第七章-刚体力学II
刚体力学2
一.力矩 M = Fd = Fr sin
r ⊙M
r r r 力矩矢量式： 力矩矢量式： M = r × F
r o r d
r F
按右手螺旋法则 右手螺旋法则如图力矩的方向为⊙ 右手螺旋法则 要按右旋规则定义坐标轴： 要按右旋规则定义坐标轴：
Y j
( )
X (i
v
r r r r r r r r r vZ i × j = k j × k = i k × i = j (k ) r r r 相同单位 r r 反序： j × i = k i ×i = 0 矢量叉乘：
转动惯量的计算: 三.转动惯量的计算 转动惯量: 转动惯量 转动惯性大小的量度 转动惯量与下列因素有关： 转动惯量与下列因素有关： ①质量大小 ; 转轴位置； ②转轴位置； 相对轴的质量分布. ③相对轴的质量分布. ---- 称为转动惯量三要素 说一个刚体的转动惯量时，只有指出该刚体 相对某一转轴的转动惯量才有明确的意义。
v
)
1
二.转动定律 转动惯量 (转动定律由牛顿定律而来) r r 质量元mi , 外力 Fi , 内力 f i
r fi O
r ri mi
O′
2
θi i
r Fi
r r r Fi + f i = mi ai
法向 Fi cos i + f i cos θ i = mi ain = miω ri 切向 Fi sin i + f i sin θ i = mi ait = mi β ri 法向力通过转轴, 力矩为零, 故不予考虑;
λ dx =
I = ∫ x 2 λdx =
d L / 2
d +L / 2
第七章 刚体动力学(讲义)
MO = ∑ MO ( Fi ) = ∑ (ri × Fi )
i =1 i =1
n
n
注意，主矩的的计算与参考点的选取有关。例如，将参考点由 O 改成 O′ ，于是
MO = ∑ ri × Fi = ∑
i =1 i =1
n
n
(ri′ + OO′) × Fi = ∑ (ri′ × Fi ) + OO′ × ∑ Fi
R = ∑ Fi
i =1
n
这是个自由矢量，它只给出矢量的大小和方向，不过问作用点的位置。 对力系的矩也可作类似的讨论。对于共点力系，合力的矩等于各个力对同一点的矩的矢量 和，即
MO ( F) = r × F = r × ∑ Fi = ∑ (r × Fi )
i =1 i =1
n
n
一般的力系中不一定存在合力，因此也就谈不上求合力的矩。但是每个力相对于同一参考 点的力矩是矢量，我们可以求这些矢量的和，并称为主矩，记为 MO ，即有
（II）刚体绕质心的转动：
dLc = ∑ ric × Fi （对质心的角动量定理） dt i
第一个式子求质心运动等同于质点动力学，可以解出刚体的平动运动部分（三个方程解三个运 动变量） 。第二个式子又可求出刚体的转动角速度 ω （ L 与 ω 有一定的关系） ，于是刚体的运动 就完全确定了。由角动量定理求刚体的转动角速度是重点讨论的内容。 7．2 作用在刚体上的力和力矩 通常矢量指的是所谓自由矢量（free vector） ：只有大小和方向，它可以平行自由移动。 作为物理量的矢量则不然，例如，力矢量 F ，为了完全确定这个力，还要说明力的作用点， 若用 r 表示作用点的话，则要有两个矢量 F 和 r ，这个力才完全被确定下来。这种矢量被称为定 位矢量（bound vector） 。除了力矢量是定位矢量外，质点的速度和加速度等也是定位矢量的例 子。 还有一种矢量，称为滑动矢量（sliding vector） ，它可在包含该矢量的一直线上自由移动。 例如，作用在刚体上的力（见下面的讨论） 。
普通物理学教程力学课后答案高等教育出版社刚体力学习题解答
第七章刚体力学习题解答7.1.2 汽车发动机的转速在12s 内由1200rev/min 增加到3000rev/min.⑴假设转动是匀加速转动，求角加速度。
⑵在此时间内，发动机转了多少转？解：⑴21260/2)12003000(/7.15s rad t===-∆∆πωβ⑵rad 27.152)60/2)(12003000(21039.26222202⨯===∆⨯--πβωωθ对应的转数=42010214.3239.262≈⨯=⨯∆πθ7.1.3 某发动机飞轮在时间间隔t 内的角位移为):,:(43s t rad ct bt at θθ-+=。
求t 时刻的角速度和角加速度。
解：23212643ct bt ct bt a dtd dtd -==-+==ωθβω7.1.4 半径为0.1m 的圆盘在铅直平面内转动，在圆盘平面内建立o-xy 坐标系，原点在轴上，x 和y 轴沿水平和铅直向上的方向。
边缘上一点A 当t=0时恰好在x 轴上，该点的角坐标满足θ=1.2t+t 2 (θ:rad,t:s)。
⑴t=0时，⑵自t=0开始转45º时，⑶转过90º时，A 点的速度和加速度在x 和y 轴上的投影。
解：0.222.1==+==dtd dtd t ωθβω⑴t=0时，s m R v v y x /12.01.02.10,2.1=⨯====ωω2222/2.01.00.2/144.01.0/12.0/sm R a a s m R v a a y y n x =⨯===-=-=-=-=βτ⑵θ=π/4时,由θ=1.2t+t 2,求得t=0.47s,∴ω=1.2+2t=2.14rad/ssm R v s m R v y x /15.02/21.014.245sin /15.02/21.014.245cos =⨯⨯=︒=-=⨯⨯-=︒-=ωω222222222222/182.0)14.20.2(1.0)(45sin 45sin 45sin /465.0)14.20.2(1.0)(45cos 45cos 45cos s m R R R a s m R R R a y x -=-⨯=-︒=︒-︒=-=+⨯-=+︒-=︒-︒-=ωβωβωβωβ⑶θ=π/2时,由θ=1.2t+t 2,求得t=0.7895s,ω=1.2+2t=2.78rad/s2222/77.01.078.2/2.01.00.20/278.01.078.2s m R a s m R a v s m R v y x y x -=⨯-=-=-=⨯-=-==-=⨯-=-=ωβω7.1.5 钢制炉门由两个各长1.5m 的平行臂AB 和CD 支承，以角速率ω=10rad/s 逆时针转动，求臂与铅直成45º时门中心G 的速度和加速度。
第七章 刚体力学
i
rc
mi ri
i
即：重心和质心重合。
M
注意：
① 该结论成立的条件是：刚体不是特别
大，各处的重力加速度相同。 ②重心仅在重力场中存在，若物体失重， 则无重心；但质心仍存在，故质心比重心更常 用到。
§7.2 刚体的平衡
刚体所受合外力为零，对任意参考点的力矩为零，则刚 体平衡。其充分必要条件可以表示为： Fi 0
解：
Q T1 T2
m1 g T1 m1a T m g m a 2 2 1 2 T1 R T2 R J a R , J MR 2 / 2
( m1 m 2 ) g a m1 m 2 M / 2
R
M
R
T1 '
Mg T ' 2
2
连续体的转动惯量： J
dm dl ：质量线密度 dm dS ：质量面密度 dm dV ：质量体密度
3.决定刚体转动惯量的因素 ⑴与刚体的体密度有关（即与m有关）； ⑵与刚体的几何形状有关（即与m的分布有关）； ⑶与刚体的转轴位置有关。
r 2 dm
dm ：质量元
即：与刚体的质量、质量的分布、以及转轴位置 有关。
P
R O m
4、垂直轴定理
如果薄板位于o-xy平面内, 则 J z J x J y
J z mi ri mi xi mi yi J y J x
2 2 2
z
yi
xi x
ri
y
mi
5. 常见对称刚体绕对称轴的转动惯量：
单个质点： I mr ，如图 7.2.2-1 (a)所示。
2
《力学》漆安慎答案07章
力学（第二版）漆安慎习题解答第七章刚体力学第七章刚体力学一、基本知识小结1.刚体的质心定义：r c m i r i/ m r c rdm/ dm求质心方法：对称分析法，分割法，积分法。
2.刚体对轴的转动惯量定义：I m i r i2I r2dm平行轴定理I o = l c+md2正交轴定理I z = X+I y.常见刚体的转动惯量：（略）3.刚体的动量和质心运动定理p mv c F ma c4.刚体对轴的角动量和转动定理L I I5.刚体的转动动能和重力势能E k ?I 2E p mgy c6•刚体的平面运动=随质心坐标系的平动+绕质心坐标系的转动动力学方程： F ma c c I c c（不必考虑惯性力矩）动能：E k 2mv；今I c c27.刚体的平衡方程、思考题解答火车在拐弯时所作的运动是不是平动答：刚体作平动时固联其上的任一一条直线，在各时刻的位置（方位）始终彼此平行。
若将火车的车厢看作一个刚体，当火车作直线运行时，车厢上各部分具有平行运动的轨迹、相同的运动速度和加速度，选取车厢上的任一点都可代替车厢整体的运动，这就是火车的平动。
但当火车拐弯时，车厢上各部分的速度和加速度都不相同，即固联在刚体上任一条直线，在各时刻的位置不能保持彼此平行，所以火车拐弯时的运动不是平动。
对静止的刚体施以外力作用，如果合外力为零，刚体会不会运动r r答：对静止的刚体施以外力作用，当合外力为了零，即Fi ma c 0时，刚体的质心将保持静止，但合外力为零并不表明所有的外力都作用于刚体的同一点。
所以，对某一确定点刚体所受合外力的力矩M Mi r i Fi不一定为零。
由刚体的转动定律M J可知，刚体将发生转动。
比如，置于光滑水平面上的匀质杆，对其两端施以大小相同、方向相反，沿水平面且垂直于杆的两个作用力时，杆所受的外力的合力为零，其质心虽然保持静止，但由于所受合外力矩不为零，将作绕质心轴的转动。
如果刚体转动的角速度很大，那么（1）作用在它上面的力是否一定很大（2）作用在它上面的力矩是否一定很大M r i F sin j J J「答：由刚体的定轴转动定律dt可知，刚体受对轴的合外力矩正比于绕定轴转动角速度的时间变化率。
第7章-刚体力学
d
3g
cos
d
0
0 2l
＝
3g sin
l
运用质心运动定理，对质心C：
nˆ F1
F
F2
l
O C
ˆt
mg
x
nˆ : F1 mg sin man ˆt : F2 mg cos mat
F
an
r2
l 2 2
3g sin 2l
l 3g cos
at
r
2
4
F12 F22
arctan F1 F2
(7.5.2)
即刚体相对于质心的轴的转动同样服从定轴转 动定律. 式(7.5.1)和(7.5.2)称刚体平面运动的基本动 力学方程.
§7.5.2 作用于刚体上的力
1.作用于刚体上力的两种效果 ·滑移矢量
(1) 施于刚体的力的特点 施于刚体的某个点的力,决不可以随便移到另一点去.
A
F
作用力通过质心，对质心轴上的 力矩为零，使刚体产生平动.
FT
11 10
mg
比较上面结果，可见提升弧形闸门
所用的拉力较小.
W
图(b)
[例题3]如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。
待测刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上，
线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为r，线的另一端通过定
滑轮悬挂质量为m的重物，已知转动架惯量为I0 ，并测得 m自静止开始下落 h 高度的时间为 t ,求待测物体的转动
L
r1
r1
L2
L1
r2
O r2
m2
k
2mr 2
v1 v2 r
2如.转图轴, 为非对称k 轴对O点同样有
力学第二版习题答案第七章
第七章基本知识小结⒈刚体的质心定义：∑⎰⎰==dm dm r r mr m r c i i c//求质心方法：对称分析法，分割法，积分法。
⒉刚体对轴的转动惯量定义：∑⎰==dm r I r m Iii 22平行轴定理 I o = I c +md 2 正交轴定理 I z = I x +I y. 常见刚体的转动惯量：（略） ⒊刚体的动量和质心运动定理∑==cc a m F v m p⒋刚体对轴的角动量和转动定理∑==βτωI I L⒌刚体的转动动能和重力势能c p k mgy E I E ==21ω⒍刚体的平面运动=随质心坐标系的平动+绕质心坐标系的转动动力学方程：∑∑==cc ccI a m F βτ（不必考虑惯性力矩）动能：221221cc c kI mv E ω+=⒎刚体的平衡方程∑=0F， 对任意轴∑=0τ7.1.2 汽车发动机的转速在12s 内由1200rev/min 增加到3000rev/min.⑴假设转动是匀加速转动，求角加速度。
⑵在此时间内，发动机转了多少转？解：⑴21260/2)12003000(/7.15s rad t===-∆∆πωβ ⑵rad27.152)60/2)(12003000(21039.26222202⨯===∆⨯--πβωωθ对应的转数=42010214.3239.262≈⨯=⨯∆πθ7.1.3 某发动机飞轮在时间间隔t 内的角位移为):,:(43s t rad ct bt at θθ-+=。
求t 时刻的角速度和角加速度。
解：23212643ct bt ct bt a dt d dtd -==-+==ωθβω7.1.4 半径为0.1m 的圆盘在铅直平面内转动，在圆盘平面内建立o-xy 坐标系，原点在轴上，x 和y 轴沿水平和铅直向上的方向。
边缘上一点A 当t=0时恰好在x 轴上，该点的角坐标满足θ=1.2t+t 2 (θ:rad,t:s)。
⑴t=0时，⑵自t=0开始转45º时，⑶转过90º时，A 点的速度和加速度在x 和y 轴上的投影。
工程力学-材料力学-第7章 刚体的基本运动(唐学彬)
=0.2m,O1O2=AB=0.6m,AM=0.2m，如O1A按φ=15πt的规律转动， 其中φ以rad计，t以s计。试求t=0.8s时，M点的速度与加速度。
解： 在运动过程中，杆AB始终与O1O2平行。因此，杆AB为 平移，O1A为定轴转动。根据平移的特点，在同一瞬时M、A两 点具有相同的速度和加速度。A点作圆周运动，它的运动规律为
rB rA rAB
(7-1)
式（7-3）、（7-4）两式表明，在任何瞬时，A、B两点的速 度相同，加速度也相同。由于A、B是任取的两点，于是可推得如 下的定理： 刚体平移时，其内所有各点的轨迹的形状相同。在同一瞬时， 所有各点具有相同的速度和相同的加速度。
既然平动刚体上各点的运动规律相同，因此只须确定出刚体 内任一点的运动，就确定了整个刚体的运动。由此可知刚体平动 的问题，可归结为点的运动问题。若刚体上任一点的轨迹为直线， 则刚体的运动称为直线平移；若刚体上任一点的轨迹为平面曲线 或空间曲线，则刚体的运动称为平面平移或空间平移，或称为曲 线平移。火车沿直线轨道行驶时，其车厢的运动即是直线平动， 其平行杆的运动就是平面运动。
沿逆时针方向量取为正值，反之为负值。当刚体转 动时，位置角φ随时间t变化，是时间t的单值连续函 数，可表示为
t
（7-5）
这就是刚体的定轴转动方程。若转动方程φ（t） 已知，则刚体在任一瞬时的位置即可确定。
转角φ实际上是确定转动刚体位置的“角坐标”。
设由瞬时t到瞬时t+Δt，位置角由φ改变到φ+ Δφ ，位置角的增 量Δφ称为角位移。比值Δφ/Δt称为在时间Δt内的平均角速度。当 Δt→0时， Δφ/Δt的极限称为刚体在瞬时t的角速度，并用字母ω表 示，即
at a sin 40sin 30 m s 20 m s
漆安慎《力学》教案第07章 刚体力学
Δt0 Δt dt
在定轴转动中, 只有两个转向
第七章 刚体力学
P(t+t )
+ P(t)
O
x
逆时针转动时 >0； 顺时针转动时 < 0.
角速度用每分 n 转表示时： 2πn πn rad/s
60 30
类似地可得： 角加速度
lim Δ d
d (t)dt
t
0
(t)dt
0
d (t) dt
t
0
(t)dt
0
匀速转动时 =常量
匀变速转动时 =常量
0 t 0 t
0
t
1 t2
2
2 02 2（ 0）
与质点作匀速或匀变速直线运动的公式完全对应!!!
特点
(1) 刚体可以看成由许多质点组成的质点 系，每一个质点叫做刚体的一个质元
(2) 刚体内任意两点间的距离保持不变. 所以将刚体称为“不变质点系”.
研究刚体的基本方法 将刚体看作质点系，并运用已知的质
点系的运动规律去研究.
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第七章 刚体力学
§7.1 刚体运动的描述
刚体最基本的运动形式有： ⑴平动；⑵绕固定轴的转动；⑶平面运动
r j
z
r k
其中
x
dx
dt
y
dy
dt
z
dz
dt
当刚体作定轴转动时，可令转轴与 z 轴重合，
则有
x y 0 x y
r
z
r k
理论力学7—刚体的平面运动2
vC
vC C C 2 w BC
3 rw 3
习题7-12 图示小型精压机的传动机构，OA＝ O1B＝r＝0.1m，EB＝BD＝AD＝l＝0.4 m，在 图示瞬时OA⊥AD，O1B⊥ED，O1D在水平位 置，OD和EF在铅直位置。已知曲柄OA的转速 n＝120 rpm，求此时压头F 的速度。
a C O r r
t
w
O
vO
n aCO
aO aO
aO r
vO r
aO
2
t aCO
C
aCO rw
n 2
r(
)
2
vO r
w
vO r
,
aO r
a C O a O , a C O vO / r
t n 2
取如图的投影轴, 将各矢量 投影到投影轴上得
y
aCx aO aCO 0
A2 A4
vA2
A1
v A 3 2 rw 2 v
2 rw 2v
例7-7 曲柄肘杆式压床如图。已知曲柄OA长r， 以匀角速度w 转动，AB = BC = BD = l，当曲柄 与水平线成30º 角时，连杆AB处于水平位置，而 肘杆DB与铅垂线也成30º 角。试求图示位置时， 杆AB、BC的角速度以及冲头C 的速度。 解：连杆AB作平面运动，瞬 D 30º 心在点C1，则
7.2.3 求平面图形上各点速度的瞬心法
设有一个平面图形S角速度 vCA 为 w ，图形上点A的速度为 N vA 。在vA 的垂线上取一点C S C (由vA 到AC的转向与图形的 vA 转向一致)，有 vC v A w A C A 如果取AC＝ vA /w ，则 w vA vC v A w A C 0
力学(Mechanics)
2010年12月2日 10:10-12:00
第七章 刚体力学
20
7.1.2 刚体的定轴转动定轴转动的描述
3. 角速度
z
描述刚体转动快慢和方向的物理量。 直线OP的角速度:
lim d
t0 t dt
• 把刚体分成许多部分，每一部分都小到 可看作质点 质元；
• 由于刚体不变形 刚体内任意两质元 之间的距离始终保持不变；
• 刚体 质点系(不变质点系)；
所有用于描述质点系的方法都可用来研究刚体的运动！ 两者的差别： 质点系：各个质点的相对位置是变化的 整体+局部 刚体：运动中两质元之间的距离保持不变整体。
d dt
t
0
(t)dt
t0
d dt
t
0
(t)dt
t0
如果角加速度是常数：刚体作匀变速转动
0 t
0
0t
1 2
t
2
2 02 2 ( 0 )
2010年12月2日 10:10-12:00
第七章 刚体力学
q q' O
P' P
(t)
x
所有直线都具有相同的角位移 具有相同的角速度
是刚体的角速度
量刚: [T-1] 单位: rad/s 或 转/分钟(rev/min)
的正负号的规定：
面对z 轴观察：
> 0: 逆时针转动 < 0: 顺时针转动
1 rev/min = 2/60 rad/s = /30 rad/s
刚体力学
的角度都相同.因而用角量描述刚体的运动.
2. 定轴转动的描述
(1) 角坐标 称角位置或角坐标. 规定逆时针转向 为正.
刚体定轴转动 的运动学方程
p x
O
= (t) (2) 角位移 为 t时间内刚体所转过的角度.
p x O
(3) 角速度
角速度 lim Δ d
Δt0 Δt dt 在定轴转动中,转向只可能有两
[解] 由对称性，yc= 0
y
设平板面密度为,
大圆板 m πR2 xc 0
O
x
小圆板
m1
1 πR2
4
x1c R / 2
余下部分
m2
3 πR2
4
0
1 πR2
4
R 3 πR2
24
πR2
x2c
x2c
R 6
§7.2.2 质心运动定理和刚体的动量
1 质心 质心运动定理
质点系的运动
每个质点的质量、位矢和受力： mi ,
d R
速度
v
dR
d
R
R
dt dt
加速度
a
dv
d
R
dR
R
v
dt dt
dt
a心 v,
a切
R
v(t)
dR
d
R
⊙k
角速度和角加速度在直角坐标系的正交分解式为
x
i y
j z
k
x
i
y
j z
k
其中
x
d x
dt
y
d y
dt
z
d z
dt
刚体作定轴转动，令转轴与 z 轴重合，
大学物理-力学中的刚体2
O轴
B
k1
P1
末态：
Ek2
=
1 2
JOω 2
A
θ
l
ω
4
C
Ep2
=
−mg
l 4
sinθ
1 2
Joω 2
−
mg
l 4
sinθ
=
0
由平行轴定理
Jo = Jc + md2
= 1 ml 2 + m ( 1 l ) 2
12
4
ω = 2 6g sinθ
7l
= 7 ml 2 48
应用质心运动定理：
KKK N + mg = maC
∫ ∫ W
θ2
= Mdθ=
ω2
Jωdω
=
1 2
Jω
2 2
−
1 2
Jω
2 1
θ1
ω1
定义：
EK
= 1 Jω 2 ─
2
刚体的转动动能.
2. 动能定理
W外 = EK2 − EK1
合外力矩对刚体的功等 于转动动能的增量.
讨论：
注意它与质点系动能定理的区别
W外 = EK2 − EK1
W内 + W外 = EK 2 − EK 1 （一般质点系）
=
1 3
Ml
2ω
角动量守恒 Lo = Lm + LM
K v
30°
m
l mvsin150D = l 2 mω + 1 Ml 2ω
2
4
3
ω = 3mv
(3m + 4M )l
例：宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为 J =2×103 kgm2，正以
大物刚体力学-2
13
解法二： 解法二：选取 m、M、k 为系统，由动能定理
∫
v v v v 1 2 1 2 f ⋅ dx + ∫ mg ⋅ dx = mv + I M ω − 0 2 2
绳子的张力为内力。 所以有
1 2 1 2 ∫0 −kxdx + ∫0 mg sin θ dx = 2 mv + 2 I M ω
R
O
M
m
x
m
EP = 0
θ
11
设 m 未释放时为 初态，此时重力 势能为零。当m 下滑 x 后为终态。
R
O
M
m
x
m
EP = 0
θ
初态能量：
Eko + E p 0 = 0 + 0
（滑轮的重力势 能不变）
终态能量：
1 2 1 2 1 2 Ek + Ep = kx − mgx sinθ + mv + IM ω 2 2 2
两边积分得
∫
t2
t1
v v L2 v v v M z dt = ∫ dL = ∆L = I 2ω2 − I1ω1
L1
定轴转动刚体在t1 → t 2时间内所受合外力 矩的冲量矩等于该时间内刚体角动量的增量。
——角动量（动量矩）定理 角动量（动量矩）
单位(SI )：米 ⋅ 牛顿 ⋅ 秒(m ⋅ N ⋅ s )
vc = dω
即：刚体绕某定轴的转动动能等于刚体绕质心以 角速度ω 角速度ω 转动的动能与质心携带总质量 m 以质 心速度
vc 平动动能之和。 平动动能之和。
2
• 力矩的功和功率
（一）力矩的功
力对刚体做的功是各个力对 各相应质元做功的总和。 各相应质元做功的总和。 内力、垂直转动平台的力均不做功。 内力、垂直转动平台的力均不做功。
演示文稿第七章刚体力学
M滚 FN —滚动摩擦因数，由实验测定.
第26页，共34页。
FN
FNO
W
FP
M滚
FN
O W FP
M滚 使物体角速度减小，则接触面各点有向前滑动趋势，从而 产生反向摩擦力（滚动摩擦）使物体减速.
滚动阻力因数´： / r, r是轮半径.
表7.2 是常见汽车轮在几种典型路面上的´ 值
第27页，共34页。
O
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[解] (1)由机械能守恒得
mghc
1 2
I 2
hc
1 2
l
I 1 ml 2 3
联立得
v l 3gl
FN
en
et
Ep=0
C
W
(2)根据质心运动定理
FN W mac
分量式
FNn
mg
m
vc2 rc
FNt mact
第11页，共34页。
杆处于铅直位置时不受力矩作用，由转动定理
如何理解滚动摩擦 << 滑动摩擦 ？
F
M滚
FN
C
W
Ff
F' A C
设滚子匀速滚动，则阻力和阻力矩分别为
Ff F FN W Ff r M滚 0 M滚 FN
联立得
F
Ff
r
FN
r
W
W
若滚子匀速平动 F FN W
表7.2与表3.2相比，有 F F
第28页，共34页。
§7.6 刚体的平衡
第20页，共34页。
[P239 例题2]质量为m的汽车在水平路面上急刹车，前后轮均 停止转动. 前后轮相距L，与地面的摩擦因数为 .汽车质心离 地面高度为h，与前轮轴水平距离为l .求前后车轮对地面的压力
第七章刚体力学
第七章刚体力学在前面几章的学习中，我们先后讨论了质点、质点组在外力和内力作用下的运动规律。
在本章的学习中，我们将讨论质点组内各质点间无相对运动的一种特殊情况——刚体在外力作用下的运动规律。
刚体：在任何情况下形状大小都不发生变化的质点及合或各质点间没有相对运动的特殊质点系。
0,≡j i r d（i,j=1,2, ）刚体这一概念虽然是一种理想化抽象模型，但却十分有用，因此又必要将刚体力学作一番深入地探讨。
同质点力学的情况相同，我们也是从两方面研究刚体力学。
刚体力学今天学习的内容：§7﹒1刚体运动的描述所做的工作：讨论刚体定轴转动和平面运动的运动学特征。
§7﹒1刚体运动的描述与质点力学的情况相同，所谓对刚体运动进行描述，就是研究刚体内任一点随时间的变化情况——研究刚体内任一点的速度、加速度随时间的变化规律。
目前，我们着重讨论前三种类型的刚体运动。
（一） 刚体的平动刚体最基本的运动形式是平动和绕固定轴的转动。
所以在学习刚体运动学时，都是从研究平动和绕固定轴的转动开始的。
所谓平动指的是：在运动过程中，刚体中任意一条直线在各个时刻的位置都保持平行或平行与自身的运动。
如图7-1所示，对刚体上任意二质点之间有关系式：ij i j r r r+=平动≡⇒ij r恒矢量，故而dtr d dt r d j i =及2222dt r d dt r d j i=所以，刚体平动时体内各质元的速度、加速度相等——任一点的运动均可代表整体的运动。
（二） 刚体绕固定轴的转动定轴转动，所有质元都在与某一直线垂直的诸平面上作圆周运动，且圆心在该直线上，并称该直线为转轴。
刚体运动学：研究刚体的运动情况以及如何对刚体的运动进行描述 刚体动力学：研究引起刚体运动状态发生变化的原因，进而阐明各种运动是如何由所受外力产生的。
刚体运动可分为五种类2、定轴转动 1、平动3、平面平行运动4、定点转动5、一般运动图7-1x图7-2建立直角坐标系，令z 轴与转轴重合，如图7-2有相同的x-y 坐标但z 不同质点都有相同的运动状态（a v,），任截面的运动可以代表整体的运动。
力学答案第七章
第七章刚体力学习题及解答7.1.1 设地球绕日作圆周运动.求地球自转和公转的角速度为多少rad/s?估算地球赤道上一点因地球自转具有的线速度和向心加速度.估算地心因公转而具有的线速度和向心加速度（自己搜集所需数据）.解：7.1.2 汽车发动机的转速在12s内由1200rev/min增加到3000rev/min.（1）假设转动是匀加速转动，求角加速度.(2)在此时间内，发动机转了多少转？解：（ 1）（ 2）所以转数 =7.1.3 某发动机飞轮在时间间隔t内的角位移为球 t时刻的角速度和角加速度.解：7.1.4 半径为0.1m的圆盘在铅直平面内转动，在圆盘平面内建立坐标系，原点在轴上.x和y轴沿水平和铅直向上的方向.边缘上一点A当t=0时恰好在x轴上，该点的角坐标满足求（1）t=0时，（2）自t=0开始转时，（3）转过时，A点的速度和加速度在x和y轴上的投影. 解：（ 1）（ 2）时，由（ 3）当时，由7.1.5 钢制炉门由两个各长1.5m的平行臂AB和CD支承，以角速度逆时针转动，求臂与铅直时门中心G的速度和加速度.解：因炉门在铅直面内作平动，门中心 G的速度、加速度与B或D点相同。
所以：7.1.6 收割机拔禾轮上面通常装4到6个压板.拔禾轮一边旋转，一边随收割机前进.压板转到下方才发挥作用，一方面把农作物压向切割器，另一方面把切割下来的作物铺放在收割台上，因此要求压板运动到下方时相对于作物的速度与收割机前进方向相反.已知收割机前进速率为 1.2m/s，拔禾轮直径1.5m，转速22rev/min,求压板运动到最低点挤压作物的速度.解：取地面为基本参考系，收割机为运动参考系。
取收割机前进的方向为坐标系正方向7.1.7 飞机沿水平方向飞行，螺旋桨尖端所在半径为150cm，发动机转速2000rev/min.（1）桨尖相对于飞机的线速率等于多少？（2）若飞机以250km/h的速率飞行，计算桨尖相对于地面速度的大小，并定性说明桨尖的轨迹.解：取地球为基本参考系，飞机为运动参考系。
刚体力学2
一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量
为ｍ的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求
物体ｍ由静止下落高度ｈ时的速度和此
Mg
时滑轮的角速度。
解法一: 将滑轮,物体与地球看成一个系 统，重力为保守内力，支承力不作功， 系统的机械能守恒.
初态：静止时 Ek1 0 EP1 0
(取静止时的位置重力势能为零.)
末态： E mgh P2
作业B：
习题：P182~
5.2；5.10 ；5.11；5.12; 5.13; 5.14; 5.16 ;5.17.
作业C：
预习教材: 第8章 相对论基础.
例 C60分子由60个碳原子组成。这些碳原子各位于 一个球形32面体的60个顶角上。此球体的直径为
71nm。求按均匀球面计算，求此球形分子对一个直
dt dt
④刚体定轴转动的动能变化的原因可以用力矩做功的
效果来解释。
二.刚体定轴转动的动能
刚体上任一质元的动能为:
Eik
1 2
mi
vi2
1 2
mi
ri
2
1 2
mi
ri
2
2
刚体上所有质元的动能之和为：
EK
i
Eik
1 2
i
mi ri2 2
1 (
2
i
mi ri2 )2
1 J2 2
Ek＝
1 2
J
rd cos
2
Frsind M id
dr
ds
rd
对所有质元，合外力所做的元功 dA Mid Md
在外力矩作用下，刚体由角坐标1 2所作的功
A
dA
2
1
Md
讨论:
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r
FN
r
W W
若滚子匀速平动
F FN W
表7.2与表3.2相比，有
F F
§7.6 刚体的平衡
一、 刚体的平衡方程
刚体平衡的充要条件 无平动 Fi 0 无转动
Mi 0
（对任一定点）
共面力系—— 所有力的作用线位于同一平面内. 对共面力系, 在直角坐标系O-xyz中平衡条件化为
[解] 汽车受力如图.
y
FN1
y´ l C
FN2
x´
F2
O 根据质心运动定理 y 轴投影 对质心轴的转动定理
F1
x
W FN1 FN2 F1 F2 mac
FN1 FN2 W 0
W
F1 FN1
F2 FN2
( F1 F2 )h FN 2 ( L l ) FN1l 0
FN
杆处于铅直位置时不受力矩作用，由转动 定理可知，角加速度为零，所以
et
Ep=0
en
C
act＝rc 0
FNt 0
W
1 v 1 rc l , vc 3 gl 又 2 2 2 3 5 FN FNn mg mg mg 方向向上 . 2 2
§7.5 刚体平面运动的动力学
dA d Mz M z z 力矩的功率：P dt dt
二、 刚体定轴转动的动能定理
1. 定轴转动刚体的动能
当刚体绕定轴转动时,其动能为所有质点作圆
周运动动能的总和.
任意质元的动能为： 刚体的动能
1 1 1 2 Ek Eki m i v i mi ri z 2 2 ( mi ri z 2 ) 2 2 2 2
平面的轴. 在质心系中
M 外i ' M 惯
又 M惯 = 0
dL'z d( I zz ) I z z dt dt
dLz ' dt
M
外i '
I z z
即刚体相对于质心轴的转动同样服从定轴转动定律.
3、 刚体平面运动的基本动力学方程 刚体平面运动 = 质心平动+绕质心轴的定轴转动
Fix 0
F
iy
0
M iz 0
其中，Z轴是垂直于Oxy面的任意轴.
刚体平衡方程的其它形式
刚体平衡时，诸力对任意轴的力矩和为零. (1) 在力的作用平面内选O和O´ 两个参考点，OO´ 连线不 与Ox轴正交
Fix 0
M iz 0
M iz 0
(2) 在力的作用平面内选O、O´ 和O´´ 三个参考点， O、O´ 和O´´ 三点不共线
质心的平动： Fi mac
绕质心轴的定轴转动：
F
ix
ma cx
F
外i '
iy
ma cy
M
I z z
两式合称为刚体的平面运动的基本动力学方程.
[P238 例题1]如图，固定斜面倾角为 ，质量为 m 半径
为 R 的均质圆柱体顺斜面向下作无滑滚动，求圆柱体
质心的加速度ac 及斜面作用于柱体的摩擦力F . [解] 根据质心运动定理
FN O
W
FN O FN W
FP
M滚 F
N
W FP
O
如图 FN 对质心产生反向力矩 ——滚动摩擦力矩M滚
M 滚 FN
—滚动摩擦因数，由实验测定.
FN O FN W
FP
M滚 F
N
W FP
O
M滚 使物体角速度减小，则接触面各点有向前滑动趋势， 从而产生反向摩擦力（滚动摩擦）使物体减速. 滚动阻力因数´：
力 学
主讲老师：李志攀 zpli.phy@ Mailbox: 109#
Southwest University
第七章 刚体力学（二）
1
刚体定轴转动的动能定理
2
刚体平面运动的动力学
3
刚体的平衡
§7.4 刚体定轴转动的动能定理
一、力矩的功
刚体中P点在力F 的作用下位移 dr 则力元功
Eki
1 m i v i2 2
1 Ek I z 2 2
2.刚体定轴转动的动能定理
质点系的动能定理： 刚体：
A A E E A 0
外 内 K
K0
内
A
外i
M 外iz d ＝
0
Δ
Δ
0
M
外iz
d
M z I z－刚体定轴转动的转动定律
W ( EB cos 30 C B sin 30 ) 0
解以上三方程得
FN 8.75 kN
C C´
B E
30°
xA[解] 受源自分析如图. 建立 Fy j
y
F
C C´ B
直角坐标系 Exyz，得
Fx FN sin 30 0
Fy FN cos 30 W W 0
30° E Fi x W W A
x
FN
选择过E点的 z 轴为定轴
M z EA FN sin 30 W ( EB cos 30 CB sin 30 )
刚体的重力势能与质量集中在重心上的一个质点的重力
势能相同.
[P233例题1]装置如图所示，均质圆柱体质量为m1，半
径为R，重锤质量为m2 ，最初静止，后将重锤释放下落 并带动柱体旋转，求重锤下落 h 高度时的速率v，不计
阻力，不计绳的质量及伸长.
[解] 方法1. 利用质点和刚体转
动的动能定理求解.
F ''
A
F'
如图, 施于A点的力F´ 可用施于B点的力F´´ 代替,即 作用于刚体的力可沿作用线滑移而不改变其效果. 作用于刚体的力的三要素： 大小、方向和作用线.
2.力偶和力偶矩
力偶:大小相等方向相反彼此平行的一对力. F1 F2
M力 偶 r1 F1 r2 F2 ( r1 r2 ) F1 r12 F1
1 1 1 2 mgh mv c ( mR 2 ) 2 2 2 2
x´ FN
W
x
y´ y
C
O
F
1 1 2 mv c mR 2 2 2 4
无滑滚动条件
v c R
2 vc 3 gh 3
*四、 滚动摩擦力偶矩
滚动摩擦发生的原因： 是物体与接触面处的非弹性形变引起. 设滚轮在接触区无形变，地面有非弹性形变.
3.刚体的二维平动 二维平动： 刚体做平面运动又只作平动
Fi mac
M
外i '
0
刚体并未转动，但存在力矩平衡问题
[P239 例题2]质量为m的汽车在水平路面上急刹车，前后 轮均停止转动. 前后轮相距L，与地面的摩擦因数为 .汽 车质心离地面高度为h，与前轮轴水平距离为l .求前后车 轮对地面的压力.
/ r , r是轮半径.
表7.2 是常见汽车轮在几种典型路面上的´ 值
如何理解滚动摩擦 << 滑动摩擦 ？
M滚 FN F C
W
F' A
Ff
C
设滚子匀速滚动，则阻力和阻力矩分别为 Ff r M 滚 0 M 滚 FN Ff F FN W 联立得
FN W F mac
y 轴上投影
x´ FN
y´ y
x
C
W sin F ma c
对质心轴的转动定理 无滑滚动 ac R 2 ac g sin 3
W
O F
1 FR I mR 2 2
1 F mg sin 3
二、 作用于刚体上的力
y
FN1
y´ l C
FN2
x´
F2
O 由上面方程可解出
F1
x
W
FN1 mg( L l h) / L FN 2 mg( l h) / L
根据牛顿第三定律，前后轮对地面的压力大小分别为 FN1、FN2 ，但方向向下.
三、 刚体平面运动的动能
由克尼希定理可知，刚体平面运动动能
Iz
0
d d I z dt
d
0
1 1 2 A外 I z I z0 2 －刚体定轴转动的动能定理 2 2
三、 刚体的重力势能
刚体的重力势能
y
mi yi
O
Ep mi gyi (mi yi ) g
mg ( mi yi ) m
Ep mgy c
由质点动能定理
R m1
1 m2 gh FT h m2v 2 2
由刚体动能定理
m2
h
1 2 1 FT R I m1 R 2 2 2 4
约束关系：
R h
v2
v R
m 2 gh m1 2 m 2
R m1 h
联立得
m2
方法2. 利用质点系动能定理求解
将转动柱体、下落物体视作质点系
F1
大小:
M 力偶 Fr12 sin Fd
m1
力偶矩的大小与参考点的选择无关. 方向:与二力旋转方向呈右手螺旋关系
O
d r1 m2 F2 r2
r12
一般作用于刚体的力等效于一作用线通过质心的力和一力偶，这 力的方向和大小与原力相同，而力偶矩等于原力对质心轴的力矩.