数列数学归纳法测试题
(完整版)数学归纳法练习题
数学归纳法练习题一、选择题1. 用数学归纳法证明121*11(,1)1n n a a a an N a a++-++++=∈≠-L ,在验证1n =成立时,左边所得的项为( ) A. 1 B. 1+a C. 21a a ++ D. 231a a a +++ 2. 用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++L L *()n N ∈,则从k 到k+1时,左边所要添加的项是( )A.121k + B. 112224k k -++ C. 121k -+ D. 112122k k -++ 3. 用数学归纳法证明“当n 为正奇数时,nnx y +能被x y +整除”第二步的归纳假设应写成( )A. 假设*21()n k k N =+∈正确,再推23n k =+正确; B. 假设*21()n k k N =-∈正确,再推21n k =+正确; C. 假设*()n k k N =∈正确,再推1n k =+正确; D. 假设(1)n k k =≥正确,再推2n k =+正确.二、填空题4. 数列{}n a 中,111,21n n n a a a a +==+,则数列的前5项为 , 猜想它的通项公式是 5. 猜想1=1, 1-4=-(1+2), 1-4+9=1+2+3, ……的第n 个式子为 6. 用数学归纳法证明“当*2351,12222n n N -∈+++++L 时是31的倍数”时,1n =时的原式是 ,从k 到1k +时需添加的项是三、解答题7. 求证:对于整数0n ≥时,2211112n n +++能被133整除. 8. 若*n N ∈,求证:23sin coscoscoscos 22222sin2n nnαααααα=L .9. 若*n N ∈,且2n ≥,求证:1111312224n n n +++>++L . 10. 数列{}n a 满足,2n n S n a =-*n N ∈,先计算前4项后,猜想n a 的表达式,并用数学归纳法证明.11. 是否存在自然数m ,使得 ()(27)39nf n n =+⋅+ 对于任意*n N ∈都能被m 整除,若存在,求出m ;若不存在,请说明理由.12. 正数数列{}n a 中,11()2n n nS a a =+.⑴ 求123a a a 、、;⑵ 猜想n a 的表达式并证明. 13. 设*n N ∈,试比较 3(1)!nn +和 的大小.【答案】一、选择题1. C2. D3. B 二、填空题4. 11111,,,,23456. 11n a n =+(*n N ∈)5. 12114916(1)(1)(1234)n n n n ++-+-++-=-+++++L L6. 23412222++++, 55152535422222kk k k k ++++++++.三、解答题(略解)7. ① 0n =时,原式=21112133+=能被133整除;② 设n k =时,2211112k k +++ 能被133整除1n k =+时,原式=3232212123111211(1112)111212k k k k k k +++++++=+-⋅+=2212111(1112)12133k k k +++++⋅能被133整除.8. ① 1n =时,左=cos2α, 右=sin cos22sin2ααα=,左=右② 设n k =时, 23sin coscoscoscos 22222sin2k k kαααααα=L1n k =+时, 2311sin (coscoscoscos )cos cos2222222sin2k k k k kαααααααα++⋅=⋅L=111111sin sin cos22sincos2sin222k k k k k k αααααα++++++⋅=9. ① 2n =时,左=11713341224+=>② 设n k =时, 1111312224k k k +++>++L 1n k =+时, 左=1111222122k k k k +++++++L =111111()12212122k k k k k k +++-+++++++L ∵111110*********k k k k k -++=->+++++,∴左>1324.10. 计算得: 123437151,,,248a a a a ====.猜想 1212n n n a --=① 1n =时,计算得11a =,结论成立;② 设n k =时, 1212k k k a --=, 则1n k =+时, 11111121[2(1)](2)2k k k k k k k k a S S k a k a a +++++--=-=+---=-∴11212k k ka ++-=.11. (1)36,(2)108,(3)360f f f ===.猜想m 的值应为其最大公约数36. ① 1n =显然正确.② 设n k =正确即 ()(27)39kf k k =+⋅+ 能被36整除. 则1n k =+时 ,11(1)[2(1)7]393[(27)39]27239k k k f k k k +++=++⋅+=+⋅+-+⋅+13[(27)39]18(31)k k k -=+⋅++-能被36整除.12. ⑴ 11a =,21a =,3a = ⑵ 猜想: n a =① 1n =显然正确. ② 设n k =正确即n a =则 1n k =+ 时111111[()2k k k k k a S S a a ++++=-=+--21110k k a ++⇒+-=,解得(取正值) 1k a +=13. 3=31>(1+1)!=2, 9=32>(2+1)!=6, 27=33>(3+1)!=24, 81=34<(4+1)!=120, ……猜想: 1,2,3n = 时,3(1)!nn >+; 当 4n ≥ 时, 3(1)!nn <+① 4n = 时,显然成立;② 设n k =时,结论成立, 即 3(1)!kk <+ 则 1n k =+ 时1333(1)!3(1)!(2)(2)!k k k k k k +=⋅<+⋅<+⋅+=+ (∵4,32k k ≥∴<+ )即 13(11)!k k +<++。
数列与数学归纳法练习题
数列与数学归纳法练习题数学归纳法是数学中常用的一种证明方法，尤其在数列问题中被广泛应用。
通过数学归纳法，我们能够证明某个命题对所有自然数都成立，而不需要逐个验证。
本文将为大家提供数列与数学归纳法的练习题，帮助大家更好地掌握这一方法。
1. 练习题一证明下列命题对所有正整数n成立：(1) 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n^2(2) 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6解答：(1) 首先在n=1的情况下，命题显然成立，因为左右两边都等于1。
假设当n=k时，命题成立，即1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = k^2。
下面证明当n=k+1时，命题也成立。
当n=k+1时，左边的求和式为：1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) + (2(k+1)-1) = k^2 + (2k+1)。
根据假设，我们知道前面的求和式等于k^2，因此我们只需要证明(2k+1) = (k+1)^2即可。
展开(k+1)^2，得到k^2 + 2k + 1，与2k+1相比较，左右两边相等。
因此，由数学归纳法可知，命题对所有正整数n成立。
(2) 同样，在n=1的情况下，命题显然成立。
假设当n=k时，命题成立，即1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6。
下面证明当n=k+1时，命题也成立。
当n=k+1时，左边的求和式为：1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2。
将右边的分数相加，得到(k^3 + 3k^2 + 2k)/6 + (k^2 + 2k + 1)。
化简并合并同类项，得到(k^3 + 3k^2 + 2k + k^2 + 2k + 1)/6 = (k^3 +4k^2 + 5k + 1)/6。
因此，我们只需要证明(k^3 + 4k^2 + 5k + 1) = (k+1)(k+2)(2k+3)即可。
第6章 数列与数学归纳法(6.4-6.8)
6.4数学归纳法例题精讲【例1】用数学归纳法证明22>n n ,5n N n ∈≥,则第一步应验证n = ． 【参考答案】n =5（注：跟学生说明0n 不一定都是1或2，要看题目）【例2】设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”． 那么，下列命题总成立的是（ ）A ．若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立；B ．若4)2(<f 成立，则1)1(<f 成立；C ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立；D ．若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立． 【参考答案】B【例3】用数学归纳法证明命题：若n 是大于1的自然数，求证：n n <-++++12131211Λ，从k 到+1k ，不等式左边添加的项的项数为 ．【参考答案】当k n =时，左边为1214131211-+++++k Λ． 当1+=k n 时，左边为1212211212112141312111-+++++++-++++++k k k k k ΛΛ．左边需要添的项为121221121211-+++++++k k k k Λ，项数为k k k 212121=+--+．【例4】用数学归纳法证明：422135n n +++能被14整除*n N ∈（）．【参考答案】当=1n 时，8545353361224=+=+++n n 能被14整除．假设当k n =时原命题成立，即422135n n +++能被14整除*n N ∈（）． 当1+=k n 时，原式为4(1)22(1)1442221353355k k k k +++++++=⋅+⋅4422121423(35)5(35)k k k +++=+--44221213(35)565k k k +++=+-⋅．422135n n +++能被14整除，56也能被14整除，所以上式能被14整除，所以当1+=k n 时原命题成立． 综上所述，原命题成立．【例5】是否存在常数,a b 使得()()2112233413n n n an bn +⨯+⨯+⨯+++=+L 对一切正整数n 都成立？证明你的结论．【参考答案】先用1n =和2n =探求1,2a b ==，再用数学归纳法证明【例6】若*n N ∈,求证:23sin coscoscoscos 22222sin2n n nαααααα=L ．【参考答案】① 1n =时,左=cos2α, 右=sin cos22sin2ααα=,左=右② 设n k =时, 23sin coscoscoscos 22222sin2k k kαααααα=L1n k =+时, 2311sin (coscoscoscos )cos cos2222222sin2k k k k kαααααααα++⋅=⋅L=111111sin sin cos22sincos2sin222k k k k k k αααααα++++++⋅=过关演练1． 等式22222574123 (2)n n n -+++++=（ ）．A ． n 为任何正整数时都成立B ． 仅n ＝1，2，3时成立C ． n ＝4时成立，n ＝5时不成立D ． n ＝4时不成立，其他成立． 2． 用数学归纳法证明22111...(1)1n n a a a a a a++-++++=≠-，在验证1n =时，左端计算所得项为 ．3．利用数学归纳法证明“对任意偶数*()n n N ∈，nna b -能被a b +整除”时，其第二步论证应该是 ．4． 若*1111...()23n S n N n =++++∈，用数学归纳法证明*21(2,)2n nS n n N >+≥∈，n 从k 到1k +时，不等式左边增加的项为 ． 5． 若21*718,,n m m n N -+=∈，则21718n m ++=+ ．6． 利用数学归纳法证明22nn >，第一步应该论证 ． 7． 数学归纳法证明：111111111......234212122n n n n n-+-++-=+++-++（*n N ∈）时，当n 从k 到1k +时等式左边增加的项为 ；等式右边增加的项为 ． 8． 用数学归纳法证明：221(1)n n a a ++++可以被21a a ++整除（*n N ∈）．9． 用数学归纳法求证: （1）(1)123 (2)n nn +++++=； （2）222123+++ (2)1(1)(21)6n n n n +=++； （3）333123+++ (3)221(1)4n n n +=+． 10． 在数列{}n a 中，已知111,6(123...)1n a a n +==+++++，*n N ∈，若数列{}n a 前n项和为n S ，求证：3n S n =．6.5数学归纳法的运用例题精讲【例1】已知11=a ，)(*2N n a n S n n ∈=（1）求5432,,,a a a a ；（2）猜想它的通项公式n a ，并用数学归纳法加以证明【参考答案】 解：（1）151,101,61,315432====a a a a （2）)1(2+=n n a n ， 证明：（1）当n=1时，11=a 成立；（2）当n>1时，假设n=k 时，命题成立，即)1(2+=k k a k ，则当n=k+1时，⇒+=++121)1(k k a k S )2)(1(2222]1)1[(2221122++=+•+=+=⇒-+=++k k k k k k k k a k a a k a k k k k k 综上所述，对于所有自然数*N n ∈，)1(2+=n n a n 成立。
【必刷题】2024高二数学上册数列与数学归纳法专项专题训练(含答案)
【必刷题】2024高二数学上册数列与数学归纳法专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知数列{an}为等差数列，a1=3，a5=15，则公差d为（）A. 3B. 4C. 5D. 62. 数列{an}的通项公式为an = 2n 1，则数列{an}的前5项和为（）A. 25B. 30C. 35D. 403. 若数列{an}满足an+1 = 2an，且a1=1，则数列{an}是（）A. 等差数列B. 等比数列C. 既不是等差数列也不是等比数列D. 无法确定4. 用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n1)=n²，下列步骤中错误的是（）A. 验证n=1时等式成立B. 假设n=k时等式成立C. 证明n=k+1时等式成立D. 直接得出结论1+3+5+…+(2n1)=n²5. 已知数列{an}的通项公式为an = n² + n，则数列{an+1 an}的前5项和为（）A. 20B. 25C. 30D. 356. 数列{an}为等比数列，a1=2，a3=8，则a5=（）A. 16B. 24C. 32D. 647. 已知数列{an}满足an+2 = an+1 + an，a1=1，a2=1，则a5=（）A. 3B. 4C. 5D. 68. 若数列{an}的通项公式为an = 3n 2，则数列{an}的前n项和为（）A. n(3n1)/2B. n(3n+1)/2C. n(3n2)/2D. n(3n+2)/29. 用数学归纳法证明等式2^n > n²，下列步骤中错误的是（）A. 验证n=1时等式成立B. 假设n=k时等式成立C. 证明n=k+1时等式成立D. 直接得出结论2^n > n²10. 已知数列{an}的通项公式为an = 2^n，则数列{an+1 / an}的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、判断题：1. 数列{an}的通项公式为an = n²，则数列{an}是等差数列。
数列与数学归纳法的综合练习题
数列与数学归纳法的综合练习题一、数学归纳法的基本概念数学归纳法是一种证明数学命题的常用方法。
它包括两个基本步骤：基础步和归纳步。
基础步是证明命题对于某个特定的自然数成立；归纳步是假设命题对于一个自然数成立，然后证明对于下一个自然数也成立。
下面通过具体的练习题来进一步理解数学归纳法的应用。
二、练习题一：数列的定义与递推关系1. 已知数列{an}的通项公式是an = 3n - 1（n为自然数），求前5项的值。
解：将n逐个代入通项公式，有：a1 = 3 * 1 - 1 = 2；a2 = 3 * 2 - 1 = 5；a3 = 3 * 3 - 1 = 8；a4 = 3 * 4 - 1 = 11；a5 = 3 * 5 - 1 = 14。
所以，数列{an}的前5项的值分别为2，5，8，11，14。
2. 已知数列{bn}的递推关系是bn = bn-1 + 2，其中b1 = 1，求前6项的值。
解：根据递推关系，可以得到：b2 = b1 + 2 = 1 + 2 = 3；b3 = b2 + 2 = 3 + 2 = 5；b4 = b3 + 2 = 5 + 2 = 7；b5 = b4 + 2 = 7 + 2 = 9；b6 = b5 + 2 = 9 + 2 = 11。
所以，数列{bn}的前6项的值分别为1，3，5，7，9，11。
三、练习题二：数学归纳法证明1. 证明1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2，其中n为自然数。
证明：基础步：当n=1时，等式左边为1，右边为1(1+1)/2，两边相等成立。
归纳步：假设当n=k时等式成立，即1 + 2 + 3 + ... + k = k(k+1)/2；则当n=k+1时，等式左边变为1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1)；根据归纳假设，左边可以变为k(k+1)/2 + (k+1)；化简得 (k^2 + k + 2k + 2) / 2；再次化简得 (k^2 + 3k + 2) / 2；进一步化简得 (k+1)(k+2)/2；即等式右边。
(完整版)数学归纳法测试题及答案
选修2-2 2. 3 数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( ) A ．1＋12<2 B ．1＋12＋13＜2 C ．1＋12＋13＜3 D ．1＋12＋13＋14＜3 [答案] B[解析] ∵n ∈N *，n ＞1，∴n 取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13， 2．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1时，左边所得的项为( ) A ．1 B ．1＋a ＋a 2 C ．1＋a D ．1＋a ＋a 2＋a 3[答案] B[解析] 因为当n ＝1时，a n ＋1＝a 2，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2.故应选B.3．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2[答案] D[解析] f (n ＋1)－f (n )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(n ＋1)＋1＋1(n ＋1)＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12(n ＋1) －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＝12n ＋1＋12(n ＋1)－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 4．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立[答案] C[解析]原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是()A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立[答案] C[解析]∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2[答案] C[解析]增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证() A．n＝1时命题成立B．n＝1，n＝2时命题成立C．n＝3时命题成立D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立[答案] D[解析]假设n＝k时不等式成立，即2k>k2－2，当n＝k＋1时2k＋1＝2·2k>2(k2－2)由2(k2－2)≥(k－1)2－4⇔k2－2k－3≥0⇔(k＋1)(k－3)≥0⇒k≥3，因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D.8．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N *，都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A ．30B ．26C ．36D ．6[答案] C[解析] 因为f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36，所以f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，推测最大的m 值为36.9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2、a 3、a 4，猜想a n ＝( )A.2(n ＋1)2B.2n (n ＋1)C.22n －1D.22n －1[答案] B[解析] 由S n ＝n 2a n 知S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n∴a n ＋1＝n n ＋2a n (n ≥2)． 当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，∴a 2＝a 13＝13a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110. 由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110猜想a n ＝2n (n ＋1)，故选B. 10．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N ＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，上述证法( )A ．过程全都正确B ．n ＝1验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确[答案] D[解析] n ＝1的验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.二、填空题11．用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N *)”时，第一步的验证为________．[答案] 当n ＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立[解析] 当n ＝1时，左≥右，不等式成立，∵n ∈N *，∴第一步的验证为n ＝1的情形．12．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n (n ＋1)，通过计算得S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，由此可猜测S n ＝________.[答案] n n ＋1 [解析] 解法1：通过计算易得答案．解法2：S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 13．对任意n ∈N *,34n ＋2＋a 2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a ＝________.[答案] 5[解析] 当n ＝1时，36＋a 3能被14整除的数为a ＝3或5，当a ＝3时且n ＝3时，310＋35不能被14整除，故a ＝5.14．用数学归纳法证明命题：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2.(1)当n 0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n ＝k 时，等式左边共有________________项，第(k －1)项是__________________．(2)假设n ＝k 时命题成立，即_____________________________________成立．(3)当n ＝k ＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________．[答案] (1)1；1×(3×1＋1)；1×(1＋1)2；k ；(k －1)[3(k －1)＋1](2)1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2(3)1×4＋2×7＋…＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2；(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]三、解答题15．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N *)．[证明] ①n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．②假设n ＝k 时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)2. 当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)－(4k ＋3)＝－(2k 2＋5k ＋3)＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n ∈N *都成立．16．求证：12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22(n ≥2)． [证明] ①当n ＝2时，左＝12>0＝右， ∴不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立．即12＋13＋…＋12k －1>k －22成立． 那么n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋12k －1 ＋12k －1＋1＋…＋12k －1＋2k －1>k －22＋12k －1＋1＋…＋12k >k －22＋12k ＋12k ＋…＋12k ＝k －22＋2k －12k ＝(k ＋1)－22， ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．据①②可知，不等式对一切n ∈N *且n ≥2时成立．17．在平面内有n 条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．求证：这n 条直线将它们所在的平面分成n 2＋n ＋22个区域．[证明] (1)n ＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2)时，k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块不同的区域，命题成立． 当n ＝k ＋1时，设其中的一条直线为l ，其余k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块区域，直线l 与其余k 条直线相交，得到k 个不同的交点，这k 个点将l 分成k ＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k ＋1块．从而k ＋1条直线将平面分成k 2＋k ＋22＋k ＋1＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋22块区域． 所以n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，原命题成立．18．(2010·衡水高二检测)试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)，并用数学归纳法证明你的结论．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①此题选用特殊值来找到2n ＋2与n 2的大小关系；②利用数学归纳法证明猜想的结论．解答本题的关键是先利用特殊值猜想．[解析] 当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1，当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4，当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9，当n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16，由此可以猜想，2n ＋2>n 2(n ∈N *)成立下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．。
数列与数学归纳法专项训练(含答案)(新)
数列与数学归纳法专项训练1.如图，曲线2(0)y x y =≥上的点i P 与x 轴的正半轴上的点i Q 及原点O 构成一系列正三角形△OP 1Q 1，△Q 1P 2Q 2，…△Q n-1P n Q n …设正三角形1n n n Q P Q -的边长为n a ,n ∈N ﹡(记0Q 为O ),(),0n n Q S .（1）求1a 的值; （2）求数列{n a }的通项公式n a 。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2. 设{}{},n n a b 都是各项为正数的数列，对任意的正整数n ，都有21,,n n n a b a +成等差数列，2211,,n n n b a b ++成等比数列．（1）试问{}n b 是否成等差数列？为什么？（2）如果111,2a b ==，求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．3. 已知等差数列｛n a ｝中，2a ＝8，6S ＝66.（Ⅰ）求数列｛n a ｝的通项公式；（Ⅱ）设n n a n b )1(2+=，n n b b b T +++= 21，求证：n T ≥16.4. 已知数列{n a }中531=a ，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），数列}{nb ，满足11-=n n a b （+∈N n ） （1）求证数列{n b }是等差数列；（2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由；（3）记++=21b b S n …n b +，求)1(lim -∞→n b n n ．5. (Ⅰ (Ⅱ (Ⅲn 项的6. （1（27. 已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意*∈N n ，都有n n pa p S p -=⋅-)1(（p 为大于1的常数），并记nn n n n n n S a C a C a C n f ⋅⋅++⋅+⋅+=21)(2211 .（1）求n a ； （2）比较)1(+n f 与)(21n f pp ⋅+的大小*∈N n ； （3）求证：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅-+≤≤⋅---=∑1212111111)()()12(n n i p p p p i f n f n (*∈N n ).8. 已知n N *∈，各项为正的等差数列{}n a 满足263521,10a a a a ⋅=+=，又数列{}lg n b 的前n 项和是()()11lg312n S n n n n =+--。
数列与数学归纳法练习题应用数学归纳法解决数列问题
数列与数学归纳法练习题应用数学归纳法解决数列问题数列作为数学中的一种重要概念，经常在各种数学问题中出现。
数学归纳法是一种解题方法，通常用来证明数列中的某种性质对于所有的正整数成立。
本文将通过一些数列练习题的解答来展示数学归纳法在解决数列问题中的应用。
题目一：证明等差数列的和公式给定等差数列：1，4，7，10，...，其中首项为1，公差为3。
现在我们要证明等差数列的和公式Sn=n/2(2a1+(n-1)d)对于该数列成立。
解答：首先，我们假设等差数列的和公式Sn=n/2(2a1+(n-1)d)对于任意的正整数n成立，即我们假设Sn对于n为任意的正整数均成立。
接下来，我们要证明当n=k+1时，Sn+1=1/2(k+2)(2a1+kd)也成立，其中k为任意正整数。
根据等差数列的性质，我们可以推导出Sn=a1+a2+...+ak，那么Sn+1=a1+a2+...+ak+ak+1。
由于等差数列的公差为d，那么ak+1=a1+kd。
将这个结果代入Sn+1的表达式中，我们可以得到Sn+1=a1+a2+...+ak+(a1+kd)。
观察这个表达式，我们可以发现前k项是Sn的部分，而最后一项a1+kd是等差数列的第k+1项。
根据等差数列求和公式Sn=n/2(2a1+(n-1)d)，我们可以将Sn+1进一步简化为Sn+1=Sn+(a1+kd)。
将Sn代入这个表达式，我们可以得到Sn+1=n/2(2a1+(n-1)d)+(a1+kd)。
进一步化简这个表达式，我们可以得到Sn+1=n/2(2a1+(n-1)d)+(a1+kd)=1/2n(2a1+k)。
根据等差数列的和公式Sn=n/2(2a1+(n-1)d)，我们可以得到Sn+1=1/2(n+2)(2a1+k)。
由此可见，Sn+1的表达式满足等差数列的和公式。
综上所述，假设Sn对于任意的正整数n均成立的前提下，可以证明Sn+1也成立。
根据数学归纳法原理，等差数列的和公式Sn=n/2(2a1+(n-1)d)对于该数列成立。
数列、数学归纳法、推理与证明综合练习题
数列、数学归纳法、推理与证明综合练习题一、选择题：1、数列 的一个通项公式是 （ ）A. B ．C ．D ． 2、若两数的等差中项为6，等比中项为10，则以这两数为根的一元二次方程是（ ） A 、010062=+-x x B 、0100122=++x x C 、0100122=--x x D 、0100122=+-x x 3、下列推理正确的是(A) 把()a b c + 与 log ()a x y + 类比，则有：log ()log log a a a x y x y +=+ ． (B) 把()a b c + 与 sin()x y + 类比，则有：sin()sin sin x y x y +=+． (C) 把()n ab 与 ()n a b + 类比，则有：n n n ()x y x y +=+． (D) 把()a b c ++ 与 ()xy z 类比，则有：()()xy z x yz =．4、用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N *)的过程中，第二步假设n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到( )A ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝k 2B ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)2C ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋2)2D ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋3)25、把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论还正确的是（ ） (A) 如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则比与另一条相交 ． (B) 如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则比与另一条垂直． (C) 如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交． (D) 如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．6、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若45818,a a S =-=则 （ ）（A ）18 （B ）36 （C ）54 （D ）727、已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则 |m －n|=（ ）12)1(3++-=n nn a nn 12)3()1(++-=n n n a n n121)1()1(2--+-=n n a nn 12)2()1(++-=n n n a nn ⋯--,924,715,58,1A ．1B ．43 C ．21 D ．83 8、等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50＝200，a 51+a 52+…+a 100＝2700，则a 1等于( )A ．－1221B ．－21．5C ．－20．5D ．－209、设 {a n }是由正数组成的等比数列, 且公比q = 2, 如果a 1 · a 2 · a 3 · … · a 30 = 230, 那么a 3 · a 6 · a 9 · … · a 30 = ( )A ．210.B ．215.C ．220.D ．216.10、某人从1999年9月1日起，每年这一天到银行存款一年定期a 元，且每年到期的存款将本和利再存入新一年的一年定期，若年利率r 保持不变，到2003年9月1日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数为 A 、()51r a + B 、()()[]r r r a--+115 C 、 ()41r a + D 、()[]115-+r ra 二、填空题：11、9、由图(1)有面积关系: PA B PAB S PA PB S PA PB ''∆∆''⋅=⋅，则由(2) 有体积关系: .P A B C P ABCV V '''--=12、设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2010S S =，则30S 的值是_______。
数列 数学归纳法测试题
数列 数学归纳法测试题班级 姓名 得分 .一、选择题：1、等差数列{n a }中，a 3＋a 7－a 10=8，a 11－a 4=4，则S 13=…………………………………………( )(A )168 (B ) 156 (C )78 (D ) 1522、数列{n a }、{n b }都是等差数列，a 1=25，b 1=75，a 100＋b 100=100，则{n a ＋n b }的前100项和为( )(A )0 (B )100 (C )10000 (D )1024003、等差数列5，244,3,77，第n 项到第n ＋6项的和为T ，则|T|最小时，n=…………………( )(A )6 (B )5 (C ）4 （D ）34、等差数列{n a }满足123101a a a a ++++=0，则有……………………………………………( )(A )11010a a +> （B ）21000a a +< （C ）3990a a += （D ）5151a =5、一个首项为正数的等差数列中，S 3=S 11，则当S n 最大知，n=……………………………………（ ）(A )5 (B ) 6 (C )7 (D ) 86、{n a }为等比数列，{n b }是等差数列，b 1=0，n c =n a ＋n b ，如果数列{n c }是1，1，2，…，则{n c }的前10项和为……………………………………………………………………………………（ ）(A ) 978 (B ) 557 (C ) 467 (D )以上都不对7、若相异三数(),(),()a b c b c a c a b ---组成公比为q 的等比数列，则…………………………（ ）(A )210q q ++= (B ) 210q q -+= (C ) 210q q +-= (D ) 210q q --=8、{n a }的前n 项和为S n =232n n -，当n ≥2时，有…………………………………………………（ ）(A )n S >n na >1na (B ) n S <n na <1na (C ) 1na <n S <n na (D ) n na <n S <1na9、{n a }是等差数列，则下列各不等式中正确的是…………………………………………………（ ）(A )36a a <45a a (B ) 36a a ≤45a a (C ) 36a a >45a a (D ) 36a a ≥45a a10、一个等比数列前n 项和为21n -，则它的前n 项的各项平方和为……………………………（ ）(A )2(21)n - (B ) 122(21)n - (C )41n - (D )1(41)3n - 11、据市场调查，预测某种商品从2004年初开始的几个月内累计需求量n S （万件）近似满足n S =2(215)90n n n --，则本年度内需求量超过1.5万件的月份是……………………………（ ）(A )5、6 (B ) 6、7 (C ) 7、8 (D ) 8、912、实数12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则21212()a a b b +的取值范围是…………（ ） (A )[4，＋∞） (B ) （－∞，－4]∪[4，＋∞）(C ) （－∞，0]∪[4，＋∞） (D )不能确定二、填空题：13、各项都是正数的等比数列{n a }中，56a a =9，则3132310l o g l o g l o g a a a +++= 。
高中数学练习题附带解析数列与数学归纳法
高中数学练习题附带解析数列与数学归纳法数列与数学归纳法在高中数学中是非常重要的概念，在学习和应用过程中，练习题是最有效的辅助方式。
本篇文章将提供一些常见的高中数学数列与数学归纳法练习题，并附带详细解析。
题目一：1、一个等差数列的首项为3，公差为5，求第10项和第20项。
解析：已知a1=3, d=5. 求a10和a20。
根据公式an=a1+(n-1)d可求出：a10=3+(10-1)×5=48a20=3+(20-1)×5=98因此，数列第10项为48，第20项为98。
题目二：2、求下列数列的通项公式：3，6，9，12 ……解析：根据题目可以确定第一项a1=3，公差d=3。
因为首项为3，而公差为3，可以将通项公式表示为a_n=3+(n-1)×3。
因此，该数列的通项公式为an=3+(n-1)×3。
题目三：3、有一等比数列的第一项为1，公比为2，求第5项和第10项。
解析：已知a1=1，q=2. 求a5和a10。
根据公式an=a1×q^(n-1)，可得：a5=1×2^(5-1)=16a10=1×2^(10-1)=512因此，数列第5项为16，第10项为512。
题目四：4、已知数列{an}满足：a1=3, a3=7，每一项都等于前一项与后一项的和，求数列的通项公式。
解析：根据题目可以得到：a1=3a3=7a_n=a_(n-1)+a_(n+1) (n>1)将上述式子表示为：a_(n+1)=a_n+a_(n-1)设数列的通项公式为an=x^n，代入上式可得：x^(n+1)=x^n+x^(n-1)化简可得：x^2-x-1=0解方程可得：x1=(1+sqrt(5))/2 ,x2=(1-sqrt(5))/2由于数列的通项公式必须满足a1=3，因此，x=（1+sqrt(5))/2最终，求得数列的通项公式为an=((1+sqrt(5))/2)^n。
初中数学数列与数学归纳法练习题
初中数学数列与数学归纳法练习题数列与数学归纳法是初中数学中的重要概念，通过练习题的形式可以巩固对这两个知识点的理解和应用。
本文将为大家提供一些初中数学数列与数学归纳法练习题，并附带详细解答，帮助读者加深对这两个概念的掌握。
1. 数列练习题题目一：已知数列{an}的通项公式为an = 3n + 2，求该数列的前5项。
解答：根据通项公式an = 3n + 2，将n依次代入1、2、3、4、5，求得数列的前5项为5、8、11、14、17。
题目二：已知数列{bn}的前n项和Sn的表达式为Sn = 2n^2 + 5n，求该数列的通项公式。
解答：根据已知的前n项和表达式Sn = 2n^2 + 5n，我们可以通过分析和推导来求解数列的通项公式。
首先求出前几项的和，得到数列的差分，可以发现差分数列的通项为2n + 5。
再对差分数列进行求和，得到原数列的通项公式为bn = n^2 + 5n + C，其中C为常数。
通过代入前几项的值，可以得到C的值为0，所以数列的通项公式为bn = n^2 + 5n。
题目三：数列{cn}的通项公式为cn = 2^n，求该数列的前6项。
解答：将n依次代入1、2、3、4、5、6，求得数列的前6项为2、4、8、16、32、64。
2. 数学归纳法练习题题目一：利用数学归纳法证明1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2，其中n为正整数。
解答：首先，我们验证当n = 1时等式是否成立。
代入n = 1，左边的等式为1，右边的等式为1，所以当n = 1时等式成立。
接下来，假设当n = k时等式成立，即1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1)/2。
我们需要证明当n = k + 1时等式也成立。
根据归纳假设，我们有1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1)/2。
将右边的等式升级为k + 1，得到1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = (k +1)(k + 2)/2。
高三数学练习 数列 导数 数学归纳法
单元练习8 数列极限数学归纳法2002.11 班级：____________；姓名：______________; 成绩：___________.一. 选择题：(每小题4分，共4×14 = 56分)1. 设2 a = 3 ,2 b = 6 ,2 c = 12 ,则数列a ,b ,c(A)是等差数列不是等比数列； (B)是等比数列不是等差数列；(C)既是等差数列又是等比数列； (D)既不是等差数列也不是等比数列；2. 已知数列{an }的前n项和为Sn= 3n + k (k为常数) ,那么下述结论正确的是(A)k为任意实数时{an }为等比数列； (B)k=－1时{an}是等比数列；(C)k=0时{an }是等比数列； (D){an}不可能成为等比数列；3. 已知a,b,c成等比数列，a,x,b和b,y,c都成等差数列，且xy ≠ 0 ,则axcy+的值为(A) 1 ; (B) 2 ; (C) 3 ; (D) 4 ;4. 在等差数列{an }中，an=22n npn q-+(其中p、q是非零常数)，则p ,q应满足的关系式是(A) p－q = 0 ; (B) p + q = 0 ; (C) p－2q = 0 ; (D) p + 2q = 0 ;5. 若两个等差数列{an },{bn}的前n项和An和Bn满足ABnnnn=++71427(n∈N) ,则ab1111=(A) 74 ; (B) 32; (C) 43; (D) 7871;6. 等差数列{an }中，a1+ a4+ a7= 15 ,a3+ a6+ a9= 3 ,则该数列前9项的和等于(A) 18 ; (B) 45 ; (C) 36 ; (D) 27 ;7. 等差数列{an }中，a10< 0 ,a11> 0 ,且| a10| < a11,Sn为其前n项之和，则(A)S1,S2,…,S10都小于零 ,S11,S12 ,…都大于零；(B) S1,S2,…,S5都小于零 ,S6 ,S7 ,…都大于零；(C) S1,S2,…,S19都小于零 ,S20,S21 ,…都大于零；(D) S1,S2,…,S20都小于零 ,S21 ,S22 ,…都大于零；8. 已知数列a1 ,a2,…,a10的各项均为正数，条件甲：该数列不是等比数列；条件乙：a1 +a10< a5+a6.则乙是甲的(A)充要条件；(B)必要不充分条件；(C)充分不必要条件；(D)既不充分也不必要条件；9. 在0和16间插入两个数, 使前三个数成等差数列, 后三个数成等比数列, 则这两个数的和等于(A) 8 ; (B) 10 ; (C) 12 ; (D) 16 ;10. 数列{an }中, a1,a2,a3成等差数列, a2,a3,a4成等比数列, a3,a4,a5的倒数成等差数列, 则a1 ,a3,a5(A)成等差数列；(B)成等比数列；(C)倒数成等差数列；(D)对数成等比数列；11. 已知首项a1为正数，公比| q | < 1的无穷等比数列从第二项起各项之和不大于第一项的一半，则公比q的范围是(A) q <13 ; (B) q ≤13; (C) q ≤13且q ≠ 0 ; (D) －1< q ≤13且q ≠ 0 ;12. 等差数列{an }的首项a1=－5 ,它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的10项的平均值为4，则抽去的是(A) a8 ; (B) a6; (C) a10; (D) a11;13. 已知1 + 2·3 + 3·32 + 4·33 + … + n·3n-1 = 3n (na－b) + c对一切n∈N 都成立，那么a ,b ,c的值为(A) a =12,b = c =14; (B)a = b = c =14; (C)a = 0,b = c =14; (D)不存在 ;14. 下列极限值： limn→∞1121+-=⎧⎨⎪⎩⎪()())n nn为奇数（为偶数; a>b>0 ,lim n→∞a a b a b ban n n nn++++--+1221=1a b-;limn→∞(123n+223n+…+nn23)= 0 ; limn→∞n nn n2222112121+--+--= 2.其中正确的有(A) 0个 ; (B) 1个 ; (C) 2个 ; (D) 3个 ; 二. 填空题：(每小题5分，共5×7 = 35分)15. 在数列{a n }中，已知a 1 = 1 ,a 2 = 5 ,a n+2 = a n+1－a n (n ∈N) ,则a 2002等于____________ .16. 若{a n }是等比数列，a 4a 7 =－512 ,a 3+a 8 = 124,且公比为整数，则a 10 = ________________ .17. 数列{a n } ,{b n }满足a n b n = 1, a n = n 2 + 3n + 2，则{b n }的前十项的和为__________________ .18. 若lim n →∞[ 1+(r + 1)n ] = 1 ,则r 的取值范围是___________________________ .19. 已知数列{a n }满足S n = 4－a n －22-n(n ∈N), 则通项公式a n =________________________ .20. 若lim n →∞(3a n + b n ) = 8 , lim n →∞(6a n －b n ) = 1 ,则lim n →∞(4a n －b n )=_______________________ .21. 无穷等比数列中，所有奇数项之和等于36，所有偶数项之和为12，则此数列从第________项开始每一项都小于0.1 . 三. 解答题：(4小题共59分)22. 设{a n }是等差数列，a 1 = 1 ,S n 是它的前n 项和，{b n }是等比数列，其公比的绝对值小于1，T n是它的前n 项和，如果a 3 = b 2 ,S 5 =2T 2－6 ,lim n →∞T n = 9 ,求{a n } ,{b n }的通项公式 .23. 已知递增等比数列{a n }的前三项之积为512，且这三项分别减去1,3,9后又成等差数列. 求证：11a +22a +…+n a n< 1 .24. 已知等差数列{a n }的第三项a 3 = 8，其前20项的和为610. 今从该等差数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，并按原来的顺序组成一个新的数列{b n }，记数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n . (1). 求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2).对一切自然数n ，试比较2S n 与T n 的大小，并证明你的结论.25. 在XOY 平面上有一点列P 1 (a 1, b 1), P 2 (a 2, b 2), …, P n (a n , b n ), …，对每个自然数n ，点P n 位于函数y = 2000(a 10)x (0 < a < 10)的图象上，且点P n 、点(n, 0)与点(n + 1, 0)构成一个以P n 为顶点的等腰三角形. (1) 求点P n 的纵坐标b n 的表达式；(2) 若对每个自然数n ，以b n , b n+1, b n+2为边长能构成一个三角形，求a 的取值范围；(3) 设B n = b 1b 2…b n (n ∈N). 若a 取(2)中规定的范围内的最小整数，求数列{B n }的最大项的项数. 答案：示:a n =(n+1)/2; b n = 6(1 /3)n-1; 23. 提示：由条件推出a 2 = 8 ,q= 2 ,∴a n = 2n+1,令S n =1/a 1+2/a 2+…+n/a n ,由1/2s n =S n -1/2S n = 1/22 + 1/23 +…+1/2n+1－n/2n+2 , ∴S n = 1-1/2n-n/2n+2< 1 ; 24. 提示：(1).a n = 3n - 1, b n = 3×2n－1; (2). S n = (3n 2+n)/2, ∴2S n = 3n 2+n, T n = 3×2n+1－n －6, 分别计算n = 1, 2, 3时2S n 与T n , 猜想T n > 2S n ，用数学归纳法证明; 25. 提示：(1) a n = n+12, ∴b n =2000(a/10)n+1/2 ; (2) ∵函数y =2000(a 10)x (0 < a < 10)递减∴对每个自然数n 有b n >b n+1 > b n+2 以b n , b n+1, b n+2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n+2 + b n+1 > b n .即(a/10)2 + (a/10)－1 > 0 解得5(√5- 1)<a<10; (3) ∵5(√5- 1)<a<10 ∴a =7 b n = 2000(7/10)n+1/2 数列{b n }是一个递减的正数数列. 对每个自然数n > 2, B n = b n B n-1. 于是当b n > 1时, B n > B n-1，当b n < 1时, B n < B n-1，因此，数列{B n }的最大项的项数n 满足b n > 1且b n+1 < 1, 由b n = 2000(7/10)n+1/2 > 1得n < 20.8 ∴n = 20*. 在等差数列{a n }中，若a 3+a 9+a 15+a 17 = 4 ,则a 11 的值等于______________ . (1) *. 若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小的角是100︒，最大的角是140︒，这个多边形的边数为________________ . (6) *. 首项是125,第10项起开始比1大的等差数列的公差的范围是__________.(8/75<d ≤3/25)*. 数列1, (1+2), (1+2+22), …,(1+2+22+…+2n-1)的前n项和的表达式为___________.(2n+1-n-2)*. 设f (n) = 1 +12+13+…+1n,是否存在g (n)使等式f (1) + f (2) +…+ f (n－1) = g (n)·f (n)－g (n)对n ≥2的一切自然数都成立?并证明你的结论 .提示：若n=2时满足条件的g (n)存在，则1=g(2)(1+1/2)－g(2) , g(2) = 2 ;若n = 3时g(n)存在，则g(3) = 3 ,猜想g (n)存在且g (n) = n (n≥2) .用数学归纳法证明g(n)=n时等式成立 .。
数列、级数和数学归纳法专项测试卷及答案解析
数列、级数和数学归纳法专项测试卷及答案解析一、选择题（每题2分，共10题）1. 设数列${a_n}$的通项公式为$a_n = 3n - 1$，则$a_5$的值是多少？A. 12B. 11C. 13D. 9正确答案：B2. 已知数列${b_n}$的前两项为$b_1 = 2$，$b_2 = 5$，且$b_n = b_{n-1} + b_{n-2}$，则$b_3$的值是多少？A. 6B. 7C. 8D. 9正确答案：C3. 若$a_1 = 1$，$a_{n+1} - a_n = 2n - 1$，则$a_7$的值是多少？A. 15B. 16C. 17D. 18正确答案：B4. 若$n$为正整数，且$a_n = a_{n-1} + 2n$，则$a_5$的值是多少？A. 19B. 21C. 23D. 25正确答案：D5. 若$a_n = \frac{n-1}{n+1}$，则$a_3$的值是多少？A. $-\frac{1}{2}$B. $\frac{1}{2}$C. $-\frac{2}{3}$D. $\frac{2}{3}$正确答案：B二、填空题（每题3分，共5题）1. 求等差数列${c_n}$的第11项，已知$a_1 = 2$，$d = 3$。
答案：$c_{11} = a_1 + 10d = 2 + 10 \times 3 = 32$2. 求等比数列${d_n}$的第5项，已知$a_1 = 2$，$q = 4$。
答案：$d_5 = a_1 \times q^{5-1} = 2 \times 4^4 = 128$3. 若级数$\sum_{k=1}^n a_k$的前$n$项和$S_n = 3n^2 + 6n$，则$a_7$的值是多少？答案：$a_7 = S_7 - S_6 = (3 \cdot 7^2 + 6 \cdot 7) - (3 \cdot 6^2 + 6 \cdot 6) = 119$4. 若级数$\sum_{k=1}^\infty b_k$的部分和$S_n =\frac{2}{n(n+1)}$，则$b_1$的值是多少？答案：由$S_n = \frac{2}{n(n+1)}$可得$b_1 = S_1 =\frac{2}{1(1+1)} = 1$5. 若级数$\sum_{k=1}^\infty c_k$的前$n$项和$S_n = \frac{n^2 + n}{2}$，则$c_{10}$的值是多少？答案：$c_{10} = S_{10} - S_9 = (\frac{10^2 + 10}{2}) -(\frac{9^2 + 9}{2}) = 55$三、判断题（每题2分，共5题）1. 数列{$a_n$}的通项公式为$a_n = n^2$，则$a_{10} = 100$。
数列与数学归纳法的练习题
数列与数学归纳法的练习题1. 问题描述考虑以下数列的规律：a1 = 1a2 = 3a3 = 6a4 = 10a5 = 15...请使用数学归纳法回答以下问题：问题1：求第n项的表达式。
问题2：证明数列的通项公式。
问题3：求前n项的和的表达式。
问题4：证明数列的和的公式。
2. 解答问题1：求第n项的表达式。
观察数列，我们可以发现每一项的值都是前一项的值加上它的下标。
即an = an-1 + n-1问题2：证明数列的通项公式。
首先，我们需要证明递推关系对于所有大于等于5的正整数都成立。
假设关系对于某个正整数k成立，即ak = ak-1 + k-1我们来证明关系对于k+1也成立。
即a(k+1) = a(k+1)-1 + (k+1)-1= ak + k= ak-1 + (k-1) + k= ak-1 + k-1 + k所以，关系对于所有大于等于5的正整数都成立。
此外，由于a1 = 1, a2 = 3, a3 = 6, a4 = 10，我们可以使用数学归纳法证明关系对于1、2、3、4也成立。
这里略去证明过程。
因此，我们可以得出结论，数列的通项公式是an = an-1 + n-1问题3：求前n项的和的表达式。
我们可以通过将数列的每一项相加得到前n项的和。
即S(n) = a1 + a2 + a3 + ... + an将数列的通项公式代入上式，并对相同项进行合并，可以得到：S(n) = 1 + (1+2) + (1+2+3) + ... + (1+2+3+...+n-1) + (1+2+3+...+n)通过观察括号中的式子，我们可以发现，每一项的和可以用等差数列的前n项和来表示。
因此，上式可以进一步化简为：S(n) = 1*1 + 2*3 + 3*6 + ... + (n-1)*n问题4：证明数列的和的公式。
为了证明数列的和的公式，我们需要求解S(n) = 1*1 + 2*3 + 3*6 + ... + (n-1)*n。
数列专题复习及答案
数列、数列极限、数学归纳法综合复习一、填空题l、已知a n=n E N*)'则数列忆｝的最大项是旷+1562、在等差数列{a J中，若a4+a6十Gio+ a12 = 90'则知0-—a l4=3、酰廿等比数列包｝，若Gi= l a5 = 4, 则a3的值为4、数列{a J中，a3= 2, a5 = l, 则数列｛｝是等差数列，则a ll=a n +l5、在数列{a J和｛九｝中，b n是a n与a n+I的等差中项，a1=2且对任意nEN*都有3a n+I -a n = Q , 则数列｛九｝的通项公式为6、设等差数列{a n}的公差d不为O,a1 = 9d, a k是a,与a2k的等比中项，则k=7、等差数列{a J的前n项和为S n,若S4�10,S5sl5,则a4的最大值为8、正数数列{a J中，已知a1= 2, 且对任意的s,t EN*, 都有a s+a t= a s+t成立，则1 1+ + +a l a2 a2a3 a n a n+I s9、等差数列{a J的前n项和为S n,且a4-a2 = 8,a3 + a5 = 26 , 记兀＝号－，如果存在正整数M,使得对一切正整数n,T n sM都成立．则M的最小值是10、已知无穷等比数列{a n}中，各项的和为s,且lim[3(a1+a尸+a n)—S]=4,则实n今OO数a l的范围11、设正数数列{a J的前n项和为S n,且存在正数t'使得对千所有自然数n,有寂=n a +t 成立，若lim 瓦< t'则实数t的取值范围为2 n➔ 00a n12、数列{a,)的通项公式为a,={�::3(1:::; n:::; 2)，则lirn s = n之3,n EN*) nn➔oo13、已知数列[a,}的通项三式为a,�2•-1+I, 则a立+a立+a立+a,, 立＝12a n 0:::;;a n<—)14、数列{a }满足a= 2 6n+l � l '若a l=—，则a2001的值为2a n -I —:::;;a n< I)7215、在数列{a J中，如果对任意nEN*都有a n+2—a n+l= k (k为常数），则称{a J为等a n+l -a n差比数列，k称为公差比．现给出下列命题：(1)等差比数列的公差比一定不为0;(2)等差数列一定是等差比数列；(3)若a n=-3勹2,则数列{aJ是等差比数列；(4)若等比数列是等差比数列，则其公比等千公差比．其中正确的命题的序号为二、选择题16、等差数列{a n}的公差为d,前n项的和为S n,当首项a l和d变化时a2+as+a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是( )A. s7B. SsC. s l3D. s l517、在等差数列{aJ中，Cli> 0, 5a5 = 17 a10 , 则数列{aJ前n项和凡取最大值时，n的值为（）A.12B.llC.10D.918、设{a n}为等差数列，若生)_<—1,且它的前n项和S n有最小值，那么当凡取得最小正值时，n=a l O（）A 11 B.17 C.19 D. 2019、等差数列{a n}的前n项和为S n,且Ss< S6, S6 = S1 > Ss,则下列结论中错误的是（）A d<O C. S9 > SB. a7 = 0D. S6和S7均为S n的最大值20、已知数列{a J、｛九｝都是公差为1的等差数列，其首项分别为a l、b l'且a1+ b1 = 5, a1 ,b1 EN*. 设e n= a b,, (n E N勹，则数列{e n}的前10项和等千（）A. 55B. 70C.85D.10021、已知等差数列{a J的前n项和为S n,若OB=CliOA十生OO OC,且A,B,C三点共线（该直线不过原点0),则s200= c )A. 100B. 101C. 200D. 201A 7n+4522、已知两个等差数列{aJ和｛仇｝的前n项和分别为A n和B n,且_____!!.='则使B n+3a得二为整数的正整数n的个数是（b nA. 2三、解答题B. 3C. 4D. 523、设数列忆｝的前n项和为S n,已知a l=a'a n+I =凡+3n,n E N*.(1)设九＝凡_3n,求忱｝的通项公式；(2)若a＊n+I� 化，nEN,求a的取值范围．24、数列曰｝满足a 1=a , a 2 = -a (a > 0) , 且{a n }从第二项起是公差为6的等差数列，凡是{a n }的前n项和.(1)当n �2时，用a与n表示a n 与S n (2)若在s 6与趴两项中至少有一项是凡的最小值，试求a的取值范围；125、数列{aJ中，a l=—，点(n,2a n+l -aJ在直线y =x 上，其中nEN *2(1)设九=a n +l -a n -1, 求证数列｛九｝是等比数列；(2)求数列{a n }的通项；(3)设S n 、Tn 分别为数列{a小｛九｝的前n项和，是否存在实数入，使得数列｛凡:入T"}为等差数列？若存在，试求出入；若不存在，则说明理由。
数列与数学归纳法考核试卷
答案评分标准：正确完成基础步骤和归纳步骤各得5分。
2.（10分）已知等差数列的首项a1 = 4，公差d = 3，求前n项和Sn的表达式。
要求：给出详细的解题过程。
答案评分标准：正确列出前n项和的公式得5分，正确代入a1和d的值得5分。
3.（10分）已知等比数列的首项a1 = 2，公比q = 1/2，求第n项an的表达式。
1.数列{an}是等差数列，以下哪些条件可以确定数列的公差d？（）
A.已知a1和a10
B.已知a1和a100
C.已知a10和a100
D.已知a1和a2
2.数学归纳法可以用来证明以下哪些类型的命题？（）
A.关于自然数的恒等式
B.关于整数的恒等式
C.关于实数的恒等式
D.关于整数的不等式
3.以下哪些数列是递增的？（）
要求：给出解题过程和最终答案。
答案评分标准：正确列出通项公式得5分，正确代入a1和q的值得5分。
4.（10分）数列{bn}定义为bn = (n+1)^2 - n^2，求前n项和Sn的表达式。
要求：给出解题过程和最终答案，并说明这个数列是什么类型的数列。
答案评分标准：正确列出前n项和的公式得5分，正确说明数列类型得3分，给出正确的解答过程得2分。
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
20.数列{hn}满足hn = n(n+1)，那么h1 + h2 + h3 + ... + h5的值是（）
A. 110
B. 75
C. 55
D. 45
（以下为试卷其他部分的占位符）
二、填空题
...
三、解答题
数列、极限、数学归纳法选择20题
数列、极限、数学归纳法选择20题一、选择题1、下列命题中正确的是(A)若a，b，c是等差数列，则log2a，log2b，log2c是等比数列(B)若a，b，c是等比数列，则log2a，log2b，log2c是等差数列(C)若a，b，c是等差数列，则2a，2b，2c是等比数列(D)若a，b，c是等比数列，则2a，2b，2c是等差数列2、数列1，x，x2，…，x n-1，…的前n项之和是(A)(B)(C)(D)以上均不正确3、数列{a n}前n项的和S n=3n+b(b是常数)，若这个数列是等比数列，那么b为(A)3(B) 0(C)-1(D)14、利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a n＋1=，(a≠1，n∈N)”时，在验证n=1成立时，左边应该是(A)1(B)1＋a(C)1＋a＋a2(D)1＋a＋a2＋a35、无穷数列{a n}的极限为A，指的是：对任意的，总能在{a n}中找到一项a N，使(A)a N以后至少有一项满足(B) a N以后有有限项满足(C) a N以后有无限项满足(D) a N以后的所有项都满足6、若存在，则x 的取值范围是(A)0＜x＜1(B)0≤x≤1(C)0≤x＜1 (D)x≥1或x≤07、等比数列{a n}中，已知对任意自然数n，a1＋a2＋a3＋…＋a n=2n－1，则a12＋a22＋a32＋…+a n2等于(A)(B)(C)(D)8、已知自然数m，n，p，r满足m＋n=p＋r，则等比数列{a n}必定满足(A)(B)(C)a m＋a n=a p＋a r(D) a m－a n=a p－a r9、若数列{a n}的前n项之和S n=a n－1(n∈N)，则数列{a n}一定是（A）等比数列（B）等差数列（C）等差且等比（D）非等差又非等比10、已知x2+xsin2+cos=0的两个实根是、，且等比数列1,,()2， (100)和为0，则=（A）（B）（C）（D）11、一个等差数列首项为32,该数列从第15项开始小于1,则此数列的公差d的取值范围是（A）-≤d＜-（B）-＜d＜-（C）d＜（D）d≥－12、等差数列共3n项，前n项和为10，后n项和为30，前2n项和为（A）20（B）30（C）40（D）其他值13、等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为(A)130(B)170(C)210(D)26014、已知数列{a n}满足a1=2，a n＋1－a n＋1=0，(n∈N)，则此数列的通项a n等于(A)n2＋1 (B)n＋1 (C)1－n (D)3－n 翰林汇15、（5分）15、,,,中,极限为零的个数是(A)1 (B)2 (C)3 (D)4翰林汇16、（5分）16、如果(1-2x)n存在,则x的取值范围是(A)(0,1) (B)[0,1] (C)[0,1) (D)(0,1]17、数列的通项公式a n=中前n项和为,则项数n为(A)7(B)8 (C) 9(D)1018、lg,lgy成等比数列,且x>1,y>1,则xy的最小值为(A)100(B)10(C)10(D)519、用数字归纳法证明“当n为奇数时,x n+y n能被x+y整除”, 在验证n=1正确后,归纳假设应写成(A)假设n=k(k∈N)时命题成立,即x k+y k能被x+y整除(B)假设n≤k(k∈N)时命题成立,即x k+y k能被x+y整除(C)假设n=2k+1(k∈N)时命题成立,即x2k+1+y2k+1能被x+y整除(D) 假设n=2k-1(k∈N)时命题成立,即x2k-1+y2k-1能被x+y整除20、已知一个命题P(k),k=2n(n∈N),若n=1,2,…,1000时,P(k)成立,且当n=1000+1时它也成立,下列判断中,正确的是(A)P(k)对k=2004成立(B)P(k)对每一个自然数k成立(C)P(k)对每一个正偶数k成立(D)P(k)对某些偶数可能不成立数列、极限、数学归纳法测试选择20题〈答卷〉一、选择题1、C2、A3、C4、C5、D6、C7、D8、A9、D 10、B 11、A 12、B 13、C 14、D 15、C 16、C 17、C 18、B 19、D 20、D。
数学练习题数列与数学归纳法练习题
数学练习题数列与数学归纳法练习题数学练习题：数列与数学归纳法练习题一、选择题1. 若数列 { an } 满足 a1 = 3 ，且an = an−1 + 2 ( n ≥ 2 ) ，则数列{ an } 的前 6 项和为：A) 33 B) 36 C) 39 D) 422. 对于数列 { an } ，若 a1 = 2 ，且 an+1 = an + 3 ，则数列 { an } 的通项公式为：A) an = n + 1 B) an = 2n + 1 C) an = 2n + 2 D) an = n + 23. 数列 { an } 的通项公式为 an = 2n + 1 ，则数列 { an } 的前 n 项和为：A) n(n+1) B) n(n+1)/2 C) n(n-1)/2 D) n(n-1)4. 若数列 { an } 满足 a1 = 1 ，且 an = a(n-1) + 2n ，则数列 { an } 的前 3 项和为：A) 18 B) 21 C) 24 D) 27二、填空题1. 若数列 { an } 满足 a1 = 1 ，且an = 2an−1 ，则数列 { an } 的通项公式为 _______。
2. 若数列 { an } 满足 a1 = 1 ，且an = (n+1)an−1 ，则数列 { an } 的通项公式为 _______。
3. 对于数列 { an } ，若 a1 = 3 ，且 an+1 = (n+2)an ，则数列 { an } 的通项公式为 _______。
4. 数列 { an } 的通项公式为 an = 3n + 1 ，则数列 { an } 的前 5 项和为 _______。
三、解答题1. 给定数列 { an } 的递推关系式为an = an−1 + 3 ，其中 a1 = 1 ，求数列 { an } 的前 5 项和。
解答：根据递推关系式可得：a2 = a1 + 3 = 1 + 3 = 4a3 = a2 + 3 = 4 + 3 = 7a4 = a3 + 3 = 7 + 3 = 10a5 = a4 + 3 = 10 + 3 = 13因此，数列的前 5 项和为 1 + 4 + 7 + 10 + 13 = 35。
数列与数学归纳练习题
数列与数学归纳练习题一、数学归纳法概述数学归纳法是一种用于证明数学命题的方法，它基于以下两个基本步骤：证明命题对某个特定的数成立，然后利用数的递增性质证明对于大于等于该特定数的所有数，该命题也成立。
数学归纳法在数学推理和证明中起着重要的作用。
二、练习题一：等差数列考虑以下等差数列：1, 5, 9, 13, 17, ...1. 证明数列的通项公式为：a_n = 4n - 3，其中n为正整数。
解答：首先我们验证n=1的情况，根据数列给出的前几项可知a_1 = 1，计算4n - 3当n=1时也等于1，所以n=1时命题成立。
假设当n=k时命题成立，即a_k = 4k - 3。
那么当n=k+1时，根据等差数列的性质，有a_{k+1} = a_k + d，其中d为公差。
根据等差数列的性质可知d = 5 - 1 = 4，代入假设结果，有a_{k+1} = 4k - 3 + 4。
化简得a_{k+1} = 4(k+1) - 3，即命题对n=k+1也成立。
综上所述，根据数学归纳法，可得到数列的通项公式为a_n = 4n - 3，其中n为正整数。
2. 判断第100项的值是多少。
解答：根据数列的通项公式可知，第n项的值为a_n = 4n - 3。
将n=100代入公式中，得到a_{100} = 4 * 100 - 3 = 397。
所以该数列的第100项的值为397。
三、练习题二：等比数列考虑以下等比数列：3, 9, 27, 81, ...1. 证明数列的通项公式为：a_n = 3^n，其中n为正整数。
解答：首先我们验证n=1的情况，根据数列给出的前几项可知a_1 = 3，计算3^n当n=1时也等于3，所以n=1时命题成立。
假设当n=k时命题成立，即a_k = 3^k。
那么当n=k+1时，根据等比数列的性质，有a_{k+1} = a_k * q，其中q为公比。
根据等比数列的性质可知q = 9/3 = 3，代入假设结果，有a_{k+1} = 3^k * 3。
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数列 数学归纳法测试题
班级 姓名 得分 .
一、选择题：
1、等差数列{n a }中，a 3＋a 7－a 10=8，a 11－a 4=4，则S 13=…………………………………………( )
(A )168 (B ) 156 (C )78 (D ) 152
2、数列{n a }、{n b }都是等差数列，a 1=25，b 1=75，a 100＋b 100=100，则{n a ＋n b }的前100项和为( )
(A )0 (B )100 (C )10000 (D )102400
3、等差数列5，244,3,77 ，第n 项到第n ＋6项的和为T ，则|T|最小时，n=…………………( )
(A )6 (B )5 (C ）4 （D ）3
4、等差数列{n a }满足123101a a a a ++++ =0，则有……………………………………………( )
(A )11010a a +> （B ）21000a a +< （C ）3990a a += （D ）5151a =
5、一个首项为正数的等差数列中，S 3=S 11，则当S n 最大知，n=……………………………………（ ）
(A )5 (B ) 6 (C )7 (D ) 8
6、{n a }为等比数列，{n b }是等差数列，b 1=0，n c =n a ＋n b ，如果数列{n c }是1，1，2，…，则{n c }的前10项和为……………………………………………………………………………………（ ）
(A ) 978 (B ) 557 (C ) 467 (D )以上都不对
7、若相异三数(),(),()a b c b c a c a b ---组成公比为q 的等比数列，则…………………………（ ）
(A )210q q ++= (B ) 210q q -+= (C ) 210q q +-= (D ) 210q q --=
8、{n a }的前n 项和为S n =232n n -，当n ≥2时，有…………………………………………………（ ）
(A )n S >n na >1na (B ) n S <n na <1na (C ) 1na <n S <n na (D ) n na <n S <1na
9、{n a }是等差数列，则下列各不等式中正确的是…………………………………………………（ ）
(A )36a a <45a a (B ) 36a a ≤45a a (C ) 36a a >45a a (D ) 36a a ≥45a a
10、一个等比数列前n 项和为21n -，则它的前n 项的各项平方和为……………………………（ ）
(A )2(21)n - (B ) 122(21)n - (C )41n - (D )1(41)3
n - 11、据市场调查，预测某种商品从2004年初开始的几个月内累计需求量n S （万件）近似满足n S =2(215)90
n n n --，则本年度内需求量超过1.5万件的月份是……………………………（ ）
(A )5、6 (B ) 6、7 (C ) 7、8 (D ) 8、9
12、实数12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则2
1212
()a a b b +的取值范围是…………（ ） (A )[4，＋∞） (B ) （－∞，－4]∪[4，＋∞）
(C ) （－∞，0]∪[4，＋∞） (D )不能确定
二、填空题：
13、各项都是正数的等比数列{n a }中，56a a =9，则3132310l o g l o g l o g a a a +++ = 。
14、{n a }是首项为1的正数数列，2211(1)n n n n n a na a a +++-+=0，则通项公式n a = 。
15、数列{n a }的前n 项和n S =12n +n b ，其中{n b }是公差为2的等差数列，b 1≠0，则l i m n n n
b a →∞= 。
16、1999年上海市完成GDP 计4035亿元，2000年预期增长9%，市委提出本市人口自然增长率将控制在0.08%，若GDP 和人口均按照这样的速度增长，则要使人均GDP 达到或者超过1999年的2倍，至少需要 年.（1999年人口1300万，lg2=0.3010,lg1.089=0.0371）
三、解答题：
17、在等比数列{n a }的前n 项中，a 1最小，并且12166,128n n a a a a -+==，前n 项和为126。
⑴求a 1；
⑵求公比q ；
18、{n a }是正数数列，前n 项和为n S ，并且满足关系n S =
1(1)(3)4n n a a -+。
⑴求此数列的通项公式（写出推证过程）； ⑵若12111n n
T S S S =
+++ ，求lim n n T →∞。
19、在1和2之间插入n 个正数12,,,n a a a ，使这n ＋2个数成等比数列；再在1与2之间插入n 个正数12,,,n b b b ，使这n ＋2个数成等差数列，若A n =12n a a a ⋅⋅⋅ ，B n =12n b b b +++ ⑴求数列{A n }、{B n }的通项公式；
⑵n ≥7，比较A n 与B n 的大小并且证明你的结论！
20、某市去年11月份曾经发生流感，根据资料统计：11月1日，该市新流感病毒感染者有20人，此后新感染者比前一天的新感染者增加50人。
由于采取措施，使该病毒的传播得到控制，从某天起，每天新感染者比前一天的新感染者减少30人。
到11月30日止，该市在这30天中感染该病毒的患者共8670人。
问：11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数。