人行走的最佳速度模型
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3.2 符号的约定与说明 符号 l s δ v m M g W 符号的意义 腿长 步长 人体重心升高量 行走速度（匀速） 腿的质量 人体的质量 重力加速度 人行走时作的总功 人体重心升高所需势能 两腿运动所需动能 每秒行走步数 转动惯量 角速度 4 模型的建立与求解 4.1 问题一的求解
W
Wl
n j w
3
δ
������
由简化图示可知， l l cos „„①
sin
s „„② 2l
2 2 联立方程①、②可解得 2l s
1 4
所以，
s 2 / 8l (s l )
4.2 问题二的求解 在问题二的题设背景下， 我们得知， 腿看作均匀直杆 （即为刚体） ， 行走看作腿绕腰部的转动。由物理学中的相关知识可得，刚体对某一 转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方 的乘积之总和。因此，本问题可抽象为物理学中的均匀直杆绕其一端 端点转动问题。由此，不难得到以下各式：
由问题二的结果可得，单位时间内行走所需的总功为：
W W Wl
Mgsv mv3 8l 6s
Mg mn ) 8l * n 6
v2 (
假设行走速度 v 一定，若要求做工最小，将上式对 n 求微分即可 得到：
5
dW m Mg 3Mg 0 n dn 6 8l * n2 4ml
M 4 将题目给出的条件数值 m ， l 1m 代入上式得到：
n5
联系现实实际我们可以明显得知， 人在正常行走时每秒钟走 5 步 是不可能的。 因此， 问题三的假设条件不符合现实情况， 是不合理的。 4.4 问题四的求解 在该问题中我们假设腿的质量集中在脚部， 行走看作脚的直线运 动。因此，动能计算公式需要改变为直线运动下的情况。 此时，单位时间内两腿行走的动能计算公式为：
人行走的最佳速度模型 摘要
人类每天的日常生活都需要行走， 看似简单的动作其中却蕴含着 丰富的物理和数学知识。以何种方式、何种步速行走才最“省力” ， 做功最少， 这是许多人都关心的。 本题要求我们在极度理想的条件下， 由浅及深地探究人要以多大的步速行走才能在单位时间内做功最少。 在此之前，我们首先证明了问题一和问题二，求解出人在行走时身体 重心的升高量和把腿看作绕腰部转动的均匀直杆并匀速行走时， 单位 时间所需动能。然后，我们综合运用物理学和数学知识，建立了人在 匀速行走时做功最少的最佳速度模型， 通过问题三和问题四的两种不 同假设， 给出了两种情况下的最佳步速。 最后我们综合考虑现实实际， 对模型的合理性和普适性进行了分析， 并对模型的优缺点及改进方向 进行了讨论。 关键词：匀速行走重力势能动能功能转换最优解 1 问题的重述 人行走时作的功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能 之和，在匀速行走的情况下，人该以多大的速度行走才会使得自身做 功最少。 为此，需要研究的主要内容如下： 1. 求解证明人在匀速行走时身体重心的升高量。 2. 将腿看作均匀直杆，行走看作腿绕腰部的转动时，单位时间所需 动能。
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3. 求解当行走速度一定时，每秒行走几步速度最少，建立模型并分 析题设答案的合理性。 4. 当腿部质量分布不均匀时，求证分析上述模型及其结果wenku.baidu.com合理性。 2 问题的分析 该模型主要运用优化问题最优解的分析方法， 辅以物理学中的运 动学、力学公式以及数学运算技巧，最终求解出理想结果。对于问题 一，在已知腿长和步长的前提下，由简化图示分析可得双腿在贴合和 分开时候的高度差，即人体重心的升高量；对于问题二，利用题设的 理想化条件，通过物理学中转动惯量的相关知识求出转动动能；问题 三和问题四的求解需要借助问题一和问题二的结果， 即已知重心的升 高量和单位时间所需动能， 人行走时消耗的总能量即为势能与动能之 和。 3 模型的假设与符号的约定 3.1 模型的假设与说明 1. 人行走时作的功 W=两腿运动所需的动能������������ +人体重心升高所需势 能������������ ； 2. 人在行走时不考虑人体生物质能的消耗， 只考虑物理能量的消耗； 3. 人在行走时步速是均匀的，排除自身疲劳程度、人与人之间身体 素质差异、路面情况等外界干扰因素； 4. 在对问题二和问题三求解时，将腿看作均匀直杆，行走看作腿绕 腰部的转动；在对问题四求解时，将腿的质量集中在脚部，行走 看作脚的直线运动；
1 2 mv3 Wl mv * n 2 2s
'
则单位时间内行走所需的总功为：
W ' W Wl ' v 2 (
mn Mg ) 2 8l * n
按照问题三的方法，将上式对 n 求微分并代入条件数值，得到最 终结果为：
n
Mg 3 4ml
联系实际我们得知，在正常情况下，人行走时每秒钟走 3 步是可 行的。因此，问题四的假设条件是合理的。 5 模型的评价与分析 本模型的建立过程是以人行走时保持匀速不变为前提， 并且只考 虑了人在行走时消耗的物理能量而未考虑自身消耗的生物能量， 即人
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在行走时做的总功只包含身体重心升高所需的势能和两腿运动时所 需的动能。建立模型后，我们利用微分的方法求解最优解，代入题设 条件数值并与实际情况做比较，最终我们得出，将腿的质量集中在脚 部，行走看作脚的直线运动更符合实际。 当然，本模型也有其自身不可避免的局限性。模型的假设条件是 极度理想化的，现实中人不可能在行走时一直保持匀速不变，而腿部 的质量也绝不可能是均匀分布或者集中在脚部的，不仅如此，行走时 的路面情况等外界因素也是难以忽略的。当遇到具体情境时，这些问 题都应该考虑到。 参考文献 [1] 姜启源谢金星叶俊数学模型（第四版）高等教育出版社 2011 年 1 月第 4 版 [2] 同济大学数学系高等数学（第六版）高等教育出版社 2007 年 6 月第 6 版 [3] 康颖大学物理（第二版）科学出版社 2010 年 1 月第二 版
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4.3 问题三的求解 该问题给出了人体的质量， 首先我们可以求出目标函数并对其微 分，经过简单的数学计算即可求出最优解。然后代入题目给出的条件 数值并计算出结果。最后，我们将得到的结果与实际情况进行比较讨 论。 由问题一的结果可得，单位时间内人体重心升高量所需势能为：
s2 v Mgsv W Mg * * n Mg *( )*( ) 8l s 8l
1 j ml 2 3 腿的转动惯量： „„③
w
角速度：
v l
4
„„ ④
n
单位时间内所走步数：
v s „„⑤
1 E = ������������ 2 2
物理学中转动动能与转动惯量和转动角速度之间的关系式：
单位时间内两腿运动所需动能：
Wl
1 2 jw n 2 „„⑥
mv3 将方程③④⑤代入⑥中，得到： Wl 6s
3.2 符号的约定与说明 符号 l s δ v m M g W 符号的意义 腿长 步长 人体重心升高量 行走速度（匀速） 腿的质量 人体的质量 重力加速度 人行走时作的总功 人体重心升高所需势能 两腿运动所需动能 每秒行走步数 转动惯量 角速度 4 模型的建立与求解 4.1 问题一的求解
W
Wl
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3
δ
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由简化图示可知， l l cos „„①
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2 2 联立方程①、②可解得 2l s
1 4
所以，
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4.2 问题二的求解 在问题二的题设背景下， 我们得知， 腿看作均匀直杆 （即为刚体） ， 行走看作腿绕腰部的转动。由物理学中的相关知识可得，刚体对某一 转轴的转动惯量等于每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方 的乘积之总和。因此，本问题可抽象为物理学中的均匀直杆绕其一端 端点转动问题。由此，不难得到以下各式：
由问题二的结果可得，单位时间内行走所需的总功为：
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假设行走速度 v 一定，若要求做工最小，将上式对 n 求微分即可 得到：
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M 4 将题目给出的条件数值 m ， l 1m 代入上式得到：
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联系现实实际我们可以明显得知， 人在正常行走时每秒钟走 5 步 是不可能的。 因此， 问题三的假设条件不符合现实情况， 是不合理的。 4.4 问题四的求解 在该问题中我们假设腿的质量集中在脚部， 行走看作脚的直线运 动。因此，动能计算公式需要改变为直线运动下的情况。 此时，单位时间内两腿行走的动能计算公式为：
人行走的最佳速度模型 摘要
人类每天的日常生活都需要行走， 看似简单的动作其中却蕴含着 丰富的物理和数学知识。以何种方式、何种步速行走才最“省力” ， 做功最少， 这是许多人都关心的。 本题要求我们在极度理想的条件下， 由浅及深地探究人要以多大的步速行走才能在单位时间内做功最少。 在此之前，我们首先证明了问题一和问题二，求解出人在行走时身体 重心的升高量和把腿看作绕腰部转动的均匀直杆并匀速行走时， 单位 时间所需动能。然后，我们综合运用物理学和数学知识，建立了人在 匀速行走时做功最少的最佳速度模型， 通过问题三和问题四的两种不 同假设， 给出了两种情况下的最佳步速。 最后我们综合考虑现实实际， 对模型的合理性和普适性进行了分析， 并对模型的优缺点及改进方向 进行了讨论。 关键词：匀速行走重力势能动能功能转换最优解 1 问题的重述 人行走时作的功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能 之和，在匀速行走的情况下，人该以多大的速度行走才会使得自身做 功最少。 为此，需要研究的主要内容如下： 1. 求解证明人在匀速行走时身体重心的升高量。 2. 将腿看作均匀直杆，行走看作腿绕腰部的转动时，单位时间所需 动能。
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3. 求解当行走速度一定时，每秒行走几步速度最少，建立模型并分 析题设答案的合理性。 4. 当腿部质量分布不均匀时，求证分析上述模型及其结果wenku.baidu.com合理性。 2 问题的分析 该模型主要运用优化问题最优解的分析方法， 辅以物理学中的运 动学、力学公式以及数学运算技巧，最终求解出理想结果。对于问题 一，在已知腿长和步长的前提下，由简化图示分析可得双腿在贴合和 分开时候的高度差，即人体重心的升高量；对于问题二，利用题设的 理想化条件，通过物理学中转动惯量的相关知识求出转动动能；问题 三和问题四的求解需要借助问题一和问题二的结果， 即已知重心的升 高量和单位时间所需动能， 人行走时消耗的总能量即为势能与动能之 和。 3 模型的假设与符号的约定 3.1 模型的假设与说明 1. 人行走时作的功 W=两腿运动所需的动能������������ +人体重心升高所需势 能������������ ； 2. 人在行走时不考虑人体生物质能的消耗， 只考虑物理能量的消耗； 3. 人在行走时步速是均匀的，排除自身疲劳程度、人与人之间身体 素质差异、路面情况等外界干扰因素； 4. 在对问题二和问题三求解时，将腿看作均匀直杆，行走看作腿绕 腰部的转动；在对问题四求解时，将腿的质量集中在脚部，行走 看作脚的直线运动；
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则单位时间内行走所需的总功为：
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按照问题三的方法，将上式对 n 求微分并代入条件数值，得到最 终结果为：
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联系实际我们得知，在正常情况下，人行走时每秒钟走 3 步是可 行的。因此，问题四的假设条件是合理的。 5 模型的评价与分析 本模型的建立过程是以人行走时保持匀速不变为前提， 并且只考 虑了人在行走时消耗的物理能量而未考虑自身消耗的生物能量， 即人
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在行走时做的总功只包含身体重心升高所需的势能和两腿运动时所 需的动能。建立模型后，我们利用微分的方法求解最优解，代入题设 条件数值并与实际情况做比较，最终我们得出，将腿的质量集中在脚 部，行走看作脚的直线运动更符合实际。 当然，本模型也有其自身不可避免的局限性。模型的假设条件是 极度理想化的，现实中人不可能在行走时一直保持匀速不变，而腿部 的质量也绝不可能是均匀分布或者集中在脚部的，不仅如此，行走时 的路面情况等外界因素也是难以忽略的。当遇到具体情境时，这些问 题都应该考虑到。 参考文献 [1] 姜启源谢金星叶俊数学模型（第四版）高等教育出版社 2011 年 1 月第 4 版 [2] 同济大学数学系高等数学（第六版）高等教育出版社 2007 年 6 月第 6 版 [3] 康颖大学物理（第二版）科学出版社 2010 年 1 月第二 版
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4.3 问题三的求解 该问题给出了人体的质量， 首先我们可以求出目标函数并对其微 分，经过简单的数学计算即可求出最优解。然后代入题目给出的条件 数值并计算出结果。最后，我们将得到的结果与实际情况进行比较讨 论。 由问题一的结果可得，单位时间内人体重心升高量所需势能为：
s2 v Mgsv W Mg * * n Mg *( )*( ) 8l s 8l
1 j ml 2 3 腿的转动惯量： „„③
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角速度：
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单位时间内所走步数：
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物理学中转动动能与转动惯量和转动角速度之间的关系式：
单位时间内两腿运动所需动能：
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1 2 jw n 2 „„⑥
mv3 将方程③④⑤代入⑥中，得到： Wl 6s