简谐运动的表达式动力学表达式

度方向上的力充当向心力，即F向=F-mgcosθ；摆 球重力在平行于速度方向上的分力充当摆球的回复
力.当单摆做小角度摆动时，由于F回=-mgsinθ= - mg x=-kx，所以单摆的振动近似为简谐运动.
l
3.单摆的周期公式 (1)单摆振动的周期公式T=2π l ,该公式提供了
g
一种测定重力加速度g的方法. (2)l为等效摆长,表示从悬点到摆球重心的距离, 要区分摆长和摆线长，悬点实质为摆球摆动所在
(2)简谐运动的表达式 动力学表达式：F=-kx
运动学表达式：x=Asin(ω t+ )
(3)简谐运动的图象 ①物理意义：表示振子的位移随时间变化的规 律，为正弦（或余弦）曲线. ②从平衡位置开始计时，函数表达式为x= Asinω t,图象如图1.
图1
从最大位移处开始计时，函数表达式为x= Acosω t，图象如图2.
D.若Δ t=T/2,则在t时刻和(t+Δ t)时刻弹簧的长 度一定相等
解析 弹簧振子做简谐运动的图
象如右图所示，图中A点与B、E、 F、I等点的振动位移大小相等,方 向相同.由图可知，A点与E、I等点对应的时间差为 T或T的整数倍，A点与B、F等点对应的时间差不为T 或T的整数倍，因此A选项不正确. 图中A点跟B、C、F、G等点的振动速度大小相等， 方向相反,由图可知A点与C、G等点对应的时间差 为T/2或T/2的整数倍,A点与B、F等点对应的时间 差不为T/2或T/2的整数倍,因此B选项不正确;如果 t时刻和(t+Δt)时刻相差为一个周期T,则这两个时 刻振动情况完全相同,加速度一定相等,选项C正
做受迫振动的物体，它的周期（或频率）等于
驱动力 的周期（或频率），而与物体的固有周 期（或频率） 无 关.
2.共振：做受迫振动的物体，它的
固有频率与驱动力的频率越接近，
其振幅就越大，当二者 相等 时，
振幅达到最大，这就是共振现象.
共振曲线如图3所示.
图3
热点聚焦
热点一 简谐运动规律及应用 1.回复力——F=-kx.（判断一个振动是不是简谐运
要注意多解的可能性或需要写出解答结果的
通式.
热点二 对单摆的理解 1.单摆及成立条件
如图4所示，一根轻细线，悬挂着一个小 球，就构成所谓的单摆.能够视为单摆需 要满足两个条件：(1)和小球的质量m相 图4 比，线的质量可以忽略；(2)小球可视为质点， 如果小球不能视为质点，则单摆半径为悬点到重 心的距离. 2.单摆的受力特征 当单摆做小角度摆动时，其受力情况为：受到一 个恒定的竖直向下的重力mg和一个变化的始终沿 绳方向指向悬点的拉力F，垂直于速
T
(4)确定各质点的振动方向.例如图中的t1时刻， 质点正远离平衡位置向位移的正方向运动;在t3 时刻，质点正向着平衡位置运动. (5)比较各时刻质点加速度的大小和方向.例如 在图中t1时刻质点位移x1为正，则加速度a1为负； t2时刻质点位移x2为负，则加速度a2为正，又因 为|x1|>|x2|,所以|a1|>|a2|.
热点三 振动图像
1.物理意义：表示振动物体的位移随时间变化的
规律.
特别提示：振动图象不是质点的运动轨迹.
2.应用
(1)确定振动物体在任意时刻的位
移.如图5中，对应t1、t2时刻的位
移分别为x1=+7 cm,x2=-5 cm.
(2)确定振动的振幅.如图振幅是
图5
10 cm.
(3)确定振动周期和频率.振动图象上一个完整 的正弦（余弦）图形在时间轴上拉开的“长度” 表示周期. 由图可知，OD、AE、BF的间隔都等于振动周 期，T=0.2 s，频率f = 1 =5 Hz.
题型探究
题型1 简谐运动的规律
【例1】一弹簧振子做简谐运动，周期为T,则正确
的说法是
（）
A.若t时刻和(t+Δ t)时刻振子运动位移的大小相 等、方向相同，则Δ t一定等于T的整数倍
B.若t时刻和(t+Δ t)时刻振子运动速度的大小相 等、方向相反，则Δ t一定等于T/2的整数倍
C.若Δ t=T，则在t时刻和(t+Δ t)时刻振子运动 的加速度一定相等
圆弧的圆心.
(3)g为当地重力加速度.
特别提示 如单摆没有处于地球表面或所处环境为非平衡 态，则g为等效重力加速度，大体有这样几种情 况(1)不同星球表面g=GM/r2;(2)单摆处于超重或 失重状态等效g=g0±a,如轨道上运行的卫星a=g0 完全失重,等效g=0;(3)不论悬点如何运动还是受 别的作用力，等效g的取值等于在单摆不摆动 时，摆线的拉力F与摆球质量的比值，即等效 g=F/m.
图2 3.简谐运动的能量
简谐运动过程中动能和势能相互转化，机械能 守恒，振动能量与 振幅 有关， 振幅 越大， 能量越大.
二、简谐运动的两种基本模型
弹簧振子（水 平）
单摆
模型示意图
条件 平衡位置
回复力
忽略弹簧质量、 源自文库摩擦等阻力
细线不可伸长、质量 忽略、无空气等阻力、 摆角很小
弹簧处于原长处
最低点
2. 简谐运动的描述 （1）描述简谐运动的物理量 ①位移x：由平衡位置指向振动质点所在位置的 有向线段表示振动位移，是矢量. ②振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离， 是标量，表示振动的强弱. ③周期T和频率f:做简谐运动的物体完成 一次 全振动所需要的时间叫周期，而频率则等于单 位时间内完成 全振动的次数 ；它们是表示振动 快慢的物理量.二者互为倒数关系.
摆球重力沿与摆线 弹簧的弹力提供 垂直（即切向）方
向的分力
周期公式
m
T=2π k (不作要求)
T=2π
l g
能量转化
弹性势能与动 重 力 势 能 与
能 的 相 互 转 化 ，动 能 的 相 互 机 械 能 守 转化，机械能
恒
守恒
三、受迫振动和共振
1.受迫振动：物体在 周期性驱动力 作用下的振动.
动的依据） 2.对称性——简谐振动物体具有对平衡位置的对称
性，在关于平衡位置对称的两个位置，动能、势 能相等，位移、回复力、加速度大小相等，方向 相反,速度大小相等，方向可能相同，也可能相 反,振动过程相对平衡位置两侧的最大位移值相等.
3.周期性——简谐运动的物体经过相同时间t=nT(n) 为整数,必回复到原来的状态,经时间t=(2n+1) T2 (n为整数)，则物体所处的位置必与原来的位置 关于平衡位置对称，因此在处理实际问题中，