向量积分配律的证明(多篇范文)
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向量积分配律的证明
姓名：XXX 日期：XX年X月X日
向量积分配律的证明
向量积分配律的证明
三维向量外积(即矢积、叉积)可以用几何方法证明;也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。
下面把向量外积定义为：
a×b=|a|·|b|·sin.
分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。
下面给出代数方法。我们假定已经知道了：
1)外积的反对称性：
a×b=-b×a.
这由外积的定义是显然的。
2)内积(即数积、点积)的分配律：
a·(b+c)=a·b+a·c,
(a+b)·c=a·c+b·c.
这由内积的定义a·b=|a|·|b|·cos，用投影的方法不难得到证明。
3)混合积的性质：
定义(a×b)·c为矢量a,b,c的混合积，容易证明：
i)(a×b)·c的绝对值正是以a,b,c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a,b,c的定向决定(右手系为正，左手系为负)。
从而就推出：
ii)(a×b)·c=a·(b×c)
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所以我们可以记a,b,c的混合积为(a,b,c).
由i)还可以推出：
iii)(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)
我们还有下面的一条显然的结论：
iv)若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1,a2,a3，则a必为零矢量。
下面我们就用上面的1)2)3)来证明外积的分配律。
设r为空间任意矢量，在r·(a×(b+c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有
r·(a×(b+c))
=(r×a)·(b+c)
=(r×a)·b+(r×a)·c
=r·(a×b)+r·(a×c)
=r·(a×b+a×c)
移项，再利用数积分配律，得
r·(a×(b+c)-(a×b+a×c))=0
这说明矢量a×(b+c)-(a×b+a×c)垂直于任意一个矢量。按3)的iv)，这个矢量必为零矢量，即
a×(b+c)-(a×b+a×c)=0
所以有
a×(b+c)=a×b+a×c.
证毕。
三维向量外积(即矢积、叉积)可以用几何方法证明;也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。
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下面把向量外积定义为：
a×b=|a|·|b|·sin.
分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。
下面给出代数方法。我们假定已经知道了：
1)外积的反对称性：
a×b=-b×a.
这由外积的定义是显然的。
2)内积(即数积、点积)的分配律：
a·(b+c)=a·b+a·c,
(a+b)·c=a·c+b·c.
这由内积的定义a·b=|a|·|b|·cos，用投影的方法不难得到证明。
3)混合积的性质：
定义(a×b)·c为矢量a,b,c的混合积，容易证明：
i)(a×b)·c的绝对值正是以a,b,c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a,b,c的定向决定(右手系为正，左手系为负)。
从而就推出：
ii)(a×b)·c=a·(b×c)
所以我们可以记a,b,c的混合积为(a,b,c).
由i)还可以推出：
iii)(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)
我们还有下面的一条显然的结论：
iv)若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1,a2,a3，则a必为零
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矢量。
下面我们就用上面的1)2)3)来证明外积的分配律。
设r为空间任意矢量，在r·(a×(b+c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有
r·(a×(b+c))
=(r×a)·(b+c)
=(r×a)·b+(r×a)·c
=r·(a×b)+r·(a×c)
=r·(a×b+a×c)
移项，再利用数积分配律，得
r·(a×(b+c)-(a×b+a×c))=0
这说明矢量a×(b+c)-(a×b+a×c)垂直于任意一个矢量。按3)的iv)，这个矢量必为零矢量，即
a×(b+c)-(a×b+a×c)=0
所以有
a×(b+c)=a×b+a×c.
证毕。
第二篇：1XX-向量数量积的运算律
向量数量积的运算律
制作人：张明娟审核人：叶付国使用时间：XX-5-8编号：1XX 学习目标：
1、掌握平面向量数量积的运算律及其运算；
2、通过向量数量积分配律的学习，体会类比、猜想、证明的探索性学习方法；
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3、通过解题实践，体会向量数量积的运算方法.
学习重点：向量数量积的运算律及其应用.
学习难点：向量数量积分配律的证明.
重点知识回顾：
1、两个向量的夹角的范围是：；
2、向量在轴上的正射影
正射影的数量为；
??3、向量的数量积（内积）：a·b=；
4、两个向量的数量积的性质：
??（1）a?b?；
（2）a?aa
（3）cos?=；
向量数量积的运算律
1（）a?b?b?a;
(2)(?
(3)(a???a)?b?a?(?b)??(a?b)??a?b;?b)?c?a?c?b?c 22 平面向量数量积的常用公式
(1)(a2
(2)(a?b)(a
证明：（1）
（2）
?b)?a?2a?b?b?b)?a?b22
典例剖析：
例????1、已知a=6，b=4，a与b的夹角为600，
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