用代数式表示

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用代数式表示变化规律

探究一：用代数式表示变化规律用代数式把一列变化着的式或图形的规律表示出来，是探究性题目中很重要的一类，现在我们来研究解决这类题目所用到的主要数学思想和思考方法：它们是：Ⅰ、以归纳概括为指导的思考方法；Ⅱ、以函数思想为指导的方法；Ⅲ、以直接计算为指导的方法。

一、借助以归纳为指导的思想方法，得到表示变化规律的代数式这种思想方法的核心是通过分析与研究提供的“变化片断”—— 一些连续的特殊情况，归纳概括出整个变化过程所体现的规律，并用代数式将其表示出来，在实际运用中，又根据题目的实际情况，可分为三种形式：“一般归纳型”； “分类归纳型”；“递推归纳型 ”。

1、一般归纳型思考特点是：第一，系统考察所提供的一系列特殊，从每个特殊与其位次的对应关系上找共同的规律，第二，特别注意研究相邻两项之间的相关性。

例1 如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第n 个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有。

①② ③【观察与思考】我们把上面各图中满足“只有两个面涂色的立方体”用涂色法表示出来：……① ②③0014⨯+⨯ 1424⨯+⨯ 2434⨯+⨯ ……第n 个: )1(44-+n n解:应选48-n.例2 如图,是用火柴棒摆出的一系列三角形图案,按这种方式摆下去,当每边上摆10根火柴棒时, 共需要摆根火柴棒. ………下面一层…上面一层...下面两层…上面一层…上面一层…下面三层…下面n 层…上面一层10根10根10根【观察与思考】本题可以归结为在相应图形中求有多少个涂色的小三角形(所用火柴棒数就等于这样的三角形数再乘以3).为了找到规律,可以将每边4根火柴棒的情况也画出:…(1) (2 (3) (4) (10)涂色三角形 1 321=+6321=++104321=+++…归纳概括: 5510...321=+++的个数:165355=⨯解:应填165 .【说明】例1和例2，都是统一系列变化的“图形”，首先是要分离出符合要求的部分，使问题简化与明晰化，然后依次观察、对比，找出共同的规律来。

代数式知识点、经典例题、习题及答案

1.2 代数式【考纲说明】1、理解字母表示数的意义及用代数式表示规律。

2、用代数式表示实际问题中的数量关系，求代数式的值。

【知识梳理】1、代数式：指含有字母的数学表达式。

2、一个代数式由数、表示数的字母、运算符号组成。

单个字母或数字也是代数式。

3、代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。

4、用字母表示数的规范格式：（1）、数和表示数的字母相乘，或字母和字母相乘时，乘号可以省略不写，或用".”来代替。

（2）、当数和字母相乘，省略乘号时，要把数字写到前面，字母写后面。

如：100a或100•a，na或n•a。

（3）、后面接单位的相加式子要用括号括起来。

如：（ 5s ）时（4）、除法运算写成分数形式。

（5）、带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式。

5、列代数式时要注意：（1）语言叙述中关键词的意义，如"大”"小”"增加”"减少”。

"倍”"几分之几”等词语与代数式中的运算符号之间的关系。

（2）要理清运算顺序和正确使用括号，以防出现颠倒等错误，例如"积的和”与"和的积”"平方差”"差的平方”等等。

（3）在同一问题中，不同的数量必须用不同的字母表示。

【经典例题】【例1】（2012重庆，9，4分）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成。

其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中的五角星的个数为（）【解析】仔细观察图形的特点，它们都是轴对称图形，每一行的个数都是偶数，分别是2，4，6，…，6,4,2，故第⑥个图形中五角星的个数为2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72。

答案：D【例2】（2011甘肃兰州，20，4分）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为 . 【解析】由中点四边形的性质可知，每次所得新中点四边形的面积是前一个图形的12，故后一个矩形的面积是前一个矩形的14，所以第n 个矩形的面积是第一个矩形面积的1221142n n --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，已知第一个矩形面积为1，则第n 个矩形的面积为2212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭。

用代数式表示规律

七年级数学上册冀教版
第三章代数式
3.2 代数式
第3课时用代数式表示规律
知识要点
1 2
新知导入课程讲授随堂练习课堂小结
CONTENTS
1
新知导入课程讲授随堂练习课堂小结
想一想：
这是2020年12月的日历，你能发现日历中的数字有什么规律吗?
星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六
数有什么关系？
7 8 9 10 11 12
每行3个数的和都是是中间数的三倍. 13 14 15 16 17 18
（2）怎样表示这9个数的和比较简单？ 3行数的和依次为3(a+1)，3(a+7)，
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
…
3(a+13)，故9个数的和为9(a+7).
图中9个数的和为135，为中间数15的9倍. 19 20 21 22 23 24
（2）如果方框下移一行，中间数变为21
25 26 27 28 29 30
…
，此时9个数的和是多少？此时9个数的和为189，为中间数21的9倍. 115 116 117 118 119 120
（3）根据上述规律，你能直接写出中间数为m的这9个数的和吗？
新知导入课程讲授随堂练习课堂小结
用代数式表示数的变化规律
用代数式表示数的变化规律： 1.数字为整数，考虑相邻两数的和、差、积、商、符号等方面
是否存在规律，也可以是奇、偶、平方等方面的规律; 2.数字为分数，可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间
的联系； 3.若表示数字变化规律的是等式（或表格），可将每个等式对
2.观察下列等式:

代数式用字母表示数

工程技术的支持
在工程技术领域，代数式可以用于解决实际问题和优化设计方案，提高工程质量和效率。
3
计算机科学中的应用
代数式在计算机科学中也有广泛的应用，例如算法分析、数据结构设计和密码学等。
代数式在数学教育中的重要性和意义
培养逻辑思维
01
学习代数式有助于培养逻辑思维能力，理解抽象概念和推理过
程。
增强解决问题的能力
代数式的简化方法
合并同类项
提取公因式
将代数式中的同类项合并成一项。
将代数式中的公因式提取出来，以便于进行下一步的化简。
展开平方差公式
利用对数性质பைடு நூலகம்
利用平方差公式将代数式中的某些项展开成其他项的和或差。
将对数的性质应用于代数式中，以便于简化计算。
05
代数式的应用实例
用代数式解决实际问题
计算问题
意义
每个代数式都有特定的数学意义，表示数量之间的关系或运算。例如，2x+3表示两倍的x与3的和。
02
字母表示数的历史发展
古代数学中的代数式
古埃及数学
使用符号表示未知数和方程的解。
古希腊数学
使用文字描述数学问题，但未涉及字母表示数。
中世纪阿拉伯数学
使用字母表示数，发展了代数概念和算法。
字母表示数的起源
复杂代数式
包含基本运算、括号、乘方、乘除等复杂结构的式子。
简单代数式和复杂代数式
简单代数式
通常可以看作是只包含基本运算和括号的式子，例如：$2x+3$。
复杂代数式
通常包含基本运算、括号、乘方、乘除等复杂结构的式子，例如：$(x+1)^2-2(x-3)$。
多项式和分式的表示方法

代数式运算

代数式运算1.代数式像a 、a －7、a+7等这样的式子都是代数式。

单独的一个数或者一个字母也是代数式。

注意：数字与字母、字母与字母相乘，“×”可以用“•”表示或省略不写，并且把数字写在字母前面；除法运算通常写成分数的形式。

2.（1）像代数式1.5a 、2a 2、1.5%m ×15、a 等都是数与字母的积，像这样的代数式叫做单项式。

单独的一个数或者一个字母也是单项式。

（2）单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。

（3）像代数式0.9a+0.8b 、πR 2－πr 2等，几个单项式的和（或差）叫做多项式，其中的每个单项式叫做多项式的项，多项式里含有几项就把这个多项式叫做极限式，其中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项。

（4）单项式和多项式统称为整式。

3.代数式的值根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值。

一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化。

4.（1）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

（2）合并同类项：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项。

（3）合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。

（4）求代数式的值时，如果代数式中含有同类项，通常先合并同类项，再进行计算。

5.去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都不改变；括号前面是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项的符号都要改变。

6.整式的加减运算：进行整式的加减运算时，有括号的要先去括号，再合并同类项。

【例1】一个代数式减去22x y -等于222x y +，则这个代数式是（）。

A ．23y -B ．222x y +C ．2232y x -D ．23y【例2】若代数式2231y y +=，那么代数式2469y y +-的值是（）。

3.1列代数式表示数量关系(第3课时反比例关系)(教学课件)-七年级数学上册(人教版2024)

例如，5 000×52=5 200×50=6 500×40=260 000.所以它们成反比例关系.
概念归纳
像这样，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，
且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们
之间的关系叫作反比例关系.
如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是
看一个实际问题
随着变化，且这两个量的比值或商一定（即工作效率一定），所以它
们是成正比例的量，它们的关系是成正比例关系.
一般地，对于工程问题，当工作效率保持不变，工作量与工作时间是
成正比例的量，它们成正比例关系.
新知探究
问题：北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城
市.在冬季奥运会前，某赛场计划造雪260 000 m³.解答下列问题：
随堂练
1.下面每组中的两种量成反比例关系的是( C )
A. 长方形的周长一定，它的长和宽
B. 利率一定，存款的本金和利息
C. 圆锥的体积一定，它的底面积和高
D. 折扣一定，商品的原价和折后价
随堂练
2. [2024·上海杨浦区期末]下面各组变量的关系中，成反比例
关系的是(
B )
A. 人的身高与年龄
24
20
15
12
10
需要的天数
(天)
分层练习-巩固
(1)每天组装数量用 p 表示，需要的天数用 t 表示.请用式子
表示出 p ， t 和组装手机总数之间的关系.
解： (1) pt ＝12 000.
(2) p 与 t 成什么比例关系？
解： (2) p 与 t 成反比例关系.
(3)如果这批组装任务需要8天完成，那么每天需要组装多少部手机？

代数式的概念

代数式的概念代数式是数学中的一个重要概念，它是由数字、字母、运算符号和括号组成的符号表达式。

在数学中，代数式用来表示数学关系和运算过程。

本文将介绍代数式的定义、基本要素和常见运算规则。

一、代数式的定义和基本要素代数式是由数字、字母、运算符号和括号组成的符号表达式，可以包含加法、减法、乘法、除法等运算符号。

其中，字母通常用来表示未知数或变量。

代数式可以是一个数、一个字母、一个字母与一个数的乘积，或者多个代数式之间的运算组合。

在代数式中，数字和字母是基本要素。

数字表示具体的数值，而字母则表示未知数或变量，代表一类数。

字母可以是任何一个字母，如x、y、a、b等。

代数式中的运算符号有加法、减法、乘法、除法等，它们用来表示不同的数学运算操作。

括号在代数式中用来改变运算顺序或表示分组。

二、代数式的常见运算规则1. 加法和减法规则：代数式中的加法和减法运算遵循交换律和结合律。

交换律指加法和减法运算可以按任意顺序进行，结果不变；结合律指多个代数式相加（或相减）时，可以先将其中几个代数式相加（或相减），然后再与剩余的代数式相加（或相减）。

例如，a + b + c = c + b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。

2. 乘法和除法规则：代数式中的乘法和除法运算遵循分配律、交换律和结合律。

分配律指乘法对加法的分配关系，即a × (b + c) = a × b + a × c；交换律指乘法和除法运算可以按任意顺序进行，结果不变；结合律指多个代数式相乘（或相除）时，可以先将其中几个代数式相乘（或相除），然后再与剩余的代数式相乘（或相除）。

例如，a × (b × c) = (a × b) × c，a ÷ (b ÷ c) = (a ÷ b) ÷ c。

3. 括号运算规则：代数式中的括号可以用来改变运算顺序或表示分组。

3.1 列代数式表示数量关系 (课件)人教版(2024)数学七年级上册

感悟新知
知2－练
解题秘方：认真审题，分清数量关系，并用字母正确表示出来. 解：购买乙种读本的费用= 单价× 数量，则购买乙种读本的费用为12(90 －x)元.
感悟新知
知2－练
3-1.为调研大众的低碳环保意识，小明在某超市出口统计
后发现: 一小时内使用自带环保袋的人数比使用超市
塑料袋人数的2 倍少4人. 若一小时内使用超市塑料袋
综合应用创新
方法点拨列代数式表示图形面积常见形式：
综合应用创新
题型 5 列代数式表示变化规律
例 9 [新考法归纳法]如图3.1-3 是按规律排列的一组图形的前三个，观察图形解答下列问题：
综合应用创新
思路引导：
综合应用创新
(1)第5 个图形中，一共有多少个点？
解：观察图形的变化可知：第1 个图形中，一共有(6＋1)个点，第2 个图形中，一共有(6×2＋1)个点，第3 个图形中，一共有(6×3＋1)个点，所以第4 个图形中，一共有(6×4 ＋1)个点，第5 个图形中，一共有6×5＋1 ＝ 3 1(个)点；
综合应用创新
方法技巧列代数式表示特征数的关键在于抓住各
类数的基本特点：如偶数是2 的倍数，奇数比相邻偶数相差1 ，多位数等于相应数位上的数字与相应计数单位乘积的和.
综合应用创新
题型 4 列代数式表示图形面积
例 8 如图3.1-2 ，有一块长为18 m，宽为10 m 的长方形土地，现将三面留出宽都是x(0<x<8) m 的小路，余下的部分为菜地，用含x 的代数式表示：解题秘方：根据题中提供的数据以及长方形的面积公式解决问题.
综合应用创新
(2)请用含n 的代数式表示出第n 个图形中点的数量. 解：第n 个图形中，一共有(6n＋1)个点.

代数式的定义和运算法则

代数式减法的运算法则：同底数幂相减时，底数不变，指数相减；多项式相减时，按多项式各项的次数高低进行相减。代数式减法的运算顺序：先进行乘除运算，再进行加减运算，如有括号，先进行括号内的运算。
代数式减法的注意事项：在进行加减运算时，要注意运算符号和运算次序，避免出现计算错误。
代数式的乘法
分配律：a(b+c) = ab+ac
05
代数式在数学中的应用
在方程中的应用
代数式在方程中表示未知数的关系
通过代入法、消元法等解方程的方法，利用代数式求解未知数
代数式在解方程中起到关键作用
代数式在方程中的应用广泛，是数学中重
要的基础概念之一
在不等式中的应用
代数式可以用于表示不等式
代数式可以用于解不等式
代数式可以用于证明不等式
单独的一个数或一个字母也称为代数式。
代数式的值是代数式里字母取给定的值后得到的数。
代数式的表示方法
代数式是由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式
称为代数式。
代数式的值是代数式中字母取给定值时代数式的值。
单独的一个数或一个字母也称为代数式。
应用：结合律是代数式运算的基本性质之一，是代数式运算中非常重要的性质，对于代数式的化简和计算非常重要。
分配律
定义：代数式中，加法和乘法满足分配律，即 a(b+c)=ab+ac。
证明：根据代数式的运算法则，我们可以证明分配律的正确性。
应用：分配律在代数式中有着广泛的应用，可以帮助我们简化复
运算顺序的规则：先进行乘除法运算，再进行加减法运算
运算顺序的依据：乘除法是基本的四则运算之一，加减法是乘除法的简化形式

3.1列代数式表示数量关系(3)

第三章代数式3.1列代数式表示数量关系3.1列代数式表示数量关系（3）——列代数式表示反比例关系(教案新教材)【教学目标】1．理解反比例关系，能够用代数式表示反比例关系；2.经历抽象反比例关系和用代数式表示反比例关系的过程，能进行反比例关系的实际问题中数量关系与代数式之间的转换，建立反比例关系模型观念.【教学重点】理解反比例关系，能够用代数式表示反比例关系.【教学难点】理解反比例关系.【教学过程】一、情境导入我们一同来回忆本章引言中的问题（1）.机器人s能识别的范围是5m²，也就是说，机器人能识别的范围与所用时间的比值总是一定的（等于5）.因此机器人能识别的范围与所用时间是成正比例的量，它们成正比例关系.一般地，对于工程问题，当工作效率保持不变，工作量与工作时间是成正比例的量，它们成正比例关系，下面我们来讨论，如果工作量保持不变，工作时间与工作效率之间的关系.先看一个实际问题问题1.北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市在冬季奥运会前，某赛场计划造雪2600003m.解答下列问题（1）根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写下表每天造雪量/3m5000 5200 6500 ……造雪天数（2）每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们之间有什么关系？学生活动：探讨问题包含几个量，它们之间有什么关系.问题包含三个量：造雪总量、每天造雪量和造雪天数，根据它们之间的关系造雪总量造雪天数每天造雪量计算每天造雪量为50003m、52003m、65003m时，造雪天数，通过计算表中依次填52，50，40.教师活动：参与学生讨论，引导学生观察每天造雪量和造雪天数这两个量的变化规律.可以发现，造雪天数随着每天造雪量的变大而变小，而且造雪天数与每天造雪量的乘积一定，总是260000.例如，5000×52=5200×50=6500×40=260000.像这样，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系. 本节课学习3.1列代数式表示数量关系（3）——列代数式表示反比例关系（板书课题）二、合作探究活动一：认识反比例关系问题2.什么样的两个量之间的关系叫反比例关系？如何用字母表示问题1中的两个之间的关系？学生活动：观察、猜想，用自己的语言表达？如何用字母表示问题1中两个相关联的量之间的关系？教师活动：参与学生讨论，并适时点拨引导.问题1中每天造雪量和造雪天数两个量分别用字母x、y表示，它们关系表示为：260000 yx =.问题3. 如何将两个成反比例关系的量用字母表示？学生活动：学生从问题2得到启发，进行推广，考虑如何将两个成反比例关系的量用字母表示，并用自己语言表达.教师活动：引导学生类比问题2，评价学生的讨论，并规范表达.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0），反比例关系可以用xy k=或kyx=来表示，其中k叫作比例系数.活动二：列代数式表示反比例关系例1如图3.1-1，四个圆柱形容器内部的底面积分别为10cm²，20cm²，30cm²，60cm².分别往这四个容器中注人3003cm的水. （1）四个容器中水的高度分别是多少厘米？（2）分别用x（单位：cm²）和y（单位：cm）表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示y图3.1-1与x的关系，y 与x成什么比例关系？教师活动：和学生共同分析：题中涉及圆柱的体积、底面积及高三个量，它们之间具有关系：圆柱体积的体积=底面积×高，=圆柱的体积高底面积.学生活动：学生尝试解答. 教师活动：示范写出解题过程.问题4.思考：生活中，成反比例关系的例子是很常见的，例如，在购买某种物品时，总价一定，购物的数量与商品的单价成反比例关系，你还能举出一些例子吗？学生活动：列举生活中成反比例关系的例子.教师活动：对学生列举的例子加以点评，并注意和正比例关系进行类比. 再来看一个实例：例2由科学知识知道，在力F 的作用下，物体会在力F 的方向上发生位移s ，力所做的功W Fs =．当F ＝1时，s ＝7.5，试用列式表示F 与s 之间的关系．学生活动：小组讨论，先要求出功7.517.5W Fs ==⨯=，7.5Fs =，7.5F s=. 教师活动：教师对学生的活动过程加以评价，规范写出解答： ∵7.517.5W Fs ==⨯=， ∴7.5Fs =， ∴7.5F s=， ∴F 、s 之间的关系为7.5F s=；类比正比例关系的式子.三、强化巩固 1.练习1、2、3.抽学生板演，其余学生独立完成，教师评价订正.2.拓展训练：某打印店要完成一批电脑打字任务，如果每天完成100页，需8天完成任务． (1)则每天完成的页数y 与所需天数x 之间的关系列式表示出来? (2)要求4天完成，每天应完成几页?师生共同活动：（1）运用每天完成的页数⨯所需天数=总页数进行求解；（2）将4y =代入（1）所得关系式进行求解．【答案】（1）解：由题意得，1008xy =⨯，所以，得800yx =，每天完成的页数y与所需天数x之间关系式是800yx =；（2）由（1）题所得，800yx =，由题意得8004x=，解得200x=，∴每天应完成200页．四、总结拓展学生小组合作对知识总结：1.什么样的两个量是反比例关系；2.怎样列代数式表示两个量之间的反比例关系.学生小组合作对思想方法总结：经历抽象反比例关系和用代数式表示反比例关系的过程，能进行反比例关系的实际问题中数量关系与代数式之间的转换，建立反比例关系模型观念.五、作业布置必做作业：课本习题3.1第4、5、9题选做作业：习题3.1第11题，阅读与思考附：板书设计课题：3.1列代数式表示数量关系（3）——列代数式表示反比例关系活动一：认识反比例关系活动二：列代数式表示反比例关系例1.例2.例3.学生练习板演（拓展训练）。

重庆市第八中学七年级数学上册第二单元《整式加减》-解答题专项习题(含解析)

一、解答题1．用代数式表示：(1)比x的平方的5倍少2的数；(2)x的相反数与y的倒数的和；(3)x与y的差的平方；(4)某商品的原价是a元，提价15%后的价格；(5)有一个三位数，个位数字比十位数字少4，百位数字是个位数字的2倍，设x表示十位上的数字，用代数式表示这个三位数．解析：(1)5x2-2；(2)-x+1y；(3)(x-y)2；(4)(1+15%)a；(5)200(x-4)+10x+(x-4)．【分析】(1)明确是x的平方的5倍与2的差；(2)先求出x的相反数与y的倒数，然后相加即可；(3)注意是先做差后平方；(4)注意是提价后的价格而非所提的价格；(5)注意正确表示百位，十位，个位上的数．【详解】(1)5x2-2；(2)-x+1y；(3)(x-y)2；(4)(1+15%)a；(5)200(x-4)+10x+(x-4) ．【点睛】本题考查了列代数式，能够根据运算顺序正确书写，同时注意数位的意义，注意“多，少，积，差”等关键字的把握．2．古人云：凡事宜先预后立.我们做任何事情都要先想清楚，然后再动手去做，才能避免盲目从事.一天，需要小亮计算一个L形的花坛的面积，在动手测量前，小亮依花坛形状画出示意图，并用字母表示出了将要测量的边长（如图所示），小亮在列式进行面积计算时，发现还需要再测量一条边的长度，你认为他还需要测量哪条边的长度？请你在图中用字母n表示出来，然后求出它的面积.解析：图详见解析，am bn mn+-【分析】由图可知花坛是由两块矩形组成，若想求解矩形面积就必需知道矩形的长和宽，而图中少了左边矩形的宽．【详解】解：需要测量的边如图所示（或测量剩下的那条边的长度）.图形的面积为am bn mn +-.【点睛】不规则的几何图形的面积的计算要转化为规则的几何图形面积的和差．3．如图，已知等腰直角三角形ACB 的边AC BC a ==，等腰直角三角形BED 的边BE DE b ==，且a b <，点C 、B 、E 放置在一条直线上，联结AD .（1）求三角形ABD 的面积；（2）如果点P 是线段CE 的中点，联结AP 、DP 得到三角形APD ，求三角形APD 的面积；（3）第（2）小题中的三角形APD 与三角形ABD 面积哪个较大？大多少？（结果都可用a 、b 代数式表示，并化简）解析：（1）ab （2）()24a b +（3）三角形APD 的面积比三角形ABD 的面积大，大()24b a -.【分析】（1）由题意知//AC DE （同旁内角互补，两条直线平行），所以四边形ACED 是梯形，再由梯形面积减去两个等腰直角三角形面积即可求得；（2）与题（1）思路完全一样，由梯形面积减去两个直角三角形面积即可求得；（3）将所求的两个面积作差，化简并与0比较大小即可.【详解】（1）()()22111222ABD ABC BDE ACED S S S S a b a b a b ab ∆∆∆=--=++--=四边形（2）()()()2111222224APD APC PDE ACED a b a b a b S S S S a b a b a b ∆∆∆+++=--=++-⨯-⨯=四边形（3）()()2244APD ABDa b b a S S ab ∆∆+--=-=，∵b a >，∴()204APD ABD b a S S ∆∆--=>，即三角形APD 的面积比三角形ABD 的面积大，大()24b a -.【点睛】本题是一道综合题，考查了三角形的面积公式12S =⨯底⨯高，多项式的化简. 4．生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26cm ，宽为cm x ，分别回答下列问题：（1）为了保证能折成图④的形状（即纸条两端均超出点P ），试求P 的取值范围．（2）如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P 的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M 与点P 的距离（用P 表示）解析：(1) x ＜5.2(2) 13－1.5x【详解】分析：（1）按图中方式折叠后可得到除去两端，纸条使用的长度为5x ，那么纸条使用的长度应大于0，小于纸条总长度．（2）是轴对称图形，那么AM=AP+x ．解答：解：（1）由折纸过程可知0＜5x ＜26，∴0＜x ＜5.2．（2）∵图④为轴对称图形，∴AM=2652x -+x=13-1.5x ，即点M 与点A 的距离是（13-1.5x ）cm ．点评：本题考查学生的动手操作能力，难点是得到纸条除去两端使用的纸条的长度．5．已知22332A x y xy =+-，2222B xy y x =--.(1)求23A B -.(2)若|23|1x -=，29y =，且||x y y x -=-，求23A B -的值.解析：(1)2212127x y xy +-；(2)114或99.【分析】（1）把22332A x y xy =+-，2222B xy y x =--代入23A B -计算即可；（2）根据|23|1x -=，29y =，且||x y y x -=-求出x 和y 的值，然后代入（1）中化简的结果计算即可.【详解】解：(1)()()2222232332322A B x y xy xy y x -=+----2222664366x y xy xy y x =+--++2212127x y xy =+-；(2)由题意可知：231x -=±，3=±y ，∴2x =或1，3=±y ，由于||x y y x -=-，∴2x =，3y =或1x =，3y =.当2x =，3y =时，23114A B -=.当1x =，3y =时，2399A B -=.所以，23A B -的值为114或99.【点睛】本题考查了整式的加减运算，绝对值的意义，以及分类讨论的数学思想，熟练掌握整式的加减运算法则是解（1）的关键，分类讨论是解（2）的关键.6．如图，将面积为2a 的小正方形和面积为2b 的大正方形放在同一水平面上（0b a >>）（1）用a 、b 表示阴影部分的面积；（2）计算当3a =，5b =时，阴影部分的面积．解析：（1）22111222a ab b ++；（2）492【分析】（1）阴影部分为两个直角三角形，根据面积公式即可计算得到答案；（2）将3a =，5b =代入求值即可.【详解】（1）()21122a ab b ⨯++， 22111222a ab b =++；（2）当3a =，5b =时，原式221113355222=⨯+⨯⨯+⨯492=. 【点睛】此题考察列式计算，根据图形边长正确列式表示图形的面积即可.7．某商店出售一种商品，其原价为m 元，现有如下两种调价方案：一种是先提价10%，在此基础上又降价10%；另一种是先降价10%，在此基础上又提价10%.（1）用这两种方案调价的结果是否一样？调价后的结果是不是都恢复了原价？（2）两种调价方案改为：一种是先提价20%，在此基础上又降价20%；另一种是先降价20%，在此基础上又提价20%，这时结果怎样？（3）你能总结出什么规律吗？解析：（1）这两种方案调价的结果一样，都没有恢复原价；（2）这两种方案调价的结果一样，都没有恢复原价；（3）在原价基础上，先提价百分之多少，在此基础上再降价同样的百分数，与先降价百分之多少，再提价同样的百分数，最后结果一样，但都没有恢复原价..【分析】（1）先提价10%为110m%，再降价10%后价钱为99m%；先降价10%为90m%，再提价10%后价钱为99m%，据此可得答案；（2）先提价20%为120%m ，再降价20%后价钱为96%m ；先降价20%为80%m ，再提价20%后价钱为96%m ，据此可得答案；（3）根据（1）（2）的结果得出规律即可．【详解】解：（1）方案一：先提价10%价钱为()110%110%m m +=，再降价10%后价钱为()110%110%99%m m ⨯-=；方案二：先降价10%价钱为()110%90%m m -=，再提价10%后价钱为()90%110%99%m m ⨯+=，故这两种方案调价的结果一样，都没有恢复原价；（2）方案一：先提价20%价钱为()120%120%m m +=，再降价20%后价钱为()120%120%96%m m ⨯-=；方案二：先降价20%价钱为()120%80%m m -=，再提价20%后价钱为()80%120%96%m m ⨯+=，故这两种方案调价的结果一样，都没有恢复原价；（3）在原价基础上，先提价百分之多少，在此基础上再降价同样的百分数，与先降价百分之多少，再提价同样的百分数，最后结果一样，但都没有恢复原价.【点睛】本题考查了列代数式的知识，解题的关键是能够表示出降价或涨价后的量，难度不大． 8．有理数,,a b c 在数轴上的位置如图所示，化简代数式||||||||a c b b a b a ----++．解析：3a b c --+【分析】首先判断出a c -，b b a b a -+，，的正负，再去掉绝对值符号，然后合并同类项即可．【详解】由题意可知0a c -<，0b >，0b a ->，0b a +<，||||||||a c b b a b a ----++3a c b b a b a a b c =-+--+--=--+．故答案为：3a b c --+．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，数轴，绝对值，熟练掌握运算法则以及数轴上右边的数总比左边的数大是解答本题的关键．9．如图，观察下列图形，可得它们是按一定规律排列的，依照此规律，解决下列问题．（1）第5个图形有_______颗五角星，第6个图形有_______颗五角星；（2）第2020个图形有_______颗五角星，第n 个图形有_______颗五角星．解析：（1）16，19；（2）6061，31n +．【分析】（1）将每一个图案分成两部分，最下面位置处的一个不变，其它的分三条线，每一条线上后一个图形比前一个图形多一个，根据此规律找出第5、6个图形中★的个数；（2）利用（1）中所得规律可得．【详解】解：（1）观察发现，第1个图形★的颗数是134+=，第2个图形★的颗数是1327+⨯=，第3个图形★的颗数是13310+⨯=，第4个图形★的颗数是13413+⨯=，所以第5个图形★的颗数是13516+⨯=，第6个图形★的颗数是13619+⨯=．故答案为：16，19．（2）由（1）知，第2020个图形★的颗数是1320206061+⨯=，第n 个图形★的颗数是31n +．故答案为：6061，31n +．【点睛】本题考查了图形变化规律的问题，把★分成两部分进行考虑，并找出第n 个图形★的个数的表达式是解题的关键．10．已知一个多项式加上223x y xy -得222x y xy -，求这个多项式．佳佳的解题过程如下：解：222223x y xy x y xy ---①224x y xy =-②请问佳佳的解题过程是从哪一步开始出错的？并写出正确的解题过程．解析：是从第①步开始出错的，见解析【分析】根据多项式的加减运算法则进行运算即可求解．【详解】解：佳佳是从第①步开始出错的，正确的解题过程如下：根据题意，得：()()222223x y xy x y xy ---222223x y xy x y xy =--+222x y xy =+，∴这个多项式为222x y xy +．故答案为222x y xy +．【点睛】本题考查了多项式的加减混合运算，注意：只有同类项才能进行加减运算．11．已知,,a b c 在数轴上的位置如图所示，解答下列问题．（1）化简：||||||a b c b b a +--+-；（2）若a 的绝对值的相反数是2,b --的倒数是它本身，24c =，求2()a b c a b c -++-+-的值．解析：（1）2a b c -+；（2）-9【分析】（1）由数轴上的位置，先判断0,0,0+>-<-<a b c b b a ，再根据绝对值的意义进行化简，即可得到答案．（2）由绝对值的意义，倒数的定义，平方根的定义，先求出a 、b 、c 的值，再代入计算，即可得到答案．【详解】解：（1）由数轴可得：0c b a <<<，∴0,0,0+>-<-<a b c b b a ，∴原式2a b c b b a a b c =++--+=-+．（2）由题意，∵若a 的绝对值的相反数是2,b --的倒数是它本身，24c =，∴2,1,2a b c ==-=-，∴2()2a b c a b c a b c a b c -++-+-=-++--+=224149a b c -++=---=-．【点睛】本题考查了数轴的定义，绝对值的意义，倒数的定义，平方根的定义等知识，解题的关键是利用数轴正确判断0c b a <<<，从而进行解题．12．观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，…，通过观察，用你所发现的规律确定22017的个位数字．解析：22017的个位数字是2．【分析】根据已知的等式观察得到规律：24n+1的个位数字是2，24n+2的个位数字是4，24n+3的个位数字是8，24n+4的个位数字是6（n 为自然数），每四个一循环，由此得到答案.【详解】观察可知：24n+1的个位数字是2，24n+2的个位数字是4，24n+3的个位数字是8，24n+4的个位数字是6（n 为自然数），每四个一循环，∵22017=450412⨯+，∴22017的个位数字是2.【点睛】此题考查数字的规律，有理数乘方计算的实际应用，观察已知中等式的特点总结规律，并运用规律解答问题是解题的关键.13．(规律探究题)用计算器计算下列各式，将结果填写在横线上．99999×11=__________；99999×12=__________；99999×13=__________；99999×14=__________．（1）你发现了什么？（2）不用计算器，你能直接写出99999×19的结果吗？解析：1099989；1199988；1299987；1399986；（1）如果n 是11，12，13，…，20中的任何一个数，则：99999×n =(n －1)9998(20－n )，其中(n －1)9998(20－n )是1个7位数，前2位是n －1，个位是20－n ，中间4个数字总是9998；（2）99999×19=1899981【分析】用计算器分别进行计算，再根据结果找出规律，最后根据规律即可直接写出99999×19的结果．【详解】解：99999×11=1099989；99999×12=1199988；99999×13=1299987；99999×14=1399986．故答案为：1099989；1199988；1299987；1399986．（1）通过计算观察可发现以下规律：如果n 是11，12，13，…，20中的任何一个数，则：99999×n =(n －1)9998(20－n )，其中(n －1)9998(20－n )是1个7位数，前2位是n －1，个位是20－n ，中间4个数字总是9998．（2）根据以上规律可直接写出：99999×19=1899981．【点睛】此题考查了计算器−有理数，解题的关键是通过用计算器计算，找出规律，通过规律进行解答．14．化简与求值：（1）若1a =-，则式子21a -的值为______；（2）若1a b +=，则式子12a b ++的值为______；（3）若534a b +=-，请你仿照以上求式子值的方法求出()()2422a b a b +++-的值. 解析：（1）0；（2）32；（3）-10. 【分析】（1）把a 的值代入计算即可；（2）把a+b 的值代入计算即可；（3）原式去括号转化为含有(5a+3b)的式子，然后代入5a+3b 的值计算即可．【详解】解：（1）()221110a -=--=；（2）1311222a b ++=+=；（3）()()()()24221062253224210a b a b a b a b +++-=+-=+-=⨯--=-．【点睛】本题考查的是整式的化简求值和整体代换的思想．只要原式化简出含有已知的式子，再代入求值即可．15．试写出一个含a 的代数式，使a 不论取何值，这个代数式的值不大于1．解析：所写代数式为：﹣a 2+1【分析】从平方数非负数的角度考虑解答．【详解】解：所写代数式可以为：- a 2+1．（答案不唯一）【点睛】本题考查了代数式，平方数非负数，考虑利用非负数是解题的关键．16．先化简，再求值（1）()223421332a a a a -+-+-，其中23a =- （2）()()22352542m mn mn m -+--+，其中22m mn -=解析：（1）原式=23362a a --+；256；（2）原式()2111m mn =-+；23. 【分析】（1）根据整式的运算法则，先将整式进行化简，再将字母的值代入计算求值即可.（2）根据整式的运算法则，去括号合并同类项，将整式化成最简，然后将字母的值代入计算即可.【详解】解（1）原式=22333-4233222a a a a ⨯-⨯++-=22363332a a a a --++-=23362a a --+ 将23a =-代入得：222336332⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=256；（2）原式=()()2222352542351084m mn mn m m mn mn m -+--+=+-+-- ()2111m mn =-+将22m mn -=代入得：11×2+1=23【点睛】本题考查了整式的化简求值，解决本题的挂件是正确理解题意，熟练掌握整式的运算法则，将整式正确进行化简.17．数学课上，老师出示了这样一道题目:“当1,22a b ==-时，求多项式3233233733631061a a b a a b a b a a b +++----的值”．解完这道题后，张恒同学指出:“1,22a b ==-是多余的条件”师生讨论后，一致认为这种说法是正确的，老师及时给予表扬，同学们对张恒同学敢于提出自己的见解投去了赞赏的目光．（1）请你说明正确的理由；（2）受此启发，老师又出示了一道题目,“无论x 取任何值，多项式2233x mx nx x -++-+的值都不变，求系数m 、n 的值”．请你解决这个问题．解析：（1）见解析；（2）3n =，1m =.【分析】（1）将原式进行合并同类项，然后进一步证明即可；（2）将原式进行合并同类项，根据“无论x 取任何值，多项式值不变”进一步求解即可.【详解】（1）3233233733631061a a b a a b a b a a b +++----=3332233731033661a a a a b a b a b a b +-+-+--=1-，∴该多项式的值与a 、b 的取值无关， ∴1,22a b ==-是多余的条件. （2）2233x mx nx x -++-+=2233x nx mx x -++-+=2(3n)(1)3x m x -++-+∵无论x 取任何值，多项式值不变，∴30n -+=，10m -=，∴3n =，1m =.【点睛】本题主要考查了多项式运算中的无关类问题，熟练掌握相关方法是解题关键.18．已知多项式2x 2+25x 3+x ﹣5x 4﹣13．（1）请指出该多项式的次数，并写出它的二次项和常数项；（2）把这个多项式按x 的指数从大到小的顺序重新排列．解析：（1）该多项式的次数是4，它的二次项是2x 2，常数项是﹣13；（2）﹣5x 4+25x 3+2x 2+x ﹣13．【分析】（1）根据多项式的次数、项等定义解答即可；（2）按x 得降幂排列多项式即可．【详解】解：（1）该多项式的次数是4，它的二次项是2x 2，常数项是﹣13；（2）这个多项式按x 的指数从大到小的顺序为：432215253x x x x -+++-. 【点睛】本题考查的是多项式的概念及应用.19．先化简，再求值：()()22222322a b ab a b ab a b -+---，其中1a =，2b =-．解析：2ab -，4-．【分析】先去括号，再合并同类项，再将1a =，2b =-代入原式求值即可．【详解】原式22222423a b ab a b ab a b +=-+--22(112)(34)a b ab =--++-2ab =-，当1a =，2b =-时，原式21(2)4=-⨯-=-【点睛】本题考查了整式的化简求值问题，掌握整式化简的方法、合并同类项的方法是解题的关键．20．让我们规定一种运算a bad cb c d =-，如232534245=⨯-⨯=-．再如14224x x =-．按照这种运算规定，请解答下列问题，（1）计算60.5142= ；-3-245= ；2-335x x =- （2）当x=-1时，求223212232x x x x -++-+---的值（要求写出计算过程）．解析：（1）1；-7；-x ；（2）-7【分析】（1）根据新运算的定义式，代入数据求出结果即可；（2）根据新运算的定义式将原式化简为-x-8，代入x=-1即可得出结论．【详解】解：（1）60.5160.543211242=⨯-⨯=-=； -3-23524158745=-⨯--⨯=---=-（）（）； 2-3253310935x x x x x x x=⨯---⨯=---=--（）（）（）．故答案为：1；-7；-x ．（2）原式=（-3x 2+2x+1）×（-2）-（-2x 2+x-2）×（-3），=（6x 2-4x-2）-（6x 2-3x+6），=-x-8，当x=-1时，原式=-x-8=-（-1）-8=-7．∴当x=-1时，223212232x x x x-++-+---的值为-7．【点睛】本题考查了整式的化简求值以及有理数的混合运算，读懂题意掌握新运算并能用其将整式进行化简是解题的关键．21．通过计算和观察，可以发现：1＝12，1＋3＝4＝22，1＋3＋5＝9＝32，请你计算：（1）1＋3＋5＋7＝____________＝____________，1＋3＋5＋7＋9＝____________＝____________，1＋3＋5＋7＋9＋…＋97＋99＝____________＝____________（2）用字母表示1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n－1)的结果；（3）用一句话概括你发现的规律．解析：（1）16，42，25，52，2500，502；（2）n2；（3）前n个连续正奇数的和为n2【分析】（1）观察给出的等式得到：从1开始的连续2个奇数和是22，连续3个奇数和是32，连续4个，5个奇数和分别为42，52…，即可求出答案；（2）根据规律即可猜想从1开始的连续n个奇数的和；（3）根据上述的规律，即可得到答案．【详解】解：（1）根据题意，则1＋3＋5＋7＝16＝42；1＋3＋5＋7＋9＝25＝52；1＋3＋5＋7＋9＋…＋97＋99＝2500＝502；故答案为：16，42，25，52，2500，502；（2）根据题意：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n－1)=n2；（3）根据上述的结论，则得到：前n个连续正奇数的和为n2．【点睛】此题主要考查学生对规律型题的掌握，关键是要对给出的等式进行仔细观察分析，发现规律，根据规律解题．22．若1+2+3+…+n=m，求（ab n）•（a2b n﹣1）…（a n﹣1b2）•（a n b）的值．解析：a m b m【解析】试题分析：根据单项式的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加的性质，（ab n）•（a2b n﹣1）…（a n﹣1b2）•（a n b）=a1+2+…n b n+n﹣1+…+1=a m b m．解：∵1+2+3+…+n=m，∴（ab n）•（a2b n﹣1）…（a n﹣1b2）•（a n b），=a1+2+...n b n+n﹣1+ (1)=a m b m考点：单项式乘单项式；同底数幂的乘法．点评：本题考查单项式的乘法法则和同底数幂的乘法的性质．23．观察下列各式：13+23=1+8=9，而（1+2）2=9，∴13+23=（1+2）2；13+23+33=36，而（1+2+3）2=36，∴13+23+33=（1+2+3）2；13+23+33+43=100，而（1+2+3+4）2=100，∴13+23+33+43=（1+2+3+4）2；∴13+23+33+43+53=（______ ）2= ______ ．根据以上规律填空：（1）13+23+33+…+n 3=（______ ）2=[ ______ ]2．（2）猜想：113+123+133+143+153= ______ ．解析：1+2+3+4+5；225；1+2+…+n ；()n n 12+；11375 【解析】分析：观察题中的一系列等式发现，从1开始的连续正整数的立方和等于这几个连续正整数和的平方，根据此规律填空；(1)、根据上述规律填空，然后把1+2+…+n 变为2n 个(n+1)相乘，即可化简；(2)、对所求的式子前面加上1到10的立方和，然后根据上述规律分别求出1到15的立方和与1到10的立方和，求出的两数相减即可求出值．详解：由题意可知：13+23+33+43+53=（1+2+3+4+5）2=225(1)、∵1+2+…+n=（1+n ）+[2+（n-1）]+…+[n 2+（n-n 2+1）]=()n n 12+， ∴13+23+33+…+n 3=（1+2+…+n ）2=[()n n 12+]2； (2)、113+123+133+143+153=13+23+33+...+153-（13+23+33+ (103)=（1+2+…+15）2-（1+2+…+10）2 =1202-552=11375．点睛：此题要求学生综合运用观察、想象、归纳、推理概括等思维方式，探索问题，获得解题途径．考查了学生善于观察，归纳总结的能力，以及运用总结的结论解决问题的能力．24．国庆期间，王老师计划组织朋友去晋西北游览两日.经了解，现有甲、乙两家旅行社针对组团两日游的游客报价均为每人500元，且提供的服务完全相同.甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按八折收费.假设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为x 人. （1）请列式表示甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用；（2）若王老师组团参加两日游的人数共有30人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家.解析：（1）甲旅行社收取组团两日游的总费用为425x 元;若人数不超过20人时，乙旅行社收取组团两日游的总费用为450x 元;若人数超过20人时，乙旅行社收取组团两日游的总费用为（4001000x +）元;（2）王老师应选择甲旅行社.【分析】（1）根据总费用等于人数乘以打折后的单价，易得甲旅行社的费用=500 x×0.85，对于乙家旅行社的总费用，应分类讨论：当0≤x≤20时，乙旅行社的费用=500 x×0.9；当x ＞20时，乙旅行社的费用=500×20×0.9+500（x-20）×0.8；（2）把x=30分别代入（1）中对应关系计算甲旅行社的费用和乙旅行社的费用的值，然后比较大小即可．【详解】（1）甲旅行社收取组团两日游的总费用为：5000.85425x x ⨯=元若人数不超过20人时，乙旅行社收取组团两日游的总费用为：5000.9450x x ⨯=元若人数超过20人时，乙旅行社收取组团两日游的总费用为：()500(20)0.8500200.94001000-⨯+⨯⨯=+x x 元（2）因为王老师组团参加两日游的人数共有30人，所以甲旅行社收取组团两日游的总费用为：4253012750⨯=元乙旅行社收取组团两日游的总费用为40030100013000⨯+=元1275013000<，王老师应选择甲旅行社.【点睛】本题考查了代数式，能根据具体情境列代数式并求代数式的值是关键.25．将正整数1，2，3，4，5，……排列成如图所示的数阵：（1）十字框中五个数的和与框正中心的数11有什么关系？（2）若将十字框上下、左右平移，可框住另外五个数，这五个数的和与框正中心的数还有这种规律吗？请说明理由；（3）十字框中五个数的和能等于180吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由；（4）十字框中五个数的和能等于2020吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由．解析：（1）十字框中五个数的和是正中心数的5倍；（2）十字框中五个数的和是正中心数的5倍，理由见解析；（3）不能，理由见解析；（4）这五个数是404，403，405，397，411.【分析】（1）把框住的数相加即可求解；（2）设中心的数为a ，则其余4个数分别为1a -，1a +，7a -，7a +，相加即可得到规律；（3）由（2）得五个数的和为5a ，令5a=180,根据解得情况即可求解；（4）由（2）得五个数的和为5a ，令5a=2020,根据解得情况即可求解；【详解】解：（1）十字框中五个数的和是正中心数的5倍.∵十字框中五个数的和41011121855511=++++==⨯，∴十字框中五个数的和是正中心数的5倍.（2）五个数的和与框正中心的数还有这种规律.设中心的数为a ，则其余4个数分别为1a -，1a +，7a -，7a +.11775a a a a a a +-+++-++=，∴十字框中五个数的和是正中心数的5倍.（3）十字框中五个数的和不能等于180.∵当5180a =时，解得36a =，36751÷=，36在数阵中位于第6排的第1个数，其前面无数字，∴十字框中五个数的和不能等于180.（4）十字框中五个数的和能等于2020.∵当52020a =时，解得404a =，4047575÷=，404在数阵中位于第58排的第5个数，∴十字框中五个数的和能等于2020，这五个数是404，403，405，397，411.【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是设中心的数为a ，求出十字框中五个数的和为5a.26．小马虎在计算一个多项式减去225a a +-的差时，因一时疏忽忘了对两个多项式用括号括起来，因此减去后面两项没有变号，结果得到的差是231a a +-． ()1求这个多项式；()2算出此题的正确的结果．解析：（1）2324a a ++；（2）2 9a a ++．【分析】（1）根据题意可以求得相应的多项式；（2）根据（1）中的结果可以求得正确的结果．【详解】解：（1）由题意可得：这个多项式是：a 2+3a ﹣1+2a 2﹣a +5=3a 2+2a +4，即这个多项式是3a 2+2a +4；（2）由（1）可得：3a 2+2a +4﹣（2a 2+a ﹣5）=3a 2+2a +4﹣2a 2﹣a +5=a 2+a +9即此题的正确的结果是a 2+a +9．【点睛】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是明确整式的加减的计算方法，求出相应的多项式．27．一个三位数M ，百位数字为a ，十位数字为b ，个位数字是c .（1）请用含,,a b c 的式子表示这个数M ；（2）现在交换百位数字和个位数字，得到一个新的三位数N ，请用含,,a b c 的式子表示N ；（3）请用含,,a b c 的式子表示N M -，并回答N M -能被11整除吗?解析：(1)10010M c b a =++;(2) 10010N c b a =++;(3) N-M ()99c a =-,能被11整除【分析】（1）根据百位数字为a ，十位数字为b ，个位数字是c 表示出M 即可；（2）根据百位数字为c ，十位数字为b ，个位数字是a 表示出N 即可；（3）列出整式相加减的式子，再合并同类项即可．【详解】解:()1 ∵百位数字为a ，十位数字为b ，个位数字是c ，∴10010M c b a =++；()2百位数字为c ，十位数字为b ，个位数字是a ，∴10010N c b a =++;()3()()1001010010N M c b a a b c -=++-++9999c a =-()99c a =-. 99是11的9倍，,c a 为整数，N M ∴-能被11整除.【点睛】本题考查的是整式加减的实际应用题，数字问题，掌握数字的表示方法及整式的加减法法则是解答此题的关键．28．已知31A B x ，且3223A x x ，求代数式B ．解析：2322x x -++【分析】将A 代入A-B=x 3+1中计算即可求出B ．【详解】解：∵A-B=x 3+1，且A=-2x 3+2x+3，∴B=A-（x 3+1）=-2x 3+2x+3-x 3-1=-3x 3+2x+2．【点睛】本题考查了整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解题的关键．29．已知22134,2313P x mx y Q x y nx =+-+=-+-，（1）关于,x y 的式子2P Q -的取值与字母x 的取值无关，求式子(3)(3)m n m n +--的值；（2）当0x ≠且0y ≠时,若135333P Q -=恒成立，求,m n 的值。

代数式知识点

代数式是数学中的重要概念，在解决实际问题和推导数学公式时起到了关键作用。

通过代数式，我们可以将数学问题抽象化，用字母和符号来表示数值和关系，从而更好地理解和解决问题。

本文将一步一步介绍代数式的基本概念和常见知识点。

1.代数式的定义代数式是由数字、字母和运算符号组成的表达式，用来表示数值和数值之间的关系。

代数式中的字母通常代表未知数，可以是任意实数。

代数式的结构由运算符和括号决定，可以包含加法、减法、乘法、除法等基本运算。

2.代数式的分类代数式可以根据字母和数字的个数进行分类。

一元代数式只包含一个字母和数字，例如2x+3；二元代数式包含两个字母和数字，例如2x+y；多元代数式包含多个字母和数字，例如2x+y+z。

3.代数式的运算代数式可以进行各种运算，包括合并同类项、因式分解、展开等。

合并同类项是将具有相同字母的项相加或相减，例如2x+3x可以合并为5x。

因式分解是将代数式分解为乘积的形式，例如x2+2x可以因式分解为x(x+2)。

展开是将代数式的乘积展开为和的形式，例如(x+2)(x+3)可以展开为x2+5x+6。

4.代数式的求解代数式可以用来解决实际问题，例如通过建立方程来求解未知数的值。

通过观察问题的条件和关系，可以将问题转化为代数式，并通过求解代数式来得到答案。

例如，一个长方形的面积为30平方米，已知宽度是x米，可以建立代数式x*(30/x)=30来求解长度。

5.代数式的应用代数式在数学和科学中有广泛的应用。

代数式可以用来描述物理规律、经济关系、几何定理等。

例如，用代数式可以描述物体的运动规律，建立经济模型来分析市场供需关系，推导几何定理来证明几何问题等。

6.代数式的扩展除了基本的代数式，还有一些扩展的代数知识点。

例如，多项式是由多个项相加或相减构成的代数式，例如2x^2+3x+1。

方程是等式中含有未知数的代数式，例如2x+3=7。

不等式是含有不等号的代数式，例如2x+3>5。

这些扩展的代数概念在高中和大学数学中有重要的地位。

第五讲用代数式表示数量之间的关系

第五讲用代数式表示数量之间的关系（一）代数式基本知识代数式定义：像b a +、ts 、2+b 、m 3这样的用加、减、乘、除、乘方灯运算符号连接的数和字母组成的式子叫做代数式。

注意：1. 单独的一个数或一个字母也是代数式；2. 代数式中除含有数、字母和运算符号外，还可以含有括号，用于指明运算顺序；3. 代数式和等式、不等式的区别和联系：代数式中一定不含有“=”、“＞”、“＜”、“≥”、 “≤”、“≠”；等式和不等式的两边都是代数式；列代数式注意事项：1. 用字母表示实际问题中的某一个数量时，字母的取值必须使这个问题有意义且符合实际。

如ts v =中0≠t ，2r s π=中0>r 。

2. 同一问题中，同一字母只能表示同一数量，不同的数量要用不同的字母表示。

3. 数字和数字相乘，“×”不可以省略；4. 数字和字母相乘，数字在前，中间乘号省略或写作“· ”（在中间）；数字是带分数的要化为假分数；5. 字母与字母相乘，中间乘号省略或写作“· ”（在中间）；6. 代数式中出现除法运算时，一般用分数形式表示；7. 用字母表示数时，若式子是和或差的形式，应把式子用括号括起来，在后面写单位；若式子是积或商的形式，在式子后面直接写单位。

（二）列代数式例 1 标价为x 元的某件商品，标价八折出售仍获利b 元，已知该件商品的进价为a 元，则x 等于______________元练习：1. 某电脑的进价为m 元，商场标出的售价比进价提高40%，而后又打8.5折出售，一台电脑盈利_________。

2. 某电厂有煤m 吨，计划每天用煤a 吨，实际每天节约用煤b 吨，节约后可多用 _________天。

3. 某品牌奶糖a 元/千克，水果糖b 元/千克，如果买奶糖m 千克，水果糖n 千克，那么混合后的糖果每千克_____________元。

例 2 一个三位数，从百位上的数字到个位上的数字依次大1，设十位数字为a ，那么这个三位数可以表示为______________________。

代数式的知识点

代数式的知识点代数式是代数学中的基础知识，是代数运算的基本单位。

本文将介绍代数式的定义、组成要素以及常见的运算规则，以加深对代数式的理解和应用。

一、代数式的定义代数式是由数或变量及其之间的运算符号组成的符号表达式。

其中，数是确定的常数，而变量表示不确定的数或可变的量。

代数式是数和变量通过运算符号进行组合而成的一种数学表达形式，它可以表示数的关系和数的运算。

二、代数式的组成要素1. 数：代数式中的数是具体的、可计算的常数，如2、5、7等。

2. 变量：代数式中的变量表示未知数或可变的量，如x、y、z等。

变量可以表示各种数值，并在运算中代表这些数值。

三、代数式的运算规则1. 算术运算：代数式中可以使用加法、减法、乘法和除法等基本的算术运算符，来表示数的运算关系。

例如，代数式「2x + 3y」包含了两个变量x和y的加法运算。

2. 代数运算：代数式中可以使用指数运算、开方运算和求值运算等代数运算符。

例如，代数式「x^2 + y^2」表示变量x和y的平方和运算。

3. 对称性：代数式中的运算满足对称性质，如加法和乘法的交换律和结合律。

这意味着代数式中运算的次序不影响最后的结果。

例如，「ab + ba」和「(a + b)a」是等价的代数式。

4. 分配律：代数式中的乘法满足分配律，如「a(b + c) = ab + ac」。

这个规则允许将乘法运算分配到括号中的各个项上。

5. 合并同类项：代数式中可以合并拥有相同变量和相同指数的项。

例如，「3x + 2x」可以合并为「5x」。

四、代数式的应用代数式在数学和实际问题中有广泛的应用。

在数学中，代数式是解方程、推导公式及研究函数的基础。

在实际问题中，代数式可以用来描述各种关系和运算，如物体的运动、统计数据的分析等。

总结：代数式是由数和变量及其之间的运算符号组成的符号表达式。

它具有数和变量的组成要素，通过算术运算和代数运算的规则进行运算。

代数式的应用广泛，既是数学理论研究的基础，也是解决实际问题的有力工具。

3.2-代数式(2)

3 即张宇的身高是影子的倍。 5
若用 L 表示物体的影子的长，那么如何用
代数式表示此时此地物体的高度？此时此地物体的高度为
3 l 5
米。
该地建筑物影子长为5.5米。此时它的高度是多少
3 3 L 解：将L=5.5代入，得 5.5 3.3米 5 5
人生像攀登一座山，而找寻出路却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机.
（4）某机关原有工作人员m人，现精简机构，减少 20%的工作人员，则有千 16 n 克需要________ 元。
3
4、张宇的身高为1.2米，在某时刻测得他的影子的长
度为2 米。此时张宇的身高是影子的多少倍？
再试一试！
3 解： 1.2 2 5
c ＋3 , 得 7
(1)三个连续的奇数，a是其中最大的一个，则另外两个可表
示为__________; a-2和a-4
(2) x是一个三位数，在它后面加上2所形成的四位数可表示 10x+2 ，在它前面加上3所形成的四位数是__________. 3 000+x 为________ (3)某机关原有工作人员a人,现精简机构,减少了20%的工作人员,则该机关剩余人数为_______________; (1-20%)a人 (4) 23=2×10+3×1, 425=4×100+2×10+5×1, 8516=8×1000+5×100+1×10+6×1, 那么个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c,的三位数可表示成________________ 100c+10b+a
走的路程.
（3）某种数学资料每本要10元，英语资料每本要5元，小明买了x本数学资料，y本英语资料，则(10x＋5y)表示共用了多少钱.

数字的代数式

数字的代数式数字的代数式是数学中的重要概念之一，它代表着数学中的运算规律和关系。

代数式由数字、运算符号和变量组成，通过运算和代入不同的数值，可以得到不同的结果。

一、代数式的基本结构代数式的基本结构包括数字、运算符号和变量。

数字可以是整数、小数或分数，用来表示具体的数值。

运算符号包括加法、减法、乘法和除法，用来表示不同的数学运算。

变量是一种未知数，用来表示未知的数值。

例如，表达式“3+4”表示将数字3和数字4相加，结果为7。

在这个表达式中，数字3和数字4是已知的具体数值，加号表示相加运算。

另外，表达式“x+y”表示将变量x和变量y相加，结果为一个未知数。

在这个表达式中，变量x和变量y表示未知的数值，加号仍然表示相加运算。

二、代数式的运算规律代数式具有一定的运算规律，包括结合律、交换律和分配律等。

1. 结合律：加法和乘法满足结合律，即a+(b+c)=(a+b)+c和a*(b*c)=(a*b)*c。

这意味着在一个代数式中，可以先计算括号内的运算，再进行外层的运算。

2. 交换律：加法和乘法满足交换律，即a+b=b+a和a*b=b*a。

这意味着在一个代数式中，可以交换运算数的顺序，结果不变。

3. 分配律：乘法和加法之间满足分配律，即a*(b+c)=a*b+a*c。

这意味着可以先将加法运算进行，再进行乘法运算。

三、代数式的简化和展开在数学中，对代数式进行简化和展开是常见的操作。

1. 简化代数式：简化代数式是指将代数式中的项进行合并和化简。

例如，对于代数式“2x+3x”，可以将相同的项合并，得到“5x”。

这样可以减少代数式的复杂性，使其更加简洁。

2. 展开代数式：展开代数式是指将代数式进行拆分和求和。

例如，对于代数式“(x+2)(x+3)”可以进行展开，得到“x^2+5x+6”。

这样可以将复杂的代数式拆解为简单的项，方便进行运算。

四、应用举例代数式在实际生活和学习中有广泛的应用，例如在求解方程、构建数学模型和解决实际问题等方面。

代数式公式

代数式公式
代数式是使用代数符号和数学运算符表示的数学表达式。

以下是几个常见的代数式公式：
1.一次方程：ax+b=0，其中a和b是已知的常数，x是未知数。

2.二次方程：ax^2+bx+c=0，其中a、b和c是已知的常数，x是未知数。

3.平方差公式：(a-b)(a+b)=a^2-b^2。

4.因式分解公式：a^2-b^2=(a-b)(a+b)。

5.二次三项式平方公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2。

6.三次方公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)。

7.二次根式平方公式：√(a±√b)=(√(a±√b))^2=a±√b。

这些公式是代数中常见的一些公式，它们在数学和科学中经常被使用，并有广泛的应用。

代数式公式在解方程、化简表达式、因式分解和求根等方面起着重要的作用，帮助我们理解和解决各种数学问题。

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代数式的应用

代数式的应用代数式是数学中的一个重要概念，它可以用字母、数字和运算符号表示数学关系或表达式。

代数式的应用广泛，可以解决各种实际问题，如代数问题、几何问题和物理问题等。

接下来，我们将探讨代数式在不同领域的应用。

一、代数式在代数问题中的应用在代数问题中，我们经常需要通过代数式来表示和解决问题。

代数式可以用来表示一些未知数之间的关系，通过解方程可以求得未知数的值。

例如，假设我们需要求解一个未知数x，根据问题中的条件可以列出一个代数式，通过求解这个代数式的解，我们可以获得x的值。

另外，在代数问题中，代数式也可以用来表示数的运算过程。

例如，我们可以通过代数式来表示两个数的和、差、积或商，从而方便进行运算。

代数式的灵活性使得我们能够根据具体问题的要求，灵活地构造适合的代数式，并借助代数知识解决问题。

二、代数式在几何问题中的应用代数式不仅在代数问题中有应用，也在几何问题中发挥着重要的作用。

在几何问题中，代数式可以帮助我们描述几何图形的性质和关系。

例如，在计算几何中，代数式可以用来表示图形的面积和体积。

通过将图形的边长或半径等参数代入相应的代数式，我们可以计算出图形的面积或体积。

这种将几何问题转化为代数问题的方法使得问题的解决过程更加简化和方便。

此外，代数式还可以用来表示几何图形的坐标。

在平面几何中，我们可以用代数式表示点、线、面等的坐标，从而研究它们的性质和关系。

利用代数式，我们可以推导出直线的方程、圆的方程等，并通过这些方程解决几何问题。

三、代数式在物理问题中的应用代数式在物理问题中的应用也非常广泛。

在物理学中，代数式可以帮助我们理解物理现象和规律，从而用数学语言描述和解释它们。

例如，在牛顿运动定律中，我们可以利用代数式描述物体的运动状态和加速度。

通过代数式，我们可以推导出物体的位移、速度和加速度之间的关系，并利用它们解决物理问题。

另外，在电路中，代数式可以用来描述电流、电压和电阻之间的关系。

通过代数式，我们可以计算电路中各个元件的参数，并解决电路分析和设计中的问题。