2019年江苏高考数学试题
2019年江苏高考试题(数学_word解析版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（全卷满分160分，考试时间120分钟）参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．（2019年江苏省5分）已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B = ▲ ．【答案】{}1,2,4,6。
【考点】集合的概念和运算。
【分析】由集合的并集意义得{}1,2,4,6AB =。
2．（2019年江苏省5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生． 【答案】15。
【考点】分层抽样。
【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。
将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。
因此，由350=15334⨯++知应从高二年级抽取15名学生。
3．（2019年江苏省5分）设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ▲ ． 【答案】8。
【考点】复数的运算和复数的概念。
【分析】由117ii 12i a b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i 12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++，所以=5=3a b ，，=8a b + 。
4．（2019年江苏省5分）下图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．【答案】5。
【考点】程序框图。
【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：是否继续循环k 2k 5k 4-+循环前 0 0 第一圈 是 1 0 第二圈 是 2 －2 第三圈 是 3 －2 第四圈 是 4 0 第五圈 是 5 4 第六圈否输出5∴最终输出结果k=5。
2019年江苏省高考数学试卷及答案(Word解析版)
2019年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
请把答案填写在答题卡相印位置上。
1．函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 ．【答案】π【解析】T ＝|2πω |＝|2π2 |＝π．2．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ． 【答案】5【解析】z ＝3－4i ，i 2＝－1，| z |＝＝5．3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ． 【答案】x y 43±= 【解析】令：091622=-y x ，得x x y 431692±=±=． 4．集合}1,0,1{-共有 个子集．【答案】8【解析】23＝8．5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ． 【答案】3【解析】n ＝1，a ＝2，a ＝4，n ＝2；a ＝10，n ＝3；a ＝28，n ＝4． 6则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ． 【答案】2【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：9059288919089=++++=x ．方差为：25)9092()9088()9091()9090()9089(222222=-+-+-+-+-=S ． 7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ， 都取到奇数的概率为 ．【答案】6320 【解析】m 取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则n m ，都取到奇数的概率为63209754=⨯⨯． 8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ．【答案】1：24【解析】三棱锥ADE F -与三棱锥ABC A -1的相似比为1：2，故体积之比为1：8．又因三棱锥ABC A -1与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：3．所以，三棱锥ADE F -与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：24．9．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) ．若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ． 【答案】[—2，12 ]【解析】抛物线2x y =在1=x 处的切线易得为y ＝2x —1，令z ＝y x 2+，y ＝—12 x ＋z 2 ． 画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，z min ＝—2，过点(12 ，0)时，z max ＝12 ．10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=， 若21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ． 【答案】12【解析】)(32213221AC BA AB BC AB BE DB DE ++=+=+=xAB C1A DE F1B1C213261λλ+=+-=所以，611-=λ，322=λ，=+21λλ12 ． 11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
2019年江苏高考数学试卷及答案
2019年江苏高考数学试卷及答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B =▲.2．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是▲.3．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是▲.4．函数y =的定义域是▲.5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是▲.6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是▲.7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是▲.8．已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是▲.9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是▲.10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是▲.11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是▲.12．如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅ ，则ABAC的值是▲.13．已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是▲.14．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是▲.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin(2B π+的值．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．18．（本小题满分16分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位:百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．19．（本小题满分16分）设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<= ，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427．20．（本小满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c + 成立，求m 的最大值．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1n a +=+*,a b ∈N ，求223a b -的值.23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N 令n n n n M A B C = .从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当n =1时，求X 的概率分布；数学试卷参考答案1.{1,6}2.23.54.[1,7]- 5.536.7107.y =8.169.1010.411.(e, 1)13.21014.12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭15.解：（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以33c =.（2）因为sin cos 2A Ba b =，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos 5B =.因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.16.证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB ∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED ⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为AB=BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC1⊥BE.因为C1C ⊂平面A1ACC1，AC ⊂平面A1ACC1，C1C ∩AC=C 所以BE ⊥平面A1ACC1.因为C1E ⊂平面A1ACC1，所以BE ⊥C1E.17.解：（1）设椭圆C 的焦距为2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=52，AF2⊥x 轴，所以32==，因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a=2，因为AF2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16，解得y=±4.因为点A 在x 轴上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-.将115x =-代入22y x =+，得125y =-，因此1112(,)55B --.又F2(1，0)，所以直线BF2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =.又因为E 是线段BF2与椭圆的交点，所以1x =-.将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --.18.（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP<90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B=15，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP>90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ=321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）.19．解：（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-．因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =．（2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-，从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a b x +=．因为2,,3a ba b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠，所以21,3,33a ba b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-．令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：x(,3)-∞-3-(3,1)-1(1,)+∞()f 'x +0–0+()f x极大值极小值所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>，则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得1211,33b b b b b b x x ++==．列表如下：x1(,)x -∞1x ()12,x x 2x 2(,)x +∞()f 'x +0–0+()f x极大值极小值所以()f x 的极大值()1M f x =．()321111(1)M f x x b x bx ==-++()()221111211(1)32(1)3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤．20．解：（1）设等比数列{an}的公比为q ，所以a1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠．由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =.由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{bn}的通项公式为bn=n ()*n ∈N .②由①知，bk=k ，*k ∈N .因为数列{cn}为“M –数列”，设公比为q ，所以c1=1，q>0.因为ck ≤bk ≤ck+1，所以1k k q k q -≤≤，其中k=1，2，3，…，m.当k=1时，有q ≥1；当k=2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-．设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x -=．令()0f 'x =，得x=e.列表如下：x(1,e)e (e ，+∞)()f 'x +–f （x ）极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k=1，2，3，4，5时，ln ln kq k，即k k q ≤，经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6.综上，所求m 的最大值为5．数学Ⅱ(附加题)参考答案21．A ．[选修4–2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==.B ．[选修4–4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）设极点为O.在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB==.（2）因为直线l 的方程为sin(34ρθπ+=，则直线l 过点2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin(242ππ⨯-=.C ．[选修4–5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．解：当x<0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x<–13：当0≤x ≤12时，原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解；当x>12时，原不等式可化为x+2x –1>2，解得x>1.综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.22.解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥ ，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n n n n n n n a a ---====，44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==．因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n=+02233445555555C C C C C C =++++a =+因为*,a b ∈N ，所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．23．解：（1）当1n =时，X的所有可能取值是12．X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======，22662222(2),(C 15C 15P X P X ======．（2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点．因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况．①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；③若02b d ==，，则AB =≤，因为当3n ≥n ≤，所以X n >当且仅当AB =，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；④若12b d ==，，则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法．综上，当X n >时，X，且22242442(,(C C n n P X P X ++====．因此，2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-．。
2019年江苏省高考数学试卷及答案(Word版)
YN 输出n 开始1a 2n ←←，1n n ←+32a a ←+20a <结束 （第5题）2019年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏卷）数学Ⅰ 注意事项绝密★启用前考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）.本卷满分为160分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效. 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.函数)42sin(3π-=x y 的最小正周期为 ▲ .解析：2==2T ππ 2.设2)2(i z -=(i 为虚数单位)，则复数z 的模为 ▲ . 解析：()2234,34=5Z i Z =-=+-3.双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ▲ . 解析：3y=4x ±4.集合{}1,0,1-共有 ▲ 个子集. 解析：328=（个）5.右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲解析：经过了两次循环，n 值变为36.抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下： 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ . 解析：易知均值都是90，乙方差较小，()()()()()()()22222221118990909091908890929025n i i s x xn ==-=-+-+-+-+-=∑7.现有某类病毒记作n m Y X ，其中正整数)9,7(,≤≤n m n m 可以任意选取，则n m ,都取到奇数的概率为 ▲ . 解析：m 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7共7个 n 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7,8,9共9个所以总共有7963⨯=种可能 符合题意的m 可以取1,3,5,7共4个 符合题意的n 可以取1,3,5,7,9共5个 所以总共有4520⨯=种可能符合题意 所以符合题意的概率为20638.如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ,,分别是1,,AA AC AB 的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ▲ . 解析：112211111334224ADE ABC V S h S h V ==⨯⨯=所以121:24V V =A BC1ADEF 1B1C9.抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ▲ .解析：易知切线方程为：21y x =-所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为()()()0,00.5,00,1A B C - 易知过C 点时有最小值2-，过B 点时有最大值0.510.设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点，AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+=(21,λλ为实数)，则21λλ+的值为 ▲ .解析：易知()121212232363DE AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r所以1212λλ+=11.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 ▲ . 解析：因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以易知0x ≤时，2()4f x x x =-- 解不等式得到x x f >)(的解集用区间表示为()()5,05,-+∞U12.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ,右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d .若126d d =，则椭圆的离心率为 ▲ . 解析：由题意知2212,bc a b d d c a c c==-= 所以有26b bcc a= 两边平方得到2246a b c =，即42246a a c c -= 两边同除以4a 得到2416e e -=，解得213e =，即33e =13.平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数)0(1>=x xy 图像上一动点，若点A P ,之间最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ▲ . 解析： 由题意设()0001,,0P x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭则有()222222200000200000111112++2=+-2+22PA x a a x a x a x a x a x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令()001t 2x t x +=≥ 则()222=(t)=t 2222PA f at a t -+-≥ 对称轴t a = 1.2a ≤时，22min 2(2)2422428PA f a a a a ==-+∴-+=1a =- ， 3a =（舍去） 2.2a >时，22min 2()228PA f a a a ==-∴-=10a = ， 10a =-（舍去） 综上1a =-或10a =14.在正项等比数列{}n a 中，215=a ，376=+a a .则满足n n a a a a a a a a ......321321>++++的最大正整数n 的值为 ▲ . 解析：2252552667123123115521155223 (1),.222222011521312913236002292212n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a q a q q a a n nq n q n q a -------=+=+-+=∴++++>∴->∴->>-∴->-+∴<<=>∴==Q QQ n N +∈112,n n N +∴≤≤∈又12n =时符合题意，所以n 的最大值为12二、解答题：本大题共6小题，共计90分。
2019年江苏高考数学试题及答案
普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学试题及答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1.已知集合{}123A =，，,{}245B =，，,则集合A B 中元素的个数为_______. 【答案】52.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为________. 【答案】63.设复数z 满足234z i =+(i 是虚数单位),则z 的模为_______.4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S 为________. 【答案】75.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________. 【答案】566.已知向量()21a =，,()2a =-1，,若()()98ma nb mn R +=-∈，,则m-n 的值为______. 【答案】-37.不等式224x x -<的解集为________. 【答案】(-1,2)8.已知tan 2α=-,()1tan 7αβ+=,则tan β的值为_______.【答案】39.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,则新的底面半径为________.10.在平面直角坐标系xOy 中,以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 . 【答案】22(1)2x y -+=11.数列}{n a 满足11=a ,且11+=-+n a a n n (*N n ∈),则数列}1{na 的前10项和为 .【答案】201112.在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点.若点P 到直线01=+-y x 的距离对c 恒成立,则是实数c 的最大值为 .13.已知函数|ln |)(x x f =,⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ,则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 .【答案】414.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ,则∑=+111)(k k k a a 的值为 .【答案】二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（第4题图）15.(本小题满分14分)在ABC 中,已知2,3,60.AB AC A === (1)求BC 的长; (2)求sin2C 的值.解:(1)由余弦定理得,7BC =(2)由正弦定理得,43sin 2C =16.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,已知1,AC BC BC CC ⊥=,设1AB 的中点为D,11.B C BC E ⋂= 求证:(1)11//DE AACC 平面 (2)11BC AB ⊥ 证明:(1)只需证明DE//AC;(2)需先证AC ⊥平面11BCC B ,再证1BC ⊥平面1AB C .17.(本小题满分14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为12l l ，,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N 为C 的两个端点,测得点M 到12l l ，的距离分别为5千米和40千米,点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米,以12l l ，所在的直线分别为x,y 轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C 符合函数2ay x b=+(其中a,b 为常数)模型. (I)求a,b 的值；(II)设公路l 与曲线C 相切于P 点,P 的横坐标为t.①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ,并写出其定义域; ②当t 为何值时,公路l 的长度最短？求出最短长度. 解:(1)由题意知,点,M N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5),将其分别代入2ay x b =+中得,10000a b =⎧⎨=(2)由勾股定理得,62410()3,[5,20]4tf t t t =+∈ 由基本不等式可知,当102t =时,min ()153f t =Ml 1y CPl18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆()222210x y a b a b +=>>且右焦点F 到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC=2AB ，求直线AB 的方程.解:(1)2212x y += (2)分AB 与x 轴垂直和不垂直两种情况讨论, 得直线AB 的方程为10x y --=或10x y +-=19.(本小题满分16分)已知函数32()(,)f x x ax b a b =++∈R ; (1)试讨论)(x f 的单调性；(2)若a c b -=(实数c 是与a 无关常数),当函数)(x f 有三个不同零点时,a 的取值范围恰好是33(,3)(1,)(,)22-∞-+∞求c 的值 解:(1)当0a <时,()f x 在2(0,)3a -上递减,在2(,0),(,)3a-∞-+∞上递增; 当0a =时,()f x 在(,)-∞+∞上递增; 当0a >时,()f x 在2(,0)3a -上递减,在2(,),(0,)3a-∞-+∞上递增. (2)1c =20.(本小题满分16分)设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 (1)证明:31242,2,2,2a a a a依次成等比数列(2)是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列,并说明理由(3)是否存在1,a d 及正整数,n k ,使得351234,,,n n k n kn k a a a a +++依次成等比数列,并说明理由 解:(1)证明:因为11222(1,2,3)2n n n na a a da n ++-===是同一个常数,所以31242,2,2,2a a a a 构成等比数列.(2)用假设法,可证不存在1,a d ,使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列.(3)用假设法,可证不存在1,a d 及正整数,n k ,使得351234,,,n n k n kn k a a a a +++依次成等比数列.附加题21、(选做题)本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A 、[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图,在ABC ∆中,AC AB =,ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D 求证:ABD ∆≈AEB ∆ 证明:只需证ABD E ∠=∠,而BAE ∠为公共角,易证.B 、[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知R y x ∈,,向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量,矩阵A 以及它的另一个特征值. 解:1120A ⎡-⎤=⎢⎥⎦⎣,另一个特征值为1C.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知圆C的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=,求圆C 的半径. 解:r =D ．[选修4-5：不等式选讲]解不等式|23|3x x ++≥ 解:1(,5][,)3-∞--+∞22.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=,2,1PA AD AB BC ====(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时,求线段BQ 的长 BQ =23.已知集合*{1,2,3},{1,2,3,,}()n X Y n n N ==∈,设},,|),{(n n Y b X a a b b a b a S ∈∈=整除或整除，令()f n表示集合n S 所含元素个数.A第21——AP A BC DQ 第22题（1）写出(6)f 的值； (6)13f =（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明. 略。
2019年高考真题数学(江苏卷含答案)
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4 页，均为非选择题(第1 题~第20 题，共20 题)。
本卷满分为160 分，考试时间为120 分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：样本数据x1, x2,⋯,x n 的方差n12s x xini 12，其中n1x xini 1．柱体的体积V Sh，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．锥体的体积 1V Sh，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题．卡．相．应．位．．置．上．．1．已知集合 A { 1,0,1,6} ，B { x|x 0, x R} ，则A B ▲.2．已知复数(a 2i)(1 i) 的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数 a 的值是▲.3．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是▲.4．函数 2y 7 6x x 的定义域是▲.5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是▲.6．从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中至少有1 名女同学的概率是▲.7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2y2x bb2 1( 0)经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是▲.8．已知数列*{ a n}( n N) 是等差数列，S n 是其前n 项和.若a2a5 a8 0, S9 27 ，则S8 的值是▲.9．如图，长方体ABCD A1B1C1D1 的体积是120，E 为CC1的中点，则三棱锥E-BCD 的体积是▲.10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4y x (x0)x上的一个动点，则点P 到直线x+ y=0 的距离的最小值是▲.11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y=ln x上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（-e，-1)(e 为自然对数的底数），则点 A 的坐标是▲.12．如图，在△ABC中，D是BC 的中点， E 在边AB 上，BE=2EA，AD 与CE 交于点O .若A B AC 6AO EC，则ABAC的值是▲.13．已知tan t an 2π 34，则sin 2π4的值是▲.14．设 f ( x), g(x) 是定义在R上的两个周期函数， f (x) 的周期为4，g( x) 的周期为2，且k( x 2),0 x 1f (x) 是奇函数.当x (0, 2] 时， 2f ( x) 1 (x 1) ，g x( ) 12 ,1 x 2，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程 f (x) g(x) 有8 个不同的实数根，则k 的取值范围是▲.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14 分）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c．（1）若a=3 c，b= 2 ，cosB =23，求 c 的值；（2）若s in A cos Ba 2b ，求s in( B ) 的值．216．（本小题满分14 分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，D，E 分别为BC，AC 的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:22x y221(a b0)a b的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:222(x1)y4a交于点A，与椭圆C交于点 D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=52．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18．（本小题满分16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB 是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不．小．于．圆．O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d（单位：百米）.求当 d 最小时，P、Q 两点间的距离．19．（本小题满分16 分）设函数 f (x) ( x a)( x b)( x c), a,b,c R 、f '(x) 为f（x）的导函数．（1）若a= b=c，f（4）=8，求 a 的值；（2）若a≠b，b= c，且f（x）和 f '(x)的零点均在集合{ 3,1,3} 中，求f（x）的极小值；（3）若a 0,0 b, 1,c 1 ，且f（x）的极大值为M，求证:M≤4 27．20．（本小满分16 分）定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{ a n} *(n N)满足：a2a4 a5,a3 4a2 4a4 0 ，求证:数列{a n} 为“M－数列”；（2）已知数列{ b n} 满足: b11, 1 2 2S b bn n n1，其中S n 为数列{b n} 的前n 项和．①求数列{ bn}的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M－数列”{ cn } *(n N) ，对任意正整数k，当k≤m时，都有c剟b c 成立，求m 的最大值．k k k 1数学Ⅱ( 附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，．并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[ 选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10 分）已知矩阵A 3 1 2 2（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值.B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点 A 3, , B 2, ，直线l的方程为s in 34 2 4.（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离.C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x R，解不等式|x|+|2 x 1|>2.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. （本小题满分10 分）设n 2 n *(1 x) a a x a x a x , n⋯4, n N. 已知0 1 2 n2a3 2 a2 a.4n a b ，其中（1）求n的值；（2）设(1 3) 3*a,b N，求2 2a 3b 的值.23（. 本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集A n {(0,0),(1,0),(2,0), ,( n,0)} ，B (0,1),(n,1)},C {(0,2),(1 ,2),(2,2), ,( n,2)}, n N.n n令M A B C .从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距n n n n离.（1）当n=1时，求X的概率分布；2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ答 案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法 .每小题 5分，共计 70分.23.{1,6} 2.23.54.[ 1,7]5. 536.7107. y 2x8.169.1010.411.(e, 1) 12. 313.21014. 1 2,3 4二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力 .满分14分. 解：（1）因为3 , 2,cos2 ac bB，3由余弦定理 cos B 2 2 2 a c b 2ac ，得 2 2 2 2 (3c) c ( 2) 3 2 3c c，即 2 1c.3所以3 c.3（2）因为s in A cos B a 2b，由正弦定理 a b sin A sin B，得c os B sin B 2bb，所以 cosB2sin B .从而22cos B (2sin B) ，即 22cos B 4 1 cos B ，故 24cos B.5因为 sin B 0，所以 cosB 2sin B 0，从而 cos2 5B.5因此π2 5sin BcosB .2516.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力 .满分 14 分.证明：（1）因为 D ，E 分别为 BC ，AC 的中点， 所以 ED ∥AB.在直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，AB ∥A 1B 1， 所以 A 1B 1∥ED.又因为 ED? 平面 DEC 1，A 1B 1 平面 DEC 1，所以 A 1B 1∥平面 DEC 1.（2）因为 AB=BC ，E 为 AC 的中点，所以 BE ⊥AC. 因为三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 是直棱柱，所以 CC 1⊥平面 ABC. 又因为 BE? 平面 ABC ，所以 CC 1⊥BE.因为 C 1C? 平面 A 1ACC 1，AC? 平面 A 1ACC 1，C 1C ∩AC= C ， 所以 BE ⊥平面 A 1ACC 1.因为 C 1E? 平面 A 1ACC 1，所以 BE ⊥C 1E.24.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力 .满分 14 分 .解：（1）设椭圆 C 的焦距为 2c.因为 F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以 F 1F 2=2，c=1.又因为 DF 1= 5 2，AF 2⊥x 轴，所以 DF 2=53 2 222DF F F( ) 2，11 222因此 2a =DF 1+DF 2=4，从而 a=2.2=a 2-c 2，得 b 2=3.由 b因此，椭圆 C 的标准方程为 22xy 431.（2）解法一：由（1）知，椭圆 C ： 22xy 431，a=2，因为 AF 2⊥x 轴，所以点 A 的横坐标为 1.将 x=1 代入圆 F 2 的方程 (x-1)2+y 2=16，解得 y=± 4. 因为点 A 在 x 轴上方，所以 A(1，4). 又 F 1(-1，0)，所以直线 AF 1：y=2x+2.由 y2x 222(x 1) y16，得 5x 26x 11 0 ，解得x 1或 11 x.5将11x 代入y 2x 2 ，得512y ，5因此11 12B( , ) .又F2(1，0)，所以直线BF2：5 53y (x 1) .4由3y ( x 1)42 2x y4 31，得 27x 6x 13 0 ，解得x 1或13x .7又因为 E 是线段BF2 与椭圆的交点，所以x 1 .将x1代入3y (x1) ，得43y .因此23E( 1, ) .2解法二：由（1）知，椭圆C：2 2x y4 31 .如图，连结EF1.因为BF2=2 a，EF 1+ E F2=2 a，所以EF1= E B，从而∠BF 1E=∠B.因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x 轴，所以EF1⊥x 轴.x 1因为F1(-1，0)，由 2 2x y ，得14 33 y .2又因为 E 是线段BF2 与椭圆的交点，所以3 y .2因此3 E( 1, ) .225.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分.解：解法一：（1）过A作AE BD ，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，DE BE AC 6, AE CD 8.' 因为PB⊥AB，所以8 4 cos PBD sin ABE .10 5所以12 15BDPB45cos PBD.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段B E上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知 2 2 10AD AE ED ，从而2 2 2 7AD AB BDcos BAD 02AD AB 25，所以∠BAD为锐角.所以线段A D上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时，线段P B上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90时°，对线段P B上任意一点F，OF≥OB，即线段P B上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设P为l上一点，且P1B AB ，由（1）知，P1 B=15，1此时3PD PB sin PBD PB cos EBA 15 9 ；1 1 1 15当∠OBP>90°时，在△PPB 中，PB P1B 15 .1由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15 时，2 2 152 623 21CQ QA AC .此时，线段Q A上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当 PB ⊥AB ，点Q 位于点 C 右侧，且 CQ= 3 21时，d 最小，此时 P ，Q 两点间的距离PQ=PD +CD +CQ=17+ 321.因此， d 最小时， P ，Q 两点间的距离为 17+ 3 21（百米） .解法二：（1）如图，过 O 作OH ⊥l ，垂足为 H.以O 为坐标原点，直线 OH 为y 轴，建立平面直角坐标系 .因为 BD=12，AC =6，所以 OH =9，直线 l 的方程为 y=9，点 A ，B 的纵坐标分别为 3，- 3.2+y 2=25. 因为 AB 为圆O 的直径， AB=10，所以圆 O 的方程为x从而 A （4，3），B （- 4，- 3），直线 AB 的斜率为 3 4.因为 PB ⊥AB ，所以直线 PB 的斜率为 4 3， 直线 PB 的方程为 4 25 yx.33所以 P （- 13，9），22PB( 13 4) (9 3) 15.因此道路 PB 的长为 15（百米） .（2）①若 P 在D 处，取线段 BD 上一点 E （- 4，0），则 EO =4<5，所以 P 选在 D 处不满足规 划要求 .②若 Q 在D 处，连结 AD ，由（ 1）知D （- 4，9），又 A （4，3）， 所以线段 AD ：3y x 6( 4剟x 4) .4在线段 AD 上取点 M （3， 154），因为2215 2 2OM 3 3 4 5 ，4所以线段 AD 上存在点到点 O 的距离小于圆 O 的半径 . 因此 Q 选在D 处也不满足规划要求 . 综上， P 和Q 均不能选在 D 处.（ 3）先讨论点 P 的位置 .当∠ OBP<90°时，线段P B 上存在点到点 O 的距离小于圆O 的半径，点 P 不符合规划要求； 当∠ OBP ≥ 90°时，对线段P B 上任意一点 F ，OF ≥OB ，即线段P B 上所有点到点 O 的距离均 不小于圆O 的半径，点 P 符合规划要求 . 设P 为l 上一点，且 P 1B AB ，由（ 1）知， P 1 B=15，此时 P 1 （- 13，9）；1当∠ OBP>90°时，在 △PPB 中， PBP 1B 15 .1由上可知， d ≥ 15. 再讨论点 Q 的位置 .由（2）知，要使得 QA ≥ 15，点Q 只有位于点 C 的右侧，才能符合规划要求 .当 QA=15时，设Q （a ，9），由22AQ (a 4) (9 3) 15(a 4) ，得a= 4 3 21，所以 Q （ 4 3 21，9），此时，线段Q A 上所有点到点 O 的距离均不小于圆O 的半径 . 综上，当 P （- 13，9）， Q （ 43 21，9）时， d 最小，此时 P ，Q 两点间的距离PQ 4 3 21 ( 13) 17 3 21 .因此， d 最小时， P ，Q 两点间的距离为173 21（百米） .19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题 以及逻辑推理能力．满分 16分．解：（ 1）因为a b c ，所以3f (x)(x a)( x b)( x c) (x a) ．因为f (4) 8 ，所以3(4 a) 8 ，解得 a 2．（2）因为bc ，所以2322f (x) ( x a)( x b) x (a 2b) x b(2 a b)x ab ，从而2a b f ' x x b x．令 f '( x) 0 ，得 x b 或 ( ) 3( )32a b x． 32a ba b，都在集合 { 3,1,3} 中，且 a b ，因为, ,32a b所以1,a 3,b 3．3此时 2f (x) (x3)( x3) ，f '( x) 3(x 3)( x 1) ．令f'(x) 0，得x 3或x1．列表如下：x ( , 3) 3 ( 3,1) 1 (1, ) f '( x) + 0 –0 +f (x) 极大值极小值所以 f ( x) 的极小值为 2f (1) (1 3)(1 3) 32 ．（3）因为a 0,c 1，所以 3 2f (x) x( x b)( x 1) x (b 1)x bx ，2f'(x)3x 2(b 1)x b ．因为0 b 1，所以 2 24(b 1) 12b (2 b 1) 3 0 ，则 f ' (x)有2个不同的零点，设为x1,x2 x1 x2 ．由f'(x) 0，得2 2b 1 b b 1 b 1 b b 1 x , x ．1 23 3列表如下：x (, x ) x1 x1,x2 x2 ( x2 , )1f ' (x) + 0 –0 +f ( x) 极大值极小值所以 f ( x) 的极大值M f x ．1解法一：3 2M f x1 x1 (b 1)x1 bx122 b b 1x b 1 b(b 1)2 13x 2(b 1)x b x1 1 13 9 9 922 b b 1 (b 1) b(b 1) 227 9 272b b 132b(b 1) 2(b 1) (b 1) 227 27 273 ( b(b 1) 1)b(b 1) 2 427 27 27 ．因此4M ．27解法二：因为0 b 1，所以x1 (0,1) ．当x (0,1) 时， 2f (x) x(x b)( x 1) x( x 1) ．令 2g(x) x(x 1) , x (0,1) ，则1g'( x) 3 x (x1)．3令g'(x) 0，得1x ．列表如下：3x (0, 1)3 131( ,1)3g'( x) + 0 –g(x) 极大值所以当1 1 4x 时，g( x) 取得极大值，且是最大值，故g (x)max g ．3 3 27所以当x (0,1) 时，4f (x) g(x) ，因此274M ．2720．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．解：（1）设等比数列{ a n}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.由a a a2 4 5a3 4a2 4a1 0，得2 4 4a q a q1 12a1q 4a1q 4a1 0，解得a1 1q 2．因此数列{ }a 为“M —数列”.n（2）①因为1 2 2S b bn n n1，所以0b ．n由b1 1,S1 b1 得1 2 21 1 b2，则b2 2 .由1 2 2S b bn n n1，得Snb bn n12(b b )n 1 n，当n 2 时，由b S S ，得n n n 1 bnb b b bn n 1 n 1 n2 b b 2 b bn 1 n n n 1，整理得b n 1 b n 1 2b n ．所以数列{ b n} 是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{b n} 的通项公式为b n=n *n N.②由①知，bk=k，k N* .因为数列{ c n} 为“M –数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.因为c k≤b k≤c k+1，所以k 1 kq k q ，其中k=1，2，3，⋯，m.当k=1时，有q≥1；ln k ln k当k=2，3，⋯，m时，有l n qk k 1．设f（x）= l nxx(x 1) f ' (x)，则1ln2xx．令 f ' (x) 0，得x=e.列表如下：x (1,e) e (e，+∞)f '(x) + 0 –（f x）极大值因为l n 2 ln8 ln9 ln 3 ln3f (k) f (3) ．，所以max2 6 63 3取q ，当k=1，2，3，4，5时，3333 l nkk, ln q ，即kk q ，经检验知k 1q k 也成立．因此所求m的最大值不小于5．若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥24，3且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5．数学Ⅱ( 附加题)参考答案21．【选做题】A．[选修4–2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为3 1A ，2 2所以2 3 1 3 1 A2 2 2 2= 3 3 1 2 3 1 1 22 3 2 2 2 1 2 2=11 510 6．（2）矩阵A的特征多项式为3 12f ( ) 5 4.2 2令f ( ) 0，解得A的特征值 1 1, 2 4 .B．[选修4–4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）设极点为O.在△OAB中，A（3，），B（ 2 ，），4 2由余弦定理，得AB= 2 23 ( 2) 2 3 2 cos( ) 52 4.（2）因为直线l的方程为sin( ) 34，则直线l过点(3 2, )2 ，倾斜角为34．又B( 2, ) ，所以点B到直线l的距离为23(3 2 2) sin( ) 24 2.C．[选修4–5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．解：当x<0时，原不等式可化为x 1 2x2，解得x<–13 ：当0≤x ≤ 1 2时，原不等式可化为x+1–2x>2，即 x<–1，无解；当x>1 2时，原不等式可化为x+2 x –1>2，解得 x>1.1综上，原不等式的解集为{x | x或x 1} .326.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分 10分．n0 1 2 2 n n解：（ 1）因为(1 x)C C x C x C x ，n 4 ，nn nn所以n(n 1) n(n 1)(n 2) 23aC,aC，2n3n26n(n 1)(n 2)( n 3) 4 aC．4n242因为a 32a 2a 4 ，所以n(n 1)(n 2)n(n 1) n(n 1)( n 2)( n 3) 2[] 26224， 解得 n5．（2）由（ 1）知， n5．n(13)(13)51 2 2 3 3 4 4 5 5CC 3 C ( 3) C ( 3) C ( 3) C ( 3)555555a b 3 ．解法一：*因为a ,b N ，所以0 2 4 1 3 5a C 3C9C76, b C3C9C44 ，555555从而 a 2 3b 2 762 3 442 32 ．解法二：50 1 2 2 3 3 4 4 5 5(13)CC (3) C (3)C (3)C (3) C (3)55 555 5122334455CC 3 C ( 3)C ( 3)C ( 3)C ( 3) ．5555 55*因为a ,b N ，所以5(1 3) a b 3 ．因此23 2( 3)( 3) (1 3)5 (13)5( 2)532ab a b a b．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）当n1时，X的所有可能取值是1，2，2，5．7744P(X1),P(X2)，X的概率分布为22C15C15662222P(X2),P(X5)．22C15C1566（2）设A(a，b)和B(c，d)是从M中取出的两个点．n因为P(X n)1P(X n)，所以仅需考虑X n的情况．①若b d，则AB n，不存在X n的取法；②若b0，d1，则AB(a c)21n21，所以X n当且仅当21AB n，此时a0，c n或a n，c0，有2种取法；③若b0，d2，则AB(a c)24n24，因为当n3时，(n1)24n，所以X n当且仅当AB n24，此时a0，c n或a n，c0，有2种取法；④若b1，d2，则AB(a c)21n21，所以X n当且仅当21AB n，此时a0，c n或a n，c0，有2种取法．综上，当X n时，X的所有可能取值是n21和24n，且4 2 22P(X n1),P(X n4)．22C n C n242422P(X n)1P(X n1)P(X n4)162C n24因此，．.。
2019年江苏省高考数学试卷(含答案解析)
2019年江苏省高考数学试卷一.填空题1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．6．（5分）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f （a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且t anα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．二.解答题15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l 没入水中部分的长度．19．（16分）对于给定的正整数k，若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…+a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a n}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）若数列{a n}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a n}是等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【必做题】25．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．2017年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（5分）（2017•江苏）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．2．（5分）（2017•江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）（2017•江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取18件．【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为=，则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件，故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．4．（5分）（2017•江苏）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y 的值是﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值x=，不满足x≥1，所以y=2+log2=2﹣=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于基础题．5．（5分）（2017•江苏）若tan（α﹣）=．则tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα=，故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题6．（5分）（2017•江苏）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：R3，圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．故答案为：．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）（2017•江苏）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，则D=[﹣2，3]，则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P==，故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．（5分）（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y=x，所以P（，），Q（，﹣），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．则四边形F1PF2Q的面积是：=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线简单性质的应用，考查计算能力．9．（5分）（2017•江苏）等比数列{a n}各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=32．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3=，S6=，可得=，=，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3=，S6=，∴=，=，解得a1=，q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）（2017•江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）（2017•江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[﹣1，] ．【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R 上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x）=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a≤，故答案为：[﹣1，]．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．12．（5分）（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n （m，n∈R），则m+n=3．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得c osα=，sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n（m，n∈R），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是[﹣5，1] ．【分析】根据题意，设P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02=50，=（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0﹣6y0+30≤0，即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式．14．（5分）（2017•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，分析f（x）的图象与y=lgx 图象交点的个数，进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）=，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，f（x）=，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点；故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8，故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．二.解答题15．（14分）（2017•江苏）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊊平面ABC，AB⊆平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，所以FG∥BC，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（14分）（2017•江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣，问题得以解决，（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，∴﹣cosx=3sinx，∴tanx=﹣，∵x∈[0，π]，∴x=，（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，当x=时，f（x）有最小值，最大值﹣2．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题17．（14分）（2017•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=±，则2×=8，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程；（2）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y02=x02﹣1，联立即可求得P点坐标；方法二：设P（m，n），当m≠1时，=，=，求得直线l 1及l1的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得=±n2，联立椭圆方程，即可求得P点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c，①椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②由①②解得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x 0，y0），则直线PF2的斜率=，则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x﹣1），直线PF 1的斜率=，则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x+1），联立，解得：，则Q（﹣x0，），由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y0=，∴y02=x02﹣1，则，解得：，则，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，当m=1时，不存在，解得：Q与F 1重合，不满足题意，当m≠1时，=，=，由l 1⊥PF1，l2⊥PF2，则=﹣，=﹣，直线l1的方程y=﹣（x+1），①直线l2的方程y=﹣（x﹣1），②联立解得：x=﹣m，则Q（﹣m，），由Q在椭圆方程，由对称性可得：=±n2，即m2﹣n2=1，或m2+n2=1，由P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无解，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．18．（16分）（2017•江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l 没入水中部分的长度．【分析】（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM=，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，又∵AC⊂平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，∴=，，得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1，∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，∴E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，∴sin∠EE1G1=，sin∠EGM=sin∠EE1G1=，cos，根据正弦定理得：=，∴sin，cos，∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=，∴EN===20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．19．（16分）（2017•江苏）对于给定的正整数k，若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…+a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a n}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）若数列{a n}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a n}是等差数列．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1）═2×3a n，据“P（k）数列”的定义，可得数列{a n}是“P（3）数列”；（2）由“P（k）数列”的定义，则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，变形整理即可求得2a n=a n﹣1+a n+1，即可证明数列{a n}是等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n}首项为a1，公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，则a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3，=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1），=2a n+2a n+2a n，=2×3a n，∴等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）证明：由数列{a n}是“P（2）数列”则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，①数列{a n}是“P（3）数列”a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，②+a n﹣2+a n+a n+1=4a n﹣1，③由①可知：a n﹣3a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1，④由②﹣（③+④）：﹣2a n=6a n﹣4a n﹣1﹣4a n+1，整理得：2a n=a n﹣1+a n+1，∴数列{a n}是等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．20．（16分）（2017•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．【分析】（1）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣，从而f（﹣）=0，整理可知b=+（a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．（2）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；（3）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因式分解即得结论．【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣+＞0，解得a＞3，所以b=+（a＞3）．（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，设x1，x2是y=f（x）两个极值点，则x1+x2=，x1x2=，所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．（2017•江苏）如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，即可证明．【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，∴∠PAC=∠CAB．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，∴=．∴AC2 =AP•AB．【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2017•江苏）已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；（2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：（1）AB==，（2）设点P（x，y）为曲线C1的任意一点，点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0，y0），则=，即x0=2y，y0=x，∴x=y0，y=，∴，即x02+y02=8，∴曲线C2的方程为x2+y2=8．【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s 的函数，从而得出最短距离．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，∴P到直线l的距离d==，∴当s=时，d取得最小值=．【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题．［选修4-5：不等式选讲］24．（2017•江苏）已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd ≤8．【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd 化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），即可得出．【解答】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64，当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【必做题】25．（2017•江苏）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【分析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A1，C1的坐标，进一步求出，，，的坐标．（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．【解答】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD，∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°，∴A（0，0，0），B（），C（，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，），C1（）．=（），=（），，．（1）∵cos＜＞==．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；（2）设平面BA1D的一个法向量为，由，得，取x=，得；取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，是中档题．26．（2017•江苏）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．【分析】（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A 1）+P（A2|）P（），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（2）X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，从而E（X）=（）=，由此能证明E （X）＜．【解答】解：（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A 2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）===．证明：（2）∵X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，∴E（X）=（）==＜==•（）==，∴E（X）＜．【点评】本题考查概率求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．。
2019高考数学江苏卷
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)一、填空题(本大题共14 小题，每小题5分，共70分．) 已知集合 , | ,则． 规范解答:因为 , | .将集合 分别在数轴上表示出来,如图所示.所以 . 知识复习:1.交集是指由所有属于集合 且属于集合 的元素构成的集合.2.并集是指由所有属于集合 或属于集合 的元素构成的集合.3.补集是指由全集 中不属于 的所有元素构成的集合. 解题总结:此类题目要看清集合的代表元素,先化简集合,再借助于数轴或文氏图进行集合运算,特别是理解集合的含义,把集合化简且具体化是解决此类问题的关键.题型归纳:1.(2019全国卷Ⅰ理科第1题)已知集合 | ， | . 则 ⋂ ( Ｃ )．A. |B. |C. |D. |解:由 ，得 ，解得 ， 即 | ，将集合 分别在数轴上表示出来,如图所示. 因此 | .2.(2019全国卷Ⅰ文科第2题)已知集合 ， 则 ⋂ ( Ｃ )．A. B. C. D.解:因为 ，所以 ． 又 ，所以 ．0 -1 1 6 O -1 1 -3 -2 -4 2 3 x3.(2019全国卷Ⅱ理科第1题)已知集合 | ， | , 则 ⋂ ．A. B. C. D. 解:因为 | { | 或 }, | | ,所以 ⋂ | | , { | 或 } | 将集合在数轴上表示出来,如图所示. 因此 ⋂ |3.(2019北京卷文科第1题)已知集合 | | ，则 ( ) ． ． ． ． 解:将集合 在数轴上表示出来，如图所示．由图可得 | ．已知复数 的实部为0，其中 为虚数单位，则实数 的值是 ．规范解答: ， 因为其实部为零，故 知识复习: 1.虚数单位 .2.两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等.,3.复数加减 , 复数相乘 ,4.复数 ,对应复平面内的点 ,对应向量 ⃗⃗⃗⃗⃗ .5.复数的模| | | | √ ,表示复平面内的点 到原点的距离.解题总结:要正确理解复数的几何意义,准确掌握有关运算法则,灵活运用相关变形技巧.题型归纳:1.(2019全国卷Ⅰ理科第2题)O -1 1 2x O 1 2 3 x设复数 满足| | ,ｚ在复平面内对应的点为 ,则 . A. B. C. D. 解:由已知条件，可得 ,因为| | ，所以| | ，| | ，√ ，两边平方,得 ． 2.(2019全国卷Ⅰ文科第1题)设复数，则| | .A. B. √ C. √ D. 解:因为．所以| | √() () √ ．注:利用平方差公式去掉分母中的虚数单位 ,( . 3.(2019北京卷理科第1题) 已知复数 ，则 ̅ ( )． ．√ ．√ ． ． 解:因为 ，所以共轭复数 ̅ ， 所以 ̅ ． 如图是一个算法流程图，则输出的 的值是 ．规范解答: 第一次循环，； 第二次循环，； 第三次循环，； 第四次循环,, 循环结束．故输出的 的值是 ． 知识复习:结束开始x 输出S xY x=x+1x ←1,S ←0 N√ 的定义域是．答案:考点:函数的定义域和一元二次不等式的解法．解题思路:根据被开方数非负求解．解析:要使函数有意义，需，即，，解得．故所求函数的定义域为．，则该组数据的方差是．答案:考点:方差的计算．解题思路:根据方差公式求解．解析:这组数据的平均数为，故方差为．3名男同学和2 名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．答案:考点:古典概型、对立事件．解题思路:思路1:列出所有等可能事件和要求事件包含的基本事件，根据古典概型概率公式求解．思路2:列出所有等可能事件和要求事件的对立事件包含的基本事件，根据古典概型概率公式求解．解析:方法1:设3名男同学分别为，2名女同学分别为，则所有等可能事件分别为，共10个，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件分别为，共7个，故所求概率为．方法2:同方法1，得所有等可能事件共10个，选出的2名同学中没有女同学有基本事件分别为，共3个，故所求概率为．中，若双曲线经过点，则该曲线的渐近线方程是．答案:√考点:双曲线的几何性质．解题思路:先把点的坐标代入双曲线的标准方程，求出的值，再求渐近线方程．解析:因为双曲线经过点，所以，解得√，即双曲线方程为，其渐近线方程为√．是等差数列，是其前项和．若，则的值是．答案:考点:等差数列基本量的运算．解题思路:利用题中给的两个条件结合等差数列的性质及通项公式、前项公式求解．解析:方法1:因为，所以，，，，①．又因为，所以，,②．联立①②{解得{故．方法2:同方法1得．又因为，所以，，，．所以， ．故．的体积是 ， 为 的中点，则三棱锥 的体积是 ．:考点:多面体的体积．解题思路:找出三棱锥的体积与长方体的体积之间的关系求解． 解析:设长方体中 ，则 ，所以．中， 是曲线上的一个动点，则点 到直线 的距离的最小值是 ．:考点:点到直线的距离、基本不等式、导数的几何意义．解题思路:思路1:设出点 的坐标，利用点到直线的距离公式列式，用基本不等式求解．思路2:运用数型结合的思想求解．曲线上点 处的切经线与直线 平行时，点 到直线 的距离即为最短距离．解析:方法1:由题意可设 () ，则点 到直线 的距离 ||√||√√√，当且仅当，即 √ 时取等号．故所求最小值为4．方法1:设 () ，则曲线在点 处的切线的斜率为．令，结合 得 √ ，所以 √ √ ，曲线上的点 到直线 最短距离即为此时点 到直线直线 的距离，故 √ √ |√．中，点 在曲线 上，且该曲线在点 处的切线经过点 为自然数对数的底数 ，则点 的坐标是 ． 答案:考点:导数的几何意义．解题思路:设出点 的坐标，先求出曲线在点 处的切线方程，再结合点 在曲线上列方程求解．解析:设 ，则曲线 在点 处的切线方程为． 又切线过点 ，所以有． 再由 ，解得 ． 故点 的坐标为 ．A BCD A 1B 1C 1D 1EA EB DC x y O中， 是 的中点， 在边 上， 与 交于点 ．若⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则的值是 ．答案:√考点:平面向量的数量积和线性运算．解题思路:思路一:过点 作 交 于 ，可证 ，从而可把⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的线性表示，代入题中的等式求解．思路一:建立平面直角坐标系，利用坐标法求解．解析:方法一:如图①，过点 作 交 于 ，由 是 的中点，可知 是 的中点．又 ，则知 ，从而可得 ，则有 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 整理可得 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以√ ．方法二:以点 的坐标原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，如图②所求．设 ，则．}． 因为⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以， 即 *+，所以 ，所以 √ ．所以√ √ ．方法技巧: 1.在高考中经常会遇到几何图形中计算两个向量 的数量积问题，如果无法找到寻找到计算数量积的要素( 的模、夹角)，那么可考虑用不共线的两个向量(称为基称底)将 表示出来，进而进行运算．这也是在几何图形中处理向量数量积问题的一个重要方法．2.在处理向量数量积问题时，若几何图形特殊(如正方形、等边三角形等)，易于建系和确定点的坐标，则可考虑将向量坐标化，一旦所求向量用坐标表示，其数量积等问题便可迎刃而解．BA EDCOBAECO已知()，则 ()的值是 ．答案:√考点:三解恒等变换与求值．解题思路:思路一:先由条件求出 ，再把要求的目标式弦化切．思路一:先把条件切化弦，得 ()与 ()的关系，再把要求的式子变换为* ()+并展开，整体代入求解．解析:方法一:由 ()，解得 或．( ) √ √( )√ ( ) √ √√√√, 将 和分别代入得 ( ) √．方法二:因为()()()，所以 ( )( )．①又 () *() + () () √，②由①②解得 () √, ()√． 所以 () * ()+ () ( ) √．规律总结: 1.三解函数的变换遵循“三变”:变“角”、变“函数名称”，变“结构特征”．2.角的变换基本思路：⑴若 前的系数为倍数关系，运用倍角公式，改变三角函数的结构特征进行求解；⑵相加减后为特殊角：将两角进行相加或相减得出特殊角，再运用透导公式及两角和与差的三角函数求解；⑶解利用换元思想：将条件中的角或所要求的角设为 ，将另一个用 表示，这样比较容易找到两个角之间的关系．是定义在 上的两个周期函数， 的周期为 ， 的周期为 ，且 是奇函数．当时， √ , {其中 ．若在区间 上，关于 的方程 有 个不同的实数根，则 的取值范围是 ．考点:函数的解析式、函数的基本性质与图象、方程的要根与函数的零点、圆的方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式．解题思路:利用 的解析式，结合 的性质，作出 的图象求解．解析: 当 时， √ ，结合 是周期为 的奇函数，可作出 在 上的图象如图所示．因为当 时， ，又 的周期为 ， 所以当 时，．1 2 1xy-1/2由图可知，当时，与的图象有2个交点．所以当时，与的图象有6个交点．又当时，恒过定点，由图可知，当时，与的图象无交点．所以时，与的图象有6个交点．由与的周期性可知，当时，与的图象有2个交点．当与圆弧相切时，√．√当过点与时，．所以√．方法技巧:1.分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻注意自变量的范围是否在发生变化．即“分段函数分段看”．2.函数周期性的作用：“窥一斑而知全豹”，只要了解函数一个周期时的性质，便可得到整个定义域内函数的性质．⑴函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值．⑵图象：只要作出一个周期内的函数图象，其余部分的图象可根据周期性得到．二、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚)本小题满分14分)在中，角的对边分别为．⑴若√，求的值．⑵若,求( )的值．考点:正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式．解题思路:⑴根据题中给予的条件利用余弦定理求解．⑵根据正弦定理将转化为，然后利用三角恒等变换求解．解答:⑴解：因为√，由余弦定理，得，即 (√ )，解得，所以√．⑵解：因为，由正弦定理，得，所以．从而，即，故．因为，所以，从而√．( )√．解后反思:解三角形时，可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．在解题时，还要根据所给的条件，利用正弦定理或余弦定理合理地进行边和角的相互转化．本小题满分14分)如图，在直三棱柱中，分别为的中点，．求证：⑴∥平面；⑵．考点:直线与直线、直线与平面的位置关系． 解题思路:⑴证明线面平行、即证线线平行． ⑵证明线线垂直，想办法证明线面垂直．解答:⑴证明：因为 分别为 的中点，所以 ∥ ． 在直三棱柱 中， ∥ ，所以 ∥ ．又因为 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 ． ⑵证明：因为 ， 为 的中点，所以 ． 因为三棱柱 是直棱柱，所以 平面 ． 又因为 平面 ，所以 ．因为 平面 ， 平面 ， ， 所以 平面 ．因为 平面 ，所以 ．规律总结:⑴在判断线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面面平行”，再到“面面平行”．⑵证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直，则需供助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本方法．(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系 中，椭圆的焦点为．过 作 轴的垂线 ，在 轴的上方， 与圆 交于点 ，与椭圆 交于点．连接 并延长交圆 于点 ，连接 交椭圆 于点 ，连接 ．已知． ⑴求椭圆 的标准方程； ⑵求点 的坐标．考点:直线方程、圆的方程、椭圆的几何性质、直线用、及圆及椭圆的位置关系． 解题思路:⑴直接根据条件运用椭圆的定义求解．⑵思路一：结合⑴中结论求出点 的坐标，写出直线 的方程，并与圆的方程联立得点 的坐标，从而写出 的方程，将其与椭圆方程联立求得点 的坐标．思路二：连接 ，注意到 ，所以 ∥ ，可得 轴，从而可得点 的横坐标为 ，将 与椭圆方程联立可得点 的坐标．解答:⑴解：设椭圆 的焦距为 ．因为 ，所以 ． 又因为轴，所以 √ √( )．BCB 1A A 1C 1DEF 1F 1 O A DBEl xy因此 ，从而 ． 由 ，得 ． 因此椭圆 的标准方程为．⑵解：方法一:由⑴知，椭圆．因为 轴，所以点 的横坐标为为 ．将 代入圆 的方程 ，解得 ． 因此点 在 轴上方，所以 ．又 ，所以直线 ． 由{，得 ， 解得 或．将代入 ，解得．因此 ()．又 ，所以直线． 由{，得 ，解得 或．又因为 是线段 与椭圆的焦点，所以 ．将 代入 ，得． 因此 ()． 方法一:由⑴知，椭圆．如图，连接 ．因为 ，所以 ， 从而 ．因为 ，所以 ． 所以 ， 从而 ∥ ．因为 轴，所以 轴．因为 ，由{，得．又因为 是线段 与椭圆的焦点，所以 ．将 代入 ，得． 因此 ()．本小题满分14分)如图，一个湖的边界是圆心为 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 ，湖上有桥 ( 是圆的直径)．规划在公路 上选两个点 ，并修建两段直线型道路 ，规划要求：F 1F 1 O A DBEl xy线段 上的所有点到点 的距离均小于圆 的半径．已知点 到直线 的距离分别为 和 ( , 为垂足)，测得 (单位:百米)． ⑴若道路 与桥 垂直，求道路 的长．⑵在规划要求下， 和 中能否有一个点选在 处？并说明理由．⑶在规划要求下，若道路 和 的长度均为 (单位:百米)，求当 最小时， 两点间的距离．考点:三角函数的应用、直线与圆．解题思路:思路一：⑴作 于点 ，可求 的长度，根据 与 互余，在 中求出 ．⑵若 选在 处，可证明线段 上的点(除 )外到点 的距离都小于圆 的半径，说明点 不能选在 处．若 选在 处，可根据余弦定理计算 的余弦值，说明 为锐角，从而说明点 也不能选在 处．⑶先讨论点 的位置，结合⑴中结论求出 的最小值及取得最小值时点 到点 的距离然后讨论点 的位置，根据上述最小值得出符合条件的点 位于点 的右侧，并求出 的值，进而得解． 思路二：⑴过 作 ，以 为原点直线 为 轴建立平面直角坐标系，可得直线 、圆 的方程，进而得直线 的方程，解得点 的坐标，从而求求出 的长度． ⑵长度利用坐标法分析求解．解答:方法一：如图，过 作 ，垂足为 ．由已知条件得，四边形 为矩形， ． 因为 ，所以． 所以．因此道路 的长为15(百米)． ⑵解：均不能．理由如下：①若 在 处，由⑴可得 在圆上，则线段 上的点(除 )到点 的距离均小于圆 的半径，所以 选在 处不满足规划要求．②若 在 处，连接 ，由⑴知 √ ， 从而，所以 为锐角．所以线段 上存在点到点 的距离小于圆 的半径． 因此选 在 处也不满足规划要求． 综上， 和 均不能选择在 处． ⑶解：先讨论点 的位置．当 时，线段 上存在点到点 的距离小于圆 的半径，点 不符合规划要求；当 时，对线段 上任意一点 ， ，即线段 上所有点到点 的距离均不小于圆 的半径，点 符合规划要求；A BOC l A BOD C lP Q当 时，设 为 上一点，且 ，由⑴知， ．此时；当 时，在 中， ． 由上可知， ． 再讨论点 的位置．由⑵知，要使得 ，点 只有位于点 的右侧，才能符合规划要求． 当 时， √ √ √ ． 此时，线段 上所有点到点 的距离均不小于圆 的半径．综上，当 ，点 位于点 的右侧，且 √ 时， 最小，此时 两点间的距离 √ ．因此， 最小时， 两点间的距离为 √ (百米)． 方法二:⑴解：如图，过 作 ，垂中为 ．以 为坐标原点，直线 为 轴，建立平面直角坐标系．因为 ，所以 ，直线 的方程为 ，点 的纵坐标分别为 ． 因为 为圆 的直径， ，所以圆 的方程为 ．从而 ，直线 的斜率为． 因为 ，所以直线 的斜率为， 直线 的方程为．所以 ， √ ． 因此道路 的长为 (百米)． ⑵解：均不能．理由如下：①若 在 处，取线段 上一点 ，则 ， 所以选 在 处不符合规划要求．②若 在 处，连接 ，由⑴知 ，又 ，所以线段 ：． 在线段 上取点 ()，因为 √ () √ ，所以线段 上存在点到点 的距离小于圆 的半径． 因此 选在 处也不满足规划要求． 综上， 和 均不能选在 处． ⑶解：选讨论点 的位置．当 时，线段 上存在点到点 的距离小于圆 的半径，点 不符合规划要求．当 时，对线段 上任意一点 ，即线段 上所有点到点 的距离均不小于圆 的半径，点 符合规划要求．当 时，设 为 上一点，且 ，由⑴知， ，此地 ； 当 时，在 中， ． 由上可知， ． 再讨论点 的位置．由⑵知，要使得 ，点 只有位于点 的右侧，才能符合规划要求．A BODClPQxyH当时，设，由√，得√，所以√．此时，线段上所有点到点的距离均小于圆的半径．综上，当√时，最小，此时两点间的距离√√．因此，最小时，两点间的距离为√(百米)．解后反思:本题以直线与圆为背景，考查应用意识、数学建模能力和解决实际问题的能力．解题时应注意以下几点：⑴根据题意抽象出函数的解析式，确定定义域；⑵解题时要善于运用图形的性质；⑶由应用题建模得出的数学式子一般比较复杂，运算化简时要注意合理性；⑷要回到实际问题中去，写出实际问题的答案．本小题满分16分)设函数，，为的导函数．⑴若，，求的值．⑵若，且和的零点均在集合中，求的极小值．⑶若，且的极大值为，求证：．考点:利用导数研究函数的性质．解题思路:⑴由代入求解．⑵通过的零点在集合中，确定的值，通过讨论函数单调性求极值．⑶先求出的极大值，再根据的取值范围证明，或用放缩法构造函数证明．解答:⑴因为，所以，从而( )．令，得或．因为都在集合中，且，所以．此时．⑶证明:因为，所以，．因为，所以，则有2个不同的零点，设为．由，得 √ √ ．方法一：()(√ )(√ )．因此．方法二：因为，所以．当时，．令，则( )．令，得．列表如下：所以当时，取得极大值，且是最大值，故()．所以当时，．因此．解后反思:本题主要考查层数在研究函数性质中的运用，考查函数思想、归化与转化思想．考查抽象概括能力、综合分析问题与解决问题的能力．对于导数试题，高考往往考查综合应用，研究函数最值、零点、不等式的证明等问题，对能力要求比较高．解答本题第⑶问最关键之处是发现的极大值为本小题满分16分)定义首项为且公比为正数的等比数列为“”数列．⑴已知等比数列满足，求证：数列为“”数列．⑵已知数列满足，其中为数列的前项和．①求数列的通项公式．②设为正整数．若存在“”数列，对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值．考点:等差数列与等比数列的定义、通项公式、性质．解题思路:⑴根据题目条件求出，即可得证．⑵①通过题中所给的递推关系变形可知数列是首项和公差均为1的等差数列；②对所给不等式变形构造函数，通过导数研究函数的极值求解．解答:⑴证明：设等比数列的公比为，所以．由,得{解得{．因此数列是“数列”．⑵解：①因为，所以．由，得，则．由，得．当时，由，得，整理得．所以数列是首项与公差均为1的等差数列．因此数列的通项公式为．②由①知，．因为数列为“数列”，设公比为，所以．因为，所以，其中．当时，有；当时，有．设，则．因为，所以．取√，当时，，即，经检验知也成立．因此所求的最大值不小于5．若，分别取，得，且，从而，且，所以不存在．因此所求的最大值小于解后反思:数列的综合问题，常将等差、等比数列结合在一起，应重点分析等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式，分析等差、等比数列之间的联系，往往用到转化和化归的思想方法，在涉及数列的单调性及最值问题时，可以转化为函数的单调性及最值来处理．数学Ⅱ(附加题)选做题](本题包含三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)A.(本小题满分分)选修4-2:矩阵与变换已知矩阵*+．⑴求．⑵求矩阵的特征值．考点:矩阵的运算、特征值．解题思路:⑴求即用矩阵乘法法则求．⑵写出矩阵的特征多项式，由求解．解答:⑴因为*+．所以*+*+*+*+．⑵矩阵的特征多项式为||．令，解得的特征值．B.(本小题满分分)选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中，已知两点( )(√ )，直线的方程为( )．⑴求两点间的距离．⑵求点到直线的距离．考点:曲线的极坐标方程．解题思路:⑴设极点为，在中利用余弦定理求解．⑵利用直线过定点( √ )，倾斜角为，根据的极坐标构造三角形求解．解答:⑴设极点为，在中，( )(√ )，由余弦定理，得√(√ )√()√．⑵因为直线的方程为( )，所以直线过点( √ )，斜倾角为．又(√ )，所以点到直线的距离为( √√ )()．C.(本小题满分分)选修4-5:不等式选讲设，解不等式||||．考点:解不等式．解题思路:分三种情况去掉绝对值符号，分类讨论求解．解答:当时，原不等式可化为，解得；当时，原不等式可化为，即，无解；当时，原不等式可化为，解得．综上，原不等式的解集为, | 或 -．[必做题](第题、题，每题分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)本小题满分分)设．已知．⑴求的值．⑵设√√，其中，求的值．考点:二项式定理、组合数．解题思路:⑴注意到代入，可得，即可求解．⑵思路一：展开√，对照√√可得，进而求出．思路二：注意到√√①，结合所给条件√√②，①②即可．解答:因为．所以，，．因为，所以*+．解得．⑵由⑴知，．( √ )( √ )√ (√ )(√ )(√ )(√ )√．方法一：因为，所以，，从而．方法二：( √ )( √ )√( √ )( √ )( √ )√(√ )(√ )(√ )(√ )．因为，所以( √ )√．因此( √ )( √ )( √ )( √ )．本小题满分分)在平面直角坐标系中，设点集，，，．令．从集合中任取两个不同的点，用随机变量表示它们之间的距离．⑴当时，求的概率分布．⑵对给定的正整数，求概率(用表示)．考点:计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布．解题思路:⑴当时，集合中有6个元素，任取两个不同点，基本事件总数，随机变量的取值可逐一试算，得出4个值，对每一个的值用列举法得出相应基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式，求出的概率分布．⑵当时，的情形较多，考虑到集合中元素的纵坐标，只有，可以比较容易地求出对立事件的不同取法，再利用对立事件的概率公式求出概率的值．解答:⑴当时，的所有可能取值是√√．的概率分布为， ( √ )，，( √ )．⑵设和是从中取出的两个点．因为，所出仅需考虑的情况．①若，则，不存在的取法；②若，则√√ ，所以时，当且仅当√ ，此时或，有2种取法；③若，则√√ ．因为当时，√ ，所以当且仅当√ ，此时或，有2种取法；④若，则√√ ，所以当且仅当√ ，此时或，有2种取法．综上，当时，的所有可能取值是√ 和√ ，且 ( √ )，( √ )．因此， ( √ ) ( √ )．2019年全国及各省市高考数学全解全析2019年普通高等学校招生全国统一考试1．全国卷1(理科) 1 2．全国卷1(文科)14 3．全国卷２(理科)14 4．全国卷２(文科)14 5．全国卷３(理科)146．全国卷３(文科)14 7．北京卷(理科)14 8．北京卷(文科)14 9．天津卷(理科)14 10．天津卷(文科)14 11．浙江卷14 12．江苏卷14。
2019年江苏省高考数学试卷(含参考答案)
2019年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．4．（5分）函数y＝的定义域是．5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是．8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是．9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是．12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是．13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是．14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；（2）若＝，求sin（B+）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C 于点E，连结DF1．已知DF1＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于．．．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．19．（16分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{a n}为“M﹣数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1＝1，＝﹣，其中S n为数列{b n}的前n 项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，求m的最大值．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵A＝．（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin （θ+）＝3．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集A n＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，B n＝{（0，1），（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令M n＝A n∪B n∪∁n．从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n＝1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．2019年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝{1，6}．解：∵A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，6}∩{x|x＞0，x∈R}＝{1，6}．故答案为：{1，6}．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是2．解：∵（a+2i）（1+i）＝（a﹣2）+（a+2）i的实部为0，∴a﹣2＝0，即a＝2．故答案为：2．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是5．解：模拟程序的运行，可得x＝1，S＝0S＝0.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝2，S＝1.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝3，S＝3不满足条件x≥4，执行循环体，x＝4，S＝5此时，满足条件x≥4，退出循环，输出S的值为5．故答案为：5．4．（5分）函数y＝的定义域是[﹣1，7]．解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函数y＝的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：＝（6+7+8+8+9+10）＝8，∴该组数据的方差为：S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝．故答案为：．6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：m＝+＝7，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝．故答案为：．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是y＝．解：∵双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），∴，解得b2＝2，即b＝．又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y＝．故答案为：y＝．8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是16．解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则，解得．∴＝6×（﹣5）+15×2＝16．故答案为：16．9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是10．解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，∴＝AB×BC×DD 1＝120，∴三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1＝10．故答案为：10．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是4．解：由y＝x+（x＞0），得y′＝1﹣，设斜率为﹣1的直线与曲线y＝x+（x＞0）切于（x0，），由，解得（x 0＞0）．∴曲线y＝x+（x＞0）上，点P（）到直线x+y＝0的距离最小，最小值为．故答案为：4．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是（e，1）．解：设A（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′＝，∴，则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0＝，∵切线经过点（﹣e，﹣1），∴，即，则x0＝e．∴A点坐标为（e，1）．故答案为：（e，1）．12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是．解：设＝λ＝（），＝+＝+μ＝+μ（）＝（1﹣μ）+μ＝+μ∴，∴，∴＝＝（），＝＝﹣+，6•＝6×（）×（﹣+）＝（++）＝++，∵•＝++，∴＝，∴＝3，∴＝．故答案为：13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是．解：由＝﹣，得，∴，解得tanα＝2或tan．当tanα＝2时，sin2α＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝；当tanα＝时，sin2α＝＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝．综上，sin（2α+）的值是．故答案为：．14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是[，）．解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与g（x）＝﹣（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则f（x）＝，x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k＝（k＞0），∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k＝，∴≤k＜．即k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；（2）若＝，求sin（B+）的值．解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a＝3c，b＝，cos B＝，∴由余弦定理得：cos B＝＝＝，解得c＝．（2）∵＝，∴由正弦定理得：，∴2sin B＝cos B，∵sin2B+cos2B＝1，∴sin B＝，cos B＝，∴sin（B+）＝cos B＝．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1∥平面DEC1．解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C 于点E，连结DF1．已知DF1＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．解：（1）如图，∵F2A＝F2B，∴∠F2AB＝∠F2BA，∵F2A＝2a＝F2D+DA＝F2D+F1D，∴AD＝F1D，则∠DAF1＝∠DF1A，∴∠DF1A＝∠F2BA，则F1D∥BF2，∵c＝1，∴b2＝a2﹣1，则椭圆方程为，取x＝1，得，则AD＝2a﹣＝．又DF1＝，∴，解得a＝2（a＞0）．∴椭圆C的标准方程为；（2）由（1）知，D（1，），F1（﹣1，0），∴＝，则BF2：y＝，联立，得21x2﹣18x﹣39＝0．解得x1＝﹣1或（舍）．∴．即点E的坐标为（﹣1，﹣）．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于．．．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．解：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，则k BP•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB＝＝15；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），则k QA•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x2＝﹣，Q（﹣，0），由﹣17＜﹣8＜﹣，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，PB2＝（a+8）2+144≥225，QA2＝b2+36≥225，则b≥3，当d最小时，PQ＝17+3．19．（16分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．解：（1）∵a＝b＝c，∴f（x）＝（x﹣a）3，∵f（4）＝8，∴（4﹣a）3＝8，∴4﹣a＝2，解得a＝2．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）2+2（x﹣a）（x﹣b）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．∵f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，若：a＝﹣3，b＝1，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝1，b＝﹣3，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝﹣3，b＝3，则＝＝﹣1∉A，舍去．．a＝3，b＝1，则＝＝∉A，舍去．a＝1，b＝3，则＝∉A，舍去．a＝3，b＝﹣3，则＝＝1∈A，．因此a＝3，b＝﹣3，＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．f′（x）＝3[x﹣（﹣3）]（x﹣1）．可得x＝1时，函数f（x）取得极小值，f（1）＝﹣2×42＝﹣32．（3）证明：a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝（x﹣b）（x﹣1）+x（x﹣1）+x（x﹣b）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＝4（b+1）2﹣12b＝4b2﹣4b+4＝4+3≥3．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，x1+x2＝，x1x2＝，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，∵f′（x1）＝﹣（2b+2）x1+b＝0，可得：＝[（2b+2）x1﹣b]，M＝f（x1）＝x1（x1﹣b）（x1﹣1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝[（2b﹣1）﹣2b2x1+b2]＝＝，∵﹣2b2+2b﹣2＝﹣2﹣＜0，∴M在x1∈（0，]上单调递减，∴M≤＝≤．∴M≤．20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{a n}为“M﹣数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1＝1，＝﹣，其中S n为数列{b n}的前n 项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，求m的最大值．解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，则由a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，得∴，∴数列{a n}首项为1且公比为正数即数列{a n}为“M﹣数列”；（2）①∵b1＝1，＝﹣，∴当n＝1时，，∴b2＝2，当n＝2时，，∴b3＝3，当n＝3时，，∴b4＝4，猜想b n＝n，下面用数学归纳法证明；（i）当n＝1时，b1＝1，满足b n＝n，（ii）假设n＝k时，结论成立，即b k＝k，则n＝k+1时，由，得＝＝k+1，故n＝k+1时结论成立，根据（i）（ii）可知，b n＝n对任意的n∈N*都成立．故数列{b n}的通项公式为b n＝n；②设{c n}的公比为q，存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，即q k﹣1≤k≤k对k≤m恒成立，当k＝1时，q≥1，当k＝2时，，当k≥3，两边取对数可得，对k≤m有解，即，令f（x）＝，则，当x≥3时，f'（x）＜0，此时f（x）递增，∴当k≥3时，，令g（x）＝，则，令，则，当x≥3时，ϕ'（x）＜0，即g'（x）＜0，∴g（x）在[3，+∞）上单调递减，即k≥3时，，则，下面求解不等式，化简，得3lnm﹣（m﹣1）ln3≤0，令h（m）＝3lnm﹣（m﹣1）ln3，则h'（m）＝﹣ln3，由k≥3得m≥3，h'（m）＜0，∴h（m）在[3，+∞）上单调递减，又由于h（5）＝3ln5﹣4ln3＝ln125﹣ln81＞0，h（6）＝3ln6﹣5ln3＝ln216﹣ln243＜0，∴存在m0∈（5，6）使得h（m0）＝0，∴m的最大值为5，此时q∈，．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵A＝．（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值．解：（1）∵A＝∴A2＝＝（2）矩阵A的特征多项式为：f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，令f（λ）＝0，则由方程λ2﹣5λ+4＝0，得λ＝1或λ＝4，∴矩阵A的特征值为1或4．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin （θ+）＝3．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．解：（1）设极点为O，则在△OAB中，由余弦定理，得AB2＝OA2+OB2﹣2OA，∴AB＝＝；（2）由直线1的方程ρsin（θ+）＝3，知直线l过（3，），倾斜角为，又B（，），∴点B到直线l的距离为．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．解：|x|+|2x﹣1|＝，∵|x|+|2x﹣1|＞2，∴或或，∴x＞1或x∈∅或x ＜﹣，∴不等式的解集为{x|x ＜﹣或x＞1}．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．解：（1）由（1+x）n＝C+C x+C x2+…+C x n，n≥4，可得a2＝C ＝，a3＝C ＝，a4＝C ＝，a32＝2a2a4，可得（）2＝2••，解得n＝5；（2）方法一、（1+）5＝C+C+C （）2+C （）3+C （）4+C （）5＝a+b，由于a，b∈N*，可得a＝C+3C+9C＝1+30+45＝76，b＝C+3C+9C＝44，可得a2﹣3b2＝762﹣3×442＝﹣32；方法二、（1+）5＝C+C+C （）2+C （）3+C （）4+C （）5＝a+b，（1﹣）5＝C+C （﹣）+C （﹣）2+C （﹣）3+C （﹣）4+C （﹣）5＝C﹣C+C （）2﹣C （）3+C （）4﹣C （）5，由于a，b∈N*，可得（1﹣）5＝a﹣b，第21页（共22页）可得a2﹣3b2＝（1+）5•（1﹣）5＝（1﹣3）5＝﹣32．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集A n＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，B n＝{（0，1），（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令M n＝A n∪B n∪∁n．从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n＝1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．解：（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，X的概率分布为P（X＝1）＝＝；P（X ＝）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X ＝）＝＝；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，①若b＝d，则AB≤n，不存在X＞n的取法；②若b＝0，d＝1，则AB ＝≤，所以X＞n当且仅当AB ＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；③若b＝0，d＝2，则AB ＝≤，所以X＞n当且仅当AB ＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；④若b＝1，d＝2，则AB ＝≤，所以X＞n当且仅当AB ＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；综上可得当X＞n，X 的所有值是或，且P（X ＝）＝，P（X ＝）＝，可得P（X≤n）＝1﹣P（X ＝）﹣P（X ＝）＝1﹣．第22页（共22页）。
2019年高考真题数学(江苏卷)Word版含解析
uuur
2
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1
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2
3
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2
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g
AB
AC
g
AB
AC
g，
2
3
AB AC
AB AC
2
2
AB AC
3
1uuur2
3uuur2
uuur
3
uuur
AB
3.
得
AB
AC ,即
AB
AC ,故
2
2
AC
【点睛】此题考察在三角形中平面向量的数目积运算，浸透了直观想象、逻辑推理和数学运
x
2
x
1
xi
，此中
．
i
ni
1
i 1
柱体的体积VSh，此中S是柱体的底面积，h是柱体的高．
1
3
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，合计70分．请把答案填写在答题
．．
卡相应地点上
．．．．．．
1.已知会合A={－1,0,1,6}，Bx | x0, xR，则A∩B=_____.
【答案】{1,6}.
【分析】
【剖析】
由题意利用交集的定义求解交集即可.
【详解】由题知，AI B{1,6}.
【点睛】此题主要考察交集的运算，属于基础题.
2.已知复数(a
2i)(1
i)的实部为
0，此中i为虚数单位，则实数
a的值是_____.
【答案】2
【分析】
【剖析】
此题依据复数的乘法运算法例先求得
z，而后依据复数的观点，令实部为
0即得a的值.
2019年江苏省高考数学试卷(原卷版)
-2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4 页，均为非选择题( 第1 题~第20 题，共20 题) 。
本卷满分为160 分，考试时间为120 分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：nn 221 1 , x 的方差?, x1 , 样本数据n xi s x2xxx i．，其中n i 1 n i 1是柱体的高．是柱体的底面积，h 柱体的体积V Sh，其中S1 Sh，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．V锥体的体积3 分．请把答案填写在答题卡相应位置70 一、填空题：本大题共14 小题，每小题分，共计5 ．．．．．．．上．．，{ 1,0,1,6} A R 0, x x 1.已知集，_____. B A B 则合x的实部i) 2i)((a 的值a ，其0i_____. 为虚数单位，则实已知复2. 是中数为1 数_____. 的值是S 下图是一个算法流程图，则输3. 出---2的定义域是_____.函数 4.x7y6x10 ____. 8 8 9 6 7 已知一组数5. 据，，，，，则该组数据的方差是，6名女同学 1 名同学中至少有2 名女同学中任则选出的2. 的概选2 名同学参加志愿者服务，从3 名男同学和_____.率是2y2xOy 中，若双曲线x 1(b 0) 经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是7在平面直角坐标_____. . 系2 b*a若已知数列N ) 是等差数是其前n 项和 .S 82n .27 a 0, S _____.，则a S }( n{ a 列，的值是988n59的体积是120，E 为CC1 的中点，则三A DBC . ABCD如图，长方体棱锥_____.E-BCD 的体积是11114 10 y 是曲线中，P xOy P 到直线x+y=0 的距离的最(x 0) 上的一个动点，. x 小在平面直角坐标系则点x. 值是_____11xOy 中，点A 在曲线y=lnx 上，且该曲线在点 A 切线经过点（-e，-1)(e 为自. 处然对在平面直角坐标系____.数的底数），则点 A 的坐标是---12如图，在V ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE=2EA ，AD 与CE 交于点O .若， . AB AC 6 AO EC---AB _____.的值是则ACtan 2π的值是13. sin 2 π3 ，则已知_____.4 tan44 2 .，g( x) 的周期上的两个周14. 设f ( x), g( x) 是定义在R ，且f ( x) 的周f (x) 是奇函数为期函数，当期为x 1 k( x 2),0f x (0,2] 时，的x k>0.若在区间(0，9]上，关于，其中2方1 g( x)，( x) 1 ( x 1)x 2 ,12程f (x) g( x) 有8 k 的取值范围是_____.个不同的实数根，则二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤．15.在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c．（1）若a=3c，，求c 的2，cosB= 2 b= 值；3sin A cos B) 的值．sin(B ，求（2）若a 2b 2中，D，E 分别为BC，AC 的中点，ABC －1161 ．AB=BC A1 如图，在直三棱柱. B C---求证：（1）A1B1∥平面DEC 1；---．BE⊥C1E（2）2y1(a如图，在平面直角坐标17. x2C: xOy 中，椭圆0) b的焦点为 F （–1、0），系122 a bF （1，0）．过F 作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 222交4a 交于点 C A，与椭圆与圆F: 22 y1) 于点( x2D .连结AF 1 并延长交圆F2 于点B，连结BF 2 交椭圆 C 于点E，连结DF 5 1 ．已知DF 1= ． 2（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）求点 E 的坐标．18. 如图，一个湖的边界是圆心O 的圆，湖的一侧有一条直线型公l，湖上有桥AB（AB 是圆O 的直为径）．规路划在公路l 上选两个点P、Q，并修建两段直线PB、QA．规划要求: 线段PB、QA 上的所有点到点O型道路的距离均不小于圆 D 为垂足），测得BD和（C、l 的距离分别AC O 的半径．已知点A、B 到直线AB=10，为．．．．AC =6，BD =12 （单位:百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d（单位：百米） .求当d 最小时，P、Q 两点间的距离．19. 设函数f (x) ( x a)( x b)( x c), a,b, c R ，f ' (x) 为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a 的值；---（2）若a≠b，b=c，且f（x）和 f ' ( x) 的零点均在集合{ 3,1,3} 中，求 f ）的极小值；（x a 0,0 b, 1, ）若（34．:M x）的极大值为M，求证≤1 ，且f（c27且公比为正数的等比数列 1 20. 定义首项为 .为“M －数列”（1）已知等比数列{ an} 满足：a , a 4a 4a 0 ，求证:数列{ an} 为“M －数列”；a a 354122（2）已知数列{ b} 满n1 2 2 1, 足:b n 项和．Sn 为数列{ bn} 的前，其中1 S b b 1 nnn①求数列{ bn} 的通项公式；，对任意正整数k，当k≤m 时，都有c k c 成立，求为正整数，若存在②设m k 1剟b } mM －数列”{ c “kn的最大值．)数学Ⅱ( 附加题．若并在相应的答题区域内作答、22、23 三小题，请选定其中两小题，【选做题】本题包括21 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．3 1 已知矩21.阵A2 22 1）求A；（.）求矩阵2 A 的特征值（3 sinl 的方程为22. 在极坐标系中，已知两点 A 3,, B 2, ，直线.44 2，B 两点间的距离；（1）求A.l 的距离（2）求点 B 到直线|x|+|2 x 1|>2 .x R ，解不等式23.设分，共计20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答24 【必做题】第题、第25 题，每题10．．．．．．．时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．n4, x , na? (124. 设n22*n aa x x a n 2a a 已知aNx) 4012231（n ）求的值；---*a,b N ，求b 3 ，其中2n 3) a(1 2（）设a---25. 在平面直角坐标系xOy ,( n,0)} 中，设点集A {(0,0),(1,0),(2,0), ，n(0,1),( n,1)}{(0,2),(1 ,2),(2,,( n,2)}, 从集Cn .N . BnAn M Bn Mn 中任取两n n合n 2), ,C 令表示它们之间的距X 个不同的点，用随机变. 离量X 的概率分布；n=1 （1）时，求当≥3），求nn（）nXP（≤2）表）对给n 示（. 正整概率（用定数的--。
江苏省2019年高考[数学]考试真题与答案解析
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4．函数的定义域是276y x x =+-5．已知一组数据6，7，8，8，6．从3名男同学和2名女同学中任选1名女同学的概率是.7．在平面直角坐标系中，若双曲线xOy 线方程是 .8．已知数列是等差数列，*{}()n a n ∈N 是.10．在平面直角坐标系中，P 是曲线xOy 的距离的最小值是 .13．已知，则的值是tan 2α=-πsin 2α⎛⎫+19．设函数、()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R (f '（1）若a=b=c ，f （4）=8，求a 的值；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有*()n ∈N 成立，求m 的最大值．1k k k c b c +……答案解析一、填空题1、2、23、54、5、6、 7、{1,6}[1,7]-537102y x=±8、169、10 10、4 11、 12、13、14、(e, 1)321012,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭二、解答题15.解：（1）因为，23,2,cos 3a cb B ===由余弦定理，得，即。
所以.222cos 2a c b B ac +-=2222(3)(2)323c c c c +-=⨯⨯213c =33c =（2）因为，sin cos 2A B a b=由正弦定理，得，所以.sin sin a b A B =cos sin 2B Bb b=cos 2sin B B =从而，即，故.22cos (2sin )B B =()22cos 41cos B B =-24cos 5B =因为，所以，从而，因此.sin 0B >cos 2sin 0B B =>25cos 5B =π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭16.证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB.在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED.又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1平面DEC 1，所以A 1B 1∥平面DEC 1.⊄（2）因为AB=BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC.因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC.又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE.因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC=C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E.17.解：（1）设椭圆C 的焦距为2c ，因为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c=1.又因为DF 1=，AF 2⊥x 轴，所以DF 2=，52222211253()222DF F F -=-=因此2a=DF 1+DF 2=4，从而a=2.由b 2=a 2-c 2，得b 2=3。
2019年高考真题数学(江苏卷含答案)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：样本数据的方差，其中．12,,,n x x x …()2211n i i s x x n ==-∑11n i i x x n ==∑柱体的体积，其中是柱体的底面积，是柱体的高．V Sh =S h 锥体的体积，其中是锥体的底面积，是锥体的高．13V Sh =S h 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合，，则 ▲ .{1,0,1,6}A =-{|0,}B x x x =>∈R A B = 2．已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a 的值是 ▲ .(2i)(1i)a ++i 3．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ .4．函数的定义域是 ▲ .y =5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ▲ .6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ▲ .7．在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的xOy 2221(0)y x b b-=>渐近线方程是 ▲ .8．已知数列是等差数列，是其前n 项和.若，则*{}()n a n ∈N n S 25890,27a a a S +==8S 的值是 ▲ .9．如图，长方体的体积是120，E 为的中点，则三棱锥E -BCD 的1111ABCD A B C D -1CC 体积是 ▲ .10．在平面直角坐标系中，P 是曲线上的一个动点，则点P 到直线xOy 4(0)y x x x=+>x +y =0的距离的最小值是 ▲ .11．在平面直角坐标系中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点xOy （-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ .12．如图，在中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点.ABC △O 若，则的值是▲ .6AB AC AO EC ⋅=⋅ AB AC13．已知，则的值是 ▲ .tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭14．设是定义在R 上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，(),()f x g x ()f x ()g x 且是奇函数.当时，，()f x 2(]0,x ∈()f x =(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程有8个不同的实数根，则k ()()f x g x =的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =，求c 的值；23（2）若，求的值．sin cos 2A B a b =sin(2B π+16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :的焦点为F 1（–1、22221(0)x y a b a b+=>>0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:交于222(1)4x y a -+=点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=．52（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．18．（本小题满分16分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位:百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q两点间的距离．19．（本小题满分16分）设函数、为f （x ）的导函数．()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈()f 'x （1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和的零点均在集合中，求f （x ）的极小()f 'x {3,1,3}-值；（3）若，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤．0,01,1a b c =<= (427)20．（本小满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }满足：，求证:数列{a n }*()n ∈N 245324,440a a a a a a =-+=为“M －数列”；（2）已知数列{b n }满足:，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．111221,n n n b S b b +==-①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }，对任意正整数k ，当k ≤m 时，*()n ∈N 都有成立，求m 的最大值．1k k k c b c +……数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵 3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点，直线l 的方程为.3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设，解不等式.x ∈R ||+|2 1|>2x x -【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）设.已知2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N ….23242a a a =（1）求n 的值；（2）设，求的值.(1n a +=+*,a b ∈N 223a b -23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集，{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N 令.从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的n n n n M A B C = 距离.（1）当n =1时，求X 的概率分布；2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ答 案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.1. 2.23.54. 5. 6.7.{1,6}[1,7]-53710y =8.169.1010.411.14.(e, 1)13⎡⎢⎣二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.解：（1）因为，23,3a cb B ===由余弦定理，得，即.222cos 2a c b B ac +-=23=213c =所以.c =（2）因为，sin cos 2A Ba b =由正弦定理，得，所以.sin sin a b A B =cos sin 2B Bb b=cos 2sin B B =从而，即，故.22cos (2sin )B B =()22cos 41cos B B =-24cos 5B =因为，所以，从而.sin 0B >cos 2sin 0B B =>cos B =因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1平面DEC 1，⊄所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC .因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分.解：（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1.又因为DF 1=，AF 2⊥x 轴，所以DF 2，5232==因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2.由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为.22143x y +=（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：，a =2，22143x y +=因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4.因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4).又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由，得，22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩256110x x +-=解得或.1x =115x =-将代入，得，115x =-22y x =+125y =-因此.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：.1112(,)55B --3(1)4y x =-由，得，解得或.221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪276130x x --=1x =-137x =又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以.1x =-将代入，得.因此.1x =-3(1)4y x =-32y =-3(1,)2E --解法二：由（1）知，椭圆C ：.如图，连结EF 1.22143x y +=因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ，从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ，所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A .因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由，得.221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩32y =±又因为E 是线段BF2与椭圆的交点，所以.32y =-因此.3(1,)2E --18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分.解：解法一：（1）过A 作，垂足为E .AE BD ⊥由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，.'6, 8DE BE AC AE CD =====因为PB ⊥AB ，所以.84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==所以.12154cos 5BD PB PBD ===∠因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知，10AD ==从而，所以∠BAD 为锐角.2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设为l 上一点，且，由（1）知，B =15，1P 1PB AB ⊥1P 此时；11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=当∠OBP >90°时，在中，.1PPB △115PB PB >=由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于CQ ===圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+（百米）.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为.34因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为，43-直线PB 的方程为.42533y x =--所以P （−13，9），.15PB ==因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：.36(44)4y x x =-+-……在线段AD 上取点M （3，），因为，1545OM =<=所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设为l 上一点，且，由（1）知，B =15，此时（−13，9）；1P 1PB AB ⊥1P 1P 当∠OBP >90°时，在中，.1PPB △115PB PB >=由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由，得a =Q （15(4)AQ a ==>4+，9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.4+综上，当P （−13，9），Q （，9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4+.4(13)17PQ =+--=+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为（百米）.17+19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）因为，所以．a b c ==3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-因为，所以，解得．(4)8f =3(4)8a -=2a =（2）因为，b c =所以，2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-从而．令，得或．2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()0f 'x =x b =23a b x +=因为，都在集合中，且，2,,3a ba b +{3,1,3}-a b ≠所以．21,3,33a b a b +===-此时，．2()(3)(3)f x x x =-+()3(3)(1)f 'x x x =+-令，得或．列表如下：()0f 'x =3x =-1x =x(,3)-∞-3-(3,1)-1(1,)+∞()f 'x +0–0+()f x A 极大值A 极小值A所以的极小值为．()f x 2(1)(13)(13)32f =-+=-（3）因为，所以，0,1a c ==32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++．2()32(1)f 'x x b x b =-++因为，所以，01b <≤224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>则有2个不同的零点，设为．()f 'x ()1212,x x x x <由，得()0f 'x =12x x ==列表如下：x1(,)x -∞1x ()12,x x2x 2(,)x +∞()f 'x +0–0+()f x A 极大值A 极小值A所以的极大值．()f x ()1M f x =解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()()221111211(1)32(1)3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+．因此．(1)24272727b b +≤+≤427M ≤解法二：因为，所以．01b <≤1(0,1)x ∈当时，．(0,1)x ∈2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-令，则．2()(1),(0,1)g x x x x =-∈1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭令，得．列表如下：()0g'x =13x =x1(0,)3131(,1)3()g'x +0–()g x A 极大值A所以当时，取得极大值，且是最大值，故．13x =()g x max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以当时，，因此．(0,1)x ∈4()()27f x g x ≤≤427M ≤20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由，得，解得．245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩112a q =⎧⎨=⎩因此数列为“M —数列”.{}n a（2）①因为，所以．1122nn n S b b +=-0n b ≠由得，则.1111,b S b ==212211b =-22b =由，得，1122nn n S b b +=-112()n n n n n b b S b b ++=-当时，由，得，2n ≥1n n n b S S -=-()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---整理得．112n n n b b b +-+=所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{b n }的通项公式为b n=n.()*n ∈N ②由①知，b k =k ，.*k ∈N 因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0.因为c k ≤b k ≤c k +1，所以，其中k =1，2，3，…，m .1k k q k q -≤≤当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有．ln ln ln 1k kq kk ≤≤-设f （x ）=，则．ln (1)x x x >21ln ()xf 'x x -=令，得x =e.列表如下：()0f 'x =x (1,e)e (e ，+∞)()f 'x +0–f （x ）极大值因为，所以．ln 2ln 8ln 9ln 32663=<=max ln 3()(3)3f k f ==取k =1，2，3，4，5时，，即，q =ln ln kq k …k k q ≤经检验知也成立．1k q k -≤因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6.综上，所求m 的最大值为5．数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4–2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为，3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A ==．3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）矩阵A 的特征多项式为.231()5422f λλλλλ--==-+--令，解得A 的特征值.()0f λ=121,4λλ==B ．[选修4–4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，），B ，），4π2π由余弦定理，得AB.=（2）因为直线l 的方程为，sin(34ρθπ+=则直线l过点，倾斜角为．)2π34π又，所以点B到直线l的距离为.)2Bπ3sin()242ππ⨯-=C．[选修4–5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．解：当x<0时，原不等式可化为，解得x<–：122x x-+->13当0≤x≤时，原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解；12当x>时，原不等式可化为x+2x–1>2，解得x>1.12综上，原不等式的解集为.1{|1}3x x x<->或22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分10分．解：（1）因为，0122(1)C C C C4n n nn n n nx x x x n+=++++≥，所以，2323(1)(1)(2)C,C26n nn n n n na a---====．44(1)(2)(3)C24nn n n na---==因为，23242a a a=所以，2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[26224n n n n n n n n n------=⨯⨯解得．5n=（2）由（1）知，．5n=5(1(1n+=+012233445555555C C C C C C=+++++a =+解法一：因为，所以，*,a b ∈N 024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=从而．222237634432a b -=-⨯=-解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++．02233445555555C C C C C C =--+-因为，所以．*,a b ∈N 5(1a -=-因此．225553((1(1(2)32a b a a -=+-=⨯-=-=-23．【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）当时，的所有可能取值是．1n =X 12的概率分布为，X 22667744(1),(C 15C 15P X P X ======．22662222(2),(C 15C 15P X P X ======（2）设和是从中取出的两个点．()A a b ，()B c d ，n M 因为，所以仅需考虑的情况．()1()P X n P X n ≤=->X n >①若，则，不存在的取法；b d =AB n ≤X n >②若，则当且仅当01b d ==，AB=≤X n >或，有2种取法；AB =0 a c n ==，0a n c==，③若，则，因为当时，02b d ==，AB=≤3n ≥，所以当且仅当，此时或n≤X n >AB =0 a c n ==，，有2种取法；0a n c ==，④若，则当且仅当12b d ==，AB=≤X n >或，有2种取法．AB =0 a c n ==，0an c ==，综上，当时，，且X n >X．22242442(,(C C n n PX P X++====因此，．2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-。
2019年江苏省高考数学试卷以及答案解析
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．4．（5分）函数y＝的定义域是．5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是．8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是．9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD 的体积是．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是．12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是．13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是．14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；（2）若＝，求sin（B+）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于．．．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．19．（16分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{a n}为“M ﹣数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1＝1，＝﹣，其中S n为数列{b n}的前n 项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，求m的最大值．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵A＝．（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin （θ+）＝3．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集A n＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，B n＝{（0，1），（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令M n＝A n∪B n ∪∁n．从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n＝1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．2019年江苏省高考数学答案解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，6}∩{x|x＞0，x∈R}＝{1，6}．故答案为：{1，6}．【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求的a值．【解答】解：∵（a+2i）（1+i）＝（a﹣2）+（a+2）i的实部为0，∴a﹣2＝0，即a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝1，S＝0S＝0.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝2，S＝1.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝3，S＝3不满足条件x≥4，执行循环体，x＝4，S＝5此时，满足条件x≥4，退出循环，输出S的值为5．故答案为：5．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4．【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案．【解答】解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函数y＝的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．5．【分析】先求出一组数据6，7，8，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：＝（6+7+8+8+9+10）＝8，∴该组数据的方差为：S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝．故答案为：．【点评】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．【分析】基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数m＝+＝7，由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率．【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：m＝+＝7，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．7．【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b，则双曲线的渐近线方程可求．【解答】解：∵双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），∴，解得b2＝2，即b＝．又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y＝．故答案为：y＝．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．8．【分析】设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n项和求得S8的值．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则，解得．∴＝6×（﹣5）+15×2＝16．故答案为：16．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，是基础题．9．【分析】推导出＝AB×BC×DD1＝120，三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1，由此能求出结果．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，∴＝AB×BC×DD1＝120，∴三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1＝10．故答案为：10．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．10．【分析】利用导数求平行于x+y＝0的直线与曲线y＝x+（x＞0）的切点，再由点到直线的距离公式求点P到直线x+y＝0的距离的最小值．【解答】解：由y＝x+（x＞0），得y′＝1﹣，设斜率为﹣1的直线与曲线y＝x+（x＞0）切于（x0，），由，解得（x0＞0）．∴曲线y＝x+（x＞0）上，点P（）到直线x+y＝0的距离最小，最小值为．故答案为：4．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．11．【分析】设A（x0，lnx0），利用导数求得曲线在A处的切线方程，代入已知点的坐标求解x0即可．【解答】解：设A（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′＝，∴，则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0＝，∵切线经过点（﹣e，﹣1），∴，即，则x0＝e．∴A点坐标为（e，1）．故答案为：（e，1）．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，区分过点处与在点处的不同，是中档题．12．【分析】首先算出＝，然后用、表示出、，结合•＝6•得＝，进一步可得结果．【解答】解：设＝λ＝（），＝+＝+μ＝+μ（）＝（1﹣μ）+μ＝+μ∴，∴，∴＝＝（），＝＝﹣+，6•＝6×（）×（﹣+）＝（++）＝++，∵•＝++，∴＝，∴＝3，∴＝．故答案为：【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．13．【分析】由已知求得tanα，分类利用万能公式求得sin2α，cos2α的值，展开两角和的正弦求sin（2α+）的值．【解答】解：由＝﹣，得，∴，解得tanα＝2或tan．当tanα＝2时，sin2α＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝；当tanα＝时，sin2α＝＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝．综上，sin（2α+）的值是．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公式的应用，是基础题．14．【分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案．【解答】解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与g（x）＝﹣（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则f（x）＝，x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k＝（k＞0），∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k＝，∴≤k＜．即k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．【点评】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．【分析】（1）由余弦定理得：cos B＝＝＝，由此能求出c的值．（2）由＝，利用正弦定理得2sin B＝cos B，再由sin2B+cos2B＝1，能求出sin B ＝，cos B＝，由此利用诱导公式能求出sin（B+）的值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a＝3c，b＝，cos B＝，∴由余弦定理得：cos B＝＝＝，解得c＝．（2）∵＝，∴由正弦定理得：，∴2sin B＝cos B，∵sin2B+cos2B＝1，∴sin B＝，cos B＝，∴sin（B+）＝cos B＝．【点评】本题考查三角形边长、三角函数值的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．16．【分析】（1）推导出DE∥AB，AB∥A1B1，从而DE∥A1B1，由此能证明A1B1∥平面DEC1．（2）推导出BE⊥AA1，BE⊥AC，从而BE⊥平面ACC1A1，由此能证明BE⊥C1E．【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1∥平面DEC1．解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17．【分析】（1）由题意得到F1D∥BF2，然后求AD，再由AD＝DF1＝求得a，则椭圆方程可求；（2）求出D的坐标，得到＝，写出BF2的方程，与椭圆方程联立即可求得点E的坐标．【解答】解：（1）如图，∵F2A＝F2B，∴∠F2AB＝∠F2BA，∵F2A＝2a＝F2D+DA＝F2D+F1D，∴AD＝F1D，则∠DAF1＝∠DF1A，∴∠DF1A＝∠F2BA，则F1D∥BF2，∵c＝1，∴b2＝a2﹣1，则椭圆方程为，取x＝1，得，则AD＝2a﹣＝．又DF1＝，∴，解得a＝2（a＞0）．∴椭圆C的标准方程为；（2）由（1）知，D（1，），F1（﹣1，0），∴＝，则BF2：y＝，联立，得21x2﹣18x﹣39＝0．解得x1＝﹣1或（舍）．∴．即点E的坐标为（﹣1，﹣）．【点评】本题考查直线与圆，圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，证明DF1∥BF2是解答该题的关键，是中档题．18．【分析】（1）设BD与圆O交于M，连接AM，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）设点P（x1，0），PB⊥AB，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得P的坐标，可得所求值；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得Q的坐标，即可得到结论；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，结合条件，可得b的最小值，由两点的距离公式，计算可得PQ．【解答】解：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，则k BP•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB＝＝15；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），则k QA•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x2＝﹣，Q（﹣，0），由﹣17＜﹣8＜﹣，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，PB2＝（a+8）2+144≥225，QA2＝b2+36≥225，则b≥3，当d最小时，PQ＝17+3．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及两点的距离公式，分析问题和解决问题的能力，考查运算能力，属于中档题．19．【分析】（1）由a＝b＝c，可得f（x）＝（x﹣a）3，根据f（4）＝8，可得（4﹣a）3＝8，解得a．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．根据f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，通过分类讨论可得：只有a＝3，b＝﹣3，可得＝＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．利用导数研究其单调性可得x＝1时，函数f（x）取得极小值．（3）a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＞0．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，通过计算化简即可证明结论．【解答】解：（1）∵a＝b＝c，∴f（x）＝（x﹣a）3，∵f（4）＝8，∴（4﹣a）3＝8，∴4﹣a＝2，解得a＝2．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）2+2（x﹣a）（x﹣b）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．∵f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，若：a＝﹣3，b＝1，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝1，b＝﹣3，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝﹣3，b＝3，则＝＝﹣1∉A，舍去．．a＝3，b＝1，则＝＝∉A，舍去．a＝1，b＝3，则＝∉A，舍去．a＝3，b＝﹣3，则＝＝1∈A，．因此a＝3，b＝﹣3，＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．f′（x）＝3[x﹣（﹣3）]（x﹣1）．可得x＝1时，函数f（x）取得极小值，f（1）＝﹣2×42＝﹣32．（3）证明：a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝（x﹣b）（x﹣1）+x（x﹣1）+x（x﹣b）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＝4（b+1）2﹣12b＝4b2﹣4b+4＝4+3≥3．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，x1+x2＝，x1x2＝，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，∵f′（x1）＝﹣（2b+2）x1+b＝0，可得：＝[（2b+2）x1﹣b]，M＝f（x1）＝x1（x1﹣b）（x1﹣1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝[（2b﹣1）﹣2b2x1+b2] ＝＝，∵﹣2b2+2b﹣2＝﹣2﹣＜0，∴M在x1∈（0，]上单调递减，∴M≤＝≤．∴M≤．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，然后根据a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0列方程求解，在根据新定义判断即可；（2）求出b2，b3，b4猜想b n，然后用数学归纳法证明；（3）设{c n}的公比为q，将问题转化为，然后构造函数f（x）＝，g（x）＝，分别求解其最大值和最小值，最后解不等式，即可．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，则由a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，得∴，∴数列{a n}首项为1且公比为正数即数列{a n}为“M﹣数列”；（2）①∵b1＝1，＝﹣，∴当n＝1时，，∴b2＝2，当n＝2时，，∴b3＝3，当n＝3时，，∴b4＝4，猜想b n＝n，下面用数学归纳法证明；（i）当n＝1时，b1＝1，满足b n＝n，（ii）假设n＝k时，结论成立，即b k＝k，则n＝k+1时，由，得＝＝k+1，故n＝k+1时结论成立，根据（i）（ii）可知，b n＝n对任意的n∈N*都成立．故数列{b n}的通项公式为b n＝n；②设{c n}的公比为q，存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，即q k﹣1≤k≤k对k≤m恒成立，当k＝1时，q≥1，当k＝2时，，当k≥3，两边取对数可得，对k≤m有解，即，令f（x）＝，则，当x≥3时，f'（x）＜0，此时f（x）递增，∴当k≥3时，，令g（x）＝，则，令，则，当x≥3时，ϕ'（x）＜0，即g'（x）＜0，∴g（x）在[3，+∞）上单调递减，即k≥3时，，则，下面求解不等式，化简，得3lnm﹣（m﹣1）ln3≤0，令h（m）＝3lnm﹣（m﹣1）ln3，则h'（m）＝﹣ln3，由k≥3得m≥3，h'（m）＜0，∴h（m）在[3，+∞）上单调递减，又由于h（5）＝3ln5﹣4ln3＝ln125﹣ln81＞0，h（6）＝3ln6﹣5ln3＝ln216﹣ln243＜0，∴存在m0∈（5，6）使得h（m0）＝0，∴m的最大值为5，此时q∈，．【点评】本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立，考查了数学归纳法和构造法，是数列、函数和不等式的综合性问题，属难题．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．【分析】（1）根据矩阵A直接求解A2即可；（2）矩阵A的特征多项式为f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，解方程f（λ）＝0即可．【解答】解：（1）∵A＝∴A2＝＝（2）矩阵A的特征多项式为：f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，令f（λ）＝0，则由方程λ2﹣5λ+4＝0，得λ＝1或λ＝4，∴矩阵A的特征值为1或4．【点评】本题考查了矩阵的运算和特征值等基础知识，考查运算与求解能力，属基础题．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．【分析】（1）设极点为O，则由余弦定理可得，解出AB；（2）根据直线l的方程和点B的坐标可直接计算B到直线l的距离．【解答】解：（1）设极点为O，则在△OAB中，由余弦定理，得AB2＝OA2+OB2﹣2OA，∴AB＝＝；（2）由直线1的方程ρsin（θ+）＝3，知直线l过（3，），倾斜角为，又B（，），∴点B到直线l的距离为．【点评】本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离，属基础题．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．【分析】对|x|+|2x﹣1|去绝对值，然后分别解不等式即可．【解答】解：|x|+|2x﹣1|＝，∵|x|+|2x﹣1|＞2，∴或或，∴x＞1或x∈∅或x＜﹣，∴不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞1}．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属基础题．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．【分析】（1）运用二项式定理，分别求得a2，a3，a4，结合组合数公式，解方程可得n 的值；（2）方法一、运用二项式定理，结合组合数公式求得a，b，计算可得所求值；方法二、由于a，b∈N*，求得（1﹣）5＝a﹣b，再由平方差公式，计算可得所求值．【解答】解：（1）由（1+x）n＝C+C x+C x2+…+C x n，n≥4，可得a2＝C＝，a3＝C＝，a4＝C＝，a32＝2a2a4，可得（）2＝2••，解得n＝5；（2）方法一、（1+）5＝C+C+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5＝a+b，由于a，b∈N*，可得a＝C+3C+9C＝1+30+45＝76，b＝C+3C+9C＝44，可得a2﹣3b2＝762﹣3×442＝﹣32；方法二、（1+）5＝C+C+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5＝a+b，（1﹣）5＝C+C（﹣）+C（﹣）2+C（﹣）3+C（﹣）4+C（﹣）5＝C﹣C+C（）2﹣C（）3+C（）4﹣C（）5，由于a，b∈N*，可得（1﹣）5＝a﹣b，可得a2﹣3b2＝（1+）5•（1﹣）5＝（1﹣3）5＝﹣32．【点评】本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用，考查运算能力和分析问题能力，属于中档题．25．【分析】（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，由古典概率的公式，结合组合数可得所求值；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，分别讨论b，d的取值，结合古典概率的计算公式和对立事件的概率，即可得到所求值．【解答】解：（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，X的概率分布为P（X＝1）＝＝；P（X＝）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X＝）＝＝；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，①若b＝d，则AB≤n，不存在X＞n的取法；②若b＝0，d＝1，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；③若b＝0，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；④若b＝1，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；综上可得当X＞n，X的所有值是或，且P（X＝）＝，P（X＝）＝，可得P（X≤n）＝1﹣P（X＝）﹣P（X＝）＝1﹣．【点评】本题考查随机变量的概率的分布，以及古典概率公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及化简运算能力，属于难题．。
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2016年江苏数学高考试题
数学Ⅰ试题
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分
1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ________________.
2.复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________.
3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173
x y -=的焦距是________________.
4.已知一组数据，，，，，则该组数据的方差是________________.
5.函数y ＝232x x --的定义域是________
6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是________
7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________
8.已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和.若a1＋a22＝－3，S5＝10，则a9的值是________
9.定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是________
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，F
是椭圆
22
22
1(
)
x y
a b
a b
+=＞＞0的右焦点，直线
2
b
y=与椭圆交于B，C两点，且90
BFC
∠=，则该椭圆的离心率是________
11.设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[ −1，1)上，
,10,
()2
,01,
5
x a x
f x
x x
+-≤<
⎧
⎪
=⎨
-≤<
⎪
⎩
其中.
a∈R若
59
()()
22
f f
-=，则f（5a）的值是________
12. 已知实数x，y满足
240
220
330
x y
x y
x y
-+≥
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪--≤
⎩
，则x2＋y2的取值范围是________
13.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，4
BC CA
⋅=，1
BF CF
⋅=-，则BE CE
⋅的值是________
14.在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin B sin C，则tan A tan B tan C的最小值是________
二、解答题 （本大题共6小题，共90分）
15.（本小题满分14分）
在ABC △中，AC ＝6，4πcos .54
B C ， （1）求AB 的长； （2）求πcos(6
A )的值.
16.(本小题满分14分)
如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B1B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥.
求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；
（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F.
现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1PO 的四倍.
（1）若16,PO 2,AB m m ==则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱柱的侧棱长为6m ，则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？
18. （本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中，已知以M 为圆心的圆M ﹕22
1214600x y x y +--+=及其上一点A(2，4) （1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；
（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程；
（3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围。
已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠.
（1）设a ＝2，b ＝12
. ①求方程()f x ＝2的根;
②若对任意x R ∈，不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；
（2）若01,1a b <<＞
，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值。
20.（本小题满分16分）
记{}1,2,100U =…，.对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =;若{}12,,k T t t t =…，，
定义12+k T t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()
*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，
，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥，求证：2C C
D D S S S +≥.
数学Ⅱ（附加题）
21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）
如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，D 为垂足，E 是BC 的中点，求证：∠EDC ＝∠
ABD.
B.【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）
已知矩阵12,02A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦矩阵B 的逆矩阵111=202B -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，求矩阵AB.
C.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1123x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.
D.设a ＞0，∣x －1∣＜
3a ，∣y －2∣＜3
a ，求证：∣2x ＋y －4∣＜a.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. （本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px(p ＞0).
（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；
（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q.
①求证：线段PQ 的中点坐标为（2－p ，－p ）；
②求p 的取值范围.
23.（本小题满分10分）
（1）求3467–47C C 的值；
（2）设m ，n N*，n≥m ，
求证：（m ＋1）C m m ＋（m ＋2）+1C m m ＋（m ＋3）+2C m m ＋…＋n –1C m n ＋（n ＋1）C m n ＝（m ＋1）+2+2C m n .。