高中数学 《基本不等式的证明》教案 苏教版必修

第 11 课时：§3.4.1 基本不等式的证明（2）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.进一步掌握基本不等式；

2.学会推导并掌握均值不等式定理；

3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。

4.使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题；基本不等式在证明题和求最值方面的应用。

二、过程与方法

2

a b +，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。

三、情感、态度与价值观

引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【教学重点与难点】：

重点：均值不等式定理的证明及应用。

难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。

【学法与教学用具】：

1. 学法：

2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.

【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时

【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题

1．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a

2．基本不等式：如果a ,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 我们称b a b a ,2

为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，ab b

a a

b b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者

只要求a ,b 都是实数，而后者要求a ,b 都是正数。

二、研探新知

最值定理：已知y x ,都是正数， ①如果积xy 是定值p ，那么当y x =时，和y x +有最小值p 2；②如果和y x +是定值s ，那么当y x =时，积xy 有最大值

241s ． 证明：∵+∈R y x ,， ∴xy y x ≥+2

，

①当xy p = (定值)时，p y x ≥+2∴y x +p 2≥，∵上式当y x =时取“=”， ∴当y x =时有=+min )(y x p 2；

②当s y x =+ (定值)时，2s xy ≤∴24

1s xy ≤，∵上式当y x =时取“=”∴当y x =时有2max 4

1)(s xy =． 说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：

①最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值）；

②用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。

③函数式中各项必须都是正数;

④函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1 （1）求 lg log 10x x +)1(>x 的最值，并求取最值时的x 的值。

解：∵1>x ∴0lg >x 010log >x ，于是210lg lg 210log lg =≥+x x x x ，

当且仅当lg log 10x x =，即10x =时，等号成立，∴lg log 10x x +)1(>x 的最小值是2，此时10x =．

（2）若上题改成10<

解：∵10<

从而210log lg -≤+x x ，∴lg log 10x x +(01)x <<的最大值是2-，此时110x =

． 例2 （1）求(4)(04)y x x x =-<<的最大值，并求取时的x 的值。

（2）求)20(42<<-=x x x y 的最大值，并求取最大值时x 的值

解：∵04x <<，∴0,40x x >->

，∴422

x x +-≤=则(4)4y x x =-≤，当且仅当4x x =-，即2(0,4)x =∈时取等号。∴当2x =时，(4)(04)y x x x =-<<取得最大值4。

例3若21x y +=，求11x y

+的最小值。 解：∵21x y +=，∴

1122x y x y x y x y +++=

+22123()3y x y x x y x y =+++=++≥+当且仅当221y x x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩

，即122

x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩时取等号，

∴当21,2x y ==时，11x y

+取最小值3+ 例4 求下列函数的值域:（1）22213x

x y +=；（2）x x y 1+= 归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案.

四、巩固深化，反馈矫正

1．已知101,01,9x y xy <<<<=，求1133

log log x y ⋅的最大值，并求相应的,x y 值。 2．已知0x >，求423x x --的最大值，并求相应的x 值。

3．已知

02x <<，求函数()f x =x 值。

4．已知0,0,31,x y x y >>+=求11x y

+的最小值，并求相应的,x y 值。

五、归纳整理，整体认识

1．用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解；

2．运用基本不等式求最值常用的变形方法有：

（1）运用拆分和配凑的方法变成和式和积式；（2）配凑出和为定值；

（3）配凑出积为定值；（4）将限制条件整体代入。

一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及变形的应用。 六、承上启下，留下悬念

七、板书设计（略）

八、课后记：