第4章-4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程

合集下载

拉普拉斯变换的性质及其在求解微分方程中的应用

拉普拉斯变换的性质及其在求解微分方程中的应用
拉普拉斯变换是一种将一个函数f(t) 转换成另一个函数F(s)
的变换工具，它与傅里叶变换有一些相似之处，但拉普拉斯变换更
加适用于求解微分方程。

拉普拉斯变换的性质包括：
1. 线性性：如果f1(t) 和f2(t) 的拉普拉斯变换分别是F1(s) 和F2(s)，那么对于任意常数a 和b，它们的线性组合af1(t) +
bf2(t) 的拉普拉斯变换是aF1(s) + bF2(s)。

2. 移位性：如果f(t) 的拉普拉斯变换是F(s)，那么e^(-
at)f(t) 的拉普拉斯变换是F(s+a)。

3. 前移性：如果f(t) 的拉普拉斯变换是F(s)，那么t^n f(t) （n 为非负整数）的拉普拉斯变换是 (-1)^n F^(n) (s)，其中
F^(n) 表示F(s) 的 n 阶导数。

4. 卷积定理：如果f1(t) 和f2(t) 的拉普拉斯变换分别是
F1(s) 和F2(s)，那么它们的卷积f(t) = f1(t) * f2(t) 的拉普拉
斯变换是F1(s)F2(s)。

在求解微分方程时，拉普拉斯变换可以将微分方程转换为代数
方程，并使复杂的微分方程分析更容易。

将微分方程用拉普拉斯变
换表示后，可以通过代数运算求解它们的解析解，并通过反演拉普
拉斯变换得到原始函数的解析表达式。

特别地，拉普拉斯变换可以
轻松地求解初值问题和边界条件问题，因为它们的解析解可以在拉
普拉斯域中被求出。

(整理)拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程

拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要的工具。

拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。

因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏变换）法的优点所在。

拉普拉斯拉斯变换的定义一个定义在区间的函数,其拉氏变换定义为L[f(t)]=F(s)=式中：s=б+jω为复数，有时称变量S为复频域。

应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法F(s)又称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。

通常用“L[ ]”表示对方括号内的函数作拉氏变换。

拉普拉斯变换的基本性质本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质，可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。

一、唯一性定义在区间的时间函数与其拉氏变换存在一一对应关系。

根据可以唯一的确定其拉氏变换；反之，根据，可以唯一的确定时间函数。

唯一性是拉氏变换非常重要的性质，正是这个性质，才是我们有可能将时域中的问题变换为复频域中的问题进行求解，并使在复频域中求得的结果有可能再返回到时域中去。

唯一性的证明从略。

二、线性性质若和是两个任意的时间函数，其拉氏变换分别为和，和是两个任意常数，则有证根据拉氏变换的定义可根据拉氏变换的定义可得例求的拉氏变换。

解三、时域导数性质（微分性质）例应用时域导数性质求的象函数。

四、时域积分性质（积分规则）例：求单位斜坡函数及的象函数。

五、时域平移性质（延迟性质）作业：书后习题1、2、3、4。

课后记事：注意板书层次，因为内容很多，不要太乱。

常用时间函数的象函数一览表，见教材221页。

8-2、8-3拉普拉斯反变换和运算电路图（4学时）（教材第221页）教学目的：具有单根、复根、重根三种情况下用部分分式及分解定理求待定系数法，运算电路图的画法。

教学重点：具有单根、复根时求待定系数法，熟练掌握反变换的求法，熟练掌握运算电路图的画法。

matlab如何用拉普拉斯变换求解矩阵微分方程组

一、概述矩阵微分方程组是工程数学中常见的问题之一，在控制理论、信号处理等领域有着广泛的应用。

对于矩阵微分方程组的求解，传统的方法通常是使用拉普拉斯变换或者矩阵求逆等技术，以得到方程组的解析解。

而在MATLAB中，我们可以利用其强大的数值计算能力来求解矩阵微分方程组，本文将介绍如何利用MATLAB中的拉普拉斯变换工具箱来求解矩阵微分方程组。

二、矩阵微分方程组的基本形式矩阵微分方程组通常可以表示为如下形式：其中，A(t)为n阶矩阵，x(t)为n维向量，f(t)为n维向量函数。

对于这样的矩阵微分方程组，我们的目标是求解x(t)。

三、MATLAB中的拉普拉斯变换工具箱MATLAB是广泛使用的数值计算软件，它提供了丰富的工具箱来处理各种数学问题。

其中，拉普拉斯变换工具箱（Laplace Transform Toolbox）提供了丰富的函数和工具，能够帮助我们对微分方程进行变换和求解。

四、利用拉普拉斯变换求解矩阵微分方程组的步骤1. 将矩阵微分方程组转换为拉普拉斯变换形式需要将矩阵微分方程组转换为拉普拉斯变换形式。

对于矩阵微分方程组，我们可以利用拉普拉斯变换的线性性质来进行变换，得到矩阵X(s)的表达式。

2. 求解拉普拉斯变换后的代数方程接下来，我们需要对拉普拉斯变换后的代数方程进行求解，得到矩阵X(s)的表达式。

3. 对结果进行拉普拉斯逆变换我们需要对求解得到的矩阵X(s)的表达式进行拉普拉斯逆变换，得到最终的解x(t)。

五、实例演示下面，我们通过一个具体的矩阵微分方程组来演示如何利用MATLAB 的拉普拉斯变换工具箱来求解。

假设我们有如下的矩阵微分方程组：A(t) = [1 2; 3 4]，x(t) = [x1(t); x2(t)]，f(t) = [t; 1]我们首先需要将矩阵微分方程组转换为拉普拉斯变换形式，然后求解得到矩阵X(s)的表达式。

对结果进行拉普拉斯逆变换，得到最终的解x(t)。

```matlabsyms s t;A = [1 2; 3 4];f = [t; 1];X = inv(s*eye(2) - A)*f;x = ilaplace(X, s, t);disp(x);```运行上述代码，我们可以得到矩阵微分方程组的解x(t)的表达式。

拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用总结归纳

精心整理目录引言 (1)1 拉普拉斯变换以及性质 (1)1.1拉普拉斯变换的定义 (1)1.2拉普拉斯变换的性质 (1)2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 (3)3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 (3)3.1初值问题与边值问题 (3)3.2常系数与变系数常微分方程 (4)3.3含函数的常微分方程 (5)3.4常微分方程组 (6)3.5拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用 (6)3.6拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广 (9)4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 (10)4.1齐次与非齐次偏微分方程 (10)4.2有界与无界问题 (11)5 综合比较，归纳总结 (14)结束语 (15)参考文献 (15)英文摘要 (21)致谢 (16)拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用物理系0801班学生岳艳林指导老师韩新华摘要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯变换的定义及性质；其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边值问题、常系数与变系数常微分方程、含δ函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界与无界问题）中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。

关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解引言傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在+∞<<∞-t 内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 为自变量的函数通常在0t <时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。

为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换[1]。

(完整word版)拉普拉斯表变换在求解微分方程中的应用

目录引言 (1)1 拉普拉斯变换以及性质 (1)1。

1 拉普拉斯变换的定义 (1)1.2 拉普拉斯变换的性质 (2)2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 (2)3 拉普拉斯变换在求解线性微分方程中的应用 (3)3。

1 初值问题与边值问题 (3)3。

2 常系数与变系数微分方程 (4)3。

3 含函数的微分方程 (4)3.4 常微分方程组 (5)3。

5 求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 (5)4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 (8)4。

1 齐次与非齐次偏微分方程 (8)4.2 有界问题与无界问题 (9)4。

3 多维偏微分方程的求解 (11)结束语 (12)参考文献 (13)英文摘要 (13)致谢 (14)拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用物理系0801班学生岳艳林指导老师韩新华摘要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用。

本文以讨论拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用为目的，首先，介绍拉普拉斯变换的定义及性质；其次，给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；随后,举例拉普拉斯变换在求解微分方程与典型偏微分方程中的应用；最后，总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。

关键词：线性微分方程；特解；偏微分方程；多维拉普拉斯变换引言拉普拉斯变换在许多科学技术和工程领域有着广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着非常重要的作用.人们在研究这些系统时，往往是从实际问题出发，将研究的对象归结为一个数学模型，在许多场合下，这个数学模型是线性的.换句话说，它可以用线性的微分方程、微分积分方程乃至于偏微分方程等来描述。

用拉普拉斯变换法去分析和求解这类线性方程是十分有效的，甚至是不可缺少的。

1 拉普拉斯变换以及性质 1.1 拉普拉斯变换的定义设函数()f t 当0t ≥时有定义，而且积分)()(0是复参量s dt e t f st -+∞⎰在s 的某一区域内收敛，则此积分所确定的函数可写为dt e t f s F st -+∞⎰=)()(0我们称此式为函数()f t 的Laplace 变换式。

拉普拉斯变换求解微分方程典型范例

Laplace 变换在微分方程(组)求解例引言Laplace 变换是由复变函数积分导出的一个非常重要的积分变换，它在应用数学中占有很重要的地位，特别是在科学和工程中，有关温度、电流、热度、放射现象等方面都有广泛的应用.为了研究本文提出的各种问题，我们给出了Laplace 变换的概念以及一些性质.Laplace 变换的定义设函数f(x)在区间[)0+∞，上有定义，如果含参变量s 的无穷积分()+0st e f t dt ∞-⎰对s 的某一取值围是收敛的.则称()F s =()+0st e f t dt ∞-⎰为函数的Laplace 变换，()f t 称为原函数，()F s 称为象函数，并记为()()L f t F s =⎡⎤⎣⎦.性质1 (Laplace 变换存在定理)如果函数()f t 在区间[)0,+∞上逐段连续，且存在数0M >，00s ≥，使得对于一切0t ≥有0()s t f t Me <,则当0s s >时，()F s 存在.性质2 (线性性质)设函数和满足Laplace 变换存在定理的条件，则在它们象函数定义域的共同部分上有()()()()L f t g t L f t L g t αβαβ+=+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中α和β是常数.性质3 （原函数的微分性质）如果()f t '，()f t ''，，()()n f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件，则()()()0L f t sL f t f '=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦或更一般地，有()()()()()()()112000n n n n n L f t s L f t s f s f f ---⎡⎤'=----⎡⎤⎣⎦⎣⎦.性质4 （象函数的微分性质）如果()()L f t F s =⎡⎤⎣⎦,则()()()+0st F s te f t dt L tf t ∞-'=-=-⎡⎤⎣⎦⎰或一般地有()()()()()()011n nn n st n F s t e f t dt L t f t +∞-⎡⎤=-=-⎣⎦⎰. 主要结论及推导对于Laplace 变换式，在积分号下对s 求导，得到()()()0st F s t f t e dt +∞-'=-⎰ （*）即()()()L t f t F s '-=⎡⎤⎣⎦再对（*）式求导，可得()()2L t f t F s ''⎡⎤=⎣⎦在一般情况下，对于任一正整数n ，有()()()1n n nn d L f t F s ds ⎡⎤-=⎣⎦ 即()()()1nnn n d L t f t L f t ds ⎡⎤=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 从而()()()1nnn m m n d L t f t L f t ds ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦ （1）对性质3及（1）式，可得()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦()()()0L x t sX s x '=-⎡⎤⎣⎦()()()()200L x t s X s sx x '''=--⎡⎤⎣⎦()()()dX s d L tx t L x t ds ds=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()()0d d d L tx t L x t sX s x sX s ds ds ds ''=-=--=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()X s sX s '=-+⎡⎤⎣⎦()()()()()200d d L tx t L x t s X s sx x ds ds '''''⎡⎤=-=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()20d s X s sx ds⎡⎤=--⎣⎦()()()220sX s s X s x '⎡⎤=-+-⎣⎦ 1、利用Laplace 变换求解常系数微分方程例 1 求方程331x x x x ''''''+++=的满足初始条件()()()000x x x '''==的解.解对方程两端进行Laplace 变换得()()321331s s s X s s+++= 由此得()32331s s s X s s+++= 把上式右端分解成分式()()()2311111+11X s s s s s =---++ 对上式两端各项分别求出其原函数，再求和.即得原微分方程的解为()()2211112122t t t t X t e te t e t t e ----=---=-++ 例 2 求微分方程322t y y y e -'''-+=满足初始条件()02y =,()01y '=-的特解.解设()()L y t Y s =⎡⎤⎣⎦，对微分方程两端取Laplace 变换得()()()()()()22321s Y s sy s y s sY s y s Y s s '⎡⎤----+=⎡⎤⎣⎦⎣⎦+ 考虑到初始条件得()()2232271s s Y s s s -+=+-+ 于是 ()()()2217255433112132s s Y s s s s s s s --==+-+--+-+ 对上述方程两端取Laplace 逆变换,得()()111121117117443113233t t t y t L Y s L L L e e e s s s -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+-=+-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 于是得到方程的解为()217433t t t y t e e e ---=+- 2、利用Laplace 变换求解常系数微分方程组例3 求解初值问题()()2400,01dx x ydt dy x y dt x y ⎧=+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪==⎪⎩的解. 解设()()()0st X s L x t e x t dt +∞-==⎡⎤⎣⎦⎰，()()()0st Y s L y t e y t dt +∞-==⎡⎤⎣⎦⎰ 对方程组取Laplace 变换，得到()()()()()()()()02+04sX s x X s Y s sY s y X s Y s -=⎧⎪⎨-=-+⎪⎩ 即()()()()()()2041s X s Y s X s s Y s --=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 从而有()()()()()22213211333X s s s Y s s s s ⎧=⎪-⎪⎨-⎪==+⎪---⎩对上面方程组取Laplace 逆变换，得原方程组的解为()()333t t t x t te y t e te⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 例 4 求微分方程组200x y x x y '''--=⎧⎨'-=⎩满足初始条件()()()00,01,01x x y '===的解.解设()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦，()()L y t Y s =⎡⎤⎣⎦ 对微分方程组取Laplace 变换得()()()()()()()()()20020000s X s sx x sY s y X s sX s x Y s ⎧'-----=⎡⎤⎪⎣⎦⎨--=⎪⎩ 考虑到初始条件得()()()()()212100s X s sY s sX s Y s ⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩ 由上面方程组解得()()22111X s s s Y s s ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩对上方程组取Laplace 逆变换得原方程组的解为()()sin cos x t t y t t=⎧⎪⎨=⎪⎩ 3、利用Laplace 变换求解偏微分方程例5 求22200||3y x u x y x y u x u y==⎧∂=⎪∂∂⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩()0,x y <<+∞的定解.解首先将定解问题取Laplace 变换，并记()(),,L u x y u s y =⎡⎤⎣⎦ 则有0|3x u L su u su y x =∂⎡⎤=-=-⎢⎥∂⎣⎦，23u du L s x y dy ⎡⎤∂=-⎢⎥∂∂⎣⎦ 232!L x y y s ⎡⎤=⎣⎦，0032!||y y L u u s ==⎡⎤==⎣⎦ 这样，就将原来的问题转化为含有参数的常微分方程的边值问题303232|y du s y dy s u s =⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩以求得其解为()24312,3+u s y y y s s =+ 对上式取Laplace 逆变换，得到原偏微分方程的解为()322,36x y u x y y x =++ 例6 求方程()()0,0,00x x u xu x u t u x ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩()0,0x t >>的解.解对方程两端关于t 施行Laplace 变换(取s 为实数),有()(),1,du x s s u x s dx x s +=求解得()()()1,1s x u x s c s x s s =++ 由条件()0,0u t =得()0,0u s =，从而()0c s =，代入上式并应用Laplace 逆变换，有()()()()111111111,,1111t x u x t L u x s L L x xL xL x e s s s s s s ------⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤===-=-=-⎡⎤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 4、利用Laplace 变换求解变系数的微分方程例7 求变系数微分方程()()2120ty t y t y '''+-+-=满足初始条件()00y =的解.解对方程两端同时施行Laplace 变换，利用Laplace 变换的微分性质有()()()()()()()()20020220s Y s sy y sY s y sY s Y s Y s ''''⎡⎤--------=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 结合初始条件()00y =，化简有()()()()221410s s Y s s Y s '++++=解得()()41cY s s =+，c 为任意常数.取Laplace 逆变换，则有()()13t y t L Y s ct e --==⎡⎤⎣⎦例8 求解二阶变系数微分方程()()()20tx t x t tx t '''++=满足初始条件()()001,0x x c '==(0c 为常数）的解.解设()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦，对方程两端取Laplace 变换，得()()()20L tx s x t tx t '''++=⎡⎤⎣⎦即()()()20L tx t L x t L tx t '''++=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦亦即()()()()()()200200d d s X s sx x sX s x X s ds ds '⎡⎤---+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 整理后化简可得()()211d X s X s ds s =-+ 而由()()0st F s f te dt +∞-=⎰在积分号下对s 求导得()()()0st F s t f t e dt +∞-'=-⎰，可知()()()dX s L t x t ds-=⎡⎤⎣⎦ 所以有 ()()211L t x t s -=⎡⎤⎣⎦+ 对上式取Laplace 逆变换得 ()()1211t x t L s -⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦即得原变系数方程的解为 ()sin t x t t=。

第4章-拉氏变换

六、时域积分特征（积分定理）
若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0, 则
t 0
n
f
( x) d
x
1 sn
F (s)
f (1) (t)
t
f
( x) d
x
s 1F (s)
s 1
f
(1) (0 )
例1: t2(t)<---->?
t
0 (x) d x t (t)
t 2 (x) d x t x (x) d x t 2 (t)
4.2 拉普拉斯变换性质一、线性性质
若f1(t)←→F1(s) Re[s]>1 , f2(t)←→F2(s) Re[s]>2 则 a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s) Re[s]>max(1,2)
例 f(t) = (t) + (t)←→1 + 1/s， > 0
二、尺度变换
若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0，且有实数a>0 ，
则f(at) ←→ 1 F( s )
aa
Re[s]>a0
第4-17页
■
信号与系统
4.2 拉普拉斯变换性质
例：如图信号f(t)旳拉氏变换F(s) = es (1 es s es )
s2
求图中信号y(t)旳拉氏变换Y(s)。
f(t)
2、(t)或1 ←→1/s ，> 0
3、指数函数e-s0t ←→ 1
s s0
> -Re[s0]
s
cos0t = (ej0t+ e-j0t )/2 ←→
s2
2 0

自动控制原理--用拉氏变换求解线性微分方程

R
u0 uc (t)
u0
C uc uc0
u0 1et Rc
uc(0) et Rc t
应用拉a)氏变换法求解微分b方) 程的步骤归纳如下：
（1）对线性微分方程的每一项进行拉氏变换，将微分方程变成关于的代数方程；
（2）整理代数方程，求得待求函数的拉氏变换表达式；
（3）对拉氏变换式进行反变换得到待求函数的时域表达式，即微分方程的解。
压
uc
(0)，求开关瞬时闭合后T 电容R 的端电压u0uc
t 。
uc (t)
u0
C uc uc0
u0 1et Rc
uc(0) et Rc
解：网络的微分方程为 RC 两边进行拉氏变换得 sRCU
cd(aus)dc)t(t)RCuucC(t()0)uU0
C
(s)
1 s
U
0
(s)b)
t
所以
U (s) U0 RC U (0)
1．线性性质
设F1(s) L f1(t) ，F2(s) L f2(t)，a，b 均为常数，则有
Laf1(t) bf2(t) aL f1(t)bL f2(t) aF1(s) bF2(s)
2．微分性质
若L f (t) F(s) ，则有 L f '(t) sF (s) f (0)
3．积分性质
F (s)
s1）m1
s s1 s sm1
s sn
… cm1
lim
s s1
d ds
(s
s1 ) m
F (s)
cm j
1 dj lim
j! ss1 ds j
(s s1)m F(s)
…
c1
1

数字信号处理第4章信号与系统的复频域分析

有的零点和极点以及比例因子bm，就可以确定系统函数。因此，系统函数的零点和
极点的分布反映了系统的各种特征。
系统函数往往用零点和极点在S平面上的分布图来表示，以”○”表示零点，以”×” 表示极点，以“⊙”表示重零点，以”*” 表示重极点。
jω
×
1
○
*
-2
-1
○
01
○
2
σ
×
-1
H
(s)
s(s (s2 2s
求上式的拉氏反变换，就可以得到系统的
冲激响应为：
n
h(t) bm kie pit i 1
每一极点对应一分量 epit ,(有r重极点时对应 t e r1 pit ），极点位置就决定了该分量的时域性质。
在H(s)的系数都为实数时，如果有一极点
为复数，必有另一极点是该极点的共轭复数，同时系数k也将为共轭复数，一对共轭极点组成的响应分量仍然为实数。
系统稳定性：对于任何一个有界的激励，稳定系统产生的响应在任何时候都是有界的。也就是要求系统的冲激响应有界（随着t→∞，|h(t)|将逐渐衰减到零）。系统的冲激响应的时域性质可由系统函数的极点位置确定，因此，系统的稳定性可由系统函数的极点位置来判断。
1、系统函数的极点全部位于左半S平面时，随着t→∞将逐渐衰减到零，系统稳定。因
1
F (s)estds F (s)estds
2 j C0 Ci
Ci
0
k
Re
s(sk
)
1
2
j
Ci
F
(s)e st ds
F (s)estds 0 t 0
C1
F (s)estds 0 t 0
C2

拉普拉斯变换求解微分方程典型范例

拉普拉斯变换求解微分方程典型范例Laplace 变换在微分方程(组)求解范例引言Laplace 变换是由复变函数积分导出的一个非常重要的积分变换，它在应用数学中占有很重要的地位，特别是在科学和工程中，有关温度、电流、热度、放射现象等方面都有广泛的应用.为了研究本文提出的各种问题，我们给出了Laplace 变换的概念以及一些性质.Laplace 变换的定义设函数f(x)在区间[)0+∞，上有定义，如果含参变量s 的无穷积分()+0st e f t dt ∞-⎰对s 的某一取值范围是收敛的.则称()F s =()+0st e f t dt ∞-⎰为函数的Laplace 变换，()f t 称为原函数，()F s 称为象函数，并记为()()L f t F s =⎡⎤⎣⎦.性质1 (Laplace 变换存在定理)如果函数()f t 在区间[)0,+∞上逐段连续，且存在数0M >，00s ≥，使得对于一切0t ≥有0()s t f t Me <,则当0s s >时，()F s 存在.性质2 (线性性质)设函数和满足Laplace 变换存在定理的条件，则在它们象函数定义域的共同部分上有()()()()L f t g t L f t L g t αβαβ+=+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中α和β是常数.性质3 （原函数的微分性质）如果()f t '，()f t ''，，()()n f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件，则()()()0L f t sL f t f '=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦或更一般地，有()()()()()()()112000n n n n n L f t s L f t s f s f f ---⎡⎤'=----⎡⎤⎣⎦⎣⎦.性质4 （象函数的微分性质）如果()()L f t F s =⎡⎤⎣⎦,则()()()+0st F s te f t dt L tf t ∞-'=-=-⎡⎤⎣⎦⎰或一般地有()()()()()()011nnn n st n F s t e f t dt L t f t +∞-⎡⎤=-=-⎣⎦⎰.主要结论及推导对于Laplace 变换式，在积分号下对s 求导，得到()()()0st F s t f t e dt +∞-'=-⎰（*）即()()()L t f t F s '-=⎡⎤⎣⎦再对（*）式求导，可得()()2L t f t F s ''⎡⎤=⎣⎦在一般情况下，对于任一正整数n ，有()()()1nnnn dL f t F s ds ⎡⎤-=⎣⎦即()()()1nnnn d L t f t L f t ds ⎡⎤=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 从而()()()1n nnmmn d L t f t L f t ds ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦ （1）对性质3及（1）式，可得()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦ ()()()0L x t sX s x '=-⎡⎤⎣⎦()()()()200L x t s X s sx x '''=--⎡⎤⎣⎦()()()dX s dL tx t L x t ds ds=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()()0d d dL tx t L x t sX s x sX s ds ds ds ''=-=--=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()X s sX s '=-+⎡⎤⎣⎦()()()()()200d d L tx t L x t s X s sx x ds ds '''''⎡⎤=-=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()20d s X s sx ds⎡⎤=--⎣⎦()()()220sX s s X s x '⎡⎤=-+-⎣⎦ 1、利用Laplace 变换求解常系数微分方程例1 求方程331x x x x ''''''+++=的满足初始条件()()()000x x x '''==的解.解对方程两端进行Laplace 变换得()()321331s s s X s s+++=由此得()32331s s s X s s+++=把上式右端分解成分式()()()2311111+11X s s s s s =---++ 对上式两端各项分别求出其原函数，再求和.即得原微分方程的解为()()2211112122t t t t X t e te t e t t e ----=---=-++例2 求微分方程322t y y y e -'''-+=满足初始条件()02y =,()01y '=-的特解.解设()()L y t Y s =⎡⎤⎣⎦，对微分方程两端取Laplace 变换得()()()()()()22321s Y s sy s y s sY s y s Y s s '⎡⎤----+=⎡⎤⎣⎦⎣⎦+ 考虑到初始条件得()()2232271ss Y s s s -+=+-+ 于是()()()2217255433112132s s Y s s s s s s s --==+-+--+-+ 对上述方程两端取Laplace 逆变换,得()()111121117117443113233t tt y t L Y s L L L e e e s s s -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+-=+-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 于是得到方程的解为()217433t t t y t e e e ---=+-2、利用Laplace 变换求解常系数微分方程组例3 求解初值问题()()2400,01dxx y dt dyx y dt x y ⎧=+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪==⎪⎩的解.解设()()()0stX s L x t e x t dt+∞-==⎡⎤⎣⎦⎰，()()()0stY s L y t e y t dt +∞-==⎡⎤⎣⎦⎰对方程组取Laplace 变换，得到()()()()()()()()02+04sX s x X s Y s sY s y X s Y s -=⎧⎪⎨-=-+⎪⎩ 即()()()()()()2041s X s Y s X s s Y s --=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 从而有()()()()()22213211333X s s s Y s s s s ⎧=⎪-⎪⎨-⎪==+⎪---⎩对上面方程组取Laplace 逆变换，得原方程组的解为()()333tt tx t tey t e te⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 例4 求微分方程组200x y x x y '''--=⎧⎨'-=⎩满足初始条件()()()00,01,01x x y '===的解.解设()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦，()()L y t Y s =⎡⎤⎣⎦对微分方程组取Laplace 变换得()()()()()()()()()20020000s X s sx x sY s y X s sX s x Y s ⎧'-----=⎡⎤⎪⎣⎦⎨--=⎪⎩ 考虑到初始条件得()()()()()21210s X s sY s sX s Y s ⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩ 由上面方程组解得()()22111X s s s Y s s ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩对上方程组取Laplace 逆变换得原方程组的解为()()sin cos x t ty t t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 3、利用Laplace 变换求解偏微分方程例5 求22200||3y x u x y x y u x u y ==⎧∂=⎪∂∂⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩()0,x y <<+∞的定解.解首先将定解问题取Laplace 变换，并记()(),,L u x y u s y =⎡⎤⎣⎦则有0|3x u L su u su y x =∂⎡⎤=-=-⎢⎥∂⎣⎦，23u du L s x y dy ⎡⎤∂=-⎢⎥∂∂⎣⎦232!L x y y s ⎡⎤=⎣⎦，0032!||y y L u u s==⎡⎤==⎣⎦ 这样，就将原来的问题转化为含有参数的常微分方程的边值问题303232|y dus y dys u s =⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩以求得其解为()24312,3+u s y y y s s =+ 对上式取Laplace 逆变换，得到原偏微分方程的解为()322,36x y u x y y x =++例6 求方程()()0,0,00x x u xu x u t u x ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩()0,0x t >>的解.解对方程两端关于t 施行Laplace 变换(取s 为实数),有()(),1,du x s s u x s dx x s+=求解得()()()1,1sxu x s c s x s s =++ 由条件()0,0u t =得()0,0u s =，从而()0c s =，代入上式并应用Laplace 逆变换，有()()()()111111111,,1111tx u x t L u x s L L x xL xL x e s s s s s s ------⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤===-=-=-⎡⎤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4、利用Laplace 变换求解变系数的微分方程例7 求变系数微分方程()()2120ty t y t y '''+-+-=满足初始条件()00y =的解.解对方程两端同时施行Laplace 变换，利用Laplace 变换的微分性质有()()()()()()()()20020220s Y s sy y sY s y sY s Y s Y s ''''⎡⎤--------=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦结合初始条件()00y =，化简有()()()()221410ss Y s s Y s '++++=解得()()41cY s s =+，c 为任意常数.取Laplace 逆变换，则有()()13ty t L Y s ct e --==⎡⎤⎣⎦例8 求解二阶变系数微分方程()()()20tx t x t tx t '''++=满足初始条件()()001,0x x c '==(0c 为常数）的解.解设()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦，对方程两端取Laplace 变换，得()()()20L tx s x t tx t '''++=⎡⎤⎣⎦即()()()20L tx t L x t L tx t '''++=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦亦即()()()()()()200200d ds X s sx x sX s x X s ds ds '⎡⎤---+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 整理后化简可得()()211d X s X s ds s =-+ 而由()()0st F s f t e dt+∞-=⎰在积分号下对s 求导得()()()0st F s t f t e dt +∞-'=-⎰，可知()()()dX s L t x t ds-=⎡⎤⎣⎦ 所以有()()211L t x t s -=⎡⎤⎣⎦+ 对上式取Laplace 逆变换得()()1211t x t L s -⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦即得原变系数方程的解为()sin t=x tt。

通过拉普拉斯变换求解线性微分方程的探讨

通过拉普拉斯变换求解线性微分方程的探讨摘要：通过拉普拉斯变换主要用于求解线性微分方程（或积分方程）。

经过变换，原来函数所遵从的微分（或积分）方程变成了像函数所遵从的代数方程，代数方程比较容易求解，从而化难为易，本论文将介绍通过”三“步求解线性微分（或）积分方程。

关键词：拉普拉斯变换线性方程原函数像函数反演（一）拉普拉斯变换的定义傅里叶积分与傅里叶变换存在的条件是原函数()f x 在任一区间满足狄里希利条件，并且在(,)-∞∞区间上绝对可积。

这是一个相当强的条件，以致于许多常见的函数（如多项式，三角函数等）都不满足这一条件。

因此需要引入——拉普拉斯变换。

拉普拉斯变换常用于初始值问题，即已知某个物理量的初始时刻0t =的值(0)f ，而求解它在初始时刻之后的变化情况()f t ，至于它在初始时刻之前的值，我们并不感兴趣，不妨置()0f t = (0)t <为了获得宽松的变换条件，把()f t 加工为()g t ，()()t g t e f t σ-=这里t e σ-是收敛因子，就是说，正的实数σ的值选得如此之大，以保证()g t 在区间(,)-∞∞上绝对可积，。

于是，可以对()g t 实施傅里叶变换()011()()()22i t i t G g t e dt f t e dt ϖσϖϖππ∞∞--+-∞==⎰⎰将i σϖ+记作p ，并将()G ϖ改记作()2f p π，则 0()()pt f p f t e dt ∞-=⎰ （1）其中积分0()pt f t edt ∞-⎰称为拉普拉斯积分，()f p 称为()f t 的拉普拉斯变换函数.（1）代表从()f t 到()f p 的一种积分变换，称为拉普拉斯变换（简称拉式变换），pt e-称为拉普拉斯变换的核。

()G ϖ的傅里叶逆变换是1()()()2i t i t g t G e d f i e d ϖϖϖϖσϖϖπ∞∞-∞-∞==+⎰⎰即 ()1()()2i t f t f i e d σϖσϖϖπ∞+-∞=+⎰由 i p σϖ+= ，有1d dp i ϖ=所以 1()()2i ip i f t f p e dp i σσπ+∞-∞=⎰ ()f p 又称为像函数，而()f t 称为原函数，它们之间的关系常用简单的符号写为 []()()f p f t =℘1()()f t f p -⎡⎤=℘⎣⎦（二）拉普拉斯变换的基本性质（1）线性定理若1()f t 1()f p ，2()f t 2()f p ，则1122()()c f t c f t + 1122()()c f p c f p + （2）导数定理'()()(0)f t p f p f - （3）积分定理 []01()()t d t pψττψ℘⎰（4）相似性定理1()()p f at f a a（5）位移定理()()t e f t f p λλ-+（6）延迟定理00()()pt f t t e f p --(7) 卷积定理若11()()f t f p ，22()()f t f p ，则1212()()()()f t f t f p f p * 其中12120()()()()tf t f t f f t d τττ*≡-⎰（三）拉普拉斯变换的反演（1）有理分式反演法如果像函数是有理分式，只要把有理分式分解成分项分式，然后利用拉普拉斯变换的基本公式，就能得到相应的原函数。

信号与系统-4章拉斯分析

时的响应，可以把复杂信号分解为简单信号的卷
积，然后变换到复频域求拉普拉斯变换的积，再逆变换到时域。这样，可使问题简单化。
例：已知
求
解：由
逆变换到时域有：
9 . 初值定理
设f (t ) L F (s), 且 lim sF (s)存在, 则f (0 ) lim f (t ) lim sF (s)
stst该性质主要用于研究具有初始条件的微分方程可以方便地从复频域求解系统的零输入响应和零状态响应而对于傅里叶变换却没有初态项出现也就无法直接利用傅里叶变换直接求零输入响应这是复频域性质的一个优点在分析连续系统时极其有用
第四章
拉普拉斯变换分析
重点：
拉普拉斯变换及其性质常见信号的拉氏变换拉普拉斯逆变换
0
t
0 t0
t
x4 (t )
只有x4 (t )是x1 (t )平移t0后所得
0 t0
t
例试求x(t)半波正弦函数的拉氏变换解：先求第一个周期对应的函数如左图，并分解第一个周期函数为 x(t)
E
xa(t)、 xb(t) ，如下式：
x1 (t ) xa (t ) xb (t )
E sin(
0 0 0
t

t
1 e st t [ f ( )d f ( t )e st dt ] 0 s 0 s 0 F ( s) s
若积分下限由开始t源自f ( )d 0

f ( )d f ( )d
0
t
f (0 ) f ( )d
解：先时移性后比例性
由时移性
L[ x(t t0 )u (t t0 )] e st0 X (s)

第4章-4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程教学文案

分别为 Ya(s)s2X2(.5 s)s1s(s0.1 5)(s2)1 ss 0 4 3.5s 1 32 Y b (s) sy (0 ) s2 y (2 0 . 5 )s 2 1 .5 y (0 ) (s 0 .5 1 )(s 2 ) s 2 3 0 .5 s 2 3 2
第4章 4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程零状态响应和零输入响应
第4章 4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程应用拉普拉斯变换求解微分方程
例已知系统的微分方程为
d2y(t) dy(t)
5 6y(t)x(t)
dt2
dt
输入 x(t)(t)，初始条件
变换求响应 y (t )。
y(0)
1、y(0)0,用拉普拉斯
解
L [dy d (tt)]s(Y s)y(0)s(Y s)1
解：对微分方程两端取拉氏变换，有
s2 Y (s) sy (0 ) y (0 ) 2 .5 sY (s) y (0 ) Y (s) X (s)
Y (s)X (s) sy (0 s 2 ) 2 y .5 (s 0 ) 1 2 .5 y (0 )
根据已知输入，X(s) 1/ s，则
Ya(s)s2X2(.5 s)s1s(s0.1 5)(s2)1 ss 0 4 3.5s 1 32
ya(t)14 3e0.5t
1e2t 3
(t)
Y b (s) sy (0 ) s2 y (2 0 . 5 )s 2 1 .5 y (0 ) (s 0 .5 1 )(s 2 ) s 2 3 0 .5 s 2 3 2
对方程两端取拉氏变换，设 L h ( t ) H ( s ) ，由于 h ( t ) 为因果信号，故

拉普拉斯变换在微分方程中的应讲解

指导老师：常莉红拉普拉斯变换在微分方程中的应用王彦朋（宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡 721013）摘要：利用了拉普拉斯变换及其它的性质,讨论了它在线性时不变系统的时域响应和电路分析中的应用.关键词：拉普拉斯变换；微分方程；电路分析随着计算机的飞速发展，系统分析和设计的方法发生了革命性的变化.原来用传统的模拟系统来进行的许多工作，现在都可能用数字的方法来完成.因此，数字电路、离散系统的分析方法就更显得很重要了.其中，拉普拉斯变换是分析这类系统极为有效的方法，从而给学习使用者在应用上带来很大的方便.1 拉普拉斯变换的定义定义[]1：设函数()f t 是定义在[]0∞，+上的实值函数，如果对于复参数s j βω=+，积分()()0e d st F sf t t +∞-=⎰在复平面s 的某一域内收敛，则称()F s 为()f t 的拉普拉斯变换（简称拉氏变换），记为()()F s L f t =⎡⎤⎣⎦；相应地，称()f t 为()F s 的拉普拉斯逆变换（简称拉氏逆变换），记为()()1f t L F s -=⎡⎤⎣⎦.有时我们也称()f t 与()F s 分别为象原函数和象函数.2 拉氏变换存在定理若函数()f t 满足下列条件：（1）在0t ≥的任何有限区间上分段连续；（2）当t →+∞时，()f t 具有有限的增长性，即存在常数0M >及0c ≥，使得()e ct f t M ≤ ()0t ≤<+∞（其中c 称为()f t 的增长指数）.则象函数()F s 在半平面Re s c >上一定存在，且是解析的.3 拉普拉斯变换的性质（1）线性性质：若()()()()1122,,L f t F s L f t F s ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 12,a a 为任意常数，则有()()()()11221122L a f t a f t a F s a F s +=+⎡⎤⎣⎦.（2）微分性质：若()[](),s F t f L =则()()()d 0d L f t sF s f t -⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.（3）积分性质：若()[](),s F t f L =则()()01t L f t dt F s s⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰.（4）位移性质：若()[](),s F t f L =则()()e atL f t F s a -⎡⎤=+⎣⎦.（5）延迟性质：若()[](),s F t f L =则当00t >时，有()()()000e st L f t t u t t F s ---=⎡⎤⎣⎦. （6）卷积性质：若()()()()1122,,L f t F s L f t F s ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦则有()()()()1212L f t f t F s F s *=⎡⎤⎣⎦.（7）初值定理与终值定理:①初值定理: 若()[](),s F t f L =且()s sF s ∞→lim 存在,则()()0lim lim ,s t f t sF s +→∞→=或()()0lim s f sF s +→∞=. ②终值定理: 若()[](),s F t f L =且()s sF s ∞→lim 存在,则()()0lim lim ,t s f t sF s →∞→=或()()0lim s f sF s →∞=.4 拉普拉斯变换的应用4.1 利用拉普拉斯变换方法解线性微分方程这是拉普拉斯变换的一个最基本的应用.含有未知数()t f 及其各阶导数的方程称为微分方程.如果()t f 及其各阶导数都是一次的，则称之为线性微分方程.例解微分方程()()()()()22d d 22e ,00,0 1.d d tf t f t f t f f t t-'-+=== 解方程两端同时进行拉氏变换，得()()()211221s F s sF s F s s --+=+ 整理得()()()()()()22221117151551221111s s F s s s s s s s +-==-+++-+-+-+ ()s F 的反拉普拉斯变换就是原方程的解，即()()1117e e cos sin 555t t f t L F s t t --⎛⎫==+-+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭. 从以上分析可知，所谓用拉普拉斯变换解决问题的方法，实质上就是把时间域里的问题变换到s 域去求解，最后通过反变换再返回时间域.上述拉普拉斯变换中的复数s （或s 域）常常称为复频率（或复频域）. 4.2 利用拉普拉斯变换求解线性系统的响应这里讨论的范围，只限于线性系统.所谓系统，是用来处理各种输入信号的装置，这种处理可以用硬件来实现，如由各种电器元件组成的电路网络，机械元件组成的运动系统，都称为系统.这些系统的规律也可以用某中数学方法来描述，如电路方程，微分方程，硬件系统的传递函数（网络函数）等.这时，我们也称这些数学表达方式为系统.也就是说，系统也可以是指从实际物理元件组合中抽出来的数学规律.系统可以用软件表示，因为只要把这些规律掌握了，对实际系统的特性也就能充分地了解了.关于信号，在电路网络中就是指电压和电流.一般通指系统中一些变量和机械系统的位置、速度、压力和流量等等.设一个系统，在输入信号为()t f 1和()t f 2时的输出信号为()t y 1和()t y 2，若输入信号为()()t bf t af 21+时，其输出信号为()()t by t ay 21+（b a ,为常数），则这个系统为线性系统.如果系统的参数（如电阻、电容值等）是不随时间改变的，则称该系统为线性定常系统或线性时不变系统.利用拉普拉斯变换求线性系统的响应是其重要的应用之一.下面通过举例说明高阶微分方程的复频域解与状态方程的复频域解.4.2.1 高阶微分方程的复频域解对于线性系统，将微分方程的全解分解为零输入响应和零状态响应.其中，零输入响应是指没有外加激励信号的作用，仅由系统的储能元件的初始储能所引起的响应，用()zi r t 表示. 零状态响应是指系统初始条件为零（即系统中储能元件的初始储能为零）时，由外加激励信号()e t 产生的响应，用()zs r t 表示.系统的完全响应是零输入响应与零状态响应的和[]2，即()()()zi zs r t r t r t =+.例系统的方程为()()()()()22d d d322,d d d r t r t r t e t e t t t t++=+()()()().00,10,='==---r r t u e t e t 求零状态响应、零输入响应和完全响应.解由于()()e t e t u t -=是因果信号，且(),11+=s s E 用拉普拉斯变换求解. 设()(),s R t r ↔则()()()()10-=-↔'-s sR r s sR t r ()()()()()s s R s r sr s R s t r -='--↔''--2200系统方程两边同时进行拉普拉斯变换，有()()()()()231221s R s s sR s R s s E s -+-+=+⎡⎤⎣⎦求得()()()233122+++++=s s s s E s s R ()()233231222+++++++=s s s s s s E s ()()s R s R zi zs +=零状态响应的拉氏变换为()()s E s s s s R zs 23122+++=()()211121s s s s +=⋅+++ ()2313112+-++++-=s s s 则零状态响应为()()()2e 3e 3e t t t zs r t t u t ---=-+-零输入响应的拉氏变换为()21122332+-++=+++=s s s s s s R zi 则零输入响应为()()()22e e t t zi r t u t --=-完全响应的拉氏变换为()()()2222131543232121s s R s E s s s s s s s s ++--=⋅+=+++++++++ 完全响应为()()()()()2e 5e 4e t t t zi zs r t r t r t t u t ---=+=-+-通过上述例题分析可知：利用拉普拉斯变换求系统响应，需首先将描述系统输入输出关系的高阶微分方程逐项进行拉普拉斯变换，得到复频域的代数方程，求出代数方程的解答后，经过反变换即可得到时域解.4.2.2 状态方程的复频域解法线性系统的状态方程的标准形式为()()()d d t A t B t tλλ=+ （1）系统的输出方程为()()()y t C t D t λ=+（2）式中，,,,A B C D 为系数矩阵；,y x λ，分别为状态变量、输出变量和系统的输入变量.对状态方程式()1两边作拉普拉斯变换，得()()()()0s s A s BX s λ-Λ-=Λ+式中，()()()();s L t X s L x t λΛ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦上式经整理得()()()()()110s sI A sI A BX s λ---Λ=-+- （3）对输出方程式()2作拉普拉斯变换，将式()3代入其中，得()()()Y s C s DX s =Λ+()()()()110C sI A C sI A B D X s λ---⎡⎤=-+-+⎣⎦()()zi zs Y s Y s =+ （4）其中，()()10zi Y C sI A λ--=-为系统的零输入响应；()()1zs Y C sI A B D X s -⎡⎤=-+⎣⎦为系统的零状态响应.式()()34与式经拉氏反变换后，得到时域形式的解()()()()(){}1110t L sI A sI A BX s λλ----⎡⎤⎡⎤=-+-⎣⎦⎣⎦（5） ()()()()(){}1110y t L C sI A C sI A B D X s λ----⎡⎤=-+-+⎣⎦（6）比较式()5与状态方程的时域解，即()()()()0e 0e d tA t At t Bx τλλττ---=+⎰可见，状态转移矩阵()()111adj e At sI A L sI A L sI A ---⎡⎤-⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦-⎣⎦（7）式中，()adj sI A -是()sI A -的伴随矩阵；sI A -是()sI A -的特征多项式.利用式()7可以较方便地计算出e ,At 从而可以求出系统的零输入响应与零状态响应.例已知状态方程和输出方程中的各矩阵分别为,1021⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A 01,10B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ,1011⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=C ,0101⎥⎦⎤⎢⎣⎡=D 输入矢量为()(),⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t u δ初始状态为()(),01001211⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--λλ求输出().t y解首先求e At 的拉普拉斯变换.由式()7有()1112e 01Ats L sI A s ----⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦+⎣⎦()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++-=110121110211112s s s s s s s 由()()()---=01λA sI C s Y zi 得系统零输入响应的复频域解，即()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01101110121110112z s s s s s Y i 系统零状态响应的复频域解()()1zs Y C sI A B D X s -⎡⎤=-+⎣⎦2121110110110111010101s s s s ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪--⎢⎥=+⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎢⎥⎪⎪+⎣⎦⎩⎭⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=1101111s s s s s s⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=1112s s因此得系统全响应的时域解为()()()11zi zs y t L Y s L Y s --=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦e 2e 3e 0e e t t t t t --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()0≥t由上例可见，矩阵A 的特征值决定了系统的自由响度.实际上它们就是系统的固有频率，因此可根据A 的特征值来判断系统的特性.4.3 拉普拉斯变换在电路分析中的应用4.3.1 关于线性动态电路的s 域分析法动态电路的s 域分析法，是指应用拉普拉斯变换的电路模型法.其关键在于正确作出动态电路的s 域模型.作电路的s 域模型和进行s 域分析.应明确如下几点.1. s 域中的电压和电流在s 域模型中，时域电源激励函数变换为象函数，各支路电压用象函数表示.通常时域激励函数由查拉氏变换表得出它的象函数.电路中的电压和电流用它的象函数表示，如()()s U t u →，()()s I t i →，()()c c u t U s →，()()L L i t I s →等.2.R ，L ，C 元件的s 域形式及其s 模型（1）电阻元件R 的s 域形式为()()U s RI s =，或()()s GU s I =s 域模型如图1()a ,()b 所示.（2）电感元件L 的s 域形式为()()()0L L L U s sLI s Li -=- 或()()()01L L L i I s U s sL s-=+ s 域模型如图2()a ,()b 所示.其中sL 称为复频域感抗，1sL称为复频域感纳.()-0L Li 是由电感元件初始状态产生的附加电压源复频域电压，与()s I L 为非关联参考方向；()0L i s -是由电感元件初始状态产生的附加电流源电流，与1sL中电流参考方向相同.（3）电容元件C 的s 域形式为()()01c c c u U I s sC s-=+ 或()()()0c c c I s sCU s Cu -=-其中，sC 1称为复频域容纳,()0c u s-是由电容元件初始状态产生的附加电压源复频域电压，与()s U c 参考方向一致，()-0c Cu 是由电容元件初始状态产生的附加电流源电流，与()s U c 为非关联参考方向.由于R ，L ，C 元件阻抗和导纳两种s 域模型，故一个时域动态电路便可以作出两种s 域模型.电路分析时宜采用哪一种s 域模型呢？应视电路的结构而定.一般而言，串联电路宜采用阻抗s 域模型，并联电路则宜采导纳抗s 域模型. 3.基尔霍夫定律的s 域形式[]3基尔霍夫定律包括基尔霍夫电流定律（KCL ）和电压定律（KVL ）. （1）KCL ：在s 域中沿任一节点处各支路电流象函数的代数和为零，即()0I s =∑.（2）KVL ：在s 域中沿任一闭合回路各支路电压象函数的代数和为零，即()0U s =∑.4. s 域阻抗与s 域导纳（1）零状态RLC 串联电路的s 域阻抗()s Z ，是各元件阻抗之和，即()1Z s R sL sC=++（2）零状态RLC 并联电路的s 域导纳()s Y ，是各元件导纳之和，即()1Y s G sC sL=++ （3）s 域阻抗与s 域导纳，是互为倒数的关系，即()()1Z s Y s =，或()()1Y s Z s =（4）s 域阻抗()s Z 与s 域导纳()s Y 两端电压和通过电流象函数()s U ，()s I 符合欧姆定律，称为欧姆定律的s 域形式，即()()()s I s Z s U =或()()()s U s Y s I =下面举例来说明线性动态电路的s 域分析法.例应用s 域分析法求一般二阶电路的阶跃响应,如图-4()a 所示电路,求阶跃响应()u t 和()i t .图4.3.1-4解（解题思路）本题是一般直流二阶电路求阶跃响应，即零状态响应.作s 域模型中没有附加电源.s 域分析计算的步骤是，首先做出时域电路的s 域模型，然后应用节点分析法求解出待求量的象函数，并将其展开为部分分式，最后反变换为时域响应.（解题方法）（1）作出时域电路的s 域模型如图4()b 所示.其电压源的象函数是,10s复频域感抗(),s s Z L =复频域容抗()1C Z s s=.（2）求电压(),t u 应用节点分析法，列出节点方程为()110111+=⎪⎭⎫⎝⎛+++s s s U s s 化简整理得()()()()j s j s s s s s s U ++-+=++=111022102js k j s k s k +++-++=11321 计算待定常数()522100201=++=•===s s s s s U s k()()()45251101112-<-=++=•-+=+-=+-=js j s j s s s U j s k 452523-<-==k k 进行拉氏变换得出()()()()15cos 45t u t L U s t t V ε--⎡⎤==-⋅⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦(3)求()t i电路的s 域阻抗为 ()()111+++=s s s Z 故 ()()()()()22110111102+++=+++==s s s s s s s s Z S U s I S ()()()j s j s s s ++-++=11110js k j s k s k +++-++=11321计算待定常数()()5221100201=+++=•===s s s s s s I s k()()()()2111011451s js js k s j I s s s j =-+=-++=+-•==<-++3245k k ==<- ()5I s s =-⎢⎥⎢⎥⎣⎦进行反拉氏变换得出()()()()15cos 45t i t L I s t t A ε--⎡⎤==-⋅⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦本文通过讨论了拉普拉斯变换在线性时不变系统的时域响应，对复频域求解代数方程，得出待求响应量的复频域函数，最后经拉氏反变换为所求解的时域响应.这种变换分析方法，其实质就是时域问题变换为复频域来求解，使分析计算易于进行.应用拉普拉斯变换分析动态电路，把时域电路直接变换为复频域电路，即s 域模型.根据s 域模型进行分析计算，得出响应量的s 域形式，最后反变换为时域响应.这种分析方法易于对任意函数激励的动态电路进行分析计算，是一种具有广泛意义的分析方法. 除了以上所述内容之外，拉普拉斯变换还有许多应用，例如数学上还可以用来解一类积分方程，偏微分方程等等.致谢：本文在撰写过程中得到常莉红老师的悉心指导，在此表示衷心的感谢！参考文献：[1] 华中理工大学数学系编著.复变函数与积分变换[M ].北京：高等教育出版社1997：210-211.[2] 姜建国，曹建中，高玉明编著.信号与系统分析基础（第二版）[M ].北京：清华大学出版社，2006：27-28.[3] 马金龙，胡建萍，王苑苹编著.信号与系统[M ].北京：科学出版社，2006：222-223.Laplace transform and Its Application in the differentialequationsWANG Yan-peng（Department of Mathematics, Baoji University of Arts and Sciences, Baoji 721013, Shaanxi,China）Abstract: Laplace transform and other application are utilized in the article,and then it is discussed to a linear not change the domain of the system and circuit analysis.Key words: Laplace transform; Differential equation;Circuit analysis宝鸡文理学院本科毕业论文任务书注：课题性质分为①理论型②实践应用型。

拉普拉斯变换解微分方程组

拉普拉斯变换是一种数学变换方法，常用于解决微分方程问题。

对于线性常系数微分方程组，可以通过拉普拉斯变换转换为代数方程组来求解。

以下是一般的步骤：
1. 将微分方程组转换为代数方程组：将微分方程组中的导数项用拉普拉斯变量s表示，并将初始条件用初始值的拉普拉斯变换形式表示。

2. 对每个方程进行拉普拉斯变换：对于每个方程，将其变换为代数方程，即将微分方程的左侧利用拉普拉斯变换表中的公式进行变换，右侧保持原样。

3. 构建代数方程组：将每个方程的变换结果组合成一个代数方程组。

4. 求解代数方程组：对代数方程组进行求解，可以使用代数方法，如消元法、矩阵运算等。

5. 对结果进行逆变换：得到代数方程组的解后，将其进行逆变换，即将解的拉普拉斯变换表达式转换为时间域的解。

需要注意的是，拉普拉斯变换解微分方程组的基本思路是将
微分方程转化为代数方程，将微分方程的复杂计算转化为代数方程的简单计算。

具体的计算步骤和方法会根据每个具体的微分方程组而有所不同。

因此，在具体求解时，建议参考相关的数学教材或专业文献，或者使用数学软件来辅助计算。

如何通过拉普拉斯变换求解微分方程的特解

如何通过拉普拉斯变换求解微分方程的特解下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢！本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注！Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!引言微分方程在数学、物理和工程领域中有着广泛的应用。

第4章-4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程

拉普拉斯变换的性质及其在求解微分方程中的应用

(整理)拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程

matlab如何用拉普拉斯变换求解矩阵微分方程组

拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用总结归纳

(完整word版)拉普拉斯表变换在求解微分方程中的应用

拉普拉斯变换求解微分方程典型范例

第4章-拉氏变换

自动控制原理--用拉氏变换求解线性微分方程

数字信号处理 第4章 信号与系统的复频域分析

拉普拉斯变换求解微分方程典型范例

通过拉普拉斯变换求解线性微分方程的探讨

信号与系统-4章 拉斯分析

第4章-4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程教学文案

拉普拉斯变换在微分方程中的应讲解

拉普拉斯变换解微分方程组

如何通过拉普拉斯变换求解微分方程的特解

数字信号处理第4章信号与系统的复频域分析

信号与系统-4章拉斯分析