振动波动习题课汇编

四、振动的合成——同方向同频率振动的合成 物体同时参与两分振动：
x 1 = A 1cos(ω t +j 1) x 2 = A 2cos(ω t +j 2)
合成后仍为一谐振动：
x = x 1+ x 2 = A cos(ω t + j )
A A12 A22 2A1A2 cos(j2 j1)
j arctg A1 sinj1 A2 sinj2 A1 cosj1 A2 cosj2
l
在角位移很小的时候，单摆的 振动是简谐振动。
f
mg
角频率、振动的周期分别为：
0
g l
T 2 2 l
0
g
单摆
二、简谐振动的速度和加速度
简谐振动的位置 x = A cos (ω t + j )
简谐振动的速度 v = Aω sin (ω t + j )
简谐振动的加速度 a = Aω 2cos (ω t + j )
❖相位落后法 j 2 x 2 A l
y Acos[t
2
l x
j]
l
3、波函数的物理意义 y = A cos ω ( t
x u
)+j
1）.x = x 1 (常数)
y
y = A cos ω ( t
x1 u
)+j
o
t
表示 x1 处质点 的振动方程
2）.t y
=
t 1 (常数)
y = A cos ω
旋转矢量
A 的长度：振幅 A
ω
M
A 的旋转角速度：
A
角频率ω
0 A 的旋转的方向：
(ω t+j) P
x
x
逆时针方向
旋转矢量 A 与参考方向 x 的夹角：相位
M 点在x 轴上投影点P 的运动规律：
x = A cos (ω t + j )
• 单摆
ml
d 2
dt 2
mg sin
当 sin 时
结论
g 0
j)
势能：
Ep
1 2
kx2
1 2
m 2 A2
cos2 (t
j)
机械能：
E
Ek
Ep
1 2
m 2 A2
1 2
kA2
应用
1.已知振动方程，求振动周期、振动初相和 任 意时刻的位置、相位、振动速度、加速度等。
2.已知初始条件和振动频率（周期），求振动方程， 并作出振动曲线。
3.已知振动曲线，求振动方程。
4.证明某种物体作简谐振动，并根据初始条件写 出振动方程。
(t1
x u
)+j
表示在 t 1 时刻的波形
o
x3) t 与 x 都发来自变化y..yy 1
O x ut
t
x´
x ´= x +uΔ t 这表示相应于位移y1的相位，向前传播了 uΔt的距离。
任意两点间的位相差：
y
u
x2
o
AB
x
x1
y A
=
A cos
ω
(t
x1 u
)+j
yB= A cos ω ( t
任意点振动曲线
任意点振动方程
波动方程
原点振动方程
应用:求波动方程
1. 已知传播路径上某点的振动方程，求波动方程。 2. 已知传播路径上某点的振动曲线，求波动方程。 3. 已知某时刻的波形曲线，求波动方程。 解题思路：
某时刻的波形曲线
t 0时的波形曲线
波动方程
原点的振动方程
波动能量和振动能量的同异点
纵波：质点的振动方向和波的传播方向平行
3.周期、频率、波长、波速之间的关系
u
=
l
T
=
1 T
u = l
频率和周期只决定于波源，和媒质无关。
六、波动方程
y
u
x
o
B
x
1、写出波源的振动方程： y0= A cos (ω t + j )
2、写出波动方程： 正向传播
y
=
A
cos
ω
(
t
x u
)+j
反向传播
y = A cos ω ( t
x u
)+j
波动方程的 其他形式：
y=
A cos
2π
(
t T
x
l
)+j
y = A cos 2π ( t
x
l
)+j
y = A cosω( t kx +j )
已知坐标原点O点的振动方程为： y Acost j
❖时间延迟法 t x u
y Acos[(t x) j]
u
A y u
j O x x
P
*
l
x
一、简谐振动的振动方程
微分形式
d 2x dt 2
+ω
2x
=0
一般形式 x = A cos(ω t + j )
弹簧振子 的角频率
ω
=
k m
振动的 周期
T = 2π
m k
π 振动的
频率
=
1 2
k m
振幅 A 和 初相j 由
初始条件决定
A=
ω2
v 2
0
x + 0
2
j = arc tg ( ωvx00 )
若 j 2 j 1 =2kπ 合振动加强
A = A2+ A1
A A2 A1
若j 2
j 1
=(2k+1)π
合振动减弱
A2
A = A2 A1
A
A1
A A12 A22 2A1A2 cos(j2 j1) j arctg A1 sinj1 A2 sinj2
A1 cosj1 A2 cosj2
三、 简谐振动的能量
动能：
Ek
1 mv2 2
1 2
m 2 A2 sin2 (t
j)
势能：
Ep
1 2
kx2
1 2
m 2 A2
cos2 (t
j)
机械能：
E
Ek
Ep
1 2
m 2 A2
1 2
kA2
E 1 kA2
Ek
Ep
2
A o
A
三、 简谐振动的能量
动能：
Ek
1 mv2 2
1 2
m 2 A2 sin2 (t
若 j 2 j 1 =2kπ 合振动加强
A = A2+ A1
A A2 A1
若j 2
j 1
=(2k+1)π
合振动减弱
A2
A = A2 A1
A
A1
一般情况：
j2 j1 k
A2
A
| A1 A2 | A | A1 A2 |
A1
五、波动 1.产生机械波的条件 波源 和 媒质 2.机械波的分类 横波：质点的振动方向和波的传播方向垂直
x2 u
)+j
j
(
x2 u
x1 ) u
2 l
( x2
x1 )
应用
1.已知波动方程，求振幅、周期、频率、波 长以及波传播路径上各点的振动速度、相位、 运动方向等量。
2.已知波传播路径上某点的振动曲线（或振 动方程）以及波长（或波速），求波动方 程。
3. 已知某时刻的波形图和波速，求波动方程。
应用:求波动方程
1. 已知传播路径上某点的振动方程，求波动方程。
解题思路：
a.写出坐标原点的振动方程 y Acost j
b.用 (t x ) 替换方程中的 t ——时间延迟法
u
y Acos[(t
x) j]
或在相位项中
2
u x ——相位落后法
l y Acos[t 2 x j]
l
应用:求波动方程
1. 已知传播路径上某点的振动方程，求波动方程。 2. 已知传播路径上某点的振动曲线，求波动方程。 解题思路：
波动能量
振动能量
动能、势能周期性变化 动能、势能周期性变化
动能、势能同时一样大 动能最大时，势能最小
、一样小。
反之也是。
动能、势能的相位是相 动能、势能的相位是反