第七章-刚体力学II
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F1
大小:
M 力偶 Fr12 sin Fd
m1
力偶矩的大小与参考点的选择无关. 方向:与二力旋转方向呈右手螺旋关系
O
d r1 m2 F2 r2
r12
一般作用于刚体的力等效于一作用线通过质心的力和一力偶，这 力的方向和大小与原力相同，而力偶矩等于原力对质心轴的力矩.
由质点系动能定理 1 1 2 1 1 1 2 2 m2 gh m2v I m2v ( m1 R 2 ) 2 2 2 2 2 2 约束关系
v R
联立得到相同结果
[P234 例题2] 均质杆的质量为m，长为l, 一端为光滑的支
点.最初处于水平位置，释放后杆向下摆动，如图所示. （1）求杆在图示的竖直位置时，其下端点的线速度v； （2）求杆在图示的竖直位置时，杆对支点的作用力.
/ r , r是轮半径.
表7.2 是常见汽车轮在几种典型路面上的´ 值
如何理解滚动摩擦 << 滑动摩擦 ？
M滚 FN F C
W
F' A
Ff
C
设滚子匀速滚动，则阻力和阻力矩分别为 Ff r M 滚 0 M 滚 FN Ff F FN W 联立得
M iz 0
M iz 0
M iz 0
二、 杆的受力特点
在下面三个条件下，可认为杆仅受两力而平衡. 1. 杆件两瑞与其它物体的联结是光滑铰链联结.对 光滑铰链联结,只有通过节点（铰销中心）的压力. 2. 负荷对杆的作用力过节点. 3. 杆的自重与负荷相比可忽略不计.
[P245 例题1] 如图表示小型火箭发射架.火箭重量为 W=1.5 kN，重心在C处.导轨重量为 W´ =4 kN，重心为 C´ 处.支杆AB重量可以不计. A、B 和 E 处均系光滑铰链 连接. BE=2.0m , BAE=30° ,支架其它部分尺寸和夹角 如图所示；重心C和C´ 与节点 B 在一条直线上且此直线 与导轨垂直.求导轨在 E 处和支杆在 B 处所受的力. y
O
[解] (1)由机械能守恒得
FN
1 2 mghc I 2
1 hc l 2
联立得
et
Ep=0
en
C
v l 3gl
FN W mac
2 vc FNn mg m rc
1 2 I ml 3
W
(2)根据质心运动定理 分量式
FNt mact
Eki
1 m i v i2 2
1 Ek I z 2 2
2.刚体定轴转动的动能定理
质点系的动能定理： 刚体：
A A E E A 0
外 内 K
K0
内
A
外i
M 外iz d ＝
0
Δ
Δ
0
M
外iz
d
M z I z－刚体定轴转动的转动定律
3.刚体的二维平动 二维平动： 刚体做平面运动又只作平动
Fi mac
M
外i '
0
刚体并未转动，但存在力矩平衡问题
[P239 例题2]质量为m的汽车在水平路面上急刹车，前后 轮均停止转动. 前后轮相距L，与地面的摩擦因数为 .汽 车质心离地面高度为h，与前轮轴水平距离为l .求前后车 轮对地面的压力.
F Ff
r
FN
r
W W
若滚子匀速平动
F FN W
表7.2与表3.2相比，有
F F
§7.6 刚体的平衡
一、 刚体的平衡方程
刚体平衡的充要条件 无平动 Fi 0 无转动
Mi 0
（对任一定点）
共面力系—— 所有力的作用线位于同一平面内. 对共面力系, 在直角坐标系O-xyz中平衡条件化为
FN
杆处于铅直位置时不受力矩作用，由转动 定理可知，角加速度为零，所以
et
Ep=0
en
C
act＝rc 0
FNt 0
W
1 v 1 rc l , vc 3 gl 又 2 2 2 3 5 FN FNn mg mg mg 方向向上 . 2 2
§7.5 刚体平面运动的动力学
平面的轴. 在质心系中
M 外i ' M 惯
又 M惯 = 0
dL'z d( I zz ) I z z dt dt
dLz ' dt
M
外i '
I z z
即刚体相对于质心轴的转动同样服从定轴转动定律.
3、 刚体平面运动的基本动力学方程 刚体平面运动 = 质心平动+绕质心轴的定轴转动
1 1 1 2 mgh mv c ( mR 2 ) 2 2 2 2
x´ FN
W
x
y´ y
C
O
F
1 1 2 mv c mR 2 2 2 4
无滑滚动条件
v c R
2 vc 3 gh 3
*四、 滚动摩擦力偶矩
滚动摩擦发生的原因： 是物体与接触面处的非弹性形变引起. 设滚轮在接触区无形变，地面有非弹性形变.
力 学
主讲老师：李志攀 zpli.phy@gmail.com Mailbox: 109#
Southwest University
第七章 刚体力学（二）
1
刚体定轴转动的动能定理
2
刚体平面运动的动力学
3
刚体的平衡
§7.4 刚体定轴转动的动能定理
一、力矩的功
刚体中P点在力F 的作用下位移 dr 则力元功
Iz
0
d d I z dt
d
0
1 1 2 A外 I z I z0 2 －刚体定轴转动的动能定理 2 2
三、 刚体的重力势能
刚体的重力势能
y
mi yi
O
Ep mi gyi (mi yi ) g
mg ( mi yi ) m
Ep mgy c
y
FN1
y´ l C
FN2
x´
F2
O 由上面方程可解出
F1
x
W
FN1 mg( L l h) / L FN 2 mg( l h) / L
根据牛顿第三定律，前后轮对地面的压力大小分别为 FN1、FN2 ，但方向向下.
三、 刚体平面运动的动能
由克尼希定理可知，刚体平面运动动能
dA d Mz M z z 力矩的功率：P dt dt
二、 刚体定轴转动的动能定理
1. 定轴转动刚体的动能
当刚体绕定轴转动时,其动能为所有质点作圆
周运动动能的总和.
任意质元的动能为： 刚体的动能
1 1 1 2 Ek Eki m i v i mi ri z 2 2 ( mi ri z 2 ) 2 2 2 2
[解] 汽车受力如图.
y
FN1
y´ l C
FN2
x´
F2
O 根据质心运动定理 y 轴投影 对质心轴的转动定理
F1
x
W FN1 FN2 F1 F2 mac
FN1 FN2 W 0
W
F1 FN1
F2 FN2
( F1 F2 )h FN 2 ( L l ) FN1l 0
刚体的重力势能与质量集中在重心上的一个质点的重力
势能相同.
[P233例题1]装置如图所示，均质圆柱体质量为m1，半
径为R，重锤质量为m2 ，最初静止，后将重锤释放下落 并带动柱体旋转，求重锤下落 h 高度时的速率v，不计
阻力，不计绳的质量及伸长.
[解] 方法1. 利用质点和刚体转
动的动能定理求解.
由质点动能定理
R m1
1 m2 gh FT h m2v 2 2
由刚体动能定理
m2
h
1 2 1 FT R I m1 R 2 2 2 4
约束关系：
R h
v2
v R
m 2 gh m1 2 m 2
R m1 h
联立得
m2
方法2. 利用质点系动能定理求解
将转动柱体、下落物体视作质点系
1 1 2 Ek mv c I c 2 2 2
刚体的动能定理
A
外
ΔEk
如果刚体不太大，且在运动中只有保守力作功， 则刚体的机械能也守恒.
1 1 2 E机 械 mghc mv c I c 2 2 2
[P240 例题3] 在例题1中，设圆柱体自静止开始无滑滚 下，求质心下落高度 h 时，圆柱体质心的速率. [解] 因为是无滑滚动，静摩擦力F 不做 功，只有重力W做功，机械能守恒.
W ( EB cos 30 C B sin 30 ) 0
解以上三方程得
FN 8.75 kN
质心的平动： Fi mac
绕质心轴的定轴转动：
F
ix
ma cx
F
外i '
iy
ma cy
M
I z z
两式合称为刚体的平面运动的基本动力学方程.
[P238 例题1]如图，固定斜面倾角为 ，质量为 m 半径
为 R 的均质圆柱体顺斜面向下作无滑滚动，求圆柱体
质心的加速度ac 及斜面作用于柱体的摩擦力F . [解] 根据质心运动定理
FN W F mac
y 轴上投影
x´ FN
y´ y
x
C
W sin F ma c
对质心轴的转动定理 无滑滚动 ac R 2 ac g sin 3
百度文库
W
O F
1 FR I mR 2 2
1 F mg sin 3
二、 作用于刚体上的力
Fix 0
F
iy
0
M iz 0
其中，Z轴是垂直于Oxy面的任意轴.
刚体平衡方程的其它形式
刚体平衡时，诸力对任意轴的力矩和为零. (1) 在力的作用平面内选O和O´ 两个参考点，OO´ 连线不 与Ox轴正交
Fix 0
M iz 0
M iz 0
(2) 在力的作用平面内选O、O´ 和O´´ 三个参考点， O、O´ 和O´´ 三点不共线
FN O
W
FN O FN W
FP
M滚 F
N
W FP
O
如图 FN 对质心产生反向力矩 ——滚动摩擦力矩M滚
M 滚 FN
—滚动摩擦因数，由实验测定.
FN O FN W
FP
M滚 F
N
W FP
O
M滚 使物体角速度减小，则接触面各点有向前滑动趋势， 从而产生反向摩擦力（滚动摩擦）使物体减速. 滚动阻力因数´：
C C´
B E
30°
x
A
[解] 受力分析如图. 建立
Fy j
y
F
C C´ B
直角坐标系 Exyz，得
Fx FN sin 30 0
Fy FN cos 30 W W 0
30° E Fi x W W A
x
FN
选择过E点的 z 轴为定轴
M z EA FN sin 30 W ( EB cos 30 CB sin 30 )
z
Fz
dA F dr Ft dr Ft ds Ft rd Ft r M Z dA F dr M Z d
对有限角位移 A
d
Δ
Or
dr
F
Ft
0
M z d
P
Fn
刚体定轴转动时外力所做的功，等于该力对转轴的力矩对角 坐标的积分
1.作用于刚体上力的两种效果 · 滑移矢量 (1) 施于刚体的力的特点 （力的三要素） 施于刚体的某个点的力,决不可以随便移到另一点去??
C
A
F F
力的作用线通过质心，对质心轴 上的力矩为零，使刚体产生平动. 力对质心轴的力矩使刚体产生角 加速度.
B C
(2) 施于刚体的力是滑移矢量
C B
一、 刚体平面运动的基本动力学方程
平面运动 = 基点平动+绕基点轴的定轴转动 1. 质心的平动 刚体作平面运动，合外力必是平面力 根据质心运动定律：
Fi mac
平面直角坐标系中的分量式
F
ix
ma cx
F
iy
ma cy
2. 刚体绕质心轴的定轴转动
选质心坐标系 C-x’y’z’ ,设z’为过质心而垂直于固定
F ''
A
F'
如图, 施于A点的力F´ 可用施于B点的力F´´ 代替,即 作用于刚体的力可沿作用线滑移而不改变其效果. 作用于刚体的力的三要素： 大小、方向和作用线.
2.力偶和力偶矩
力偶:大小相等方向相反彼此平行的一对力. F1 F2
M力 偶 r1 F1 r2 F2 ( r1 r2 ) F1 r12 F1
大小:
M 力偶 Fr12 sin Fd
m1
力偶矩的大小与参考点的选择无关. 方向:与二力旋转方向呈右手螺旋关系
O
d r1 m2 F2 r2
r12
一般作用于刚体的力等效于一作用线通过质心的力和一力偶，这 力的方向和大小与原力相同，而力偶矩等于原力对质心轴的力矩.
由质点系动能定理 1 1 2 1 1 1 2 2 m2 gh m2v I m2v ( m1 R 2 ) 2 2 2 2 2 2 约束关系
v R
联立得到相同结果
[P234 例题2] 均质杆的质量为m，长为l, 一端为光滑的支
点.最初处于水平位置，释放后杆向下摆动，如图所示. （1）求杆在图示的竖直位置时，其下端点的线速度v； （2）求杆在图示的竖直位置时，杆对支点的作用力.
/ r , r是轮半径.
表7.2 是常见汽车轮在几种典型路面上的´ 值
如何理解滚动摩擦 << 滑动摩擦 ？
M滚 FN F C
W
F' A
Ff
C
设滚子匀速滚动，则阻力和阻力矩分别为 Ff r M 滚 0 M 滚 FN Ff F FN W 联立得
M iz 0
M iz 0
M iz 0
二、 杆的受力特点
在下面三个条件下，可认为杆仅受两力而平衡. 1. 杆件两瑞与其它物体的联结是光滑铰链联结.对 光滑铰链联结,只有通过节点（铰销中心）的压力. 2. 负荷对杆的作用力过节点. 3. 杆的自重与负荷相比可忽略不计.
[P245 例题1] 如图表示小型火箭发射架.火箭重量为 W=1.5 kN，重心在C处.导轨重量为 W´ =4 kN，重心为 C´ 处.支杆AB重量可以不计. A、B 和 E 处均系光滑铰链 连接. BE=2.0m , BAE=30° ,支架其它部分尺寸和夹角 如图所示；重心C和C´ 与节点 B 在一条直线上且此直线 与导轨垂直.求导轨在 E 处和支杆在 B 处所受的力. y
O
[解] (1)由机械能守恒得
FN
1 2 mghc I 2
1 hc l 2
联立得
et
Ep=0
en
C
v l 3gl
FN W mac
2 vc FNn mg m rc
1 2 I ml 3
W
(2)根据质心运动定理 分量式
FNt mact
Eki
1 m i v i2 2
1 Ek I z 2 2
2.刚体定轴转动的动能定理
质点系的动能定理： 刚体：
A A E E A 0
外 内 K
K0
内
A
外i
M 外iz d ＝
0
Δ
Δ
0
M
外iz
d
M z I z－刚体定轴转动的转动定律
3.刚体的二维平动 二维平动： 刚体做平面运动又只作平动
Fi mac
M
外i '
0
刚体并未转动，但存在力矩平衡问题
[P239 例题2]质量为m的汽车在水平路面上急刹车，前后 轮均停止转动. 前后轮相距L，与地面的摩擦因数为 .汽 车质心离地面高度为h，与前轮轴水平距离为l .求前后车 轮对地面的压力.
F Ff
r
FN
r
W W
若滚子匀速平动
F FN W
表7.2与表3.2相比，有
F F
§7.6 刚体的平衡
一、 刚体的平衡方程
刚体平衡的充要条件 无平动 Fi 0 无转动
Mi 0
（对任一定点）
共面力系—— 所有力的作用线位于同一平面内. 对共面力系, 在直角坐标系O-xyz中平衡条件化为
FN
杆处于铅直位置时不受力矩作用，由转动 定理可知，角加速度为零，所以
et
Ep=0
en
C
act＝rc 0
FNt 0
W
1 v 1 rc l , vc 3 gl 又 2 2 2 3 5 FN FNn mg mg mg 方向向上 . 2 2
§7.5 刚体平面运动的动力学
平面的轴. 在质心系中
M 外i ' M 惯
又 M惯 = 0
dL'z d( I zz ) I z z dt dt
dLz ' dt
M
外i '
I z z
即刚体相对于质心轴的转动同样服从定轴转动定律.
3、 刚体平面运动的基本动力学方程 刚体平面运动 = 质心平动+绕质心轴的定轴转动
1 1 1 2 mgh mv c ( mR 2 ) 2 2 2 2
x´ FN
W
x
y´ y
C
O
F
1 1 2 mv c mR 2 2 2 4
无滑滚动条件
v c R
2 vc 3 gh 3
*四、 滚动摩擦力偶矩
滚动摩擦发生的原因： 是物体与接触面处的非弹性形变引起. 设滚轮在接触区无形变，地面有非弹性形变.
力 学
主讲老师：李志攀 zpli.phy@gmail.com Mailbox: 109#
Southwest University
第七章 刚体力学（二）
1
刚体定轴转动的动能定理
2
刚体平面运动的动力学
3
刚体的平衡
§7.4 刚体定轴转动的动能定理
一、力矩的功
刚体中P点在力F 的作用下位移 dr 则力元功
Iz
0
d d I z dt
d
0
1 1 2 A外 I z I z0 2 －刚体定轴转动的动能定理 2 2
三、 刚体的重力势能
刚体的重力势能
y
mi yi
O
Ep mi gyi (mi yi ) g
mg ( mi yi ) m
Ep mgy c
y
FN1
y´ l C
FN2
x´
F2
O 由上面方程可解出
F1
x
W
FN1 mg( L l h) / L FN 2 mg( l h) / L
根据牛顿第三定律，前后轮对地面的压力大小分别为 FN1、FN2 ，但方向向下.
三、 刚体平面运动的动能
由克尼希定理可知，刚体平面运动动能
dA d Mz M z z 力矩的功率：P dt dt
二、 刚体定轴转动的动能定理
1. 定轴转动刚体的动能
当刚体绕定轴转动时,其动能为所有质点作圆
周运动动能的总和.
任意质元的动能为： 刚体的动能
1 1 1 2 Ek Eki m i v i mi ri z 2 2 ( mi ri z 2 ) 2 2 2 2
[解] 汽车受力如图.
y
FN1
y´ l C
FN2
x´
F2
O 根据质心运动定理 y 轴投影 对质心轴的转动定理
F1
x
W FN1 FN2 F1 F2 mac
FN1 FN2 W 0
W
F1 FN1
F2 FN2
( F1 F2 )h FN 2 ( L l ) FN1l 0
刚体的重力势能与质量集中在重心上的一个质点的重力
势能相同.
[P233例题1]装置如图所示，均质圆柱体质量为m1，半
径为R，重锤质量为m2 ，最初静止，后将重锤释放下落 并带动柱体旋转，求重锤下落 h 高度时的速率v，不计
阻力，不计绳的质量及伸长.
[解] 方法1. 利用质点和刚体转
动的动能定理求解.
由质点动能定理
R m1
1 m2 gh FT h m2v 2 2
由刚体动能定理
m2
h
1 2 1 FT R I m1 R 2 2 2 4
约束关系：
R h
v2
v R
m 2 gh m1 2 m 2
R m1 h
联立得
m2
方法2. 利用质点系动能定理求解
将转动柱体、下落物体视作质点系
1 1 2 Ek mv c I c 2 2 2
刚体的动能定理
A
外
ΔEk
如果刚体不太大，且在运动中只有保守力作功， 则刚体的机械能也守恒.
1 1 2 E机 械 mghc mv c I c 2 2 2
[P240 例题3] 在例题1中，设圆柱体自静止开始无滑滚 下，求质心下落高度 h 时，圆柱体质心的速率. [解] 因为是无滑滚动，静摩擦力F 不做 功，只有重力W做功，机械能守恒.
W ( EB cos 30 C B sin 30 ) 0
解以上三方程得
FN 8.75 kN
质心的平动： Fi mac
绕质心轴的定轴转动：
F
ix
ma cx
F
外i '
iy
ma cy
M
I z z
两式合称为刚体的平面运动的基本动力学方程.
[P238 例题1]如图，固定斜面倾角为 ，质量为 m 半径
为 R 的均质圆柱体顺斜面向下作无滑滚动，求圆柱体
质心的加速度ac 及斜面作用于柱体的摩擦力F . [解] 根据质心运动定理
FN W F mac
y 轴上投影
x´ FN
y´ y
x
C
W sin F ma c
对质心轴的转动定理 无滑滚动 ac R 2 ac g sin 3
百度文库
W
O F
1 FR I mR 2 2
1 F mg sin 3
二、 作用于刚体上的力
Fix 0
F
iy
0
M iz 0
其中，Z轴是垂直于Oxy面的任意轴.
刚体平衡方程的其它形式
刚体平衡时，诸力对任意轴的力矩和为零. (1) 在力的作用平面内选O和O´ 两个参考点，OO´ 连线不 与Ox轴正交
Fix 0
M iz 0
M iz 0
(2) 在力的作用平面内选O、O´ 和O´´ 三个参考点， O、O´ 和O´´ 三点不共线
FN O
W
FN O FN W
FP
M滚 F
N
W FP
O
如图 FN 对质心产生反向力矩 ——滚动摩擦力矩M滚
M 滚 FN
—滚动摩擦因数，由实验测定.
FN O FN W
FP
M滚 F
N
W FP
O
M滚 使物体角速度减小，则接触面各点有向前滑动趋势， 从而产生反向摩擦力（滚动摩擦）使物体减速. 滚动阻力因数´：
C C´
B E
30°
x
A
[解] 受力分析如图. 建立
Fy j
y
F
C C´ B
直角坐标系 Exyz，得
Fx FN sin 30 0
Fy FN cos 30 W W 0
30° E Fi x W W A
x
FN
选择过E点的 z 轴为定轴
M z EA FN sin 30 W ( EB cos 30 CB sin 30 )
z
Fz
dA F dr Ft dr Ft ds Ft rd Ft r M Z dA F dr M Z d
对有限角位移 A
d
Δ
Or
dr
F
Ft
0
M z d
P
Fn
刚体定轴转动时外力所做的功，等于该力对转轴的力矩对角 坐标的积分
1.作用于刚体上力的两种效果 · 滑移矢量 (1) 施于刚体的力的特点 （力的三要素） 施于刚体的某个点的力,决不可以随便移到另一点去??
C
A
F F
力的作用线通过质心，对质心轴 上的力矩为零，使刚体产生平动. 力对质心轴的力矩使刚体产生角 加速度.
B C
(2) 施于刚体的力是滑移矢量
C B
一、 刚体平面运动的基本动力学方程
平面运动 = 基点平动+绕基点轴的定轴转动 1. 质心的平动 刚体作平面运动，合外力必是平面力 根据质心运动定律：
Fi mac
平面直角坐标系中的分量式
F
ix
ma cx
F
iy
ma cy
2. 刚体绕质心轴的定轴转动
选质心坐标系 C-x’y’z’ ,设z’为过质心而垂直于固定
F ''
A
F'
如图, 施于A点的力F´ 可用施于B点的力F´´ 代替,即 作用于刚体的力可沿作用线滑移而不改变其效果. 作用于刚体的力的三要素： 大小、方向和作用线.
2.力偶和力偶矩
力偶:大小相等方向相反彼此平行的一对力. F1 F2
M力 偶 r1 F1 r2 F2 ( r1 r2 ) F1 r12 F1