2015年武汉大学线性代数考研真题

2015考研数学一真题与答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1:8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。

(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。

因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。

2015年考研数学一真题及答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。

(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。

因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.(2)设是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，212xe 、为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数条件收敛，则 =x 3=x 依次为幂级数的 ( )(A) 收敛点，收敛点(B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。

2015年考研数学一真题及答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1:8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。

(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。

因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。

武汉大学《数学分析》《高等代数》历年考研真题(2009-2018汇总)

4
8! ( K 14 ©) lim an = +∞, y²:
n→∞
Ô! ( K 14 ©) ¼ê
1n
lim n→∞ n
ak = +∞.
k=1
(x2 + y2) sin f (x, y) =
0,
1 , x2 + y2 = 0; x2 + y2
x2 + y2 = 0.
1. ¦ fx(0, 0), fy(0, 0); 2. y²: fx(0, 0), fy(0, 0) 3 (0, 0) ØëY; 3. y²: f (x, y) 3 (0, 0) Œ‡, ¿¦ df (0, 0).
l! ( K 15 ©) z(x, y) ëY
Œ‡, é‡©•§
1
∂2z
∂2z ∂2z
1
∂z ∂z
(x2 + y2)2
∂x2
+
2 ∂x∂y
+
∂y2
− (x2 + y2)3
+ ∂x ∂y
= 0.
ŠCþ“† u = xy, v = x − y. 1. ¦“† •§; 2. •ÑCþ“†” :8, ¿`²”
4. OŽ F (α), Ù¥:
eα
x+3α
F (α) = dx
f (x, y)dδ.
D
¦ f (x, y).
Ê! ( K 14 ©) f (x) ´ {(x, y)|x2 + y2 1} þ gëYŒ‡¼ê, …÷v
∂2f ∂x2
+
∂2f ∂y2
= (x2 + y2)2,
Á¦È©
x2+y2 1
x ∂f

2015年考研数学三真题及答案详解

2 2 2 2
(3)设D x,y x2y22x,x2y22y,函数f x,y在D上连续,则f x,y dxdy( )
D
(A)
04d
0
2cos
0
f
r cos
,r sin
rdr
2d
4
2sin
0
f
r cos
,r sin
rdr
(B)
4d
0
2sin
0
f
r cos
,r sin
rdr
2d
2cos
0
f
r cos
,rsin
则lim xn
a
n
n
n
(C)
若lim
xn
a,则lim
x3n
lim x3n 1
a
n
n
n
(D)
若limn
x3n
lim x3n 1
n
a,则lim xnn
a
答案】(D)
解析】答案为D,本题考查数列极限与子列极限的关系
确；D错(D选项缺少x3n 2的敛散性),故选D
f (x) 0的点处产生.所以y f (x)有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数f (x)符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为2，故选C.
2015
、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项
符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题．纸．．指定位置上
(1)设xn是数列,下列命题中不正确的是( )
(A)
若limn
xn
a,则limn
x2n
lnim x2n 1

2015考研数学一真题及答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.(2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解xy xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则 3=x 与3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点(C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为1nn a∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2).因而x =3x =依次为幂级数1(1)n n n na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）.(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰ (C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分【解析】先画出D 的图形，所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰34(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰故选（B ）(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为 ( )x(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A) 2221232-+y y y (B) 2221232+-y y y (C) 2221232--y y y (D) 2221232++y y y【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得:100001010Q P PC ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故有200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ） (7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( )(A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B (C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()2≥P A P B P AB【答案】(C)【解析】由于,AB A AB B ⊂⊂，按概率的基本性质，我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤，从而()()()2P A P B P AB +≤≤，选(C) .(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( )(A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5 【答案】(D)【解析】22[(2)](2)()()2()E X X Y E X XY X E X E XY E X +-=+-=+- 2()()()()2()D X E X E X E Y E X =++⋅- 23221225=++⨯-⨯=，选(D) . 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 20ln cos lim_________.x xx →= 【答案】12-【分析】此题考查0型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.【解析】方法一：2000sin ln(cos )tan 1cos lim lim lim .222x x x xx x x x x x →→→--===- 方法二：2222200001ln(cos )ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim .2x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====- (10)22sin ()d ________.1cos x x x x ππ-+=+⎰【答案】2π4【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.【解析】22202sin 2.1cos 4x x dx xdx x ππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰(11)若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=xe xyz x x 确定，则(0,1)d ________.z =【答案】dx -【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令(,,)cos 2zF x y z e xyz x x =+++-，则(,,)1sin ,,(,,)z x y z F x y z yz x F xz F x y z e xy '''=+-==+又当0,1x y ==时1z e =，即0z =.所以(0,1)(0,1)(0,1,0)(0,1,0)1,0(0,1,0)(0,1,0)y x z z F F z z xF yF ''∂∂=-=-=-=''∂∂，因而(0,1).dzdx =-(12)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.x y z dxdydz Ω++=⎰⎰⎰【答案】14【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得1(23)66zD x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy ΩΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中z D 为平面z z =截空间区域Ω所得的截面，其面积为21(1)2z -.所以 112320011(23)66(1)3(2).24x y z dxdydz zdxdydz z z dz z z z dz ΩΩ++==⋅-=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (13) n 阶行列式20021202___________.00220012-=-【答案】122n +-【解析】按第一行展开得111120021222(1)2(1)220022012n n n n n D D D +----==+--=+-221222(22)2222222n n n n D D ---=++=++=+++122n +=-(14)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ，则{0}________.P XY Y -<=【答案】12【解析】由题设知，~(1,1),~(0,1)X N Y N ，而且X Y 、相互独立，从而{0}{(1)0}{10,0}{10,0}P XY Y P X Y P X Y P X Y -<=-<=-><+-<>11111{1}{0}{1}{0}22222P X P Y P X P Y =><+<>=⨯+⨯=. 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分) 设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ，3()=g x kx ，若()fx 与()g x 在0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】,,.a b k =-=-=-11123【解析】法一：原式()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx→+++= ()()2333330236lim 1x x x x x a x o x bx x o x kx →⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==()()234331236lim1x a a b a x b x x x o x kx→⎛⎫++-+-+ ⎪⎝⎭== 即10,0,123a aa b k +=-== 111,,23a b k ∴=-=-=-法二：()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx →+++=201sin cos 1lim 13x ab x bx xx kx →++++== 因为分子的极限为0，则1a =-()212cos sin 1lim16x b x bx x x kx→--+-+==，分子的极限为0，12b =-()022sin sin cos 13lim 16x b x b x bx xx k →----+==，13k =- 111,,23a b k ∴=-=-=-(16)(本题满分10分) 设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点()()0,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.【答案】f x x=-8()4. 【解析】设()f x 在点()()00,x f x 处的切线方程为：()()()000,y f x f x x x '-=- 令0y =，得到()()000f x x x f x =-+'，故由题意，()()00142f x x x ⋅-=，即()()()000142f x f x f x ⋅='，可以转化为一阶微分方程，即28y y '=，可分离变量得到通解为：118x C y =-+，已知()02y =，得到12C =，因此11182x y =-+；即()84f x x =-+.(17)(本题满分10分)已知函数(),=++fx y x y xy ，曲线C ：223++=x y xy ，求(),f x y 在曲线C 上的最大方向导数.【答案】3【解析】因为(),f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.()()',1,',1x y f x y y f x y x =+=+，故(){},1,1gradf x y y x =++此题目转化为对函数(),g x y =在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对()()22(,)11d x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.构造函数：()()()()2222,,113F x y y x x y xy λλ=++++++-()()()()222120212030x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'⎧=+++=⎪'=+++=⎨⎪'=++-=⎩，得到()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----. ()()()()12348,0,9,9d M d M d M d M====3=. (18)(本题满分 10 分)（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()() （II ）设函数()()()12n u x ,u x ,,u x 可导，n f x u x u x u x =12()()()()，写出()f x 的求导公式.【解析】（I ）0()()()()[()()]lim h u x h v x h u x v x u x v x h→++-'=0()()()()()()()()lim h u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h→++-+++-=00()()()()lim ()lim ()h h v x h v x u x h u x u x h v x h h→→+-+-=++()()()()u x v x u x v x ''=+ （II ）由题意得12()[()()()]n f x u x u x u x ''=121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++(19)(本题满分 10 分)已知曲线L的方程为,z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩起点为()A，终点为()0,B ，计算曲线积分()()2222d d ()d LI y z x z x y y x y z =++-+++⎰.【答案】π2【解析】由题意假设参数方程cos cos x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，ππ:22θ→-π22π2[cos )sin 2sin cos (1sin )sin ]d θθθθθθθθ--++++⎰π222π2sin cos (1sin )sin d θθθθθθ-=+++⎰π220sin d θθ==(20) (本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.（I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ.【答案】【解析】(I)证明：()()()()12313213123,,2+2,2,+1201,,020201k k k k βββαααααααα=+⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭20121224021201k k k k ==≠++故123,,βββ为3R 的一个基. （II ）由题意知，112233112233,0k k k k k k ξβββαααξ=++=++≠即()()()1112223330,0,1,2,3i k k k k i βαβαβα-+-+-=≠=()()()()()()()11312223133113223132+22++10+2+0k k k k k k k k k k ααααααααααααα-+-+-=++=有非零解即13213+2,,+0k k ααααα=即10110020k k=，得k=011223121300,0k k k k k k ααα++=∴=+=11131,0k k k ξαα=-≠(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭B =.(I) 求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵..【解析】(I) ~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++23120133001231--=⇒--=-A B b a14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--TA 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭P AP(22) (本题满分11 分) 设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,0,0,0.xx f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数. (I)求Y 的概率分布; (II)求EY【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率，则313228()ln x p P X dx +∞-=>==⎰，从而12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()()，23,,n=为Y 的概率分布； (II) 法一:分解法:将随机变量Y 分解成=Y M N +两个过程,其中M 表示从1到()n n k <次试验观测值大于3首次发生，N 表示从1n +次到第k 试验观测值大于3首次发生.则M Ge n p ~(,)，NGe k n p -(,)(注：Ge 表示几何分布)所以11221618E Y E M N E M E N p p p =+=+=+===()()()(). 法二:直接计算22212221777711288888n n n n n n n E Y n P Y n n n n n ∞∞∞---====⋅==⋅-=⋅--+∑∑∑(){}()()()()[()()()]记212111()()n n S x n n xx ∞-==⋅--<<∑，则2113222211n n n n n n S x n n xn xx x ∞∞∞--==='''=⋅-=⋅==-∑∑∑()()()()()， 12213222111()()()()()n n n n xS x n n xx n n x xS x x ∞∞--===⋅-=⋅-==-∑∑，2222313222111()()()()()nn n n x S x n n x xn n xx S x x ∞∞-===⋅-=⋅-==-∑∑，所以212332422211()()()()()x x S x S x S x S x x x-+=-+==--，从而7168E Y S ==()().(23) (本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为：x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩1,1,(,)10,其他. 其中θ为未知参数，12n x ,x ,,x 为来自该总体的简单随机样本.(I)求θ的矩估计量. (II)求θ的最大似然估计量. 【解析】(I)11112()(;)E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞+==⋅=-⎰⎰，令()E X X =，即12X θ+=，解得1121ni i X X X n θ==-=∑,为θ的矩估计量；(II) 似然函数11110,()(;),nni i i x L f x θθθθ=⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪==-⎨⎝⎭⎪⎩∏其他，当1i x θ≤≤时，11111()()nni L θθθ===--∏，则1ln ()ln()L n θθ=--. 从而dln d 1L nθθθ=-()，关于θ单调增加，所以12min n X X X θ={,,,}为θ的最大似然估计量.。

线性代数习题2015及参考答案

线性代数练习题（答案）一、填空题：1. 五阶行列式中，项a 21 a 32 a 53 a 15a 44 的符号为负。

2. 行列式某两行（列）元对应成比例，则行列式的值 0 。

3. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=162131A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4113095B ,则AB 等于⎪⎪⎭⎫⎝⎛--42146 . 4. 若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t A 31322013,且秩(A)=2,则t = 6 .5. 已知方阵A 满足02=++cE bA aA (c b a ,,为常数0≠c ),则=-1Ac bE aA )(+6.4阶行列式4713482475010532--中（3，2）元素的代数余子式A 32是 -223 .7.向量组（Ⅰ）α1 , α2 ,…, αr 与向量组（Ⅱ）β1，β2，…, βs 等价，且组（Ⅰ）线性无关，则r 与s 的大小关系为 s r ≤ .8. 设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡500030201，A *为A 的伴随矩阵，则| A *|= 225 .9. 排列4 6 7 1 5 2 3的逆序数是 13 .10.四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =是 24 项的代数和，其中含11a 的项共6项。

11. 任意一个数域都包含有理数域.12. 设λ1, λ2 ,…, λn 是矩阵A 的n 个特征值，则λ1 λ2…λn= | A| 。

13. 设矩阵A =100220340⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，那么矩阵A 的列向量组的秩为 2 .14．设向量α=（1，2，3，4），则α的单位化向量为 30)4,3,2,1( .15．设A ，B 均为三阶方阵，且｜A ｜= -3，｜B ｜=6，则｜AB ｜= 18 ． 16. 设)0,1,1(),1,1,0(),1,0,1(321===βββ是3F 的一个基,则3F 的自然基321,,εεε到321,,βββ的过渡矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011110101 .16. 在欧氏空间4R 中，()1,0,0,1=α，()0,1,0,1=β，则α与β的夹角等于3π. 17．已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=710321A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4113095B ,则A-2B 等于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---12163209 . 18. 与矩阵101032120-⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭A 对应的二次型是x x x x x x x x x f 32312221321423),,(-++-= ．19. 二次型f(x 1,x 2,x 3)=323121232221x x 4x x x x 4x 3x 2x +--+-的对称矩阵为___⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---322220201_____ . 20. 若二次型f(x 1,x 2,x 3, x 4)的正惯性指数为3，符号差为2，则f(x 1,x 2,x 3 ,x 4)的规范型为yy y y 24232221-++二、单项选择题：1. 设2阶方阵A 可逆，且A=⎪⎭⎫ ⎝⎛--2173，则A -1=（ A ）。

2015年考研数一真题及答案解析(完整版)

凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构2015年考研数学（一）试题解析一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.(2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ）凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32xy y y ce '''-+=，再将特解xy xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为1nn a∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2).因而x =3x =依次为幂级数1(1)n n n na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）.凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰ (C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分【解析】先画出D 的图形，所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰34(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰故选（B ）(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ωx凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构(B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A) 2221232-+y y y (B) 2221232+-y y y (C) 2221232--y y y (D) 2221232++y y y【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-.凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构且200010001TP AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得:100001010Q P PC ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故有200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ） (7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( ) (A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B(C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()2≥P A P B P AB【答案】(C)【解析】由于,AB A AB B ⊂⊂，按概率的基本性质，我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤，从而()()()2P A P B P AB +≤≤，选(C) .(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=⎡⎤⎣⎦E X X Y ( )(A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构【答案】(D)【解析】22[(2)](2)()()2()E X X Y E X XY X E X E XY E X +-=+-=+- 2()()()()2()D X E X E X E Y E X =++⋅- 23221225=++⨯-⨯=，选(D) .二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 20ln cos lim _________.x xx →= 【答案】12-【分析】此题考查0型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.【解析】方法一：2000sin ln(cos )tan 1cos lim lim lim .222x x x xx x x x x x →→→--===- 方法二：2222200001ln(cos )ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim .2x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====- (10)22sin ()d ________.1cos x x x x ππ-+=+⎰【答案】2π4【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.【解析】22202sin 2.1cos 4x x dx xdx xππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构(11)若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=xe xyz x x 确定，则(0,1)d ________.z =【答案】dx -【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令(,,)cos 2zF x y z e xyz x x =+++-，则(,,)1sin ,,(,,)z x y z F x y z yz x F xz F x y z e xy '''=+-==+又当0,1x y ==时1z e =，即0z =.所以(0,1)(0,1)(0,1,0)(0,1,0)1,0(0,1,0)(0,1,0)y x z z F F z z xF yF ''∂∂=-=-=-=''∂∂，因而(0,1).dzdx =-(12)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.x y z dxdydz Ω++=⎰⎰⎰【答案】14【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得1(23)66zD x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy ΩΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中z D 为平面z z =截空间区域Ω所得的截面，其面积为21(1)2z -.所以 112320011(23)66(1)3(2).24x y z dxdydz zdxdydz z z dz z z z dz ΩΩ++==⋅-=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构(13) n 阶行列式20021202___________.00220012-=-L LM M OM M L L【答案】122n +-【解析】按第一行展开得1111200212022(1)2(1)2200220012n n n n n D D D +----==+--=+-L L L L L221222(22)2222222n n n n D D ---=++=++=+++L 122n +=-(14)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ，则{0}________.P XY Y -<=【答案】12【解析】由题设知，~(1,1),~(0,1)X N Y N ，而且X Y 、相互独立，从而{0}{(1)0}{10,0}{10,0}P XY Y P X Y P X Y P X Y -<=-<=-><+-<>11111{1}{0}{1}{0}22222P X P Y P X P Y =><+<>=⨯+⨯=.凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分) 设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ，3()=g x kx ，若()fx 与()g x 在0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】,,.a b k =-=-=-11123【解析】法一：原式()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx→+++= ()()2333330236lim 1x x x x x a x o x bx x o x kx →⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==()()234331236lim1x a a b a x b x x x o x kx→⎛⎫++-+-+ ⎪⎝⎭== 即10,0,123a aa b k +=-== 111,,23a b k ∴=-=-=-法二：()3ln 1sin lim1x x a x bx xkx→+++= 201sin cos 1lim 13x ab x bx x x kx→++++== 因为分子的极限为0，则1a =-凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构()212cos sin 1lim16x b x bx x x kx→--+-+==，分子的极限为0，12b =-()022sin sin cos 13lim 16x b x b x bx xx k →----+==，13k =- 111,,23a b k ∴=-=-=-(16)(本题满分10分) 设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点()()0,x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()f x 的表达式.【答案】f x x=-8()4. 【解析】设()f x 在点()()00,x f x 处的切线方程为：()()()000,y f x f x x x '-=- 令0y =，得到()()000f x x x f x =-+'，故由题意，()()00142f x x x ⋅-=，即()()()000142f x f x f x ⋅='，可以转化为一阶微分方程，凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构即28y y '=，可分离变量得到通解为：118x C y =-+，已知()02y =，得到12C =，因此11182x y =-+；即()84f x x =-+.(17)(本题满分10分) 已知函数(),=++fx y x y xy ，曲线C ：223++=x y xy ，求(),f x y 在曲线C 上的最大方向导数.【答案】3【解析】因为(),f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.()()',1,',1x y f x y y f x y x =+=+，故(){},1,1gradf x y y x =++此题目转化为对函数(),g x y =在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对()()22(,)11d x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.构造函数：()()()()2222,,113F x y y x x y xy λλ=++++++-凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构()()()()222120212030x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'⎧=+++=⎪'=+++=⎨⎪'=++-=⎩，得到()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----. ()()()()12348,0,9,9d M d M d M d M ====3=. (18)(本题满分 10 分)（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()()]()()()() （II ）设函数()()()12n u x ,u x ,,u x L 可导，n f x u x u x u x =L 12()()()()，写出()f x 的求导公式.【解析】（I ）0()()()()[()()]lim h u x h v x h u x v x u x v x h→++-'=0()()()()()()()()lim h u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h→++-+++-=00()()()()lim ()lim ()h h v x h v x u x h u x u x h v x h h→→+-+-=++()()()()u x v x u x v x ''=+ （II ）由题意得12()[()()()]n f x u x u x u x ''=L121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++L L L L (19)(本题满分 10 分)已知曲线L的方程为,z z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩起点为()A，终点为()0,B ，凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构计算曲线积分()()2222d d ()d LI y z x z x y y x y z =++-+++⎰.【答案】π2【解析】由题意假设参数方程cos cos x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，ππ:22θ→-π22π2[cos )sin 2sin cos (1sin )sin ]d θθθθθθθθ--++++⎰π222π2sin cos (1sin )sin d θθθθθθ-=+++⎰π220sin d πθθ==(20) (本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.（I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ.【答案】【解析】(I)证明：凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构()()()()12313213123,,2+2,2,+1201,,020201k k k k βββαααααααα=+⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭20121224021201k k k k ==≠++ 故123,,βββ为3R 的一个基. （II ）由题意知，112233112233,0k k k k k k ξβββαααξ=++=++≠即()()()1112223330,0,1,2,3i k k k k i βαβαβα-+-+-=≠=()()()()()()()11312223133113223132+22++10+2+0k k k k k k k k k k ααααααααααααα-+-+-=++=有非零解即13213+2,,+0k k ααααα=即101010020k k=，得k=0 11223121300,0k k k k k k ααα++=∴=+=11131,0k k k ξαα=-≠(21) (本题满分11 分)凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B =.(I) 求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵..【解析】(I) ~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++231201330012031--=⇒--=-A B b a 14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--T凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构A 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭P AP(22) (本题满分11 分) 设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,0,0,0.xx f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数. (I)求Y 的概率分布; (II)求EY【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率，则313228()ln x p P X dx +∞-=>==⎰，从而12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()()，23,,n =L 为Y 的概率分布； (II) 法一:分解法:将随机变量Y 分解成=Y M N +两个过程,其中M 表示从1到()n n k <次试验观测值大于3首次发生，N 表示从1n +次到第k 试验观测值大于3首次发生.则M Ge n p ~(,)，N Ge k n p -(,):(注：Ge 表示几何分布)凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构所以11221618E Y E M N E M E N p p p =+=+=+===()()()(). 法二:直接计算22212221777711288888n n n n n n n E Y n P Y n n n n n ∞∞∞---====⋅==⋅-=⋅--+∑∑∑(){}()()()()[()()()]记212111()()n n S x n n xx ∞-==⋅--<<∑，则2113222211n n n n n n S x n n xn xx x ∞∞∞--==='''=⋅-=⋅==-∑∑∑()()()()()，12213222111()()()()()n n n n xS x n n xx n n x xS x x ∞∞--===⋅-=⋅-==-∑∑，2222313222111()()()()()nn n n x S x n n x xn n xx S x x ∞∞-===⋅-=⋅-==-∑∑，所以212332422211()()()()()x x S x S x S x S x x x-+=-+==--，从而7168E Y S ==()().(23) (本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为：x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩1,1,(,)10,其他.凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构其中θ为未知参数，12n x ,x ,,x L 为来自该总体的简单随机样本. (I)求θ的矩估计量. (II)求θ的最大似然估计量. 【解析】(I)11112()(;)E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞+==⋅=-⎰⎰，令()E X X =，即12X θ+=，解得$1121ni i X X X n θ==-=∑,为θ的矩估计量；(II) 似然函数11110,()(;),n ni i i x L f x θθθθ=⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪==-⎨⎝⎭⎪⎩∏其他，当1i x θ≤≤时，11111()()nni L θθθ===--∏，则1ln ()ln()L n θθ=--. 从而dln d 1L nθθθ=-()，关于θ单调增加，所以$12min nX X X θ={,,,}L 为θ的最大似然估计量.文档内容由经济学金融硕士考研金程考研网整理发布。

武大考研线代(高代)2017 2015考研真题

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1 1 1 五、已知矩阵 A 1 1 0 ，求正交矩阵 Q 和对角线元素为负的上三角形矩阵 R ，是
1 0 1 A QR .
六、 A 是 n 阶实对称矩阵，其正负惯性指数分别是 p, q ， f x X ' AX ，记
N f x f x 0, x R n ，证明：
n
bji y j 0,i 1, 2,, n m 的一个基础解系.
j 1
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六、（25 分）设 A 为 m n 矩阵， B 为 n p 矩阵,
（1）证明： rank A rank B ；（2）证明： rank AB rank A rank B n ；（3）记 C 为 A 的一个 s t 子矩阵，证明： rank C rank A s t m n .
nr 1
nr 1
② 是 S 元素的充要条件是存在 ki ,i 1, 2,, n r 1 ， ki 1，使得 kii .
i 1
i 1
三、已知 A 为实正交矩阵， det A 1，证明存在正交矩阵 P ，使得
1 P ' AP 0
0
0 cos sin
0
sin
cos
，其中 cos
a11
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武汉大学 2017 年线性代数考研试题
一、（25 分）向量组（I）1,2 ,, r 线性无关，且可以由向量组（Ⅱ） 1, 2 ,, s 线性表出。证明：（1） r s ；（2）必要时对向量组（Ⅱ）重新编号，再用向量组（I）替换向量组（Ⅱ）的前 r 个向量，得到的向量组（Ⅲ）1,2 ,, r , r1, s 与向量组（Ⅱ）等价.
（1）包含于 N f 的线性空间维数至多是 n max p, q .

线性代数历年考研真题.pdf

(A)当|A| = a ̸= 0时, |B| = a (B)当|A| = a ̸= 0时, |B| = −a
2
(C)当|A| ̸= 0时, |B| = 0
(D)当|A| = 0时, |B| = 0
8.【04数三】设n阶矩阵A的伴随矩阵A∗ ̸= O, ξ1, ξ2, ξ3, ξ4是非齐次线性方程组Ax = b的互不
(B)若α1, α2, ..., αs线性相关, 则若对于任意一组不全为0的数k1, k2, ..., ks, 都有k1α1 + k2α2 +
... + ksαs = 0 (C)α1, α2, ..., αs线性无关的充要条件是其秩为s (D)α1, α2, ..., αs线性无关的充要条件是其中任意两个向量都线性无关 7.【04数三/四】设n阶矩阵A与B等价, 则( ).
(B)α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1
(C)α1 − 2α2, α2 − 2α3, α3 − 2α1 (D)α1 + 2α2, α2 + 2α3, α3 + 2α1
13.【07数一/二/三/四】设矩阵A
=
2 −1
−1 2
−1 −1
,
B
=
1 0
0 1
0 0
,
则A与B(
).
−1 −1 2
0 0 1
1 0 0
,
P2
=
1 0 0
0 0 1
0 1 0
0 0 0
,
其中A可逆,
则B−1
=
(
).
0001
0001
(A)A−1P1P2
(B)P1A−1P2

2004-2015年考研线代试题整理(数三)(学生复印)

）
c1， c2， c3 ， c4为任意常数，则下列向量组线性相关的是（
（A） 1 ， 2， 3 （C） 1 ， 3， 4 （B） 1 ， 2， 4 （D） 2， 3， 4
2010 年每小题 4 分(5) 设向量组Ⅰ： 1， 2，下列命题正确的是（A）若向量组Ⅰ线性无关，则 r s （C）若向量组Ⅱ线性无关，则 r s
2 1 0 (A) 1 1 0 . 0 0 2 2 0 0 (C) 0 1 0 . 0 0 2
1 1 0 (B) 1 2 0 . 0 0 2 1 0 0 (D) 0 2 0 . 0 0 2
*
O A | A | 2,| B | 3 ，则分块矩阵的伴随矩阵为 B O
(A)
O 2A O 2B
* *
3B* . O 3 A* . O
2
(B)
O 3A O 3B
* *
2 B* . O 2 A* . O
(A) a , d
)
(B) a , d
(C) a , d (D) a , d
1 2 3 4 2014 年（20）（本题满分 11 分）设 A 0 1 1 1 ， E 为 3 阶单位矩阵。 1 2 0 3
4.3 向量组的秩 4.4 线性方程组的解的结构
1 1 1 1 2015 年每小题 4 分(5)设矩阵 A 1 2 a , b d .若集合 1, 2 ，则线性方程组 1 4 a 2 d2
Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 (
1 （A） 2 1 2 （C） 1 2

考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析)

考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A=(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵．A*为A的伴随矩阵．若(1，0，1，0)T是方程组Ax=0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可为A．α1，α3．B．α1，α2．C．α1，α2，α3．D．α2，α3，α4正确答案：D解析：首先，4元齐次线性方程组A*x=0的基础解系所含解向量的个数为4一r(A*)，其中r(A*)为A*的秩，因此求r(A*)是一个关键．其次，由Ax=0的基础解系只含1个向量，即4一r(A)=1，得r(A)=3，于是由r(A*)与r(A)的关系，知r(A*)=1，因此，方程组A*x=0的基础解系所含解向量的个数为4一r(A*)=3，故选项A、(B)不对．再次，由(1，0，1，0)T是方程组Ax=0或x1α1+x2α2+x3α3 +x4α4=0的解，知α1+α3=0，故α1与α3线性相关，于是只有选项D正确．知识模块：线性方程组2．设矩阵A=，若集合Ω={1，2}，则线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件为A．B．C．D．正确答案：D解析：对方程组的增广矩阵施行初等行变换(化成阶梯形)：由于方程组有无穷多解，当然不能有唯一解，所以有(a一1)(a一2)=0，即a=1或a=2，此时系数矩阵的秩为2，由有解判定定理知，当且仅当a∈Ω且d∈Ω，所以选D．知识模块：线性方程组3．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分条件是A的A．列向量组线性无关．B．列向量组线性相关．C．行向量组线性无关．D．行向量组线性相关．正确答案：A 涉及知识点：线性方程组4．设齐次线性方程组的系数矩阵为A，且存在3阶方阵B≠O，使AB=O，则A．λ=一2且｜B｜=0．B．λ=一2且｜B｜≠0．C．λ=1且｜B｜=0．D．λ=1且｜B｜≠0．正确答案：C 涉及知识点：线性方程组5．设α1，α2，α3是4元非齐次线性方程组Ax=b的3个解向量，且秩(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α2+α3=(0，1，2，3)T，c表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解x=A．B．C．D．正确答案：C解析：由Ax=b的解的结构知关键在于求出Ax=0的基础解系，由于Ax=0的基础解系所含解向量个数为4一秩(A)=4—3=1，因此Ax=0的任意一个非零解都可作为Ax=0的基础解系．易知ξ=2α1一(α2+α3)=(2，3，4，5)T是Ax=0的一个非零解，故ξ可作为Ax=0的基础解系，所以，Ax=b的通解为x=α1+c ξ，只有选项C正确．知识模块：线性方程组填空题6．若方程组有解。

2015年考研数学一真题及答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。

(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。

因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.(2)设是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，212xe 、为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数条件收敛，则 =x 3=x 依次为幂级数的 ( )(A) 收敛点，收敛点(B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。

2015年考研数学二真题及答案

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C) (D)【答案】D。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

；；；，因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数在(-∞,+∞)内(A) (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“”型极限，直接有,在处无定义，且所以是的可去间断点，选B。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数().若(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】易求出再有于是，存在此时.当，，=因此，在连续。

选A综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-∞,+∞)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为 A O B(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】在(-∞,+∞)内连续，除点外处处二阶可导。

的可疑拐点是的点及不存在的点。

的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧，对应的点就是的拐点。

虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数满足则与依次是(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，作极坐标变换，将化为累次积分。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)下列反常积分中收敛的是（）（A）2+∞⎰（B ）2ln xdx x+∞⎰(C)21ln dx x x+∞⎰(D)2xx dx e +∞⎰(2)函数20sin ()lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内（）（A ）连续（B ）有可去间断点（C ）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点(3)设函数1cos ,0()0,0x x f x xx αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>，若()f x 在0x =处连续，则（）（A ）1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤(4) 设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3(5).设函数(u v)f ，满足22(,)yf x y x y x +=-，则11u v fu ==∂∂与11u v f v==∂∂依次是（）（A ）12,0 (B)0，12（C ）-12,0 (D)0 ,-12(6). 设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰=（）（A ）12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r drπθπθθθθ⎰⎰（B）24(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰（C ）13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（D）34(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰(7)．设矩阵A=211112a 14a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，b=21d d ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,若集合Ω=}{1,2，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（）（A ）,a d ∉Ω∉Ω (B),a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω(8)设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232,y y y +-其中123P=(e ,e ,e )，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为（）(A):2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设2231arctan ,3t x t d ydx y t t==⎧=⎨=+⎩则（10）函数2()2xf x x =在0x =处的n 阶导数()(0)n f=（11）设函数()f x 连续，20()(),x x xf t dt ϕ=⎰若(1)ϕ1=，'(1)5ϕ=，则(1)f =（12）设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取值3，则()y x = （13）若函数(,)z z x y =由方程231x y zexyz +++=确定，则(0,0)dz =（14）设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B =三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x x bx x α=+++，2()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求,,a b k 的值。

09_15年考研线代201504

1．（2009，数一，4分) 设α1, α2, α3是3维向量空间R 3的一组基, 则又基12311,,23ααα到基α1+α2, α2+α3, α3+α1的过渡矩阵为(A) 101220033⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (B) 120023103⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (C) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---614121614121614121. (D) 111222111444111666⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. 【】2．（2009，数一、数二、数三，4分)设A , B 均为2阶矩阵, A*, B*分别为A , B 的伴随矩阵, 若|A |=2, |B |=3, 则分块矩阵O A B O ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的伴随矩阵为 (A) **32OB A O ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (B) **23O B A O ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (C) **32OA BO ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (D) **23O A BO ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【】3．（2009数二、数三，4分)设A ,P 均为3阶矩阵, P T 为P 的转置矩阵, 且.200010001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=AP P T若P =(α1, α2, α3), Q =(α1+α2, α2, α3), , 则Q T AQ 为【】(A) .200011012⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ (B) .200021011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ (C) .200010002⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ (D) .200020001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡4．（2009，数一，4分) 若3维列向量α, β 满足αT β =2, 其中αT 为α的转置, 则矩阵βαT 的非零特征值为5．（2009，数二，4分)设α, β为3维列向量βT 为β的转置, 若矩阵αβT 相似于⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000002, 则βT α = .6．（2009，数三，4分)设α =(1, 1, 1)T , β =(1, 0, k )T . 若矩阵αβT 相似于⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000003, 则k = .7．（2009，数一、数二、数三，11分)设 111111042A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦, 1112ξ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(I) 求满足 A ξ2 = ξ1 , A 2ξ3 = ξ1的所有向量ξ2 , ξ3 .(II) 对(I)中的任意向量ξ2 , ξ3 , 证明 ξ1 , ξ2 , ξ3线性无关. 8．（2009，数一、数二、数三，11分) 设二次型2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-(I) 求二次型f 的矩阵的所有特征值；(II) 若二次型f 的规范形为2212y y +, 求a 的值. 9．（2010，数一，4分) 设A 为m ⨯n 矩阵, B 为n ⨯m 矩阵, E 为m 阶单位矩阵, 若AB =E , 则(A) 秩 r (A )= m , 秩 r (B )= m . (B) 秩 r (A )= m , 秩 r (B )= n .(C) 秩 r (A )= n , 秩 r (B )= m . (D) 秩 r (A )= n , 秩 r (B ) = n . 【】 10．（2010，数一、数二、数三，4分)设A 为4阶实对称矩阵, 且A 2+A =O , 若A 的秩为3, 则A 相似于(A) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0111. (B) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-0111 . (C) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0111. (D) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0111. 【】11．（2010，数二、数三，4分) 设向量组I: α 1, α2 , ⋅⋅⋅ , α r 可由向量组II: β1, β2 , ⋅⋅⋅ , β s 线性表示, 则列命题正确的是(A) 若向量组I 线性无关, 则r ≤ s . (B) 若向量组I 线性相关, 则r > s .(C) 若向量组II 线性无关, 则r ≤ s . (D) 若向量组II 线性相关, 则r > s . 【】12．（2010，数一，4分) 设,),1,1,2(,)2,0,1,1(,)0,1,2,1(321T T T a ==-=ααα 若由α 1 , α2, α 3生成的向量空间的维数为2, 则a = ________ .13．（2010，数二、数三，4分) 设A , B 为3阶矩阵, 且| A |=3, | B |=2, |A -1+B |=2, 则 |A +B -1|= _______ .14．（2010，数一、数二、数三，11分) 设 ,1101011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλλA ,11⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a b已知线性方程组Ax = b 存在2个不同的解,(I) 求λ , a ；(II) 求方程组Ax = b 的通解. 15．（2010，数一，11分) 已知二次型 f (x 1 , x 2 , x 3)= x T Ax 在正交变换 x = Q y 下的标准型为2212y y +，且Q 的第三列为T)22,0,22(. (Ⅰ) 求矩阵A ；(Ⅱ）证明A +E 为正定矩阵，其中E 为3阶单位矩阵.16．（2010，数二、数三，11分)设,0431410⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a A 正交矩阵Q 使得Q T AQ 为对角矩阵,若Q 的第1列为T )1,2,1(61,求a , Q ． 17．（2011，数一、数二、数三，4分) 设A 为3阶矩阵, 将A 的第2列加到第1列得矩阵B ,再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵, 记 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000110011P , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010*******P , 则A =(A) P 1 P 2 . (B) P 1-1 P 2 . (C) P 2 P 1 . (D) P 2 P 1-1. 【】18．（2011，数一、数二，4分) 设A = (α 1, α 2 , α 3 , α 4 )是4阶矩阵, A*为A 的伴随矩阵, 若(1, 0, 1, 0) T 是线性方程组Ax =0 的一个基础解系, 则A* x = 0的基础解系可为(A) α 1, α 3 . (B) α 1, α 2 . (C) α 1, α 2 , α 3 . (D) α 2 , α 3 , α 4. 【】19．（2011，数三，4分) 设A 为4⨯3矩阵, η1 ,η2 ,η3是非齐次线性方程组Ax =β 的3个线性无关的解, k 1 , k 2 为任意常数, 则Ax =β 的通解为 (A))(212132ηηηη-++k . (B))(212132ηηηη-+-k .(C))()(213212132ηηηηηη-+-++k k (D))()(213212132ηηηηηη-+-+-k k .【】20．（2011，数一，4分) 若二次曲面的方程x 2 +3y 2 +z 2 +2 a x y +2x z +2y z = 4经正交变换化为y 1 2 +4z 1 2 = 4, 则a = _________ . 21．（2011，数二，4分) 若二次型 f (x 1, x 2, x 3)= x 12+3x 2 2+x 3 2 +2x 1x 2 +2x 1x 3 +2x 2 x 3 , 则f 的正惯性指数为______ . 22．（2011，数三，4分) 设二次型f (x 1 , x 2 , x 3)= x T Ax 的秩为1, A 的行元素之和为3, 则f 在正交变换x =Q y 下的标准形为 _____________ . 23．（2011，数一、数二、数三，11分) 设向量组α 1= (1, 0, 1)T , α 2 =(0, 1, 1)T , α 3 =(1, 3, 5)T 不能由向量组 β 1 =(1, 1, 1)T ,β 2 = (1, 2, 3)T , β 3 = (3, 4, a )T 线性表示. (I) 求a 的值 .(II) 将β 1, β 2 , β 3用α 1, α 2 , α 3线性表示 .24．（2011，数一、数二、数三，11分) 设A 为3阶实对称矩阵, A 的秩R (A )=2, 且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110011110011A , 求 (I) A 的特征值与特征向量； (II) 矩阵A .25．（2012，数一、数二、数三，4分) 设1100c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3311c α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411c α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ , 其中1c ，2c ，3c ，4c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为(A) α 1, α 2 , α 3 . (B) α 1, α 2 , α 4 . (C) α 1, α 3 , α 4 . (D) α 2 , α 3, α 4 . 【】26．（2012，数一、数二、数三，4分) 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-1AP=100 010 002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.若P=(α 1,α 2,α 3), Q=(α 1+α 2,α 2,α 3), 则Q-1AQ =(A)100020001⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭. (B)100010002⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭. (C)200010002⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭. (D)200020001⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭. 【】27．（2012，数一，4分) 设α为三维单位列向量，E为3阶单位矩阵，则矩阵E-ααT的秩为_______ .28．（2012，数二、数三，4分) 设A为3阶矩阵，|A|= 3,A*为A伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则| B A*| = ________ .29．（2012，数一、数二、数三，11分) 设10010101,00100010aaAaaβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(I) 计算行列式| A | ;(II) 当实数a为何值时，方程组Ax =β有无穷多解，并求其通解.30．（2012，数一、数二、数三，11分) 已知1010111001Aaa⎛⎫⎪⎪=⎪-⎪-⎝⎭，二次型f (x 1, x2, x3) = x T(A T A)x 的秩为2(I) 求实数a的值；(II) 求正交变换x =Q y将f化为标准型.31. （2013，数一、数二、数三，4分) 设A , B , C 均为n 阶矩阵. 若A B = C , 且B 可逆 , 则(A) 矩阵C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价. (B) 矩阵C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价. (C) 矩阵C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价.(D) 矩阵C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价. 【】32．（2013，数一、数二、数三，4分)矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件为(A) a =0, b =2 . (B) a =0, b 为任意常数 . (C) a =2, b =0 . (D) b =0, a 为任意常数. 【】 33．（2013，数一、数二、数三，4分)设A =(a i j )是三阶非零矩阵 , |A |为A 的行列式, A i j 为a i j 的代数余子式. 若a i j +A i j =0 (i , j =1, 2, 3), 则 |A | = ___________ .34. （2013，数一、数二、数三，11分) 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=011a A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b B 110. 当a , b 为何值时, 存在矩阵C 使得 AC -CA = B , 并求所有矩阵C .35．（2013，数一、数二、数三，11分)设二次型f (x 1, x 2, x 3) =2(a 1 x 1+a 2 x 2+a 3 x 3)2 + (b 1 x 1+b 2 x 2+ b 3 x 3)2, 记α =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321a a a , β=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321b b b .(I) 证明二次型f 对应的矩阵为 2 α α T +β β T ；(II) 若α , β 正交且均为单位向量, 证明f 在正交变换下的标准形为 2 y 12+y 22 . 36．（2014，数一、数二、数三，4分)行列式0000000a b abc d c d= (A)2()ad bc - (B)2()ad bc -- (C)2222a dbc - (D)2222b c a d - 【】37．（2014，数一、数二、数三，4分)设123,,ααα均为三维向量，则对任意常数,k l ,向量组13k αα+,23l αα+线性无关是向量组()123=B ααα线性无关的(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【】38．（2013，数一、数二、数三，4分) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数是1，则a 的取值范围_________.设 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=302111104321A , E 为3阶单位矩阵.(I) 求方程组 Ax = 0的一个基础解系； (II) 求满足 AB =E 的所有矩阵B .40．（2014，数一、数二、数三，11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L与00100200n ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭L L L L L L L相似.41．（2015，数一、数二、数三，4分)设矩阵21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,21d d ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b . 若集合Ω ={ 1, 2 }，则线性方程组A x = b 有无穷多解的充分必要条件为【】 (A) a ∉ Ω , d ∉Ω . (B) a ∉ Ω , d ∈Ω . (C) a ∈Ω , d ∉Ω . (D) a ∈ Ω, d ∈Ω .42．（2015，数一、数二、数三，4分)设二次型 f (x 1, x 2 , x 3 ) 在正交变换x = P y 下的标准形为2y 12+ y 22 - y 32，其中P =( e 1 , e 2, e 3) . 若Q =( e 1 , -e 3, e 2) , 则f (x 1, x 2 , x 3 )在正交变换x = Q y 下的标准形为【】(A) 2y 12- y 22 + y 32. (B) 2y 12+ y 22 - y 32. (C) 2y 12- y 22 - y 32. (D) 2y 12+ y 22 + y 32.43．（2015，数一，4分) n 阶行列式2002120200220012-- = _____________ .44．（2015，数二、数三，4分) 设3阶矩阵A 的特征值为2, -2, 1, B =A 2-A +E , 其中E 为3阶单位矩阵，则行列式| B | =_____________ . 45．（2015，数一) (本题满分11分)设向量组 α 1, α 2 , α 3为R 3的一个基, β 1=2α 1+2k α 3 , β 2 = 2α 2 , β 3 = α 1+ ( k +1) α 3 . （I ）证明向量组β 1, β 2 , β 3 为R 3的一个基；（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ 在基α 1, α 2 , α 3与基β 1, β 2 , β 3下的坐标相同，并求所有的ξ .设矩阵101101aaa⎛⎫⎪-⎪⎪⎝⎭A=，且A3 = 0.(I)求a的值；(II)若矩阵X满足X-XA2-AX+AXA2 = E，其中E为3阶单位矩阵，求X . 47．（2015，数一、数二、数三) (本题满分11分)设矩阵02313312a-⎛⎫⎪=--⎪⎪-⎝⎭A相似于矩阵12000031b-⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭B=.(I)求a, b的值；(II)求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵.。

2015考研数学真题(数一)

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞（-,+）连续，其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）32、设21123x x y e x e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解，则（）（A ）3,1, 1.a b c =-=-=- （B ）3,2, 1.a b c ===- （C ）3,2, 1.a b c =-== （D ）3,2, 1.a b c ===3、若级数1n n a ∞=∑条件收敛，则3x =3x =依次为幂级数()11nn n na x ∞=-∑的：（A ）收敛点，收敛点（B ）收敛点，发散点（C ）发散点，收敛点（D ）发散点，发散点4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,3y x y x ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（A ）12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（B ）sin 22142sin 2(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（C ）13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（D ）sin 23142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰5、设矩阵21111214A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{1,2}Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω （C ）,a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω6、设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)P e e e =，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Qy =下的标准形为（A ）2221232y y y -+ （B ）2221232y y y +- （C ）2221232y y y -- （D ）2221232y y y ++ 7、若,A B 为任意两个随机事件，则（A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥（C ）()()()2P A P B P AB +≤（D ）()()()2P A P B P AB +≥8、设随机变量X,Y 不相关，且2,1,3,EX EY DX ===则()2E X X Y +-=⎡⎤⎣⎦ （A ）-3 （B ）3 （C ）-5 （D ）5二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、20ln cos limx xx →=10、2-2sin ()1cos xx dx xππ+=+⎰11、若函数(,)z z x y =由方程+cos 2ze xyz x x ++=确定，则(0,1)dz=.12、设Ω是由平面1x y z ++=与三个坐标平面所围成的空间区域，则(23)x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰=13、n 阶行列式2002-1202002200-12L L M M O M M LL=14、设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布(1,0;1,1;0)N ，则(0)P XY Y -<=.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++⋅，3()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求a ，b ，k 值。