圆的弦切角定理
圆的弦切角定理
圆的弦切角定理
弦切角定理又叫做斜接角定理，它是由现代先驱理论家、著名数学家笛卡尔所提出的
几何定理，它讲述了弦和圆在一起时所形成的夹角大小。
这个定理本质上是一个几何定理，在经典几何学中被广泛使用。
定理的具体内容如下：设弦切线在圆上的作用点分别是A、B，AB是弦切点，AB垂直
线与圆的圆心O相交得到点C，AB点分别延长到P和Q使OP与OQ延长，则OC、OP、OQ
三角形内角的大小依次为：π的一半（90°）OCA弧与APO角，AOC弧与POC角，BOC弧
与QOC角。
证明：AOC为OCB的补角，POC和QOC绕O旋转就变为AOC，而AOC与AB垂直线合成
了直角，故总之，证明弦切角定理的关键是正确建立AOC和AB垂直线，即点C是A、B垂
直线的交点。
由于圆的拉格朗日定义及圆的定义，可得知BOC的中点的P的投影到OA上必是OA的
中点O，故点P必等于点C，从而证明了AB垂直线的交点为点C.
于是，AOC是一个直角，而AOC弧与APO角、AOC弧与POC角、BOC弧与QOC角就是其对应角，因此就可以看出弦切角定理了。
以上就是弦切角定理的证明，弦切角定理一般应用于圆面内不存在直线或点的情况，
这时，计算机就可以采用其求得弦和圆之间的夹角大小。
圆切线长定理弦切角定理切割线定理相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段学习目标1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长度,“切线长”是切线上一条线段的长,具有数量的特征,而“切线”是一条直线,它不可以度量长度;2.切线长定理对于切线长定理,应明确1若已知圆的两条切线相交,则切线长相等；2若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径；3经过圆外一点引圆的两条切线,连结两个切点可得到一个等腰三角形；4经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；5圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角;3.弦切角：顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角;直线AB切⊙O于P,PC、PD为弦,图中几个弦切角呢四个4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角;5.弄清和圆有关的角：圆周角,圆心角,弦切角,圆内角,圆外角;6.遇到圆的切线,可联想“角”弦切角,“线”切线的性质定理及切线长定理;7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中,AB、CD为弦,交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD,证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中,AB为直径,CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.切割线定理⊙O中,PT切⊙O于T,割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB,证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线,交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T,用两次切割线定理圆幂定理⊙O中,割线PB交⊙O于A,CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M,延长OP'交⊙O于N,用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线,交⊙O于两点,则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||R 为圆半径,因为叫做点对于⊙O的幂,所以将上述定理统称为圆幂定理;。
圆的切线、切线长、线切角
CA圆的切线、切线长定理与弦切角定理一、圆的切线： 1．切线的判定：2．切线的性质：【运用举例】例1．如图，已知⊙O 所内接△ABC ，过点B 作直线BD ，∠DBC ＝∠A ，试说明，BD 与⊙O 相切。
例2.如图，已知CB 是⊙O 的切线，C 是切点，OB 交⊙O 于点D ，∠B ＝30，BD ＝6㎝，求BC 。
例3、如图，PA 、PB 切⊙O 于点A 、B ，点C 是⊙O 上一点，且∠ACB =65°，求∠P 的度数．例4、已知：如图AB 是⊙O 的直径，P 是AB 上的一点（与A 、B 不重合），QP ⊥AB ，垂足为P ，直线QA 交⊙O 于点C 点，过C 点作⊙O 的切线交直线QP 于点D ，求证：△CDQ 是等腰三角形.当P 点在AB 的延长线上时，其他条件不变，这个结论还成立吗？试说明.二、切线长定理 1、切线长：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长2、切线长定理：符号语言：∵PA 、PB 是O ⊙的切线，A 、B 是切点，∴，PA=PB 【运用举例】例1.在△ABC 中，AB=5cm BC=7cm AC=8cm, ⊙O 与BC 、AC 、 AB 分别相切于 D 、 E 、F ，则 AF=_____, BD=_______ 、CF=________例2、如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别是A 、B ，直线EF 也是⊙O 的切线，切点为Q ，交PA 、PB 为E 、F 点，已知12PA cm ，求△PEF 的周长.例3、已知：如图，P 为⊙O 外一点，PA ，PB 为⊙O 的切线，A 和B 是切点，BC 是直径． 求证：AC∥OP．例4.如图，AB 、CD 分别与半圆O 切于点A 、D ，BC 切⊙O 于点E ，若AB ＝4，CD ＝9，求⊙O 的半径。
OCB AP三、弦切角定理及其推论1、弦切角：________________________________________________________________。
弦切角定理圆幂定理之割线相交弦切割线定理
弦切角定理及其应用极点在圆上，一边和圆订交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
(弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定义图1如右图所示，直线 PT 切圆 O 于点 C，BC 、AC 为圆 O 的弦，∠TCB 、∠ TCA 、∠PCA 、∠PCB 都为弦切角。
弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.如上图，∠ PCA=1/2 ∠ COA= ∠ CBA弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连结 OC， OB, 。
∵∠ TCB=90 ° -∠ OCB∵∠ BOC=180 ° -2 ∠ OCB∴,∠ BOC=2 ∠ TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠ BOC=2 ∠CAB （同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍）∴∠ TCB= ∠ CAB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知： AC 是⊙ O 的弦， AB 是⊙ O 的切线， A 为切点，弧是弦切角∠BAC 所夹的弧.求证：（弦切角定理）证明：分三种状况：（1）圆心 O 在∠ BAC 的一边 AC 上∵ AC 为直径， AB 切⊙ O 于 A ，∴弧 CmA= 弧 CA∵为半圆 ,∴∠ CAB=90= 弦 CA 所对的圆周角（ 2）圆心 O 在∠ BAC 的内部 . (B点应在A点左边)过 A 作直径 AD 交⊙ O 于 D,若在优弧 m 所对的劣弧上有一点 E那么，连结 EC 、ED 、 EA则有：∠ CED= ∠CAD 、∠ DEA= ∠DAB∴ ∠ CEA= ∠CAB∴ （弦切角定理）（ 3）圆心 O 在∠ BAC 的外面 ,过 A 作直径 AD 交⊙ O 于 D那么∠ CDA+ ∠CAD= ∠ CAB+ ∠ CAD=90 °∴∠ CDA= ∠ CAB∴（弦切角定理）3弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在⊙ O 中，⊙ O 的切线 AC 、 BC 交与点C ，求证：∠ CAB= ∠ CBA 。
弦切角定理 证明-概念解析以及定义
弦切角定理证明-概述说明以及解释1.引言1.1 概述弦切角定理是几何学中一个重要的定理，被广泛应用于圆的相关问题中。
根据该定理，如果一个弦切割了一个圆，并且与该圆的切线相交于切点，那么与这个弦相对的角与这个切线相交的角是相等的。
这个定理基于圆的几何性质而推导得出，它不仅具有理论的重要性，还被大量应用于解决实际问题。
无论是在数理推导中，还是在物理、工程等实际应用中，弦切角定理都被广泛运用。
本文将会系统地介绍弦切角定理的定义、证明要点和应用。
在正文部分，我们将详细阐述定理的定义，解释证明该定理所需的关键要点，并通过推理和几何演绎来证明这一定理的正确性。
同时，我们也将结合实际问题，展示弦切角定理在实际中的应用。
结论部分将对弦切角定理的意义进行总结，并回顾全文的主要内容。
通过阅读本文，读者将能够深入了解弦切角定理的定义、证明过程，并能够灵活运用该定理解决与圆相关的问题。
同时，本文也为读者展示了弦切角定理在实际中的重要性和应用价值。
在接下来的章节中，我们将逐步介绍弦切角定理的定义、证明要点以及其在实际问题中的应用。
希望读者通过对本文的阅读和理解，能够对弦切角定理有一个全面而深入的认识，从而在解决相关问题时能够能够灵活运用并取得理想的结果。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：在本文中，我将探讨弦切角定理的证明。
本文分为引言、正文和结论三部分。
引言部分将对弦切角定理进行概述，介绍其定义、重要性和应用领域。
然后我会详细说明本文的结构以及每个部分的内容。
正文部分将详细介绍弦切角定理的证明。
首先，我将给出弦切角定理的定义，并解释其背后的数学原理。
然后，我会重点讨论证明该定理所需的关键要点。
第一要点将涉及到几何图形的构建和性质推导，第二要点将涉及到角度关系的推理和推导。
通过详细的推导和证明过程，读者将能够全面理解弦切角定理的证明方法。
结论部分将归纳总结弦切角定理的应用和意义。
我将讨论该定理在几何学中的实际应用，以及它对其他几何定理的推导和应用的重要性。
弦切角定理推理过程-概述说明以及解释
弦切角定理推理过程-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分：弦切角定理是数学中的一条基本几何定理，它描述了一个圆内切线与弦之间的关系。
通过研究弦切角定理，我们可以深入理解圆与其内切线的几何性质。
本文将详细介绍弦切角定理的定义、推导过程以及应用场景，并展望了其进一步的研究方向。
在几何学中，圆是最基本的几何图形之一，而弦则是圆上的一条线段。
弦切角定理是指当一个线段在圆上截取弦时，与该弦相交的切线与该弦之间的角度相等。
这个定理的重要性在于它提供了切线和弦之间的几何关系，使我们在解决实际问题时能够更加便利和高效。
本文将首先介绍弦切角定理的定义，明确其几何意义和表述方式。
其次，我们将详细推导弦切角定理，从最基本的几何性质出发，逐步推导得出定理的数学表达式。
通过推导过程，我们可以深入理解弦切角定理的本质和原理。
接着，我们将探讨弦切角定理的应用场景。
弦切角定理广泛应用于数学和物理等领域，例如在测量和计算过程中，我们可以利用弦切角定理来求解未知量或优化问题。
此外，弦切角定理还与圆的切线、割线等几何性质密切相关，对于深入理解圆的性质具有重要意义。
最后，我们将总结弦切角定理的重要性，指出它在几何学中的地位和作用。
同时，我们还将探讨弦切角定理的实际应用场景，例如在建筑、地理勘测、机械工程等领域的应用。
同时，对于弦切角定理的进一步研究也是不可忽视的，我们将展望弦切角定理在更广泛领域的应用和深化研究的可能性。
通过本文的阐述，读者将能全面了解弦切角定理的概念、推导过程和应用场景，进一步认识到弦切角定理在数学和实际问题求解中的重要性和实用性。
同时也将对弦切角定理的未来研究方向产生更多的兴趣和思考。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写:文章结构:本文将按照以下结构进行论述：引言、正文和结论。
引言部分将概述本文的研究对象——弦切角定理，并介绍文章的结构和目的。
正文部分将包含弦切角定理的定义、推导过程和应用。
与圆有关的定理
与圆有关的定理
圆的定理：1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
2、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
3、切线定理：垂直
于过切点的半径；经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。
1、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线
长相等，两条内公切线长也相等。
如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。
2、切线短定理：从铅直一点至圆的两条切线的长成正比，那点与圆心的连线平分切
线的夹角。
4、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积
相等。
5、垂径定理：旋转轴弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
6、弦切角定理：弦切角等于对应的圆周角。
(弦切角就是切线与弦所夹的角）。
7、圆心角定理：在同圆或等圆中，成正比的圆心角所对弧成正比，面元的弦成正比，面元的弦的弦心距成正比。
8、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
9、平行弦定理：圆内两条弦平行，被交点分为的两条线段长的乘积成正比。
10、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
11、定理：任何正多边形都存有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆就是同心圆。
12、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
13、定理：把圆分为n(n≥3)：。
【初中数学】圆中弦切角及弦切角定理
【初中数学】圆中弦切角及弦切角定理一、弦切角1、定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
如图：2、弦切角的三种情况（1）圆心在弦切角外；（2）圆心在弦切角的一条边上；（3）圆心在弦切角内；二、弦切角定理及证明定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角；弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。
已知：如图，PQ是圆O的切线，切点为P。
求证：∠APQ=∠ABP，2∠APQ=∠AOP.（1）当圆心在弦切角外部时证明：连接OA，OP，在非弦切角所夹弧优弧PA上任取一点B，连接BP和BA。
∵ OA=OP∴ ∠OPA=∠OAP∵ ∠OPA+∠OAP+∠POA=180°∴2∠OPA+∠POA=180°∵ PO为圆的切线，OP为半径∴ ∠OPA+∠APQ=90°∴ ∠OPA=90°-∠APQ∴ 2（90°-∠APQ）+∠POA=180°∴∠POA=2∠APQ∵ ∠POA=2∠ABP（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）∴ ∠APQ=∠ABP（2）当圆心在弦切角的一边上时证明：在非弦切角所夹弧AP上任取一点B，连接AB、PB ∵ AP为直径∴ ∠ABP=90°∵ PQ为圆的切线，OP为半径∴ ∠APQ=90°∴∠APQ=∠ABP∴2∠APQ=∠AOP（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）. （3）当圆心在弦切角的内部时证明：连接OA，OP，在非弦切角所夹弧劣弧PA上任取一点B，连接BP和BA。
∵ OA=OP∴ ∠OPA=∠OAP∵ ∠OPA+∠OAP+∠1=180°∴2∠OPA+∠1=180°∵ PO为圆的切线，OP为半径∴ ∠OPA=∠APQ-90°∴ 2（∠APQ-90°）+∠1=180°∴ ∠1+2∠APQ=360°∵ ∠1+∠2=360°∴∠2=2∠APQ∴ ∠POA=2∠APQ（这里的∠POA是大于180°的角，是优弧AP所对的圆心角）∵ ∠POA=2∠ABP（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）∴ ∠APQ=∠ABP三、例题例1、已知：如图，直线BC切⊙O于B点，AB=AC，AD=BD，求∠A．解：由弦切角定理可得，∠DBC=∠A∵ AD=BD∴ ∠A=∠ABD∵ AB=AC∴ ∠ABC=∠ACB=2∠A∵ ∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴5∠A=180°∴ ∠A=36°例2、已知：如图，直线DC与⊙O相切于点C，AB为⊙O直径，AD⊥DC于D，∠DAC=28°，求∠CAB的值。
圆的性质与定理
圆的性质与定理圆是一种具有特殊几何性质的几何图形，它由一条曲线组成，这条曲线上的每一点到圆心的距离都相等。
在数学中，关于圆的性质和定理有很多，它们帮助我们深入理解圆的特点和应用。
一、圆的基本性质1. 圆心和半径：圆心是圆上所有点的中心，用字母O表示。
半径是圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。
2. 直径和周长：直径是穿过圆心的两个点之间的距离，等于半径的两倍。
周长是圆的边界长度，等于直径乘以π（圆周率）。
二、圆的重要定理1. 同圆弧定理：如果两条弧所对应的圆心角相等，则这两条弧是同圆弧。
2. 同弦定理：如果两条弦所对应的圆心角相等，则这两条弦是同弦。
3. 弧长定理：圆内任意一段圆弧的长度等于这段圆弧所对应的圆心角的弧度数乘以半径的长度。
即弧长 = 圆心角的弧度数 ×半径。
4. 切线定理：切线与半径垂直。
5. 相切弦定理：从外部一定点引圆的两条切线，这两条切线所夹的弦的长度相等。
6. 弦切角定理：圆内的弦所夹的角等于这条弦所对应的圆心角的一半。
7. 弧切角定理：圆内一条弧与这条弧所对应的切线所夹的角等于这段弧所对应的圆心角的一半。
三、圆的应用1. 圆周率π的计算：π是无理数，它代表了圆的周长与直径的比值。
在计算中常用3.14或22/7作为π的近似值。
2. 圆的面积计算：圆的面积等于半径的平方乘以π。
即面积= π ×半径的平方。
3. 圆的几何画图：在平面几何中，圆的几何画图是重要的基础知识，它包括圆的作图、切线的作图等。
4. 圆与三角形的关系：圆与三角形之间存在着多个重要的性质和定理，如圆内切等著名定理。
综上所述，圆的性质与定理是数学中重要的内容，它们帮助我们更深入地了解圆的特点与应用。
通过学习圆的性质与定理，我们可以解决与圆相关的问题，同时也为进一步学习几何学奠定了坚实基础。
9年级下数学 第01课时 圆之弦切角
教学过程：圆的性质之弦切角【知识要点】1．弦切角的定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 2．弦切角定理：弦切角的度数等于它夹弧的度数的一半． 3．弦切角逆定理：角的度数等于所夹弧所对圆周角的角为弦切角．【课前回顾】1．已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是_________．2．如图1，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，则可以得到下列结论（至少写两条） ______________________________________________________．图1图2图33．若圆的一条弦把圆分成度数比为1∶3的两条弧，则优弧所对的圆心角为( )A ．45°B ．90°C ．135°D ．270°4．如图2在⊙O 中，∠B =37°，则劣弧AB 的度数为( ) A ．106° B ．126° C ．74° D ．53°5．点A ，B ，C 是⊙O 上的三点，若∠OBC =50°，则∠A 的度数是________或_______．（注意题中没图） 6．如图3，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，∠BAC =120°，AB =AC =4，BD 为⊙O 的直径，则BD =___________． 7．如图4，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点．若AC =8，AB =10，OD ⊥BC 于点D ，则BD 的长为( )A ．32B ．3C ．5D ．6图4图5 图6图78．圆内接四边形ABCD 中，若∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶5，则∠D 等于( )A ．60°B ．120°C ．140°D ．150°9．如图5，⊙O 是△ABC 的外接圆，OD ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点E ，∠C =60°．若⊙O 的半径为2，则下列结论错误的是( )A ．AD =DB B ．AE ︵=EB ︵C ．OD =1 D ．AB =3 10．如图6，⊙O 是△ABC 的外接圆，点D 在⊙O 上，已知∠ACB =∠D ，BC =2，则AB 的长是________． 11．如图7，AB 是⊙O 的弦，BC 与⊙O 相切于点B ，连接OA ，OB ．若∠ABC =70°，则∠A 等于( )A ．15°B ．20°C ．30°D ．70°12．如图8，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点G ，直线EF 与⊙O 相切于点D ，则下列结论中不一定正确的是( )A ．AG =BGB ．AB ∥EFC ．AD ∥BC D ．∠ABC =∠ADC图8图9图1013．如图9，P A ，PB 是⊙O 的切线，切点分别为A ，B ，点C 在⊙O 上．如果∠ACB =70°，那么∠P 的度数是________°．14．如图10，在△ABC 中，AB =AC ，点O 在边AB 上，⊙O 过点B 且分别与边AB ，BC 相交于点D ，E ，EF ⊥AC ，垂足为F ．求证：直线EF 是⊙O 的切线．【典型例题】例1．填空题：（1）如图，CD 是⊙O 的直径，AE 切⊙O 于点B ，DC 的延长线交AB 于A 点，∠A =20 ，则∠DBE =． （2）如图，切线AP 交弦BC 的延长线相交于点P ，若∠CAP =40°，∠ACP =100°，则∠BAC =．（3）如图，已知直线BC 切⊙O 于点C ，PD 为⊙O 的直径，BP 的延长线与CD 的延长线交于点A ，∠A =28°，∠B =26°，∠PDC =．例2．如图所示，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，PCD 为割线．求证：AC BD AD BC ⋅=⋅．例3．如图所示，⊙O 是△ABC 的外接圆，PD 是⊙O 的切线，与AC 的延长线交于点P ，D 是切点，且BC ∥DP ．求证：DE DP BD CP ⋅=⋅例4．如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AE 是∠BAC 的角平分线，交BC 于E ，过A 作⊙O 的切线，交BC 的延长线于点D ．求证：（1）AD =DE ；（2）2DE DC DB =⋅．ADCBP·例1（3）题·A CPB例1（2）·ABDC例1（1）题E· ACE D BPO· ACEDBO例5．如图，已知P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，OP 与AB 相交于点M ，C 为AB 上一点．求证：∠OPC =∠OCM ．例6．如图，已知PA 、PB 切⊙O 于A 、B ，C 为AB 上一点，CD 、CE 、CF 分别垂直AB 、PB 、PA 于点D 、E 、F ，求证：CE CD =2·CF例8．如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，从PA 的中点B 作割线BCD ，交圆于C 、D ，连结PC 、PD 分别交圆于E 、F ，求证：∠APD =∠EFD ．【课堂小结】【课堂练习】1．一条弦把圆周分成1:3两部分，过这条弦的一端引圆的切线，则所成的弦切角的度数为． 2．如图1，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 的延长线上一点，且BC =OB ，CD 切⊙O 于D ，则∠A =． 3．如图2，CB 、CD 切⊙O 于B 、D ，直径DA 的延长线交CB 于E ．若AB 的度数为︒60，则 ∠BDC =，∠C =，∠E =．· ABEPFC DO4．如图3，AB 为⊙O 的直径，DE 切⊙O 于点C ，AD ⊥DE 于D ，若∠CAD =︒58，则 AC 的度数为，∠BAC =，∠BCE =．5．已知：AB 为⊙O 的直径，PB 、PC 分别切⊙O 于B 、C ，连结AC ，若∠A =︒52，则∠P =．5．如图4，AB 是⊙O 的直径，直线EF 切⊙O 于点B ，点C 、D 是⊙O 上的点，弦切角∠CBE =︒40， AD CD=，则∠BCD 的度数（）A ．︒110B ．︒115C ．︒120D ．︒1356．如图5，以等腰直角三角形ABC 直角边AC 边直径的圆交斜边AB 于D ，过D 的切线交BC 于E ，设AC =a ，则CE +DE =（）A ．a 22B ．aC ．a 2D ．a 3 7．如图6，△ABC 内接于⊙O ，EC 切⊙O 于点C ，若∠BOC =︒76，则∠BCE =（）A ．︒14B ．︒38C ．︒52D ．︒768．如图7，已知四边形ABCD 为圆内接四边形，AD 为圆的直径，直线MN 切⊙O 于B ，DC 的延长线交MN 于G ，若23cos =∠ABM ，则BCG ∠tan 的值为（） A ．33 B ．23 C ．1 D ．39．如图8，在⊙O 中，AB 是弦，AC 是⊙O 的切线，A 是切点，过点B 作BD ⊥AC 于D ，BD 交⊙O 于点E ，若AE 平分∠BAD ，则∠ABD =（）A ．︒30B ．︒32C ．︒38D ．︒59 10．如图，已知DA 与⊙O 相切于点A ，CE ∥AD ．求证：2AC AB AE =⋅．· A O B E D图4FC ·OBCD图1 A ·BC ED A 图3· A CBE O DF· A EB CDO 图2·A ADBEC图5 ·AB O E图6·B MG N O A DC 图7· A C DE BO图811．如图所示，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，BD∥AC．BD相交于点E．（1）求证：ABE ACD∆≅∆；（2）若AB=6cm，BC=4cm，求AE的长．3．已知，如图所示，⊙O的弦AB的延长线和过点E的切线相交于点P，∠APE的平分线和AE．BE分别相交于点C．D．求证：（1）EC=ED；（2）CE AP AC PE⋅=⋅．4．如图，设AB为⊙O的直径，CD为切线，切点为C，AD⊥CD，求证：∠BAC=∠CAD．【课外练习】5．如图，BC为⊙O的直径，EF切⊙O于点A，AD⊥BC于D．求证：AB平分∠DAE，AC平分∠DAF．B·AB DOEM N·A PBECDOOAEFCBD。
数学高二圆的知识点
数学高二圆的知识点数学高二阶段，圆是一个重要的几何形状。
掌握圆的知识点对于解题和应用数学都具有重要意义。
本文将针对高二阶段学习的圆相关知识进行全面介绍。
一、圆的定义与性质圆是平面上一组点，这些点到圆心的距离都相等。
圆的性质包括：1. 圆心：圆的中心点，通常用字母O表示。
2. 半径：圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。
3. 直径：穿过圆心并且两端点都在圆上的线段，直径的长度是半径的2倍。
4. 弦：连接圆上任意两点的线段。
5. 弧：圆上的一段弧线，通常用小写字母a表示。
6. 弦长：弦的长度，通常用小写字母s表示。
7. 弧长：弧的长度，通常用小写字母l表示。
8. 弧度制：用弧长所对应的圆心角的弧度数来度量角的大小。
二、圆的方程圆的方程有两种一般形式，分别是标准方程和一般方程。
1. 标准方程：对于圆心坐标为(h, k)、半径为r的圆，它的标准方程为：(x - h)² + (y - k)² = r²2. 一般方程：对于通用方程Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0，若满足条件：A² + B² ≠ 0，且完全平方式表示，即：(x - h)² + (y - k)² + r² = 0三、圆的相关定理在高二阶段，圆相关的定理有以下几个重要的：1. 圆的切线定理：如果直线与圆相切，那么切点到圆心的距离与切线垂直。
2. 弦切角定理：如果一个弦与切线交于弦上一点，那么切线和弦所夹的角等于弦所对的弧的角。
3. 弦长定理：在同一个圆中，两个相交弦的弦长乘积等于这两条弦相交处外部的两个弧长乘积。
4. 弧角定理：同一个圆上的两个弧所对的圆心角相等，且弧与圆心角所对的弧长也相等。
四、圆的应用圆的知识不仅仅局限于几何推导，还涉及到实际生活中的许多应用。
以下是一些常见的圆的应用：1. 圆的面积计算：圆的面积计算公式为S = πr²，其中π是一个常数，约等于3.14159。
圆的切线、切线长、线切角
圆的切线、切线长定理与弦切角定理一、圆的切线：1切线的判定：________________________________________________________2 .切线的性质： _________________________________【运用举例】、切线长定理1、切线长:我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的 切线长2、切线长定理：符号语言：：PA PB 是0O 的切线，A 、B 是切点，二，PA=PB 【运用举例】例 1.在厶 ABC 中, AB=5cm BC=7cm AC=8cr ® O 与 BC ACAB 分别相切于 D 、E 、F ,则 AF= ________ , BD= _______ 、CF=____________________________例2.如图，已知CB 是。
O 的切线，C 是切点，0B 交。
O 于点D ，/ B = 30，BD = 6 cm,求BC例3、如图，PA 、PB 切。
0于点A 、B ,点C 是。
0上一点，且/ ACB=65°，求/ P 的度数.例2、如图，PA PB 是。
0的切线，切点分别是A 、B ,直线EF 也是。
0的切线，切点为Q,交PA PB 为E 、F 点，已知PA=12cm ，求△ PEF 的周长.例4、已知：如图AB 是。
0的直径，P 是AB 上的一点（与A 、B 不重合），QP 丄AB ，垂足为P ， 直线QA 交。
0于点C 点，过C 点作。
0的切线交直线QP 于点D ，求证：△ CDQ 是等腰当P 点在AB 的延长线上时，其他条件不变，这个结论还成立吗？试说明 例3、已知：如图，P 为。
0外一点，PA PB 为。
0的切线，A 和B 是切点，BC 是直径.求证：AC// 0P例4.如图，AB 、CD 分别与半圆0切于点A 、D , BC 切。
0于点E ,若AB = 4, CD = 9,求O O的半径。
圆的知识点归纳总结高二
圆的知识点归纳总结高二圆是我们数学中重要的图形之一，它在几何形状和代数方程中都有广泛的应用。
在高二阶段，我们学习了许多与圆有关的知识点，本文将对这些知识点进行归纳总结，旨在帮助大家更好地理解和掌握圆的特性和性质。
一、圆的定义与性质1. 圆的定义：圆是由平面上到同一点的距离都相等的点的集合。
2. 圆的元素：圆心、半径、弦、弧等。
3. 圆的性质：- 圆心角：圆心角是以圆心为顶点的角。
- 弧与弦的关系：当弦是圆的直径时，对应的弧是半圆，圆心角是直角。
- 弧度制：用弧长等于半径的弧所对应的角度定义的角度制。
- 弧长公式：弧长等于圆心角的弧度数乘以半径长度，公式为l = rθ。
二、圆与直线的关系1. 切线与切点：切线是与圆只有一个交点的直线，该交点称为切点。
2. 切线定理：从圆外一点引切线，切线与半径的夹角等于相应的弦所对应的圆心角的一半。
3. 弦切角定理：弦上的一个角等于该弦所对应的圆心角的一半。
4. 弦的性质：相等弦所对应的圆心角相等；直径是圆上最长的弦；垂径是通过圆心并且垂直于弦的线段。
三、圆的相交关系与圆的方程1. 相交关系：- 内切圆与外切圆：如果两个圆只有一个公共的切点，则它们互为内切圆与外切圆。
- 二分线：圆内某点与两个切点的连线称为半径，二分线是圆内任意点与连接两个切点的线段的垂直二等分线。
- 外角与内角的关系：相交圆的外切线所对的外角等于相交圆的内切线所对的内角。
2. 圆的方程：- 标准方程：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)是圆心坐标，r是半径长度。
- 一般方程：x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E和F是任意实数。
四、圆的投影与立体几何1. 圆的投影：圆在平面上的投影是一个椭圆。
2. 圆锥曲线：当圆的截线不平行于其底面时，所形成的曲线为圆锥曲线，如椭圆、双曲线和抛物线等。
3. 球与圆柱体：圆被称为球面上的一个曲线，圆与平行于它的平面截下的部分是圆柱体。
弦切角定理的证明与推导
弦切角定理的证明与推导弦切角定理是数学的一种定理，关于这种定理的证明是怎么一回事呢？下面就是学习啦给大家的弦切角定理的证明内容，希望大家喜欢。
弦切角定理：定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.(弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。
过点A作TP的平行线交BC于D则∠TCB=∠CDA∵∠TCB=90-∠OCD∵∠BOC=180-2∠OCD∴,∠BOC=2∠TCB证明：分三种情况(1)圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A∴弧CmA=弧CA∵为半圆(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。
(与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的夹角叫做弦切角。
)顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
如图所示线段PT所在的直线切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。
已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧CmA是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半证明：分三种情况(1)圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径∴弧CmA=弧CA∵弧CA为半圆,∴弧CmA的度数为180°∵AB为圆的切线∴∠CAB=90°∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半(2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,在优弧m所对的劣弧上取一点E，连接EC、ED、EA。
则∵弧CD=弧CD∴∠CED=∠CAD∵AD是圆O的直径∴∠DEA=90°∵AB为圆的切线∴∠BAD=90°∴∠DEA=∠BAD∴∠CEA=∠CED+∠DEA=∠CAD+∠BAD=∠BAC又∠CEA的度数等于弧CmA的度数的一半∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半 (3)圆心O在∠BAC的外部过A作直径AD交⊙O于D，连接CD猜你感兴趣：1.弦切角定理证明2.怎样证明弦切角3.弦切角定理证明方法4.几何证明选讲5.拖欠工资证明。
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A
P
弦切角等于角内圆弧所对的圆周角。
T
如图，⊙O的割线PAB与切线TP相交于点P 如图，⊙O的割线PAB与切线TP相交于点P， 的割线PAB与切线TP相交于点 是切点，连接AC BC， AC， 点C是切点，连接AC，BC，则图中有哪几 对相等的角？ 对相等的角？ C O A B P
如图，AD是 ABC中∠BAC 的平分线 的平分线， 如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线， 经过点A ⊙O与BC切于点 切于点D AB， 经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB， AC分别相交于 分别相交于E AC分别相交于E，F. 求证：EF‖BC. 求证：EF‖BC.
A E B O D F C
BC顺次 圆O1与圆O2外切于点A，直线BC顺次 与圆O 外切于点 A 直线BC 交两圆于B 连接AC AD。 AC、 交两圆于 B、C、D、E，连接AC、AD。 求证： CAD＝ 求证： ∠ BAE+ ∠ CAD＝180 °
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O1 B
A
O2 E
C D
圆的弦切角定理
当所夹的弧是半圆的弦切角为_________角 当所夹的弧是半圆的弦切角为_________角； _________ O
M O E A P B
当所夹的弧是劣弧的弦切角为_________角 当所夹的弧是劣弧的弦切角为_________角； _________
当弦切角为钝角时，其所夹的弧是_________弧 当弦切角为钝角时，其所夹的弧是_________弧。 _________ D B O