学而思高中数学11-函数的奇偶性与对称性

题型一：判断函数奇偶性

1.判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断f (x)±f (-x)是否为0是判断函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断．

【例1】 判断下列函数的奇偶性：

⑴ 1

y x

=；

⑵ 422y x x =++；

⑶ 3y x x =+； ⑷ 31y x =-．

【例2】 判断下列函数的奇偶性：

⑴4()f x x =； ⑵5()f x x =； ⑶1()f x x x =+

； ⑷21()f x x

=．

【例3】 判断下列函数的奇偶性并说明理由：

⑴ 221()1x

x

a f x a +=

-(0a >且1)a ≠； ⑵

()f x = ⑶ 2()5||f x x x =+．

典例分析

板块二.函数的奇偶性与对称

性

【例4】 判别下列函数的奇偶性：

（1）31

()f x x x

=-； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-.

【例5】 判断函数

的奇偶性．

2.由函数奇偶性的定义，有下面的结论： 在公共定义域内 （1）两个偶函数之和（积）为偶函数；

（2）两个奇函数之和为奇函数；两个奇函数之积为偶函数； （3）一个奇函数和偶函数之积为奇函数．

【例6】 判断下列函数的奇偶性：

⑴ ()(f x x =- ⑵ 11

()()(

)12

x

f x F x a =+-，其中0a >且1a ≠，()F x 为奇函数．

【例7】 若函数f(x)= 3

(x x)+g(x)是偶函数，且f (x)不恒为零，判断函数g(x)的奇偶性．

【例8】 函数()y f x =与()y g x =有相同的定义域，对定义域中任何x ，有

()()0f x f x +-=，()()1g x g x -=，则2()

()()()1

f x F x f x

g x =

+-是（ ）

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．非奇非偶函数

【例9】 已知()f x ，)

()lg

g x x =．则乘积函数()()()F x f x g x =在公

共定义域上的奇偶性为（ ）．

A ．是奇函数而不是偶函数

B ．是偶函数而不是奇函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．既非奇函数又非偶函数

【例10】 已知函数()f x 是奇函数；2

()(1)()21

x F x f x =+

-（x ≠0）是偶函数，且()f x 不恒为0，判断()f x 的奇偶性．

题型二：求解析式与函数值

1.利用函数奇偶性可求函数解析式．

【例11】 函数()f x =a 的取值范围是（ ）．

A ．10a -<≤或01a <≤

B ．1a -≤或1a ≥

C ．0a >

D ．0a <

【例12】 设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时，()(1)

f x x =，那么当(,0)x ∈-∞时，()f x =_________．

【例13】 已知偶函数f (x)的定义域为R ，当x ≥0时，f (x)=2x 3x-1+，求f (x)的解析式．

设x ＜0，则－x ＞0

【例14】 已知函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时()(1)f x x x =-．求函数()f x 的解

析式．

【例15】 已知函数22()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++，当,m n 为何值时，()f x 是奇函数？

【例16】 已知()f x 是偶函数，0x ≥时，2()24f x x x =-+，求0x <时()f x 的解析式.

【例17】 已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x <时，2()2f x x x =+-，求()f x 的解

析式.

【例18】 ()y f x =图象关于1x =对称，当1x ≤时，2()1f x x =+，求当1x >时()f x 的表

达式．

【例19】 已知函数21

()(,,)ax f x a b c Z bx c

+=

∈+是奇函数,且(1)2,(2)3f f =<,求,,a b c 的值.

2.对于函数奇偶性有如下结论：定义域关于原点对称的任意一个函数f (x)都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和． 即 f (x)=

1

2

[F (x)+G(x)] 其中F (x) =f (x)+f (-x),G(x) =f (x)－f (-x) 利用这一结论，可以简捷的解决一些问题．

【例20】 定义在R 上的函数f (x)=22x x

x 1

++，可表示成一个偶函数g(x)和一个奇函数h(x)

之和,求g(x)，h(x)．

【例21】 已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数并且()()1f x g x x +=+，则求()f x 与()g x 的

表达式．

【例22】 已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1

()()1

f x

g x x -=

+，求()f x 、()g x ．

3.利用函数奇偶性求函数值

【例23】 已知f （x ）,.10)2(832=-+++=f bx ax x 且求f (2).

【例24】 已知()l n 1)4f x a x x =

++++（a 、b 、c 为实数），且

3(lg log 10)5f =．则(lg lg3)f 的值是（ ）．

A ．5-

B ．-3

C ．3

D ．随a 、b 、c 而变

【例25】 ⑴ 若()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)f =__________；

⑵若()f x 是定义在R 上的奇函数，(3)2f =，且对一切实数x 都有(4)()f x f x +=，则(25)f =__________；

⑶设函数()y f x =(R x ∈且0x ≠）对任意非零实数12,x x 满足

12

12()()()f x x f x f x ⋅

=

+，则函数()y f x =是___________（指明函数的奇偶性）

【例26】 已知函数3()2f x x x

=--．若1x 、2x 、3x ∈R 且120x x +>，230x x +>，310x x +>．则123()()()f x f x f x ++（ ）．

A ．大于零

B ．小于零

C ．等于零

D ．大于零或小于零

【例27】 设函数322||2()2||

x x x x

f x x x +++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M 与m 满足

（ ）． A ．2M m += B ．4M m += C ．2M m -=

D ．4M m -=