第一章-空间几何体的表面积和体积练习题

空间几何体的表面积和体积练习题

题1 一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，则圆锥的高与底面

半径之比为( ) A.49

B.94

C.427

D.274

题2 正四棱锥P —ABCD 的五个顶点在同一个球面上，若该正四棱锥的底面边长为2，侧棱长

为6，则此球的体积为________．

题3 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A ．2π＋2 3

B ．4π＋2 3

C ．2π＋23

3

D ．4π＋23

3

题4 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2.动点E ，F 在棱A 1B 1上，点Q 是棱CD 的中

点，动点P 在棱AD 上．若EF ＝1，DP ＝x ，A 1E ＝y (x ，y 大于零)，则三棱锥P －EFQ 的体积．( )

A ．与x ，y 都有关

B ．与x ，y 都无关

C ．与x 有关，与y 无关

D ．与y 有关，与x 无关

题5 直角梯形的一个底角为45°，下底长为上底长的3

2

，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所

成的旋转体的表面积是(5＋2)π，求这个旋转体的体积．

题6 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面

积为( ) A ．πa 2

B.7

3

πa 2

C.11

3

πa 2

D ．5πa 2

题7 在球心同侧有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求

球的表面积．

题8 正四棱台的高为12cm ，两底面的边长分别为2cm 和12cm ．（Ⅰ）求正四棱台的全面

积；（Ⅱ）求正四棱台的体积．

题9 如图，已知几何体的三视图(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；

(2)求这个几何体的表面积及体积．

题10 如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，用截面截下一个棱锥C A DD ''-，求棱锥

C A D

D ''-的体积与剩余部分的体积之比．

题11已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积.

题12如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB=90°,AC=6，BC=CC1= 2，P是BC1上一动点，则CP+P A1的最小值是__________.

课后练习详解

题1 答案：C

详解:设圆锥底面半径为1R ，高为h ，球的半径为2R

，则圆锥体积为

2113R h π，球的体积为3243

R π.由题意知圆锥的底面半径是球的半径的3倍，即1R

＝32R .由圆锥与球的体积相等有

2113R h π＝3

243

R π，将2R ＝1

3

R

代入，有2

1R h ＝31

3

43

R ⨯

，故1

h

R ＝433＝427

. 题2 答案：9

2

π

详解:如图所示，设底面中心为O ′，球心为O ，设球半径为R ，∵AB ＝2，则AO ′＝2，PO ′＝P A 2－AO ′2＝2，OO ′＝PO ′－PO ＝2－R .在Rt △AOO ′中，AO 2＝AO ′2＋OO ′2⇒R 2＝(2)2＋(2－R )2，∴R ＝32，∴V 球＝4

3πR 3＝

9

2

π.

题3 答案：C

详解:由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直径和高都是2的圆柱和一个底面边长为2，侧棱长为2的正四棱锥叠放而成．故该几何体的体积为 V ＝π×12×2＋13×(2)2×3＝2π＋2

33，故选C.

题4 答案：C

详解:设P 到平面EFQ 的距离为h ，则V P －EFQ ＝1

3×S △EFQ ·h ，由于Q 为CD 的中点，∴点Q 到直线EF 的距

离为定值2，又EF ＝1，∴S △EFQ 为定值，而P 点到平面EFQ 的距离，即P 点到平面A 1B 1CD 的距离，显然与x 有关、与y 无关，故选C. 题5 答案：7

3π.

详解:

如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝90°，∠B ＝45°，绕AB 边旋转一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体．

设CD ＝x ，则AB ＝32x ，AD ＝AB －CD ＝x 2，BC ＝22

x .

S 表＝S 柱底圆＋S 柱圆侧＋S 圆锥侧＝π·AD 2＋2π·AD ·CD ＋π·AD ·BC

＝π·x 24＋2π·x 2·x ＋π·x 2·22x ＝5＋24πx 2

.

根据题设，5＋24πx 2＝(5＋2)π，则x ＝2.

所以旋转体体积

V ＝π·AD 2·CD ＋π3AD 2·(AB －CD )＝π×12×2＋π3×12×(3－2)＝7

3π.

题6 答案：B 详解:

如图，O 1，O 分别为上、下底面的中心，D 为O 1O 的中点，则DB 为球的半径，有 r ＝DB ＝

OD 2＋OB 2＝

a 24＋a 23

＝7a 2

12

， ∴S 表＝4πr 2＝4π×7a 212＝7

3πa 2.

题7 答案：2500πcm 2

.

详解:如图为球的轴截面，由球的截面性质知，AO 1∥BO 2，且O 1、O 2分别为两截面圆的圆心，则

OO 1⊥AO 1，OO 2⊥BO 2

.设球的半径为R .

∵π·O 2B 2＝49π，∴O 2B ＝7 cm ，同理π·O 1A 2＝400π，∴O 1A ＝20 cm ．

设OO 1＝x cm ，则OO 2＝(x ＋9) cm.在Rt △OO 1

A 中，R 2＝x 2＋202，