与共轭复数有关的问题汇总
2018高考共轭复数类型题全解(附答案)
共轭复数的运算专项练习(2016—2018高考)(附答案)2018年1、（全国卷1）设z=i i+-11+2i , 则z =（ ） A. 0 B. 21C. 1D.22、（全国卷2）=-+ii2121（ ）A.i 5354--B.i 5354+-C.i 5453--D.i 5453+-3、（全国卷3）（1+i ）（2-i ）=（ ）A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i 4、（浙江卷）复数i-12（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i5、（江苏卷）若复数z 满足i ·z=1+2i,其中i 是虚数单位，则z 的实部为_______6、（天津卷）i 是虚数单位，复数=++i i2176_______ 7、（北京卷）在复平面内，复数i-11的共轭复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2018答案1、 因为,22)1)(1(211)1(2i i i i i i i i iz i =+-=+-+=++-=-所以,1=z 故选C 。
2、i i i i i i i 5453)21)(21()21)(21(2121+-=+-++=-+，故选D 3、 i i i i i i +=-+-=-+322)2)(1(2，选D 4、 因为i i i i i i i+=-+=+-+=-11)1(2)1)(1()1(2122，所以复数i -12的共轭复数为1-I,故选B.5、 复数i i i iiz -=-+=+=2))(21(21的实部是2. 6、 i ii i i i i i -=-=-+-+=++45520)21)(21()21)(76(2176 7、i i i 21212111+=+=-，其共轭复数为i 2121-，对应的点为（21，21-），故选D. 2017年1、设有下面四个命题1P :若复数z 满足R z∈1，则R z ∈2P :若复数z 满足R z ∈2，则R z ∈ 3P : 若复数21,z z 满足R z z ∈21，则21z z =4P : 若复数R z ∈，则R z ∈.其中的真命题为A. 1P ,3P B 1P .4P C. 2P ,3P D. 2P ,4P 2、=++ii13 A.1+2i B.1-2i C.2+i D. 2-i 3、设复数z 满足（1+i ）z=2i,则z = A.21 B.22C. 2D. 24、已知R a ∈，i 是虚数单位，若i a z 3+=，4=⋅z z ，则a= A.1或-1 B. 7-7或 C. 3- D. 35、已知R a ∈，i 为虚数单位，若ii+-2a 为实数，则a 的值为________. 6、已知i R b a bi a 43,,)(2+=∈+（i 是虚数单位），则=+22b a ________,ab=___________。
24.掌握复数知识需注意的五个问题
x
y
＋ 2i) 2i) (1－i)(1＋i) (1＋2i)(1－2i) 3i) 5(1＋3i) ＝ 3i) 3i) (1－3i)(1＋3i)
1 1 1 (1＋i)＋ (1＋2i)＝ (1＋ x(1＋i)＋ y(1＋2i)＝ (1＋3i) 2 5 2 1 1 1 x＋ y＝ ， 2 5 2 1 2y 3 2x＋ 5 ＝2， ∴x＋y＝4. x＝－1， ＝－1 ∴ y＝5，
z ＋ z ＝4，z z ＝8，则 等于 z
A． i B．－i ．－i C． C．±1
解析
设 z＝ a ＋ b i， ∵ z ＋ z ＝ 4 ， ∴ a＝ 2 ，
又∵ z z ＝8 ， 2 ∴4＋ 2 ±2， 2±2i， ∴4＋b ＝8，∴b ＝4，∴b＝±2，即 z＝2±2i，
z 故 ＝±i. z
1 1 －2－i 1＋2i 解析 ＋ ＝ ＋ －2＋i 1－2i 4＋1 1 ＋4 －2－i 1＋2i －1＋i ＝ ＋ ＝ ， 5 5 5 1 1 1 ∴ ＋ 的虚部是 . －2＋i 1－2i 5
二、纯虚数概念的理解 复数z 复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，当a＝0，且b≠0 i(a 时，叫做纯虚数，特别要注意记清“a＝0”这一 叫做纯虚数，特别要注意记清“ 0”这一 必备的前提条件． 必备的前提条件． (2008福建)若复数( 2)＋ 【例2】 (2008福建)若复数(a2－3a＋2)＋(a－ 福建 1)i是纯虚数，则实数a的值为 1)i是纯虚数，则实数a 是纯虚数 A． 1 B．2 C． 1 或 2
a＋ 1 1－ a (a ＝ ＋ i ( a∈ R )， 2 2 1－ a ∴ ＝0，解得 a＝1. 2
a
5 为实数， 【例 5】 设 x、y 为实数，且 ＋ ＝ ， 1－i 1－2i 1－3i 则 x＋y＝________.
复数共轭知识点总结归纳
复数共轭知识点总结归纳一、复数的定义和性质在复数的定义中，复数通常表示为a+bi的形式，其中a和b分别是实数部分和虚数部分，而i则是虚数单位。
复数可以在复平面上表示为坐标点(a,b)，并且复数可以进行加法、减法、乘法和除法等运算。
1.1 复数共轭的定义复数的共轭定义如下：设z=a+bi是一个复数，那么与z关于实轴对称的复数是z的共轭，记作z*=a-bi。
即对于任意复数z=a+bi，其共轭为z*=a-bi。
1.2 复数共轭的性质复数共轭具有以下性质：（1）定义性质：对于任意复数z=a+bi，其共轭z*=a-bi。
（2）共轭的共轭：(z*)*=z。
（3）共轭与实部、虚部的关系：a) 实部：Re(z)=1/2(z+z*)；b) 虚部：Im(z)=1/2(z-z*)。
二、复数共轭的运算在复数的运算中，复数共轭具有一些重要的运算性质，这些性质对于复数的运算和化简有着重要的作用。
2.1 复数共轭的加法和减法对于复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，其共轭的加法和减法性质如下：（1）加法性质：(z1+z2)*=z1*+z2*；（2）减法性质：(z1-z2)*=z1*-z2*。
2.2 复数共轭的乘法和除法对于复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，其共轭的乘法和除法性质如下：（1）乘法性质：(z1*z2)*=z1*z2*；（2）除法性质：(z1/z2)*=z1*/z2*。
2.3 共轭的倒数对于非零复数z=a+bi，其共轭的倒数为：(1/z)*=1/z*。
三、复数共轭的应用在实际问题中，复数共轭有着广泛的应用，尤其在复数的运算、方程的求解和函数的性质中发挥着重要的作用。
3.1 复数方程的求解在复数方程的求解中，复数共轭可以帮助我们简化方程，并且解出方程的实数解和虚数解。
例：解方程z^2+2z+2=0。
解：令z=a+bi，代入方程中得到(a+bi)^2+2(a+bi)+2=0。
展开化简得到(a^2-b^2+2a+2)+i(2ab+2b)=0。
如何求解复数的模辐角和共轭复数
如何求解复数的模辐角和共轭复数复数是数学中的一个重要概念，它由实部和虚部组成。
在求解复数的模、辐角和共轭复数方面，我们可以通过一系列数学方法来实现。
本文将详细介绍如何求解复数的模、辐角和共轭复数，并结合实际例子进行说明。
一、求解复数的模复数的模是指复数到原点的距离，也可以理解为复数的绝对值。
求解复数的模有如下公式：|z| = √(a^2 + b^2)其中，z = a + bi，a为复数的实部，b为复数的虚部。
通过上述公式，我们可以计算出任意复数的模。
例如，对于复数 z = 3 + 4i，实部为 3，虚部为 4。
根据公式计算：|3 + 4i| = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5因此，复数 3 + 4i 的模为 5。
二、求解复数的辐角复数的辐角是指复数相对于正实轴的角度，也可以理解为复数与正实轴的夹角。
求解复数的辐角有如下公式：arg(z) = arctan(b/a)其中，z = a + bi，a为复数的实部，b为复数的虚部。
通过上述公式，我们可以计算出任意复数的辐角。
例如，对于复数 z = 3 + 4i，实部为 3，虚部为 4。
根据公式计算：arg(3 + 4i) = arctan(4/3)利用计算器，我们可得到：arg(3 + 4i) ≈ 0.93 弧度因此，复数 3 + 4i 的辐角约为 0.93 弧度。
三、求解共轭复数共轭复数是指保持实部不变，虚部变号的复数。
求解共轭复数非常简单，只需改变复数的虚部的符号即可。
例如，对于复数 z = 3 + 4i，它的共轭复数为：z* = 3 - 4i无论是正实部还是负实部的复数，通过改变虚部的符号，我们都可以求得对应的共轭复数。
综上所述，我们可以通过简单的数学公式来求解复数的模、辐角和共轭复数。
这些数学方法在工程学、物理学等领域中都有着广泛的应用。
通过对复数的理解和求解，我们可以更好地解决实际问题，在科学研究和工程实践中发挥重要作用。
复数练习题(有答案)
复数练习题(有答案)1.复数选择题1.若复数 $z=1+i$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$z$ 的共轭复数为 $\bar{z}=1-i$。
答案：C2.若复数 $z=1-i$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$z$ 的共轭复数为 $\bar{z}=1+i$。
答案：D3.在复平面内，复数 $z=3+4i$ 对应的点的坐标为（）解析：$z$ 对应的点的坐标为 $(3,4)$。
答案：A4.已知复数 $z=\frac{1}{1+i}$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$\bar{z}=\frac{1}{1-i}=\frac{1+i}{2}$。
答案：B5.已知复数 $z=\frac{3-2i}{5}$，则 $z$ 的虚部是（）解析：$z$ 的虚部为$\operatorname{Im}(z)=\frac{-2}{5}$。
答案：C6.已知复数 $z$ 满足 $z(1+i)=1-i$，则复数 $z$ 对应的点在直线 $y=-\frac{1}{2}x$ 上。
解析：将 $z$ 的实部和虚部表示出来，得到 $z=\frac{-1}{2}+\frac{1}{2}i$，对应的点在直线 $y=-\frac{1}{2}x$ 上。
答案：A7.已知复数 $z$ 满足 $z^2=2i$，则 $z\cdot\bar{z}$ 的值为$4$。
解析：$z\cdot\bar{z}=|z|^2=2$，$z^2\cdot\bar{z}^2=(2i)(-2i)=-4$，因此 $z\cdot\bar{z}=\sqrt{-4}=2i$，$|z\cdot\bar{z}|=2$，所以 $z\cdot\bar{z}=4$。
答案：B8.已知复数 $z$ 满足 $z(1-i)=2i$，则在复平面内 $z$ 对应的点位于第二象限。
解析：将 $z$ 的实部和虚部表示出来，得到 $z=-\frac{2}{2i}-i=-1-i$，对应的点在第二象限。
答案：B9.满足 $i^3\cdot z=1-3i$ 的复数 $z$ 的共轭复数是 $3+i$。
复数公式经典题型
复数公式经典题型1. 计算复数的乘积要计算两个复数的乘积，可以按照以下步骤进行：1. 将两个复数写成实部和虚部的形式，如z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i。
2. 用分配律展开乘法：z1 * z2 = (a1 + b1i) * (a2 + b2i)。
3. 计算各项之间的乘积：a1 * a2, a1 * b2i, b1i * a2, b1i * b2i。
4. 合并实部和虚部的结果：z1 * z2 = (a1 * a2 - b1 * b2) + (a1 * b2 + b1 * a2)i。
2. 计算复数的倒数要计算一个复数的倒数，可以按照以下步骤进行：1. 将复数写成实部和虚部的形式，如z = a + bi。
2. 计算复数的共轭复数：z* = a - bi。
3. 计算倒数：1/z = (1 / (a + bi))。
4. 乘以共轭复数：1/z = (1 / (a + bi)) * (a - bi)。
5. 用分配律展开乘法并合并结果：1/z = (a / (a^2 + b^2)) - (b / (a^2 + b^2))i。
3. 解复数方程要解一个复数方程，可以按照以下步骤进行：1. 将方程移项，将所有项移到一个侧边，使等式等于零。
2. 将复数写成实部和虚部的形式，如z = a + bi。
3. 将复数方程转化为实数方程，对实部和虚部分别设置等式：- 实部的等式：Re(z) = Re(a + bi) = a = 实数部分。
- 虚部的等式：Im(z) = Im(a + bi) = b = 虚数部分。
4. 解实数方程得到实部和虚部的值，得到复数的解。
以上是复数公式的经典题型，希望能对你的学习有所帮助。
共轭复数怎么求它有哪些性质
共轭复数怎么求它有哪些性质
共轭复数的求法：共轭复数，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
当虚部不为零时，共轭复数就是实部相等，虚部相反，如果虚部为零，其共轭复数就是自身（当虚部不等于0时也叫共轭虚数）。
复数z的共轭复数记作z（上加一横），有时也可表示为Z*。
共轭复数怎么求
共轭复数，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
当虚部不为零时，共轭复数就是实部相等，虚部相反，如果虚部为零，其共轭复数就是自身（当虚部不等于0时也叫共轭虚数）。
复数z的共轭复数记作z（上加一横），有时也可表示为Z*。
同时，复数z（上加一横）称为复数z的复共轭。
共轭复数的性质
（1）︱x+yi︱=︱x-yi︱
（2）（x+yi）*（x-yi）=x2+y2=︱x+yi︱2=︱x-yi︱2
定义：共轭复数，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
共轭的法则
z=x+iy的共轭，标注为z*就是共轭数z*=x-iy
即：zz*=（x+iy)(x-iy)=x2-xyi+xyi-y2i2=x2+y2
即，当一个复数乘以他的共轭数，结果是实数。
z=x+iy和z*=x-iy被称作共轭对。
现在用复数乘法计算(a+bi)(a-bi)得到(a+bi)(a-bi)=a2+b2，结果是非负实数。
这个结果很重要，因为两个复数相乘后变成了实数。
这两个复数a-bi与a+bi实部相等，虚部互为相反数，称它们互为共轭复数。
共轭复数知识点总结
共轭复数知识点总结《共轭复数知识点总结：那不只是数学，更是一场奇妙冒险》嘿，朋友们！今天咱要唠唠共轭复数这个知识点。
听起来好像很玄乎，但其实啊，没那么神秘，跟着我一起探索这奇妙世界吧！首先呢，共轭复数就像是一对好兄弟，长得很像，但又有那么一点点不同。
一个复数的实部相同，虚部互为相反数，嘿，它们俩就共轭啦！比如说，3+4i 和3-4i，这就是一对共轭复数。
你说这有啥用？嘿，用处可大了去了！想象一下，在数学的世界里，它们就像是两个默契十足的小伙伴，一唱一和，能帮我们解决好多问题呢！咱就说计算复数的模的时候，共轭复数就能派上用场。
通过它们的乘积，就能轻松算出那个神奇的模长。
这就好比你找到了一把钥匙，一下子就打开了数学大门上的锁。
而且，共轭复数还有一种对称美。
它们就像是镜子里的影像，相互呼应。
这种对称美在几何意义上也有体现哦，别小看它，有时候就是这种小细节让数学变得更加有趣。
说到这儿，我就想起我刚开始学共轭复数的时候，那真是一头雾水啊。
看着那些符号和公式，感觉就像看天书一样。
但后来啊，我慢慢琢磨，跟它们交上了朋友，才发现其实它们也没那么可怕嘛。
学习共轭复数就像是一场冒险，有时候会遇到一些小困难，但只要你勇敢地向前冲，总能找到解决问题的办法。
就像打游戏一样，每过一关都特别有成就感！总之呢，共轭复数知识点虽然看起来有点复杂，但只要我们用心去学，就会发现它的魅力所在。
它就像是数学世界里的一颗明珠，等着我们去发掘它的光芒。
所以啊，朋友们，不要害怕共轭复数。
大胆地去探索，去发现，你会感受到数学的奇妙和乐趣。
相信我，这场冒险绝对值得你一试！准备好了吗？让我们一起在共轭复数的世界里畅游吧！。
高三数学复数多选题专项训练知识点总结附解析
高三数学复数多选题专项训练知识点总结附解析一、复数多选题1．已知复数1z =-(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数zw z=，则下列结论正确的有（ ）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 答案：ABC 【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解. 【详解】 对选项由题得 .所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确解析：ABC 【分析】对选项,A 求出1=22w -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 的虚部为2,判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-1=2w ∴===-.所以复数w 对应的点为1(,22-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确； 对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 所以选项D 错误. 故选：ABC【点睛】本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．对于复数(,)z a bi a b R =+∈，下列结论错误．．的是（ ）. A ．若0a =，则a bi +为纯虚数 B ．若32a bi i -=+，则3,2a b == C ．若0b =，则a bi +为实数D ．纯虚数z 的共轭复数是z -答案：AB 【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得． 【详解】 解：因为当且时复数为纯虚数，此时，故A 错误，D 正确； 当时，复数为实数，故C 正确； 对于B ：，则即，故B 错误； 故错误的有AB解析：AB 【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得． 【详解】解：因为(,)z a bi a b R =+∈当0a =且0b ≠时复数为纯虚数，此时z bi z =-=-，故A 错误，D 正确； 当0b =时，复数为实数，故C 正确； 对于B ：32a bi i -=+，则32a b =⎧⎨-=⎩即32a b =⎧⎨=-⎩，故B 错误；故错误的有AB ； 故选：AB 【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题．3．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．3||5z =B ．12i5z +=-C ．复数z 的实部为1-D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限答案：BD 【分析】因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断. 【详解】因为复数满足， 所以所以，故A 错误； ，故B 正确；复数的实部为 ，故C 错误； 复数对应复平面上的点在第二象限解析：BD 【分析】因为复数z 满足(2i)i z -=，利用复数的除法运算化简为1255z i =-+，再逐项验证判断. 【详解】因为复数z 满足(2i)i z -=， 所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以z ==，故A 错误；1255z i =--，故B 正确； 复数z 的实部为15- ，故C 错误；复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确. 故选：BD 【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题.4．已知复数12ω=-，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．1ω=B ．2ω的虚部为C ．31ω=-D ．1ω在复平面内对应的点在第四象限答案：AB 【分析】求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项. 【详解】依题意，所以A 选项正确；，虚部为，所以B 选项正确； ，所以C 选项错误；，对应点为，在第三象限，故D 选项错误. 故选解析：AB 【分析】求得ω、2ω的虚部、3ω、1ω对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意1ω==，所以A 选项正确；2211312442ω⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，虚部为，所以B 选项正确；22321111222222ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫=⋅=--⋅-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 选项错误；221111222212ω---====--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对应点为1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，在第三象限，故D 选项错误. 故选：AB 【点睛】本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题. 5．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝2i ，则下列关于复数z 的结论正确的是（ ） A．||z =B ．复数z 的共轭复数为z ＝﹣1﹣iC ．复平面内表示复数z 的点位于第二象限D ．复数z 是方程x 2+2x +2＝0的一个根答案：ABCD 【分析】利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确. 【详解】因为（1﹣i ）z ＝解析：ABCD 【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+，再根据复数的模长公式求出||z ，可知A 正确；根据共轭复数的概念求出z ，可知B 正确；根据复数的几何意义可知C 正确；将z 代入方程成立，可知D 正确. 【详解】因为（1﹣i ）z ＝2i ，所以21i z i =-2(1)221(1)(1)2i i i i i i +-+===-+-+，所以||z ==A 正确；所以1i z =--，故B 正确；由1z i =-+知，复数z 对应的点为(1,1)-，它在第二象限，故C 正确； 因为2(1)2(1)2i i -++-++22220i i =--++=，所以D 正确. 故选：ABCD. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题.6．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位），则以下结论正确的是（ ）A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =答案：BCD 【分析】利用复数的运算法则直接求解． 【详解】解：复数（其中为虚数单位）， ，故错误； ，故正确； ，故正确； ．故正确． 故选：． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则解析：BCD 【分析】利用复数的运算法则直接求解． 【详解】解：复数12z =-（其中i 为虚数单位），2131442z ∴=-=--，故A 错误； 2z z ∴=，故B 正确；31113()()12244z =--+=+=，故C 正确；||1z ==．故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．7．已知复数i z a b =+(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),且1a b +=,下列命题正确的是( ) A ．z 不可能为纯虚数 B ．若z 的共轭复数为z ,且z z =,则z 是实数C ．若||z z =,则z 是实数D ．||z 可以等于12答案：BC 【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项. 【详解】当时,,此时为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为,且,则,因此,B 正确;由是实数,且知,z 是实数,C 正确;由解析：BC 【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项. 【详解】当0a =时,1b =,此时zi 为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为z ,且z z =,则a bi a bi +=-,因此0b =,B 正确;由||z 是实数,且||z z =知,z 是实数,C 正确;由1||2z =得2214a b +=,又1a b +=,因此28830a a -+=,64483320∆=-⨯⨯=-<,无解,即||z 不可以等于12,D 错误. 故选：BC 【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.8．已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（ ） A ．若12z z =，则12=z z B ．若12=z z ，则12z z =C ．若12z z >则12z z >D ．若12z z >，则12z z >答案：BCD 【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案. 【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小解析：BCD 【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案. 【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C 、D 两项都不正确； 当两个复数的模相等时，复数不一定相等，比如11i i -=+，但是11i i -≠+，所以B 项是错误的； 因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A 项正确； 故选：BCD. 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有两个复数之间的关系，复数模的概念，属于基础题目.9．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限答案：AD 【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD 【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果. 【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0ab ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+，所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--，所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.10．下列说法正确的是（ ） A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件答案：AD 【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确. 【详解】若，则，故A 正确； 设， 由，可得则，而不一定为0，故B 错误； 当时解析：AD 【分析】由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误； 若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠±所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确；故选：AD 【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.11．已知复数1cos 2sin 222z i ππθθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．2cos z θ=D ．1z 的实部为12- 答案：BC 【分析】由可得，得，可判断A 选项，当虚部，时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D 选项. 【详解】因为，所以，所以，所以，所以A 选解析：BC 【分析】 由22ππθ-<<可得2πθπ-<<，得01cos22θ<+≤，可判断A 选项，当虚部sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得11cos 2sin 212cos 2i z θθθ+-=+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项. 【详解】因为22ππθ-<<，所以2πθπ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01cos22θ<+≤，所以A 选项错误； 当sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确：()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 212cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 不正确. 故选：BC 【点睛】本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.12．若复数z 满足()234z i i +=+（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）A ．z 的虚部为3B ．z =C ．z 的共轭复数为23i +D ．z 是第三象限的点答案：BC 【分析】利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误. 【详解】，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD. 【点睛】 本题考解析：BC 【分析】利用复数的除法求出复数z ，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误. 【详解】()234z i i +=+，34232iz i i+∴=-=-+，所以，复数z 的虚部为3-，z =共轭复数为23i +，复数z 在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD. 【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.13．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ）A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =答案：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确. 故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题.14．下面是关于复数21i z =-+的四个命题，其中真命题是（ ）A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1- 答案：ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项.【详解】，，故A 正确；，故B 正确；的共轭复数为，故C 正确；的虚部为，故D 正确； 故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法解析：ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项.【详解】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题.15．已知复数Z 在复平面上对应的向量(1,2),OZ =-则（ ）A ．z =-1+2iB ．|z |=5C ．12z i =+D ．5z z ⋅= 答案：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量，所以，，|z|=，，故选：AD解析：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，得到复数12z i =-+，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，所以12z i =-+，12z i =--，|z 5z z ⋅=，故选：AD16．（多选题）已知集合{},n M m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（ ） A ．()()11i i -+ B ．11i i -+ C ．11i i +- D ．()21i - 答案：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A 中，；选项B 中，；选项C 中，；选项D 中，.解析：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】 根据题意，{},n M m m i n N ==∈中， ()4n k k N =∈时，1n i =；()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+； 选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-； 选项D 中，()212i i M -=-∉.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解.17．设复数z 满足1z i z +=，则下列说法错误的是（ ） A ．z 为纯虚数 B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z = 答案：AB【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB【分析】 先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】 由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误； 复数z 的虚部为12-，故B 错误； 在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.18．复数z 满足233232i z i i+⋅+=-，则下列说法正确的是（ ）A ．z 的实部为3-B ．z 的虚部为2C ．32z i =-D ．||z =答案：AD【分析】由已知可求出，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】解：由知，，即，所以的实部为，A 正确；的虚部为-2，B 错误；，C 错误；，D 正确；故选:A解析：AD【分析】由已知可求出32z i =--，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】 解：由233232i z i i +⋅+=-知，232332i z i i +⋅=--，即()()()2233232232313i i i z i i ---=-=+ 39263213i i --==--，所以z 的实部为3-，A 正确；z 的虚部为-2，B 错误；32z i =-+，C 错误；||z ==D 正确； 故选:AD.【点睛】 本题考查了复数的除法运算，考查了复数的概念，考查了共轭复数的求解，考查了复数模的求解，属于基础题.19．若复数z 满足(1i)3i z +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．|z |=B ．z 的实部是2C ．z 的虚部是1D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限 答案：ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数，根据共轭复数概念得到，即可判断.【详解】，，，故选项正确，的实部是，故选项正确，的虚部是，故选项错误，复解析：ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z ，根据共轭复数概念得到z ，即可判断.【详解】(1i)3i z +=+，()()()()3134221112i i i i z i i i i +-+-∴====-++-，z ∴==，故选项A 正确，z 的实部是2，故选项B 正确，z 的虚部是1-，故选项C 错误， 复数2z i =+在复平面内对应的点为()2,1，在第一象限，故选项D 正确.故选：ABD .【点睛】本题主要考查的是复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示及几何意义，是基础题.20．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ）A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+，则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数，则1m =或4m =-D ．对任意的复数z ，都有20z答案：AB【分析】求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．【详解】解：对于，复数的模，故正确；对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四解析：AB【分析】求解复数的模判断A ；由共轭复数的概念判断B ；由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ；举例说明D 错误．【详解】解：对于A ，复数34z i =+的模||5z ==，故A 正确；对于B ，若复数34z i =+，则34z i =-，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-，在第四象限，故B 正确；对于C ，若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数，则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =，故C 错误；对于D ，当z i 时，210z =-<，故D 错误．故选：AB ．【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题．21．已知复数z 满足23z z iz ai ⋅+=+，a R ∈，则实数a 的值可能是（ ）A ．1B ．4-C ．0D ．5答案：ABC【分析】设，从而有，利用消元法得到关于的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设，∴，∴，∴，解得：，∴实数的值可能是.故选：ABC.【点解析：ABC【分析】设z x yi =+，从而有222()3x y i x yi ai ++-=+，利用消元法得到关于y 的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设z x yi =+，∴222()3x y i x yi ai ++-=+， ∴222223,23042,x y y a y y x a ⎧++=⇒++-=⎨=⎩， ∴244(3)04a ∆=--≥，解得：44a -≤≤， ∴实数a 的值可能是1,4,0-.故选：ABC.【点睛】本题考查复数的四则运算、模的运算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.22．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( )A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y ==B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z ==D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数答案：BD【分析】选项A ：取,满足方程，所以错误；选项B ：,恒成立，所以正确；选项C ：取,,，所以错误；选项D ：代入，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取,,则,但不满足,故A 错误；,恒成解析：BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+,但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误; 4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确.故选:BD .【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.。
复数的共轭与模长运算
复数的共轭与模长运算复数是由实数和虚数部分构成的数学概念，常用于物理学、工程学等领域。
在复数运算中，共轭和模长计算是两个常见而重要的操作。
本文将介绍复数的共轭和模长的定义、性质以及计算方法。
一、复数的共轭1. 定义对于一个复数z = a + bi，其中a为实部，b为虚部，共轭复数z*定义为z的实部保持不变，虚部取相反数，即z* = a - bi。
共轭复数可以简单地理解为将复数的虚部取负。
2. 性质（1）共轭的共轭：对于任意复数z，其共轭的共轭等于自身，即(z*)* = z。
（2）实数的共轭：对于实数a，其共轭等于本身，即(a*) = a。
（3）共轭的和与差：对于任意两个复数z1和z2，有(z1 + z2)* = z1* + z2*，(z1 - z2)* = z1* - z2*。
（4）共轭的积与商：对于任意两个复数z1和z2，有(z1 * z2)* = z1* * z2*，(z1 / z2)* = z1* / z2*。
二、复数的模长1. 定义对于一个复数z = a + bi，其模长定义为z到原点的距离，用|z|表示，计算公式为|z| = √(a^2 + b^2)。
模长可以简单地理解为复数所表示的向量的长度。
2. 性质（1）非负性：复数的模长非负，即|z| ≥ 0。
（2）零模长：当且仅当复数为零时，其模长为零，即|z| = 0 当且仅当z = 0。
（3）模长的共轭：对于任意复数z，其模长的共轭等于模长本身，即(|z|)* = |z|。
（4）模长的积与商：对于任意两个复数z1和z2，有|z1 * z2| = |z1|* |z2|，|z1 / z2| = |z1| / |z2|。
三、复数的共轭与模长的应用1. 共轭的应用（1）复数求和：对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i的求和，可以将两个复数的实部和虚部相加，即(z1 + z2) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i。
【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之151共轭复数
第1页（共15 页）【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之151共轭复数一、选择题（共40小题；共200分）1. 下列各命题中真命题是下列各命题中真命题是 A. 若 ，则，则 ， 互为共扼复数互为共扼复数 B. 若 ，则，则 ， 互为共扼复数互为共扼复数 C. 若 ，则，则 ， 互为共扼复数互为共扼复数D. 若 ，则，则 ， 互为共扼复数互为共扼复数 2. 在复平面内，复数在复平面内，复数的共轭复数的虚部为的共轭复数的虚部为A.B.C.D.3. 复数复数（ 是虚数单位）的共轭复数是是虚数单位）的共轭复数是 A.B. C.D.4. 已知已知，则在复平面内，复数，则在复平面内，复数 对应的点位于对应的点位于A. 第一象限第一象限B. 第二象限第二象限C. 第三象限第三象限D. 第四象限第四象限5. 复数复数的共轭复数是的共轭复数是A.B.C.D. 6. 记复数记复数 的共轭复数为的共轭复数为 ，若，若 ，则复数，则复数 的虚部为的虚部为A. B. C. D.7. 已知复数已知复数，则，则 的共轭复数是的共轭复数是A.B. C. D. 8. 已知已知（ 为虚数单位），则为虚数单位），则 的共轭复数在复平面内对应的点位于的共轭复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限第一象限B. 第二象限第二象限C. 第三象限第三象限D. 第四象限第四象限9. 复数复数，（ ）互为共轭复数，有结论：①）互为共轭复数，有结论：① ；②；② ；③ ；④；④ ，对应的点关于对应的点关于 轴对称．则上述结论中正确的是轴对称．则上述结论中正确的是A. ①②③④①②③④B. ①②③①②③C. ①②④①②④D. ②③④②③④10. 已知复数已知复数 ，那么，那么A.B.C.D.11. 若 ，复数，复数 ，我们称复数，我们称复数 为 的相反复数，则的相反复数，则A. 复平面上表示复平面上表示 和它的相反复数的点关于虚轴对称和它的相反复数的点关于虚轴对称B. 复平面上表示复平面上表示 的共轭复数的共轭复数 的点与表示的点与表示 的相反复数的点关于虚轴对称的相反复数的点关于虚轴对称C. 的共轭复数的共轭复数 与 不相等不相等D. 的相反复数与的相反复数与 不相等不相等12. 复数复数 ， 的和为实数是的和为实数是 ， 互相共轭的互相共轭的第2页（共15 页）A. 充分不必要条件充分不必要条件B. 必要不充分条件必要不充分条件C. 充要条件充要条件D. 既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件13. 复数复数 的共轭复数的共轭复数 等于等于A. B. C. D.14. 设复数设复数 （ 是虚数单位），是虚数单位）， 的共轭复数为的共轭复数为 ，则，则 等于等于A.B.C.D.15. 已知复数已知复数 满足满足 （其中（其中 为虚数单位），则为虚数单位），则 的共轭复数的共轭复数 是A.B.C.D.16. 已知复数已知复数（ 为虚数单位），那么为虚数单位），那么 的共扼复数为的共扼复数为A.B.C.D.17. 若复数若复数 满足满足（ 为虚数单位），则为虚数单位），则 的共轭复数为的共轭复数为A. B. C.D.18. 复数复数 的共轭复数是的共轭复数是A.B.C.D.19. 若复数若复数 满足满足 ，则，则 的共轭复数的虚部是的共轭复数的虚部是 A. B.C. D.20. 已知复数已知复数 满足满足 （ 为虚数单位），则复数为虚数单位），则复数 的共扼复数的共扼复数A. B. C. D.21. 复数复数（ 是虚数单位）的共轭复数是是虚数单位）的共轭复数是A.B. C. D.22. 已知复数已知复数 ，则，则 A. B.C. D.23. 设复数设复数 满足满足 ，则，则 的共轭复数的虚部为的共轭复数的虚部为A.B. C. D.24. 设复数设复数，则，则A.B.C. D.25. 已知复数已知复数，则，则A. B. C. D.26. 已知已知，其中，其中 ， 是实数，是实数， 是虚数单位，则是虚数单位，则 的共轭复数为的共轭复数为A.B.C.D.27. 已知复数已知复数 （ 是虚数单位）在复平面上表示的点在第四象限，且是虚数单位）在复平面上表示的点在第四象限，且 ，则，则A. B. C. D.28. 复数复数 与复数与复数 互为共轭复数（其中互为共轭复数（其中 为虚数单位），则为虚数单位），则第3页（共15 页）A. B.C. D.29. 已知已知 ， ， 是虚数单位．若是虚数单位．若 与互为共轭复数，则互为共轭复数，则 A. B. C. D.30. 已知复数已知复数 ，则，则A.B.C.D.31. 复数复数（其中（其中 为虚数单位），为虚数单位）， 为 的共轭复数，则下列结论正确的是的共轭复数，则下列结论正确的是A. B. C. D.32. 复数复数的共轭复数的虚部为的共轭复数的虚部为A.B.C. D.33. 如果复数如果复数，则，则A. B. 的实部为的实部为 C. 的虚部为的虚部为D. 的共轭复数为的共轭复数为34. 已知复数已知复数 的共轭复数为的共轭复数为 ，若，若（ 为虚数单位），则在复平面内，复数复数 所对应的点位于所对应的点位于A. 第一象限第一象限B. 第二象限第二象限C. 第三象限第三象限D. 第四象限第四象限35. 已知复数已知复数 满足满足 ，则，则 的共轭复数的虚部是的共轭复数的虚部是A. B. C.D.36. 已知复数已知复数，则下列说法错误的是，则下列说法错误的是 A. 复数复数 的实部为的实部为 B. 复数复数 的虚部为的虚部为C. 复数复数 的模为的模为D. 复数复数 的共轭复数为的共轭复数为37. 复数复数的共轭复数的虚部为的共轭复数的虚部为A.B.C.D.38. 已知已知 ， 是虚数单位，若是虚数单位，若 与 互为共轭复数，则互为共轭复数，则 A. B. C. D.39. 已知已知 为虚数单位，则为虚数单位，则的共轭复数为的共轭复数为A.B.C.D.40. 已知已知 与 是共轭虚数，有是共轭虚数，有 个命题①个命题①；②；② ；③；③ ；④；④，一定正确的是，一定正确的是A. ①②①②B. ②③②③C. ③④③④D. ①②③①②③二、填空题（共40小题；共200分） 41. 复数复数（ 为虚数单位）的共轭复数是 ．42. 方程方程的一个根为的一个根为 ，则另一个根为 ．第4页（共15 页）43. 复数复数的共轭复数为 ．44. 共轭复数的概念共轭复数的概念当两个复数的实部相等、虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数当两个复数的实部相等、虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数的共轭复数用数用 表示，即若表示，即若 ，则，则 ． 45. 已知复数已知复数（ 为虚数单位），那么为虚数单位），那么 的共轭复数为 ．46. 已知复数已知复数 ， ，且，且 是实数，则实数是实数，则实数等于 ．47. 复数复数（ 为虚数单位）的共扼复数为 ．48. 复数复数的共扼复数是 ．49. 在复平面内，复数在复平面内，复数 对应的点是对应的点是 ，则复数，则复数 的共轭复数的共轭复数．50. 计算计算， ．51. 设复数设复数 满足满足 （ 为虚数单位），则为虚数单位），则 的共轭复数的共轭复数 ． 52. 已知已知 ， ，其中，其中 ，若，若，则，则． 53. 复数复数的共轭复数为 ．54. 复数复数的虚部为 ， 的共轭复数的共轭复数． 55. 复数复数 满足满足 ，那么，那么．56. 设复数设复数 满足满足 ，则，则 的共轭复数的共轭复数．57. 已知复数已知复数 满足满足 （其中（其中 为虚数单位），则为虚数单位），则的共轭复数是 ．58. 若复数若复数 满足满足 ，其中，其中 为虚数单位，为虚数单位， 为复数为复数 的共轭复数，则复数的共轭复数，则复数 的模为 ．59. 若 ，且，且 ，则复数，则复数 ． 60. 已知复数已知复数 （ 为虚数单位），则为虚数单位），则． 61. 方程方程有虚根有虚根 ，则，则 的模等于 ．62. 复数复数 的共轭复数的共轭复数． 63. 设 ，则，则 ．64. 如果复数如果复数 在复平面内表示的点在直线在复平面内表示的点在直线 上，那么复数上，那么复数 在复平面内表示的点在直线 上．上．65. 设 是复数，是复数， （ 其中其中 表示表示 的共轭复数），已知的共轭复数），已知 的实部是的实部是 ，则，则的虚部为 ．66. 设 （其中（其中 表示表示 的共轭复数），若的共轭复数），若 的实部是的实部是 ，则，则的虚部为 ．67. 若复数若复数 ， ，，则实数，则实数 ．68. 已知复数已知复数，那么，那么 的共轭复数为 ．69. 若 ，则，则．70. 若 ，则，则．71. 已知复数已知复数（ ， 为虚数单位），若为虚数单位），若 ，则实数，则实数 的值为 ．第5页（共15 页）72. 设 是虚数单位，是虚数单位， 表示复数表示复数 的共轭复数．若的共轭复数．若 ，则，则． 73. 已知复数已知复数（ 为虚数单位），计算： ．74. 若复数若复数 满足满足 （ 是虚数单位），是虚数单位）， 是 的共轭复数，则的共轭复数，则．75. 已知复数已知复数 ，复数，复数 满足满足，则复数，则复数 的共轭复数是 ．76. 若复数 是纯虚数，其中 为实数，为实数，为虚数单位，则 的共轭复数 = ．77. 若复数若复数 满足满足 （ 是虚数单位），则是虚数单位），则的共轭复数是 ．78. 若复数若复数 ，其中，其中 是虚数单位，则是虚数单位，则．79. 已知已知 且 ，则，则． 80. 设 ， 为一对共轭复数，若为一对共轭复数，若 ，且，且为实数，则为实数，则 ．三、解答题（共20小题；共260分） 81. 已知复数已知复数 满足满足 ，则，则的模为 ． 82. 已知已知， 和 是共轭复数，求这两个复数．是共轭复数，求这两个复数． 83. 求证：若复数求证：若复数 ，则，则 为纯虚数的充要条件是为纯虚数的充要条件是 ．84. 实数实数 分别取什么数值时，复数分别取什么数值时，复数：（1）与复数）与复数相等? （2）与复数）与复数 互为共轭复数? （3）对应的点在）对应的点在轴上方?85. 设复数设复数 ， 满足满足： （1）若）若 ， 满足满足 ，求，求 ，； （2）若）若，是否存在常数，是否存在常数 ，使得等式，使得等式恒成立?若存在，试求出若存在，试求出 ；若不存在，说明理由．在，说明理由．86. 已知已知 为虚数单位，复数为虚数单位，复数 ， ， ，且，且． （1）求实数）求实数 ， 的值；的值；（2）求）求．87. 已知已知 求的值.88. 已知已知 ， 互为共轭复数，且互为共轭复数，且，求，求 ， ．89. 如果复数如果复数 在复平面上表示的点在直线在复平面上表示的点在直线 上，且复数上，且复数 在复平面上表示的点在直线 上，求复数上，求复数． 90. 已知已知 ，求，求 的值．的值．91. 已知已知， ， ． （1）若）若，求，求 ； （2）若）若，求，求 ， 的值．的值．92. 已知已知 ， 为复数，为复数，，．若．若是实数，求的值．的值．第6页（共15 页）93. 设复数设复数 满足满足 ，且，且 是纯虚数，求是纯虚数，求．94. 设复数设复数 （ ， ， 是虚数单位），且复数是虚数单位），且复数 满足满足 ，复数，复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．（1）求复数）求复数； （2）若）若为纯虚数（其中为纯虚数（其中 ），求实数），求实数 的值．的值．95. 已知已知．（1）求证：）求证：，且，且； （2）求）求的值．的值．96. 已知已知． （1）证明：）证明：且 ； （2）求值：）求值： ．97. 已知复数已知复数 满足满足 ，求，求． 98. 给定两复数给定两复数 ， ，且，且 ，求证：，求证：．99. 求证：若复数求证：若复数 ，则，则 为纯虚数的充要条件是为纯虚数的充要条件是 ．100. 求证：求证：（1）复数）复数 为实数的充要条件是为实数的充要条件是； （2） ，．第7页（共15 页）答案第一部分 1. D 2. C 3. B 【解析】【解析】，所以，所以 ．4. A5. B【解析】因为【解析】因为，所以所以 的共轭复数为的共轭复数为． 6. D 7. B【解析】由已知【解析】由已知，则，则 ． 8. D 【解析】因为【解析】因为， 的共轭复数为的共轭复数为 ，在第四象限．，在第四象限． 9. B10. D【解析】，所以故选D ．11. B 12. B 13. C 14. D 15. A 【解析】由【解析】由 ，得，得，所以所以． 16. B 【解析】【解析】， 所以所以 的共轭复数为的共轭复数为． 17. D 【解析】依题意得【解析】依题意得， 则复数则复数 的共轭复数为的共轭复数为． 18. B 19. B 【解析】复数【解析】复数 满足满足 ， 所以所以，所以所以 的共轭复数是的共轭复数是 ， 则 的虚部是的虚部是 ． 20. D【解析】通解【解析】通解 由题意可得，由题意可得，故 ． 优解优解根据根据 知， ，故，故．21. B 22. D 【解析】【解析】． 23. D 24. C 25. B第8页（共15 页）26. D 27. B 28. A 29. D 30. A31. B 【解析】复数【解析】复数， ． 32. D 【解析】因为【解析】因为， 所以所以，所以复数所以复数的共轭复数的虚部为的共轭复数的虚部为． 33. C 34. A 【解析】设【解析】设 ， 则由则由， 得， 即， 得解得解得 ， ． 所以在复平面内，复数所以在复平面内，复数 所对应的点的坐标为所对应的点的坐标为，位于第一象限．，位于第一象限． 35. C36. D 【解析】复数【解析】复数，则复数，则复数 的共轭复数为：的共轭复数为： ． 37. D 【解析】因为【解析】因为，所以所以， 所以复数所以复数的共轭复数的虚部为的共轭复数的虚部为． 38. B 【解析】因为【解析】因为 与 互为共轭复数，互为共轭复数，所以所以 ，则，则 ．39. C 【解析】因为【解析】因为， 所以所以 的共轭复数为的共轭复数为． 40. B【解析】【解析】与 是共轭虚数，设是共轭虚数，设 ， ． 命题①命题① ；，复数不能比较大小，因此不正确；，复数不能比较大小，因此不正确； ②，正确；，正确；③ ，正确；，正确； ④不一定是实数，因此不一定正确．不一定是实数，因此不一定正确．第二部分 41.42. 43.44.45.第9页（共15 页）【解析】因为【解析】因为， 所以所以 的共轭复数为的共轭复数为． 46.【解析】因为复数【解析】因为复数，，所以所以，所以所以 ， 因为因为 是实数，是实数， 所以所以 ， 所以所以． 47.【解析】由于【解析】由于 ，所以复数，所以复数 的共扼复数的共扼复数 ． 48.【解析】因为【解析】因为，所以其共扼复数，所以其共扼复数． 49. 50. ， 【解析】【解析】，则 ，故，故 ． 51.52. 53. 54. ， 55. 【解析】由已知得【解析】由已知得，故，故． 56. 57.【解析】因为【解析】因为 ， 所以所以， 则 的共轭复数的共轭复数58. 59.60.【解析】由【解析】由 ， 所以所以 ． 61. 62.【解析】依题意可得【解析】依题意可得 ， 所以所以．第10页（共15 页）63.64. 65.【解析】设【解析】设 ， 则，因为因为， 所以所以． 所以所以 的虚部是的虚部是 66. 67.68.【解析】因为【解析】因为，所以，所以 ． 69.【解析】因为【解析】因为 ，则其共轭复数为，则其共轭复数为 ，其模，其模，故，故． 70. 【解析】．71.【解析】因为【解析】因为，且，且， 所以所以， 解得解得 ． 又因为又因为 ， 所以所以 ． 72.【解析】由题意得73. 74. 75.【解析】因为复数【解析】因为复数 ，复数，复数 满足满足，所以，所以，所以复数，所以复数 的共扼复数的共扼复数． 76. 【解析】因为【解析】因为 是纯虚数，所以是纯虚数，所以 ，所以，所以 ， ． 77.第11页（共15 页）【解析】因为【解析】因为 ，所以，所以，所以，所以 的共轭复数是的共轭复数是． 78.【解析】 ． 79.80.【解析】设【解析】设 ， ，则，则 ． 因为因为 ，所以，所以． 又因为又因为为实数，所以为实数，所以所以所以，故，故 ．第三部分 81.82. 由已知得：由已知得：或 所以所以， 或 ， ． 83. 设 ，且，且，则，则 ． 若 为纯虚数，则为纯虚数，则 且 ，于是，于是． 若 ，由于，由于 ，则，则， 又由又由，则，则， 于是于是 为纯虚数．为纯虚数．因此因此 为纯虚数的充要条件是为纯虚数的充要条件是 ． 84. （1） 根据复数相等的充要条件得根据复数相等的充要条件得 解之得解之得 . （2） 根据共轭复数的定义得根据共轭复数的定义得解之得解之得. （3） 根据复数根据复数 对应的点在对应的点在 轴上方可得轴上方可得，解之得解之得或 . 85. （1） 由 ，则，则，代入已知方程得，代入已知方程得即． 令，可得，可得 ，即，即 ，第12页（共15 页）解得解得 或即或 （2） 由已知得由已知得，又因为又因为， 所以所以，得，得整理得整理得即所以所以，即，即 ． 因此存在常数因此存在常数 ，使得等式，使得等式恒成立．恒成立． 86. （1） 由已知由已知，得，得，即．因为因为， 所以所以解得解得（2） 由（由（ ）知）知 ， ，则．87.88. 设 ，则，则， 代入原式得代入原式得 ， 所以所以解得解得即 或 或 或故 或 或 或89. 设 ，则，则， 于是于是所以所以． 90. 设 ， ，由题意：令，由题意：令，第13页（共15 页）则 ，即，即 ． 所以所以所以所以所以所以 ． 所以91. （1） ， ．（2） 由已知可得由已知可得，所以，所以 ，所以，所以 ，所以，所以 ，所以，所以 ， ． 92. 由题意得由题意得， 所以所以，所以所以， 解得解得或 ． 又因为分母不为零，又因为分母不为零，所以所以 ， 所以所以，． 93. 设 ，由，由得 ；因为因为 是纯虚数，是纯虚数， 所以所以 ，且，且， 所以所以或则 或 ， 故 或． 94. （1） 由 ， 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上， 得 ， 所以所以，又 ，得，得． 联立解得：联立解得： 或因为因为， 所以所以． （2） 因为因为第14页（共15 页）， 又因为该式为纯虚数，又因为该式为纯虚数， 所以所以 ． 95. （1）．（2），因为，因为 ，所以，所以 ，故，故 ．96. （1）. （2），因为，因为 ，所以，所以 ，故，故. 97. 因为因为， 所有所有， 即， 所以所以 是纯虚数或是纯虚数或 ． 令，所以所以， 即 或 ， 所以所以或 ，故 或 ．98. 因为因为 ，所以，所以． 同理同理． 由得．所以所以． 即．两边同乘以两边同乘以 得 ． 故．第15页（共15 页）99. 充分性．充分性．设 （ 且 ， 中至少有一个不为零），则中至少有一个不为零），则 ． 因为因为． 所以所以 ，则，则 ， 中至少有一个不为零．中至少有一个不为零． 所以所以 ，可见，可见 为纯虚数．为纯虚数． 必要性．必要性．若 为纯虚数，则设为纯虚数，则设 （ 且 ）．）． 所以所以． 所以所以． 综上可得非零复数综上可得非零复数 为纯虚数的充要条件为为纯虚数的充要条件为 ． 100. （1） 设 ， ，则，则 ． 必要性证明：必要性证明： 当复数当复数 为实数，由实数的共轭复数是其本身，为实数，由实数的共轭复数是其本身， 故 ，故复数，故复数 为实数的必要条件是为实数的必要条件是 ． 充分性证明：充分性证明：当 ，则，则 ，故，故 ，故复数，故复数 为实数，故复数为实数，故复数 为实数的充分条件是为实数的充分条件是 ． 综上，复数综上，复数 为实数的充要条件是为实数的充要条件是． （2） 设 ，， ， 则，．因为因为， 所以所以 ． 因为因为 ， 所以所以． 因为因为，所以所以．因为因为．所以所以．。
共轭复数题型
共轭复数题型
共轭复数是数学中的一个概念，表示两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
在解决一些数学问题时，共轭复数可以发挥重要的作用。
以下是一些常见的共轭复数题型：
1. 判断题：给定一个复数，判断它是否有共轭复数，或者判断给定的两个复数是否为共轭复数。
2. 计算题：给定一个复数，求它的共轭复数。
或者给定两个共轭复数，求它们的和、差、积、商等。
3. 应用题：共轭复数在电路分析、信号处理等领域有广泛的应用。
例如，在交流电路中，电压和电流是频率相同的正弦波，它们的共轭复数形式可以方便地表示相角和幅度等信息。
4. 证明题：证明共轭复数的某些性质或定理。
例如，证明共轭复数的模相等，或者证明共轭复数的四则运算性质等。
需要注意的是，解决共轭复数题型需要掌握共轭复数的定义和性质，以及复数的四则运算和三角形式等基础知识。
同时，还需要注意单位的规范性和计算的准确性。
共轭函数和对偶问题
共轭函数和对偶问题
首先，让我们来谈谈共轭函数。
在复变函数中，如果一个函数的虚部取负号，而实部保持不变，那么这个函数就是原函数的共轭函数。
换句话说，如果有一个复数z=a+bi，那么它的共轭复数记作z=a-bi。
共轭函数在复变函数理论和复数运算中都有重要的作用，例如在复数的除法和乘法中起到重要作用。
接下来，让我们讨论对偶问题。
在数学和计算机科学中，对偶问题是指与原始问题相关联的另一个问题。
解决原始问题的方法可以用来解决对偶问题，反之亦然。
对偶问题在优化理论、图论、线性代数等领域中都有广泛的应用。
例如，在线性规划中，原始问题是最大化一个线性函数，而对偶问题是最小化一个与原始问题相关的线性函数。
对偶问题的解可以提供原始问题的一些信息，反之亦然。
总之，共轭函数和对偶问题在数学领域都有重要的应用，它们分别在复变函数和数学建模中发挥着重要作用。
希望这个回答能够从多个角度全面地解答你的问题。
与共轭复数有关的问题汇总
课堂互动讲练
例1
已知 m∈R，复数 z＝mm2＋－21m＋(m2
＋ 2m － 3)i ， 当 m 为 何 值 时 ，
(1)z∈R，(2)z 是虚数．
课堂互动讲练
【解】 令mm2＋－21m＝0 得，m＝－2，或 m＝0.①
令m2＋2m－3＝0得，m＝－3，或m＝1.② (1)若z∈R，由②及m－1≠0知，m＝－3. (2)若z是虚数，则由②知，m≠－3，且m≠1.
能否把绝对值概念推广到复数范围呢？
能力强化
1．下列命题正确的是( ) ①(－i)2＝－1；②i3＝－i；③若 a>b，则a＋i>b＋i； A．①② B．①③ C．②③
答案：A
三基能力强化
2．已知复数z1＝a＋2i，z2＝－ 2＋i，且|z1|＝|z2|，则实数a等于 ()
A．1 B．－1 C．1或－1 D．±1或0 答案：C
互动探究
课堂互动讲练
本例条件不变，若z是纯虚数，求m的值．
解：由①②知，m＝－2或m＝0.
三基能力强化
4．已知1＋z i＝2＋i，则复数 z＝________. 答案：1－3i
课堂互动讲练
考点一 集合的基本概念
复数z＝a＋bi，若z∈R，则b ＝0；若z是虚数，则b≠0；若z为 纯虚数，则a＝0且b≠0.在解题过 程中，可分别令实部、虚部为0， 求出字母系数，然后再据相关条 件确定所要的结果．
共轭复数
定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做 互为共轭复数.
复数 z=a+bi (a,b∈R )的共轭复数记作 z
即 z a bi
共轭复数的性质
复数z=a+bi (a,b∈R ), 其共轭复数为z a bi
高三数学 复数多选题专项训练知识归纳总结及解析
高三数学 复数多选题专项训练知识归纳总结及解析一、复数多选题1．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z += 答案：ACD【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD ．【解析：ACD【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i =+可得，11i z i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-；因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102z z ==-，2211z z i i i z +=-++=-=．故选：ACD ．【点睛】本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题．2．对任意1z ，2z ，z C ∈，下列结论成立的是（ ）A ．当m ，*n N ∈时，有m n m n z z z +=B ．当1z ，2zC ∈时，若22120z z +=，则10z =且20z = C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且22||||z z z z ==⋅D ．12z z =的充要条件是12=z z答案：AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取，进行判断；D 中的必要不充分条件是.【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取，；，满足，但且不解析：AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取11z =，2z i =进行判断；D 中12z z =的必要不充分条件是12=z z .【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取11z =，；2z i =，满足22120z z +=，但10z =且20z =不成立，B 错误； 由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C 正确；由12z z =能推出12=z z ，但12||||z z =推不出12z z =，因此12z z =的必要不充分条件是12=z z ，D 错误. 故选：AC【点睛】本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共轭复数的概念，属于基础题.3．（多选）()()321i i +-+表示( )A ．点()3,2与点()1,1之间的距离B ．点()3,2与点()1,1--之间的距离C ．点()2,1到原点的距离D ．坐标为()2,1--的向量的模 答案：ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A 说法正确,B解析：ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于2i +,也等于2i --,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数32i +,1i +分别对应复平面内的点()3,2与点()1,1,所以()()321i i +-+表示点()3,2与点()1,1之间的距离,故A 说法正确,B 说法错误；()()3212i i i +-+=+,2i +可表示点()2,1到原点的距离,故C 说法正确；()()()()3211322i i i i i +-+=+-+=--,2i --可表示表示点()2,1--到原点的距离,即坐标为()2,1--的向量的模,故D 说法正确,故选:ACD【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数的模4．以下命题正确的是（ ）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '= 答案：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增， 即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥，此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件.C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x x x ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误. 故选：AC.本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.5．对于复数(,)z a bi a b R =+∈，下列结论错误．．的是（ ）. A ．若0a =，则a bi +为纯虚数B ．若32a bi i -=+，则3,2a b ==C ．若0b =，则a bi +为实数D ．纯虚数z 的共轭复数是z -答案：AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为当且时复数为纯虚数，此时，故A 错误，D 正确；当时，复数为实数，故C 正确；对于B ：，则即，故B 错误；故错误的有AB解析：AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为(,)z a bi a b R =+∈当0a =且0b ≠时复数为纯虚数，此时z bi z =-=-，故A 错误，D 正确；当0b =时，复数为实数，故C 正确；对于B ：32a bi i -=+，则32a b =⎧⎨-=⎩即32a b =⎧⎨=-⎩，故B 错误； 故错误的有AB ；故选：AB【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题．6．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．z 的虚部为1-B ．||z =C ．2z 为纯虚数D ．z 的共轭复数为1i --答案：ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.因为，对于A ：的虚部为，正确；对于B ：模长，正确；对于C ：因为，故为纯虚数，解析：ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简z 后得：1z i =-，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】 因为()()()2122211i 1i 12i i z i i --====-++-， 对于A ：z 的虚部为1-，正确；对于B ：模长z =对于C ：因为22(1)2z i i =-=-，故2z 为纯虚数，正确；对于D ：z 的共轭复数为1i +，错误.故选：ABC .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.7．设复数z 满足12z i =--,i 为虚数单位,则下列命题正确的是( )A ．|z |=B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限C ．z 的共轭复数为12i -+D ．复数z 在复平面内对应的点在直线2y x =-上答案：AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】,A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为,C 正确;复数z 在复平面内对解析：AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】||z ==A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为12i -+,C 正确;复数z 在复平面内对应的点(1,2)--不在直线2y x =-上,D 不正确.故选:AC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.8．已知复数()(()()211z m m m i m R =-+-∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若0m =，则共轭复数1z =- B ．若复数2z =，则mC ．若复数z 为纯虚数，则1m =±D ．若0m =，则2420z z ++= 答案：BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，时，，则，故A 错误；对于B ，若复数，则满足，解得，故B 正确；对于C ，若复数z 为纯虚数，则满足，解得，解析：BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，0m =时，1z =-，则1z =-，故A 错误；对于B ，若复数2z =，则满足(()21210m m m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得m ，故B 正确； 对于C ，若复数z为纯虚数，则满足(()21010m m m ⎧-=⎪⎨--≠⎪⎩，解得1m =-，故C 错误； 对于D ，若0m =，则1z =-+，()()221420412z z ++=+--+=+，故D 正确.故选：BD.【点睛】 本题主要考查对复数相关概念的理解，注意不同情形下的取值要求，是一道基础题.9．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ）A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0a b ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+， 所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--， 所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.10．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝2i ，则下列关于复数z 的结论正确的是（ ）A ．||z =B ．复数z 的共轭复数为z ＝﹣1﹣iC ．复平面内表示复数z 的点位于第二象限D ．复数z 是方程x 2+2x +2＝0的一个根答案：ABCD【分析】利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+，再根据复数的模长公式求出||z ，可知A 正确；根据共轭复数的概念求出z ，可知B 正确；根据复数的几何意义可知C 正确；将z 代入方程成立，可知D 正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝2i ，所以21i z i =-2(1)221(1)(1)2i i i i i i +-+===-+-+，所以||z ==A 正确； 所以1i z =--，故B 正确；由1z i =-+知，复数z 对应的点为(1,1)-，它在第二象限，故C 正确；因为2(1)2(1)2i i -++-++22220i i =--++=，所以D 正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题.11．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s n n n z i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）A ．22z z =B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，122z =-D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数答案：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z r i θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确； 对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cos sin 3322z i ππ=+=+，则122z =-，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+， 取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.12．已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（ ）A ．若12z z =，则12=z zB ．若12=z z ，则12z z =C ．若12z z >则12z z >D ．若12z z >，则12z z >答案：BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小解析：BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C 、D 两项都不正确；当两个复数的模相等时，复数不一定相等， 比如11i i -=+，但是11i i -≠+，所以B 项是错误的；因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A 项正确；故选：BCD.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有两个复数之间的关系，复数模的概念，属于基础题目.13．下列结论正确的是（ ）A ．已知相关变量(),x y 满足回归方程ˆ9.49.1yx =+，则该方程相应于点（2，29）的残差为1.1B ．在两个变量y 与x 的回归模型中，用相关指数2R 刻画回归的效果，2R 的值越大，模型的拟合效果越好C ．若复数1z i =+，则2z =D ．若命题p ：0x R ∃∈，20010x x -+<，则p ⌝：x R ∀∈，210x x -+≥答案：ABD【分析】根据残差的计算方法判断A ，根据相关指数的性质判断B ，根据复数的模长公式判断C ，根据否定的定义判断D.【详解】当时，，则该方程相应于点（2，29）的残差为，则A 正确；在两个变量解析：ABD【分析】根据残差的计算方法判断A ，根据相关指数的性质判断B ，根据复数的模长公式判断C ，根据否定的定义判断D.【详解】当2x =时，ˆ9.429.127.9y=⨯+=，则该方程相应于点（2，29）的残差为2927.9 1.1-=，则A 正确；在两个变量y 与x 的回归模型中，2R 的值越大，模型的拟合效果越好，则B 正确；1z i =-，z ==C 错误；由否定的定义可知，D 正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查了残差的计算，求复数的模，特称命题的否定，属于中档题.14．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ）A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称答案：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数解析：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误；对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确； 对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．15．已知复数1cos 2sin 222z i ππθθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则（ ） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．2cos z θ=D ．1z 的实部为12- 答案：BC【分析】由可得，得，可判断A 选项，当虚部，时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D 选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以A 选解析：BC【分析】 由22ππθ-<<可得2πθπ-<<，得01cos22θ<+≤，可判断A 选项，当虚部sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得11cos 2sin 212cos 2i z θθθ+-=+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项.【详解】 因为22ππθ-<<，所以2πθπ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01cos22θ<+≤，所以A 选项错误；当sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确：()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 212cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 不正确. 故选：BC【点睛】本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.16．已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足|1|||z z i -=-，下列结论正确的是（ ）A ．0P 点的坐标为(1,2)B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为2答案：ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C 选项的正确解析：ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出z ，利用|1|||z z i -=-，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z 点的轨迹，由此判读C 选项的正确性.结合C 选项的分析，由点到直线的距离公式判断D 选项的正确性.【详解】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ，A 正确；复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称，B 错误；设(,)z x yi x y R =+∈，代入|1|||z z i -=-，得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-，即=y x =；即Z 点在直线y x =上，C 正确； 易知点0P 到直线y x =的垂线段的长度即为0P 、Z 之间距离的最小值，结合点到直线的距=，故D 正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题.17．已知复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（ ）．A ．38z =B ．zC ．z 的共轭复数为1D ．24z = 答案：AB【分析】利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出 ，再验算每个选项得解.【详解】解：，且，复数在复平面内对应的点位于第二象限选项A:选项B: 的虚部是选项C:解析：AB【分析】利用复数2z =的模长运算及z a =+在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解.【详解】解：z a =+，且2z =224a +∴=，=1a ±复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限1a ∴=-选项A : 3323(1)(1)+3(1)+3())8-+=---+=选项B : 1z =-选项C : 1z =-的共轭复数为1z =--选项D : 222(1)(1)+2()2-+=--=--故选：AB ．【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力.求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解．18．已知复数12z =-，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．2020122z =-+ 答案：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()2020633644311122z z z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.19．下列命题中，正确的是（ ）A ．复数的模总是非负数B ．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C ．如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D ．相等的向量对应着相等的复数答案：ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数，对于A ，，故A 正确．对于B ，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与解析：ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，对于A ，0z =≥，故A 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内以原点为起点的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +， 故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B 正确． 对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B 正确．对于C ，如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C 错．对于D ，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈对应的向量的坐标为(),a b ，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．20．已知i 为虚数单位，下列说法正确的是( )A ．若,x y R ∈，且1x yi i +=+，则1x y ==B ．任意两个虚数都不能比较大小C ．若复数1z ，2z 满足22120z z +=，则120z z == D ．i -的平方等于1答案：AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确；对于选项B ，解析：AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵,x y R ∈，且1x yi i +=+，根据复数相等的性质，则1x y ==，故正确；对于选项B ，∵虚数不能比较大小，故正确；对于选项C ，∵若复数1=z i ，2=1z 满足22120z z +=，则120z z ≠≠，故不正确； 对于选项D ，∵复数()2=1i --，故不正确；故选：AB ．【点睛】本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题.21．设()()2225322z t t t t i =+-+++，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 一定不为实数D ．z 对应的点在实轴的下方 答案：CD【分析】利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】，，所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误 解析：CD【分析】利用配方法得出复数z 的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】22549492532488t t t ⎛+⎫= ⎪⎝⎭+-->-，()2222110t t t ++=++>， 所以，复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；当222530220t t t t ⎧+-=⎨++≠⎩，即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误； 因为2220t t ++>恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.22．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( )A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y ==B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z == D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数答案：BD【分析】选项A ：取,满足方程，所以错误；选项B ：,恒成立，所以正确；选项C ：取,,，所以错误；选项D ：代入，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取,,则,但不满足,故A 错误；,恒成解析：BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+,但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误; 4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确.故选:BD .【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.。
复数的共轭复数
复数的共轭复数
共轭复数的定义是若z=a+bi(a，b∈R)，则z的共轭=a－bi（a,b∈R)。
1、两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
2、两个复数:x+yi与x-yi称为共轭复数,它们的实部相等,虚部互为相反数。
在复平面上.表示两个共轭复数的点关于X轴对称。
而这一点正是“共轭”一词的来源。
3、两头牛平行地拉一部犁,它们的肩膀上要共架一个横梁,这横梁就叫做“轭”。
如果用Z表示X+Yi,那么在Z字上面加个“一”就表示X-Yi,或相反。
特别的，当b=0时，z∈R⇔z上面加“一”=z。
求法：
（一）、加法法则：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。
两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
两个复数的和依然是复数。
即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。
（二）、减法法则：两个复数的差为实数之差加上虚数之差（乘以i）即：
z1-z2=(a+ib)-(c+id)=(a-c)+(b-d)i。
（三）、乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2=-1，把实部与虚部分别合并。
两个复数的积仍然是一个复数。
即：z1z2=（a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac－bd)+(bc+ad)i。
（四）、除法法则：复数除法定义：满足（c+di)(x+yi)=(a+bi）的复数x+yi(x,y∈R）叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算。
共轭复数乘法
共轭复数乘法在复数的数学世界中，共轭复数乘法是一个重要且有意义的运算。
所谓共轭复数乘法，就是将两个复数的实部相乘并减去虚部的乘积。
它不仅有着独特的性质，而且在实际问题中有许多应用。
首先，我们来解释一下什么是共轭复数。
在复数中，一个数的共轭复数是指虚部取相反数的数。
例如，对于复数z = a + bi，其共轭复数为z* = a - bi。
也就是说，共轭复数与原复数的实部相同，而虚部相反。
那么，共轭复数乘法是什么呢？假设有两个复数z1 = a + bi和z2 = c + di，它们的共轭复数分别为z1*和z2*。
那么，共轭复数乘法的结果为：z1 * z2 = (a + bi) * (c + di)= (ac + adi + bci + bd(-1))= (ac - bd) + (ad + bc)i可以看到，共轭复数乘法的结果是一个新的复数，其实部为原复数的实部乘积与虚部乘积的差，虚部为原复数的实部乘积与虚部乘积的和。
共轭复数乘法有一些独特的性质。
首先，它满足交换律，即z1 *z2 = z2 * z1。
这是由于实数的乘法满足交换律，并且虚部的乘积也满足交换律。
其次，它满足分配律，即(z1 + z2) * z3 = (z1 * z3)+ (z2 * z3)。
这意味着我们可以在进行共轭复数乘法时，先计算每个复数的实部和虚部的乘积，再进行加减运算。
共轭复数乘法在实际问题中有着广泛的应用。
其中一个典型的应用就是求解复数的模长和幅角。
对于一个复数z = a + bi，它的模长可以表示为|z| = √(a^2 + b^2)，而它的幅角可以表示为θ = atan(b/a)。
如果我们要求解两个复数的乘积的模长和幅角，可以利用共轭复数乘法进行计算。
此外，共轭复数乘法还可以应用于电路分析和信号处理等领域。
在电路中，复数常常表示电流和电压的相位差；而在信号处理中，复数则表示信号的频谱和相位信息。
利用共轭复数乘法，我们可以方便地进行电路分析和信号处理的计算。
共轭复数例子
共轭复数例子
共轭复数是指在复平面上，与一个复数的虚部相反但实部相同的另一个复数，例如，对于复数a+bi，他的共轭复数为a-bi。
共轭复数在数学、物理、电子工程等领域都有广泛应用，接下来我们来看一些例子：
例子1. 电阻的阻抗为共轭复数
在电子工程中，电阻的阻抗可以表示为一个复数，其中实部代表电阻的电阻值，虚部代表电感或电容。
此时，电阻的共轭复数即代表电阻的阻抗相反方向的电阻值，具有一定的指导意义和应用价值。
例子2. 共振时，电容抗阻值为虚数，电感抗阻值为实数
在物理学中，共振时，电容抗阻值为虚数，电感抗阻值为实数。
此时，电容的阻抗与其共轭复数相等，而电感的阻抗与其共轭复数相反，这样不仅方便了计算，同时也方便了理解。
例子3. 复数领域的运算
在复数领域中，加、减、乘、除都有不同于实数的运算规则，其中涉及到共轭复数的概念。
例如，对于两个复数a+bi和c+di，复数的加法是将实部相加，虚部相加，得到和a+c+(b+d)i；而复数的乘法则将两个复数的实部和虚部两两相乘，得到新的实部和虚部，然后再化简为一个复数。
两个复数的除法则是先求出除数的共轭复数，然后将
被除数和除数的共轭复数相乘，然后再将这个结果除以除数模长的平方即可。
综上所述，共轭复数是一种重要的数学概念，在不同的领域中都有广泛应用。
对于我们的日常生活和学习，了解并掌握共轭复数的基本概念和运算方法，对于提高数学和物理的应用能力具有重要的指导作用。
复数的模及共轭复数(19题)答案
复数的模及共轭复数(19题)答案本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March复数的模及共轭复数（答案）1、有关复数的模你知道哪些（1）2||||||z a bi OZ a =+== （2）22Z Z Z Z == （注意22||z z ≠）（3）1212Z Z Z Z =⋅ 11222(0)ZZ Z Z Z =≠ n n Z Z =如；22(3)(1)(1)i i i i -++=- （3）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|如；若|z|=1，则|z-2|的取值范围是 [1,3] .2、有关共轭复数你知道哪些 若(,),z a bi a b R =+∈则z a bi =-如：复数43z i =-的共轭复数为 43i -- 1212z z z z ±=± 1212z z z z ⋅=⋅ 11222()(0)z zz z z =≠ 11()()n n z z = z z = 如：12z i +=，1122z i z i +=-3、设41123(12),,(3)2z i z z i i+==--则2||z = 44、你能写出几个实数集成立，而在复数范围内不成立的命题吗 （1）a b a c b c >⇔+>+ （2）20a ≥（3）2200a b a b +=⇔==（4）22a a = a = 虚数的模永远去不掉！ （5）a b a b =⇔=± 22a b a b =⇔=±（6）100a a a≠⇒+≠ 5、你能写出几个实数集成立，在复数范围内也成立的命题吗 （1）222()2a b a ab b +=++ （2）22()()a b a b a b +-=-（3）200a ab a ora b -=⇔== （4）00a b a b +=⇔==6、判断下列是非，错误举出反例。
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三基能力强化
4．已知1＋z i＝2＋i，则复数 z＝________. 答案：1－3i
课堂互动讲练
考点一 集合的基本概念
复数z＝a＋bi，若z∈R，则b ＝0；若z是虚数，则b≠0；若z为 纯虚数，则a＝0且b≠0.在解题过 程中，可分别令实部、虚部为0， 求出字母系数，然后再据相关条 件确定所要的结果．
共轭复数
定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做 互为共轭复数.
复数 z=a+bi (a,b∈R )的共轭复数记作 z
即 z a bi
共轭复数的性质
复数z=a+bi (a,b∈R ), 其共轭复数为z a bi
(1) | z || z | (2)z z 2a R (3)z z 2bi 零实数或纯虚数 (4)z z z 2
例3 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平
面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许
的取值范围。
解：由mm22
m6 m2
0 0Βιβλιοθήκη 得m3 m 2 2或 m
1
m(3,2) (1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
(代数问题)
复数的绝对值
实数绝对值的几何意义: (复数的模) 的几何意义:
实数a在数轴上所
复数 z=a+bi在复
对应的点 A 到原点 O 平面上对应的点Z(a,b)到
的距离。 a
原点的距离。
y
O
A
X
z=a+bi
Z (a,b)
|
a
|
=
|
OA
|
a (a 0) a(a 0)
O
x
| z | = |OZ| a2 b2
课堂互动讲练
例1
已知 m∈R，复数 z＝mm2＋－21m＋(m2
＋ 2m － 3)i ， 当 m 为 何 值 时 ，
(1)z∈R，(2)z 是虚数．
课堂互动讲练
【解】 令mm2＋－21m＝0 得，m＝－2，或 m＝0.①
令m2＋2m－3＝0得，m＝－3，或m＝1.② (1)若z∈R，由②及m－1≠0知，m＝－3. (2)若z是虚数，则由②知，m≠－3，且m≠1.
能否把绝对值概念推广到复数范围呢？
能力强化
1．下列命题正确的是( ) ①(－i)2＝－1；②i3＝－i；③若 a>b，则a＋i>b＋i； A．①② B．①③ C．②③
答案：A
三基能力强化
2．已知复数z1＝a＋2i，z2＝－ 2＋i，且|z1|＝|z2|，则实数a等于 ()
A．1 B．－1 C．1或－1 D．±1或0 答案：C
例3 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平 面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许 的取值范围。
变式：证明对一切m，此复数所对应的点不 可能位于第四象限。 证明：若复数所对应的点位于第四象限，
则mm22
m60 m20
即m
3或m 1 m
1
2
不等式解集为空集
所以复数所对应的点不可能位于第四象限.
互动探究
课堂互动讲练
本例条件不变，若z是纯虚数，求m的值．
解：由①②知，m＝－2或m＝0.