x b =-+O ' 4b =+44b -≤≤+。
2020年北京市初三一模分类汇编(全)之圆汇编
2020年北京市初三一模分类汇编（全）圆专项1、海淀0，24.如图，在R綐△Aଘଘ中，∠ଘAଘ矀密矀°，点D 为ଘଘ边的中点，以AD 为直径作Ⓢ分别与Aଘ，Aଘ交于点Eଘଘ，过点E作E G Tଘଘ于G.(1)求证:EG 是Ⓢ0 的切线;(2)若Aଘ矀⺁, Ⓢ0 的半径为5，求ଘE 的长2、丰台24.在Rt△ABC 中，∠A=90︒，∠B=22.5︒.点P 为线段BC 上一动点，当点P 运动到某一位置时，它到点A，B 的距离都等于a，到点P 的距离等于a 的所有点组成的图形为W，点D 为线段BC 延长线上一点，且点D 到点A 的距离也等于a．（1）求直线DA 与图形W 的公共点的个数；（2）过点A 作AE⊥BD 交图形W 于点E，EP 的延长线交AB 于点F，当a=2 时，求线段EF 的长.3、西城4、朝阳23.如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5．在同一平面内，△ABC 内部一点O 到AB，AC，BC的距离都等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G．（1）直接写出a 的值；（2）连接BO 并延长，交AC 于点M，过点M 作MN⊥BC 于点N．①求证：∠BMA=∠BMN；②求直线MN 与图形G 的公共点个数．5、房山24.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，以AC 为直径作⊙O 交AB 于点D，线段BC 上有一点P．（1）当点P 在什么位置时，直线DP 与⊙O 有且只有一个公共点，补全图形并说明理由.（2）在（1）的条件下，当BP= 求⊙O 半径．6、密云10，AD=3 时，223．如图，AB 为⊙O 的直径，点C、点D 为⊙O 上异于A、B 的两点，连接CD，过点C 作CE⊥DB，交DB 的延长线于点E，连接AC、AD． (1)若∠ABD=2∠BDC，求证：CE 是⊙O 的切线．(2)若⊙O 的半径为，tan ∠BDC =1，求AC 的长．257、平谷8、顺义22．如图，在□ABCD 中，∠B=45°，点C 恰好在以AB 为直径的⊙O 上．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）连接BD，若AB=8，求BD 的长．9、延庆22.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，点D 是弧BC 的中点，连接AC，BD，过点D 作AC 的垂线EF，交AC 的延长线于点E，交AB 的延长线于点F.(1)依题意补全图形；(2)判断直线EF 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(3)若AB=5，BD=3，求线段BF 的长.10、燕山︵22.如图，A B为⊙O的直径，A C为弦，点D为B C中点，过点D作D E⊥直线A C，垂足为E，交AB的延长线于点F．(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若EF＝4，sin F ＝3 ，求⊙O的半径．511、通州12.东城13.石景山23. 如图，AB 是⊙O 的直径，直线PQ 与⊙O 相切于点C ，以OB ，BC 为边作□OBCD ， 连接AD 并延长交⊙O 于点E ，交直线PQ 于点F .（1）求证：AF CF ⊥；（2）连接OC ，BD 交于点H ，若tan 3OCB ∠=， ⊙O 的半径是5，求BD 的长.14.大兴23 .已知：如图，在△ABC 中，B C ∠=∠．以AB 为直径的 ⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E . (1)求证：DE 与⊙O 相切；(2)延长DE 交BA 的延长线于点F ，若8AB =，sin B，求线段FA 的长.15.门头沟22．如图，∠APB ，点C 在射线PB 上，PC 为⊙O 的直径，在∠APB 内部且到∠APB 两边距离都相等的所有的点组成图形M ，图形M 交⊙O 于D ，过点D 作直线DE ⊥PA ，分别交射线PA ，PB 于E ，F ． （1）根据题意补全图形； （2）求证：DE 是⊙O 的切线；（3）如果PC =2CF，且DF =PE 的长．A。
【精品】2020年北京市中考数学一模试卷及答案解析
2020年北京市中考数学一模试卷一、单选题(共0分)1．(本题0分)某几何体从三个不同方向看到的形状图如图，则该几何体是( )A．圆锥B．圆柱C．球D．长方体2．(本题0分)据统计，今年“五一”小长假期间，我市约有26.8万人次游览了植物园和动物园，则数据26.8万用科学记数法表示正确的是（）A．268×103B．26.8×104C．2.68×105D．0.268×1063．(本题0分)如图所示，BE，CF是直线，OA，OD是射线，其中构成对顶角的是( )A．∠AOE与∠COD B．∠AOD与∠BODC．∠BOF与∠COE D．∠AOF与∠BOC4．(本题0分)下列轴对称图形中，对称轴最多的图形是（）A．B．C．D．5．(本题0分)将一个n边形变成（n+2）边形，内角和将（）A．减少180 B．增加180°C．减少360°D．增加360°6．(本题0分)数轴上表示整数的点叫整点，某数轴单位长度为1cm，若在数轴上随意画一条长为2015cm的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数为（）A．2015 B．2014 C．2015或2014 D．2015或20167．(本题0分)规定：“上升数”是一个右边数位上的数字比左边数位上的数字大的自然数（如23，567，3467等）．一不透明的口袋中装有3个大小、形状完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，3，从袋中随机摸出1个小球（不放回），其上所标数字作为十位上的数字，再随机摸出1个小球，其上所标数字作为个位上的数字，则组成的两位数是上升数的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．23 8．(本题0分)有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm ，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）A ．正比例函数关系B ．一次函数关系C ．二次函数关系D ．反比例函数关系二、填空题(共0分)9．(本题0分)要使分式有意义，则x 的取值范围是 ．10．(本题0分)已知关于 x 的一元二次方程20x k -+= 有两个相等的实数根，则 k 的值为_____．11．(本题0分)若a 是一个含有根号的无理数，且3＜a ＜4．写出任意一个符合条件的值____． 12．(本题0分)对于两个实数,m n ，定义一种新运算，规定2m n m n =+☆，例如3523511=⨯+=☆，若2a b ☆且21b a =☆，则b a =__________．13．(本题0分)如图，平面直角坐标系xOy 中，有A 、B 、C 、D 四点，若有一直线l 经过点(-1,3)且与y 轴垂直，则l 也会经过的点是_____（填A 、B 、C 或D ）14．(本题0分)如图已知∠ABC=∠DEF，BE=FC,要证明△ABC≌△DEF,若以“ASA”为依据，还需要添加的条件__________.15．(本题0分)如图所示的网格是正方形网格，A ，B ，C ，D 是网格交点，则ABC 的面积与ABD 的面积的大小关系为：ABC S ______ABD S （填“＞”，“＝”或“＜”）16．(本题0分)如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______．三、解答题(共0分)17．(本题0分)计算：11()4523---︒18．(本题0分)解不等式组()324211122x x x x ⎧--≥⎪⎨-++≥⎪⎩①②． 19．(本题0分)不解方程组23532x y x y +=⎧⎨-=-⎩，求（2x+y)(2x-3y)+3x(2x+y)的值 20．(本题0分)等角转化；如图1，已知点A 是BC 外一点，连结AB 、AC ，求∠BAC +∠B +∠C 的度数．（1）阅读并补充下面的推理过程解：过点A 作ED ∥BC ，∴∠B ＝∠EAB ，∠C ＝ （ ）又∵∠EAB +∠BAC +∠DAC ＝180°∴∠B+∠BAC+∠C＝180°从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数（提示：过点C作CF∥AB）；（3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝80°，点B在点A的左侧，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直线交于点E，点E在两条平行线AB与CD之间，求∠BED的度数．21．(本题0分)如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OB，过点B作BE⊥AC于点E．（1）求证：ABCD是矩形；（2）若AD=cos∠，求AC的长．22．(本题0分)如图所示，菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，∠BAD=60°，点A的坐标为(－2，0)．(1)求线段AD所在直线的函数表达式．(2)动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度，按照A→D→C→B的顺序在菱形的边上匀速运动，设运动时间为t秒．求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切？23．(本题0分)如图，ABC 中，ACB 90∠=，D 为AB 上一点，以CD 为直径的O 交BC 于点，连接AE 交CD 于点，交O 于点F ，连接DF ，CAE ADF ∠∠=．()1判断AB 与O 的位置关系，并说明理由．()2若PF ：PC 1=：2，AF 5=，求CP 的长．24．(本题0分)在平面直角坐标系中，直线l 1：y=﹣12x+4分别与x 轴、y 轴交于点A 、点B ，且与直线l 2：y=x 于点C ．（1）如图①，求出B 、C 两点的坐标； （2）若D 是线段OC 上的点，且△BOD 的面积为4，求直线BD 的函数解析式．（3）如图②，在（2）的条件下，设P 是射线BD 上的点，在平面内是否存在点Q ，使以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．25．(本题0分)学校团委发起“爱心储蓄”活动，鼓励学生将自己的压岁钱存入银行，定期一年，到期后取回本金，而把利息捐给家庭贫困的儿童．学校共有学生1200人全部参加了此项活动，图1是该校各年级学生人数比例分布的扇形统计图，图2是该校学生人均存款情况的条形统计图．（1）求该学校的人均存款数；（2）若银行一年定期存款的年利率是2.25%，且每702元能提供给1位家庭贫困儿童一年的基本费用，那么该学校一年能够帮助多少位家庭贫困儿童？26．(本题0分)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2420y ax ax a a =-+≠的顶点为P ，且与y 轴交于点A ，与直线y a =-交于点B ，C （点B 在点C 的左侧）.（1）求抛物线()2420y ax ax a a =-+≠的顶点P 的坐标（用含a 的代数式表示）； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线与线段AC 围成的封闭区域（不含边界）为“W 区域”.①当2a =时，请直接写出“W 区域”内的整点个数；②当“W 区域”内恰有2个整点时，结合函数图象，直接写出a 的取值范围.27．(本题0分)如图，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(0，3)，以线段AB 为边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，∠BAC ＝90°.若第二象限内有一点P 1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且△ABP 的面积与△ABC 的面积相等．(1)求直线AB 的函数表达式．(2)求a 的值．(3)在x轴上是否存在一点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．28．(本题0分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴x＝1，与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线y＝kx+1（k≠0）与y轴交于点E，与抛物线交于点P，Q（点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧），连接CP，CQ，若△CPQ的面积为1-4，求点P，Q的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK 绕点G顺时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上，若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．。
2020年九年级数学中考《圆》综合专题复习试题(含答案)
1 ∵AH＝2AC＝ 3，
AH ∴OA＝sin60°＝2. ∴⊙O 半径的长为 2. (2)证明：在 BM 上截取 BE＝BC，连接 CE， ∵∠ABC＝120°，BM 平分∠ABC， ∴∠MBA＝∠MBC＝60°. ∵BE＝BC， ∴△EBC 是等边三角形．
∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°. ∴∠BCD＋∠DCE＝60°. ∵∠ACM＝∠ABM＝60°，∴∠ECM＋∠DCE＝60°. ∴∠ECM＝∠BCD. ∵∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°. ∴△ACM 是等边三角形．∴AC＝CM. ∴△ACB≌△MCE(SAS)．∴AB＝ME. ∵ME＋EB＝BM， ∴AB＋BC＝BM.
基础题组
1．(2019·保定一模)已知⊙O 的半径 OA 长为 2，若 OB＝ 3，则可以得到的正确图形可
能是(A)
2．(2019·广州)平面内，⊙O 的半径为 1，点 P 到 O 的距离为 2，过点 P 可作⊙O 的切线条
数为(C)
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．无数条
3．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点 A 为圆心作圆．如果⊙A 与线
则∠D＝27°．
基础题组
1．(2019·柳州)如图，A，B，C，D 是⊙O 上的点，则图中与∠A 相等的角是(D)
A．∠B
B．∠C
C．∠DEB
D．∠D
A︵B
A︵B
2．(2019·吉林)如图，在⊙O 中， 所对的圆周角∠ACB＝50°.若 P 为 上一点，
∠AOP＝55°，则∠POB 的度数为(B)
A．30°
3 切，连接 OC，则 tan∠OCB＝ 5 ．
2020初三数学一模分类汇编 23.圆(含答案)
2020初三数学一模分类汇编 圆（23题）1.（2020东城一模23题）23． 如图，直线l 与⊙O 相离，l OA ⊥于点A ，与⊙O 相交于点P ，5=OA .C 是直线l 上一点，连接CP 并延长，交⊙O 于点B ，且AC AB =.（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若1tan 2ACB =∠，求线段BP 的长.23. 解：(1) 证明：如图，连结OB ，则OB OP =.∴CPA OPB OBP ∠=∠=∠.ΘAC AB =，ABC ACB ∠=∠∴.而l OA ⊥，即︒=∠90OAC .︒=∠+∠∴90CPA ACB .即︒=∠+∠90OBP ABP .︒=∠∴90ABO ，AB OB ⊥∴，故AB 是⊙O 的切线.………………………………2分 （2）∵ 1tan 2ACB =∠，∴ 在Rt △ACP 中，设AP =x ,AC =2x .∵ 5=OA ，∴ 5OP x =-.∴ 5OB x =-.ΘAC AB =，∴2AB x =.∵︒=∠90ABO ，由勾股定理，得222OB AB OA +=.即 2225-)25x x +=（（）.解得 2x =.∴ AP =2.∴3OB OP ==.∴4AB AC ==.∴ 5CP =过O 作PB OD ⊥于D ，在ODP △和CAP △中，CPA OPD ∠=∠Θ，=∠=∠90CAP ODP ∴ODP △∽CAP △. =PD OP OD PA CP CA∴=. 553=⋅=∴CP PA OP PD . 5562==∴PD BP . ………………………………6分2. （2020西城一模23题） 23. 如图，四边形OABC 中，∠OAB =90°，OA = OC ，BA = BC . 以O 为圆心，以OA 为半径作⊙O .（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）连接BO 并延长交⊙O 于点D ，延长AO 交⊙O 于点E ，与BC 的延长线交于点F ，若»»AD AC =， ① 补全图形；② 求证：OF =OB .23．（1）证明：连接AC ，∵ OC = OA ，∴点C 在⊙O 上．∵ OA = OC ， BA = BC ，∴ ∠OAC =∠OCA ，∠BAC =∠BCA ．∴ ∠OCB =∠OAB =90°．∴ OC ⊥BC 于点C ．∴ BC 是⊙O 切线．（2）① 补全图形.② 证明：∵ BA ，BC 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，C ，∴ BA =BC ，∠DBA =∠DBC ．∴ BD 是AC 的垂直平分线．∵ OA =OC ，∴ ∠AOB =∠COB ．∵ »»AD AC =，AE 为⊙O 的直径，∴ »»CEDE =． ∴ ∠COE =∠DOE ．∵ ∠AOB =∠DOE ，∴ ∠AOB =∠BOC =∠COE =60°．∵ BC 是⊙O 的切线，切点为C ，∴ ∠OCB =∠OCF =90°．∴ ∠OBC =∠OFC =30°．∴ OF = OB ． ······························································ 6分23．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5．在同一平面内，△ABC内部一点O到AB，AC，BC的距离都等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G．（1）直接写出a的值；（2）连接BO并延长，交AC于点M，过点M作MN⊥BC于点N．①求证：∠BMA=∠BMN；②求直线MN与图形G的公共点个数．23．（1）a=1；（2）①由题意可知图形G是以O为圆心，a为半径的圆，AB，AC，BC与⊙O相切．∴∠ABM=∠NBM．∵AB=3，AC=4，BC=5，∴∠A=90°．∵MN⊥BC，∴∠A=∠BNM=90°．∴∠BMA=∠BMN．②如图，设⊙O与AC的切点为D，连接OD，作OE⊥MN于点E．∴OD⊥AC．∴OD = OE．∴OE为⊙O的半径．∴MN为⊙O的切线．∴直线MN与图形G的公共点个数为1．24.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E,F，过点E作EG⊥BC于G.(1)求证:EG是⊙O的切线;(2)若AF=6, ⊙O的半径为5，求BE的长5.（2020丰台一模24题）24．在Rt △ABC 中，∠A =90︒，∠B =22.5︒.点P 为线段BC 上一动点，当点P 运动到某一位置时，它到点A ，B 的距离都等于a ，到点P 的距离等于a 的所有点组成的图形为W ，点D 为线段BC 延长线上一点，且点D 到点A 的距离也等于a ．（1）求直线DA 与图形W 的公共点的个数；（2）过点A 作AE ⊥BD 交图形W 于点E ，EP 的延长线交AB 于点F ，当a=2时，求线段EF 的长.24. 解：（1）直线DA 与图形W 的公共点的个数为1个.……1分 ∵点P 到点A ，B 的距离都等于a ，∴点P 为AB 的中垂线与BC 的交点.∵到点P 的距离等于a 的所有点组成图形W .∴图形W 是以点P 为圆心，a 为半径的圆.根据题意补全图形：……2分连接AP∵∠B =22.5°，∴APD =∠45°.∵点D 到点A 的距离也等于a ，∴DA=AP=a .∴∠D =APD =∠45°.∴∠P AD = 90°.∴D A ⊥P A .∴DA 为☉P 的切线.∴直线DA 与图形W 的公共点的个数为1个. (3)分 （2） ∵AP =BP ，∴∠BAP =∠B =22.5°.∵∠BAC =90°.∴∠P AC =∠PCA =67.5°.∴P A = PC =a .∴点C 在☉P 上. ……4分∵AE ⊥BD 交图形W 于点E ， D C B A EP FA BC F P E A B C D∴AC=CE .∴∠DPE =∠APD =45°.∴∠APE = 90°.∵EP=AP=a=2，∴AE=22，45E =︒∠. …5分∵∠B =22.5°， AE ⊥BD ，∴∠BAE =67.5°.∴∠AFE =∠BAE =67.5°.∴EF=AE=22. ……6分6.（2020石景山一模）23. 如图，AB 是⊙O 的直径，直线PQ 与⊙O 相切于点C ，以OB ，BC 为边作□OBCD ， 连接AD 并延长交⊙O 于点E ，交直线PQ 于点F .（1）求证：AF CF ⊥；（2）连接OC ，BD 交于点H ，若tan 3OCB ∠=，⊙O 的半径是5，求BD 的长.23．（1）证明：连接OC ，如图1．∵四边形OBCD 是平行四边形，∴DC OB ∥，DC OB =．∵AO OB =，∴DC AO ∥，DC AO =．∴四边形OCDA 是平行四边形．∴AF OC ∥．∵直线PQ 与⊙O 相切于点C ，OC 是半径，∴90OCQ ∠=°．∴90AFC OCQ ∠=∠=°． Q P F E O D C B A QP F E O D C B A 图1即AF CF ⊥． ………… 2分（2）解：过点B 作BN OC ⊥于点N ，如图2．∵四边形OBCD 是平行四边形，∴2BD BH =，1522CH CO ==． 在BNC Rt △中，tan 3BN NCB CN ∠==， 设CN x =，3BN x =，∴5ON x =-．在ONB Rt △中，222(5)(3)5x x -+=，解得10x =（舍），21x =． ∴33BN x ==，5322HN x =-=． 在HNB Rt △中，由勾股定理可得35BH =． ∴235BD BH ==． ………………………………… 6分8.（2020通州一模）22.已知:△ABC 为等边三角形.(1)求作:△ABC 的外接圆⊙O .(不写作法，保留作图痕迹)(2)射线AO 交BC 于点D ，交⊙O 于点E ，过E 作⊙O 的切线EF ，与AB 的延长线交于点F . ①根据题意，将(1)中图形补全;②求证:EF//BC ;③若DE =2，求EF 的长.P H F O D B A QN C 图29.（2020顺义一模）22．如图，在□ABCD 中，∠B =45°，点C 恰好在以AB 为直径的⊙O 上．（1）求证：CD 是∠O 的切线；（2）连接BD ，若AB =8，求BD 的长．22．(1)证明：连接OC ，∵OB=OC ，∠B=45°，∴∠BCO =∠B=45°．∴∠BOC =90°．…………………… 1分∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ．∴∠OCD=∠BOC =90°．…………2分∵OC 是，∴CD 是⊙O 的切线．……………… 3分(2)解：连接AC ，交BD 于点E ．∵AB 是直径，AB =8，∴∠ACB =90°．∴BC AC ==4分∵四边形ABCD 是平行四边形，∴12CE AC ==∴BE ===．………………………………5分∴2BD BE ==6分DD10.（2020大兴一模）23 .已知：如图，在△ABC 中，B C ∠=∠．以AB 为直径的 ⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E . (1)求证：DE 与⊙O 相切；(2)延长DE 交BA 的延长线于点F ，若8AB =，sin B =5，求线段FA 的长.23.（1）证明：连接OD . ……………………………………………………………1分∵OB OD =, ∴1B ∠=∠. 又∵B C ∠=∠, ∴1C ∠=∠. ∴OD ∥AC . ∵DE ⊥AC 于E , ∴∠DEC =90°=∠EDO . ∴DE ⊥OD . ∵点D 在⊙O 上， ∴DE 与⊙O 相切.……………………………………………………………2分 （2）解：连接AD . ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB =90°.∵AB =8，sin B =55， ∴sin AD AB B =⋅=855.…………………………………………………………3分∵123290∠+∠=∠+∠=︒，∴13∠=∠. ∴ 3.B ∠=∠在△AED 中，∠AED =90°. ∵5sinB=sin 35AE AD ∠==，∴85555AE AD ==⨯=. …………………………………………………………4分 又∵OD ∥AE ， ∴△FAE ∽△FOD . ∴FA AE FO OD=. ∵8AB =, ∴4OD AO ==. ∴245FA FA =+.∴83FA =. ……………………………………………………………6分11.（2020房山一模）24. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，以AC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，线段BC 上有一点P ．（1）当点P 在什么位置时，直线DP 与⊙O 有且只有一个公共点，补全图形并说明理由. （2）在（1）的条件下，当210=BP ，AD =3时， 求⊙O 半径．24. （1）补全图形 ……………………………………1分 情况一：点P 在过点D 与OD 垂直的直线与BC 的交点处 ……………………………………2分理由：经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 …………………………3分 情况二：当P 是BC 中点时，直线DP 与⊙O 有且只有一个公共点…………………………………2分证明：连接CD 、OD ∵AC 为⊙O 直径∴∠ADC =∠BDC =90° 在Rt △BCD 中∵∠BDC =90°，P 是BC 中点 ∴DP=CP∴∠PDC =∠PCD ∵∠ACB =90°∴∠PCD+∠DCO =90° ∵OD=OC∴∠DCO =∠ODC∴∠PDC +∠ODC =90° ∴∠ODP =90° ∴DP ⊥OD∴直线DP 与⊙O 相切 ……………………………………3分（2）在Rt △BCD 中∵∠BDC =90°，P 是BC 中点∴2BC BP =∵210=BP∴BC ∵∠ACB =∠BDC =90° ∠B =∠B∴△ACB ∽△CDB ∴AB BCBC BD=∴2=BCAB BD g……………………………………4分设AB =x ，∵AD =3 ∴BD =x -3∴210=3-(）（）x x∴5x =（舍负）∴AB =5 ……………………………………5分在Rt △ABC 中∵∠BDC =90°∴AC∴12OC AC = ……………………………………6分22．如图，∠APB ，点C 在射线PB 上，PC 为⊙O 的直径，在∠APB 内部且到∠APB 两边距离都相等的所有的点组成图形M ，图形M 交⊙O 于D ，过点D 作直线DE ⊥PA ，分别交射线PA ，PB 于E ，F ． （1）根据题意补全图形； （2）求证：DE 是⊙O 的切线；（3）如果PC =2CF，且DF =PE 的长．22．（本小题满分6分） 解：（1）如图所示，补全图形……………………………………1分 （2）证明：连接OD .∵DE ⊥PA ，∴∠PED =90°. ……………………………………2分 ∵依题意，PD 是∠APB 的角平分线， ∴∠APD =∠DPB . ∵OP =OD ， ∴∠DPB =∠PDO .∴∠APD =∠PDO . …………………………………………………………………3分 ∴AP ∥OD ，∴∠ODF =∠PED =90°∴DE 是⊙O 的切线．………………………………………………………………4分 （3）∵PC =2CF ，∴设CF =x ，那么PC =2x ，OD =x ． ∵∠ODF =90°，∴在Rt △ODF 中，OD =12OF ．又∵DF =，∴OD =1，OF =2，PF =3．……………………………………………………………5分 ∵在Rt △PEF 中，∠PEF =90°， ∴1sin 2PE OD DFP PF OF ∠===．∴32PE =．…………………………………………………………………………6分23．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、点D 为⊙O 上异于A 、B 的两点，连接CD ，过点C 作CE ⊥DB ，交DB 的延长线于点E ，连接AC 、AD ． (1)若∠ABD =2∠BDC ，求证：CE 是⊙O 的切线． (2)若⊙O 的半径为，，求AC 的长．23．（1）证明：连接OC ………………………………1分 ∵OC=OA ∴∠OCA =∠OAC ∴∠COB =2∠OAC∵∠BDC =∠OAC ，∠ABD =2∠BDC ∴∠COB =∠ABD∴OC // DE 2分 ∵CE ⊥DB ，∠C ED =90° ∴∠OC E =90°，OC ⊥CE∴CE 是⊙O 的切线 …………………………3分 （2）解：连接BC ………………………………4分 ∵∠BDC=∠BAC ，∴tan ∠BAC= tan ∠BDC=12∵ AB 是⊙O 的直径 ∴∠BCA=90°∴12BC AC =设BC =x ，AC =2x∴AB =5x ∵⊙O 的半径为5∴5x =25 ∴ x =2∴AC =2x =4 ………………………………6分51tan 2BDC ∠=E OBCE OBC22.如图，等边∠ABC ，作它的外接圆∠O ，连接AO 并延长交∠O 于点D ，交BC 于点E,过点D 作DF//BC ，交AC 的延长线于点F.（1）依题意补全图形并证明：DF 与∠O 相切； （2）若AB=6，求CF 的长.22．(1)依题意补全图形. (1)证明： ∵等边∠ABC ，∴AB=AC∴ººAB=AC (2)∵AD 过圆心O由垂径定理，∠AEC=90°∵DF//BC ， ∴∠ADF=90°∴DF 与∠O 相切..........................................3 （2）解：连接DC∵等边∠ABC ， ∴AB=AC=BC=6∠BAC=60°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４ ∵AD ⊥BC ∴∠DAC=30° ∵AD 是直径 ∴∠ACD=90°∴32DC ...........................................................5 ∵∠DCF=90°，∠F=60°∴CF=2 (6)16.(2020延庆一模）22.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，点D 是弧BC 的中点，连接AC ，BD ，过点D 作AC 的垂线EF ，交AC 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点F . (1)依题意补全图形；(2)判断直线EF 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (3)若AB =5，B D =3，求线段BF 的长.（1）画图（2）相切 ，理由如下： 连接OD ．∠点D 是弧BC 的中点， ∠∠BOD ＝∠F AE ． ∠OD ∠AE ． ∠∠FDO ＝∠E ． ∠AE ∠EF ，∠∠E ＝90°．∴∠FDO ＝90°．∴直线EF 是∠O 的切线． （3）连接AD ．∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°． ∵AB =5，BD =3， ∴AD ＝4． ∴AE ＝3.2． 设BF=x ，则OF =2.5+x ，AF ＝5+x ．∴x x +=+52.35.25.2 ∴x =745．∴BF ＝745．17.（2020燕山一模）22．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，点D 为BC ︵中点，过点D 作DE ⊥直线AC ，垂足为E ，交AB 的延长线于点F ． (1) 求证：EF 是⊙O 的切线；(2) 若EF ＝4，sin F ＝35，求⊙O 的半径．22．(1)证法1：如图，连接OC ，OD ，∵点D 为BC ︵中点， ∴∠1＝∠2＝12∠BOC ． ………………………………1分 ∵OA ＝OC ， ∴∠A ＝∠3＝12∠BOC ． ∴∠1＝∠3， ∴OD ∥AE ． ∵EF ⊥AE ， ∴EF ⊥OD ．又∵OD 是⊙O 的半径，∴EF 是⊙O 的切线． ………………………………2分 证法2：如图，连接BC ，OD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°． ………………………………1分又∵EF ⊥AE ， ∴BC ∥EF ． ∵点D 为BC ︵中点，∴OD ⊥BC ， ∴OD ⊥EF ．又∵OD 是⊙O 的半径，∴EF 是⊙O 的切线． ………………………………2分(2) 解：在Rt △AEF 中，∠AEF ＝90°，EF ＝4，sin ∠F ＝35， ∴AE ＝3，AF ＝5． ………………………………3分 ∵OD ∥AE ，∴△ODF ∽△AEF ， ∴=OD OFAE AF． ………………………………4分 设⊙O 的半径为r ，则OD ＝r ，OF ＝AF －AO ＝5－r ，∴535-=r r． 解得r ＝158，∴⊙O 的半径为158． ………………………………5分。
【试题】2020北京市各区初三数学一模试题分类圆
【关键字】试题目录类型1：圆基础 (2)类型2：圆综合 (4)类型3：新定义问题 (9)类型1：圆基础1.（18延庆一模14）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，∠AOC=42°，那么∠CDB的度数为____________．2. （18房山一模5）如图，在⊙O中，AC为⊙O直径，B为圆上一点，若∠OBC=26°，则∠AOB的度数为（）A．26° B．52°C．54° D．56°3.（18西城一模13）如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，∠BOC=50°，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，那么∠ACD=__________．4.（18朝阳毕业8）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠ADE=110°，则∠AOC的度数是（）A.70°B.110°C.140°D.160°5.（18朝阳一模13）如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，则∠BAD= 度.6.（18海淀一模14）如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，与BC交于点E，连接AE，若∠D = 72°，则∠BAE = °.7.（18门头沟一模13）如图，PC是⊙O的直径，PA切⊙O于点P，AO交⊙O于点B；连接BC，若∠C=32°，则∠A=______ °．8.（18燕山一模10）在平面直角坐标系xoy中，点A(4,3) 为⊙O 上一点，B为⊙O内一点，请写出一个符合条件要求的点B 的坐标9.（18平谷一模14）如图，AB是⊙O的直径，AB⊥弦CD于点E，若AB=10，CD=8，则BE= ．10.（18石景山一模13）如图，是⊙的直径，是弦，于点，若⊙的半径是，，则．11.（18大兴一模5）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=6，则CD的长为（）A．3 B．C．6 D．12.（18丰台一模13）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．如果∠A = 15°，弦CD = 4，那么AB的长是．13.（18朝阳毕业10）如图，正方形ABCD的边长为2，以BC为直径的半圆与对角线AC相交于点E，则图中阴影部分的面积为（）A. B.C. D.14.（18东城一模4）如图，是等边△ABC的外接圆，其半径为3. 图中阴影部分的面积是（）A．π B．C．D．类型2：圆综合1.（18平谷一模24）如图，以AB 为直径作⊙O ，过点A 作⊙O 的切线AC ，连结BC ，交⊙O 于点D ，点E 是BC 边的中点，连结AE ．（1）求证：∠AEB=2∠C ；（2）若AB=6，，求DE 的长．2.（18延庆一模23）如图，是⊙O 的直径，D 是⊙O 上一点，点是的中点，过点作⊙O 的切线交的延长线于点F ．连接并延长交于点．（1）求证：；（2）如果AB=5，，求的长．3. （18石景山一模23）如图，是⊙的直径，是弦，点是弦上一点，连接并延长交⊙于点，连接，过点作⊥交⊙的切线于点．（1）求证：；（2）若⊙的半径是，点是中点，，求线段的长．4. （18房山一模22）如图，AB 、BF 分别是⊙O 的直径和弦，弦CD 与AB 、BF 分别相交于点E 、G ，过点F 的切线HF 与DC 的延长线相交于点H ，且HF ＝HG.（1）求证：AB⊥CD ；（2）若sin∠HGF ＝，BF ＝3，求⊙O 的半径长.5.（18西城一模24）如图，⊙的半径为，内接于⊙，，，为延长线上一点，与⊙相切，切点为．（1）求点到半径的距离（用含的式子表示）．（2）作于点，求的度数及的值．6.（18怀柔一模23）如图，AC 是⊙O 的直径，点B 是⊙O 内一点，且BA=BC ，连结BO 并延长线交⊙O于点D ，过点C 作⊙O 的切线CE ，且BC 平分∠DBE.（1）求证：BE=CE ；（2）若⊙O 的直径长8，sin∠BCE=，求BE 的长.7.（18海淀一模23）如图，是⊙的直径，弦于点，过点作⊙的切线交的延长线于点.（1）已知，求的大小（用含的式子表示）； （2）取BE 的中点M ，连接MF ，请补全图形；若30A ∠=︒，MF =，求⊙O 的半径.8.（18朝阳一模23）如图，在⊙O 中，C ，D 分别为半径OB ，弦AB 的中点，连接CD 并延长，交过点A 的切线于点E ．（1）求证：AE ⊥CE ．（2）若AE =√2，sin ∠ADE =31，求⊙O 半径的长． 9.（18东城一模）如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且点C 是BD 的中点.过点C作 AD 的垂线EF 交直线AD 于点E .（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）连接BC . 若AB =5，BC =3，求线段AE 的长.10.（18丰台一模23）如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB交弦BC 于点E ，过点D 作⊙O 的切线交BC 的延长线于点F ．（1）求证：EF =ED ；（2）如果半径为5，cos ∠ABC =35，求DF 的长． 11.（18门头沟一模23）如图，AB 为⊙O 直径，过⊙O 外的点D 作DE ⊥OA 于点E ，射线DC 切⊙O 于点C 、交AB 的延长E F H B O D A P C 线于点P ，连接AC 交DE 于点F ，作CH ⊥AB 于点H ．（1）求证：∠D =2∠A ；（2）若HB =2，cosD =35，请求出AC 的长． 12.（18大兴一模）.已知：如图，在△OAB 中，OA OB =，⊙O 经过AB 的中点C ，与OB 交于点D ，且与BO 的延长线交于点E ，连接EC CD ，．（1）试判断AB 与⊙O 的位置关系，并加以证明；（2）若1tan 2E =，⊙O 的半径为3，求OA 的长． 13.（18顺义一模24）如图，等腰△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB =AC ，过点A 作BC 的平行线AD 交BO 的延长线于点D ．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为15，sin ∠D ＝35，求AB 的长．14.（18通州一模24）如图，已知AB 为⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，D 是弧BC 的中点.过点D 作⊙O 的切线，分别交AC ，AB 的延长线于点E 和点F ，连接CD ，BD.（1）求证：∠A =2∠BDF ;（2）若AC =3，AB =5，求CE 的长.15.（18燕山一模25）如图，在△ABC 中，AB=AC ，AE 是BC 边上的高线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M ，经过B ，M 两点的⊙O 交 BC 于点G ，交AB 于点F ，FB 为⊙O 直径．（1）求证：AM 是⊙O 的切线（2）当BE =3，cos C =52时，求⊙O 的半径． 16.（18朝阳毕业25）如图，在△ABC 中，AB =BC ，∠A =45°，以AB 为直径的⊙O 交CO 于点D ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）连接BD ，若BD =m ，tan ∠CBD =n ，写出求直径AB 的思路． 类型3：新定义问题 1.（18海淀一模8）如图1，矩形的一条边长为x ，周长的一半为y .定义(,)x y 为这个矩形的坐标. 如图2，在平面直角坐标系中，直线1,3x y ==将第一象限划分成4个区域. 已知矩形1的坐标的对应点A 落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中. E O M G F AB C图1 图2则下面叙述中正确的是（ ）A. 点A 的横坐标有可能大于3B. 矩形1是正方形时，点A 位于区域②C. 当点A 沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D. 当点A 位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等2.（18海淀一模15）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 组成圆的折弦，AB BC >，M 是弧ABC 的中点，MF AB ⊥于F ，则AF FB BC =+． 如图2，△ABC 中，60ABC ∠=︒，8AB =，6BC =，D 是AB 上一点，1BD =，作DE AB ⊥交△ABC 的外接圆于E ，连接EA ，则EAC ∠=________°． 3.（18平谷一模28）在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标为()22,x y ，且12x x ≠，12y y ≠，以MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.（1）已知点A （2，0），B （0，2，则以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为_______；（2）若点C （1，2），点D 在直线y =5上，以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O，点P 的坐标为(3，m ) .若在⊙O 上存在一点Q ，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求m 的取值范围．2. （18延庆一模28）平面直角坐标系xOy 中，点1(A x ，1)y 与2(B x ，2)y ，如果满足120x x +=，120y y -=，其中12x x ≠，则称点A 与点B 互为反等点．已知：点C (3，4)（1）下列各点中， 与点C 互为反等点；D (-3，-4)，E （3，4），F （-3，4）（2）已知点G （-5，4），连接线段CG ，若在线段CG 上存在两点P ，Q 互为反等点，求点P 的横坐标p x 的取值范围；x 图2图1E A（3）已知⊙O 的半径为r ，若⊙O 与（2）中线段CG 的两个交点互为反等点，求r 的取值范围．3.（18石景山一模28）对于平面上两点A ，B ，给出如下定义：以点A 或B 为圆心，AB 长为半径的圆称为点A ，B 的“确定圆”．如图为点A ，B 的“确定圆”的示意图．．．． （1）已知点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(3,3)，则点A ，B 的“确定圆”的面积为_________； （2）已知点A 的坐标为(0,0)，若直线y x b =+上只存在一个点B ，使得点A ，B 的“确定圆”的面积为9π，求点B 的坐标；（3）已知点A 在以(0)P m ，为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线3y =-A ，B 的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m 的取值范围．4.（18房山一模28）在平面直角坐标系xOy 中，当图形W 上的点P 的横坐标和纵坐标相等时，则称点P 为图形W 的“梦之点”.（1）已知⊙O 的半径为1.①在点E （1，1），F （－22 ，－22 ），M (－2，－2)中，⊙O 的“梦之点”为 ；②若点P 位于⊙O 内部，且为双曲线k y x=（k ≠0）的“梦之点”，求k 的取值范围. （2）已知点C 的坐标为（1，t ），⊙C 的半径为 2 ，若在⊙C 上存在“梦之点”P ，直接写出t 的取值范围.（3）若二次函数21y ax ax =-+的图象上存在两个“梦之点”()11A x ,y ，()22B x ,y ，且122x x -=，求二次函数图象的顶点坐标.5.（18西城一模28）对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQ k CQ+=，则称点A （或点B ）是⊙C 的“k 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ BQ =，2AQ k CQ =（或2BQ CQ ）． 已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)Q -，(1,0)C ，⊙C 的半径为r ．（1）如图1，当r =①若1(0,1)A 是⊙C 的“k 相关依附点”，则k 的值为__________．②2(1A +是否为⊙C 的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）．（2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ，①当1r =，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．②当k =r 的取值范围．（3）若存在r的值使得直线y b =+与⊙C 有公共点，且公共点是⊙C 的点”，直接写出b 的取值范围．6.（18怀柔一模28）P 是⊙C 外一点，若射线．．PC 交⊙C 于点A ，B 两点，则给出如下定义：若0＜P A PB ≤3，则点P 为⊙C 的“特征点”．（1）当⊙O 的半径为1时．①在点P 1（,0）、P 2（0,2）、P 3（4，0）中，⊙O 的“特征点”是 ；②点P 在直线y =x +b 上，若点P 为⊙O 的“特征点”．求b 的取值范围；（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y =x +1与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段MN 上的所有点都不是．．．⊙C 的“特征点”，直接写出点C 的横坐标的取值范围． 7.（18海淀一模28）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在一点T 不与O 重合，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在⊙C 上，则称P 为⊙C 的反射点．下图为⊙C 的反射点P 的示意图．（1）已知点A 的坐标为(1,0)，⊙A 的半径为2，①在点(0,0)O ，(1,2)M ，(0,3)N -中，⊙A 的反射点是____________；②点P 在直线y x =-上，若P 为⊙A 的反射点，求点P 的横坐标的取值范围；（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，y 轴上存在点P 是⊙C 的反射点，直接写出圆心C的横坐标x 的取值范围．8.（18朝阳一模28）对于平面直角坐标系xOy 中点P 和线段AB ，其中A (t ，0)、B (t +2，0)两点，给出如下定义：若在线段AB 上存在一点Q ，使得P ，Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为线段AB 的伴随点．（1）当t =-3时，①在点P 1（1，1），P 2（0，0），P 3（-2，-1）中，线段AB 的伴随点是 ；②在直线y =2x +b 上存在线段AB 的伴随点M 、N ， 且MN =，求b 的取值范围；（2）线段AB 的中点关于点（2，0）的对称点是C ，将射线CO 以点C 为中心，顺时针旋转30°得到射线l ，若射线l 上存在线段AB 的伴随点，直接写出t 的取值范围．9.（18东城一模28）给出如下定义：对于⊙O 的弦MN 和⊙O 外一点P （M ，O ，N 三点不共线，且P ，O 在直线MN 的异侧），当∠MPN ＋∠MON=180°时，则称点 P 是线段MN 关于点O 的关联点．图1是点P 为线段MN 关于点O 的关联点的示意图.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1.（1）如图2，22M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22N ⎛- ⎝⎭.在A （1，0），B （1，1），)C 三点中，是线段MN 关于点O 的关联点的是 ；（2）如图3， M （0，1），N 122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，点D 是线段 MN 关于点O 的关联点.①∠MDN 的大小为 °；②在第一象限内有一点E ),m ，点E 是线段MN 关于点O 的关联点，判断△MNE 的形状，并直接写出点E 的坐标； ⋅2③点F 在直线23y x =-+上，当∠MFN ≥∠MDN 时，求点F 横坐标x F 的取值范围． 10.（18丰台一模28）对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形1W ，2W 给出如下定义：点P为图形1W 上一点，点Q 为图形2W 上一点，当点M 是线段PQ 的中点时，称点M 是图形1W ，2W 的“中立点”．如果点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么“中立点”M 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,22121y y x x ． 已知，点A (-3，0)，B (0，4)，C (4，0)．（1）连接BC ，在点D (12，0)，E (0，1)，F (0，12)中，可以成为点A 和线段BC 的“中立点”的是____________；（2）已知点G (3，0)，⊙G 的半径为2．如果直线y = - x + 1上存在点K 可以成为点A 和⊙G 的“中立点”，求点K 的坐标；（3）以点C 为圆心，半径为2作圆．点N 为直线y = 2x + 4上的一点，如果存在点N ，使得y 轴上的一点可以成为点N 与⊙C 的“中立点”，直接写出点N 的横坐标的取值范围．11.（18门头沟一模28）在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为11(,)x y ，点N 的坐标为22(,)x y ，且12x x ≠，12y y =,我们规定：如果存在点P ，使MNP ∆是以线段MN 为直角边的等腰直角三角形，那么称点P 为点M 、N 的 “和谐点”.（1）已知点A 的坐标为)3,1(，①若点B 的坐标为)3,3(，在直线AB 的上方，存在点A ，B 的“和谐点”C ，直接写出点C 的坐标；②点C 在直线x =5上，且点C 为点A ，B 的“和谐点”，求直线AC 的表达式.（2）⊙O 的半径为r ，点D (1,4)为点E (1,2)、F ),(n m 的“和谐点”，若使得△DEF 与⊙O有交点，画出示意图直接．．．．．写出半径r 的取值范围. 备用图1 备用图212.（18大兴一模28）在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴上一点A 作平行于x 轴的直线交某函数图象于点D ，点P 是x 轴上一动点，连接D P ，过点P 作DP 的垂线交y 轴于点E （E在线段OA 上，E 不与点O 重合），则称∠DPE 为点D ，P ,E 的“平横纵直角”.图1为点D ，P ，E 的“平横纵直角”的示意图.图113.如图2，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数图象与y 轴交于点(0,)F m ，与x 轴分别交于点B （3-，0），C （12，0）. 若过点F 作平行于x 轴的直线交抛物线于点N .（1）点N 的横坐标为 ；（2）已知一直角为点,,N M K 的“平横纵直角”，若在线段OC 上存在不同的两点1M 、2M ，使相应的点1K 、2K 都与点F 重合，试求m 的取值范围；（3）设抛物线的顶点为点Q ，连接BQ 与FN 交于点H ,当4560QHN ︒≤≤︒∠时，求m 的取值范围．图213.（18顺义一模28）如图1，对于平面内的点P 和两条曲线1L 、2L 给出如下定义：若从点P 任意引出一条射线分别与1L 、2L 交于1Q 、2Q ，总有12PQ PQ 是定值，我们称曲线1L 与2L “曲似”，定值12PQ PQ 为“曲似比”，点P 为“曲心”． 例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为1r 、2r （都是常数）的两个同心圆1C 、2C ，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点M 、N ，因为总有12''r O M O N r =是定值，所以同心圆1C 与2C 曲似，曲似比为12r r ，“曲心”为O'．（1）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =与抛物线2y x =、212y x = 分别交于点A 、B ，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；（2）在（1）的条件下，以O 为圆心，OA 为半径作圆，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，是否存在k 值，使⊙O 与直线BC 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；（3）在（1）、（2）的条件下，若将“212y x =”改为“21y x m=”，其他条件不变，当存在⊙O 与直线BC 相切时，直接写出m 的取值范围及k 与m 之间的关系式．14.（18通州一模）.在平面直角坐标系xOy 中有不重合的两个点()11,y x Q 与()22y x P ，.若Q ，P为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x 或y 轴平行(或重合)，则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和定义为点Q 与点P 之间的“直距PQ D ”.例如在下图中，点()1,1P ，()3,2Q ，则该直角三角形的两条直角边长为1和2，此时点Q 与点P 之间的“直距”=3PQ D .特别地，当PQ 与某条坐标轴平行(或重合)时，线段PQ 的长即为点Q 与点P 之间的“直距”.（1）①已知O 为坐标原点，点()2,1A -，()2,0B -，则_______=AO D ，_______=BO D ；② 点C 在直线3y x =-+上，请你求出CO D 的最小值；（2）点E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点；点F 是直线24y x =+上一动点.请你直接写出点E 与点F 之间“直距EF D ”的最小值.15.（18燕山一模27）如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的顶点为M ，直线y=m 与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶．（1）由定义知，取AB 中点N ，连结MN ，MN 与AB 的关系是（2）抛物线221x y =对应的准蝶形必经过B (m ，m ),则m = ，对应的碟宽AB 是 （3）抛物线)0(3542>--=a a ax y 对应的碟宽在x 轴上，且AB =6.①求抛物线的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P （p x ，p y ），图2使得∠APB为锐角，若有，请求出y的取值范围.若没有，请说明理由.p,备用图此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
2020年北京市东城区中考数学一模试题有答案精析
2020年北京市东城区中考数学一模试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．数据显示，2020年全国新建、改扩建校舍约为51 660 000平方米，全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件工作取得明显成果．将数据51 660 000用科学记数法表示应为（）A．5.166×107B．5.166×108C．51.66×106D．0.5166×1082．下列运算中，正确的是（）A．x•x3=x3B．（x2）3=x5C．x6÷x2=x4D．（x﹣y）2=x2+y23．有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，5，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是（）A． B． C． D．4．甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是13.2秒，方差如下表所示选手甲乙丙丁方差0.030 0.019 0.121 0.022则这四人中发挥最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（）A．52°B．38°C．42°D．60°6．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC并延长至E，使CE=CB，连接ED．若量出DE=58米，则A，B间的距离为（）A．29米B．58米C．60米D．116米7．在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（）A．（﹣4，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，2）D．（2，﹣2）8．对式子2a2﹣4a﹣1进行配方变形，正确的是（）A．2（a+1）2﹣3 B．（a﹣1）2﹣C．2（a﹣1）2﹣1 D．2（a﹣1）2﹣39．为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个25元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么小张同学应该买的球拍的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．810．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt △ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：ab2﹣ac2=______．12．请你写出一个一次函数，满足条件：①经过第一、三、四象限；②与y轴的交点坐标为（0，﹣1）．此一次函数的解析式可以是______．13．已知一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是______边形．14．为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图．这些车速的众数是______．15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱为x，乙持钱为y，可列方程组为______．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC．甲、乙、丙、丁四位同学的主要作法如下：甲同学的作法：如图甲：以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．乙同学的作法：如图乙：作线段AC的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．丙同学的作法：如图丙：以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点P，则点P 就是所求的点．丁同学的作法：如图丁：作线段AB的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．请你判断哪位同学的作法正确______；这位同学作图的依据是______．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：tan60°+|﹣2|﹣（﹣1）0﹣（）﹣1．18．解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．19．已知x2﹣x﹣3=0，求代数式（x+1）2﹣x（2x+1）的值．20．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠BAC=40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）．21．列方程或方程组解应用题：在“春节”前夕，某花店用13 000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快销售一空．根据市场需求情况，该花店又用6 000元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？22．如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．23．在平面直角坐标系xOy中，直线y=k1x+b与x轴交于点B，与y轴交于点C，与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A（3，1），连接OA．（1）求反比例函数y=的解析式；（2）若S△AOB：S△BOC=1：2，求直线y=k1x+b的解析式．24．某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当n＜3时，为“偏少”；当3≤n＜5时，为“一般”；当5≤n＜8时，为“良好”；当n≥8时，为“优秀”．将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表：阅读本数n（本） 1 2 3 4 5 6 7 8 9人数（名） 1 2 6 7 12 x 7 y 1请根据以上信息回答下列问题：（1）求出本次随机抽取的学生总人数；（2）分别求出统计表中的x，y的值；（3）估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数．25．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线．（2）若PB=3，DB=4，求DE的长．26．在课外活动中，我们要研究一种四边形﹣﹣筝形的性质．定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形（如图1）．小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究．下面是小聪的探究过程，请补充完整：（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是______；（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明；（3）如图2，在筝形ABCD中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积．27．已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．（1）当m取何值时，此方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数时，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象直接写出实数a的取值范围．28．如图，等边△ABC，其边长为1，D是BC中点，点E，F分别位于AB，AC边上，且∠EDF=120°．（1）直接写出DE与DF的数量关系；（2）若BE，DE，CF能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思路，画出图形，直接给出结果即可）（3）思考：AE+AF的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由．29．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若存在过点P的直线l交⊙C于异于点P的A，B两点，在P，A，B三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P为⊙C 的相邻点，直线l为⊙C关于点P的相邻线．（1）当⊙O的半径为1时，①分别判断在点D（，），E（0，﹣），F（4，0）中，是⊙O的相邻点有______；②请从①中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程；③点P在直线y=﹣x+3上，若点P为⊙O的相邻点，求点P横坐标的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上存在⊙C的相邻点P，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．2020年北京市东城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．数据显示，2020年全国新建、改扩建校舍约为51 660 000平方米，全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件工作取得明显成果．将数据51 660 000用科学记数法表示应为（）A．5.166×107B．5.166×108C．51.66×106D．0.5166×108【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：51 660 000用科学记数法表示应为5.166×107，故选A．2．下列运算中，正确的是（）A．x•x3=x3B．（x2）3=x5C．x6÷x2=x4D．（x﹣y）2=x2+y2【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加；幂的乘方底数不变指数相乘；同底数幂的除法底数不变指数相减；差的平方等于平方和减积的二倍；可得答案．【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B错误；C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C正确；D、差的平方等于平方和减积的二倍，故D错误；故选：C．3．有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，5，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是（）A． B． C． D．【考点】概率公式．【分析】根据有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，其中奇数有1，3，5，共3个，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：∵共有5个数字，奇数有3个，∴抽出的数字是奇数的概率是．故选C．4．甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是13.2秒，方差如下表所示选手甲乙丙丁方差0.030 0.019 0.121 0.022则这四人中发挥最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】方差．【分析】根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布越稳定进行比较即可．【解答】解：∵0.019＜0.022＜0.030＜0.121，∴乙的方差最小，∴这四人中乙发挥最稳定，故选：B5．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（）A．52°B．38°C．42°D．60°【考点】平行线的性质．【分析】先求出∠3，再由平行线的性质可得∠1．【解答】解：如图：∠3=∠2=38°°（两直线平行同位角相等），∴∠1=90°﹣∠3=52°，故选A．6．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC并延长至E，使CE=CB，连接ED．若量出DE=58米，则A，B间的距离为（）A．29米B．58米C．60米D．116米【考点】全等三角形的应用．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得答案．【解答】解：在△ABC和△DEC中，，△ABC≌△DEC（SAS），∴AB=DE=58米，故选：B．7．在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（）A．（﹣4，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，2）D．（2，﹣2）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化-平移．【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．【解答】解：点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（﹣1+3，2），即（2，2），则点B关于x轴的对称点C的坐标是（2，﹣2），故选D．8．对式子2a2﹣4a﹣1进行配方变形，正确的是（）A．2（a+1）2﹣3 B．（a﹣1）2﹣C．2（a﹣1）2﹣1 D．2（a﹣1）2﹣3【考点】配方法的应用．【分析】利用完全平方公式进行变形即可．【解答】解：2a2﹣4a﹣1，=2（a2﹣2a+1）﹣3，=2（a﹣1）2﹣3．故选：D．9．为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个25元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么小张同学应该买的球拍的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】一元一次不等式组的应用．【分析】设小张同学应该买的球拍的个数为x个，利用购买金额不超过200元得到20×1.5+25x≤200，然后解不等式后求出不等式的最大整数解即可．【解答】解：设小张同学应该买的球拍的个数为x个，根据题意得20×1.5+25x≤200，解得x≤6.8，所以x的最大整数值为6，所以小张同学应该买的球拍的个数是6个．故选B．10．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt △ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，若右图所示，由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y，∵AD∥x轴，∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°，∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC，在△OAB和△DAC中，，∴△OAB≌△DAC（AAS），∴OB=CD，∴CD=x，∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，∴y=x+1．故选A．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：ab2﹣ac2=a（b+c）（b﹣c）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=a（b2﹣c2）=a（b+c）（b﹣c），故答案为：a（b+c）（b﹣c）12．请你写出一个一次函数，满足条件：①经过第一、三、四象限；②与y轴的交点坐标为（0，﹣1）．此一次函数的解析式可以是y=x﹣1（答案不唯一）．．【考点】一次函数图象与系数的关系．【分析】首先根据函数经过的象限确定比例系数的符号，然后根据其与y轴的交点确定答案即可．【解答】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，∴设一次函数的解析式为y=x+b，∵经过点（0，﹣1），∴b=﹣1，∴解析式为y=x﹣1，故答案为：y=x﹣1（答案不唯一）．13．已知一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是五边形．【考点】多边形内角与外角．【分析】任何多边形的外角和是360°．用外角和除以每个外角的度数即可得到边数．【解答】解：360÷72=5．故这个多边形是五边形．故答案为：五．14．为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图．这些车速的众数是70千米/时．【考点】众数；条形统计图．【分析】根据众数是出现次数最多的数直接写出答案即可；【解答】解：70千米/时是出现次数最多的，故众数是70千米/时，故答案为：70千米/时．15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱为x，乙持钱为y，可列方程组为．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】设甲持钱为x，乙持钱为y，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=50元，乙的钱+甲所有钱的=50元，据此可列方程组．【解答】解：设甲持钱为x，乙持钱为y，根据题意，可列方程组：，故答案为：．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC．甲、乙、丙、丁四位同学的主要作法如下：甲同学的作法：如图甲：以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．乙同学的作法：如图乙：作线段AC的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．丙同学的作法：如图丙：以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点P，则点P 就是所求的点．丁同学的作法：如图丁：作线段AB的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．请你判断哪位同学的作法正确丁同学；这位同学作图的依据是垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等量代换．【考点】作图—复杂作图．【分析】分别利用线段垂直平分线的性质结合圆的性质分析得出答案．【解答】解：甲同学的作法：如图甲：以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．无法得出AP=BP，故无法得出PA+PC=BC，故此选项错误；乙同学的作法：如图乙：作线段AC的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．无法得出AP=BP，故无法得出PA+PC=BC，故此选项错误；丙同学的作法：如图丙：以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．无法得出AP=BP，故无法得出PA+PC=BC，故此选项错误；丁同学的作法：如图丁：作线段AB的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点，可得：AP=BP，则PA+PC=BC．故答案为：丁；垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等量代换．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：tan60°+|﹣2|﹣（﹣1）0﹣（）﹣1．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂、负整数指数幂4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：tan60°+|﹣2|﹣（﹣1）0﹣（）﹣1=+2﹣﹣1﹣2=﹣1．18．解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2（x﹣2）≤3（x﹣1），得：x≥﹣1，解不等式，得：x＜3，∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3，不等式组的解集在数轴上的表示如下：19．已知x2﹣x﹣3=0，求代数式（x+1）2﹣x（2x+1）的值．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：原式=x2+2x+1﹣2x2﹣x=﹣x2+x+1，由x2﹣x﹣3=0，得到x2﹣x=3，则原式=﹣3+1=﹣2．20．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠BAC=40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）．【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=70°，由角平分线的性质得到∠ABD=∠CBD=35°，根据平行线的性质得到∠E=∠EAB=35°，于是得到结论．【解答】解：∠EAC=75°，∵AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=∠CBD=35°，∵AE∥BD，∴∠E=∠EAB=35°，∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=75°．21．列方程或方程组解应用题：在“春节”前夕，某花店用13 000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快销售一空．根据市场需求情况，该花店又用6 000元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？【考点】分式方程的应用．【分析】可设第二批鲜花每盒的进价是x元，根据等量关系：第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，列出方程求解即可．【解答】解：设第二批鲜花每盒的进价是x元，依题意有=×，解得x=120，经检验：x=120是原方程的解，答：第二批鲜花每盒的进价是120元．22．如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的性质；作图—基本作图．【分析】（1）由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得，AB=AF，∠BAE=∠FAE，根据平行四边形的性质可得∠FAE=∠AEB，然后证明AF=BE，进而可得四边形ABEF为平行四边形，再由AB=AF可得四边形ABEF为菱形；（2）根据菱形的性质可得AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，利用勾股定理计算出AO的长，进而可得AE的长．【解答】（1）证明：由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AB=AF，∴四边形ABEF为菱形；（2）解：∵四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，在Rt△AOB中，AO==4，∴AE=2AO=8．23．在平面直角坐标系xOy中，直线y=k1x+b与x轴交于点B，与y轴交于点C，与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A（3，1），连接OA．（1）求反比例函数y=的解析式；（2）若S△AOB：S△BOC=1：2，求直线y=k1x+b的解析式．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中，得出关于k2的一元一次方程，解方程即可得出结论；（2）分两种情况考虑：①直线y=k1x+b经过第一、三、四象限，由S△AOB：S△BOC=1：2结合三角形的面积公式得出点C的坐标，由待定系数法即可求出此时直线的函数解析式；②直线y=k1x+b经过第一、二、四象限，由S△AOB：S△BOC=1：2结合三角形的面积公式得出点C的坐标，由待定系数法即可求出此时直线的函数解析式．【解答】解：（1）将点A（3，1）代入到y=中，得1=，解得：k2=3．故反比例函数的解析式为y=．（2）符合题意有两种情况：①直线y=k1x+b经过第一、三、四象限，如图1所示．∵S△AOB：S△BOC=1：2，点A（3，1），∴点C的坐标为（0，﹣2）．则有，解得：．∴直线的解析式为y=x﹣2．②直线y=k1x+b经过第一、二、四象限，如图2所示．∵S△AOB：S△BOC=1：2，点A（3，1），∴点C的坐标为（0，2）．则有，解得：．∴直线的解析式为y=﹣x+2．24．某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当n＜3时，为“偏少”；当3≤n＜5时，为“一般”；当5≤n＜8时，为“良好”；当n≥8时，为“优秀”．将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表：阅读本数n（本） 1 2 3 4 5 6 7 8 9人数（名） 1 2 6 7 12 x 7 y 1请根据以上信息回答下列问题：（1）求出本次随机抽取的学生总人数；（2）分别求出统计表中的x，y的值；（3）估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数．【考点】扇形统计图；用样本估计总体．【分析】（1）根据题意当3≤n＜5时为“一般”可知一般档次人数为6+7，结合其所占百分比为26%，相除可得总人数；（2）由良好档次的百分比及总人数可得良好档次的人数，减去阅读本数为5、7的人数可得x的值，将总人数减去其余各项人数可得y的值；（3）根据样本中优秀档次所占百分比乘以九年级总人数可得．【解答】解：（1）由表知被调查学生中“一般”档次的有13人，所占比例是26%，故被调查的学生数是13÷26%=50（人）；（2）被调查的学生中“良好”档次的人数为50×60%=30（人），∴x=30﹣（12+7）=11（人），y=50﹣（1+2+6+7+12+11+7+1）=3（人）；（3）由样本数据可知：“优秀”档次所占的百分比为×100%=8%，∴估计九年级400名学生中优秀档次的人数为：400×8%=32（人）．25．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线．（2）若PB=3，DB=4，求DE的长．【考点】切线的判定与性质．【分析】（1）由已知角相等，及对顶角相等得到三角形DOE与三角形POB相似，利用相似三角形对应角相等得到∠OBP为直角，即可得证；（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=PB，由PD﹣PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC=r，则有OD=8﹣r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，然后通过相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，∴∠OBP=∠E=90°，∵OB为圆的半径，∴PB为圆O的切线；（2）解：在Rt△PBD中，PB=3，DB=4，根据勾股定理得：PD==5，∵PD与PB都为圆的切线，∴PC=PB=3，∴DC=PD﹣PC=5﹣3=2，在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=4﹣r，根据勾股定理得：（4﹣r）2=r2+22，解得：r=，∴OP==，∵∠E=∠PCO，∠CPO=∠CPO，∴△DEP∽△OBP，∴，∴DE=．26．在课外活动中，我们要研究一种四边形﹣﹣筝形的性质．定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形（如图1）．小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究．下面是小聪的探究过程，请补充完整：（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是菱形；（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明；（3）如图2，在筝形ABCD中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据筝形的定义解答即可；（2）根据全等三角形的判定和性质证明；（3）连接AC，作CE⊥AB交AB的延长线于E，根据正弦的定义求出CE，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）∵菱形的四条边相等，∴菱形是筝形，故答案为：菱形；（2）筝形是轴对称图形；筝形的对角线互相垂直；筝形的一组对角相等．已知：四边形ABCD是筝形，求证：∠B=∠D，证明：如图1，连接AC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC，∴∠B=∠D；（3）如图2，连接AC，作CE⊥AB交AB的延长线于E，∵∠ABC=120°，∴∠EBC=60°，又BC=2，∴CE=BC×sin∠EBC=，∴S△ABC=AB×CE=2，∵△ABC≌△ADC，∴筝形ABCD的面积=2S△ABC=4．27．已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．（1）当m取何值时，此方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数时，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象直接写出实数a的取值范围．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．。
2020年北京市中考数学一模汇编：圆
2020年北京市中考数学一模汇编：圆2、丰台24.在Rt△ABC 中，∠A=90︒，∠B=22.5︒.点P 为线段BC 上一动点，当点P 运动到某一位置时，它到点A，B 的距离都等于a，到点P 的距离等于a 的所有点组成的图形为W，点D 为线段BC 延长线上一点，且点D 到点A 的距离也等于a．（1）求直线DA 与图形W 的公共点的个数；（2）过点A 作AE⊥BD 交图形W 于点E，EP 的延长线交AB 于点F，当a=2 时，求线段EF 的长.3、西城4、朝阳23.如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5．在同一平面内，△ABC 内部一点O 到AB，AC，BC的距离都等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G．（1）直接写出a 的值；（2）连接BO 并延长，交AC 于点M，过点M 作MN⊥BC 于点N．①求证：∠BMA=∠BMN；②求直线MN 与图形G 的公共点个数．5、房山24.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，以AC 为直径作⊙O 交AB 于点D，线段BC 上有一点P．（1）当点P 在什么位置时，直线DP 与⊙O 有且只有一个公共点，补全图形并说明理由.（2）在（1）的条件下，当BP= 求⊙O 半径．6、密云10，AD=3 时，223．如图，AB 为⊙O 的直径，点C、点D 为⊙O 上异于A、B 的两点，连接CD，过点C 作CE⊥DB，交DB 的延长线于点E，连接AC、AD． (1)若∠ABD=2∠BDC，求证：CE 是⊙O 的切线．(2)若⊙O 的半径为，tan ∠BDC =1，求AC 的长．257、平谷8、顺义22．如图，在□ABCD 中，∠B=45°，点C 恰好在以AB 为直径的⊙O 上．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）连接BD，若AB=8，求BD 的长．9、延庆22.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，点D 是弧BC 的中点，连接AC，BD，过点D 作AC 的垂线EF，交AC 的延长线于点E，交AB 的延长线于点F.(1)依题意补全图形；(2)判断直线EF 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(3)若AB=5，BD=3，求线段BF 的长.10、燕山︵22.如图，A B为⊙O的直径，A C为弦，点D为B C中点，过点D作D E⊥直线A C，垂足为E，交AB的延长线于点F．(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若EF＝4，sin F ＝3 ，求⊙O的半径．511、通州。
2020北京各区一模数学试题分类汇编--解析几何(解析版)
2020北京各区一模数学试题分类汇编—解析几何（2020海淀一模）已知双曲线2221(0)y x b b-=>则b 的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由题知21a = ，ce a==，222222+5c a b e a a ，2b ∴=.故选：B.（2020海淀一模） 已知点P (1，2)在抛物线C 2:2y px =上，则抛物线C 的准线方程为___. 【答案】1x =-【解析】(12)P ，在抛物线C 2:2y px =上，24,2p p ==， 准线方程为12px =-=-， 故答案为：1x =-.（2020西城一模） 设双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为____________.【解析】2221(0)4x y b b -=>，一条渐近线方程为：y x =，故b =c =62c ea.（2020西城一模） 设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A. 22(3)2x y -+=B. 22(3)8x y -+=C. 22(3)2x y ++=D. 22(3)8x y ++=【答案】A【解析】AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为2AB r ===，圆方程为22(3)2x y -+=. 故选：A .（2020东城一模） 若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1)，1(2,)2，(2,1)，(4,2)中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________．【答案】28x y =或2y x =【解析】设抛物线的标准方程为：2x my =，不难验证()12,4,22⎛⎫⎪⎝⎭，适合，故28x y =； 设抛物线的标准方程为：2n y x =，不难验证()()1,14,2，适合，故2y x =；故答案为：28x y =或2y x =（2020东城一模） 已知圆C 与直线y x =-及40x y +-=的相切，圆心在直线y x =上，则圆C 的方程为（ ）A. ()()22112x y -+-=B. ()()22112x y -++=C. ()()22114x y ++-= D. ()()22114x y +++=【答案】A【解析】圆心在y x =上，设圆心为(),a a ，圆C 与直线y x =-及40x y +-=都相切，∴圆心到两直线y x =-及40x y +-=的距离相等，1a =⇒=，∴圆心坐标为()1,1，R == 圆C 的标准方程为()()22112x y -+-=. 故选：A.（2020东城一模） 已知曲线C 的方程为221x y a b-=，则“a b >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若0a b >>，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立， 若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则满足0a b >->， 即0a >，0b <，满足a b >，即必要性成立，即“a b >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件. 故选：B.（2020东城一模） 抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为（ ）A. 1(0,)2- B. (0,1)- C. (0,2)- D. (0,4)-【答案】B【解析】准线方程为：，与y 轴的交点为(0,1)-，故选B.（2020丰台一模） 已知双曲线M ：2213y x -=的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA ，OC 所在直线.若椭圆N ：22221x y a b+=（0a b >>）经过A ，C 两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a =______.【解析】因为OA 为双曲线2213y x -=的渐近线，所以OA k =60AOB ∠=︒所以sin 60AD AO ︒==，1cos602OD AO ︒=⋅=，则1,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭因为21OB OD ==，所以椭圆N 的半焦距1c = 设椭圆N 的左焦点为1F ，则1(1,0)F -，连接1AF由椭圆的定义可得12AF AB a +=2a =，解得a =故答案为：12（2020丰台一模） 过抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 作倾斜角为60︒的直线与抛物线C 交于两个不同的点A ，B （点A 在x 轴上方），则AFBF的值为（ ）A.13B.43D. 3【答案】D【解析】设(,),(,)A A B B A x y B x y ，过点A 分别作准线和x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，过点B 作x 轴的垂线，垂足于点Q ，直线AB 与准线交于点D ，准线与x 轴交于点E 直线AB 的倾斜角为60︒，30MDA ︒∴∠=，即2AD AM =由抛物线的定义知，AM AF =，则2AD AF =，即点F 为AD 中点由于//AM EF ，则22AM EF p ==，即2AF p =，则2sin60A y p =︒=设直线AB的方程为2p y x ⎫=-⎪⎭，即32p x y ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ 并代入22y px =中，得：2203y y p --=，即2A B y y p =-，则23B y == 由于BFQ AFN ∆∆，则||3||A B y AF BF y ===-故选：D（2020丰台一模） 圆()2212x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（ ）A. 2C. 1D.2【答案】B【解析】圆()2212x y -+=的圆心坐标为(1,0)则圆心(1,0)到直线10x y ++=的距离d ==故选：B（2020朝阳区一模） 已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD l ⊥于D .若4AF =，60DAF ∠=︒，则抛物线C 的方程为（ ）A. 28y x =B. 24y x =C. 22y x =D. 2y x =【答案】B【解析】根据抛物线的定义可得4AD AF ==，又60DAF ∠=︒，所以12AD p AF -=， 所以42p -=，解得2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =. 故选：B（2020朝阳区一模） 在ABC 中，AB BC =，120ABC ∠=︒.若以A ，B 为焦点的双曲线经过点C ，则该双曲线的离心率为（ ）A.B.2C.D.【答案】C【解析】设双曲线的实半轴长，半焦距分别为,a c ， 因为120ABC ∠=︒，所以AC BC >， 因为以A ，B 为焦点的双曲线经过点C 所以2AC BC a -=，2AB BC c ==，在三角形ABC 中由余弦定理得222cos1202AB BC AC AB BC +-=⨯⨯，所以222214428c c AC c+--=，解得2212AC c =，所以AC =，所以22c a -=，所以c a =， 故选：C（2020朝阳区一模） 数学中有许多寓意美好的曲线，曲线22322:()4C x y x y +=被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下列三个结论：①曲线C 关于直线y x =对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1；的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界）. 其中，正确结论的序号是________. 【答案】①②【解析】对于①，将(,)y x 代入22322:()4C x y x y +=得22322()4y x y x +=成立，故曲线C 关于直线y x =对称，故①正确；对于②，因为22322222()()44x y x y x y ++=≤，所以221x y +≤1≤， 所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1，故②正确；对于③，联立22322()4y x x y x y =±⎧⎨+=⎩得2212x y ==，从而可得四个交点A ，(,22B -，(,22C --，22D -， 依题意满足条件的最小正方形是各边以,,,A B C D 为中点，边长为2的正方形，故不存在一个以原点为中心、的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界），故③不正确. 故答案为：①②（2020石景山一模） 圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A. 43-B. 34-C.D. 2【答案】A【解析】由2228130x y x y +--+=配方得22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心为(1,4)，因为圆2228130x y x y +--+=圆心到直线10ax y +-=的距离为11=，解得43a =-，故选A.（2020石景山一模）已知F 是抛物线C ：24y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则FN =______. 【答案】3；【解析】根据题意画出图象，如下图所示：因为F 是抛物线C ：24y x =的焦点，所以点F 坐标为(1,0)F .设点N 为(0,)N N y ，因为M 为FN 的中点，所以点M 为1(,)22Ny ， 因为点M 在抛物线上，则214()22N y =⨯.则28Ny = . 的故：3FN === . 故答案为：3.（2020怀柔一模） 已知抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为__________；准线方程为___________. 【答案】 (1). (2,0) (2). 2x =-；【解析】由题可知：双曲线2214x y -=的右顶点坐标为()2,0所以可知抛物线的焦点坐标为()2,0，准线方程为2x =- 故答案为：(2,0)；2x =-（2020怀柔一模）6.已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于原点对称，则圆C 的方程为（ ） A. x 2＋y 2＝1 B. x 2＋(y ＋1)2＝1 C. x 2＋(y －1)2＝1 D. (x ＋1)2＋y 2＝1【答案】D【解析】由题可知：圆C 的圆心()1,0C -，半径为1所以圆C 的方程为：()2211x y ++= 故选：D（2020密云一模） 如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（ ）A. 点M 在圆C 上B. 点M 在圆C 外C. 点M 在圆C 内D. 上述三种情况都有可能【答案】B 【解析】直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交， ∴圆心(0,0)到直线1ax by +=的距离1d =<，1>．也就是点(,)M a b 到圆C 的圆心的距离大于半径．即点(,)M a b 与圆C 的位置关系是点M 在圆C 外．故选：B（2020密云一模） 已知斜率为k 的直线l 与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >，则斜率k 的取值范围是（ ）A. (,1)-∞B. (,1]-∞C. (1,)+∞D. [1,)+∞【答案】C【解析】设直线l 的方程为：y kx b =+， 1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立方程24y kx b y x=+⎧⎨=⎩，消去y 得：222(24)0k x kb x b +-+=， ∴△222(24)40kb k b =-->，1kb ∴<， 且12242kb x x k -+=，2122b x x k=， 12124()2y y k x x b k+=++=， 线段AB 的中点为(1M ,)(0)m m >，∴122422kb x x k -+==，1242y y m k+==， 22k b k -∴=，2m k=， 0m >，0k ∴>， 把22k b k-= 代入1kb <，得221k -<， 21k ∴>，1k ∴>，故选：C（2020密云一模） 双曲线221y x -=的焦点坐标是_______________，渐近线方程是_______________.【答案】 (1). (0, (2). y x =±【解析】由双曲线221y x -=，可得1a =，1b =，则c =所以双曲线的焦点坐标是(0,，渐近线方程为：y x =±．故答案为：(0,；y x =±．（2020顺义区一模） 直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点,当AOB ∆的面积达到最大时,k =________. 【答案】±1【解析】解：由圆22:1O x y +=,得到圆心坐标为()0,0O ,半径1r =,把直线的方程为:1l y kx =+,整理为一般式方程得：:10l kx y -+=,.圆心()0,0O 到直线AB 的距离211d k弦AB 的长度AB == 2222111212111AOB k k S k k k k k, 又因为1122k k k k ,12AOB S当且仅当1k k 时取等号,AOB S 取得最大值,最大值为12.解得1k =±故答案为：±1（2020顺义区一模） 抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线22x y p -=的一个焦点，则p =（）A. B. 8 C. 4 D. 1【答案】B【解析】解：抛物线()220y px p =>的焦点为,02p⎛⎫ ⎪⎝⎭,双曲线22x y p -=,为221x y p p -=,则22c p =,c =焦点为：)或(),所以有2p =,解得0p =或8p =,又因为0p >, 所以8p =.故选：B（2020延庆一模） 已知双曲线221169x y C -=：的右焦点为F ，过原点O 的直线与双曲线C 交于,A B 两点，且60AFB ∠=︒，则BOF 的面积为( )A. 2B. 2C. 32D. 92【答案】A【解析】如图，设双曲线的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，依题可知四边形1AFBF 的对角线互相平分，则四边形1AFBF 为平行四边形，由60AFB ∠=︒可得1120F BF ∠=︒，依题可知12||210F F c ===，由余弦定理可得：2221111|BF |+|BF|-2|BF ||BF|cos |||F BF F F ∠=即2211|BF |+|BF|+|BF ||BF|100=； 又因为点B 在椭圆上，则1||BF |-|BF||28a ==，所以2211|BF |+|BF|-2|BF ||BF|64=.两式相减得13|BF ||BF|36=，即1|BF ||BF|12=，所以1F BF 的面积为：11111||||sin 12222F BF S BF BF F BF =∠=⨯⨯=因为O 为1F F 的中点，所以11332OBF F BF S S ==故选：A（2020延庆一模） 经过点()2,0M -且与圆221x y +=相切的直线l 的方程是____________.【答案】2)y x =+ 【解析】依题满足条件的直线斜率存在，设直线l 方程为：(2)y k x =+即20kx y k -+=.又221x y +=的圆心为(0,0)，半径为1,又直线l 与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，1=，解之得：k =所以直线的方程为2)y x =+.故答案为：(2)3y x =±+ （2020海淀一模） 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>12(,0),(,0),(0,)A a A a B b -，12A BA ∆的面积为2.(I)求椭圆C 的方程；(II)设M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线1A B 与直线2A M 交于点P ，直线1A M 与直线2A B 交于点Q .求证:△BPQ 为等腰三角形.【解析】 (I)由题意得2221222c aab b c a ⎧=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得2,1,a b c ===2214x y +=. (II)由题意得()()()122,0,2,0,0,1A A B -,设点(),M m n ，则有2244m n +=，又直线2A M 的直线方程为()22n y x m =--，直线1A B 的直线方程为112y x =+， ()22112n y x m y x ⎧=-⎪⎪-∴⎨⎪=+⎪⎩，解得24422422m n x n m n y n m +-⎧=⎪⎪-+⎨⎪=⎪-+⎩， P ∴点的坐标为2444,2222m n n n m n m +-⎛⎫ ⎪-+-+⎝⎭. 又直线1A M 的直线方程为()22n y x m =++，直线2A B 的直线方程为112y x =-+.()22112n y x m y x ⎧=+⎪⎪+∴⎨⎪=-+⎪⎩，解得24422422m n x n m n y n m -+⎧=⎪⎪++⎨⎪=⎪++⎩， Q ∴点的坐标为2444,2222m n n n m n m -+⎛⎫ ⎪++++⎝⎭. 22225(1)4p p p BP x y x ∴=+-=，22225(1)4Q Q Q BQ x y x ∴=+-=. 2222244244()()2222P Q m n m n x x n m n m +--+-=--+++ ()()()()()()22222242222422222222m n n m m n n m n m n m +-++--+-+=-+++ ()()222264(44)02222mn m n n m n m +-==-+++， 22=BP BQ ∴，BP BQ ∴=，∴△BPQ 为等腰三角形.（2020西城一模） 设椭圆22:12x E y +=，直线1l 经过点()0M m ，，直线2l 经过点()0N n ，，直线1l 直线2l ，且直线12l l ，分别与椭圆E 相交于A B ，两点和C D ，两点.(Ⅰ)若M N ，分别为椭圆E 的左、右焦点，且直线1l x ⊥轴，求四边形ABCD 的面积; (Ⅱ)若直线1l 的斜率存在且不为0，四边形ABCD 为平行四边形，求证:0m n +=;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形ABCD 能否为矩形，说明理由.【解析】 (Ⅰ)()1,0M -，()1,0N，故1,2A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,2B ⎛-- ⎝⎭，1,2C ⎛ ⎝⎭，1,2D ⎛- ⎝⎭. 故四边形ABCD的面积为S =(Ⅱ)设1l 为()y k x m =-，则()2212x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，故()22222214220k x k mx m k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，故2122221224212221k m x x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，12AB x =-==，同理可得CD = AB CD ==， 即22m n =，m n ≠，故0m n +=.(Ⅲ)设AB 中点为(),P a b ，则221112x y +=，222212x y +=， 相减得到()()()()1212121202x x x x y y y y +-++-=，即20a kb +=，同理可得：CD 的中点(),Q c d ，满足20c kd +=，故11222PQ d b d b k c a kd kb k k--===-≠---+，故四边形ABCD 不能为矩形. （2020东城一模） 已知椭圆22:36C x y +=的右焦点为F .（1）求点F 的坐标和椭圆C 的离心率；（2）直线():0l y kx m k =+≠过点F ，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，如果点P 关于x 轴的对称点为'P ，判断直线'P Q 是否经过x 轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由.【解析】（1）椭圆22:162x y C +=， 2224c a b ∴=-=，解得2c =，∴焦点()2,0F，离心率e . （2）直线():0l y kx m k =+≠过点F ，2m k ∴=-，():2l y k x ∴=-.由()22362x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，得()222231121260k x k x k +-+-=.（依题意>0∆）. 设()11,P x y ，()22,Q x y ， 则21221231k x x k +=+，212212631k x x k -⋅=+. 点P 关于x 轴的对称点为'P ，则()'11,P x y -. ∴直线'P Q 的方程可以设为()211121y y y y x x x x ++=--， 令0y =，2111211211212x y x y x y x y x x y y y y -+=+=++ ()()()211212224kx x kx x k x x -+-=+-()()121212224x x x x x x -+=+- 22222212612223131312431k k k k k k -⨯-⨯++==⎛⎫- ⎪+⎝⎭.∴直线'P Q 过x 轴上定点()3,0.（2020丰台一模） 已知椭圆C ：22221y x a b +=（0a b >>）的离心率为2，点1,0P 在椭圆C 上，直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A ，B.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线PA ，PB 分别交y 轴于M ，N 两点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得2OQN OQM π∠+∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由题意222211b c a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得22a =，21b =.所以椭圆C 的方程为2212y x +=. （2）假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=.设(),0Q m 因为2OQN OQM π∠+∠=，所以OQN OMQ ∠=∠.则tan tan OQN OMQ ∠=∠. 即ON OQ OQ OM=，所以2OQ ON OM =. 因为直线0y y =交椭圆C 于A ，B 两点，则A ，B 两点关于y 轴对称. 设()00,A x y ，()00,B x y -（01x ≠±），因为1,0P ，则直线PA 的方程为：()0011y y x x =--.令0x =，得001M y y x -=-. 直线PB 的方程为：()0011y y x x -=-+. 令0x =，得001M y y x =+. 因为2OQ ON OM =，所以220201y m x =-. 又因为点()00,A x y 在椭圆C 上，所以()220021y x =-. 所以()202202121x m x -==-.即m =.所以存在点()Q 使得2OQN OQM π∠+∠=成立.（2020朝阳区一模） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆222:O x y r +=（O 为坐标原点）.过点(0,)b 且斜率为1的直线与圆O 交于点(1,2)，与椭圆C 的另一个交点的横坐标为85-. （1）求椭圆C 的方程和圆O 的方程；（2）过圆O 上的动点P 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，若直线1l 的斜率为(0)k k ≠且1l 与椭圆C 相切，试判断直线2l 与椭圆C 的位置关系，并说明理由. 【解析】（1）因为圆O 过点(1,2)，所以圆O 的方程为：225x y +=.因为过点(0,)b 且斜率为1的直线方程为y x b =+，又因为过点(1,2)，所以1b =.因为直线与椭圆相交的另一个交点坐标为83(,)55--， 所以22283()()5511a --+=，解得24a =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）直线2l 与椭圆C 相切.理由如下：设圆O 上的动点000(,)(2)P x y x ≠±，所以22005x y +=.依题意，设直线1l ：00()y y k x x -=-.由220044,()x y y kx y kx ⎧+=⎨=+-⎩得2220000(14)8()4()40k x k y kx x y kx ++-+--=. 因为直线1l 与椭圆C 相切，所以2220000[8()]4(14)[4()4]0k y kx k y kx ∆=--+--=.所以220014()k y kx +=-.所以2220000(4)2(1)0x k x y k y -++-=.因为22005x y +=，所以220041x y -=-.所以2220000(1)2(1)0y k x y k y -++-=.设直线2l ：001()y y x x k-=--， 由220044,1()x y y y x x k ⎧+=⎪⎨-=--⎪⎩得220000248(1)()4()40x x x y x y k k k k +-+++-=.则222100001116[(4)()2()(1)]x x y y k k∆=--+-+- 2220000216[(4)2(1)]x kx y y k k=--+- 2220000216[(1)2(1)]y kx y y k k=--+- 2220000216[(1)2(1)]0y k kx y y k =--++-=. 所以直线2l 与椭圆C 相切.（2020石景山一模） 已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为()1,0F，离心率为2.直线l 过点F 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线l 的斜率.【解析】（1）由已知1c =，2c e a ==， 又222a b c =+，解得a =1b = 所以椭圆方程为2212x y +=. （2）设直线l 的方程为()1y k x =-(0k ≠) 联立()()221210x y y k x k ⎧+=⎪⎨⎪=-≠⎩消去y 得()2222214220k x k x k +-+-=，不妨设()11,A x y ，()22,B x y则2122421k x x k ，因为M 为线段AB 的中点 所以21222221M x x k x k +==+，()2121M M k y k x k -=-=+ 所以12M OM M y k x k-== 所以1122OM l k k k k -⨯=⨯=-为定值. （3）若四边形OAPB 为平行四边形，则OA OB OP +=所以2122421P k x x x k =+=+ ()()()1212122211221P k y y y k x k x k x x k -=+=-+-=+-=+ 因为点P 在椭圆上，所以2222242222121k k k k ⎛⎫-⎛⎫+⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭解得212k =，即k =所以当四边形OAPB 为平行四边形时，直线l 的斜率为2k =± （2020怀柔一模）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，离心率为2． （1）求椭圆的方程；（2）设,A B 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点A 在第一象限，AE x ⊥轴，垂足为E ，连接BE 并延长交椭圆于点D ，证明：ABD ∆是直角三角形．【解析】（1）依题意可得c b a ==2222222212c a b a a a a --===， 得2a =，所以椭圆的方程是22142x y += . （2）设()11,A x y ，(),y D D D x ，则()11,B x y --，()1,0E x ，直线BE 的方程为()1112y y x x x =-， 与22142x y +=联立得 222211*********y y y x x x x ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， 因为D x ，1x -是方程的两个解，所以()212211122211121482212D y y x x x x y y x ---==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭又因为2211142x y +=， 所以21121838D y x x y -=-，代入直线方程得312138D y y y -=- 3112211122111112138241838AB ADy y y y y k k y x x x x y +--===----所以AB AD ⊥，即ABD ∆是直角三角形.（2020密云一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>()0,1A .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是椭圆上异于短轴端点A ，B 的任意一点，过点P 作PQ y ⊥轴于Q ，线段PQ 的中点为M .直线AM 与直线1y =-交于点N ，D 为线段BN 的中点，设O 为坐标原点，试判断以OD 为直径的圆与点M 的位置关系.【解析】（1）由题意可知，22212b c aa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=. （2）设点0(P x ，0)y ，则0(2x M ，0)y ， ∴直线AM 的斜率为000012(1)02y y x x --=-， ∴直线AM 的方程为：002(1)1y y x x -=+， 令1y =-得，001x x y =-， ∴点N 的坐标为00(1x y -，1)-， ∴点D 的坐标为00(2(1)x y -，1)-， ∴0(2x OM DM →→⋅=，2220000000000)(,1)22(1)444x x x x y y y y y y ⋅-+=+-+--， 又点0(P x ，0)y 在椭圆C 上， ∴220014x y +=，220044x y =-，∴2000004(1)11(1)04(1)y OM DM y y y y →→-⋅=-+=-++=-， ∴点M 在以OD 为直径的圆上．（2020顺义区一模）已知椭圆C ：223412x y +=.（1）求椭圆C 的离心率；（2）设,A B 分别为椭圆C 的左右顶点,点P 在椭圆C 上,直线AP ,BP 分别与直线4x =相交于点M ,N .当点P 运动时,以M ,N 为直径的圆是否经过x 轴上的定点？试证明你的结论. 【解析】（1）由223412x y +=得22143x y +=, 那么224,3a b ==所以2221c a b =-=解得2a =,1c =所以离心率12c e a == （2）由题可知(2,0),(2,0)A B -,设()00,P x y ,则2200:3412C x y +=① 直线AP 的方程：00(2)2y y x x =++ 令4x =,得0062M y y x =+,从而M 点坐标为0064,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭直线BP 的方程：00(2)2y y x x =--令4x =,得0022N y y x =-,从而N 点坐标为0024,2y x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭设以MN 为直径的圆经过x 轴上的定点()1,0Q x ,则MQ NQ ⊥由0MQ NQ ⋅=得()()()22010*******y x x x -+=+-② 由①式得()2220001236994y x x =-=-,代入②得()2149x -= 解得11x =或17x =所以MN 为直径的圆经过x 轴上的定点()1,0和()7,0.（2020延庆一模）已知椭圆22221(0)x y a b a b G +=>>：的左焦点为(),F且经过点(),,C A B 分别是G 的右顶点和上顶点，过原点O 的直线l 与G 交于,P Q 两点（点Q 在第一象限），且与线段AB 交于点M .（1）求椭圆G 的标准方程；（2）若3PQ =，求直线l 的方程；（3）若BOP △的面积是BMQ 的面积的4倍，求直线l 的方程.【解析】（1）依题知c =1F ），因为点()C在椭圆上，且1||CF =， 又||1CF =，所以12||||4a CF CF =+=，所以2a =所以222422b a c =-=-=，所以椭圆的标准方程为22142x y +=. （2）因为点Q 在第一象限，所以直线l 的斜率存在， 设直线l 的斜率为(0)k k >，则直线l 的方程为y kx =， 设直线 l 与该椭圆的交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，由2224y kx x y =⎧⎨+=⎩可得22(12)40k x +-=， 易知>0∆，且1212240,12x x x x k -+==+，则PQ ==3=== ，所以27,22k k ==±，又0k >，所以直线l 的方程为2y x =. （3）设(,)m m M x y ，()00,Q x y ，则()00,P x y --，易知002x <<，001y <<.由()2,0A ，B ，所以直线AB 的方程为12x +=，即20x +-=. 若BOP ∆的面积是BMQ ∆的面积的4倍，则||4||OP MQ =,由,P Q 关于原点对称，可得||||OP OQ =, 所以||4||OQ MQ =，所以3||||4OM OQ =即034m x x = ① .设直线l 的方程为y kx =，由20y kx x =⎧⎪⎨-=⎪⎩得m x =， 由2224y kx x y =⎧⎨+=⎩得0x =，34=,化简得21470k -+=，解得814k =， 所以直线l的方程为：y x =.。
2020年北京市中考数学一模试卷 (含解析)
2020年北京市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.图中三视图对应的几何体是()A. B.C. D.2.2013年12月2日，“嫦娥三号”从西昌卫星发射中心发射升空，并于12月14日在月球上成功实施软着陆．月球距离地球平均为38万公里，将数38万用科学记数法表示，其结果()A. 3.8×104B. 38×104C. 3.8×105D. 3.8×1063.如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1+∠2=100°，则∠1等于()A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有()个A. 0B. 1C. 2D. 35.八边形的外角和等于()。
A. 180ºB. 360ºC. 1080ºD. 1440º6.实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是()A. |m|<1B. 1−m>1C. mn>0D. m+1>07.如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字−1，0，1，2.若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字(当指针恰好指在分界线上时，不记，重转)，则记录的两个数字都是正数的概率为()A. 18B. 16C. 14D. 128.有一个安装有进出水管的30升容器，水管每单位时间内进出的水量是一定的，设从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，得到水量y(升)与时间x(分)之间的函数关系如图所示.根据下图信息给出下列说法：①每分钟进水5升；②当4≤x≤12时，容器中水量在减少；③若12分钟后只放水，不进水，还要8分钟可以把水放完；④若从一开始进出水管同时打开需要24分钟可以将容器灌满.以上说法中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.8.若代数式1+1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为____．x−110.已知关于x的方程x2−2(m+1)x+m2−3=0，当m取______时，方程有两个相等的实数根．11. 已知k 为整数，且满足√6<k <√10，则k 的值是______． 12. 方程组{x +y =16,5x +3y =72的解是______．13. 如图，双曲线y =kx 于直线y =−12x 交于A 、B 两点，且A(−2,m)，则点B 的坐标是______．14. 如图1，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，若AB =AC +CD ，那么∠ACB 与∠ABC 有怎样的数量关系？小明通过观察分析，形成了如下解题思路：如图2，延长AC 到E ，使CE =CD ，连接DE.由AB =AC +CD ，可得AE =AB.又因为AD 是∠BAC 的平分线，可得△ABD≌△AED ，进一步分析就可以得到∠ACB 与∠ABC 的数量关系． (1)判定△ABD 与△AED 全等的依据是______； (2)∠ACB 与∠ABC 的数量关系为：______．15. 如图，是大小相等的边长为1的正方形构成的网格，A ，B ，C ，D 均为格点．则△ACD 的面积为______．16.某旅行团在一城市游览，有甲、乙、丙、丁四个景点，导游说：“①甲、乙要么都去，要么都不去；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去．”根据导游的说法，在下列选项中，该旅行团可能游览的景点是()A.甲、丙B.甲、丁C.乙、丁D.丙、丁三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.计算：|−2|−3−1+sin30°+√16．18.解不等式组：{2x−3>1 2−x3>x3−2．19.化简求值：已知x2−2x=2，求代数式(x−1)2+(x+3)(x−3)+(x−3)(x−1)的值．20.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连结AC、OC、BC.求证：∠ACO=∠BCD．21.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF=BE，连接DF．(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)若BF=8，DF=4，求CD的长．x，且经过点A(2,3)，与22.在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知一次函数的图象平行于直线y=12x轴交于点B．(1)求这个一次函数的解析式；(2)设点C在y轴上，当AC=BC时，求点C的坐标．23.如图，AB是⊙O的直径，CB与⊙O相切于点B.点D在⊙O上，且BC=BD，连接CD交⊙O于点E.过点E作EF⊥AB于点H，交BD于点M，交⊙O于点F．(1)求证：∠MED=∠MDE．(2)连接BE，若ME=3，MB=2.求BE的长．24.已知关于x的一次函数y=mx−3m2+12，请按要求解答问题：(1)m为何值时，函数图象过原点，且y随x的增大而减小？(2)若函数图象平行于直线y=−x，求一次函数的表达式；(3)若点(0,−15)在函数图象上，求m的值．25.某射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了8次测试，测试成绩(单位：环)如下表：(1)根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是______ 环，乙的平均成绩是______ 环；(2)分别计算甲、乙两名运动员8次测试成绩的方差；(3)根据(1)(2)计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，并说明理由．26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3a过点A(−1,0)．(1)求抛物线的对称轴；(2)直线y=x+4与y轴交于点B，与该抛物线对称轴交于点C.如果该抛物线与线段BC有交点，结合函数的图象，求a的取值范围;(3)在(2)的条件下，抛物线与线段BC的交点记为D，若D为线段BC的三等分点，求出a的值．27.如图，已知AB=12，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，AD=5，BC=10，点E是CD的中点，求AE的长．28.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离S P的定义如下：若点P与圆心O重合，则S P为⊙O的半径长；若点P与圆心O不重合，作射线OP交⊙O于点A，则S P为线段AP的长度．图1为点P在⊙O外的情形示意图．)，则S B=______；S C=______；S D=______；(1)若点B(1,0)，C(1,1)，D(0,13(2)若直线y=x+b上存在点M，使得S M=2，求b的取值范围；(3)已知点P，Q在x轴上，R为线段PQ上任意一点．若线段PQ上存在一点T，满足T在⊙O内且S T≥S R，直接写出满足条件的线段PQ长度的最大值．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查三视图，用到的知识点为：由主视图和左视图可得几何体是柱体，锥体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状．由主视图和左视图可得此几何体为下部是柱体，根据俯视图可判断出此上面是圆台，由此即可得出结论．解：从主视图推出这两个几何体接触部分的宽度相同，从俯视图推出下面是圆柱体，上面是圆台．由此可以判断对应的几何体是C．故选C．2.答案：C解析：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．解：38万=3.8×105．故选：C．3.答案：C解析：解：∵∠1+∠2=100°且∠1=∠2，∴∠1=∠2=50°，故选：C．由∠1+∠2=100°且∠1=∠2可得答案．本题主要考查对顶角的概念，解题的关键是掌握对顶角相等这一性质．4.答案：C解析：此题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图形重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别分析得出答案．解：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，正方形和正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形，故选：C．5.答案：B解析：本题主要考查的是多边形的外角和的有关知识，由题意利用多边形的外角和等于360°直接求解即可．解：八边形的外角和为360°．故选B．6.答案：B解析：本题考查了实数与数轴：数轴上的点与实数一一对应；右边的数总比左边的数大．利用数轴表示数的方法得到m<0<1<n，|m|>1，然后对各选项进行判断．解：利用数轴得m<0<1<n，|m|>1，所以−m>0，1−m>1，mn<0，m+1<0．故选B．7.答案：C解析：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个数字都是正数的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案．解：画树状图如下：∵共有16种等可能的结果，两个数字都是正数的有4种情况，∴记录的两个数字都是正数的概率是416=14．故选C．8.答案：C解析：本题考查了一次函数的图象，正确理解图象中表示的实际意义是关键.根据图象可以得到单独打开进水管4分钟注水20升，而同时打开放水管，8分钟内放进10升水，据此即可解答．解：①每分钟进水204=5(升)，则①正确；②当4≤x≤12时，y随x的增大而增大，因而容器中水量在增加，则②错误；③每分钟放水5−30−2012−4=5−1.25=3.75(升)，则放完水需要303.75=8(分钟)，故③正确；④同时打开进水管和放水管，每分钟进水30−2012−4=1.25(升)，则同时打开将容器灌满需要的时间是301.25=24(分钟)，④正确．故选C．9.答案：x≠1解析：根据分式有意义的条件解答即可．【详解】∵1+1在实数范围内有意义，x−1∴x−1≠0，解得：x≠1．故答案为：x≠1本题考查分式有意义的条件，要使分式有意义，分母不为0．10.答案：−2解析：解：∵关于x的方程x2−2(m+1)x+m2−3=0有两个相等的实数根，∴△=[−2(m+1)]2−4×1×(m2−3)=8m+16=0，解得：m=−2．故答案为：−2．根据方程的系数结合根的判别式△=0，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．11.答案：3解析：本题考查了估算无理数的大小和实数的大小比较，能估算出√6和√10的范围是解此题的关键．先估算出√6和√10的范围，再得出答案即可．解：∵2<√6<3，3<√10<4，∴整数k =3，故答案为3．12.答案：{x =12y =4解析：解：{ x +y =16 ①5x +3y =72 ②②−3×①，得2x =24，∴x =12．把x =12代入①，得12+y =16，∴y =4．∴原方程组的解为{x =12y =4． 故答案为：{x =12y =4． 用代入法或加减法求解二元一次方程组即可．本题考查的是二元一次方程的解法．掌握二元一次方程组的代入法、加减法是解决本题的关键． 13.答案：(2,−1)解析：【试题解析】解：当x =−2时，y =−12×(−2)=1，即A(−2,1)，由正比例函数与反比例函数图象交点关于原点对称，∴B(2,−1)，故答案为：(2,−1)．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，由正比例函数与反比例函数图象交点关于原点对称即可得解．根据自变量的值，可得相应的函数值，即得A 点坐标，由正比例函数与反比例函数图象交点关于原点对称，即可得出答案．14.答案：(1)SAS ;(2)∠ACB=2∠ABC解析：本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．(1)根据已知条件即可得到结论；(2)根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．解：(1)SAS；(2)∵△ABD≌△AED，∴∠B=∠E，∵CD=CE，∴∠CDE=∠E，∴∠ACB=2∠E，∴∠ACB=2∠ABC．故答案为：SAS，∠ACB=2∠ABC．15.答案：52解析：解：由题意S△ADC=12×5×1=52，故答案为52．利用三角形的面积公式计算即可．本题考查三角形的面积，解题的关键是看清楚题意，熟练掌握基本知识．16.答案：D解析：此题主要考查了推理与论证，关键是正确分情况，进行讨论．根据导游说的分两种情况进行分析：①甲、乙要么都去，要么都不去；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去；然后分析可得答案．解：导游说：“①甲、乙要么都去，要么都不去；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去．”，①假设甲、乙要么都去，要么都不去，因此可以去甲、乙或丙、丁；②假设乙、丙只能去一个，因此可以去甲、乙或丙、丁；③假设丙、丁要么都去，要么都不去，因此可以去甲、乙或丙、丁．综上所述，该旅行团可能游览的景点是甲、乙或丙、丁．故选D．17.答案：解：原式=2−13+12+4=376．解析：直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和二次根式的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.答案：解：解不等式2x−3>1，得：x>2，解不等式2−x3>x3−2，得：x<4，∴不等式组的解集为2<x<4解析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19.答案：解：(x−1)2+(x+3)(x−3)+(x−3)(x−1)=x2−2x+1+x2−9+x2−3x−x+3=3x2−6x−5当x2−2x=2时，原式=3(x2−2x)−5=3×2−5=1．解析：此题考查整式的混合运算，化简求值.先利用多项式乘以多项式法则，平方差公式，完全平方公式去括号，再合并同类项，最后把x2−2x=2整体代入计算即可．20.答案：证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴BC⏜=BD⏜，∴∠A=∠BCD，又∵OA=OC，∴∠ACO=∠A．∴∠ACO=∠BCD．解析：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．先根据垂径定理得到BC⏜=BD⏜，再根据圆周角定理得到∠A=∠BCD，加上∠ACO=∠A.然后利用等量代换得到结论．21.答案：(1)证明：∵在菱形ABCD中，∴AD//BC且AD=BC，∵BE=CF，∴BC=EF，∴AD=EF，∵AD//EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°，∴四边形AEFD是矩形；(2)解：设BC=CD=x，则CF=8−x，在Rt△DCF中，∵CF2+DF2=CD2,∴x2=(8−x)2+42 ，∴x=5，∴CD=5．解析：本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．(1)根据菱形的性质得到AD//BC且AD=BC，由CF=BE等量代换证明AD=EF，推出四边形AEFD 是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；(2)设BC=CD=x，则CF=8−x，根据勾股定理即可得到结论．22.答案：解：(1)设一次函数的解析式为：y=kx+b，∵一次函数的图象平行于直线y=12x，∴k=12，∵一次函数的图象经过点A(2,3)，∴3=12×2+b，∴b=2，∴一次函数的解析式为y=12x+2；(2)由y=12x+2，令y=0，得12x+2=0，∴x=−4，∴一次函数的图形与x轴的解得为B(−4,0)，∵点C在y轴上，∴设点C的坐标为(0,y)，∵AC=BC，∴√(2−0)2+(3−y)2=√(−4−0)2+(0−y)2，∴y=−12，经检验：y=−12是原方程的根，∴点C的坐标是(0,−12).解析：(1)设一次函数的解析式为y=kx+b，解方程即可得到结论；(2)求得一次函数的图形与x轴的解得为B(−4,0)，根据两点间的距离公式即可得到结论．本题考查了两直线相交与平行问题，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．23.答案：(1)证明：∵CB与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∵EF⊥AB，∴EF//BC，∴∠DEM=∠C，∵BC=BD，∴∠C=∠MDE，∴∠MED=∠MDE；(2)∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径，∴BE⏜=BF⏜，∴∠D=∠BEF，∵∠EBM=∠DBE，△BEM∽△BDE，∴BEBM =BDBE，即BE2=BM⋅BD，∵BM=2，ME=3，BD=5，∴BE=√10．解析：(1)由题意得EF//BC，则∠C=∠DEM，又∠C=∠MDE，则结论得证；(2)连BE，BE⏜=BF⏜，可得∠BEF=∠D，可证△BEM∽△BDE，则BE2=BM⋅BD，可求BE的长．本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．24.答案：解：(1)∵一次函数y=mx−3m2+12，函数图象过原点，且y随x的增大而减小，∴{m<0−3m2+12=0解得，m=−2，即当m=−2时，函数图象过原点，且y随x的增大而减小；(2)∵一次函数y=mx−3m2+12，函数图象平行于直线y=−x，∴m=−1，∴−3m2+12=−3×(−1)2+12=9，∴一次函数解析式是y=−x+9；(3)∵一次函数y=mx−3m2+12，点(0,−15)在函数图象上，∴m×0−3m2+12=−15，解得，m=±3，即m的值是±3．解析：本题考查一次函数的性质，解题的关键是明确一次函数的性质，根据题目中的条件解决问题．(1)根据函数图象过原点，且y随x的增大而减小，可知m<0，−3m2+12=0，该函数为正比例函数；(2)根据函数图象平行于直线y=−x，可知m=−1，从而可以得到一次函数解析式；(3)根据点(0,−15)在函数图象上，可以得到关于m的方程，从而可以得到m的值．25.答案：(1)9；9[(10−9)2+(8−9)2+(9−9)2+(8−9)2+(10−9)2+(9−9)2+(10−9)2+ (2)甲的方差为：18(8−9)2]=0.75，[(10−9)2+(7−9)2+(10−9)2+(10−9)2+(9−9)2+(8−9)2+(8−9)2+乙的方差为：18(10−9)2]=1.25．(3)∵0.75<1.25，∴甲的方差小，∴甲比较稳定，故选甲参加全国比赛更合适．×(10+8+9+8+10+9+10+8)=9，解析：解：(1)甲的平均成绩为：18×(10+7+10+10+9+8+8+10)=9，乙的平均成绩为：18故答案为：9；9；(2)见答案；(3)见答案．(1)根据平均数的计算公式计算即可；(2)利用方差公式计算；(3)根据方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大解答即可．[(x1−本题考查的是方差的概念和性质，一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为x，方差S2=1nx)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．26.答案：解：(1)把A(−1,0)代入得b=4a所以对称轴为x=−2；(2)把b=4a代入解析式得y=a(x+1)(x+3)，则抛物线过(−1,0)(−3,0)两点，当a>0时，x=0代入得y=3a>4，所以a>43，当a<0时，x=−2代入得y=−a>2，所以a<−2，综上，a>43或a<−2；(3)B(0,4)，C(−2,2)，当a>0时，D(−23,103)则a=307，当a<0时，D(−43,83)则a=−245．解析：本题考查了二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式，待定系数法求抛物线解析式，此题属于中档题，但实际知识点较多，需要对二次函数足够了解才能快捷的解题．(1)根据坐标轴上点的坐标特征代入点A坐标，得出b=4a，则解析式为y=a(x+1)(x+3)，进一步得出对称轴；(2)结合图形，分两种情况：①a>0；②a<0；进行讨论即可求解；(3)求出B(0,4)，C(−2,2)，分两种情况：①a>0；②a<0；进行讨论即可求解．27.答案：解：延长AE交BC于F，∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD//BC，∴∠D=∠C，∠DAE=∠CFE，又∵点E是CD的中点，∴DE=CE，∵在△AED与△FEC中，{∠D=∠C∠DAE=∠CFE DE=CE，∴△AED≌△FEC(AAS)，∴AE=FE，AD=FC，∵AD=5，BC=10，∴BF=5，在Rt△ABF中，AF=√AB2+BF2=√122+52=13，∴AE=12AF=6.5．解析：本题主要考查的是平行线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定及性质，勾股定理等有关知识.延长AE交BC于F，利用全等三角形的判定及性质得到AE=FE，AD=FC，然后利用勾股定理求出AF，进而求出此题的答案．28.答案：(1)0，√2−1，23；(2)设直线y=x+b与分别与x轴、y轴交于F、E，作OG⊥EF于G，∵∠FEO=45°，∴OG=GE，当OG=3时，GE=3，由勾股定理得，OE=3√2，此时直线的解析式为：y=x+3√2，∴直线y=x+b上存在点M，使得S M=2，b的取值范围是−3√2≤b≤3√2；(3)∵T在⊙O内，∴S T≤1，∵S T≥S R，∴S R≤1，∴线段PQ长度的最大值为1+2+1=4．解析：解：(1)∵点B(1,0)，∴S B=0，∵C(1,1)，∴S C=√2−1，)，∵D(0,13∴S D=2，3；故答案为：0；√2−1；23(2)见答案；(3)见答案．(1)根据点的坐标和新定义解答即可；(2)根据直线y=x+b的特点，结合S M=2，根据等腰直角三角形的性质解答；(3)根据T在⊙O内，确定S T的范围，根据给出的条件、结合图形求出满足条件的线段PQ长度的最大值．本题考查的是等腰直角三角形的性质、新定义、点与圆的位置关系，正确理解点P到⊙O的距离S P的定义、灵活运用数形结合思想是解题的关键．。
2020-2021中考数学一模试题分类汇编——圆的综合综合附答案解析
2020-2021中考数学一模试题分类汇编——圆的综合综合附答案解析一、圆的综合1．如图，A、B两点的坐标分别为（0，6），（0，3），点P为x轴正半轴上一动点，过点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点Q，连接PQ，M为线段PQ的中点．（1）求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；（2）当⊙M与x轴相切时，求点Q的坐标；（3）当点P从点（2，0）运动到点（3，0）时，请直接写出线段QM扫过图形的面积．【答案】(1)见解析;(2) Q的坐标为（32，9）;(3)63 8.【解析】（1）解：连接AM、BM，∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点∴AM＝BM＝PM=QM= 12 PQ，∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。
（2）解：作MG⊥y轴于G，MC⊥x轴于C，∵AM＝BM∴G是AB的中点，由A（0，6），B（0，3）可得MC＝OG＝4.5∴在点P运动的过程中，点M到x轴的距离始终为4.5则点Q到x轴的距离始终为9，即点Q的纵坐标始终为9，当⊙M与x轴相切时则PQ⊥x轴，作QH⊥y轴于H，HB＝9－3＝6，设OP＝HQ＝x由△BOP∽△QHB，得x2＝3×6＝8，x＝2∴点Q的坐标为（2，9）（3）解：由相似可得：当点P在P1（2，0）时，Q1（4，9）则M1（3，4.5）当点P在P2（3，0）时，Q2（6，9），则M2（4.5，4.5）∴M1M2＝92－3＝32， Q1Q2＝6－4＝2线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1其面积为：12×(32＋2)×4.5＝638.【解析】【分析】根据已知可得出三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形，再根据这个条件结合题意直接解答此题.【详解】（1）解：连接AM、BM，∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点∴AM＝BM＝PM=QM= PQ，∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。
2020年北京中考数学一模分类汇编——代数综合(学生版)
2020年北京中考数学一模分类汇编——代数综合1．（2020•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m的顶点为A．（1）当m＝1时，直接写出抛物线的对称轴；（2）若点A在第一象限，且OA＝，求抛物线的解析式；（3）已知点B（m﹣，m+1），C（2，2）．若抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．2．（2020•西城区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+a+2（a≠0）与x轴交于点A（x1，0），点B （x2，0）（点A在点B的左侧），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．（1）若点A的坐标为（﹣3，0），求抛物线的表达式及点B的坐标；（2）C是第三象限的点，且点C的横坐标为﹣2，若抛物线恰好经过点C，直接写出x2的取值范围；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点D，点P在抛物线上，且∠DOP＝45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，结合图象，求a的取值范围．3．（2020•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．直线y＝ax与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a≠0）围成的封闭区域（不包含边界）为W．（1）求抛物线顶点坐标（用含a的式子表示）；（2）当a＝时，写出区域W内的所有整点坐标；（3）若区域W内有3个整点，求a的取值范围．4．（2020•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1与y轴交于点A．（1）求点A的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点M（﹣2，﹣a﹣2），N（0，a）．若抛物线与线段MN恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．5．（2020•丰台区一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax．（1）二次函数图象的对称轴是直线x＝；（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；（3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．6．（2020•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4ax+b（a＞0）的顶点A在x轴上，与y轴交于点B．（1）用含a的代数式表示b；（2）若∠BAO＝45°，求a的值；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域（不含边界）内恰好没有整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．7．（2020•通州区一模）在平面直角坐标系xOy中，存在抛物线y＝x2+2x+m+1以及两点A （m，m+1）和B（m，m+3）．（1）求该抛物线的顶点坐标；（用含m的代数式表示）（2）若该抛物线经过点A（m，m+1），求此抛物线的表达式；（3）若该抛物线与线段AB有公共点，结合图象，求m的取值范围．8．（2020•平谷区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx+1图象与y轴的交点为A，将点A向右平移4个单位长度得到点B．（1）直接写出点A与点B的坐标；（2）求出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；（3）若函数y＝x2﹣2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围．9．（2020•顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A （0，﹣4）和B（﹣2，2）．（1）求c的值，并用含a的式子表示b；（2）当﹣2＜x＜0时，若二次函数满足y随x的增大而减小，求a的取值范围；（3）直线AB上有一点C（m，5），将点C向右平移4个单位长度，得到点D，若抛物线与线段CD只有一个公共点，求a的取值范围．10．（2020•密云区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）．（1）抛物线的对称轴为；（2）若当1≤x≤5时，y的最小值是﹣1，求当1≤x≤5时，y的最大值；（3）已知直线y＝﹣x+3与抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）存在两个交点，设左侧的交点为点P（x1，y1），当﹣2≤x1＜﹣1时，求a的取值范围．11．（2020•延庆区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3a（a≠0）过点A （1，0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）直线y＝﹣x+4与y轴交于点B，与该抛物线的对称轴交于点C，现将点B向左平移一个单位到点D，如果该抛物线与线段CD有交点，结合函数的图象，求a的取值范围．12．（2020•房山区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1交y轴于点P．（1）过点P作与x轴平行的直线，交抛物线于点Q，PQ＝4，求的值；（2）横纵坐标都是整数的点叫做整点．在（1）的条件下，记抛物线与x轴所围成的封闭区域（不含边界）为W．若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求a的取值范围．13．（2020•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+m（m≠0）的图象与y轴交于点A，过点B（0，2m）且平行于x轴的直线与一次函数y＝x+m（m≠0）的图象，反比例函数y＝的图象分别交于点C，D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当m＝1时，用等式表示线段BD与CD长度之间的数量关系，并说明理由；（3）当BD≤CD时，直接写出m的取值范围．14．（2020•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求m的值；（2）若一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象经过点A，求k的值；（3）将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y＝kx+5（k≠0）向上平移n个单位，当平移后的直线与图象G有公共点时，请结合图象直接写出n的取值范围．。
2020年北京市各城区初三一模数学汇总
顺义区2020届初三第一次统一练习数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个．1．港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米．数字55000用科学记数法表示为（A）45.510⨯（B）45510⨯（C）55.510⨯（D）60.5510⨯2．下列有关医疗和倡导卫生的图标中，是轴对称图形的是（A）（B）（C）（D）3．将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则1∠的度数为（A）60︒（B）65︒（C）75︒（D）85︒4．在数轴上，点A表示数a，将点A向右平移4个单位长度得到点B，点B表示数b．若a b=，则a的值为（A）3-（B）2-（C）1-（D）15．箱子内装有除颜色外均相同的28个白球及2个红球，小芬打算从箱子内摸球，以毎次摸到一球后记下颜色将球再放回的方式摸28次球．若箱子内每个球被摸到的机会相等，且前27次中摸到白球26次及红球1次，则第28次摸球时，小芬摸到红球的概率是（A）12（B）114（C）115（D）1276．已知直线l及直线l外一点P．1如图，（1）在直线l 上取一点A ，连接PA ； （2）作PA 的垂直平分线MN ，分别交直线l ，PA 于点B ，O ；（3）以O 为圆心，OB 长为半径画弧，交直线MN 于另一点Q ；（4）作直线PQ ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是 （A ）△OPQ ≌△OAB（B ）PQ ∥AB（C ）12APBQ =（D ）若PQ=PA ，则60APQ ∠=︒7．用三个不等式a b >，c d >，a cb d +>+中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）38．小明、小聪参加了100m 跑的5期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图．图1 图2根据图中信息，有下面四个推断：①这5期的集训共有56天；②小明5次测试的平均成绩是11.68秒； ③从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑；④从测试成绩看，两人的最好成绩都是在第4期出现，建议集训时间定为14天．所有合理推断的序号是（A ）①③ （B ）②④（C ）②③ （D ）①④二、填空题（本题共16分，每小题2分） 926x -x 的取值范围是 ．10．如图，在量角器的圆心O 处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪，从量角器的点A 处观测，当量角器的0刻度线AB 对准旗杆顶端时，铅垂线对应的度数是50°，则此时观测旗杆顶端的仰角度数是________________.NMB QOAlP10题图 11题图 11．在如图所示的几何体中，主视图、左视图和俯视图完全相同的几何体是 ．（写出所有正确答案的序号）12．化简分式22231x y x y x y x y⎛⎫--÷ ⎪+--⎝⎭的结果为 ．13．如图，将一矩形纸片ABCD 沿着虚线EF 剪成两个全等．．的四边形纸片．根据图中标示的长度与角度，求出剪得的四边形纸片中较短的边AE 的长是 ． 14．已知点(2,3)A -关于x 轴的对称点A '在反比例函数ky x=的图象上，则实数k 的值为 ．15．某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是打乱顺序的统计步骤：①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类②去图书馆收集学生借阅图书的记录 ③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比④整理借阅图书记录并绘制频数分布表正确统计步骤的顺序是 ．16．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，E 、F 是对角线AC 上的两个动点，且2EF =，P 是正方形四边上的任意一点．若PEF ∆是等边三角形，符合条件的P 点共有 个，此时AE 的长为 ．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-23题6分，第24题5分，第25-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：()15tan 30203--+︒--．18．解方程组：2313x y x y +=⎧⎨-=⎩19．已知：关于x 的方程()2220x m x m +--=．．2019年11月，胡润研究院携手知识产权与科创云平台汇桔，联合发布《IP 助燃AI 新纪元—2019中国人工智能产业知识产权发展白皮书》，白皮书公布了2019中国人工智能企业知识产权竞争力百强榜，对500余家中国人工智能主流企业进行定量评估（满分100分），前三名分别为：华为、腾讯、百度．对得分由高到低的前41家企业的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a ．得分的频数分布直方图（数据分成60≤x ＜65，65≤x ＜70，70≤x ＜75，75≤x ＜80，80≤x ＜85，85≤x ＜90，x ＜95，95≤x ≤100，）； MCBADb．知识产权竞争力得分在70≤x＜75这一组的是：70.3 71.6 72.1 72.5 74.1c．41家企业注册所在城市分布图（不完整）如下：（结果保留一位小数）北京53.7%深圳7家上海m家杭州2家广州2家苏州1家合肥1家南京1家d．汉王科技股份有限公司的知识产权竞争力得分是70.3 . （以上数据来源于《IP助燃AI新纪元—2019中国人工智能产业知识产权发展白皮书》）根据以上信息，回答下列问题：（1）汉王科技股份有限公司的知识产权竞争力得分排名是第；（2）百度在人工智能领域取得诸多成果，尤其在智能家居、自动驾驶与服务于企业的智能云领域，百度都已进行前瞻布局，请你估计百度在本次排行榜中的得分大概是；（3）在41家企业注册所在城市分布图中，m= ，请用阴影标出代表上海的区域；（4）下列推断合理的是．（只填序号）①前41家企业的知识产权竞争力得分的中位数应在65≤x＜70这一组中，众数在65≤x＜70这一组的可能性最大；②前41家企业分布于我国8个城市. 人工智能产业的发展聚集于经济、科技、教育相对发达的城市，一线城市中，北京的优势尤其突出，贡献榜单过半的企业，充分体现北京在人工智能领域的产业集群优势.24．如图，D是直径AB上一定点，E，F分别是AD，BD的中点， P是»AB上一动点，连接B APA，PE，PF．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为x cm，P，E两点间的距离为y1cm，P，F两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：(2)在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，(x，y2)，并画出函数y1，y2的图象；(3)结合函数图象，解决问题：当△PEF为等腰三角形时，AP的长度约为 cm．25. 已知：在平面直角坐标系xOy中，函数nyx=(n≠ 0，x>0) 的图象过点A(3，2)，与直线l：y kx b=+交于点C，直线l与y轴交于点B(0,-1)．（1）求n、b的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数nyx=(n≠ 0，x>0) 的图象在点A，C之间的部分与线段BA，BC围成的区域（不含边界）为W．①当直线l过点（2，0）时，直接写出区域W内的整点个数，并写出区域W内的整点的坐标；②若区域W内的整点不少于．．．5．个，结合函数图象，求k的取值范围．26．在平面直角坐标系x O y中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（0，-4）和B （-2，2）.（1）求c的值，并用含a的式子表示b；（2）当-2<x<0时，若二次函数满足y随x 的增大而减小，求a的取值范围；（3）直线AB上有一点C（m，5），将点C向右平移4个单位长度，得到点D，若抛物线与线段CD只有一个公共点，求a的取值范围．27．已知，如图，△ABC是等边三角形.（1）如图1，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连接CE.①求∠AED的度数；②用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系（直接写出结果）.（2）如图2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交DB的延长线于点E，连接CE.①依题意补全图2；②用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明.28．已知：点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，若点P与点Q之间的距离PQ始终满足PQ>0，则称图形M与图形N相离．（1）已知点A（1，2）、B（0，-5）、C（2，-1）、D（3，4）．①与直线y=3x-5相离的点是；②若直线y=3x+b与△ABC相离，求b的取值范围；（2）设直线33+=xy、直线33+-=xy及直线y=-2围成的图形为W，⊙T的半径为1，圆心T的坐标为（t，0），直接写出⊙T与图形W相离的t的取值范围．图1B EDCBA共∴2x =． …………………………………………………… 3分把2x =代入②得1y =-……………………………………… 4分∴原方程组的解是21x y =⎧⎨=-⎩…………………………………… 5分解二：由②得：3x y =+③……………………………………… 1分 把③代入①得2(3)31y y ++=…………………………… 2分解得1y =- …………………………………………… 3分把1y =-代入②得2x = ………………………………… 4分 ∴原方程组的解是21x y =⎧⎨=-⎩…………………………………… 5分19．解：（1）证明：()22224(2)41244(2)b ac m m m m m -=--⨯⋅-=++=+，…1分∵2(2)0m +≥， ∴方程总有实数根．……………………………………………………2分（2）解：∵2(2)2m m x -±+==，∴12222m m x -++==，2222m m x m ---==-．………4分∵方程有一根小于2， ∴-m <2． ∴m >-2．…………………………………………………………5分20．解：（1）作图如图1所示．………… 1分（2）证明：∵AC 平分∠BAM ，∴∠1=∠2．……………2分 ∵AM ∥BC ， ∴∠2=∠3． ∴∠1=∠3． ∴AB =BC ．……………… 3分同理可证：AB =AD ． ∴AD =BC ．MB又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．……………………………… 4分∵AB=BC，∴□ABCD是菱形．…………………………………………… 5分21．解：（1）他们点了（10-y）份A套餐，（10-x）份B套餐，（x+y-10）份C套餐（均用含x或y的代数式表示）；…………………………3分（2）若x=6，且A、B、C套餐均至少点了1份，则最多有 5种点餐方案．…………………………………………………………………………5分22．(1)证明：连接OC，∵OB=OC，∠B=45°，∴∠BCO=∠B=45°．∴∠BOC=90°．…………………… 1分∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC．∴∠OCD=∠BOC=90°．…………2分∵OC是，∴CD是⊙O的切线．……………… 3分(2)解：连接AC，交BD于点E．∵AB是直径，AB=8，∴∠ACB=90°．∴BC AC==．…………4分∵四边形ABCD是平行四边形，∴12CE AC==∴BE===．………………………………5分∴2BD BE==……………………………6分23．解：（1）汉王科技股份有限公司的知识产权竞争力得分排名是第16； (1)分（2）估计百度在本次排行榜中的得分大概是94；（在90≤x＜95范围内都对）………………………………………………………………………… 2分（3）在41家企业注册所在城市分布图中，m= 5 ， (3)分上海在下图中用阴影标出代表上海的区域：……………… 4分（4）推断合理的是①②．………………………………………………… 6分24．解：（1）表中的所填数值是1.9；…………………………………………… 1分 （2）…………………………2分（3）结合函数图象，解决问题：当△PEF 为等腰三角形时，AP的长度约为 3.5，3.8，4.6 cm ．………………………………………………………………………………5分25．解：（1）∵点A （3，2）在函数ny x=的图象上， ∴n =6．……………………………………………………………… 1分∵点B （0，-1）在直线l ：y kx b =+上，∴b=-1．……………………………………………………………… 2分（）①区域W 内的整点个数为 1 ， …………………………………… 3分区域W 内的整点的坐标为（3，1） ； ……………………………4分②（ⅰ）当直线l 在BA 下方时，若直线l 与x 轴交于点（3，0），结合图象，区域W 内有4个整点， 此时：3k -1=0，∴13k =． 当直线l 与x 轴的交点在（3，0）右侧时，区域W 内整点个数不少于5个，∴ 0<k <13．（ⅱ）当直线l 在BA 上方时，若直线l 过点（1，4），结合图象，区域W 内有4 个整点，此时k -1= 4，解得 k = 5．结合图象，可得 k > 5时，区域W 内整点个数不少于5个，综上，k 的取值范围是0<k <13或k > 5．…………………………………6分26．解：（1）把点A （0，-4）和B （-2，2）分别代入y =ax 2+bx +c 中，得c =-4，…………………………………………………………………1分4a -2b +c =2． ∴b=2a -3．……………………………………………………………2分（2）当a <0时，依题意抛物线的对称轴需满足232a a --≤-2． 解得32-≤a<0．当a >0时，依题意抛物线的对称轴需满足232a a --≥0． 解得 0< a ≤32． ∴a 的取值范围是32-≤a<0或0< a ≤32．………………………………4分（3）可求直线AB 表达式为y =-3x -4，把C （m ，5）代入得m =-3．∴C （-3，5），由平移得D （1，5）． ①当a >0时，若抛物线与线段CD 只有一个公共点，(如图1)，则抛物线上的点（1，a +2a -3-4）在D 点 的下方． ∴a +2a -3-4<5． 解得a <4． ∴0<a <4．②当a <0时，若抛物线的顶点在线段CD 上，则抛物线与线段只有一个公共点．（如图2）∴2454ac b a-=．即()()2442354a a a⨯---=．图1DFD解得3a =-+或3a =--综上，a 的取值范围是0<a <4或3a =-- 6分27．（1）解：①∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠BAC =60°． ∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE =12∠BAC =30°．由旋转可知：AD=AC ，∠CAD =90°．∴AB=AD ，∠BAD =150°．∴∠ABD =∠D =15°． ∴∠AED =∠ABD +∠BAE =45°．……………………………………2分 ②用等式表示线段AE 、CE 、BD 之 ………………………………………………………………………3分 （2）解：①依题意补全图2．……………………………………………………4分CE 、证明：过点A 作AF ⊥AE ，交ED 的延长线于点F （如图3）．∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠BAC =60°．∵AE 平分∠BAC ， ∴∠1=12∠BAC = 30°．由旋转可知：AD=AC ，∠CAD =90°．∴AB=AD ，∠2=∠CAD -∠BAC =30°．∴∠3=∠4=75°． ∴∠5=∠4-∠1=45°．DE ABC∵AF⊥AE，∴∠F=45°=∠5．∴AF=AE．∴EF=2AE．∵∠6=∠EAF-∠1-∠2=30°，∴∠6=∠1=30°．又∵∠F=∠5=45°，AD=AB，∴△ADF≌△ABE．∴DF=BE．∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴AE垂直平分BC．∴CE=BE．∵BD=EF-DF-BE，∴BD=2AE-2CE．……………………………………………7分28．解：（1）①与直线y=3x-5相离的点是A、C；…………………………… 2分②当直线y=3x+b过点A（1，2）时，3+ b=2．∴b=-1．当直线y=3x+b过点C（2，-1）时，6+ b=-1．∴b=-7．∴b的取值范围是b>-1或b<-7． (4)分（2）t的取值范围是：t<533-或t>53或3-<t<33. …………………… 7分北京市燕山地区2020年初中毕业年级质量监测数学试卷2020年5月考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题。
2020届初三中考数学一诊联考试卷含参考答案 (北京)
2020届**市初三中考一诊联考试卷数 学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证填写在答题卡上。
2.回答客观题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑。
如需改正，必须用橡皮擦擦涂干净，回答非客观题，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
4.考试时间：120分钟。
一、单选题（共10题，每题3分，共30分，四个选项中只有一项符合题目要求）1．20192018(2)3(2)-+⨯-的值为（ ）A ．20182-B ．20182C ．20192-D ．201922．关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（ ）A ．211x x +-约分的结果是1xB ．分式211x -与11x -的最简公分母是x ﹣1 C ．22x x 约分的结果是1D ．化简221x x -﹣211x -的结果是1 3．二次函数()220y ax bx a =+-≠的图象经过点（-1,0），则代数式-a b 的值为（ ）A ．0B ．-2C ．-1D ．24．下列运算正确的是（ ）A ．a 8÷a 4＝a 2B ．（a 2）3＝a 6C ．a 2•a 3＝a 6D ．（ab 2）3＝ab 65．如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（ ）A ．乙前4秒行驶的路程为48米B ．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒C ．两车到第3秒时行驶的路程相等D ．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度6．按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的x 值为3，第一次得到的结果为4，第二次得到的结果为2，…第2019次得到的结果为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．下图是由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则它的主视图是（ ）A．B．C．D．8．在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点（0，﹣2），且直线l∥x轴．若直线l与二次函数y＝3x2+a的图象交于A，B两点，与二次函数y＝﹣2x2+b的图象交于C，D两点，其中a，b为整数．若AB＝2，CD＝4．则b﹣a的值为（）A．9B．11C．16D．249．三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2－6x+8=0的根，则这个三角形的周长是（）A．11B．13C．11或13D．11和1310．若实数m、n满足20m-=，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）A．12B．10C．8D．6二、填空题（共4题，每题4分，共16分）11．已知112a b+=，求535a ab ba ab b++=-+_____．12．如图，在△ABC中，AE⊥BC于E，点D为BC边中点，AF⊥AB交BC边于点F，∠C＝2∠B，若DE＝4，CF＝2，则CE＝_____．13．如图，在△PAB中，PA＝PB，M、N、K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK．若∠MKN＝40°，则∠P的度数为___14．已知方程5x2+kx﹣6＝0有一个根是2，则另一个根是_____，k＝_____．三、解答题（共6题，总分54分）15．在某市举办的以“校园文明”为主题的中小学生手抄报比赛中，各学校认真组织初赛并按比例筛选出较好的作品参加全市决赛，所有参加市级决赛的作品均获奖，奖项分为一等奖．二等奖、三等奖和优秀奖．现从参加决赛的作品中随机抽取部分作品并将获奖结果绘制成如下两幅统计图请你根据图中所给信息解答下列问题：（1）一等奖所占的百分比是多少？三等奖的人数是多少？（2）求三等奖所对应的扇形圆心角的度数；（3）若参加决赛的作品有3000份，估计获得一等奖和二等奖的总人数有多少？16．如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则PEPF的值为；（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求PEPF的值；（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，PEPF的值是否变化？证明你的结论．17．为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查（每人只选一项内容），整理调查结果，绘制统计图如下：请根据统计图提供的信息回答以下问题：（1）这一调查属于_______（选填“抽样调查”或“普查”），抽取的学生数为_____名；（2）估计喜欢收听易中天《品三国》的学生约占全校学生的____%（精确到小数点后一位）；（3）已知该校女学生共有1800名，则该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生大约有多少名？18．解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱四十八，乙得甲太半而亦钱四十八．甲、乙持钱各几何？”.题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48，如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱48．问甲、乙两人各带了多少钱？19．如图，已知△ABC，（1）尺规作图：作AD平分∠BAC交BC于D点，再作AD的垂直平分线交AB于E点，交AC于F点（保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接DE，DF证明：四边形AEDF是菱形；（3）若BE＝7，AF＝4，CD＝3，求BD的长．20．炎热的夏天来临之际.为了调查我校学生消防安全知识水平，学校组织了一次全校的消防安全知识培训，培训完后进行测试，在全校2400名学生中，分别抽取了男生，女生各15份成绩，整理分析过程如下，请补充完整.。
2020年北京市数学中考一模试卷含答案
2020年北京市数学中考一模试卷含答案一、选择题1．如图，已知a ∥b ，l 与a 、b 相交，若∠1=70°，则∠2的度数等于（ ）A ．120°B ．110°C ．100°D ．70° 2．如图，将△ABC 绕点C （0，1）旋转180°得到△A'B'C ，设点A 的坐标为(,)a b ，则点的坐标为（ ）A ．(,)a b --B ．(,1)a b ---C ．(,1)a b --+D ．(,2)a b --+3．有31位学生参加学校举行的“最强大脑”智力游戏比赛，比赛结束后根据每个学生的最后得分计算出中位数、平均数、众数和方差，如果去掉一个最高分和一个最低分，则一定不发生变化的是（ ）A ．中位数B ．平均数C ．众数D ．方差4．如图，A ，B ，P 是半径为2的⊙O 上的三点，∠APB ＝45°，则弦AB 的长为（ ）A ．2B ．4C ．22D 2 5．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）A ．108°B ．90°C ．72°D ．60° 6．三张外观相同的卡片分别标有数字1，2，3，从中随机一次性抽出两张，则这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（ ）A ．19B ．16C ．13D ．237．如图,某小区规划在一个长16m ，宽9m 的矩形场地ABCD 上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草，如果使草坪部分的总面积为112m 2，设小路的宽为xm ，那么x 满足的方程是（ ）A ．2x 2-25x+16=0B ．x 2-25x+32=0C ．x 2-17x+16=0D ．x 2-17x-16=08．如图，AB ∥CD ，AE 平分∠CAB 交CD 于点E ，若∠C=70°，则∠AED 度数为( )A ．110°B ．125°C ．135°D ．140°9．如图，在矩形ABCD 中，AD=3，M 是CD 上的一点，将△ADM 沿直线AM 对折得到△ANM ，若AN 平分∠MAB ，则折痕AM 的长为（ ）A ．3B ．23C ．32D ．610．如图，正比例函数1y=k x 与反比例函数2k y=x的图象相交于点A 、B 两点，若点A 的坐标为（2，1），则点B 的坐标是（ ）A ．（1，2）B ．（－2，1）C ．（－1，－2）D ．（－2，－1） 11．若正比例函数y=mx （m≠0），y 随x 的增大而减小，则它和二次函数y=mx 2+m 的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．12．cos45°的值等于( )A ．2B ．1C ．32D ．22二、填空题13．如图，直线l x ⊥轴于点P ，且与反比例函数11k y x=（0x >）及22k y x =（0x >）的图象分别交于A 、B 两点，连接OA 、OB ，已知OAB ∆的面积为4，则12k k =﹣________．14．如图，DE 为△ABC 的中位线，点F 在DE 上，且∠AFB ＝90°，若AB ＝5，BC ＝8，则EF 的长为______．15．如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，菱形OABC 的对角线OB 在x 轴上，顶点A 在反比例函数y=2x的图像上，则菱形的面积为_______．16．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为_____．17．“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快40千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟，已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度．设“复兴号”的速度为x千米/时，依题意，可列方程为_____．18．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是．19．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=4，BC=10，CD=6，则tanC=________．20．若关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k－1=0有两个实数根，则k的取值范围是三、解答题21．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．22．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两点A（﹣1，0）和B（4，0），与Y轴交于点C，连接AC、BC、AB，（1）求抛物线的解析式；（2）点D 是抛物线上一点，连接BD 、CD ，满足ABC 35DBC S S ∆=，求点D 的坐标； （3）点E 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点F 在线段BC 上（与B 、C 不重合），是否存在以C 、E 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请直接写出点F 的坐标，若不存在，请说明理由．23．小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ，AB ＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数）（参考数据：o o o o 33711sin 37tan37s 48tan48541010in ，，，≈≈≈≈） 24．如图1，菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA PE =，PE 交CD 于F ，连接CE .△≌△；（1）证明：ADP CDP△的形状，并说明理由.（2）判断CEP（3）如图2，把菱形ABCD改为正方形ABCD，其他条件不变，直接．．写出线段AP与线段CE的数量关系.25．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF为菱形；（2）如果∠A=90°，∠C=30°，BD=12，求菱形BEDF的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】先求出∠1的邻补角的度数，再根据两直线平行，同位角相等即可求出∠2的度数．【详解】如图，∵∠1=70°，∴∠3=180°﹣∠1=180°﹣70°=110°，∵a∥b，∴∠2=∠3=110°，故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.2．D解析：D【解析】试题分析：根据题意，点A 、A′关于点C 对称，设点A 的坐标是（x ，y ），则 0122a xb y ++==，，解得2x a y b =-=-+，，∴点A 的坐标是(2)a b --+，．故选D ． 考点：坐标与图形变化-旋转．3．A解析：A【解析】【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．【详解】去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，故选A ．【点睛】考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义.4．C解析：C【解析】【分析】由A 、B 、P 是半径为2的⊙O 上的三点，∠APB=45°，可得△OAB 是等腰直角三角形，继而求得答案．【详解】解：连接OA ，OB ．∵∠APB =45°，∴∠AOB =2∠APB =90°．∵OA =OB =2，∴AB =22OA OB +=22．故选C ．5．C【解析】【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【详解】解：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540，解得：n=5，∴这个正多边形的每一个外角等于：3605=72°．故选C．【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°．6．C解析：C【解析】【分析】画出树状图即可求解.【详解】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于3有2种情况，∴两张卡片上的数字恰好都小于3概率＝13；故选：C．【点睛】本题考查的是概率，熟练掌握树状图是解题的关键.7．C解析：C【解析】解：设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16-2x）m，（9-x）m；根据题意即可得出方程为：（16-2x）（9-x）=112，整理得：x2-17x+16=0．故选C．点睛：本题考查了一元二次方程的运用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．解析：B【解析】【分析】由AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠CAB=110°，再由角平分线的定义可得∠CAE=55°，最后根据三角形外角的性质即可求得答案.【详解】∵AB∥CD，∴∠BAC+∠C=180°，∵∠C=70°，∴∠CAB=180°-70°=110°，又∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=55°，∴∠AED=∠C+∠CAE=125°，故选B.【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.9．B解析：B【解析】【分析】根据折叠的性质可得∠MAN=∠DAM，再由AN平分∠MAB，得出∠DAM=∠MAN=∠NAB，最后利用三角函数解答即可.【详解】由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN=∠DAM，∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAM=30°，==∴故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质及折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质求得∠MAN=∠DAM, 10．D解析：D【分析】【详解】解：根据正比例函数与反比例函数关于原点对称的性质，正比例函数1y=k x 与反比例函数2k y=x的图象的两交点A 、B 关于原点对称； 由A 的坐标为（2，1），根据关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数的坐标特征，得点B 的坐标是（－2，－1）．故选：D11．A解析：A【解析】【分析】【详解】∵正比例函数y=mx （m≠0），y 随x 的增大而减小，∴该正比例函数图象经过第一、三象限，且m ＜0，∴二次函数y=mx 2+m 的图象开口方向向下，且与y 轴交于负半轴，综上所述，符合题意的只有A 选项，故选A.12．D解析：D【解析】【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【详解】解：cos45°= 2． 故选D ．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 二、填空题13．【解析】【分析】根据反比例函数的几何意义可知：的面积为的面积为然后两个三角形面积作差即可求出结果【详解】解：根据反比例函数的几何意义可知：的面积为的面积为∴的面积为∴∴故答案为8【点睛】本题考查反比 解析：【解析】【分析】根据反比例函数k 的几何意义可知：AOP ∆的面积为112k ，BOP ∆的面积为212k ，然后两个三角形面积作差即可求出结果．【详解】 解：根据反比例函数k 的几何意义可知：AOP ∆的面积为112k ，BOP ∆的面积为212k ， ∴AOB ∆的面积为121122k k -，∴1211422k k -=，∴128k k -=. 故答案为8．【点睛】 本题考查反比例函数k 的几何意义，解题的关键是正确理解k 的几何意义，本题属于基础题型．14．5【解析】【分析】【详解】试题解析：∵∠AFB=90°D 为AB 的中点∴DF=AB=25∵DE 为△ABC 的中位线∴DE=BC=4∴EF=DE -DF=15故答案为15【点睛】直角三角形斜边上的中线性质：解析：5【解析】【分析】【详解】试题解析：∵∠AFB=90°，D 为AB 的中点，∴DF=12AB=2.5， ∵DE 为△ABC 的中位线，∴DE=12BC=4， ∴EF=DE-DF=1.5，故答案为1.5．【点睛】直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．15．4【解析】【分析】【详解】解：连接AC 交OB 于D∵四边形OABC 是菱形∴AC⊥OB∵点A 在反比例函数y=的图象上∴△AOD 的面积=×2=1∴菱形OABC 的面积=4×△AOD 的面积=4故答案为：4解析：4【解析】【分析】【详解】解：连接AC 交OB 于D ．∵四边形OABC是菱形，∴AC⊥OB．∵点A在反比例函数y=2x的图象上，∴△AOD的面积=12×2=1，∴菱形OABC的面积=4×△AOD的面积=4故答案为：416．6【解析】试题解析：∵DE是BC边上的垂直平分线∴BE=CE∵△EDC的周长为24∴ED+DC+EC=24①∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12∴（AB+AC+BC）-（AE+ED+DC+AC解析：6【解析】试题解析：∵DE是BC边上的垂直平分线，∴BE=CE．∵△EDC的周长为24，∴ED+DC+EC=24，①∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，∴（AB+AC+BC）-（AE+ED+DC+AC）=（AB+AC+BC）-（AE+DC+AC）-DE=12，∴BE+BD-DE=12，②∵BE=CE，BD=DC，∴①-②得，DE=6．考点：线段垂直平分线的性质．17．【解析】【分析】设复兴号的速度为x千米/时则原来列车的速度为（x-40）千米/时根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟列出方程即可【详解】设复兴号的速度为x千米/时则原来列车的速度为（x﹣40解析：13201320304060x x-=-．【解析】【分析】设“复兴号”的速度为x千米/时，则原来列车的速度为（x-40）千米/时，根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟列出方程即可．【详解】设“复兴号”的速度为x千米/时，则原来列车的速度为（x﹣40）千米/时，根据题意得：13201320304060x x-=-．故答案为：13201320304060x x-=-．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．18．【解析】试题分析：要求PE+PC的最小值PEPC不能直接求可考虑通过作辅助线转化PEPC的值从而找出其最小值求解试题解析：如图连接AE∵点C关于BD的对称点为点A∴PE+PC=PE+AP根据两点之间解析：5.【解析】试题分析：要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC 的值，从而找出其最小值求解．试题解析：如图，连接AE，∵点C关于BD的对称点为点A，∴PE+PC=PE+AP，根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，∵正方形ABCD的边长为2，E是BC边的中点，∴BE=1，∴22125+考点：1．轴对称-最短路线问题；2．正方形的性质．19．【解析】【分析】连接BD根据中位线的性质得出EFBD且EF=BD进而根据勾股定理的逆定理得到△BDC是直角三角形求解即可【详解】连接BD分别是ABAD的中点EFBD且EF=BD又△BDC是直角三角形解析：4 3【解析】【分析】连接BD，根据中位线的性质得出EF//BD，且EF=12BD，进而根据勾股定理的逆定理得到△BDC 是直角三角形，求解即可．【详解】连接BD,E F 分别是AB 、AD 的中点∴EF //BD ，且EF=12BD 4EF =8BD ∴=又8106BD BC CD ===，，∴△BDC 是直角三角形，且=90BDC ∠︒∴tanC=BD DC =86=43. 故答案为：43.20．k≥-13且k≠0【解析】试题解析：∵a=kb=2（k+1）c=k-1∴△=4（k+1）2-4×k×（k-1）=3k+1≥0解得：k≥-13∵原方程是一元二次方程∴k≠0考点：根的判别式解析：k≥，且k≠0【解析】试题解析：∵a=k ，b=2（k+1），c=k-1，∴△=4（k+1）2-4×k×（k-1）=3k+1≥0，解得：k≥-，∵原方程是一元二次方程，∴k ≠0．考点：根的判别式． 三、解答题21．（1）DE=3；（2）ADB S 15∆=.【解析】【分析】（1）根据角平分线性质得出CD=DE ，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB 的长，然后计算△ADB 的面积.【详解】（1）∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，∠C=90°，∴CD=DE ，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AB 10===，∴△ADB 的面积为ADB 11S AB DE 1031522∆=⋅=⨯⨯=.22．（1）213y x x 222=--；（2）D 的坐标为2⎛ ⎝⎭，2⎛ ⎝⎭，（1，﹣3）或（3，﹣2）．（3）存在，F 的坐标为48,55⎛⎫-⎪⎝⎭，（2，﹣1）或53,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【解析】【分析】（1）根据点A ，B 的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标，结合点A ，B 的坐标可得出AB ，AC ，BC 的长度，由AC 2+BC 2＝25＝AB 2可得出∠ACB＝90°，过点D 作DM∥BC，交x 轴于点M ，这样的M 有两个，分别记为M 1，M 2，由D 1M 1∥BC 可得出△AD 1M 1∽△ACB，利用相似三角形的性质结合S △DBC ＝35S ABC ∆ ，可得出AM 1的长度，进而可得出点M 1的坐标，由BM 1＝BM 2可得出点M 2的坐标，由点B ，C 的坐标利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，进而可得出直线D 1M 1，D 2M 2的解析式，联立直线DM 和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点D 的坐标；（3）分点E 与点O 重合及点E 与点O 不重合两种情况考虑：①当点E 与点O 重合时，过点O 作OF 1⊥BC 于点F 1，则△COF 1∽△ABC，由点A ，C 的坐标利用待定系数法可求出直线AC 的解析式，进而可得出直线OF 1的解析式，联立直线OF 1和直线BC 的解析式成方程组，通过解方程组可求出点F 1的坐标；②当点E 不和点O 重合时，在线段AB 上取点E ，使得EB ＝EC ，过点E 作EF 2⊥BC 于点F 2，过点E 作EF 3⊥CE，交直线BC 于点F 3，则△CEF 2∽△BAC∽△CF 3E ．由EC ＝EB 利用等腰三角形的性质可得出点F 2为线段BC 的中点，进而可得出点F 2的坐标；利用相似三角形的性质可求出CF 3的长度，设点F 3的坐标为（x ，12x ﹣2），结合点C 的坐标可得出关于x 的方程，解之即可得出x 的值，将其正值代入点F 3的坐标中即可得出结论．综上，此题得解．【详解】（1）将A （﹣1，0），B （4，0）代入y ＝ax 2+bx ﹣2，得：2016420a b a b --=⎧⎨+-=⎩ ，解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝12 x 2﹣32x ﹣2． （2）当x ＝0时，y ＝12x 2﹣32x ﹣2＝﹣2， ∴点C 的坐标为（0，﹣2）．∵点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为（4，0），，BC＝AB ＝5．∵AC 2+BC 2＝25＝AB 2，∴∠ACB＝90°．过点D 作DM∥BC，交x 轴于点M ，这样的M 有两个，分别记为M 1，M 2，如图1所示． ∵D 1M 1∥BC，∴△AD 1M 1∽△ACB．∵S △DBC ＝35S ABC ∆， ∴125AM AB =, ∴AM 1＝2，∴点M 1的坐标为（1，0），∴BM 1＝BM 2＝3，∴点M 2的坐标为（7，0）．设直线BC 的解析式为y ＝kx+c （k≠0），将B （4，0），C （0，﹣2）代入y ＝kx+c ，得：402k c c +=⎧⎨=-⎩ ，解得：122k c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ， ∴直线BC 的解析式为y ＝12x ﹣2． ∵D 1M 1∥BC∥D 2M 2，点M 1的坐标为（1，0），点M 2的坐标为（7，0）， ∴直线D 1M 1的解析式为y ＝12 x ﹣12 ，直线D 2M 2的解析式为y ＝12x ﹣72． 联立直线DM 和抛物线的解析式成方程组，得：2112213222y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩或2172213222y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得：112x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，222x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩3313x y =⎧⎨=-⎩ ，4432x y =⎧⎨=-⎩，∴点D 的坐标为（2，2），（，2），（1，﹣3）或（3，﹣2）． （3）分两种情况考虑，如图2所示．①当点E 与点O 重合时，过点O 作OF 1⊥BC 于点F 1，则△COF 1∽△ABC，设直线AC 的解析设为y ＝mx+n （m≠0），将A （﹣1，0），C （0，﹣2）代入y ＝mx+n ，得：-02m n n +=⎧⎨=-⎩ ，解得：22m n =-⎧⎨=-⎩ ， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣2x ﹣2．∵AC⊥BC，OF 1⊥BC，∴直线OF 1的解析式为y ＝﹣2x ．连接直线OF 1和直线BC 的解析式成方程组，得：2122y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ ， 解得：4585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点F 1的坐标为（45，﹣85 ）； ②当点E 不和点O 重合时，在线段AB 上取点E ，使得EB ＝EC ，过点E 作EF 2⊥BC 于点F 2，过点E 作EF 3⊥CE，交直线BC 于点F 3，则△CEF 2∽△BAC∽△CF 3E ．∵EC＝EB ，EF 2⊥BC 于点F 2，∴点F 2为线段BC 的中点，∴点F 2的坐标为（2，﹣1）；∵BC＝，∴CF 2＝12 BC，EF 2＝12 CF 2＝2 ，F 2F 3＝12 EF 2， ∴CF 3＝4 ． 设点F 3的坐标为（x ，12 x ﹣2）， ∵CF 3＝4，点C 的坐标为（0，﹣2）， ∴x 2+[12x ﹣2﹣（﹣2）]2＝12516， 解得：x 1＝﹣52 （舍去），x 2＝52，∴点F3的坐标为（52，﹣34）．综上所述：存在以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，点F的坐标为（45，﹣8 5），（2，﹣1）或（52，﹣34）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、平行线的性质、相似三角形的性质以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）找出过点D且与直线BC平行的直线的解析式；（3）分点E与点O重合及点E与点O不重合两种情况，利用相似三角形的性质及等腰三角形的性质求出点F的坐标．23．43米【解析】【分析】【详解】解：设CD = x．在Rt△ACD中，tan37AD CD︒=，则34ADx =，∴34AD x =. 在Rt △BCD 中，tan48° =BD CD， 则1110BD x=， ∴1110BD x = ∵AD ＋BD = AB ， ∴31180410x x +=． 解得：x≈43． 答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD 大约是43米．24．（1）证明见解析；（2）CEP ∆是等边三角形，理由见解析；（3）CE =. 【解析】【分析】（1）由菱形ABCD 性质可知，AD CD =，ADP CDP ∠=∠，即可证明； （2）由△PDA ≌△PDC ，推出PA=PC ，由PA=PE ，推出DCP DEP ∠=∠，可知60CPF EDF ∠=∠=︒，由PA═PE=PC ，即可证明△PEC 是等边三角形；（3）由△PDA ≌△PDC ，推出PA=PC ，∠3=∠1，由PA=PE ，推出∠2=∠3，推出∠1=∠2，由∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC ，推出∠FPC=EDF=90°，推出△PEC 是等腰直角三角形即可解答；【详解】（1）证明：在菱形ABCD 中，AD CD =，ADP CDP ∠=∠，在ADP ∆和CDP ∆AD CD ADP CDP DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ADP CDP SAS ∆≅∆.（2）CEP ∆是等边三角形，由（1）知，ADP CDP ∆≅∆，∴DAP DCP ∠=∠，AP CP =，∵PA PE =，∴DAP DEP ∠=∠，∴DCP DEP ∠=∠，∵CFP EFD ∠=∠（对顶角相等），∴180180PFC PCF DFE DEP ︒-∠-∠=︒-∠-∠，即60CPF EDF ∠=∠=︒，又∵PA PE =，AP CP =；∴PE PC =，∴CEP ∆是等边三角形.（3）2CE AP =.过程如下：证明：如图1中，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=DC ，∠ADB=∠CDB=45°，∠ADC=90°，在△PDA 和△PDC 中，PD PD PDA PDC DA DC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，，∴△PDA ≌△PDC ，∴PA=PC ，∠3=∠1，∵PA=PE ，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∵∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC ，∴∠FPC=EDF=90°， ∴△PEC 是等腰直角三角形．∴2PC 2AP .【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形判定、等腰直角三角形性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．25．(1)见解析3【解析】【分析】（1）根据平行四边形的和菱形的判定证明即可；（2）根据含30°的直角三角形的性质和勾股定理以及菱形的面积解答即可．【详解】证明：（1）∵DE ∥BC ，DF ∥AB ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠EBD=∠DBF ， ∵DE ∥BC ，∴∠EDB=∠DBF ， ∴∠EBD=∠EDB ， ∴BE=ED ，∴平行四边形BFDE 是菱形； （2）连接EF ，交BD 于O ，∵∠BAC=90°，∠C=30°， ∴∠ABC=60°，∵BD 平分∠ABC ， ∴∠DBC=30°，∴BD=DC=12，∵DF ∥AB ，∴∠FDC=∠A=90°，∴4333== 在Rt △DOF 中，()222243623DF OD -=-= ∴菱形BFDE 的面积=12×EF •BD ＝12×12×33 【点评】 此题考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．。
2020年北京市东城区中考一模数学试卷含答案解析
2020 年北京市东城区初三一模数学试卷、单选题（共 10 小题）1．数据显示， 2020年全国新建、改扩建校舍约为 51 660 000 平方米，全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件工作取得明显成果.将数据 51 660 000 用科学记数发表示应为（）A．B．C．D．考点：科学记数法和近似数、有效数字答案： A试题解析：科学记数法是一个数表示成a×10 的 n 次幂的形式，其中 1≤|a|<10，n 为整数，所以根据题意得 51 660 000=5.166 ×107．故选 A ．2．下列运算中，正确的是（）33 A． x·x =x2 3 5 B．（x ） =xC．222D． (x-y) =x+y考点：整式的运算答案： C试题解析：根据整式的运算公式正确，故选 A 。
A ．D．B．C．考点：概率及计算答案：C3．有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2， 3，4，5，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是（）试题解析：五张卡片中有三张奇数，则概率为，故选 C4．甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是 13.2 秒，方差如下表所示则这四人中发挥最稳定的是（）A．甲 B ．乙C．丙考点：极差、方差、标准差答案： B试题解析：方差越小发挥越稳定，则选 B 。
6．如图，有一池塘，要测池塘两端 A，B 间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点 A 和 B的点 C，连接 AC 并延长至 D，使 CD=CA，连接 BC 并延长至 E，使 CE =CB，连接 ED. 若考点：全等三角形的判定全等三角形的性质答案： B试题解析：由题意可得△ABC ≌△ DEC（ SAS），则 ED=AB=58 ，故选 B。
7．在平面直角坐标系中，将点 A（-1，2）向右平移 3个单位长度得到点 B，则点 B 关于 x 轴的对称点 C 的坐标是（）D．丁2=38 °时，∠ 1=（）D．62量出 DE=58 米，则 A，B 间的距离为（A． 29 米B．58米D．116米考点：平行线的判定及答案：A．（-4，-2）B．（2，2）C．（-2，2）考点：平面直角坐标系及点的坐标答案： D试题解析： A 点向右平移 3 个单位后得到 B（2,2,），B 点关于 X 轴的对称点为 C（2，-2）。
北京市2020学年中考数学一模试卷(含解析)
中考数学一模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．2017年北京市在经济发展、社会进步、城市建设、民生改善等方面取得新成绩、新面貌．综合实力稳步提升．全市地区生产总值达到280000亿元，将280000用科学记数法表示为（）A．280×103 B．28×104 C．2.8×105 D．0.28×1062．下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．晴B．浮尘C．大雨D．大雪3．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a+b＜0 B．a＞|﹣2| C．b＞πD．4．下列四个几何体中，左视图为圆的是（）A．B．C．D．5．如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠2＝50°，则∠1的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．140°6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝8，BC＝6，则∠ACD的正切值是（）A．B．C．D．7．每个人都应怀有对水的敬畏之心，从点滴做起，节水、爱水，保护我们生活的美好世界．某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．该地一家庭记录了去年12个月的月用水量如下表，下列关于用水量的统计量不会发生改变的是（）用水量x（吨）3 4 5 6 7频数 1 2 5 4﹣x xA．平均数、中位数B．众数、中位数C．平均数、方差 D．众数、方差8．小带和小路两个人开车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，小带和小路两人的车离开A城的距离y（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．有下列结论；①A.B两城相距300千米；②小路的车比小带的车晚出发1小时，却早到1小时；③小路的车出发后2.5小时追上小带的车；④当小带和小路的车相距50千米时，t＝或t＝．其中正确的结论有（）A．①②③④ B．①②④C．①② D．②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如果分式的值是0，那么x的值是_________10．在平面直角坐标系xOy中，点A（4，3）为⊙O上一点，B为⊙O内一点，请写出一个符合条件要求的点B的坐标_________．11．当a＝3时，代数式的值是12．写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式_____（写一个即可）13．二十四节气列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．太阳运行的轨道是一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为24份，每15度就是一个节气，统称“二十四节气”．这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”．如图，指针落在惊蛰、春分、清明区域的概率是_____．14．如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则列出的方程组为________．15．如图，一等腰三角形，底边长是18厘米，底边上的高是18厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均为3厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第________个．16．在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：确定图1中所在圆的圆心．已知：．求作：所在圆的圆心O．曈曈的作法如下：如图2，（1）在上任意取一点M，分别连接CM，DM；（2）分别作弦CM，DM的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O．点O就是所在圆的圆心．老师说：“曈曈的作法正确．”请你回答：曈曈的作图依据是三、解答题（本题共68分，第17～24题，每小题5分，第25题6分，第26题7分，第27题7分，第28题8分，）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：4cos30°﹣+20180+|1﹣|18．解不等式组：19．文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题．已知正方形的边长是2，就能求出图中阴影部分的面积．证明：S矩形ABCD＝S1+S2+S3＝2，S4＝______，S5＝_______，S6＝_______+_________，S阴影＝S1+S6＝S1+S2+S3＝_________.20．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD，求证：AE＝FB．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当方程有一个根为1时，求k的值．22．豆豆妈妈用小米运动手环记录每天的运动情况，下面是她6天的数据记录（不完整）：日期4月1日4月2日4月3日4月4日4月5日4月6日步行数（步）10672 4927 5543 6648 步行距离（公里）6.8 3.1 3.4 4.3卡路里消耗（千卡）157 79 91 127燃烧脂肪（克）20 10 12 16（1）4月5日，4月6日，豆豆妈妈没来得及作记录，只有手机图片，请你根据图片数据，帮她补全表格．（2）豆豆利用自己学习的统计知识，把妈妈步行距离与燃烧脂肪情况用如下统计图表示出来，请你根据图中提供的信息写出结论：____________．（写一条即可）（3）豆豆还帮妈妈分析出步行距离和卡路里消耗数近似成正比例关系，豆豆妈妈想使自己的卡路里消耗数达到250千卡，预估她一天步行距离为_______公里．（直接写出结果，精确到个位）23．如图，在△ABC中，D.E分别是AB.AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．24．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+k（k≠0）与x轴，y轴分别交于A，B两点，且点B（0，2），点P在y轴正半轴上运动，过点P作平行于x轴的直线y＝t．（1）求k的值和点A的坐标；（2）当t＝4时，直线y＝t与直线l交于点M，反比例函数（n≠0）的图象经过点M，求反比例函数的解析式；（3）当t＜4时，若直线y＝t与直线l和（2）反比例函数的图象分别交于点C，D，当CD间距离大于等于2时，求t的取值范围．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是BC边上的高线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB为⊙O的直径．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）当BE＝3，cosC＝时，求⊙O的半径．26．已知y是x的函数，自变量x的取值范围是x≠0的全体实数，如表是y与x的几组对应值．1 2 3 …x …﹣3 ﹣2 ﹣1﹣﹣m …y …﹣﹣﹣小华根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：（1）从表格中读出，当自变量是﹣2时，函数值是________；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（3）在画出的函数图象上标出x＝2时所对应的点，并写出m＝_________．（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：_________．27．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y＝m与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M 称为碟顶．（1）由定义知，取AB中点N，连结MN，MN与AB的关系是__________．（2）抛物线y＝对应的准蝶形必经过B（m，m），则m＝________，对应的碟宽AB是_____．（3）抛物线y＝ax2﹣4a﹣（a＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB＝6．①求抛物线的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P（xp，yp），使得∠APB为锐角，若有，请求出yp的取值范围．若没有，请说明理由．28．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）（1）如果∠A＝30°①如图1，∠DCB＝°②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图3，若点P在线段CB 的延长线上，且∠A＝α（0°＜α＜90°），连结DP，将线段DP绕点逆时针旋转 2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE.BF、BP三者的数量关系（不需证明）参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．2017年北京市在经济发展、社会进步、城市建设、民生改善等方面取得新成绩、新面貌．综合实力稳步提升．全市地区生产总值达到280000亿元，将280000用科学记数法表示为（）A．280×103 B．28×104 C．2.8×105 D．0.28×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将280000用科学记数法表示为2.8×105．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．晴B．浮尘C．大雨D．大雪【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A.是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a+b＜0 B．a＞|﹣2| C．b＞πD．【分析】根据数轴上点的位置，可得a，b，根据有理数的运算，可得答案．【解答】解：a＝﹣2，2＜b＜3．A.a+b＞0，故A不符合题意；B.a＜|﹣2|，故B不符合题意；C.b＜3＜π，故C不符合题意；D.＜0，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了实数与数轴，利用有理数的运算是解题关键．4．下列四个几何体中，左视图为圆的是（）A．B．C．D．【分析】四个几何体的左视图：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，正方体是正方形，由此可确定答案．【解答】解：因为圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆，正方体的左视图是正方形，所以，左视图是圆的几何体是球．故选：B．【点评】此题主要考查了立体图形的左视图，关键根据圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，正方体是正方形解答．5．如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠2＝50°，则∠1的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．140°【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等解答．【解答】解：∵DB⊥BC，∠2＝50°，∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣50°＝40°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠3＝40°．故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝8，BC＝6，则∠ACD的正切值是（）A．B．C．D．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AD，再根据等边对等角的性质可得∠A＝∠ACD，然后根据正切函数的定义列式求出∠A的正切值，即为tan∠ACD的值．【解答】解：∵CD是AB边上的中线，∴CD＝AD，∴∠A＝∠ACD，∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，∴tan∠A＝，∴tan∠ACD的值．故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质，求出∠A＝∠ACD是解本题的关键．7．每个人都应怀有对水的敬畏之心，从点滴做起，节水、爱水，保护我们生活的美好世界．某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．该地一家庭记录了去年12个月的月用水量如下表，下列关于用水量的统计量不会发生改变的是（）用水量x（吨）3 4 5 6 7频数 1 2 5 4﹣x xA．平均数、中位数B．众数、中位数C．平均数、方差 D．众数、方差【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为4，即可得知频数之和，结合前两组的频数知第 6.7个数据的平均数，可得答案．【解答】解：∵6吨和7吨的频数之和为4﹣x+x＝4，∴频数之和为1+2+5+4＝12，则这组数据的中位数为第6.7个数据的平均数，即＝5，∴对于不同的正整数x，中位数不会发生改变，故选：B．【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．8．小带和小路两个人开车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，小带和小路两人的车离开A城的距离y（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．有下列结论；①A.B两城相距300千米；②小路的车比小带的车晚出发1小时，却早到1小时；③小路的车出发后2.5小时追上小带的车；④当小带和小路的车相距50千米时，t＝或t＝．其中正确的结论有（）A．①②③④ B．①②④C．①② D．②③④【分析】观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案．【解答】解：由图象可知A.B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，∴①②都正确；设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt，把（5，300）代入可求得k＝60，∴y甲＝60t，设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt+n，把（1，0）和（4，300）代入可得，解得：，∴y乙＝100t﹣100，令y甲＝y乙，可得：60t＝100t﹣100，解得：t＝2.5，即甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，∴③不正确；令|y甲﹣y乙|＝50，可得|60t﹣100t+100|＝50，即|100﹣40t|＝50，当100﹣40t＝50时，可解得t＝，当100﹣40t＝﹣50时，可解得t＝，又当t＝时，y甲＝50，此时乙还没出发，当t＝时，乙到达B城，y甲＝250；综上可知当t的值为或或或时，两车相距50千米，∴④不正确；故选：C．【点评】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意t是甲车所用的时间．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如果分式的值是0，那么x的值是0【分析】根据分式为0的条件得到方程，解方程得到答案．【解答】解：由题意得，x＝0，故答案是：0．【点评】本题若分式的值为零的条件，分式为0需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．10．在平面直角坐标系xOy中，点A（4，3）为⊙O上一点，B为⊙O内一点，请写出一个符合条件要求的点B的坐标（2，2）．【分析】连结OA，根据勾股定理可求OA，再根据点与圆的位置关系可得一个符合要求的点B的坐标．【解答】解：如图，连结OA，OA＝＝5，∵B为⊙O内一点，∴符合要求的点B的坐标（2，2）答案不唯一．故答案为：（2，2）．【点评】考查了点与圆的位置关系，坐标与图形性质，关键是根据勾股定理得到OA的长．11．当a＝3时，代数式的值是 2【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答】解：原式＝÷＝•＝，当a＝3时，原式＝＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．12．写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式y＝x2+2x（答案不唯一）（写一个即可）【分析】设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2），令a＝1即可．【解答】解：∵抛物线过点（0，0），（﹣2，0），∴可设此二次函数的解析式为y＝ax（x+2），把a＝1代入，得y＝x2+2x．故答案为y＝x2+2x（答案不唯一）．【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，此题属开放性题目，答案不唯一．13．二十四节气列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．太阳运行的轨道是一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为24份，每15度就是一个节气，统称“二十四节气”．这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”．如图，指针落在惊蛰、春分、清明区域的概率是．【分析】首先由图可得此转盘被平分成了24等份，其中惊蛰、春分、清明区域有3份，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵如图，此转盘被平分成了24等份，其中惊蛰、春分、清明有3份，∴指针落在惊蛰、春分、清明的概率是：．故答案为：【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．14．如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则列出的方程组为．【分析】根据图示可得：长方形的长可以表示为x+2y，长又是75厘米，故x+2y＝75，长方形的宽可以表示为2x，或x+3y，故2x＝3y+x，整理得x＝3y，联立两个方程即可．【解答】解：根据图示可得，故答案是：．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．15．如图，一等腰三角形，底边长是18厘米，底边上的高是18厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均为3厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第 5 个．【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．【解答】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，则，解得x＝3，所以另一段长为18﹣3＝15，因为15÷3＝5，所以是第5张．故答案为：5【点评】本题主要考查了相相似三角形的判定和性质，关键是根据似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用解答．16．在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：确定图1中所在圆的圆心．已知：．求作：所在圆的圆心O．曈曈的作法如下：如图2，（1）在上任意取一点M，分别连接CM，DM；（2）分别作弦CM，DM的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O．点O就是所在圆的圆心．老师说：“曈曈的作法正确．”请你回答：曈曈的作图依据是①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）【分析】（1）在上任意取一点M，分别连接CM，DM；（2）分别作弦CM，DM的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O．点O就是所在圆的圆心．【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质定理可知：OC＝OM＝OD，所以点O是所在圆的圆心O（理由①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）：）故答案为①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）【点评】本题考查作图﹣复杂作图、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本题共68分，第17～24题，每小题5分，第25题6分，第26题7分，第27题7分，第28题8分，）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：4cos30°﹣+20180+|1﹣|【分析】先代入三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂、取绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减可得．【解答】解：原式＝＝2﹣2+1+﹣1＝．【点评】本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算顺序和运算法则及零指数幂、绝对值和二次根式的性质．18．解不等式组：【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①，得x＜5，解不等式②，得x≥﹣3，∴不等式组的解是﹣3≤x＜5．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．19．文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题．已知正方形的边长是2，就能求出图中阴影部分的面积．证明：S矩形ABCD＝S1+S2+S3＝2，S4＝S2 ，S5＝，S6＝S4 + S5 ，S阴影＝S1+S6＝S1+S2+S3＝ 2 ．【分析】利用图形的拼割，正方形的性质，寻找等面积的图形，即可解决问题；【解答】证明：由题意：S矩形ABCD＝S1+S2+S3＝2，S4＝S2，S5＝S3，S6＝S4+S5，S阴影面积＝S1+S6＝S1+S2+S3＝2．故答案为：S2，S3，S4，S5，2．【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质、扇形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD，求证：AE＝FB．【分析】根据CE∥DF，可得∠ECA＝∠FDB，再利用SAS证明△ACE≌△FDB，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵CE∥DF∴∠ECA＝∠FDB，在△ECA和△FDB 中，∴△ECA≌△FDB，∴AE＝FB．【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当方程有一个根为1时，求k的值．【分析】（1）套入数据求出△＝b2﹣4ac的值，再与0作比较，由于△＝1＞0，从而证出方程有两个不相等的实数根；（2）将x＝1代入原方程，得出关于k的一元二次方程，解方程即可求出k的值．【解答】（1）证明：△＝b2﹣4ac，＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k），＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4k，＝1＞0．∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有一个根为1，∴12﹣（2k+1）+k2+k＝0，即k2﹣k＝0，解得：k1＝0，k2＝1．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）求出△＝b2﹣4ac的值；（2）代入x＝1得出关于k的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式来判断实数根的个数是关键．22．豆豆妈妈用小米运动手环记录每天的运动情况，下面是她6天的数据记录（不完整）：日期4月1日4月2日4月3日4月4日4月5日4月6日步行数（步）10672 4927 5543 6648 7689156386.8 3.1 3.4 4.3 5.0 10.0步行距离（公里）157 79 91 127 142 234卡路里消耗（千卡）20 10 12 16 18 30燃烧脂肪（克）（1）4月5日，4月6日，豆豆妈妈没来得及作记录，只有手机图片，请你根据图片数据，帮她补全表格．（2）豆豆利用自己学习的统计知识，把妈妈步行距离与燃烧脂肪情况用如下统计图表示出来，请你根据图中提供的信息写出结论：步行距离越大，燃烧脂肪越多．（写一条即可）（3）豆豆还帮妈妈分析出步行距离和卡路里消耗数近似成正比例关系，豆豆妈妈想使自己的卡路里消耗数达到250千卡，预估她一天步行距离为10 公里．（直接写出结果，精确到个位）【分析】（1）依据手机图片的中的数据，即可补全表格；（2）依据步行距离与燃烧脂肪情况，即可得出步行距离越大，燃烧脂肪越多；（3）步行距离和卡路里消耗数近似成正比例关系，即可预估她一天步行距离．【解答】解：（1）由图可得，4月5日的步行数为7689，步行距离为5.0公里，卡路里消耗为142千卡，燃烧脂肪18克；4月6日的步行数为15638，步行距离为10.0公里，卡路里消耗为234千卡，燃烧脂肪30克；（2）由图可得，步行距离越大，燃烧脂肪越多；故答案为：步行距离越大，燃烧脂肪越多；（3）由图可得，步行时每公里约消耗卡路里25千卡，故豆豆妈妈想使自己的卡路里消耗数达到250千卡，预估她一天步行距离为10公里．故答案为：10．【点评】本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．23．如图，在△ABC中，D.E分别是AB.AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．【分析】从所给的条件可知，DE是△ABC中位线，所以DE∥BC且2DE＝BC，所以BC和EF平行且相等，所以四边形BCFE是平行四边形，又因为BE＝FE，所以是菱形；∠BCF是120°，所以∠EBC为60°，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求．【解答】（1）证明：∵D.E分别是AB.AC的中点，∴DE∥BC且2DE＝BC，又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，又∵BE＝FE，∴四边形BCFE是菱形；（2）解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为4，高为2，∴菱形的面积为4×2＝8．【点评】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点．24．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+k（k≠0）与x轴，y轴分别交于A，B两点，且点B（0，2），点P在y轴正半轴上运动，过点P作平行于x轴的直线y＝t．（1）求k的值和点A的坐标；（2）当t＝4时，直线y＝t与直线l交于点M，反比例函数（n≠0）的图象经过点M，求反比例函数的解析式；（3）当t＜4时，若直线y＝t与直线l和（2）反比例函数的图象分别交于点C，D，当CD间距离大于等于2时，求t的取值范围．【分析】（1）把（0，2）代入得出k的值，进而得出A点坐标；（2）当t＝4时，将y＝4代入y＝2x+2，进而得出x的值，求出M点坐标得出反比例函数的解析式；（3）可得CD＝2，当y＝t向下运动但是不超过x轴时，符合要求，进而得出t的取值范围．【解答】解：（1）∵直线l：y＝kx+k 经过点B（0，2），∴k＝2∴y＝2x+2∴A（﹣1，0）；（2）当t＝4时，将y＝4代入y＝2x+2，得，x＝1，∴M（1，4）代入得，n＝4∴；（3）当t＝2时，B（0，2）即C（0，2），而D（2，2）如图，CD＝2，当y＝t向下运动但是不超过x轴时，符合要求，∴t 的取值范围是：0＜t≤2．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是BC边上的高线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB为⊙O的直径．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）当BE＝3，cosC＝时，求⊙O的半径．【分析】（1）连结OM，易证OM∥BC，由于AE是BC边上的高线，从而可知AM⊥OM，所以AM是⊙O 的切线．（2）由于AB＝AC，从而可知EC＝BE＝3，由cosC＝＝，可知：AC＝EC＝，易证△AOM∽。
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23．如图，直线l与⊙O相离，OA l
于点A，与⊙O相交于点P，5
OA .C是直线l上一点，连接CP并延长，交⊙O于点B，且AB AC
.
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若
1
tan
2
ACB
∠，求线段BP的长.
【2020西城一模】
23．如图，四边形OABC中，∠OAB=90°，OA=OC，BA=BC．以O为圆心，以OA为半径作⊙O.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接BO并延长交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，与BC的延长线交于点F，
若
AD AC
，
①补全图形；
②求证：OF=OB
.
24．如图，在Rt ABC
，分
，点D为BC边的中点，以AD为直径作O
BAC
中，90
别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG BC
于G．
（1）求证：EG是O
的切线；
（2）若6
的半径为5，求BE的长.
AF ，O
【2020朝阳一模】
23．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5．在同一平面内，△ABC内部一点O到A B，AC，BC的距离都等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G．（1）直接写出a的值；
（2）连接BO并延长，交AC于点M，过点M作MN⊥BC于点N．
①求证：∠BMA=∠BMN；
②求直线MN与图形G的公共点个数．
24．在Rt △ABC 中，∠A =90 ，∠B =22.5 ．点P 为线段BC 上一动点，当点P 运动到某一位置时，它到点A ，B 的距离都等于a ，到点P 的距离等于a 的所有点组成的图形为W ，点D 为线段BC 延长线上一点，且点D 到点A 的距离也等于a ．
（1）求直线DA 与图形W 的公共点的个数；
（2）过点A 作AE ⊥BD 交图形W 于点E ，EP 的延长线交AB 于点F ，当a=2时，求线段EF 的长.
【2020石景山一模】
23．如图，AB 是⊙O 的直径，直线PQ 与⊙O 相切于点C ，以OB ，BC 为边作□
OBCD ，连接AD 并延长交⊙O 于点E ，交直线PQ 于点F .
（1）求证：AF CF ；
（2）连接OC ，BD 交于点H ，若tan 3OCB ，⊙O 的半径是5，求BD 的长.
A
B C
A
22．如图，∠APB，点C在射线PB上，PC为⊙O的直径，在∠APB内部且到∠APB两边距离都相等的所有的点组成图形M，图形M交⊙O于D，过点D作直线DE⊥P A，分别交射线P A，PB于E，F．
（1）根据题意补全图形；
（2）求证：DE是⊙O的切线；
（3）如果PC=2CF
，且DF ，求PE的长．
【2020房山一模】
24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，线段BC上有一点P．
（1）当点P在什么位置时，直线DP与⊙O有且只有一个公共点，补全图形并说明理由.
（2）在（1
）的条件下，当BP AD=3时，求⊙O半径．
23．已知：如图，在△ABC中，B C
．以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E.
（1）求证：DE与⊙O相切；
，求线段FA的长.
（2）延长DE交BA的延长线于点F，若8
AB ，sin B=
5
【2020通州一模】
22．已知：ABC
为等边三角形．
（1）求作：ABC
．（不写作法，保留作图痕迹）
的外接圆O
（2）射线AO交BC于点D，交O
的切线EF，与AB的延长线交于
于点E，过E作O
点F．
①根据题意，将（1）中图形补全；
②求证：EF BC
∥；
③若2
DE ，求EF的长．
22．如图，在□ABCD中，∠B=45°，点C恰好在以AB为直径的⊙O上．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接BD，若AB=8，求BD的长．
【2020延庆零模】
22．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点D是弧BC的中点，连接AC，B D，过点D作AC的垂线EF，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F.
（1）依题意补全图形；
（2）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=5，BD=3，求线段BF的长.
23．如图，AB为⊙O的直径，点C、点D为⊙O上异于A、B的两点，连接CD，过点C 作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，连接AC、AD．
（1）若∠ABD=2∠BDC，求证：CE是⊙O的切线．
（2）若⊙O，
1
tan
2
BDC
，求AC的长．
【2020平谷一模】
22．如图，等边△ABC，作它的外接圆⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作DF//BC，交AC的延长线于点F.
（1）依题意补全图形并证明：DF与⊙O相切；
（2）若AB=6，求CF的长.
22．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，点D 为 BC
中点，过点D 作DE ⊥直线AC ，垂足为E ，交AB 的延长线于点F ．
（1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）若EF ＝4，sin F ＝3
5
，求⊙O 的半径．
【2020 朝阳零模】
17．如图，线段AB 经过⊙O 的圆心O ，交⊙O 于A ，C 两点，BC =1，AD 为⊙O 的弦，连
接BD ，∠BAD =∠ABD =30°，连接DO 并延长交⊙O 于点E ，连接BE 交⊙O 于点M ． （1）求证：直线BD 是⊙O 的切线；（2）求线段EM 的长．
A。