微分方程数值解法(信息与计算科学专业核心课程)

f (t , u1 ) − f (t , u2 )
≤ L u1 − u2
(1.2)
则（1.1）的解存在且唯一。
不是所有的初值问题(1.1)都有解析解u(t)的。因此， 对于科学和工程目的，有必要用逼近方法求出其近似解， 若要求解有多位有效数字，则需要更多的计算量和复杂的 算法。 逼近方法求解初值问题一般可分为两类： 近似解析方法 级数法和Picard逐步逼近法 数值解法
1.2 Euler法 考虑初值问题(1.1)，首先将区间[t0,T]划分为N个 等距小区间，小区间长度
T − t0 h= N
并选取网格点, 点列
ti=ih,i=0,1,…,N(不妨设t0=0)。已知u(0)=u0,则可计算
f (t0 , u (t0 )) = f (t0 , u0 ) = u ′(t0 ) ,
un +1 = un + h f (tn +1 , un +1 ) n = 0, 1, 2, L, N − 1
这就是求解初值问题的隐式Euler公式。
(1.5)
将Euler与隐式Euler公式做算术平均，可得梯形公式： h un +1 = un + [ f (tn , un ) + f (tn +1 , un +1 ) ] 2 (1.6) n = 0, 1, 2, L, N − 1
)
2 2 = un + 0.1× t n + 100un
(
)
由初值 u (0) = u0 = 0，计算得 2 2 u ( 0 .1) ≈ u1 = u0 + 0.1× t0 + 100u0
( ) = 0.0 + 0.1× (0.1 + 100 × 0.0 ) = 0.0010 u(0.3) ≈ u = u + 0.1× ( t + 100u )
[*]
(
)
在实际计算中，通常要求满足如下不等式：
[ [ u nk++ 1] − u nk+]1 < ε 1
此时取 [k +1] 作为 的近似 u(tn +1 ) un+1 做为终止条件， 值 。
un+1
为了避免求解非线性代数方程，可以用Euler法将它显化， 建立预测——校正系统：
un +1 = un + hf (t n , un )
所谓微分方程数值解法，就是研究利用计算机 求解微分方程的近似解的数值方法及相关理论 。 《微分方程数值解法》是“信息与计算科学”专 业的专业基础课程之一，与数值代数、数值逼近和 计算几何统称三大核心课程。
本课程主要研究用计算机求解微分方程问题 的数值计算方法及其理论与软件实现 主要内容包括： 常微分方程初值问题数值解法
o
t1
t2
L
tN
t
利用Taylor公式，在t=tn+1处将u(tn)展开成： 1 u ( tn ) = u ( tn +1 ) − u ′ ( tn +1 ) h + u ′′ (ξ ) h 2 2! 1 − u ′′ (ξ ) h 2 , 用un近似代替u(tn)得： 舍去二次项 2! 一般的计算公式为：
[
如此迭代下去得到迭代序列： [ [] [ [ L L un0+]1 ，un1+1 ，u n2 ]1 ， ，u nk+]1 ， +
[ [ 若序列 { unk+]1 }k =0收敛于 un*+]1，当
∞
k →∞
时，得到：
[ u n +1 = u n*+]1 为第n+1个近似值。 则取
h [*] un +1 = un + f (tn , un ) + f (tn +1 , un +1 ) 2
数学界的战略科学家吴文俊
吴文俊，1919年出生，早年毕业于上海交通大学 数学系,1949年获法国Strassbourg大学博士学位，1957 年当选中科院学部委员(后改为院士)。现任中国科学 院系统科学研究所名誉所长。1991年当选第三世界科 学院院士。 1991年，吴文俊任国家科委攀登项目“机器证明及其应用”首席科学家。 从1956年到2001年，他曾先后获得国家自然科学一等奖、第三世界科学院 数学奖、陈嘉庚数理科学奖、香港求是科技基金会杰出科学家奖、国际Herbrand 自动推理杰出成就奖、首届国家最高科技奖等。 八十年代，美国计算机科学界的权威曾联名写信给我国中央领导，认为吴先 生的工作是“第一流的”，“独自使中国在该领域走上了世界领导的岗位”。 他所以能取得如此的成就,一个重要的因素是他对中国古代数学的深刻理解。 中国古代数学是构造性的，可计算的，而只有构造性的数学才可能在计算机 上实现。
微分方程包括：常微分方程(ODE)和偏微分方程(PDE)
在科学、技术和工程中的大量数学模型都可以用微分方程 来描述, 很多近代自然科学的基本方程本身是微分方程。 人们一 直用微分方程来解释、预见各种自然现象，不断取得了显著成 绩。遗憾的是，绝大多数微分方程定解问题的解不能以实用的 解析形式来表示。 这就产生了理论和应用的矛盾： 一方面，人们列出了反应客观现象的各类微分方程，建立 了大量实用的数学模型； 一方面，人们又无法得到这些方程的准确解以定量的描述 客观过程。 随着计算机技术的出现和发展，解决上述矛盾的一门科学 ——微分方程的数值解法，得到了前所未有的发展和应用。
从而要用如下迭代公式： 取初值为
un +1 = u n ， 反复迭代，即
[0 ]
un +1
3 2 1
0 h 1 2 = un + f (t n , un ) + f (t n +1 , un +1 ) 2
[
] ]
一般的迭代公式表示为：k= 0,1,2,…,
un +1
[k +1]
h [k ] = un + f (t n , un ) + f (tn +1 , un +1 ) 2
线性多步法 有限差分法 单步法
u ′ = f (t , u ) u (t0 ) = u0
Δu = f
∂u ∂ 2u =a 2 + f ∂t ∂x ∂ 2u ∂ 2u = a2 2 ∂t 2 ∂x
偏微分方程数值解法
有限元法
课程的特点：
一、通过对典型、常用的数值方法的研究，进一步了解 构造数值方法的基本思想、技巧； 二、通过掌握数值方法所涉及的基本概念和基本理论（如 稳定性、收敛性、误差估计等），使我们具有一定的理论分析 能力； 三、通过数值实验，运用所学的数值方法求出数值结果， 培养实际解题能力。
⎧ u = f (t , u ), ⎨ ⎩ u (a) = u
'
0
a≤t ≤b
(1.1)a (1.1)b
或与其等价的积分方程
u (t ) = u0 + ∫ f (τ , u (τ ))dτ
a
t
若f(t,u)关于u满足Lipschitz条件，即存在常数L，对任意 t∈[a,b]和u1，u2∈（-∞, ∞）均成立着
授课方式
课堂授课：64学时 课堂授课： 计算实验：24学时 计算实验：
考试方法
总评成绩=平时作业+课堂测验+期末考试成绩 期末试题：涵盖了全书的基本知识点，特点是 期末试题： 题量较大，知识点较多，无偏题和难题。 评分标准：作业成绩（按A\B\C记载）占10%左 评分标准： 右，课堂测验占10%左右，期末考试成绩占80%左右
2
3
= 0.0 + 0.1× (0.0 + 100 × 0.0 ) = 0.0000 u(0.2) ≈ u2= u1 + 0.1× t12 + 100u12
2 2 2 2
(
)
2
= 0.0010 + 0.1× 0.2 2 + 100 × (0.0010 )
(
2
) = 0.0051
Euler法（切线法）的几何解释
主讲教材 微分方程数值解法
（第三 版）
李荣华 冯果忱
编
高等教育出版社
参考书目 (Reference)
科学计算中的偏微分方程有限差分法 张文生 编著（高等教育出版社） 微分方程数值方法 胡建伟 汤怀民 著 （科学出版社）
知识，只有当它靠积极的 思考得来而不是凭记忆得来的 时候，才是真正的知识。 列夫 ⋅ 托尔斯泰
这里u1是u(t1)的近似值，利用u1又可以算出u2,如此下去 可算出u(t)在所有节点上的近似值。 一般的计算公式为：
un +1 = un + h f (tn , un ) n = 0, 1, 2, L, N − 1 (1.4)
这就是求解初值问题的Euler公式。 Euler方法是最简单的数值方法。
tn+1
右端积分项使用右矩形求积公式，则得
∫
tn+1 tn
f (t , u (t ))dt ≈ h f (tn +1 , u (tn +1 ))
则用un替代u(tn)得: un +1 = un + h f (tn +1 , un +1 ) 隐Euler公式，又称右矩形公式。 显然梯形公式与Euler公式相比要精确的多（由于两 种数值积分公式的代数精度不同）。 但是梯形公式的计 算量要大一些。 每步计算要解一个非线性关于un+1方程。
微分方程数值解法
信息与计算科学专业核心课程
数学科学学院
课程基本情况
课 程名称：
微分方程数值解法法 Numerical Solution of Equation