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平面向量的数量积

1．平面向量的数量积

平面向量数量积的定义

已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cosθ叫做a和b的数量积 (或内积 )，记作 a·b.即 a·b＝ |a||b|cos θ，规定 0·a＝0.

2．向量数量积的运算律

(1)a·b＝ b·a.(2)(λa) ·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋

b) ·c＝a·c＋b·c.

3．平面向量数量积的有关结论

已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2， y2)

结论几何表示坐标表示

模 2 2

|a|＝ a·a |a|＝ x1＋ 1

y

cos θ＝a·b x x ＋y y

夹角 1 2 1 2

cos θ＝ 2 2 22

|a||b| x1＋y1· x2＋ y2 a⊥b 的充要条件a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0

a·b

(1)求两向量的夹角： cos θ＝|a|·|b|，要注意θ∈ [0，π]．

(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b? a·b＝0? |a－b|＝ |a ＋b|.

(3)求向量的模：遇模则平方

①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝ a·a.

②|a±b|＝ a±b 2＝ a2±2a·b＋ b2.

③若 a＝(x， y)，则 |a|＝x2＋y2.

原理：在用 |a|＝a2求向量的模时，一定要把求出的a2再进行开方．