(完整版)平方根与立方根一对一辅导讲义(可编辑修改word版)
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教学目标1.了解一个数的平方根和算术平方根的意义，理解和掌握平方根的性质；
2.会求一个非负数的平方根、算术平方根；
3.掌握立方根的意义，会求一个数的立方根；
4.理解开立方与立方的关系。
重点、难点重点：算术平方根、平方根以及立方根的概念和性质。
难点：算术平方根与平方根的区别与联系。
考点及考试要求以考查对平方根、算术平方根、立方根的概念的理解程度和估算为主
教学内容
第一课时平方根与立方根知识梳理
课前检测
1、求下列各数的算术平方根：
⑴100 ⑵49
⑶1
7
⑷0.0001 ⑸0
64 9
2、求下列各式的值：
（1） 4 （2）49
（3）( 11)2（4）62 81
a + 1
b - 1 a
知识梳理
3、算术平方根等于本身的数有
。
4、求下列各数的算术平方根.
0.0025 ， 121， 42 ， (- 1 )2 ，1 9
2 16
5、已知 + = 0, 求a + 2b 的值.
一. 平方根：
1. 算术平方根的概念及表示方法
如果一个正数 x 的平方等于a ，即 x 2 = a ，那么这个正数 x 叫做a 的算术平方根。当a ≥ 0 时， a 的算术平方根记为 ，读作“根号a ”， a 叫做被开方数。
2. 平方根的概念及其性质
（1） 平方根的定义
如果一个数的平方等于a ，即 x 2 = a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。即如果 x 2 = a ，那
a
典型例题
么 x 叫做a 的平方根。
（2） 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是0；负数没有平方根。当a ≥ 0 时，a 的平方根表示为± 。
（3） 求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数。
3. 用计算器求一个正数的算术平方根
用计算器可以求出任何一个正数的算术平方根（或其近似值）。
二. 立方根：
1. 立方根的概念及表示方法
如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。即如果 x 3 = a ，那么 x 叫做a 的立方根，记作 3 a 。正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0 的立方根是 0。
2. 开立方的概念
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算。
3. 用计算器求立方根
很多有理数的立方根是无限不循环小数，我们可用计算器求出它们的近似值。
第二课时
平方根与立方根典型例题
知识点一：算术平方根
例 1. 下列各数有算术平方根吗？如果有，求出它的算术平方根；如果没有，请说明理由。 （1）81；
（2） -16 ； （3）0；
（4） 25
；
（5） (-2)2 ；
（6） (-2)3 。
4
思路分析：根据“正数和 0 都有算术平方根，负数没有算术平方根”知，（1）、（3）、（4）、（5）
3x + 5 y - 3 - m 2x + 3y - m x - 2005 + y 2005 - x - y 3x + 5 y - 3 - m 2x + 3y - m a 解答过程：由已知，得⎪
⎪ ⎨
2x + 3y - m ≥ 0 ⎨
2x + 3y - m = 0 例 5. 若一个正数a 的两个平方根分别为 x + 1和 x + 3 ，求a 2008 的值。
思路分析：由平方根的性质知：一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，因而可构造方程， 求出 x 的值，而a = (x + 1)2 或a = (x + 3)2 ，据此可求出a 的值。
解答过程：因为一个正数的两个平方根互为相反数所以(x + 1) + (x + 3) = 0 ，解得 x = -2 。
从而a = (x + 1)2 = (-2 + 1)2 = 1 （或a = (x + 3)2 = (-2 + 3)2 = 1)
所以a 2008 = 1 。
解题后的思考：本题利用平方根的性质，构造一元一次方程，先求出其平方根，再进一步求出a 。这里用到了方程思想，它是初中阶段一种重要的数学思想。
例 6. 若 x , y , m 适合关系式 + = + ，试求m 的值。
思路分析：从已知关系式看似乎无从下手，但关系式要成立先要有意义，此题从被开方数必须非负入手就能迎刃而解。
⎧3x + 5 y - 3 - m ≥ 0 (1) ⎪
2x + 3y - m ≥ 0 (2)
⎨x - 2005 + y ≥ 0 (3) ⎪⎩2005 - x - y ≥ 0 (4)
由（3）（4）式可知， x + y = 2005
所以，原式即为 + = 0
因为， ⎧3x + 5 y - 3 - m ≥ 0
⎩
所以， ⎧3x + 5 y - 3 - m = 0 ⎩
又因为， x + y = 2005
所以，解得m = 2008 。
解题后的思考： 方根必须非负，即 a 的非负性包括两层含义：一是被开方数a 必须非负，即a ≥ 0 ；二是a 的算术平
≥ 0 。
小结：负数没有平方根；一个正数有两个互为相反数的平方根；0 的平方根是 0
17
17 17
17 17
m m
a 2a
1
a a
2
知识点三：平方根的估算
例7.已知x 为- 2 的整数部分，y -1是9 的平方根，且| x -y |=y -x ，求x+y的值。
思路分析：此题涉及的估值问题，由16 < 17 < 25 ，即4 << 5 可解。还涉及y 的取值的取舍问题，求出的y 值要满足题目中的所有条件，既不能漏解，也不能多解。
解答过程：因为4 << 5 ，所以2 <- 2 < 3 ，即x = 2
因为y - 1 是 9 的平方根，所以y - 1 =±3 ，即y = 4 或y =-2
又因为| x -y |=y -x ，所以y ≥x
所以x = 2, y = 4 ，故x +y = 6 。
解题后的思考：若的整数部分为a ，则其小数部分为-a 。
小结：若一个非负数a 介于另外两个非负数a
1 , a
2
(a
1