第4章-4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程

s
s
H (s) s2 5s 6 (s 2)(s 3)
2 3 s2 s3
取H (s)逆变换得冲激响应
h(t) (2e2t 3e3t ) (t)
第4章 4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程
若系统的初始状态不为零，在对y(t)的各阶导数项取拉氏变换时， 还要计入初始状态。以二阶系统为例，设微分方程为 a2 y(t) a1y(t) a0 y(t) b2x(t) b1x(t) b0 x(t)
X (s)
sa2 y(0 ) a2 y(0 ) a1y(0 ) a2s2 a1s a0
第4章 4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程应用拉普拉斯变换求解微分方程
例 已知系统的微分方程为
d 2 y(t) dy(t)
5 6y(t) x(t)
dt 2
dt
输入x(t) (t)，初始条件 y(0 ) 1、y(0 ) 0, 用拉普拉斯
2 3
e2t
(t)
第4章 4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程
作业： 4-9；4-10
把拉氏变换应用于初值微分方程问题，不需要专门求解t=0+初始值， 也不需要分别求解零输入响应与零状态响应，分析过程相对简单。
第4章 4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程
例4 26 已知系统的微分方程为 y(t) 5y(t) 6 y(t) x(t)
利用拉氏变换求该系统的冲激响应h(t)。
解：h(t)满足的微分方程为 h(t) 5h(t) 6h(t) (t)
Ya (s)
s2
X (s) 2.5s
1
s(s
1 0.5)(s
2)
1 s
s
4 3
0.5
s
1
3 2
Yb (s)
sy(0 )
y(0 ) 2.5y(0 ) s2 2.5s 1
(s
1 0.5)(s
2)
s
2
3 0.5
2 3
s2
第4章 4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程 零状态响应和零输入响应
变换求响应 y(t)。
解
dy(t) L[ ]
dt
sY(s)
y(0
)
sY(s)
1
d 2 y(t)
L[
]
dt 2
s
2Y
(s)
sy(0
)
y (0
)
s 2Y
(s)
s
s 2Y (s) s 5[sY(s) 1] 6Y (s) 1
Y(s) s 5 1 s 5 1 4 3 s 2 5s 6 (s 2)(s 3) s 2 s 3
y(t) 4e 2t 3e 3t
仅适合于 t 0 的时间范围
第4章 4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程 例4 27 已知系统的微分方程为y(t) 2.5y(t) y(t) x(t)
输入x(t) (t)，初始状态y(0 ) 0，y(0 ) 1，求y(t)。
解：对微分方程两端取拉氏变换，有
s2Y (s) sy(0 ) y(0 ) 2.5sY (s) y(0 ) Y (s) X (s)
Y (s)
X (s) sy(0 ) y(0 ) 2.5y(0 ) s2 2.5s 1
根据已知输入，X (s) 1/ s，则
Y
(s)
s2
1 1 s 2.5s
1
s(s
s 1 0.5)(s
信号与系统分析
第4章
复频域分析
请同学们写出下列单边拉普拉斯变换的公式
单边拉普拉斯变换表
第4章
4.4利用拉普拉斯变换 求解线性微分方程
第4章 4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程
应用拉普拉斯变换求解微分方程
y(t) 5y(t) 6y(t) x(t)
对线性微分方程两端取拉氏变换，输入x(t)和输出y(t)分别变换为 X(s)和Y(s),由于X(s)和Y(s)间只是代数关系，从中可方便地求出Y(s)， Y(s)经逆变换后就是输出y(t)。
输入x(t)为因果信号，系统的初始状态y(0 )与y(0 )已知。 对式两端取拉氏变换，有
a2 s2Y (s) sy(0 ) y(0 ) a1 sY (s) y(0 ) a0Y (s)
(b2s2 b1s b0 ) X (s)
Y (s)
b2s2 a2s2
b1s b0 a1s a0
对方程两端取拉氏变换，设 h(t) H (s)，由于h(t)为因果信号，故
h(t) sH(s)
h(t) s2H(s)
方程右端的拉氏变换 (t) s，
则 (s2 5s 6)H (s) s
H (s)
s2
s 5s
6
(s
s 2)(s
3)
2 3 s2 s3
第4章 4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程
Ya (s)
s2
X (s) 2.5s
1
s(s
1 0.5)(s
2)
1 s
s
4
3 0.5
s
1
3 2
ya
(t)
1
4 3
e0.5t
1 3
e2t
(t)
Yb (s)
sy(0 )
y(0 ) 2.5y(0 ) s2 2.5s 1
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(s
1 0.5)(s
2)
s
2
3 0.5
2 3
s2
yb (t)
2 3
e0.5t
2)
y(t)
1
2 3
e0.5t
1 3
e2t
(t)
Y(s) 1
2 3
1 3
s s 0.5 s 2
第4章 4.4利用拉普拉斯变换求解线性微分方程 如果本例要求单独给出零状态响应和零输入响应，由式，
Y (s)
X (s) sy(0 ) y(0 ) 2.5y(0 ) s2 2.5s 1
分别为