高中数学 《基本不等式的证明》教案 苏教版必修
苏教版高中数学必修五教学案第课时基本不等式的证明
总 课 题 不等式总课时 第25课时 分 课 题基本不等式的证明（一）分课时 第 1 课时教学目标理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系．探究并了解基本不等式的证明过程，会用各种方法证明基本不等式．理解基本不等式的意义，并掌握基本不等式中取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．重点难点 基本不等式证明方法；理解当且仅当b a =时取“=”号． 引入新课1．当b a ，满足条件__________时，基本不等式ab ba ≥+2成立，该不等式取符号的条件是____________________________________． 2．算术平均数的定义： 3．几何平均数的定义：4．算术平均数与几何平均数的关系 （1）基本公式：2ba ab +≤及语言叙述 （2）基本不等式的证明方法 （3）基本不等式成立的条件 （4）基本不等式的变形例题剖析设b a ，为正数，证明下列不等式：（1）2≥+baa b ；（2）21≥+aa ．变化：若b a ，都为负数，则分别比较baa b +与2；a a 1+与2-的大小．若b a R b a ≠∈，，，求证：22222-+>+b a b a ．例1 例2若b a ，都是正整数，求证：22ba b a ab +≤+．巩固练习1． 证明：（1）ab b a 222≥+；（2）x x 212≥+； （3）)0(21<-≤+x xx ．2．设R y x ∈，，求证：y x y x 422422+≥++．3．求证：2)2(222b a b a +≤+．课堂小结基本不等式证明方法；理解当且仅当b a =时取“=”号．例3课后训练班级：高一（ ）班 姓名：____________一 基础题1．若1>>b a ，=P b a lg lg ⋅，=Q )lg (lg 21b a +，lg=R 2ba +，则（ ） A ．Q P R <<B ．R Q P <<C ．R P Q <<D ．Q R P <<2．若0>>a b ，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．>a b ab ba >>+2 B ．>b a ba ab >+>2 C ．>b a ab ba >>+2D ．>>a b ab ba >+23．（1）24)14)(4(22=++=Q a a P ，，则P 与Q 的大小关系为_________． （2）已知1>a ，则a P 2log 21=与21log 2+=a Q 的大小关系为_________． 4．设a ，)0(∞+ ∈，b ，求证：ab ba ab≤+2．二 提高题5．设R y x ∈，，求证：)2(2522y x y x +≥++．6．已知00>>b a ，且b a ≠，求证：)(222b a ab +<．7．已知R b a ∈，，求证：12112222++≤+⋅+b a b a ．三 能力题8．求证：（1）b a b a 2log )(log 212221≤+；（2）1)4141(log 21-+≤+b a b a ．。
高中数学基本不等式的证明第一课时教案苏教版必修
第10课时：基本不等式（1）一、学习目标1.探索并了解基本不等式的证明过程。
2.体会证明不等式的基本思想方法。
3. 理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等二、学法指导1.理解基本不等式的三种证明方法并总结各种证法的思路与步骤。
2.注意基本不等式成立的条件以及等号成立的条件。
三、课堂探究：1、问题情境：某金店有一不准确的天平（臂长不等），你要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，分别称得a 和b ，那么项链的实际质量是多少呢？2、学生活动：3、猜想结论：四、建构数学1、如何证明基本不等式，每种方法的思路和步骤是什么？2、通过严格证明，得出下列结论：定理：3、观察下图，尝试给出上述基本不等式的几何意义是什么？4、这个基本不等式可否推广到“1,)n n n N >∈个（非负数”的情形呢四、数学应用1、例题例1.（1） 设0a >，证明：12a a +≥变式1：求函数1y x x =+的值域。
点评：通过这一题你有什么感想呢？（2）设,a b 为正数，证明2b a a b +≥。
变式1：设,a b为正数，求证a b +≥ 点评：变式2：11,,1,4a b R a b a b∈+=+≥设且求证问题：你还能变出题来吗？例2、比较大小(lg lg )1,,lg 22a b a b a b P Q R ++>>===若，则,,P Q R 的大小关系为 。
2、练习(1)、有下列关于不等式的证明：4(1),,2;(2)0,4;(3)2;(4),0,()())() 2.b a a b R x x x a b x xa b R ab ab a bb a ba a ∈+≥=<+≤=≥=∈<⎡⎤+=--+-≤--=-⎢⎥⎣⎦若则若则1若x>0，则cosx+cosx 若且则cosx cosx 其中证明过程正确的序号是 .（2）、,(0,),a b ∈+∞若试比较大小2,2a b ab a b++,则 .（3）、已知,,a b c 均为正数，且1111,9a b c a b c ++=++≥求证：（4）、 若正数a,b 满足ab=a+b+3,则ab 的取值范围是 ，a b +的取值范围是五、回顾小结学生回顾小结本节课所学内容及主要收获，教师总结。
高中数学3.4.1基本不等式的证明教学设计苏教版必修
3.4.1 基本不等式的证明教学目标：1．探索并了解基本不等式的证明；2．体会证明不等式的基本思想方法；3．能应用基本不等式解决简单的不等式证明问题．教学重点：基本不等式的证明．教学难点：基本不等式的证明．教学过程：一、问题情境，导入新课口述：有一个珠宝商人，很多人到他那里买的东西回家一称发现分量都有问题，于是向工商局投诉，工商局派人去调查，商人承认他用的天平左右的杆长有问题，向人们提出一个调解方案，放左边称变重对人们不公平，放右边称变轻商人要亏本，那么用两次称重的平均值作为物品的实际重量，如果你是购买者，你接受他的方案吗？问题1 你能不能把这个问题转化成一个数学问题？珠宝放左边称砝码显示重量为a ，放右边称砝码显示重量为b ，假设天平的左杠杆长为l 1，右杠杆长l 2，那么这个珠宝的实际重量是多少？（会算吗？用什么原理来算？你认为珠宝商的方案合理吗，那也就是ab b a 与2+ 哪个大？） 问题2 ab b a 与2+ 哪个大？（你估计一下哪个大？）（如果回答取值代，那么可以追问取一正一负行吗？如果回答作差，可以追问你估计一下哪个大？）二、学生活动问题3 如何证明(0,0)2a b ab a b +≥≥≥呢？ 请2个同学上黑板（巡视，有不同的解法让他上黑板写一下）．证法一（比较法）：2a b ab +-=221[()()2]2a b a b +-=21()02a b -≥， 当a b a b =时，取“=”．证法二：要证 2a b ab +≤， 只要证 2ab a b ≤+，只要证 02a ab b ≤-+，只要证 20()a b ≤-因为最后一个不等式成立，所以 2a b ab +≤成立，当且仅当a b =，即a b =时，取“＝”．证法三：对于正数,a b ，有2()0a b -≥，20a b ab ⇒+-≥，2a b ab ⇒+≥，2a b ab +⇒≥． 先让学生谈一谈证的对不对，他这个证明方法有什么特点？点评：回顾我们上面的证明过程，我们来看一下各种证法的特点：证法一是比较法，比较法常用的就是作差将差值与零去比较；证法二是分析法，分析法的特点是盯住我们要的目标，寻找结论成立的条件；证法三是综合法，它们都是证明不等式的基本方法．（看来珠宝商还是多赚钱的，只有a ＝b 时才是一个守法的商人啊．）三、建构数学定理：如果b a ,是实数且)0,0(≥≥b a ，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“＝”）． 问题：对于这个定理你怎么认识它？（结构有什么特点啊？成立的条件是什么？什么叫当且仅当啊？）（上式中2a b +称为,a b 的算术平均数，ab 称为,a b 的几何平均数，两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，有的时候我们也把这个定理写成ab b a 2≥+）．要用这个定理首先两个数必须都是非负数．当a b =时，取“＝”，并且只有当a b =时，取“＝”，我们把这种等号成立的情况称之为当且仅当．四、数学运用例1 设b a ,是正数，证明下列不等式成立：（1）2b a a b +≥ （2）12a a+≥ （3）ab b a 222≥+（先让学生点评，对不对，关注格式与条件，他用什么方法来证明的？还有什么别的思路？）点评：我们证明不等式通常有比较法，分析法，现在有了这个定理，也可以应用它来证明什么时候取等号？师：我们现在已经对这个不等式有了一定的认识了，你能不能从图形的角度来认识一下它呢？有线段AB 长为a ，线段BC 长为b ，你能找到2a b +和ab 吗？（一个学生讲完了可以让另一个学生再解释一下）b a F A O B C例2 （1）已知函数)0(,1>+=x xx y ，求此函数的最小值． 点评：什么是最小值，最小值就是大于等于一个数，你说大于等于2，那也大于等于1嘛，我能说最小值就是1吗？（2）已知函数)0(,1<+=x x x y ，求此函数的最大值； （3）已知函数)1(,112->++=x x x y ，求此函数的最小值． 五、回顾小结回顾本节课，你对基本不等式有哪些认识？北师大版数学选修1-2第三章推理与证明§4 反证法一、教学目标：1.知识与技能：(1)了解间接证明的一种基本方法──反证法；(2)了解反证法的思考过程与特点,会用反证法证明数学问题.2.过程与方法:通过学生动手及简单实例,让学生充分体会反证法的数学思想,并学会简单应用.通过反证法的学习,让学生形成逆向思维的模式,体验数学方法的多样性。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 3.4.1 基本不等式的证明》8
根本不等式的证明教案一、教学目标知识与技能：学会推导并掌握根本不等式，理解这个根本不等式的几何意义，并掌握定理中取等号的条件；过程与方法：通过实例探究抽象根本不等式；引导学生从数和形两方面探究根本不等式的证明；情感态度与价值观：体会数学二、教学重难点教学重点：从不同角度探索根本不等式的证明过程教学难点：用根本不等式证明不等式问题三、教学过程1、问题引入实验室有一台天平，经测试该天平两臂长不等，其余均精确小明分别把物体放于左右两盘各称一次，分别称得a和b，然后把两次称得重量的平均数作为物体的重量,你认为这种称法是否合理？2、数学建构现在我们把这个问题一般化，假设左右两端称量的质量分别是a克、b克，那这个同学猜测的质量就是克，而物体的真实质量是克问题：当a>0,b>0时，请比拟和的大小关系，并证明〔猜测结果〕法一：〔比拟法〕当且仅当，即a=b时，取“=〞法二：〔分析法〕要证只要证只要证只要证因为最后一个不等式成立，所以，当且仅当a=b时，取“=〞法三：〔综合法〕因为所以所以所以当且仅当，即a=b时，取“=〞符号语言：a>0,b>0，那么把称为a、b的几何平均数，称为a、b的算术平均数文字语言：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数图形语言：如图，CD=，OD=，那么半弦CD不大于半径如果a≥ 0,b≥ 0，那么称为根本不等式，当且仅当a=b时，取“=〞注：前提条件：a≥ 0,b≥ 0；取等条件：当且仅当a=b3、应用举例例1 设a,b为正数，证明以下不等式：变式：当时，求的取值范围〔可让学生自己编题练习〕4、课堂小结1这节课你学到了什么知识？2这节课你学到了哪些数学思想和方法？。
苏教版高中数学必修五《基本不等式的证明》学案
3.4.1基本不等式的证明【学习目标】理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系．探究并了解基本不等式的证明过程，会用各种方法证明基本不等式．理解基本不等式的意义，并掌握基本不等式中取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．【课前预习】1．当b a ，满足条件__________时，基本不等式ab b a ≥+2成立， 该不等式取符号的条件是____________________________________．2．算术平均数的定义：3．几何平均数的定义：4．算术平均数与几何平均数的关系（1）基本公式：2b a ab +≤及语言叙述 （2）基本不等式的证明方法（3）基本不等式成立的条件（4）基本不等式的变形【课堂研讨】例1.设b a ，为正数，证明下列不等式：（1）2≥+b a a b ； （2）21≥+aa ．变化：若b a ，都为负数，则分别比较b a a b +与2；a a 1+与2-的大小．例2若b a R b a ≠∈，，，求证：22222-+>+b a b a ．例3.若b a ，都是正整数，求证：22b a b a ab +≤+．例4.利用基本不等式求最值，必须满足三条：一正二定三相等． 已知函数)2(216∞+ -∈++=，，x x x y ，求此函数的最小值．思考：若)3[∞+ ∈，x ，求此函数最小值．例5求)(4522R x x x y ∈++=的最小值．例6.（1）已知0>x ，0>y ，12=+y x ，求yx 11+的最小值； （2）已知+∈R y x ，，且191=+y x ，求y x +的最小值．【学后反思】。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 3.4.1 基本不等式的证明》
基本不等式的证明学习目标：1理解基本不等式的内容及证明．重点2能运用基本不等式证明简单的不等式．重点3能用基本不等式求解简单的最大小值问题．难点问题引入：把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a。
如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a并非物体的实际质量。
不过，我们可做第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为b。
那么如何合理地表示物体的质量呢？简单的做法是，把两次称得物体的质量“平均”一下，以A=2ba+表示物体的质量。
这样的做法合理吗？设天平的两臂长分别为l1,l2，物体实际质量为M，根据力学原理（当物体处于平衡状态时，动力乘以动力臂等于阻力乘以阻力臂）有。
由此可知，物体的实际质量是。
对于正数a,b，我们把2ba+称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的几何平均数。
两个正数的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系？我们先取一些数作试验:算结果表明ab≤2。
也就是说，两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时两者相等。
[自主预习·探新知]思考如何证明不等式错误!≤错误!a>0，b>01．算术平均数与几何平均数对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．2．基本不等式如果a，b是正数，那么错误!错误!当且仅当a＝b时取“＝”，我们把不等式称为基本不等式．[合作探究·攻重难]，b为正数，证明下列不等式成立：1ba ab≥2;2 a1a≥2.=16，∈(−2,+∞),求此函数的最小值。
x+2变式：求函数＝错误!>－1的最小值，并求相应的值．应用基本不等式应注意的问题：1．不等式“＋错误!≥2错误!＝2”成立吗？为什么？2．不等式“＋错误!≥2错误!＝2”,∈[4,+∞)成立吗？为什么？[当堂达标·固双基] 1．a＋1≥2错误!a>0中等号成立的条件是________．__2．函数f＝2＋错误!>0有最小值为______．3．已知>0，则函数f＝7－－错误!的最大值为________．4．已知a，b，c，d都是正实数．求证：错误!＋错误!≥45当>－1时，求＝错误!的最大值，并求相应的值．总结提炼：。
高中数学：基本不等式的证明第二课时教案苏教版必修5
第11课时：基本不等式（2）一、学习目标1.进一步掌握基本不等式；２.３.基本不等式在证明题和求最值方面的应用。
二、学法指导1.利用基本不等式求最值时要注意一正二定三相等。
2.当运用基本不等式时条件不满足时，有时可以运用拆分和配凑的方法变成和式和积式,使条件满足。
三．课前预习：1.重要不等式：________________________________2.基本不等式：________________________________四、课堂探究最值定理：已知y x ,都是正数， ①如果积xy 是定值p ，那么当y x =时，和y x +有最小值p 2；②如果和y x +是定值s ，那么当y x =时，积xy 有最大值241s ． 五．例题讲解：例1.已知函数()+∞-∈++=,2,216x x x y ，求此函数的最小值。
变式：将()+∞-∈,2x 改为[)+∞∈,4x ，求此函数的最小值。
点评：例2求(4)(04)y x x x =-<<的最大值，并求此时的x 的值变式1：求(42)(04)y x x x =-<<的最大值，并求此时的x 的值变式2:0,0,2520,lg lg x y x y x y >>+=+已知且求的最大值例3、0,0,1,a b a b >>+=≤已知五、巩固训练(选做)1.求函数2294x x y +=的最小值，并求函数取最小值时x 的值。
2. 求 lg log 10x x +)1(>x 的最值，并求取最值时的x 的值。
3.已知02x <<，求函数()f x =x 值。
六、反思总结七、课后作业1、若x>0,y>0且281x y+=，则xy 的最小值是； 2、设a ，b R +∈，a+2b=3，则11a b +最小值是； 3、当x>1时，则y=x+21161x x x ++的最小值是； 4、若数列{n a }的通项公式是281n n a n =+则数列{n a }中最大项；。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 3.4.1 基本不等式的证明》28
必修5基本不等式基本不等式的证明一、教学目标1．掌握基本不等式错误!≤错误!，以及（1）基本不等式成立的条件：a >0，b >0． 2等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．区别算术平均数与几何平均数二、重、难点1．利用基本不等式求最值问题，和定积最大，积定和最小。
三、教学过程一．思考1．若a ，b ∈R ，则代数式a 2＋b 2与2ab 有何大小关系？2．上述结论中，等号何时成立？3．若以错误!、错误!分别代替问题1中的a 、b ，可得出什么结论？等号何时成立？，b 是正数，那么错误! 错误!当且仅当a ＝b 时取“＝”，我们把这不等式 a ≥0，b ≥0称为基本不等式（基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
）5、设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为 ，几何平均数为 ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．6如何证明基本不等式：错误!≤错误!a ≥0，b ≥0典型例题：例1设b a , 为正数，证明下列不等式成立：（1）2≥+b a a b （2）21≥+aa例1变式：设b a ,为正实数，求证：114a b a b +≥（+）()例题2；例2变式1：用一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？例2变式 2：用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？课堂小结：已知>0，>0，则1如果积是定值＝a ＋错误!a ＞2，n ＝22－b 2b ≠0，则m ，n 之间的大小关系是________．4．已知＞1，则函数＝＋错误!的值域为________．5．已知a ，b ＞0且2a ＋b ＝4，则ab 的最大值为________．6．若＋2＝2，则2＋4的最小值为________．7．若a ＞b ＞0，则代数式a 2＋错误!的最小值为________． 0,0(1)10,___________(2)10,___________x y x y xy xy x y >>+==+如果那么如果那么8．已知M是△ABC内的一点，且错误!3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为12021问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 3.4.1 基本不等式的证明》3
《基本不等式的证明》教学设计【教材分析】不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容。
建立不等观念，处理不等关系与处理等量问题是同样重要的。
而基本不等式是本章重要的一个单元，它是证明不等式、求解某些函数的最大值及最小值的理论依据，在解决数学问题和实际问题中应用广泛。
基本不等式是高中数学的重要内容之一，在高考说明中等级要求为C级。
在不同的章节中都有应用，是培养学生逻辑推理能力和数学应用意识的好素材。
本教材特别强调基本不等式的代数与几何背景以及在求最值中的应用。
【学情分析】学生对函数中求最值，在一元二次不等式中都已经学过接触过有不等式的问题，因此提到不等式最值问题学生也不会陌生。
在两个数的算术平均数和几何平均上，我们可以以两个数的等差中项和等比中项来引用这两个概念。
这样对两个数据形式上就不会陌生，在初步了解大小关系后在给出概念。
但由于学生的基础薄弱，可以预见在探索基本不等式时，寻找不等关系也有一定的困难。
【教学目标】知识目标：1、知道算术平均数和几何平均数的概念并且能求出两个数的算术平均数和几何平均数。
2、理解基本不等式的证明过程。
技能目标：1、掌握基本不等式的取等条件，并能用此方法求函数最大值。
2、通过对基本不等式证明的理解，体会三种证明方法，能准确用三种证明中简单的方法证明其它不等式问题。
3、体会类比的数学思想方法，培养其观察分析问题的能力和总结概括的能力情感目标：通过不等式基本性质的探究过程，培养学生合作交流的思维品质，渗透不等式中的数学美，激发学生学习兴趣，陶冶学生的数学情操。
【教学重点】1、如果a，b是正数，则为a、b的算术平均数；为a、b的几何平均，且有“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”。
即定理，（）（当且仅当时取）2、上面公式中“当且仅当的含义是：当时取等号，即；仅当时取等号，即，综合起来就是的充要条件。
【教学难点】1、不等式求函数最值时的取等条件2、对于公式的变形可求的最大值【教学方法】启发学生探究，多媒体辅助教学【教具准备】多媒体电脑课件【教学过程】一、设置问题情境：（展示并介绍古代弦图）同学们现在看到的是中国古代数学中著名的一副图，叫做弦图。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 3.4.1 基本不等式的证明》5
基本不等式的证明（学案）教学目标：（1）学会推导不等式2a bab +≤，理解不等式的几何意义。
（2）知道算术平均数、几何平均数的概念 （3）会用基本不等式求一些简单的最值问题 教学重点：基本不等式2a bab +≤的推导及应用。
教学难点：理解“当且仅当a b =时取等号” 的意义。
教学过程：一、导入新课1、 如图所示，这时我国古代数学家赵爽的弦图。
在北京召开的24届国际数学家大会上作为会标。
探究：这会标中含有怎样的几何图形？你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？ 设小直角三角形的两条直角边为、a b ，正方形的面积1 = 。
四个直角三角形的面积和2= 。
1 与 2的大小关系： 思考：当a=b 时,1 与 2的大小关系：2、（动手实验思考）材料：准备好两张大小不一的正方形纸张,一张边长为a,另一张边长为b 二、新课学习1、重要不等式: 一般的,对于任意的实数a,b ,我们有 ，当且仅当 时,等号成立 特别的,如果00a ,b >> ,我们用、a b 分别代替a,b ,可得2、基本不等式均值不等式）：2a bab +≤00a ,b >> 变形： ， 当且仅当 时,等号成立 其中2a b+叫做a,b 的算术平均数， ab 叫做a,b 的几何平均数基本不等式的文字语言：两个非负数的算数平均数不小于几何平均数 从数列角度，可以叙述：两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项 3、基本不等式的几何意义探究：如右图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点， AC=a,BC=b过点作点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？ 1）图中你能找到长度为2a b+ 与的线段吗？它们分别有什么几何意义呢？2）移动点C 在线段AB 上的位置，你有什么结论呢？半径不小于半弦 4、 两个公式的对比结论:一正二定三相等 三、实战演练的最小值求函数、已知例xx x f x 1)(,01+=>2)(112121)(0的最小值为时取等号即当且仅当解：x f x xx x x x x x f x ∴===•≥+=∴> 变式：的取值的最小值和此时，求函数已知x x x x f x 11)(1)1(-+=> 3)(21113111)1(2111111)(01,1的最小值为时，取到等号即当且仅当解x f y x x x x x x x x x x f x x =∴=-=-=+-•-≥+-+-=-+=>->构建“定”的最值求函数已知xx x f x 1)(,0)2(+=<2)(112121:的最小值是时，等号成立即当且仅当解x f y x xx xx x x =∴-===•≥+错因：正 正解：2-)(112)(2)(1)()(1)(1)(0,0有最大值为时取等号即当且仅当解：x f y x xx x f x x x x x x x f x x =∴-=-=--≤∴≥-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=+=>-∴< 的取值的最小值和此时求函数已知x xx x f x 1)(,2)3(+=≥ 2)(2121)(2的最小值为解：x f y xx x x x f x =∴=•≥+=≥ 错因：相等正解：[)25)2()(,21)(,2==∴+∞+=≥f x f y xx x f x 的最小值为为单调递增函数在由对勾函数可得解改编：≥+>abb a ab 则若,0)1(练1、 1）、若0ab >，则a bb a+≥，求函数的最小值已知函数)2(23)()2(>-+=x x x x f例2（1）用篱笆围一个面积为100㎡的矩形菜园，问这个矩形的长宽各多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？2一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长宽各多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（2） 探究：正实数,，若积是定值,x y _______xy =x y +长的历铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？趣味数学故事:年轻聪明的王子想买商人手中的宝石，于是商人拿出一个制造不精确的天平（天平两臂的长度不相等），商人想出了一个自认为很公平的办法：先把宝石放在左托盘称出重量（a ），再把宝石放在右托盘称出重量（b ），最后取他们的平均数，王子会同意吗？ （四）小结思考题：（1）已知、都是正数，求证：（＋）（2＋2）（3＋3）≥８33的最大值，求设)1(10)2(x x y x -=<< 的最小值求函数23)()3(22++=x x x f。
2019-2020年高中数学 3.4.1 基本不等式的证明教案 苏教版必修5
2019-2020年高中数学 3.4.1 基本不等式的证明教案 苏教版必修5●三维目标 1.知识与技能(1)探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法； (2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题；(3)学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；(4)理解“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”的证明以及它的几何解释. 2.过程与方法(1)通过实例探究抽象基本不等式；(2)通过几个例题的研究，掌握基本不等式ab ≤a ＋b2，并会用此定理求某些函数的最大、最小值；(3)运用拆项、凑项和换元的方法，创造使用基本不等式的条件． 3．情感、态度与价值观(1)通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；(2)培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力；(3)引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.●重点、难点重点：理解掌握基本不等式，并能借助几何图形说明基本不等式的意义． 难点：理解基本不等式等号成立的条件．为了突出重点、化解难点，可在引导学生完成所提问题的基础上，从数和形等多个角度探索不等式ab ≤a ＋b2的证明过程．每一步证明过程都要给学生留出思考的空间，让他们自主探究．(教师用书独具)●教学建议本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃．要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点．算术平均数和几何平均数是本节的第一基础概念，可结合教材中的物理问题进行理解．从生活中实际问题还原出数学本质，可积极地调动学生的学习热情．基本不等式的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案；要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质．用基本不等式求最值时注意强调必须具备三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑、变形来创造利用基本不等式的条件进行求解．●教学流程创设情境引导学生理解算术平均数和几何平均数的概念，进而给出基本不等式.⇒引导学生多角度探索基本不等式的证明方法，使学生充分理解基本不等式.⇒通过例1及其变式训练使学生熟悉基本不等式的结构与应用.⇒通过例2及其互动探究使学生掌握利用基本不等式证明不等式方法.⇒通过例3及其变式训练让学生掌握利用基本不等式求函数的最值的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.(对应学生用书第62页)对于正数a ，b ，我们把a ＋b2称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数.1．若a ，b ∈R ，则代数式a 2＋b 2与2ab 有何大小关系？ 【提示】 因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以a 2＋b 2≥2ab . 2．上述结论中，等号何时成立？ 【提示】 当且仅当a ＝b 时等号成立．3．若以a 、b 分别代替问题1中的a 、b ，可得出什么结论？等号何时成立？ 【提示】 a ＋b ≥2ab (a 、b 是正数)，当且仅当a ＝b 时等号成立．如果a ，b 是正数，当且仅当a ＝b 时取“＝”)，我们把不等式ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)称为基本不等式．(对应学生用书第63页)利用基本不等式比较大小设a 、b ∈(0，＋∞)，试比较a ＋b2，ab ，a 2＋b 22，21a ＋1b的大小． 【思路探究】 先利用特殊值探究四个式子的大小，再用基本不等式证明． 【自主解答】 ∵a 、b ∈(0，＋∞)，∴1a ＋1b ≥21ab， 即21a ＋1b≤ab ，当且仅当1a ＝1b ，即a ＝b 时等号成立． 又∵a 2＋b 22≥ a 2＋b 2＋2ab4＝a ＋b 22＝a ＋b2， ∴a ＋b 2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时等号成立． 而ab ≤a ＋b 2，于是21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22. 当且仅当a ＝b 时等号成立．1．本题中对基本不等式的使用，根据条件不同采用了多种不同形式． 2．在利用a ＋b ≥2ab 时，一定要注意是否满足条件a >0，b >0.已知函数f (x )＝lg x (x ∈R ＋)，若x 1，x 2∈R ＋，比较12[f (x 1)＋f (x 2)]与f (x 1＋x 22)的大小，并加以证明．【解】 ∵f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg(x 1x 2)，f (x 1＋x 22)＝lg x 1＋x 22，又∵x 1，x 2∈R ＋，∴x 1x 2≤(x 1＋x 22)2.∴lg(x 1x 2)≤lg(x 1＋x 22)2.∴12lg(x 1x 2)≤lg x 1＋x 22， 即12(lg x 1＋lg x 2)≤lg x 1＋x 22. ∴12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f (x 1＋x 22)， 当且仅当x 1＝x 2时，等号成立.求证：a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca .【思路探究】 分析不等式结构→利用基本不等式→同向不等式相加→分析等号是否成立【自主解答】 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0， ∴a ＋b ≥2ab ， b ＋c ≥2bc ， c ＋a ≥2ac .∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca .1．本题中，由于三个不等式等号成立的条件不能同时具备，故最终不等式等号不成立． 2．由基本不等式a ＋b 2≥ab 可以引申出的常用结论：(1)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)； (2)b a ＋ab ≤－2(a ，b 异号)；(3)21a ＋1b≤ ab ≤a ＋b2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)；(4)ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．若条件不变，结论改为a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋ac ，怎样证明？ 【证明】 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0， ∴a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )． 即a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋ca .利用基本不等式求函数的最值(1)已知x ＞2，求y ＝x ＋1x －2的最小值；(2)已知0＜x ＜12，求y ＝12x (1－2x )的最大值．【思路探究】 (1)将原式变形为y ＝x －2＋1x －2＋2，再利用基本不等式；(2)将原式变形为y ＝14·2x (1－2x )，再利用基本不等式．【自主解答】 (1)∵x ＞2，∴x －2＞0， ∴y ＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2x －2·1x －2＋2＝4， 当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时，y min ＝4.(2)∵0＜x ＜12，∴1－2x ＞0，∴y ＝12x (1－2x )＝14×2x (1－2x )≤14(2x ＋1－2x 2)2＝14×14＝116， 当且仅当2x ＝1－2x (0＜x ＜12)，即x ＝14时，y max ＝116.1．本例中，对要求最值的函数式，通过适当的变形，使式子变为和为定值或积为定值的式子，然后运用基本不等式求最值．2．利用基本不等式求解最值，应满足“一正、二定、三相等”三个条件． (1)“一正”，所求最值的各项都是正值．(2)“二定”，含变量的各项的和或者积必须是常数．(3)“三相等”，具备不等式中等号成立的条件，使函数取得最大或最小值．(1)若x ＜0，求f (x )＝4x ＋9x 的最大值；(2)求函数y ＝x 2＋x ＋1x 2＋2x ＋1(x ＞0)的最小值．【解】 (1)∵x ＜0，∴－x ＞0. 则－f (x )＝－4x ＋9－x ≥2－4x ·9－x＝12. 即f (x )≤－12，当且仅当－4x ＝9－x时，即x ＝－32时，f (x )取最大值－12.(2)∵y ＝x 2＋x ＋1x 2＋2x ＋1＝x 2＋2x ＋1－x x 2＋2x ＋1＝1－x x 2＋2x ＋1，又x ＞0，∴y ＝1－1x ＋1x ＋2.∵x ＋1x ≥2，∴x ＋1x＋2≥4，∴0＜1x ＋1x＋2≤14， ∴y ≥1－14＝34.当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，取等号．故当x ＝1时，函数取得最小值34.(对应学生用书第64页)忽略定值条件导致错误设a ≥0，b ≥0，a 2＋b 22＝1，求a 1＋b 2的最大值．【错解】 a 1＋b 2＝12·2a ·1＋b 2≤12·4a 2＋1＋b 22＝12[(a 2＋12)＋(a 2＋b 22)] ＝12[(a 2＋12)＋1]≥34(a ＝0时，取等号)． 【错因分析】 在a1＋b 2＝12·2a ·1＋b 2≤12·4a 2＋1＋b 22中，4a 2＋1＋b 22并非定值，这直接导致了解题的错误．【防范措施】 a ＋b 是定值或a 、b 是定值是使用基本不等式的第二个条件，当条件不具备时应对解析式变形，创造定理条件．【正解】 由a 2＋b 22＝1，得a 2＋1＋b 22＝32. ∴a 1＋b 2＝2·a ·1＋b 22≤2·a 2＋1＋b 222＝2×322＝324， 当⎩⎨⎧a 2＋b 22＝1，a ＝1＋b 22，即⎩⎨⎧a ＝ 32，b ＝22时，等号成立．1．基础知识：(1)算术平均数与几何平均数； (2)基本不等式． 2．基本技能：(1)利用基本不等式比较大小；(2)利用基本不等式证明不等式；(3)利用基本不等式求函数的最值． 3．思想方法： (1)转化与化归思想； (2)分类讨论思想；(3)函数思想.(对应学生用书第65页)1．若0＜a ＜1,0＜b ＜1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是________． 【解析】 因为0＜a ＜1,0＜b ＜1，a ≠b ，所以a ＋b ＞2ab ，a 2＋b 2＞2ab ，所以四个数中最大的数应从a ＋b ，a 2＋b 2中选择．而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1)．又因为0＜a ＜1,0＜b ＜1，所以a (a －1)＜0，b (b －1)＜0，所以a 2＋b 2－(a ＋b )＜0，即a 2＋b 2＜a ＋b ，所以a ＋b 最大．【答案】 a ＋b2．若x ＞0，则f (x )＝4x ＋9x 的最小值为________．【解析】 ∵x ＞0，由基本不等式，得f (x )＝4x ＋9x ≥24x ·9x＝236＝12. 当且仅当4x ＝9x 时，即x ＝32时，f (x )取最小值12.【答案】 123．已知x ＞0，则y ＝2－x －4x 的最大值为________．【解析】 ∵x ＞0，∴x ＋4x ≥4，∴y ＝2－x －4x ＝2－(x ＋4x )≤2－4＝－2，当且仅当x ＝4x (x ＞0)，即x ＝2时，y max ＝－2. 【答案】 －24．求证4a －3＋a ≥7(其中a ＞3)．【证明】 因为a ＞3，所以a －3＞0. 所以4a －3＋a ＝4a －3＋a －3＋3≥24a －3·a －3＋3＝2×4＋3＝7. 当且仅当4a －3＝a －3，即当a ＝5时取等号.(对应学生用书第99页)一、填空题1．下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号) ①若a ，b ∈R ，则b a ＋ab≥2b a ·ab＝2； ②若x ＞0，则 cos x ＋1cos x ≥2cos x ·1cos x＝2；③若x ＜0，则x ＋4x≤2x ·4x＝4； ④若a ，b ∈R ，且ab ＜0，则b a ＋a b ＝－[(－b a )＋(－ab)]≤－2－b a ·－ab＝－2. 【解析】 对于①，不能确定b a 与ab 均为正数，不能使用基本不等式．同理知②也不正确．对于③，x 与4x 均为负数，也不能使用基本不等式，所以③错误．对于④，将负数b a 与ab 分别转化为正数－b a ，－ab，然后再利用基本不等式求解，所以正确．故填④.【答案】 ④2．(xx·南通检测)若a ＞1，则y ＝a ＋1a －1的最小值为________．【解析】 ∵a ＞1，∴a －1＞0，1a －1＞0，∴y ＝a ＋1a －1＝(a －1)＋1a －1＋1≥2a －1·1a －1＋1＝3，当且仅当a －1＝1a －1，即a ＝2时取等号，∴y min ＝3.【答案】 33．已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是________．【解析】 m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2a －2·1a －2＋2＝4，当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时，“＝”成立，故m ∈[4，＋∞)，由b ≠0，得b 2≠0， ∴2－b 2＜2，∴22－b 2＜4，即n ∈(0,4)，综上易得m ＞n . 【答案】 m ＞n4．已知x ＞1，则函数y ＝x ＋9xx －1的值域为________． 【解析】 ∵x ＞1，∴x －1＞0.∴y ＝x ＋9x x －1＝x ＋9x －9＋9x －1＝x ＋9＋9x －1＝x －1＋9x －1＋10≥2x －1·9x －1＋10＝16，当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时，y 取最小值16，∴函数y ＝x ＋9xx －1的值域为[16，＋∞)．【答案】 [16，＋∞)5．(xx·无锡检测)已知a ，b ＞0且2a ＋b ＝4，则ab 的最大值为________． 【解析】 由2a ＋b ＝4，∴4＝2a ＋b ≥22ab . ∴2ab ≤2，∴2ab ≤4，∴ab ≤2，即(ab )max ＝2. 【答案】 26．若x ＋2y ＝2，则2x ＋4y 的最小值为________．【解析】 2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ·22y ＝222＝4，当且仅当x ＝2y ＝1，即x ＝1，y ＝12时等号成立．【答案】 47．(xx·郑州高二检测)若a ＞b ＞0，则代数式a 2＋1b a －b的最小值为________．【解析】 依题意得a －b ＞0，所以代数式a 2＋1b a －b ≥a 2＋1[b ＋a －b 2]2＝a 2＋4a 2≥2a 2·4a2＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a －b ＞0，a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取等号，因此a 2＋1b a －b的最小值是4.【答案】 48．(xx·衡阳六校联考)已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y的最小值为________．【解析】 依题意得AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 30°＝23，则|AB →|·|AC →|＝4，故S △ABC ＝12|AB →|·|AC→|sin 30°＝1，即12＋x ＋y ＝1，x ＋y ＝12，所以1x ＋4y ＝2(x ＋y )(1x ＋4y )＝2[5＋(y x ＋4xy )]≥2(5＋2y x ·4x y)＝18，当且仅当y x ＝4x y ，即y ＝2x ＝13时，等号成立，因此1x ＋4y的最小值为18.【答案】 18 二、解答题9．求函数y ＝x 2＋8x －1(x ＞1)的最小值．【解】 y ＝x －12＋2x －1＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋2.由题意知x －1＞0，∴y ≥2x －1·9x －1＋2＝8.当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时取“＝”，∴y min ＝8.10．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求证(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8.【证明】 ∵a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c.上述三个不等式两边均为正，可分别相乘． ∴(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．11．已知x，y为正数且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．【解】由2x＋8y－xy＝0，得x＝8yy－2(y＞2)，令t＝x＋y，则t＝8yy－2＋y＝8y－2＋16y－2＋y＝8＋16y－2＋y＝(y－2)＋16y－2＋10≥2y－2·16y－2＋10＝216＋10＝18.当且仅当y－2＝16y－2，即y＝6，x＝12时，等号成立．所以(x＋y)min＝18.(教师用书独具)已知a ＞b ，ab ＝1，求证a 2＋b 2≥22(a －b )． 【思路探究】 因为a ＞b ，所以a －b ＞0，所以若证a 2＋b 2≥22(a －b )，只需证a 2＋b 2a －b≥22即可．【证明】 因为a ＞b ，所以a －b ＞0，又ab ＝1，所以a 2＋b 2a －b ＝a 2＋b 2＋2ab －2ab a －b ＝a －b 2＋2ab a －b ＝a －b ＋2a －b≥2a －b ·2a －b ＝22，所以a 2＋b 2a －b≥22，即a 2＋b 2≥22(a－b )．当且仅当a －b ＝2a －b，即a －b ＝2时取等号．在解题过程中，把数值或代数式拆成两项或多项，或是恒等地配凑成适当的数或式子是数学表达式变形过程中比较常用的方法，也是一种解题技巧．已知a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c .【证明】 ∵a ＞b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＝a －b ＋b －c ＞0， ∴所证不等式等价于(1a －b ＋1b －c )(a －c )≥4.又(1a －b ＋1b －c)(a －c ) ＝a －c a －b ＋a －cb －c＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －cb －c＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b－ca－b·a－bb－c＝4.∴1a－b＋1b－c≥4a－c.拓展证明不等式的基本方法——分析法.分析法是从被证不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么可以判定原不等式成立．对于某些不等式(如含有根式、分式或两端较为复杂)有时由题设条件很难展开推理，这时可考虑运用分析法．用分析法证题时，要注意其语言“特色”．如用分析法论证“若A，则B” 这个命题的模式是：欲证命题B为真，只需证命题B1为真，从而又……只需证命题B2为真，从而又…………只需证明A为真，今已知A为真，故B为真．可见，分析法总是执果索因，步步寻求上一步成立的充分条件．写成简要的形式就是：B←B1←B2←…←B n←A..。
苏教版高中数学必修五基本不等式的证明教案
第 10 课时：§3.4.1 基本不等式的证明（1）【三维目标】：一、知识与技能1.探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法；2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；3.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；4.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释； 二、过程与方法1.通过实例探究抽象基本不等式；2.本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。
要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。
变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。
两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质三、情感、态度与价值观1.通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣2.培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力 【教学重点与难点】：重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a bab +≤的证明过程； 难点：理解基本不等式2a bab +≤等号成立条件及 “当且仅当b a =时取等号”的数学内涵 【学法与教学用具】：1.学法：先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式。
从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动地学生的学习热情。
定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案2.教学用具：直角板、圆规、投影仪（多媒体教室） 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题1. 提问：2a b+与ab 哪个大？ 2.基本不等式2a bab +≤的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 3.4.1 基本不等式的证明》23
“基本不等式的证明”的教学设计
一、基本情况
1、教材分析
“基本不等式的证明”是苏教版必修5中3．4．1节的内容，是培养学生逻辑推理能力和数学应用意识的极好素材，在知识体系中起着承上启下的作用．作为证明不等式、求解某些函数的最大值及最小值的理论依据，在解决数学问题和实际问题中应用广泛．本节内容是在学生系统地学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，同时，要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，基本不等式是不可或缺的，所以它也为后续的学习奠定基础．
3、目标定位
教学目标：（1）了解基本不等式的几何背景，探索基本不等式的证明过程，并能正确地运用基本不等式解决简单的最值问题；
（2）通过基本不本
不等式证明简单的不等式；
（3）在探求基本不等式的过程中，体会数学建模的思想，感受数学形式化结论的一般
形成过程：实验、观察、猜想、归纳、抽象、概括，形成结论，发展学生的数学思维能力．
教学重点：基本不等式证明的三种方法．
教学难点：基本不等式的应用．
4、教学策略
《普通高中数学课程标准》中指出：学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程．教学中要紧扣新课程的这一理念来处理教材，组织和实施教学活动．
高中数学新苏教版精品教案《3.4.1 基本不等式的证明》
基本不等式(00)2a bab a b +，≤≥≥的证明 一、教学目标1．学会从实际情境提出研究两个数的和与积的不等关系是什么的学习需求，并从实验操作中定义两个正数的算术平均数与几何平均数．2．通过数学活动自主探索，抽象发现、归纳证明基本不等式，体会由特殊到一般的数学思想方法，感受数学的简洁美，提升数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算等素养．3．学会正确运用基本不等式证明一些简单的不等式，用辩证的变化观点解决数学问题． 二、教学重点在实验、观察、抽象、归纳、猜想、证明、应用的过程中，探索并体会感受基本不等式的形成过程． 三、教学难点归纳、猜想基本不等式的形成过程． 四、教学方法采用“阅读·引导·探究·提炼”范式教学方法．共一课时，分阅读提问、引导激发、提炼建模、推理探究四个教学环节教学．五、教学过程 1．自主阅读 提出问题【阅读材料】五世纪，欧洲大地上贵族发起大规模的圈地运动，其中有一种观点认为“所圈矩形形状的地的周长越长，则所圈地面积越大”．你认同此观点吗？能从此观点中抽象出什么数学问题吗？2．主动引导 激发需求【演示实验】把一个物体放在天平的一个盘子上（如图2），在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体质量为a ． 如果天平制造得不够精确，天平两臂略有不同（其它因素不计），那么a 并非物体的实际质量．不过，可作第二次测量：把物体调换到另一个盘子上（如图3），此时称得物体的质量为b ．同理，b 也非物体的实际质量，且a 与b 不相等．那么如何合理地表示物体的质量？简单的做法是，将两次称得物体的质量“平均”一下，以+2a b表示物体的质量．事实上，设天平的两臂长分别为1、2，物体实际质量为M （如图4），根据“杠杆平衡原理”有1M ＝2a ，1b ＝2M ，两式相除，可得M ab =．（图4）（图3） （图2）（图1）a DA BCab b对于正数a ，b ，我们把+2a b称为a ，ba ，b 的几何平均数．不难发现，两个正数a ，b 的算术平均数与几何平均数之间不等关系就是两个数的和与积之间的不等关系之一．3．合作活动 提炼建模活动1 如图5，请同学们先将一个正方形纸片沿它们的对角线对折，然后用剪刀沿纸片对角线剪开，分成两个全等的等腰直角三角形纸片．（课前请同学们预先准备）活动2 完成活动1后，请同桌两位同学各取一个等腰直角三角形纸片（纸片的面积分别为22a b ，），按如图6所示拼接成面积为+2a b的多边形纸片．活动3 完成活动2后，再请同桌两位同学合作，将拼接成面积为+2a b的多边形纸片按图7中虚线裁剪，去活动4 由活动3知图7右侧矩形纸片面积小于左侧多边形纸片面积，(00)2a ba b +>>，．当活动2中两个直角等腰三角形纸片全等时，不等式变为等式．当a ，b 中有一者为02a b+也成立．4．推理探究 数学应用 【赋值验证】（图7）（图6）【代数推证】证法1（比较法）2a b +2212=+-212=0≥，，即a ＝b 时取“＝”．证法22a b+，只要证a b +，只要证0a b -≤，只要证20≤．2a b+成立，当且仅当a ＝b 时取“＝”．证法3（综合法）对于正数a b ，，有20≥，0a b ⇒-≥，a b ⇒+≥2a b+⇒所以，如果a ，b 2a b+（当且仅当a ＝b 时取“＝”）． 当00a b ，≥≥时，这个不等式仍然成立． 【变式训练】例题 设a ，b 为正数，证明下列不等式成立： （1）2b a a b +≥； （2）12a a+≥． 证明 （1）因为a ，b 为正数，所以b aa b，也为正数，由基本不等式，得2b a a b +≥，所以原不等式成立． （2）因为1a a，均为正数，由基本不等式，得1a a +≥，所以原不等式成立． 变式1 例题的条件变为“a ，b 为负数”，上述两个不等式仍然成立吗？（1）因为a ，b 为负数，所以b aa b ，为正数，所以不等式成立；（2）当a 为负数时，10a a+<，所以不等式不成立． 变式2 设a 为负数，求证：12a a +≤-．证明 因为a 为负数，所以1a a--，均为正数，由基本不等式，得1()+()a a --≥， 所以12a a +≤-．变式3 求函数1()f x x x=+的值域． 根据例题（2）与变式2可得，函数1()f x x x=+的值域为(2][2)-∞+∞，，-． 【知识回顾】（1）基本不等式语言表述为：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数； （2）基本不等式中等号成立的条件（当且仅当a ＝b 时取“＝”）； （3）基本不等式的主要变式：00)a b a b +，≥≥≥． （4）课后作业：①（巩固性作业）书本练习题1、2、3、4．2(00)112a b a b a b +>>+，． ③（研究性作业）2a b+？ 六、教学流程图 八、教学反思 基本不等式的证明这节课的教学设计是从实际的问题情境出发，以研究两个数的和与积的不等关系为背景，以探究基本不等式的活动为主线，通过阅读、引导、探究、提炼基本不等式的结构形式，深化对基本不等式的理解与应用．力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发现他们的创新意识．《自主阅读 提出问题》教学环节是通过阅读一个历史背景，否定“所圈矩形形状的地的周长越长，则所圈地面积越大”的观点，用“数学的眼光”看待此观点后，提出本节课开始要研究学习数学知识——研究两个数的积与和的不等关系，这环节是课堂教学主题的引入．《主动引导 激发需求》教学环节是通过不等臂天平称物体质量的演示实验，定义两个数的几何、算术平均数，激发寻求两个数的几何、算术平均数的大小关系的学习需求．《合作活动 提炼建模》是课堂教学中学生合作学习活动、建立基本不等式数学模型的教学环节，它是通过折、拼、剪等操作活动后，发现两个多边形纸片面积的变化，抽象提炼得到基本不等式．这个教学环节一方面激发学生学习兴趣和求知欲，另一方面实现对基本不等式的文化背景的初步了解，提升学生数学抽象概括能力．《推理探究 数学应用》共有五部分．第一部分是让学生经历赋值验证，发现基本不等式的适用范围以及取等号的条件，体会从特殊到一般发现数学，学习数学的方法；第二部分是严格的代数推证基本不等式，同时介绍(00)2a ba b ，≥≥中的a 、b 代换，在师生合作完成例题证明后，发动学生提出问题，构造问题，对例题进行变式训练，一方面提高学生学习数学的兴趣，提高学生认知的投入、思维的参与；另一方面，加深学生对基本不等式实质的理解，提高学生运用知识设计问题、解决问题的能力；第四部分是从几何角度来理解、表示基本不等式；第五部分回顾基本不等式的三种语言表述及其变式．。
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第 11 课时：§3.4.1 基本不等式的证明（2）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.进一步掌握基本不等式；
2.学会推导并掌握均值不等式定理；
3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。
4.使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题；基本不等式在证明题和求最值方面的应用。
二、过程与方法
2
a b +，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
三、情感、态度与价值观
引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点与难点】：
重点：均值不等式定理的证明及应用。
难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。
【学法与教学用具】：
1. 学法：
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题
1．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a
2．基本不等式：如果a ,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 我们称b a b a ,2
为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，ab b
a a
b b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者
只要求a ,b 都是实数，而后者要求a ,b 都是正数。
二、研探新知
最值定理：已知y x ,都是正数， ①如果积xy 是定值p ，那么当y x =时，和y x +有最小值p 2；②如果和y x +是定值s ，那么当y x =时，积xy 有最大值
241s ． 证明：∵+∈R y x ,， ∴xy y x ≥+2
，
①当xy p = (定值)时，p y x ≥+2∴y x +p 2≥，∵上式当y x =时取“=”， ∴当y x =时有=+min )(y x p 2；
②当s y x =+ (定值)时，2s xy ≤∴24
1s xy ≤，∵上式当y x =时取“=”∴当y x =时有2max 4
1)(s xy =． 说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：
①最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值）；
②用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。
③函数式中各项必须都是正数;
④函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 （1）求 lg log 10x x +)1(>x 的最值，并求取最值时的x 的值。
解：∵1>x ∴0lg >x 010log >x ，于是210lg lg 210log lg =≥+x x x x ，
当且仅当lg log 10x x =，即10x =时，等号成立，∴lg log 10x x +)1(>x 的最小值是2，此时10x =．
（2）若上题改成10<<x ，结果将如何？
解：∵10<<x 0lg <x 010log <x ，于是2)10log ()lg (≥-+-x x ，
从而210log lg -≤+x x ，∴lg log 10x x +(01)x <<的最大值是2-，此时110x =
． 例2 （1）求(4)(04)y x x x =-<<的最大值，并求取时的x 的值。
（2）求)20(42<<-=x x x y 的最大值，并求取最大值时x 的值
解：∵04x <<，∴0,40x x >->
，∴422
x x +-≤=则(4)4y x x =-≤，当且仅当4x x =-，即2(0,4)x =∈时取等号。
∴当2x =时，(4)(04)y x x x =-<<取得最大值4。
例3若21x y +=，求11x y
+的最小值。
解：∵21x y +=，∴
1122x y x y x y x y +++=
+22123()3y x y x x y x y =+++=++≥+当且仅当221y x x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩
，即122
x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩时取等号，
∴当21,2x y ==时，11x y
+取最小值3+ 例4 求下列函数的值域:（1）22213x
x y +=；（2）x x y 1+= 归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
四、巩固深化，反馈矫正
1．已知101,01,9x y xy <<<<=，求1133
log log x y ⋅的最大值，并求相应的,x y 值。
2．已知0x >，求423x x --的最大值，并求相应的x 值。
3．已知
02x <<，求函数()f x =x 值。
4．已知0,0,31,x y x y >>+=求11x y
+的最小值，并求相应的,x y 值。
五、归纳整理，整体认识
1．用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解；
2．运用基本不等式求最值常用的变形方法有：
（1）运用拆分和配凑的方法变成和式和积式；（2）配凑出和为定值；
（3）配凑出积为定值；（4）将限制条件整体代入。
一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及变形的应用。
六、承上启下，留下悬念
七、板书设计（略）
八、课后记：。