第二章 平稳随机过程的谱分析

第二章平稳随机过程的谱分析

本章要解决的问题：

●随机信号是否也可以应用频域分析方法?

●傅里叶变换能否应用于随机信号？

●相关函数与功率谱的关系

●功率谱的应用

●采样定理

●白噪声的定义

2.1 随机过程的谱分析

2.1.1 预备知识

1、付氏变换:

对于一个确定性时间信号x(t)，设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足狄利赫利条件（有限个极值，有限个断点，断点为有限值）且绝对可积，能量有限，则x(t)傅里叶变换存在。即：

满足上述三个条件的x(t)的傅里叶变换为：

其反变换为：

2、帕赛瓦等式

由上面式子可以得到：

——称为非周期性时间函数的帕塞瓦(Parseval)等式。

物理意义：若x(t)表示的是电压(或电流)，则上式左边代表x(t)在时间(-∞,∞)区间的总能量（单位阻抗）。因此，等式右边的被积函数

2

)(ωX

X

表示了信号x(t)能量按频率分布的情况，故称2

)(ωX

X

为

能量谱密度。

2.1.2、随机过程的功率谱密度

一个信号的付氏变换是否存在，需要满足三个条件，那么随机信号是否满足这三个条件从而存在付氏变换呢？

随机信号持续时间无限长，因此，对于非0的样本函数，它的能量

一般也是无限的，因此，其付氏变换不存在。

但是注意到它的平均功率是有限的，在特定的条件下，仍然可以利用博里叶变换这一工具。

为了将傅里叶变换方法应用于随机过程，必须对过程的样本函数做某些限制，最简单的一种方法是应用截取函数。

x(t):

截取函数T

图2.1 x(t)及其截取函数

x(t)满足绝对可积条件。因此，当x(t)为有限值时，裁取函数T

x(t)的傅里叶变换存在，有

T

x(t)也应满足帕塞瓦等式，即：（注意积分区间和表达很明显，T

式的变化）

用2T 除上式等号的两端，可以得到

等号两边取集合平均，可以得到:

令∞→T ，再取极限，便可得到随机过程的平均功率。 交换求数学期望和积分的次序，可以得到：(注意这里由一条样本函数推广到更一般的随机过程，即下面式子对所有的样本函数均适用)

ω

ωπ

d T

T X E dt t X

E T

X T T

T T 2]

),([lim 21

)]([21lim

2

2

⎰⎰∞

∞-∞→-∞

→=

上式等号的左边表示的正是随机过程消耗在单位电阻上的平均功率（包含时间平均和统计平均），以后我们将简称它为随机过程的功率并记为Q 。再看等式的右边，它当然也存在，并且等于Q 。

又因为2

),(ωT X

X

非负，所以极限T

T X

E X

T 2]),([lim

2

ω∞

→必定

存在，记为)(

ωX S ：

ωωπ

d S dt t X

E T

Q X T

T T ⎰⎰∞

∞--∞

→=

=)(21)]([21lim

2

注意：（1）Q 为确定性值，不是随机变量

（2）)(ωX S 为确定性实函数。（见式）

● 两个结论： 1．><=)]([2

t X E A Q 式中，><>=<∞

→.21lim

.T

A T

表示时间平均。它说明，随机过

程的平均功率可以通过对过程的均方值求时间平均来得到，即对于一般的随机过程（例如，非平稳随机过程）求平均功率，需要既求时间平均，又求统计平均。显然， Q 不是随机变量。

若随机过程为平稳的，则

)0()]([)]([2

2X R t X E t X E A Q ＝>=<=

这是因为均方值与时间t 无关，其时间平均为它自身。

由于已经对2

),(ωT X

X

求了数学期望，所以)(ωX S 不再具有

随机性，它是ω的确定性函数。

● 功率谱密度：)(ωX S 描述了随机过程X(t)的功率

在各个不同频率上的分布——称)(ωX S 为随机过程X(t)的功

率谱密度。

● 对)(ωX S 在X(t)的整个频率范围内积分，便可得

到X(t)的功率。

● 对于平稳随机过程，则有：

⎰∞

∞-=

ωωπ

d S t X E X )(21)]([2

2.1.3、功率谱密度的性质

证明：

证明：

因为2

),(ωT X

X

进行了取模运算，这是ω的实函数，所以

)(ωX S 也是ω的实函数，且为确定性实函数。

证明：

因此：

即：

得：

证明：对于平稳随机过程，有：

⎰∞

∞-=

ωωπ

d S t X E X )(21

)]([2

2.2 联合平稳随机过程的互功率谱密度

2.2.1、互谱密度

可由单个随机过程的功率谱密度的概念，以及相应的分析方法

推广而来。

考虑两个平稳实随机过程X(t)、Y(t)， 它们的样本函数分别为

)(t x 和)(t y ，定义两个截取函数()t x T 、()t y T 为：

因为()t x T 、()t y T 都满足绝对可积的条件，所以它们的傅里叶变换存在。

在时间范围(-T ，T)内，两个随机过程的互功率)(T Q XY 为:（注意