高阶谱 第1章 高阶统计量的定义与性质
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第1章 高阶统计量的定义与性质
1.1 准备知识
1. 随机变量的特征函数
若随机变量x 的分布函数为)(x F ，则称
⎰⎰∞
∞
-∞
∞
-===Φdx x f e x dF e e E x j x j x j )()(][)(ωωωω
为x 的特征函数。其中)(x f 为概率密度函数。
离散情况：}{,
][)(k k k k
x j x j x x p p p e e E k ====Φ∑ωωω
特征函数)(ωΦ是概率密度)(x f 的付里叶变换。 例：设x ~),(2σa N ，则特征函数为
dx e e x j a x ⎰
∞
∞
---=Φωσσ
πω2
2
2/)
(21)(
令σ2/)(a x z -=，则
dz e a
j z j z
⎰
∞
∞
-++-=
Φωσωπ
ω22
1
)(
根据公式：A
B A
C Cx
Bx Ax
e
A
dx e 2
2
2--
∞
∞
--±-=
⎰π
，则 2
22
1
)(σωωω-=Φa j e
若0=a ，则222
1
)(σωω-=Φe
。
2. 多维随机变量的特征函数
设随机变量n x x x ,,,21 联合概率分布函数为),,,(21n x x x F ，则联合特征函数为
)
,,,(][),,,(21)()
(2122112211n x x x j x x x j n x x x dF e e
E n n n n ⎰⎰
∞∞
-+++∞
∞
-+++==Φωωωωωωωωω
令T n x x x ],,,[21 =x ,T n ],,,[21ωωω =ω，则
⎰=ΦdX f e T
j )()(x ωx ω 矩阵形式
或 n n x j
n dx dx x x f e
k
n
k k ,,),,(),,,(11211
⎰⎰
∞∞
-∞
∞
-∑=Φ=ωωωω 标量形式
其中，),,,()(21n x x x f f =x 为联合概率密度函数。
例：设n 维高斯随机变量为
T n x x x ],,,[21 =x ,T n a a a ],,,[21 =a
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n c c c c c c
2
1
11211c )])([(],cov[k k i i k i ik a x a x E x x c --== x 的概率密度为
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧---=
)()(21exp )2(1)(2/12/a x c a x c
x T n P π x 的特征函数为
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-=Φc ωωωa ωT T j 21ex p )( 矩阵形式
其中，T n ],,,[21ωωω =ω,
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-=Φ∑∑∑
===n i n
j j i ij n
i i i n C a j 1
11
2121exp ),,,(ωωωωωω 标量形式 3. 随机变量的第二特征函数
定义：特征函数的对数为第二特征函数为 )(ln )(ωωΦ=ψ (1) 单变量高斯随机过程的第二特征函数 222
2
1
ln )(2
2σωωωσωω-==ψ-a j e a j
(2) 多变量情形
j n i i n
ji ij i n
i i n C a j ωωωωωω∑∑∑===-=ψ111
2121),,,(
1.2 高阶矩与高阶累积量定义
1. 单个随机变量情形 (1) 高阶矩定义
随机变量x 的k 阶矩定义为
⎰∞
∞-==dx x p x x E m k k k )(][ (1.1)
显然10=m ，][1x E m ==η。随机变量x 的k 阶中心矩定义为
⎰∞
∞
--=-=dx x p x x E k k k )()(])[(ηημ (1.2)
由式(1.2)可见，10=μ,01=μ,22σμ=。
若),,2,1(n k m k =存在，则x 的特征函数)(ωΦ可按泰勒级数展开，即
)()(!
1)(1n k n
k k
O j k m ωωω++=Φ∑
= (1.3) 并且k m 与)(ωΦ的k 阶导数之间的关系为
n k j d d j m k
k k
k k
k ≤Φ-=Φ-==),0()()()(0
ωωω (1.4)
(2) 高阶累积量定义
x 的第二特征函数)(ωψ按泰勒级数展开，有
)()(!
)(ln )(1n k n
k k
O j k c ωωωω+=Φ=ψ∑
= (1.5) 并且k c 与)(ωψ的k 阶导数之间的关系为
n k j d d j d d j
c k
k k
k k k k k
k ≤ψ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Φ===),0()()(1)(ln 10
0ωωωωωω (1.6)
k c 称为随机变量x 的k 阶累积量，实际上由1)0(=Φ及)(ωΦ的连续性，存在