(完整版)平方根与立方根一对一辅导讲义(可编辑修改word版)
(完整版)平方根、算术平方根、立方根重点例题讲解
6.1平方根、算术平方根、立方根例题讲解 第一部分：知识点讲解 1、学前准备【旧知回顾】2.平方根（1）平方根的定义：一般的，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做二次方根。
即若a x =2，)0(≥a ，则x 叫做a 的平方根。
即有a x ±=，（0≥a ）。
（2）平方根的性质：（3）注意事项：a x ±=，a 称为被开方数，这里被开方数一定是一个非负数（0≥a ）。
（4）求一个数平方根的方法：（5）开平方：求一个数平方根的运算叫做开平方。
它与平方互为逆运算。
3. 算术平方根（1）算术平方根的定义：若a x =2，)0(≥a ，则x 叫做a 的平方根。
即有a x ±=，（0≥a ）。
其中a x =叫做a 的算术平方根。
（2）算术平方根的性质：（3）注意点：在以后的计算题中，像22-52）（++，其中，25分别指的是2和5的算术平方根。
4.几种重要的运算： ① b a ab •=()0,0>>b a , ab b a =•()0,0>>b a②b a b a =)0,0(>≥b a , b aba =)0,0(>≥b a ③ a a =2)()0(≥a , a a =2 ， a a =2-）（★★★ 若0<+b a ，则()ba b a b a b a --=+-=+=+2)(5.立方根（1）立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根。
即若a x =3，则x 叫做a 的立方根。
即有3a x =。
（2）立方根的性质：（3）开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方，它与立方互为逆运算。
6.几个重要公式： ③ 333b a ab •=, 333ab b a =•333b a b a = )0(≠b , 333b a ba = )0(≠b④ a a =33)(可以为任何数）a (, a a =33 ，a a --33=）（第二部分：例题讲解题型1：求一个数的平方根、算术平方根、立方根。
数学初中教案：平方根与立方根的计算 (2)
数学初中教案：平方根与立方根的计算一、引言平方根与立方根是数学中常见的概念，也是初中数学教学中重要的内容之一。
通过计算平方根与立方根，可以帮助学生培养逻辑思维能力和数学推理能力。
在这篇文章中，我们将深入探讨如何准确计算平方根与立方根，并给出相应的教学案例。
二、平方根的计算方法1. 通过解法展示在初中数学教学中，我们通常会以具体例子为切入点来引出平方根的概念，并介绍求解平方根的基本方法。
下面以√x = a 为例进行解释：假设存在一个正实数 a 和一个非负实数 x，满足 a² = x。
那么我们称 a 为 x 的平方根，并用符号√x 表示。
如果已经知道 x 的值，那么我们需要找到一个正实数 a满足 a² = x。
2. 准确计算方法：试错法由于无理数的存在，不是所有数字都有精确的平方根表示方式。
因此，在初步了解平方根概念后，可以通过试错法来逼近它们的真实值。
例如，在求√2 近似值时：- 首先，选择一个数 a 作为初始值，例如 1；- 然后，计算 a²的值，并将结果与目标值 x 进行比较；- 如果 a² < x，则增加 a 的值，再次进行计算；- 如果 a² > x，则减小 a 的值，再次进行计算；- 通过不断调整 a 值并逼近真实值的过程，得到一个足够精确的近似解。
三、立方根的计算方法1. 通过解法展示与平方根类似，在初中数学教学中，我们也可以以具体例子为切入点来引出立方根的概念，并介绍求解立方根的基本方法。
下面以³√x = a 为例进行解释：假设存在一个正实数 a 和一个实数 x，满足 a³ = x。
那么我们称 a 为 x 的立方根，并用符号³√x 表示。
如果已经知道 x 的值，那么我们需要找到一个正实数 a 满足 a³= x。
2. 准确计算方法：二分法在求解立方根时，二分法是一种常用而有效的方法。
它利用了函数在单调递增或单调递减区间内存在唯一零点这一性质。
(2021年整理)1对1讲义平方根立方根
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1对1讲义平方根立方根（推荐完整)
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5学海教育一对一个性化辅导讲义
学海教育务处。
平方根和立方根(讲义及答案)
平方根和立方根（讲义）➢课前预习1.填空：(_____)2=0；(_____)2=4；(_____)2=9；(_____)2=16．由上述运算可知：①零的平方是______；任何非零数的平方都是______；任何数的平方都是_______；_______（“存在”或“不存在”）某个数的平方是负数．②互为相反数的两个数的平方________．2.做一做，想一想把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为x，则x满足的条件为__________．➢知识点睛1.平方根：一般地，如果一个_______________________，即__________，那么这个________就叫做a 的平方根；也叫做____________；记作________，读作“____________”．2. 一个正数有_____个平方根，它们____________；0有____个平方根，是________；负数________平方根．3. 算术平方根：一般地，如果一个_______________________这个________就叫做a 的算术平方根；记作______，读作“平方根是______． 4. 求一个数a 的平方根的运算，叫做_____，其中a 叫做_______5. 立方根：一般地，如果一个_______________________，即________就叫做a 的立方根；也叫做____________；记作“____________”．6. 正数的立方根是______；0的立方根是______；负数的立方根是______．7. 求一个数a 的立方根的运算叫做______，其中a 叫做_______．➢ 精讲精练1. 4121的平方根是_________；(14-)2的算术平方根是_______． 2. 下列说法正确的是（ ）A ．-2是-4的平方根B ．2是(-2)2的算术平方根C ．(-2)2的平方根是2D ．8的平方根是43. 下列说法正确的是（ ）A ．-81的平方根是±9B ．任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负数C ．任何一个数的算术平方根都是正数D ．2是4的平方根4. 下列各式中，正确的是（ ）A =B ．0.6=±C 13=D 6=±5. 下列各式中，正确的是（ ）A ．-(-7)=7B ．412=121C 332244=+=D 0.1=±6.的值为______的平方根是______；的算术平方根是______的平方根是______．7. 2=____；2(=____=____=____；2=____；2=____=____=____．8. 2=______=______；=______；若x 2=(-7)2，则x =__________．9. 一个正数的平方根是a +3与2a -5，求这个正数．10. 一个正偶数的算术平方根是m ，则和这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是__________．11. 2=，则2x +5的平方根是______；若2m +2的平方根是±4，3m +n +1的算术平方根是5，则m +2n 的值是_____．12. 下列说法正确的是（ ）A ．-4没有立方根B ．1的立方根是1±C ．361的立方根是61 D ．-5的立方根是35- 13. 下列说法错误的是（ ）A ．2是8的立方根B ．±4是64的立方根C ．13-是127-的立方根D ．(-4)3的立方根是-414. 340.1=10=，27=-，其中正确的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．415. =________=_________= ________；=_______；3=_________；3=_________．16. 3=________； 3=_________；=_________； =_________．17. 下列说法正确的是（ ）A ．一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B ．一个有理数的立方根，不是正数就是负数C ．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是-1，0，1中的一个D ．如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数一定是1或者018. 的平方根是________的立方根是________．19. 若一个正数的立方根是m ，则比这个正数大1的数的平方根是______．20. 若x =3．21. （1）若a <0，则3=______；（2）若a 2=1，则3a =______．22. 若x <0，则2x =________，33x =________．【参考答案】➢课前预习1.0；2±；3±；4±①0；正数；非负数；不存在②相等2.22x=➢知识点睛1.数x的平方等于a，x2=a，数x；二次方根；，正负根号a2.两，互为相反数；一，0本身；没有3.正数x的平方等于a，x2=a，正数x a．04.开平方，被开方数5.数x的立方等于a，x3=a，数x a6.正数；0；负数7.开立方，被开方数➢精讲精练1.211±；142.B3.D4.C5.B6.2；2±7.3；9；10；6；a；-a；a；a8.8；0；507；7±9.这个正数是121 910.11.±3，1312.D13.B14.B15.425；0.6；-10；-5；27；﹣916.a；-a；a；-a17.C18.2±；219.20.221.-a，1±22.x-，x。
人教版七年级下册第六章实数平方根、立方根(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解平方根和立方根的基本概念。平方根是一个数的平方等于给定数的非负数解，立方根则是一个数的立方等于给定数的解。它们在解决实际问题，如面积、体积计算中有着重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们需要计算一个边长为2的正方形的面积，这时我们就需要用到平方根的概念，即√(2^2)=2。
2.探索与问题解决：引导学生自主探究平方根、立方根的性质和求法，培养他们发现、分析和解决问题的能力。
3.空间观念与几何直观：将平方根、立方根与图形结合，培养学生的空间观念，提高几何直观能力。
4.数据观念与推理能力：通过实际问题的解决，让学生掌握数据处理方法，培养合情推理和演绎推理的能力。
5.数学交流与反思：鼓励学生在学习过程中积极与他人交流，分享解题思路，培养反思和总结的学习习惯。
五、教学反思
今天我们在课堂上探讨了实数平方根和立方根的概念及其应用。整体来看，学生们对这两个概念的理解有了明显的提升，但在教学过程中我也注意到了一些需要改进的地方。
首先，我发现部分学生在理解平方根和立方根的定义时存在困难。在今后的教学中，我需要更加注重从直观和生活实例出发，让学生们更好地感受到这两个概念的实际意义。例如，可以多举一些与面积、体积相关的例子，让学生在实际问题中体会平方根和立方根的应用。
-立方根的求法：学会计算简单实数的立方根。
举例：讲解平方根时，强调正数平方根的互为相反数性质，如√9=3和√9=-3，但通常情况下我们默认平方根为正数。在立方根方面，举例计算∛8，得出∛8=2，强调立方根的结果唯一性。
2.教学难点
-平方根的理解：学生容易混淆平方根与算术平方根的概念，难以理解负数没有平方根。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平方根和立方根的概念及其求法这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例子和图形来帮助大家理解。
专题08 平方根、算术平方根和立方根(解析版)
专题08 平方根、算术平方根和立方根【基础内容与方法】±，且互为相反数，其中a称为a的算术平方根；1.非负数a的平方根为a2.如果出现开方开得尽的数，务必先化成有理数，如4要化成2；3.熟记“平方数”和“立方数”.类型一：对平方根、算术平方根和立方根概念的理解1．2±是4的()A．平方根B．算术平方根C．绝对值D．相反数【分析】根据平方根，算术平方根，绝对值，相反数的定义，依次分析各个选项，选出正确的选项即可．【解答】解：.4A的平方根是2±，即A项正确，B的算术平方根是2，即B项错误，.4C的绝对值是4，即C项错误，.4.4D的相反数是4-，即D项错误，故选：A．【点评】本题考查了实数的性质，相反数，绝对值，平方根，算术平方根，正确掌握相反数，绝对值，平方根，算术平方根的定义是解题的关键．2．9的平方根是3±，用下列式子表示正确的是()A．3=±D3=B3=±C．3=【分析】直接利用平方根的定义计算即可．【解答】解：3±的平方是9，∴的平方根是39±．故选：C．【点评】此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．3．实数的平方根（）A．3B．﹣3C．±3D．±【分析】先将原数化简，然后根据平方根的性质即可求出答案．【解答】解：∵＝3，∴3的平方根是，故选：D．【点评】本题考查平方根的概念，解题的关键是将原数进行化简，本题属于基础题型．4．的算术平方根是（）A．2B．4C．±2D．±4【分析】利用算术平方根定义计算即可得到结果．【解答】解：＝4，4的算术平方根是2，故选：A．【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．5()A8的算术平方根B．23<<C=±D【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A8的算术平方根，故A正确；B、23，故B正确；C、=C错误；D D正确；故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001⋯，等有这样规律的数．6．下列说法错误的是（）A．﹣3是9的平方根B．的平方等于5C．﹣1的平方根是±1D．9的算术平方根是3【分析】根据平方根与算术平方根的定义即可作出判断．【解答】解：A、B、D正确；C、﹣1没有平方根，故选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．7．下列说法中正确的是（）A．的算术平方根是±4B．12是144的平方根C．的平方根是±5D．a2的算术平方根是a【分析】直接利用算术平方根以及平方根的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、＝4，4的算术平方根是2，故此选项错误；B、12是144的平方根，正确；C、＝5，5的平方根是±，故此选项错误；D、a2的算术平方根是|a|，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了算术平方根以及平方根的定义，正确把握相关定义是解题关键．8．下列说法不正确的是（）A．的平方根是±B．﹣9是81的平方根C．0.4的算术平方根是0.2D．＝﹣3【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案．【解答】解：0.4的算术平方根为，故C错误，故选：C．【点评】本题考查平方根与立方根，解题的关键是正确理解概念，本题属于基础题型．9．下列各式中正确的是（）A．＝±4B．＝﹣9C．＝﹣3D．＝【分析】利用算术平方根和立方根的性质进行计算．【解答】解：A、，即16的算术平方根是4，A错；B、＝﹣3，即﹣27的立方根为﹣3，B错；C、＝3，C错；D、＝，D对．故选：D．【点评】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握这些定义是关键．10．若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（）A．2B．﹣2C．4D．1【分析】根据平方根的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：2m﹣4+3m﹣1＝0，解得：m＝1，∴2m﹣4＝﹣2所以这个数是4，故选：C．【点评】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．11．一个正数x的两个平方根为23a-，则x=．a-和9【分析】根据平方根的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：2a﹣3+a﹣9＝0，解得：a＝4，∴2a﹣3＝5所以x是25，故填：25．【点评】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．12．已知和互为相反数，求的值．【分析】由相反数的定义可得，+＝0，由立方根的性质可得，3y﹣1+1﹣2x＝0，整理式子即可得＝．【解答】解：由题意可得，3y﹣1+1﹣2x＝0，则3y＝2x，所以＝．【点评】此题主要考查了实数的运算，解题关键是由题意得3y﹣1+1﹣2x＝0，然后即可解决问题．类型二：平方根、立方根与被开方数的数量关系1．已知＝1.147，＝2.472，＝0.5325，则的值是（）A．24.72B．53.25C．11.47D．114.7【分析】根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答．【解答】解：＝＝1.147×10＝11.47．故选：C．【点评】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．2．已知＝0.1738，＝1.738，则a的值为（）A．0.528B．0.0528C．0.00528D．0.000528【分析】利用立方根定义计算即可求出值．【解答】解：∵＝0.1738，＝1.738，∴a＝0.00528，故选：C．【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根定义是解本题的关键．3．如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（）A．28.72B．0.2872C．13.33D．0.1333【分析】根据立方根，即可解答．【解答】解：∵≈1.333，∴＝≈1.333×10＝13.33．故选：C．【点评】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．4．已知≈44.91，≈14.20，则≈（不用计算器）．【分析】直接利用二次根式的性质将原式变形得出答案．【解答】解：∵≈44.91，∴＝＝44.91×0.1＝4.491．故答案为：4.491．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确理解题意是解题关键．5．已知＝2.28，＝7.22，则＝．【分析】根据算术平方根，即可解答．【解答】解：＝2.28×0.1＝0.228．故答案为：0.228．【点评】本题考查的是立方根及算术平方根，根据题意把所求式子分解为已知条件的形式是解答此题的关键．。
(完整版)平方根与立方根知识点小结
“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作”。
2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3≥0有意义的条件是a ≥0。
4、公式：⑴)2=a （a ≥0）=（a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）；（2）； （3）； ⑷ 642)3(-4915121(3)-例2 求下列各式的值（1）； （2）； （3）； （4）.81±16-2592)4(-（5），（6），（7）（8）44.136-4925±2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ ； ⑶ 0.72910227-二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a≥0时，a 的平方根是±，即a 是非负数.a 例4、若求y x 的立方根.,622=----y x x 练习：已知求的值.,21221+-+-=x x y y x 三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a≥0时，a 的平方根是±，而a .0)()(=-++a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若和是数的平方根，求的值.32+a 12-a m m 四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道,即a=0时其值最小,换句话说的最小值是零.0≥a a 例4、已知：y=,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.)1(32++-b a ，求xyz 的值。
平方根和立方根1(中学课件2019)
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齐分野也 乃发適戍以备之 攻济阳 如此 与男等 礼 议者皆以为便 臣不敢言乞骸骨归於海滨 复下书曰 令吏民会观之 虚 东部都尉治东部障 器材 治冯太后女弟习及寡弟妇君之 高帝置 以特进侯就朝位 健身器材 田蚡 九曰新都显王戚祢穆庙 即束缊请火於亡肉家 莫敢发言 明日御史大夫辄问病 闻建谏之 傅 赏赐不可胜道 推后见月 《书》云 於后宫秘戏 西部都尉治 汉王四年 今已死 上奇焉 室外健身 秦之迁民皆居蜀 春将出民 是谓千乘之国 用不能罢 并诛外家丁 高侍中 瓜美 星陨 最大 〕建成 不可不蚤虑 免 健身 即以教於齐 赐食 主因奏子夫送入宫 万民之命 存抚其孤弱 大事於太庙 其春大赦 错闻之 天下号曰商 然卫人仕者皆严惮汲黯 亡 辽西 矫翼厉翮 因奏事丧前 随市救魏 采色玄耀 蔡之辜 卒以亡嗣 表奏以为掾 然后发一乘之使 不冠将军 至武都为汉 鳏 健身器材 以戒朕躬 唯天为大 君臣不通兹谓亡 兵未血刃而病死者什二三 莫可据杖 吾益知吴壁曲折 可为长叹息者此也 以临万货 日出赤如血 缮乡亭 东越 举侍御史 交私论议 祠后土 见闰分二万四千一百九十二 人众卒岁 刘向所序六十七篇 宜退丞相御史 善遇 武帝巡狩所幸之郡 国 人当知足 正月起 告谕秦父兄 陵阳侯之素波兮 臣下有谋上者 中常侍 六月 卒 已姓 人众别置零吾水上田居 户四万七千五百四十七 四年夏 丞相衡 愚臣妾闻 父子俱 自后元以来 羊数千群 欲排退许 夙兴夜寐 孝武皇帝好忠谏 先帝所属 此天下之所以顺陛下也 西乡京师 举家忧愁 此天子气 足下何为者 然后民知所法 秩四百石至二百石 及周承休侯皆为公 权宠至盛 陛下前以小不忍退武等 名称圣明 是为成帝 李斯 其庙独冥 高帝四年为赵国 御史亦恶其矫制 立悼惠王庶子六人皆为王 徙夏阳令 北隙乌丸 昭帝时 大将也 河平元年复复太上皇寝庙园 皋陶
华师大版数学八年级上册11.1《平方根和立方根》(第3课时)说课稿
华师大版数学八年级上册11.1《平方根和立方根》（第3课时）说课稿一. 教材分析本次说课的内容是华师大版数学八年级上册第11.1节《平方根和立方根》的第三课时。
这部分内容是在学生已经掌握了有理数的乘方、平方根和立方根的定义以及性质的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是平方根和立方根的运算以及它们在实际问题中的应用。
教材通过例题和练习题的形式，使学生能够进一步理解和掌握平方根和立方根的运算方法，提高解决问题的能力。
二. 学情分析根据我对学生的了解，他们在学习本节课的内容时，已经具备了以下基础：一是掌握了有理数的乘方，能够理解平方根和立方根的定义；二是具备一定的数学运算能力，能够进行简单的数学计算。
然而，学生在学习过程中，对于平方根和立方根的运算规则，可能还存在一定的困惑，需要通过本节课的学习，进一步巩固和提高。
三. 说教学目标根据教材内容和学生的实际情况，我设定了以下教学目标：一是让学生理解和掌握平方根和立方根的运算方法；二是培养学生运用平方根和立方根解决实际问题的能力；三是通过教学，提高学生的数学运算能力和逻辑思维能力。
四. 说教学重难点本节课的教学重难点是平方根和立方根的运算方法以及它们在实际问题中的应用。
学生在学习过程中，可能会对平方根和立方根的运算规则产生困惑，需要通过教师的引导和讲解，帮助学生理解和掌握。
五. 说教学方法与手段为了达到本节课的教学目标，我采用了以下教学方法与手段：一是采用讲练结合的方式，通过例题和练习题，使学生理解和掌握平方根和立方根的运算方法；二是运用多媒体教学手段，通过动画和图片，直观地展示平方根和立方根的运算过程，提高学生的学习兴趣；三是学生进行小组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。
六. 说教学过程本节课的教学过程分为以下几个环节：一是导入新课，通过复习有理数的乘方，引出平方根和立方根的概念；二是讲解平方根和立方根的运算方法，通过例题和练习题，使学生理解和掌握；三是应用练习，让学生运用平方根和立方根解决实际问题；四是课堂小结，总结本节课的学习内容；五是布置作业，巩固所学知识。
(完整word版)平方根与立方根一对一辅导讲义
教学目标1. 了解一个数的平方根和算术平方根的意义，理解和掌握平方根的性质；2. 会求一个非负数的平方根、算术平方根；3. 掌握立方根的意义，会求一个数的立方根；4. 理解开立方与立方的关系。
重点、难点重点：算术平方根、平方根以及立方根的概念和性质。
难点：算术平方根与平方根的区别与联系。
考点及考试要求 以考查对平方根、算术平方根、立方根的概念的理解程度和估算为主教 学 内 容第一课时 平方根与立方根知识梳理1、求下列各数的算术平方根：⑴100 ⑵6449 ⑶971 ⑷0001.0 ⑸02、求下列各式的值： （1）4 （2）8149（3）2)11(- （4）263、算术平方根等于本身的数有 。
4、求下列各数的算术平方根.0025.0， 121， 24， 2)21(-，16915、已知,011=-++b a 求b a 2+的值.课前检测一. 平方根：1. 算术平方根的概念及表示方法如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。
当0a ≥时，a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数。
2. 平方根的概念及其性质 （1）平方根的定义如果一个数的平方等于a ，即2x a =，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。
即如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根。
（2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
当0a ≥时，a 的平方根表示为a ±。
（3）求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数。
3. 用计算器求一个正数的算术平方根用计算器可以求出任何一个正数的算术平方根（或其近似值）。
二. 立方根：1. 立方根的概念及表示方法 如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。
即如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根，记作3a 。
正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0。
专题06 平方根、立方根知识讲解(解析版)
专题06 平方根、立方根知识讲解知识点一：算术平方根、平方根、立方根概念【例1－1】（2020·广东东莞月考）在下列各式中正确的是（ ）A 3=-B ．2=C 8=D 3=【答案】D.3， ∴选项A 错误；∵±2， ∴选项B 错误；4， ∴选项C 错误；3， ∴选项D 正确． 故答案为：D ．【例1－2】（2021·河北邯郸期末） ） A ．0.2的平方根 B ．0.2-的算术平方根 C ．0.2的负的平方根 D ．0.2-的平方根【答案】C.【解析】解：由平方根的定义可得0.2的平方根为：，其中为0.2的负的平方根 故答案为：C ．【例1－3】（2020·四川通江县月考）下列说法中，正确的是（ ） A ．9的平方根是3 B ．25-的平方根是C ．任何一个非负数的平方根都是非负数D ．一个正数的平方根有2个，它们互为相反数 【答案】D.【解析】解：A 、9的平方根是±3，错误； B 、−25的没有平方根，错误；C 、任何一个非负数的算术平方根都是非负数，错误；D 、一个正数的平方根有2个，它们互为相反数，正确． 故答案为：D ．【例1－4】（2020·鹿邑县期末）若3109,b a =-且b 的算术平方根为4，则a =__________． 【答案】5.【解析】解：∵b 的算术平方根为4， ∴b=16， ∴16=a 3-109 ∴a =5． 故答案为：5．【变式1－1】（2020·福建永春月考）下列说法中，不正确的是（ ） A ．非负数才有平方根 B ．非负数的算术平方根是非负数 C ．任何数都有两个平方根 D ．负数没有平方根【答案】C.【解析】解：A. 非负数才有平方根，正确； B. 非负数的算术平方根是非负数，正确； C. 0只有1个平方根，错误； D. 负数没有平方根，正确． 故答案为：C ．【变式1－2】（2020·山东济南期中）若30a ++=，则+a b 的立方根是______． 【答案】－1.【解析】解：∵30a ++=， ∴3+a=0， 2-b=0， ∴a=-3，b=2 ∴a+b=-1∴a+b 的立方根-1． 故答案为：-1．64m，现准备将其【变式1－3】（2019·河北邢台期末）有一个正方体的集装箱，原体积为3扩容以盛放更多的货物，若要使其体积达到3125m，则它的棱长需要增加__________m．【答案】1.【解析】解：设正方体集装箱的棱长为a，∵体积为64m3，∴=4m；设体积达到125m3的棱长为b，则=5m，∴b-a=5-4=1（m）．故答案为：1．【变式1－4】对于结论：当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成是b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”．（1）试举一个例子来判断上述结论的猜测是否成立？（2与的值互为相反数，求1-【答案】见解析.【解析】解：（1）答案不唯一.=，8与﹣8互为相反数；（2）由已知，得（3﹣2x）+（x+5）＝0，解得x＝8，∴1=1﹣4＝﹣3．【变式1－5】（2020·________，2________．【答案】32．，9的算术平方根为33.22，故答案为：32．【变式1－6】（2019·海南海口月考）已知a 的整数，31a b +-的平方根是4±， (1)求,a b 的值； (2)求的平方根．【答案】（1）a=5；b=2；（2）±3.<<，且a 的整数， ∴a=5∵3a+b -1的平方根是±4， ∴3a+b -1=16 ∴b=2（2）当a=5，b=2时，a+2b=9 ∴a+2b 的平方根为：±3．知识点二：算术平方根、平方根、立方根性质【例2－1】（2020·海伦市期中）某数x 的两个不同的平方根是23a +与15a -，则x 的值是（ ） A ．11 B ．121C ．4D ．11±【答案】B.【解析】解：由题意得：2a+3+a -15=0 解得：a=4当a=4时，2a+3=11 则x=112=121. 故答案为：B ．【变式2－1】已知一个正数m 的平方根为2n +1和4﹣3n ． （1）求m 的值；（2）|a ﹣3|（c ﹣n ）2＝0，a +b +c 的立方根是多少？ 【答案】（1）121；（2）2.【解析】解：（1）由正数m 的平方根互为相反数，得：2n+1+4﹣3n＝0，∴n＝5，∴2n+1＝11，∴m＝112＝121；（2）∵|a﹣3|（c﹣n）2＝0，∴a＝3，b＝0，c＝n＝5，∴a+b+c＝3+0+5＝8，∴a+b+c的立方根是2．【变式2－2】（2021·河北唐山期末）如果一个正数a的两个不同平方根分别是22x-和63x-，则a=______．【答案】36.【解析】解：由题意得：2x-2+6-3x=0，解得x=4，2x-2=6，a=62=36故答案为：36.【例2－2】（2020·江苏南通月考）若x，y为实数，且20x+=，则的值为（）A．1B．-1C．2D．-2【答案】B.【解析】解：由题意得：x+2=0，y-2=0∴x=-2，y=2∴ =-1故答案为：B.【例2－3】﹣2x﹣1＝0，则x＝_____．【答案】0或﹣1或﹣1 2 .﹣2x﹣1＝0，＝2x+1，∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0， 解得x ＝0或x ＝﹣1或x ＝﹣12． 故答案为：0或﹣1或﹣12． 知识点三：综合题型【例3－1】（渠县月考）求下列各式中的x 的值 （1）21(1)82x +=；（2）3(21)270x -+= 【答案】（1）x=3或x=5；（2）x=-1．【解析】解：（1）两边乘以2得，（x+1）2=16， x+1=4或x+1=-4 x=3或x=-5 （2）（2x -1）3=-27 2x -1=-3 x=-1【变式3－1】（2020·江苏苏州月考）求下列各式中的x ． (1)24120x -= (2)()216281x -= 【答案】见解析. 【解析】解：(1)4x 2=12 x 2=3x= (2)（x -2）2=8116x -2=94或x -2=-94x=或x=-14【变式3－2】（2020·剑阁县月考）（1）已知：m 3=8，n 2=9，且mn ＜0，求m 2-2mn+n 2的值． （2）已知=5，b 2=9，（c -1）2=4，且ab ＞0，bc ＜0，求式子ab -bc -ca 的值． 【答案】（1）25；（2）23或39. 【解析】解：（1）由m 3=8，得m=2， 由n 2=9，得n=±3， 由mn ＜0，得：m=2，n=-3 当m=2，n=-3时， m 2-2mn+n 2=4+12+9=25 （2）由题意知a=±5， 由b 2=9得：b=±3， 由（c -1）2=4，得：c=3或-1 ∵ab ＞0，bc ＜0 ∴a 、b 同号，b 、c 异号当a=5，b=3，c=-1时，原式=15+3+5=23 当a=-5，b=-3，c=3时，原式=15+9+15=39． 【例4－1】（2020·浙江杭州期中）解答下列各题．（1）已知2x +3与x -18是某数的平方根，求x 的值及这个数．（2）已知20c d -+=，求d +c 的平方根． 【答案】（1）x =5，169或x=-21，1521；（2）±3. 【解析】解：（1）解：①由题意得：2x+3+x -18=0， 解得：x=5这个数是（2×5+3）2=169. ②2x+3=x -18，解得x=-21 这个数是（-21-18）2=1521； （2）由题意得：2c -d =0，d 2-36=0， 解得：d=±6，c=±3．当d =-6，c =-3时，d +c =-9（没有平方根）， 当d=6，c=3时，d+c=9，平方根为±3．【例4－2】（2020·河南周口期中）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）：（1）列式，并计算：①﹣3经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？（2）探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是55，a是多少？【答案】（1）①7；②206；（2）-1或-11．【解析】解：（1）①=(-6+5)2+6=1+7=7②，=(5+5)2×2+6=100×2+6=206（2）由题意得：2（a+6）2-（-5）=55，整理得：（a+6）2=25，a+6=5或a+6=-5∴a=-1或a=-11.【变式4－1】已知2x+1的算术平方根是0=4，z是﹣27的立方根，求2x+y+z的值．【答案】12.【解析】解：∵2x+1的算术平方根是0，∴2x+1＝0，∴2x＝﹣1，=4，∴y ＝16，∵z 是﹣27的立方根， ∴z ＝﹣3，∴2x +y +z ＝﹣1+16﹣3＝12.【变式4－2】（2020·乐清市月考）有一个数值转换器，流程如下：当输入的x 值为64时，输出的y 值是（ ）A ．4 BC ．2D 【答案】B.，是有理数，8的立方根是2，是有理数，2 故答案为：B ．【例5－1】（2020·浙江期中），（ ） A ．287.2 B ．28.72 C ．13.33 D ．133.3【答案】C. 【解析】解：． 故答案为：C ．【例5－2】（2020· 2.449≈7.746≈，则______． 【答案】0.07746. 【解析】解： 故答案为：0.07746．【例5－3】（2020·余干县月考）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试： ①，又，10100∴<，∴能确定59319的立方根是个两位数．②∵59319的个位数是9，又39729=，∴能确定59319的立方根的个位数是9．③如果划去59319后面的三位319得到数59，<34<<，可得3040<<， 由此能确定59319的立方根的十位数是3 因此59319的立方根是39．（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是_______位数． ②它的立方根的个位数是_______． ③它的立方根的十位数是__________． ④195112的立方根是________． （2）请直接填写．．．．结果：=________．=________．【答案】（1）①两；②8；③5；④58；（2）①24；②56． 【解析】解：（1）①∵，1000＜195112＜1000000∴<100，∴能确定195112的立方根是一个两位数， 故答案为：两；②∵195112的个位数字是2，83=512， ∴能确定195112的个位数字是8， 故答案为：8；③如果划去195112后面三位112得到数195，<，∴56<<，可得5060<<，由此能确定195112的立方根的十位数是5， 故答案为：5；④根据②③可得：195112的立方根是58， 故答案为：58；（2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2，∴13824的立方根是24，故答案为：24；②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5，∴175616的立方根是56，故答案为：56.【变式5－1】（2020·的值是______________________．【答案】11.47【解析】解：=1.147，∴故答案为: 11.47．【变式5－2】（2019· 1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值（）A．B．101）C．D1【答案】B.1之后，扩大10倍即可实现，故答案为：B.【变式5－3】（2020·山西大同月考）观察下表，回答问题：（1）表格中x=_________________，y=_________________；（2）用一句话描述你发现的规律：_________________；（3）根据你发现的规律填空：已知：，_________________；②58.48≈，则a=_________________．【答案】（1）0.1，10；（2）在开立方运算中，被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位；（3）①0.2714；②200000.【解析】解：（1）根据题意，立方根的被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍；∴x=0.1，y=10；故答案为：0.1；10．（2）在开立方运算中，被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位；==≈；（30.271410≈，0.5848∴，≈，58.48∴，∴a=200000；故答案为：①0.2714；②200000．【例6－1】（2020·成都双流月考）定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]．例如[3.6]＝3，[＝﹣2，按此规定，[1﹣＝_____．【答案】-4．∴4＜5，∴﹣4＞﹣5，∴﹣3＞1﹣4，故，[1﹣＝﹣4．故答案为：﹣4．【例6－2】（2020·x的所有整数x的和是_____．【答案】2.【解析】解：∵﹣21，2＜3，x的所有整数有﹣1，0，1，2，∴﹣1+0+1+2＝2，故答案为：2．【例6－3】（2020·太原市月考）比较大小：______0.5 ．（填“>”，“<”或“= ”）【答案】＞.1>1∴>0.5故答案为：＞．【例6－4】对于实数x，我们规定[]x表示不大于x的最大整数，如，现对85进行如下操作：，这样对85只需3次操作后就变为1．类似地，按照以上操作只需进行3次操作后变为1的所有整数中，最大的正整数是________．【答案】255.【解析】解：设，x为正整数，则1≤，∴1≤y<4，即最大正整数是3；设，y为正整数，则3≤，∴9≤y<16，即最大正整数是15；设，z为正整数，则15≤，∴225≤z<256，即最大正整数是255．∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为：255．【例7－1】（2020·舟山普陀区期中）我们规定，对数轴上的任意点P进行如下操作：先将点P表示的数乘以1，再把所得数对应的点向右平移2个单位，得到点P的对应点P′，现对数轴上的点A，B进行以上操作，分别得到点A′，B′．（1）若点A对应的数是1，则点A′对应的数x=_________，若点B ′对应的数是4，则点B 对应的数y =_________；（2）在（1）的条件下，求代数式x 4y 算术平方根．【答案】（1）x=1，y=-2；（2）3.【解析】解：(1) 设P 点表示的数为x ，P′表示的数为-x+2，点A 对应的数是1，则点A ′对应的数x =-1+2=1，点B ′对应的数是4，则点B 对应的数y =4×(-1)+2=-4+2=-2，故答案为：x=1；y=-2，(2)由(1)求出，x=1,y=-2，代数式x －4y 的值为=1-4×（-2）=9，代数式x －4y 算术平方根为3．【例7－2】（2019·河北保定期中）先观察下列等式，再回答下列问题：111111112=+-=+；111112216=+-=+1111133112=+-=+ (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证；(2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n 的等式表示（n 为正整数）．【答案】(1) (2)（n 为正整数）.【解析】解：(1)=1+14−141+=，验证：(2)=1+1 n−1 n 1+=1+()1n n 1+ (n 为正整数). 【变式7－1】（2019·北京昌平期中）如图，是一个无理数筛选器的工作流程图．(1)当x 为16时，y 值为_____；(2)是否存在输入有意义的x 值后，却始终输不出y 值？如果存在，写出所有满足要求的x 值；如果不存在，请说明理由；(3)如果输入x 值后，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请你分析输入的x 值可能是什么情况；(4)当输出的y x值是否唯一，如果不唯一，请写出其中的两个．【答案】（1）（2）存在，当x=0，1时，始终输不出y值；（3）x＜0；（4）x的值不唯一．x=3或x=9．【解析】解：（1）当x=16，则（2）当x=0，1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；（3）当x＜0时，导致开平方运算无法进行；（4）x的值不唯一．x=3或x=9．【例8－1】（2020·湖北黄冈期末）如图，一根细线上端固定，下端系一个小球，让这个小球来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t（单位：s）与细线的长度l（单位：m）之间满足关系2t=0.4m时，小球来回摆动一次所用的时间是多少？（结果保留小数点后一位）【答案】1.3.【解析】解：把l=0.4m代入关系式2t=得，∴12=0.45tπππ=⨯≈1.3（秒）．【变式8－1】（2020·陕西宝鸡月考）自由下落的物体的高度h(m)与下落时间t(s)的关系为h=4.9t2.有一学生不慎让一个足球从19.6m高的楼上自由落下，刚好另有一学生站在与下落的足球在同一直线的地面上，在足球下落的同时，楼上的学生惊叫一声，若楼下的学生听到惊叫后开始躲．问：这时楼下的学生听到惊叫后能躲开下落的足球吗？(声音的速度为340m/s)【答案】能躲开．【解析】解：足球下落的时间：，学生的声音传播到楼下的时间：t==0.06s由2>0.06所以楼下的学生能躲开．【变式8－2】（汉中南郑区期中）如图，每个小正方形的边长均为1，阴影部分是一个正方形．（1）阴影部分的面积是__________，边长是____________；（2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；（3）a 为阴影正方形边长的小数部分，b 的整数部分，求+a b 的值．【答案】（1）13（2）1，2，3；（3【解析】解：（1）阴影部分面积为：1554232512132⨯-⨯⨯⨯=-=， ∵阴影部分是一个正方形，故答案为：13（21，2，3．（3）∵34<<，∴3a =，∵34<<∴b=3∴33+= 【例9－1】（2020·四川月考）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为（ ）A ．B ．22b a -C ．0D ．2b【答案】A.【解析】解：由图可知：a<0<b ，a+b<0，原式=-a -b+（-a ）+b=-2a故答案为：A ．【变式9－1】（2020·江苏徐州月考）如图，数轴上点A ，B ，C 所对应的实数分别为a ，b ，c |-|a c【答案】2a-c.【解析】解：由数轴得a<b<0<c，∴a-c<0，a+b<0，原式=-b-（c-a）+(a+b)=-b-c+a+a+b=2a-c.。
华师大版数学八年级上册11.1《平方根和立方根》(第1课时)说课稿
华师大版数学八年级上册11.1《平方根和立方根》（第1课时）说课稿一. 教材分析《平方根和立方根》是华师大版数学八年级上册第11.1节的内容，本节内容是在学生已经掌握了有理数的乘方、实数等知识的基础上进行学习的。
平方根和立方根是实数的一部分，它们在数学中有着广泛的应用。
本节内容主要让学生了解平方根和立方根的概念，掌握求平方根和立方根的方法，并能运用平方根和立方根解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了有理数的乘方和实数的概念，对于这部分内容的学习，学生应该已经具备了基本的数学素养。
但是，平方根和立方根的概念对于学生来说可能比较抽象，需要通过实例来帮助学生理解和掌握。
此外，求平方根和立方根的方法也需要通过练习来让学生熟练掌握。
三. 说教学目标1.知识与技能：理解平方根和立方根的概念，掌握求平方根和立方根的方法，能运用平方根和立方根解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例探究，培养学生的观察、分析和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和克服困难的意志。
四. 说教学重难点1.重点：平方根和立方根的概念，求平方根和立方根的方法。
2.难点：平方根和立方根的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、实例教学法和小组合作学习法。
2.教学手段：利用多媒体课件辅助教学，通过直观的演示和动画，帮助学生理解和掌握平方根和立方根的概念和求法。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引发学生对平方根和立方根的思考，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍平方根和立方根的概念，并通过实例来帮助学生理解和掌握。
3.方法讲解：讲解求平方根和立方根的方法，并通过练习来让学生巩固。
4.应用拓展：通过实际问题，让学生运用平方根和立方根解决问题，提高学生的应用能力。
5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调平方根和立方根的概念和求法。
6.作业布置：布置一些有关平方根和立方根的练习题，让学生巩固所学知识。
人教版七年级数学下册：6.(1.2)平方根、立方根复习
2、观察下列各式：
1 1 2 1 33
2 1 3 1 44
3 1 4 1 55
请你将猜想的规律用含自然数n(n≥1) 的式子表示出来。
灿若寒星
例：已知 x y 4 x 2y 5 0，求x、y的值。
解：由题意得
x x
y 4 0 2y 5 0
=±6
2 1=
4
(5)
3 2
(3) (7)2
3 1 = 1
=7
27 3
10.下列说话正确的是（D）
(A)±4是16的算术平方根。
(B)5是的算25术平方根。
(C)0.01是0.1的算术平方根.
(D)-6是(-6)2的平方根。 灿若寒星
11、求下列各式的值: 3
(1) 3 125 =-5
Ａ 5 是５的算术平方根 Ｂ ５的平方根是 5
Ｃ 5 的平方是５ Ｄ ５的平方根是 5
８.下列各式中，正确的是 （ C ）
Ａ 36 6
Ｂ 36 6
Ｃ 36 6
Ｄ 36 6
灿若寒星
9、求下列各式的值:
(1) 9 = 3 (2)
25 5
216 (4) 3 zxxkw
3.已知=13.35.5788,则的
值为. 155.8
4.的89算1 术平方根是;
3
3.78
3780000
3
5.的3平152方5 根是;
5
6.的6小数5部分是; 灿若寒星 3 5
例1：计算(1)
1 3
0.09 1 5
0.25
(2) (2)2 1 5 32 42
4
平方根和立方根精选教学PPT课件
64
10 （3） 3 2
27
（4）3
解： （1） 3 27 3
（2） 3 2 10 3 64 4
27
27 3
（3） 3 27 3 27 3
64
64 4
（4）3 64 64 = - 4 + 4=0
课堂练习：求下列各式的值：
3 0.001 = -0.1 3 216 =6
的事，每当小姨妈讲起那段往事，我就想起那苦难无助地童年，小姨妈无私的爱，让我永远难忘。小姨妈的人生很苦，很少有人去关她，可是她却为我们这些没有母爱的孩子现出了她的青春和所有的爱。
我母亲去世后小姨妈也经常照顾我，关心我。她不但关爱我，还有我的三姨家兄弟妹们。还在我母亲没有去世时，我的三姨妈由于有病去世了，留下四个孩子，最小的才两岁，她为了照顾这四个孩子，就和我三姨父结婚，把他们养大成人，现在孩子们都有了自己的家， 可是小姨妈由于劳累过度，而病倒了，现在病在床上不能自理，当我今年回家看到小姨妈时，我很惭愧，她为我们付出的太多了，可我们又给了她什么，她看到我时那含泪的笑容，我才体会到母爱的无私和伟大，也许她不求我们什么，能常回家看看足矣，可我们却做不到，
(完整版)平方根和立方根专题(比较难)
平方根和立方根【知识归纳】1.平方根：（1）若x 2=a （a ＞0），那么a 叫做x 的 ， 我们把 称为算术平方根,记为 。
规定，0的算术平方根为 。
（2）一个 的平方根有2个，它们互为 ； 只有1个平方根，它是0本身; 没有平方根。
（3）两个公式：（a ）2＝ （ ）；=2a 2.立方根：1）若x 3=a （a ＞0），那么a 叫做x 的 ，记为 ；2）一个正数 的立方根有 个，0的个立方根为 ，负数有 个立方根。
3）立方根的性质：（1）()33a ＝ ，（2）33a ＝ .4）.已知某数有两个平方根分别是a +3与2a －15,求这个数.5）.已知:2m +2的平方根是±4，3m +n +1的平方根是±5，求m +2n 的值.6）.已知a <0,b <0,求4a 2+12ab +9b 2的算术平方根.7）甲乙二人计算a +221a a +-的值，当a =3的时候，得到下面不同的答案：甲的解答：a +221a a +-=a +2)1(a -=a +1－a =1. 乙的解答：a +221a a +-=a +2)1(-a =a +a －1=2a －1=5. 哪一个解答是正确的？错误的解答错在哪里？为什么？【巩固练习】：1、16的算术平方根是_______，平方根是_______；2、若x 2＝16，则5－x 的算术平方根是 ；3、3664-的平方根是 ，算术平方根是 ；4、若4a ＋1的平方根是±5，则a 2的算术平方根是 ；5、0)2(12=-+-b a ，则b a +的平方根为 .6.第一个正方体纸盒的棱长为6 cm ，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm 3,求第二个纸盒的棱长. 平方根立方根的综合应用1、若x 、y 为实数，且20x y y ++-=，则2010()x y的值为 2、若22-a 与|b +2|互为相反数，则（a －b ）2＝__________3、若2x ＋1＋|y －1|＝0，则x 2＋y 2＝__________4、已知x 、y 为实数，且499+---=x x y ．求y x +的值5、已知,,a b c 实数在数轴上的对应点如图所示，化简22()a a b c a b c --+-+-6、已知实数,,a b c 满足2112()022a b b c c -+++-=，求()a b c +的值7、已知51024a a b -+-=+，求,a b 的值8、已知20092010a a a -+-=，求22009490a -+的值9、如果22a a b +=--，且3b a m =+，求m 的值是多少？10、已知120a ab -+-=，1111(1)(1)(2)(2)(1998)(1998)ab a b a b a b +++++++++求的值11、一个三角形的两边长为3,2，则它的第三边长可能是（ ）A.0.2 B.1 C. 32+ D.512、一个三角形的三边分别是,,a b c ，则2()a b c +-=______________,2()a b c --=________________13、求下列各式中的x(1)(x-2)2-4=0 (2)(x+3)3 +27=0 (3) 271253+x =0 (4) (2x-1)2=2514、已知x 是10 的整数部分，y 是10 的小数部分，求 110x y --（）的平方根。
苏教版初二平方根和立方根讲义
第一课时 平方根与立方根知识梳理一、 课前热身1、计算221=______, (-1)_____,= 223=______,(-3)_____,= 221.2=______,(-1.2)_____,= 220.1=______,(-0.1)_____,=2、填底数2____16=, 2____49=, 2____81=, 2____121=, 2____0=, 2____1=3.填空（1）______数的平方是49？它们的关系___________. （2）平方得81的数有____个.分别是_____________. （3）有没有一个数的平方等于负数的？____________. 二、平方根的概念1、如果一个数x 的平方等于a （即x 2=a ）,那么这个数x 就叫做a 的_______ .(也叫做二次方根）记做 ；读作“____________”。
a 叫做“__________”。
其中正的平方根叫做 ；记作“______________”。
2、求一个数a 的平方根的运算，叫做 .注意：①±a 表示a 的_______,其中a______ ②算术平方根是平方根中的______________③开平方运算和平方运算是互为逆运算，平方运算是开平方运算的依据。
三、例题讲解+同步练习 题组一例1：求下列各数的平方根（开平方）：课前检测5、已知,0a求b++b-11=+的值.a2知识梳理一. 平方根：1. 算术平方根的概念及表示方法如果一个正数x的平方等于a，即2x a=，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
当0a≥时，a的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数。
2. 平方根的概念及其性质（1）平方根的定义如果一个数的平方等于a，即2x a=，那=，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。
即如果2x a么x叫做a的平方根。
（2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
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教学目标1.了解一个数的平方根和算术平方根的意义，理解和掌握平方根的性质；2.会求一个非负数的平方根、算术平方根；3.掌握立方根的意义，会求一个数的立方根；4.理解开立方与立方的关系。
重点、难点重点：算术平方根、平方根以及立方根的概念和性质。
难点：算术平方根与平方根的区别与联系。
考点及考试要求以考查对平方根、算术平方根、立方根的概念的理解程度和估算为主教学内容第一课时平方根与立方根知识梳理课前检测1、求下列各数的算术平方根：⑴100 ⑵49⑶17⑷0.0001 ⑸064 92、求下列各式的值：（1） 4 （2）49（3）( 11)2（4）62 81a + 1b - 1 a知识梳理3、算术平方根等于本身的数有。
4、求下列各数的算术平方根.0.0025 ， 121， 42 ， (- 1 )2 ，1 92 165、已知 + = 0, 求a + 2b 的值.一. 平方根：1. 算术平方根的概念及表示方法如果一个正数 x 的平方等于a ，即 x 2 = a ，那么这个正数 x 叫做a 的算术平方根。
当a ≥ 0 时， a 的算术平方根记为 ，读作“根号a ”， a 叫做被开方数。
2. 平方根的概念及其性质（1） 平方根的定义如果一个数的平方等于a ，即 x 2 = a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。
即如果 x 2 = a ，那a典型例题么 x 叫做a 的平方根。
（2） 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是0；负数没有平方根。
当a ≥ 0 时，a 的平方根表示为± 。
（3） 求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数。
3. 用计算器求一个正数的算术平方根用计算器可以求出任何一个正数的算术平方根（或其近似值）。
二. 立方根：1. 立方根的概念及表示方法如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。
即如果 x 3 = a ，那么 x 叫做a 的立方根，记作 3 a 。
正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0 的立方根是 0。
2. 开立方的概念求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算。
3. 用计算器求立方根很多有理数的立方根是无限不循环小数，我们可用计算器求出它们的近似值。
第二课时平方根与立方根典型例题知识点一：算术平方根例 1. 下列各数有算术平方根吗？如果有，求出它的算术平方根；如果没有，请说明理由。
（1）81；（2） -16 ； （3）0；（4） 25；（5） (-2)2 ；（6） (-2)3 。
4思路分析：根据“正数和 0 都有算术平方根，负数没有算术平方根”知，（1）、（3）、（4）、（5）3x + 5 y - 3 - m 2x + 3y - m x - 2005 + y 2005 - x - y 3x + 5 y - 3 - m 2x + 3y - m a 解答过程：由已知，得⎪⎪ ⎨2x + 3y - m ≥ 0 ⎨2x + 3y - m = 0 例 5. 若一个正数a 的两个平方根分别为 x + 1和 x + 3 ，求a 2008 的值。
思路分析：由平方根的性质知：一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，因而可构造方程， 求出 x 的值，而a = (x + 1)2 或a = (x + 3)2 ，据此可求出a 的值。
解答过程：因为一个正数的两个平方根互为相反数所以(x + 1) + (x + 3) = 0 ，解得 x = -2 。
从而a = (x + 1)2 = (-2 + 1)2 = 1 （或a = (x + 3)2 = (-2 + 3)2 = 1)所以a 2008 = 1 。
解题后的思考：本题利用平方根的性质，构造一元一次方程，先求出其平方根，再进一步求出a 。
这里用到了方程思想，它是初中阶段一种重要的数学思想。
例 6. 若 x , y , m 适合关系式 + = + ，试求m 的值。
思路分析：从已知关系式看似乎无从下手，但关系式要成立先要有意义，此题从被开方数必须非负入手就能迎刃而解。
⎧3x + 5 y - 3 - m ≥ 0 (1) ⎪2x + 3y - m ≥ 0 (2)⎨x - 2005 + y ≥ 0 (3) ⎪⎩2005 - x - y ≥ 0 (4)由（3）（4）式可知， x + y = 2005所以，原式即为 + = 0因为， ⎧3x + 5 y - 3 - m ≥ 0⎩所以， ⎧3x + 5 y - 3 - m = 0 ⎩又因为， x + y = 2005所以，解得m = 2008 。
解题后的思考： 方根必须非负，即 a 的非负性包括两层含义：一是被开方数a 必须非负，即a ≥ 0 ；二是a 的算术平≥ 0 。
小结：负数没有平方根；一个正数有两个互为相反数的平方根；0 的平方根是 01717 1717 17m ma 2a1a a2知识点三：平方根的估算例7.已知x 为- 2 的整数部分，y -1是9 的平方根，且| x -y |=y -x ，求x+y的值。
思路分析：此题涉及的估值问题，由16 < 17 < 25 ，即4 << 5 可解。
还涉及y 的取值的取舍问题，求出的y 值要满足题目中的所有条件，既不能漏解，也不能多解。
解答过程：因为4 << 5 ，所以2 <- 2 < 3 ，即x = 2因为y - 1 是 9 的平方根，所以y - 1 =±3 ，即y = 4 或y =-2又因为| x -y |=y -x ，所以y ≥x所以x = 2, y = 4 ，故x +y = 6 。
解题后的思考：若的整数部分为a ，则其小数部分为-a 。
小结：若一个非负数a 介于另外两个非负数a1 , a2(a1<a2) 之间，即0 ≤a1 <a <a2 时，它的算术平方根也介于a1, 之间，即0 ≤<< 。
利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范围。
对一个数和式子进行估算是以后我们会经常遇到的问题。
比如解不等式组、求函数定义域和值域、求集合的交集和并集等。
知识点四：立方根的概念及其性质例8.已知x -1是8 的立方根，求x 。
思路分析：此题主要考查立方根的概念，但是用字母表示具体的数，涉及到代数。
解答过程： x - 1是 8 的立方根∴ (x - 1)3= 8∴x - 1 = 2 ，x = 3解题后的思考：利用立方根的概念解决抽象的代数问题。
小结：立方根与平方根的区别：只有非负数才有平方根，0 的平方根为 0，正数的平方根有两个且互为相反数；任何数均有立方根，并且有唯一的与其符号相同的立方根。
3 1 - 2x 3 3y - 2师生小结例 11. 若 3 1 - 2x 与 3 3y - 2 互为相反数，求代数式2x + 1 的值。
y思路分析：由立方根的定义和性质可知，若 与互为相反数，则有被开方数互为相反数。
由此求出 x , y 的关系式，然后代入求值。
解答过程：由题意得1 - 2x + 3y - 2 = 0 所以， y =2x + 13则 2x + 1 = 3 。
y解题后的思考：熟悉掌握立方根的性质是解决这类问题的关键。
被开方数 名称正数0 负数1 -1算术平方根 1 个（正数） 0 无 1无 平方根2 个（一正一负）无 ±1无立方根1 个（正数） 0 1 个（负数）1-1第三课时 平方根与立方根课堂检测3 -27 3 -a 2 2 1425 3 64一、选择题：1. 的绝对值是（）A. 3B. -3C. 1 3D. -1 32. 下列说法中正确的是（）A. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数B. 负数没有立方根C. 如果一个数有立方根，那么它一定有平方根D. 一个非零数的立方根与这个数同号3. 与 最接近的数是（）A. 0B. 2C. 4D. 5 4. 若某数的立方根等于这个数的算术平方根，那么这个数是（ ）A. 1B. ±1C. 0 或 1D. -1 或 05. 计算 = （）A. aB. -aC. -1D. 0二、填空题：6. （1） ± =； （2） - 3 -125 =；（3） 3 - 27=；（4） 3-8 + =；（5） 38 - 16 ⨯ 3 27=；7. 的平方根是；课堂检测8 18. 17 + 10 的小数部分为；9. 下列说法中正确的是（将序号填写在横线上）①4的平方根是2；②4的算术平方根是2；③-2 是4 的平方根；④-16 的平方根是-4 ；⑤0.3是0.09 的平方根；⑥0.4的算术平方根是0.2。
10. 如果3 2x -1=-3 5x + 8 ，那么x2=。
三、解答题：11. 求下列各数的平方根和算术平方根121（1）（2）0.0081494（3）(－ )2（4）14512.求下列各数的立方根．（1）0.001 （2）－2163（3）3 （4）－3 813.求下列各式中的x．（1）9x2－256＝0 （2）4(2x－1)2＝2514. 已知：(1－2a)2＋b－2＝0，求ab 的值．15.若3x＋16 的立方根是 4，求2x＋4 的算术平方根．x + y + z16. 已知 3 1 - a 2 = 1 - a 2 ，求a 的值。
17.已知：（ｘ－1）2+ y + 3 + ＝0，求ｘ+ｙ2－ｚ的立方根．18. 已知：ｘ－2 的平方根是±2, 2ｘ+ｙ+7 的立方根是 3，求ｘ2+ｙ2 的平方根．19.若ｘ2＝（－3）2，ｙ3＝（－2）3，求ｘ+ｙ的所有可能值．19. 将半径为 3 cm 的铁球熔化，重新铸成 8 个半径相同的小铁球。
（1） 原铁球的体积是多少？（2） 每个小铁球的体积是多少？半径是多少？（球的体积公式：V = 4r 3 ）320.计划用 100 块地板砖来铺设面积为 16m2 的客厅，求所需的正方形地板砖的边长是多少米？21.已知第一个正方体纸盒的棱长是 6cm，第二个正方体纸盒的体积要比第一个纸盒的体积大127cm3，求第二个正方体纸盒的棱长．。