2020年高考理科数学山东卷

17.在如图所示的圆台中, AC是下底面圆O的直径, EF是 上底面圆O的直径, FB是圆台的一条母线. (1)已知G, H分别为EC, FB的中点,求证 : GH //平面ABC;
(1)设FC的中点为I , 连接GI , HI
在△CEF中,因为G是CE的中点, E 所以GI //EF , 又EF //OB,GI //OB,
A.(1,1)
B.(0,1)
C.(1, ) D.(0, )
Q A { y | y 0}, B {x | 1 x 1}, A U B (1, )
3. 某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小 时）,制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的 范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5), [22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每
如图,要存在b, 使得
y 5
f ( x) b有三个根,需满足 4
y f (x)
(m, m)
m 4m m2, 即m2 3m 0, m 3
y b3 2 1 –3 –2 –1 O
(m,4m m2 )
x 12345
–1
–2
xm
三、解答题：本答题共6小题，共75分．
16.在△ABC中,角A, B,C的对边分别为a, b, c,已知
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
（山东卷） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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16 17 18 19 20 21
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。
1.若复数z满足2z z 3 2i, 其中i为虚数单位, 则z
周期是( B )
A.
B.
C. 3
D.2
2
2
Q
f
(x)
2
sin
x
6
2 cos
x
6
2 sin
2
x
3
,
最小正周期为T 2
2
ur r
ur r
8.已知非零向量m, n满足4 m 3 n ,cos
ur r m, n
1 .若
r ur r
3
n (tm n), 则实数t的值为( B )
A.4
a a i,b b i
第三次循环 : a 6, b 3; 满足条件,结束循环, i 3
否 a>b
是
i i1
输出i
结束
12.若(ax2 1 )5的展开式中x5的系数是 80, 则实数a x
2 .
因为Tr1 C5r (ax2 )5r (
1 )r x
C5r
a
5
r
10
x
5 2
r
,
所以由10
2(tan A tan B) tan A tan B . cos B cos A
(1)求证 : a b 2c; (2)求 cos C的最小值.
(1)由题意,
2
sin cos
A A
sin cos
B B
sin A cos Acos
B
sin B cos Acos
B
化简得2sin Acos B sin B cos A sin A sin B
3(n 1) 2n1
Tn c1 c2 c3 cn
3[2 22 3 23 4 24 (n 1) 2n1]
2Tn 3 [2 23 3 24 4 25 (n 1) 2n2 ] 两式作差, 得 :
Tn 3[2 22 23 24 2n1 (n 1) 2n2 ] 3[4 4(2n 1) (n 1) 2n2 ] 3n 2n2
B. 4
C. 9
4
D. 9 4
ur r
ur
r
r ur r
由4 m 3 n ,可设 m 3k, n 4k(k 0), 又n (tm n)
r ur r r ur r r ur r
ur r r 2
所以n (tm n) n tm n n t m n cos m, n n
A. 2
B. 1
C .0
D.2
当x 1 时, f ( x 1) f ( x 1),所以当x 1 时,函数f ( x)
2
2
2
2
是周期为1的周期函数,所以f (6) f (1), 又函数f ( x)是奇
函数,所以f (1) f (1) 13 1 2.
10.若函数y f (x)的图象上存在两点, 使得函数的图象在
6.已知直线a, b分别在两个不同的平面 , 内, 则“直线
a和直线b相交”是“平面和平面 相交”的( A )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C .充要条件
D.既不充分也不必要条件
“直线a和直线b相交”“平面和平面 相交” “平面和平面 相交”“直线a和直线b相交”
7.函数f ( x) ( 3 sin x cos x)( 3 cos x sin x)的最小正
O F
在△CFB中,因为H 是FB的中点, 所以HI //BC, 又HI I GI I , 所以平面GHI //平面ABC 因为GH 平面GHI ,
I
G
H
C
O B
所以GH //平面ABC.
A
(2)已知EF FB 1 AC 2 3, AB BC.求二面角 2
F BC A的余弦值.
(2)解法一 : 连接OO ', 则OO ' 平面ABC, z
设数列{bn
}的公差为d
,由
aa12
b1 b2
b2 b3
即
11 17
2b1 2b1
d 3d
,
可解得 : b1 4, d 3,所以bn 3n 1
(2)令cn
(an 1)n1 (bn 2)n
.求数列{cn }的前n项和Tn .
(2)
由(1)知cn
(6n 6)n1 (3n 3)n
t 3k 4k 1 (4k)2 4tk 2 16k 2 0, 3
所以t 4
9.已知函数f ( x)的定义域为R.当x 0时, f ( x) x3 1;
当 1 x 1时, f ( x) f ( x);当x 1 时, f ( x 1)
2
2
f ( x 1 ).则f (6) ( D ) 2
7 7A
H C MN
B
18.已知数列{an }的前n项和Sn 3n2 8n,{bn }是等差数列
且an bn bn1. (1)求数列{bn }的通项公式;
(2)令cn
(an 1)n1 (bn 2)n
.求数列{cn }的前n项和Tn .
(1)由题意可知当n 2时, an Sn Sn1 6n 5, 又a1 S1 11也符合上式,an 6n 5
2(tan A tan B) tan A tan B . cos B cos A
(1)求证 : a b 2c; (2)求 cos C的最小值.
(2)由(1)知c a b ,所以 2
cos C
a2
b2
c2
a2
b2
(a b )2 2
3(b
a)
1
1
2ab
2ab
8a b 4 2
当且仅当a b时,等号成立.故 cos C的最小值为 1 2
5 2
r
5
r
2,因此C 52a 5 2
80
a
2
13.已知双曲线E
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0), 若矩形ABCD 5
的四个顶点在E上, AB,CD的中
4
点为E的两个焦点, 且
D
3
A
2 | AB | 3 | BC |, 2
则E的离心率是 2 .
1
如图,Q 2 | AB | 3 | BC |,
H
C
OM
B
y
所以FM FB2 BM 2 3, x A
uuur
uuur
F (0, 3, 3), 故BC (2 3, 2 3, 0), BF (0, 3, 3)
ur
设m ( x, y, z)是平面BCF的一个法向量, 则
ur uuur
m ur
BC uuur
0
,即
2
3x 2
3 y 0,
即2sin A B sin A sin B
Q A B C ,sin( A B) sin( C ) sin C,
从而 sin A sin B=2sin C,由正弦定理, 得 : a b 2c
三、解答题：本答题共6小题，共75分．
16.在△ABC中,角A, B,C的对边分别为a, b, c,已知
(B) A.1 2i
B.1 2i
C. 1 2i
D. 1 2i
设z a bi, 则2z z 3a bi 3 2i,故a 1,b 2, 则z 1 2i
2.设集合A { y | y 2x , x R}, B { x | x2 1 0}, 则A U B
( C )
m BF 0 3 y 3z 0,
可得平面BCF的一个
E
O F
ur 法向量m (1,1,
3)
3
而平面ABC的一个法向量 nr (0, 0,1),
cos
mr , nr
|
mr nr mr || nr
|
7 7
G
O A
H C
B
解法二 : 连接OO ',过点F 作FM OB于点M , 则有 FM //OO ', 又OO ' 平面ABC,所以FM 平面ABC
x 0,
4
A.4
B.9
C .10 3
D.12
不等式组表示的可行域是以 2B
A(0, 3), B(0, 2),C(3, 1)为
1
顶点的三角形区域, x2 y2
O
表示8 点( x, y6)到原点4距离的2
2
4
1
平方, 最大值必须在顶点处
C
2
取到, 经检验最大值为
OC 2 10
2x 3 y 93 A
函数y ln x, y e x , y x3的倒数值均非负,不符合题意
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．执行右边的程序框图，若输 入的a,b的值分别为0和9，则输出
开始
的i的值为____3____．
输入a,b
第一次循环 : a 1, b 8;
i 1
第二次循环 : a 3, b 6;
这两点处的切线互相垂直, 则称y f (x)具有T性质.下列
函数中具有T性质的是( A )
A. y sin x
B. y ln x
C. y ex D. y x3
由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知, 存在两点 处的切线斜率的积,即导函数值的积为 1
当y sin x时, y cos x,有 cos 0 cos 1,所以函数 y sin x的图象存在两点x 0, x 使条件成立.
可得FM FB2 BM 2 3,过点M 作MN BC于点N ,
连接FN ,可得FN BC , 从而FNM就是二面角
F BC A的平面角.
E
又因为AB BC, AC是圆O的直径,
O F
所以MN BM sin 45 6
G
2
FN 42 ,cos FNM MN 7
2
FN 7 O
所以二面角F BC A的余弦值为
8
6
4
不妨设A(2, 3), 则c 2
O 2 F1
1
2 F2
2a | AF1 | | AF2 | 5 3 2
2
a 1, e c 2 a
C
3
B
4
14.在[1,1]上随机地取一个数k, 则事件“直线y kx与
圆(x 5)2 y2 9相交”发生的概率为
3 4
.
直线y kx与圆( x 5)2 y2 9相交,需满足圆心到直线
周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ D ）
A.56
B.60
C.120
D.140
由频率分布直方图知,自习时间不少于
22.5小时为后三组,
有200 (0.16 0.08 0.04) 2.5 140(人)
x y 2,
4.若变量x, y满足 2x 3 y 9, 则x2 5 y2的最大值是( C )
又AB BC, 且AC是圆O的直径,所以
BO AC.以O为坐标原点, 建立 E 如图所示直角坐标系O xyz
O F
由题意得B(0, 2 3, 0),C(2 3, 0, 0), 过点F作FM垂直OB于点M .
则B(0, 2 3, 0),C(2 3, 0, 0), 过点F作FM OB于点M ,
G
的距离小于半径,即d | 5k | 3, 解得 : 3 k 3 ,
1 k2
4
4
3 而k [1,1],所以所求概率为P 2 3
24
15.已知函数f
(
x)
| x
x
2
|,
2mx
4m,
x x
m, m,
其中m
0,
若
存在实数b, 使得关于x的方程f ( x) b有三个不同的根,
则m的取值范围是 (3, ) .
x y2
4
5．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如 图所示．则该几何体的体积为（C ）
A. 1 2
33
B. 1 2 π 33
C.1 2 π 36
D.1 2 π 6
上面是半径为 2 的半球 2
பைடு நூலகம்
V1
1 2
4
3
(
2 )3 2
2
6
下面是底边长为1, 高为1的四棱锥
1
1
V2 3 11 3