“田忌赛马”数学建模

“田忌赛马”管理谋略数学模式的构建及其优点探析摘要：用数学方法解析了“田忌赛马”管理谋略的奥秘，在此基础上提出了这种管理谋略的数学模式，并分析了它的特点和优点及其产生的原因，为进一步应用和推广这种管理谋略提供了具体的参照系和比较科学规范的途径和方法。

关键词：“田忌赛马”；管理谋略；数学模式Building the Mathematical Mode of “Tianji’s HorseRacing Strategy” and Discussion on Its Advantage Abstract: The mystery of “Tianji’s horse racing strategy”is analyzed by using mathematical method , based on this the mathematical mode is established . Its characteristic , advantage , and origin are analyzed , which provides more scientific method for its use and popularization Key words:“Tianji’s horse racing strategy” managerial strategy mathematical mode0 引言“田忌赛马”是一个耳熟能详的管理话题。

我国古代杰出的军事家孙膑在“田忌赛马”中为齐国大将田忌运筹策划的管理谋略和方法，早就被人所效法。

在现代管理决策中，这种管理谋略和方法也得到了普遍的应用和推广。

然而，如何更有效地应用和推广这种管理谋略和方法，提高它的科学性、规范性和实用性，充分发挥其管理科学化的作用和效益，仍然是一个值得人们深入思考核探讨的问题。

本文运用数学方法解析了“田忌赛马”的管理谋略，在此基础上构建了这种管理谋略的数学模式，分析了它的特点和优点及其产生的原因，为在现代管理中应用和推广这种管理谋略提供具体的参照系，寻求一条更加科学规范的途径和方法。

1 理论基础和科学依据在“田忌赛马”中，作为赛马一方的组织者田忌，原来在比赛前心中无数，对胜利缺乏充分的信心和把握，而当他采用了孙膑的管理谋略之后，却能在不改变马的足力的情况下，不仅在比赛前胜券在握，志在必得，而且果真赢得了齐王的千金赌注。

可见，孙膑为田忌所策划的管理谋略确实计高一筹、不同凡响，具有出神入化、妙手回天的奇特功效。

人们不禁要问：孙膑的管理谋略到底有何奥秘？它为什么使田忌在比赛前就能预料并有把握地取得了胜利？这种管理谋略和方法的理论基础和科学依据是什么？乍看起来，孙膑在“田忌赛马”中所策划的管理谋略不仅奥秘神奇，而且高深莫测。

然而，只要我们仔细地加以分析，揭开它神秘面纱，就会发现其中隐藏着深刻的科学道理，是有一定的规律可以遵循的。

在比赛的双方把马分为上、中、下3个等次，同一等次马足不甚相远的条件下，谁胜谁负就完全取决于对自己所拥有的资源-----各种马足如何搭配和使用才能发挥出更大更好的效果，实质上就是比赛的组织者在比赛中能否使马的配对排列和组织作到最优化的问题。

谁的配对排列和组合最优，谁就能稳操胜券，争取主动；否则谁就只能听天由命，任人摆布。

因此，从根本上说，这个问题时属于数学中的排列组合及其最优化的知识范畴。

这就使孙膑在“田忌赛马”中为田忌所策划的管理的理论基础，也是它的科学依据。

2 “田忌赛马”管理谋略的数学方法解析孙膑在“田忌赛马”中为田忌所策划的管理谋略的核心，就是巧妙地运用双方马的配对精心设计了一个最优化的比赛方案。

这个比赛方案可以概括为：用己方的下等马与对方的上等马去比，用己方的上等马与对方的中等马去比，用己方的中等马与对方的下等马去比。

那么，为什么说这是一个最优化的比赛方案呢？下面让我们用教学中关于排列组合及其优化的理论和方法，来解析“田忌赛马”的管理谋略。

假设田忌和齐王3个等次的马分别为田上田中田下和王上王中王下。

那么，根据排列数学公式，双方3个等次马的排列分别有：P33=3！=3×2×1=6种不同的方法（见表1）。

表1 田忌和齐王3个等次马的排列情况比赛方排列方法序号3个等次马的排列情况田忌齐王 123456123456田上田中田下田上田下田中田中田上田下田中田下田上田下田上田中田下田中田上王上王中王下王上王下王中王中王上王下王中王下王上王下王上王中王下王中王上由于田忌和齐王3个等次的马分别有6种不同的排列，那么，根据乘法原理，双方3个等次马的配对排列共有：N=m 1×m 2=6×6=36种不同的方法。

双方3个等次马的任何一种配对排列方法，都可以作为一种比赛方案。

所以，在比赛前，可供田忌选择的比赛方案就有36种（见表2）表2可供田忌选择的比赛方案从表2所列出36种比赛方案的总体情况来看，双方的马足强弱总数是相等的。

因而胜负比分也是相等的。

这样，田忌如果在比赛前随机选择一种比赛方案，他就只能预料自己在每局比赛中最终结果是输赢概率各占50%。

也就是说，田忌有可能赢，也有可能输，但无法确切地预料自己在哪一个比赛方案中的输赢结果。

那么，怎样才能使田忌在比赛前就能确切的预料，用哪个比赛方案会使自己有把握地战胜齐王而缺的赢局呢？从表2可以看出，虽然在36种比赛方案中，双方马的配对排列有36种不同的情况。

但是，如果不看配对排列顺序，只看相同配对个数，则可以把这36种配赛 方 案 序 号的 配 对 排 列赛 方 案 序 号的 配 对 排 列赛 方 案 序 号的 配 对 排 列赛 方 案 序 号的 配 对 排 列赛 方 案 序 号的 配 对 排 列赛 方 案 序 号的 配 对 排 列1 2 3 4 5 6田上 王上 田中 王中 田下 王下 田上 王上 田中 王下 田上 王中 田上 王中 田中 王上 田下 王下 田上 王中 田中 王下 田下 王上 田上 王下 田中 王上 田下 王中 田上 王下 田中 王中 田下 王上7 8 9 10 11 12田上 王上 田下 王中 田中 王下 田上 王上 田下 王下 田中 王中 田上 王中 田下 王上 田中 王下 田上 王中 田下 王下 田中 王上 田上 王下 田下 王上 田中 王中 田上 王下 田下 王中 田中 王上13 14 15 16 17 18田中 王上 田上 王中 田下 王下 田中 王上 田上 王下 田下 王中 田中 王中 田上 王上 田下 王下 田中 王中 田上 王下 田下 王上 田中 王下 田上 王上 田下 王中 田中 王下 田上 王中 田下 王上19 20 21 22 23 24田中 王上 田下 王中 田上 王下 田中 王上 田下 王下 田上 王中 田中 王中 田上 王上 田下 王下 田中 王中 田下 王下 田上 王上 田中 王下 田下 王上 田上 王中 田中 王下 田下 王中 田上 王上25 26 27 28 29 30田下 王上 田上 王中 田中 王下 田下 王上 田上 王下 田中 王中 田下 王中 田上 王上 田中 王下 田下 王中 田上 王下 田中 王上 田下 王下 田上 王上 田中 王中 田下 王下 田上 王中 田中 王上31 32 33 34 35 36田下 王上 田中 王中 田上 王下 田下 王上 田中 王下 田上 王中 田下 王中 田中 王上 田上 王下 田下 王中 田中 王下 田上 王上 田下 王下 田中 王上 田上 王中 田下 王下 田中 王中 田上 王上对排列归纳为6种配对组合，每种组合都包括6个比赛方案：第1种组合：双方马的3个配对是：田上对王上、田中对王中、田下对王下。

由此可以判断，田忌的马足强弱是3个不相上下，胜负比分是3平。

这样，田忌就只能预料自己在比赛中的输赢概率各占50%，而无法确切地知道最终结果。

第2种组合：双方马的3个配对是：田上对王上、田中对王下、田下对王中。

由此可以判断，田忌的马足强弱势3个不相上下、一个强、一个弱，胜负比分是一平一胜一负。

这样，田忌就只能预料自己在比赛中的输赢各占50%，而无法确切地知道最终结果。

第3种组合：双方马的3个配对是：田上对王中、田中对王上、田下对王下。

由此可以判断，田忌的马足是一个强、一个弱、一个不相上下，胜负比分是一平一胜一负。

这样，田忌就只能预料自己在比赛中的输赢各占50%，而无法确切地知道最终结果。

第4种组合：双方马的3个配对是：田上对王中、田中对王下、田下对王上。

由此可以判断，田忌的马足强弱是两个强一个弱，胜负比分是二胜一负。

这样，田忌就可以确定地预料自己在全局比赛中的最终结果必定是赢局。

第5种组合：双方马的3个配对是：田上对王下、田中对王上、田下对王中。

由此可以判断，田忌的马足强弱是一个强两个弱，胜负比分是一胜二负。

这样，田忌就可以确定地预料自己在全局比赛中的最终结果必定是输局。

第6种组合：双方马的3个配对是：田上对王下、田中对王中、田下对王上。

由此可以判断，田忌的马足强弱是一个强、一个不相上下，胜负比分是一胜一平一负。

这样，田忌就只能预料自己在比赛中的输赢概率各占50%，而无法确切地知道最终结果。

综上所述，对田忌来说，双方马的6种配对组合是有上下优劣之分的。

其中只有第4轮配对组合，才能使他在比赛前预见并有把握地战胜齐王而赢得全局胜利。

所以，这种组合中的6个比赛方案，才是可供田忌选择的最优化比赛方案就是其中一个。

3“田忌赛马”管理谋略数学模式的构建从以上对“田忌赛马”管理谋略数学方法解析中，可以得出这样的结论：作为赛马一方的管理者田忌，想要在比赛前预见并有把握地赢得全局比赛的胜利，就必须对双方马的配对排列和组合进行精心谋划，巧妙运筹，设计出最优化的比赛方案，才能在比赛中高人一筹而胜出对方。

这种运用数学中排列组合及其优化的理论，设计出来的最优化的方案，使一种比较科学规范的管理方法。

这就是“田忌赛马”管理谋略数学模式的基本原理。

基于上述原理，我们可以这样来构建“田忌赛马”管理谋略数学模式：设x为田忌的马；y为齐王的马；i为马足等次，取值范围是1、2、3，分别代表上、中、下。

则田忌马的集合为x i=｛x1,x2,x2｝；齐王马的集合为y i=｛y1,y2,y3｝。

依题意：x1＞x2＞x3 y1＞y2＞y3且x1=y1 x2=y2 x3=y3故集合xi 与集合yi中的三个元素的所有一一对应关系，可归纳为6种组合：（1）x1=y1，x2=y2 ，x3=y3 ;（2）x1=y1，x2＞y2 ，x3＜y3 ;（3）x1＞y1，x2＜y2 ，x3=y3 ;（4）x1＞y1，x2＞y2 ，x3＜y3 ;（5）x1＞y1，x2＜y2 ，x3＜y3 ;（6）x1＞y1，x2=y2 ，x3＜y3 .很显然，在上述6种组合中，只有第（4）种组合的对应关系，才能充分保证集合x i 中必定有两个元素分别大于集合yi中对应的两个元素，也就是说，田忌赢得概率是100%，输的概率是0。