北京版九年级数学上册《锐角三角函数》教案

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北师大版九年级上册数学教案：1.1锐角三角函数

四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“锐角三角函数”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量物体高度或距离的情况？”（如测量旗杆高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索锐角三角函数的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“锐角三角函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正弦、余弦、正切函数的定义及特殊角度的函数值。对于难点部分，我会通过绘制直角三角形和实际操作，帮助学生理解并记忆这些函数值。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与锐角三角函数相关的实际问题，如测量教学楼的高度。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用计算器测量角度并计算三角函数值。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了锐角三角函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对锐角三角函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思

数学九年级北师大版锐角三角函数(1)教案

数学九年级北师大版锐角三角函数(1)教案题目锐角三角函数年级学科九年级数学课型新授课授课教师吝战军工作单位沣东第二初级中学（西安市第三十三中学）教学目标知识与技能：理解正切的定义以及与现实生活的联系，能够用tan A表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算;过程与方法：经历操作、观察、思考、求解等探索直角三角形中边角关系的过程，渗透函数思想与数形结合思想，培养理性思维习惯;教学重难点关键重点: 理解锐角正切的概念，会将某些现实或数学问题转化到直角三角形中进行解决;难点: 理解正切的意义，并用它来表示两边的比．教学方法引导-探究法运用的信息技术工具硬件：班班通平台软件：PPT, 鸿合软件,几何画板教学设计思路情境导入——探究新知——形成概念——应用巩固——检测成果——小结反思——作业布置设计意图时间安排通过提问，回顾曾经学过的知识,调动学生的思维，使学生的思维触角伸到直角三角形中来，学生会从直角三角形中两个锐角互余以及勾股定理（三边数量关系）这两个方面来回答，为本节乃至本章直角三角形边角关系的引入奠定基础使其产生认识冲突;复习函数的概念、表示方法以及学过的函数模型，为学生从函数角度理解锐角的三角函数进行铺垫。

4’5’导入新课借助对具体事物——梯子的“陡”、“缓”的描述，使学生从感性到理性等角度来刻画这一现象，让学生在独立思考的基础上，发表各自的意见。

5’利用直观，可使学生比较容易地认识到梯子与地面所成的角度越大，梯子越陡，角度越小，梯子越缓；当梯子的顶端与地面距离（梯子的垂直高度）一定时，梯子底部离墙距离（梯子的水平宽度）越小，梯子越陡，距离越远，梯子越缓；利用直观不易判断，使学生产生认知冲突；启发学生联系（1）的结论，探究出可以通过梯子的垂直高度与水平宽度的比值来判断梯子的陡或缓；将判断梯子的陡或缓的问5 题转化为计算比值，也就时由“看”转化为“算”即学生的思维由感性上升到理性。

北京版数学九年级上册《20.1锐角三角函数》说课稿3

北京版数学九年级上册《20.1 锐角三角函数》说课稿3一. 教材分析《20.1 锐角三角函数》这一节的内容，主要介绍了锐角三角函数的概念和性质。

在教材中，通过生活中的实例，引导学生认识锐角三角函数，并通过计算和图形的直观展示，让学生理解锐角三角函数的定义和性质。

教材还配备了丰富的练习题，帮助学生巩固所学知识。

在教学过程中，我们需要把握教材内容，深入挖掘锐角三角函数的内涵，让学生在学习过程中，不仅能够掌握知识，还能够提高解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对函数的概念和性质有一定的了解。

但是，对于锐角三角函数这一部分内容，由于涉及到三角函数的初步知识，学生可能还存在一定的困惑。

因此，在教学过程中，我们需要关注学生的学习需求，针对学生的实际情况，采取适当的教学策略，帮助学生理解和掌握锐角三角函数的知识。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数的性质，能够运用锐角三角函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、实验、猜想、验证等方法，让学生体验数学探究的过程，培养学生的数学思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在生活中的应用价值。

四. 说教学重难点1.教学重点：锐角三角函数的概念和性质。

2.教学难点：锐角三角函数的性质的理解和运用。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法、引导发现法、分组合作法等多种教学方法。

同时，利用多媒体课件、三角板等教学手段，直观展示锐角三角函数的性质，帮助学生理解和掌握知识。

六. 说教学过程1.导入：通过生活中的实例，引导学生认识锐角三角函数，激发学生的学习兴趣。

2.新课导入：讲解锐角三角函数的概念，引导学生通过观察、实验、猜想、验证等方法，探索锐角三角函数的性质。

3.知识讲解：讲解锐角三角函数的性质，通过实例演示，让学生理解并掌握知识。

4.练习巩固：布置练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固所学内容。

九年级数学锐角三角函数教案

一、教学目标：1.知识与技能目标：（1）了解什么是锐角三角函数；（2）掌握正弦、余弦和正切在锐角范围内的性质和计算方法；（3）能够运用锐角三角函数解决相关实际问题。

2.过程与方法目标：（1）运用课堂讲解、练习、小组合作和课堂展示相结合的方式，培养学生的学习兴趣；（2）通过解决实际问题的方式，培养学生的分析和解决问题的能力；（3）通过小组合作的方式，培养学生的合作和交流能力。

3.情感、态度与价值观目标：（1）通过展示数学的应用场景，培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）通过小组合作和课堂展示的方式，培养学生的合作和交流能力；（3）通过解决实际问题的方式，培养学生的分析和解决问题的能力。

二、教学重点和难点1.教学重点（1）正弦、余弦和正切的定义和性质；（2）正弦、余弦和正切的计算方法；（3）运用锐角三角函数解决相关实际问题。

2.教学难点（1）运用锐角三角函数解决实际问题的能力；（2）理解正弦、余弦和正切的定义和性质。

三、教学过程安排第一课时：1.导入（10分钟）让学生回顾之前学过的角度、弧度和三角比的相关知识，引出锐角三角函数的概念，并介绍本节课的学习内容和目标。

2.讲解（20分钟）（1）通过幻灯片和板书，讲解正弦、余弦和正切的定义和性质。

（2）讲解正弦、余弦和正切的计算方法，并解答学生提出的疑问。

3.练习（15分钟）（1）在黑板上出示锐角三角函数的计算练习题，让学生在纸上计算并互相讨论答案。

（2）随机抽选几位学生上台讲解解题过程，并进行讲解和点评。

4.小组合作（10分钟）（1）将学生分成小组，每个小组由3-4人组成，让他们一起解决一个实际问题。

（2）每个小组将解决过程和结果展示给全班，并进行评价和讨论。

5.总结（5分钟）（1）对本节课的内容进行总结概括。

（2）布置课后作业，让学生复习和巩固锐角三角函数的内容。

第二课时：1.复习（10分钟）让学生回顾之前学过的锐角三角函数的知识点，并进行简单的小测验。

北京课改初中数学九年级上册《21.1锐角三角函数》精品教案 (1)

21.1锐角三角函数教学目的1、使学生了解本章所要解决的新问题是：已知直角三角形的一条边和另一个元素（一边或一锐角），求这个直角三角形的其他元素。

2、使学生了解“在直角三角形中，当锐角A 取固定值时，它的对边与斜边的比值也是一个固定值。

重点、难点、关键1、重点：正弦的概念。

2、难点：正弦的概念。

3、关键：相似三角形对应边成比例的性质。

教学过程一、复习提问1、什么叫直角三角形？2、如果直角三角形ABC 中∠C 为直角，它的直角边是什么？斜边是什么？这个直角三角形可用什么记号来表示？二、新授1、让学生阅读教科书第一页上的插图和引例，然后回答问题：（1）这个有关测量的实际问题有什么特点？（有一个重要的测量点不可能到达）（2）把这个实际问题转化为数学模型后，其图形是什么图形？（直角三角形）（3）显然本例不能用勾股定理求解，那么能不能根据已知条件，在地面上或纸上画出另一个与它全等的直角三角形，并在这个全等图形上进行测量？（不一定能，因为斜边即水管的长度是一个较大的数值，这样做就需要较大面积的平地或纸张，再说画图也不方便。

）（4）这个实际问题可归结为怎样的数学问题？（在Rt △ABC 中，已知锐角A 和斜边求∠A 的对边BC 。

）但由于∠A 不一定是特殊角，难以运用学过的定理来证明BC 的长度，因此考虑能否通过式子变形和计算来求得BC 的值。

2、在RT △ABC 中，∠C ＝o 90，∠A ＝o30，不管三角尺大小如何，∠A 的对边与斜边的比值都等于1／2，根据这个比值，已知斜边AB 的长，就能算出∠A 的对边BC 的长。

类似地，在所有等腰的那块三角尺中，由勾股定理可得∠A 的对边／斜边＝BC ／AB ＝1／2 这就是说，当∠A ＝o 45时，∠A 的对边与斜边的比值等于2／2，根据这个比值，已知斜边AB 的长，就能算出∠A 的对边BC 的长。

那么，当锐角A 取其他固定值时，∠A 的对边与斜边的比值能否也是一个固定值呢？（引导学生回答;在这些直角三角形中，∠A 的对边与斜边的比值仍是一个固定值。

北京版-数学-九年级上册-20.1.1 锐角三角函数(教学设计)

20.1锐角三角函数（1）一、教学目标知识与技能：⒈通过实例让学生理解并认识锐角三角函数的概念；⒉正确理解正弦符号的含义，掌握锐角三角函数的表示；3．学会根据定义求锐角的正弦值．4．知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值也都固定这一事实．过程与方法：1.经历锐角的正弦的探求过程，确信三角函数的合理性，体会数形结合的思想．2．三角函数的学习中，初步体验探索、讨论、论证对学习数学的重要性。

情感态度价值观：1．通过锐角的正弦概念的建立，经历从特殊到一般的认识过程．2．在探索、分析、论证、总结获取新知识过程中体验成功的喜悦，从解决实际问题中感悟数学的实用性，从而培养学生学习数学的兴趣．二、教学要点理解当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定的这一事实．三、教学难点正弦概念建立、表示及计算.四教学流程一、复习引入我们已经学习了直角三角形的哪些性质呢？如图,在Rt△ABC中,∠C=90°， a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边。

边：勾股定理，即： a2+b2=c2 .二、探究新知问题1：在Rt △ABC 中,∠C=90°，∠A=30°,过BC上的点B 1 作111B C AC C ⊥于，111B C AB 的值为多少?因为∠C=90°，∠A=30°,所以B 1 C 1 =AB 1 ,所以1111=2B C AB ，这说明这个比值只与∠A=30°有关，与Rt △ABC 的大小无关。

思考：在Rt △ABC 中，∠C=90°，当锐角A 取其他固定值时，∠A 的对边与斜边的比值还会是一个固定值吗？猜想：在Rt △ABC 中，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边的比值是唯一确定的.下面我们用相似形的知识来说明．已知：如图，Rt △AB 1C 1 和 Rt △AB 2C 2 中∠A=α, 求证：112212B C B C AC AC =.证明：∵∠ AB 1C 1= ∠ AB 2C 2=90°, ∠A= ∠A, ∴ Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2,111222B C AC B C AC ∴=112212B C B C AC AC ∴=可见，在Rt △ABC 中，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边的比值是唯一确定的.问题2：结合图形叙述正弦定义：在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，A sin BC aA AB c ∠===的对边斜边要求学生根据定义写出sinB 的表达式，目的是巩固学学生写出证明过程学生熟悉概念例1的设置是为了巩cbaACB生进一步掌握直角三角形中锐角正弦的含义。

九年级数学上册 211锐角三角函数教案北京教改版教案

2、使学生了解“在直角三角形中，当锐角A 取固定值时，它的对边与斜边的比值也是一个固定值。

重点、难点、关键1、重点：正弦的概念。

2、难点：正弦的概念。

3、关键：相似三角形对应边成比例的性质。

）（4）这个实际问题可归结为怎样的数学问题？（在Rt △ABC 中，已知锐角A 和斜边求∠A 的对边BC 。

）但由于∠A 不一定是特殊角，难以运用学过的定理来证明BC 的长度，因此考虑能否通过式子变形和计算来求得BC 的值。

2、在RT △ABC 中，∠C ＝o90，∠A ＝o30，不管三角尺大小如何，∠A 的对边与斜边的比值都等于1／2，根据这个比值，已知斜边AB 的长，就能算出∠A 的对边BC 的长。

类似地，在所有等腰的那块三角尺中，由勾股定理可得∠A 的对边／斜边＝BC ／AB ＝1／2 这就是说，当∠A ＝o45时，∠A 的对边与斜边的比值等于2／2，根据这个比值，已知斜边AB 的长，就能算出∠A的对边BC 的长。

锐角三角函数教案设计

锐角三角函数教案设计锐角三角函数教案设计锐角三角函数教案设计篇1知识目的：1.理解锐角的正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的意义。

2.会由直角三角形的边长求锐角的正、余弦，正、余切函数值。

才能、情感目的：1.经历由情境引出问题，探究掌握数学知识，再运用于理论过程，培养学生学数学、用数学的意识与才能。

2.体会数形结合的数学思想方法。

3.培养学生自主探究的精神，进步合作交流才能。

重点、难点：1.直角三角形锐角三角函数的意义。

2.由直角三角形的边长求锐角三角函数值。

教学过程：一、创设情境前面我们利用相似和勾股定理解决一些实际问题中求一些线段的长度问题。

但有些问题单靠相似与勾股定理是无法解决的。

同学们放过风筝吗？你能测出风筝离地面的高度吗？学生讨论、答复各种方法。

老师加以评论。

总结：前面我们学习了勾股定理，对于以上的问题中，我们求的是BC的长，而的AB的长是可知的，只要知道AC的长就可要求BC了，但实际上要测量AC是很难的。

因此，我们换个角度，假如可测量出风筝的线与地面的夹角，能不能解决这个问题呢？学了今天这节课的内容，我们就可以很好地解决这个问题了。

〔由一个学生比拟熟悉的事例入手，引起学生的学习兴趣，调动起学生的学习热情。

由此导入新课〕二、新课讲述在Rt△ABC中与Rt△A1B1C1中∠C=90°,C1=90°∠A=∠A1，∠A的对边、斜边分别是BC、AB，∠A1的对边、斜边分别是B1C1、A1B2 〔学生探究，引导学生积极考虑，利用相似发现比值相等〕〔〕假设在Rt△A2B2C2中，∠A2=∠A，那么问题1：从以上的探究问题的过程，你发现了什么？〔学生讨论〕结论：这说明在直角三角形中，只要一个锐角的大小不变，那么无论这个直角三角形的大小如何，该锐角的对边与斜边的比值是一个固定值。

在一个直角三角形中，只要角的大小一定，它的对边与斜边的比值也就确定了，与这个角所在的三角形的大小无关，我们把这个比值叫做这个角的正弦，即∠A的正弦= ，记作sin A，也就是：sin A=几个注意点：①sin A是整体符号，不能所把看成sinA；②在一个直角三角形中，∠A正弦值是固定的，与∠A的两边长短无关，当∠A发生变化时，正弦值也发生变化；③sin A 表示用一个大写字母表示的一个角的正弦，对于用三个大写字母表示的角的正弦时，不能省略角的符号“∠”；例如表示“∠ABC”的正弦时，应该写成“sin∠ABC”；④ Sin A= 可看成一个等式。

京改版九年级数学上册20.1锐角三角函数教学设计

1.基础练习题：设计一组基础题目，包括计算给定角度的正弦、余弦、正切值，以及利用这些函数解决简单的直角三角形问题。这些题目旨在帮助学生巩固基本概念和计算方法。
例如：
-计算sin30°、cos45°、tan60°的值。
-已知直角三角形的一边长和一角，求解其余两边长。
2.应用题：精选一些与实际生活相关的题目，要求学生运用锐角三角函数的知识解决实际问题。这样的题目能够提高学生将数学知识应用于现实情境的意识。
本节课开始时，我将以学生已学习的直角三角形的性质和勾股定理为切入点，通过以下方式导入新课：
首先，我会向学生展示一个直角三角形的图像，并提问：“同学们，我们已经学习过直角三角形的性质，那么你们还能回忆起直角三角形有哪些特殊的边和角吗？”这个问题旨在引导学生回顾直角三角形的定义和基本概念。
接着，我会引导学生思考：“在直角三角形中，如果知道了两个角的度数，我们是否能够求出第三个角的大小呢？”通过这个问题，自然引出锐角三角函数的概念，即通过角度关系来求解三角形中的未知元素。
1.导入：通过复习直角三角形的性质和勾股定理，引出锐角三角函数的概念。
2.基本概念：介绍正弦、余弦、正切函数的定义，引导学生通过观察图形，加深对概念的理解。
3.性质与应用：探讨锐角三角函数的值与角度的关系，引导学生运用计算器或查表求解锐角三角函数值，并解决实际问题。
4.例题讲解：精选具有代表性的例题，讲解解题思路和方法，引导学生运用锐角三角函数解决直角三角形问题。
其次，介绍锐角三角函数的表示方法，如sin、cos、tan等，并解释它们的符号含义。通过具体的角度和函数值对应表，让学生观察、总结函数值与角度的关系。
然后，结合计算器或查表方法，教授学生如何快速求解锐角三角函数值，并应用于解决实际问题。

2019-2020学年最新北京课改版九年级数学上册《锐角的三角函数值》教学设计-优质课教案

21.2锐角的三角函数值一、教法设想：通过同学们经常使用的三角板，让同学们计算一下，当∠A=30°,∠=A 的对边斜边? ∠A=45°,∠=A 的对边斜边? 由于同学们所使用三角板大小不一，但他（她）们求得的比值都是12和22，这是为什么呢？由相似三角形有关性质得出：在这些直角三角形中，锐角A 取一个固定值，∠A 的对边与斜边的比值仍是一个固定值，进而再引入正弦，余弦的概念，并向同学说明0< sinA < 1, 0< cosA< 1（∠A 为锐角）.再分别求出30°，45°，60°特殊三角函数值并应用其进行计算，进一步研究任意锐角的正弦值与余角的余弦值关系.根据30°，45°，60°正、余弦值分析，引导同学归纳出：当角度在0°—90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；当角度在0°—90°间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）.适时介绍正弦和余弦表的构造. 结合实例进行查表，知其角度查正弦值或余弦值，反之亦然. 正确处理好修正值.对学有余力的学生，也可适当介绍“sin 2A+ cos 2A = 1”这一重要关系式.在学习正弦、余弦的概念后，再进一步学正切、余切较容易，可仿正弦、余弦的教法进行，对学有余力的学生也可讲授tgA ctgA tgA SinA CosA CtgA CosASinA===1,,这些重要关系式. 在教学中对0°，30°，45°，60°，90°的特殊角的三角函数值要求学生一定要熟记，为此，我们可分别列出表并编出口决让学生记易，省时易记.表I ：三角函数 30° 45° 60°Sin α1212=22 32 Cos α32 22 1212=tg α33193=3273=口决：一，二，三，三，二，一，三九二十七. 表II.三角函数 0°30°45° 60° 90°Sin α002=1212=22 32142=Cos α 142=32221212=002=tg α 0 3313=1 3 ── ctg α──313313=口决：0，一，二，三，四带根号，比上2要记牢. 第二行左右倒，三，四行靠推导. 【指点迷津】本单元锐角三角函数的引进，使形与数紧密结合为一体，开辟了数形结合的新航向. 因此，在本单元教学中，务必注意数形结合思维方法的引导，应用. 用其法解决生活中的实际问题. 达到得心应手. 二、学海导航：【思维基础】1. 锐角三角函数定义Rt △ABC 中，∠C= 90°，AB= c ，BC= a ，AC= b ，则∠A 的正弦，余弦，正切，余切分别是：SinA = ________ CosA =_______ tgA =________ CtgA= ________. 它们统称为∠A 的锐角三角函数. （1）一锐角的三角函数值是四个_______；锐角三角函数都不可能取_________，且A 为锐角时，SinA ，CosA 均在______~ ______内取值. 2. 特殊角的三角函数值（完成下表）0° 30° 45° 60° 90° 增减值 Sin α Cos α tg α ctg α3. 互余角间的三角函数关系，△ABC 中，∠C= 90°，A + B = 90°，∠B =90°－A ，则有：Sin(90°－A) = ___________ Cos(90°－A) = ___________ tg (90°－A) = ___________ Ctg(90°－A) = ___________.4. 同角三角函数关系公式：（∠A 为锐角）.（1）Sin 2A + Cos 2A = ___________; Cos 2A = ___________, Sin 2A = ____________.【学法指要】例1. 如果∠A 为锐角，CosA=14，那么（） A. 0°< A ≤30° B. 30°< A ≤45° C. 45°< A ≤60° D. 60°< A < 90°角度三角函数值三角函数思路分析：CosA Cos CosA Cos =<=︒=>=︒14126014090,当角度在0°~ 90°间变化时，余弦值随着角度的增大（或减少）而减小（或增大）. ∴ 60°< A < 90° 应选D 例2. 当45°< X < 90°时，有（）A. Sin x > Cos x > tg xB. tg x > Cos x > Sin xC. Cos x > Sin x > tg xD. tg x > Sin x > Cos x 思路分析： ∵ 45°< x < 90° ∴ 取A = 60°∴=︒==︒==︒=S i n X S i n C o s X C o s t g X tg 6032601260333212>>， ∴tg x > Sin x > Cos x ∴ 应选D解选择题，采取特例法可出奇制胜，如本例取x = 60°在45°< x < 90°的范围内，很快可知Sin 60°,Cos 60°,tg60°的值，谁大谁小，相形见绌. 因之，在解决有关选择题时，根据题目的限制条件，灵活选取特殊值（也可画特殊图形，特殊点，特殊位置，特殊线等），可巧夺天工.例3. 计算：()()73630606045304560304501-︒⋅︒⋅︒︒+︒+︒-︒︒⋅︒⋅︒-Sin Cos tg Cos Sin Sin Cos Sin tg Ctg思咯分析：若a ≠0时 , a 0 = 1 736073610-︒≠∴-︒=Sin Sin ()对此项中的Sin36°是一项干扰支. 迷惑同学们，因为Sin36°，不是表内特殊值，求不出来，至使解题陷入僵局，其实不然. 不需要求Sin36°之值，只需要知道 7360-︒≠Sin 即可. 因而，解题时，必须善于排除干扰支，解除困惑，准确使用数学概念，正确求出答案，对于特殊角三角函数值的计算，一. 要准确无误代入三角函数值；二. 要按照实数的运算法则进行运算；三. 运算的结果必须是最简关系式. 于是对上式便一目了然了.原式=⋅⋅++-⋅⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⋅=++-=-+-=---=---13231222123232331321123211123231222411()()例4. 已知方程343302x x k -+=的两根为 tg θ, ctg θ,求k 和θ，（θ为锐角）思路分析：∵tg θ, ctg θ为二次方程343302x x k -+=的二根，根据与系数关系式，得tg ctg tg ctg K θθθθ+=⋅=⎧⎨⎪⎩⎪433∵tg θ· ctg θ=1 ∴k = 1 ∴原方程为343302x x -+=∴==x x 12333,即tg θ=33 , ctg θ=3 或 tg θ=3 , ctg = 33故θ1=30° θ2 = 60°锐角三角函数与二次方程等有着千丝万缕的联系，各种知识交织在一起，因而必须把综合知识进行剖析，分解，然后各个击破，便可打通思路. 如本例，首先运用二次方程的有关知识──根与系数关系；再运用锐角三角函数的倒数关系求出K ，又回到解一元二次方程来，解出二根，从中求出tg θ,ctg θ之值，再求出对应的θ之值，总之，善于剖析，化整为零，一个一个解决，对复杂的综合题便可攻破了.例5. 在△ABC 中，三边之比a ：b ：c = 1：3：2，则SinA + tgA 等于（） A.3236+ B. 1232+ C. 332 D.312+ 思路分析：∵ a ：b ：c = 1：3：2 ∴ 可设a = k, b =3k , c = 2k ( k > 0 )∴a 2 + b 2 = k 2 + (3k)2= 4k 2 = (2k)2 = c 2 ∴ △ABC 是直角三角形，且∠C= 90° 根据三角函数定义，可知：SinA a c k k tgA a b k k======212333, ∴△ABC 是直角三角形，且∠C= 90° 根据三角函数定义，可知：SinA a c k k tgA a b k k======212333, ∴SinA + tg A =+=+12333236∴ 应选（A ）对于题设是以连比形式出现的，通常都是增设参数K ，将未知转化已知，使问题明朗化，进而再研究三角形三边的关系，从而判定为直角三角形，又转化为锐角三角函数问题，找到思路，这是解决此类问题的常用方法，而且又比较方便，请同学们今后遇到此类问题，可小试“牛刀”. 【思维体操】例1. 已知AD 是直角△ABC 的斜边BC 上的高，在△ADB 及△ADC 中分别作内接正方形，使每个正方形有两条边分别在DB ，DA 及DC ，DA 上，而两个正方形的第四个顶点E ，F 各在AB ，AC 上，求证：AE= AF.揭示思路1：设∠ABC= α. 正方形EMDG 与正方形DNFH 的边长分别为a , b∵AD = AG + DG = a ·tg α + a AD = AH + DH = b ·Ctg α+b ∴a tg α + a = b ctg α+b∴ a b ctg tg bctg ctg ctg =++=++()()1111ααααα= b ·ctg α= AH. AE aAF AH a===cos ,cos cos ααα∴AE = AF 揭示思路2：设BC = a , 且∠ABC=α，则有 AB = a cos αAB AE BE AE EM Sin AE EGSin AE AE Sin =+=+=+=+ααααcos∴=+=+a AE AEcos (cos sin )sin cos sin αααααα1∴=⋅+AE a sin cos sin cos αααα同理：AF a =⋅+sin cos sin cos αααα∴AE = AF由上两种思路证得AE= AF ，可发现用三角法研究几何问题，开门见山，直截了当，只要所给定的几何图形中有直角三角形. 便可应用锐角三角函数列出它们的边角关系式，再应用代数法计算一下，便可达到目的. 题设所给的问题中，未有给定直角三角形，只要能构造出直角三角形，同样也可转化为用三角法证解之，而且也比较方便，由此可见，用三角法证（解）几何问题为解几何问题又开拓了新的渠道. 为数与形结合提供了新的条件，我们应在这条新渠道不断探索，取得新的成果. 现沿这思路继续扩散.扩散一：如图，Rt △ABC 中，有正方形DEFG ，D ，G 分别在AB ，AC 上，E ，F 在斜边BC 上，求证：EF 2 = BE ·FC揭示思路：从题设及图形中都可发现有直角三角形，所以用三角法证之比较顺畅.在Rt △BDE 中，tgB DEBE =在Rt △GFC 中，tgC GFCF=∵∠B + ∠C =90°，∴tgB = tg(90°－ C) = ctgC∴ DE BE GFCFtgB tgC ctgC tgC ⋅=⋅=⋅=1∵DE = GF = EF ∴EF 2 = BE ·CF 扩散二：在△ABC 外侧作正方形ABDM 和ACEN ，过D ，E 向BC 作垂线DF ，EG ，垂足分别为F ，G ，求证：BC = DF + EG提示思路：观察图形可发现直角三角形DFB 及直角三角形EGC. 便萌生用三角法证明，可是此时DF ，EG 比较分散. 设法作AH ⊥BC 再构两个直角三角形，通过正方形为“媒介”，这样把DF ，EG 就有了联系. 此时，应用锐角三角函数定义建立边角关系，便可马到成功！在Rt △EGC 中，Sin EGb()90︒-=β ∴EG = b cos β在Rt △DBF 中，同理，DF = c cos α（设b, c , α,β如图） ∴EG + DF = b Cos β + c cos α 在 Rt △ABH 中，BH = c cos α 在 Rt △ACH 中，CH = b cos β∵BC = BH + CH , ∴BC = b cos β + c cos α ∴BC = EG + DF 扩散三：设顶角A = 108°的等腰三角形的高为h ，∠A 的三等分线及其外角的四等分线分别为P 1，P 2，求证：11112222P P h+=.揭示思路：从图形中可发现有几个直角三角形存在，这个信息向我们提供用三角法证明是得天独厚的条件，不要犹豫，不然，将会失去良机.如图，设△ABC 的底边上的高AH = h , ∠A 的三等分线AD= P 1， ∠A 的外角四等线AE = P 2，∠BAC= 108°，AB = AC ，∴∠DAH = 18°在Rt △ADH 中，cos18°=h p 1∵ ∠CAE = 14(180°－108°)= 18° ∠ACB =12(180°－108°)= 36°∴∠AEC = 18° 在Rt △AHE 中，Sin18°=h p 2∴+=︒+︒=∴+=h p h P P P h212222221222218181111cos sin扩散四：已知：如∠BAC=90°，AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为D 、E 、F.求证：AB AC BECF33= 揭示思路：本例直角三角形之多，用三角法证之更不宜迟，用锐角三角函数定义，列出边角关系，可十分巧妙就证得结论.设∠ABC = α，则∠DAF = ∠CDF= αctg BE DEBE DE ctg tg CF DF CF DF tg αααα=⇒=⋅=⇒=⋅⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪⇒=⋅=⋅===⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪⇒==⇒=⇒=BE CF DE DF ctg tg DE DF Ctg Ctg AF DF DE DF AF DE BE CF Ctg Ctg AB AC AB AC Ctg AB AC BE CF ααααααα2333333() 扩散五：在正方形ABCD 中，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，交OB 于F ，求证：EC = 20F揭示思路：观察图形，图中有许多直角三角形，它启示我们用三角法作为“向导”，可直达目的地.∠BEF = ∠ACB + ∠EAC = 45°+∠BAE ∵∠BFE= ∠CAE, ∴∠BEF = ∠BFE, ∴BE = BF 进而可知AD = DF设正方表ABCD 边长为1，又设∠BAE = ∠CAE =α则OA= OB = 22在Rt △ABE 中，BE = AB ·tg α= BF BF = OB －OF = OB － OA ·tg α ∴ABtg α= OB － OAtg α∴=+=+=-tg OBAB OAα2212221∴OF = OA ·tg α= 22(2－1)EC= BC －BE = 1－1·tg α= 1－2+1 = 2 －2 =2(2－1)∴EC = 20F应用锐角三角函数的定义研究几何问题；直观，又少添或不添设辅助线，充分发挥数的长处. 把几何问题通过锐角三角形边角关系，应用计算法，便可曲径通幽，柳暗花明. 同学们应加强这方面的学习，以拓宽几何证题思路.三、智能显示【动脑动手】1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，则SinB + CosB的值（）（A）大于1 （B）小于1（C）等于1 （D）不确定2. 在△ABC中，它的边角同时满足下列两个条件；（1）SinC=1；（2）SinA,CosB是方程4x2－cx + 1 = 0的两个根，求a，b，c及S△ABC3.证明：“从平行四边形ABCD的顶点A，B，C，D向形外的任意直线MN引垂线AA＇BB＇CC＇DD＇垂足是A＇B＇C＇D＇（如下图）求证：AA＇+ CC＇=BB＇+ DD＇，现将直线MN向上移动，使得A点在直线的一侧，B、C、D三点在直线的另一侧（如中图），这时，从A、B、C、D向直线MN作垂线，垂足为A＇B＇C＇D＇，那么垂线放AA＇BB＇CC＇DD＇之间存在什么关系？如将直线MN 再问上移动，使两侧各有两个顶点（如下图）. 从A，B，C，D向直线MN作的垂线放AA＇BB＇CC＇DD＇之间又有什么关系？根据左图，中图，右图写出你的猜想，并加以证明.揭示思路：1. 在Rt△ABC中，∠C= 90°由锐角三角函数定义，得SinBbcCosBac ==,∴+=+=+SinB CosB b c a c a bc ∵a + b > c∴+=+>=SinB CosB a b c cc1 ∴SinB + CosB > 1 , 应选A. 2. ∵SinC = 1 , ∴∠C = 90° ∵SinA + CosB =c 4,SinA CosB = 14又A + B = 90°, ∴B = 90°－A ∴CosB = Cos(90°－A ) = SinA∴+==⋅==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪S i n A C o s B S i n A c S i n A C o s B S i n A 24142∴c = 4 , A= 30°, a = 2 , b = 23 3. 猜想如下：对于中图有：CC ＇－ AA ＇= BB ＇+ DD ＇对于右图有：CC ＇－ AA ＇= DD ＇－ BB ＇证法1. 如图,设∠AEA ＇= α,则AA ＇= AESin α= (OA －OE)Sin α= OASin α－OESin α，又CC ＇= CESin α= (OC + OE ) Sin α= (OA + OE ) Sin α = OASin α+ OESin α∴CC ＇－ AA ＇= 2OESin α∵OO ＇= OESin α, ∴CC ＇－ AA ＇= 2OO ＇由题设知，OO’为梯形BB’D’D 的中位线.∴BB ＇+ DD ＇= 2OO ＇ ∴CC ＇－ AA ＇= BB ＇+ DD ＇（2）如图，仿（1）证法可得 CC ＇－ AA ＇= 2OESin α DD ＇－BB = 2OFSin β ∵OESin α= OFSin β,∴CC ＇－ AA ＇= DD ＇－ BB ＇证法二：（1）延长CB 交MN 于E ，设AD 与MN 交于F ，又设∠AFA ＇= α，则∠BEB ＇= α，在Rt △EBB ＇中，Sin BB BEα='∵BE= CE － CB∴BB ＇= BESin α－ CBSin α 在R t △ECC ＇中，Sin α=CC CE', ∴CC’= CESinα∵CC ＇－ BB ＇= BCSin α 在Rt △AA ＇F 与Rt △FDD ＇中. AA ＇= AFSin α, DD ＇= DFSin α ∵DF= AD － AF∴DD ＇= ADSin α－ AFSinA ＇ ∴DD ＇= ADSin α－ AA ＇ ∴DD ＇+ AA ＇= ADSin α∵AD= BC, ∴CC ＇－ BB ＇= DD ＇+ AA ＇ ∴CC ＇－ AA ＇= BB ＇+ DD ＇（2）仿证法（1）同样可证得 CC ＇+ BB ＇= BCSin α AA ＇+ DD ＇= ADSin α∴CC＇+ BB＇= AA＇+DD＇，∴CC＇－AA＇= DD＇－BB＇证法三：（1）如图，作DE⊥CC＇，则DD＇C＇E为矩形，∴CE= CC＇－DD＇设∠AFA＇= α，则易知∠CDE= α在Rt△CDE中，Sin CECD CC DDCDα==-''∴CC＇－DD＇= CDSinα在Rt△AFA＇中， AA＇= AFSinα在Rt△FBB＇中， BB＇= BFSinα∴BB＇= (AB－AF)Sinα= ABSinα－AFSinα∴AA＇+ BB＇= ABSinα∵AB = CD, ∵AA＇+ BB＇= CC＇－DD＇∴CC＇－AA＇= DD＇+ BB＇（2）如图，仿（1）同法可证：CC＇－AA＇= DD＇－BB＇【创新园地】已知△ABC中，∠BAC= 120°，∠ABC=15°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a, b ,c那么a：b：c =_________ （本结论中不含任何三角函数，但保留根号，请考虑多种解法）.解法一：过点B作BD⊥AC交CA的延长线于点D.∴∠BAC=120°，∠ABC= 15°, ∴∠ACB= ∠DBC=45°,∠ABD= 30°在Rt△ABD中，Sin30°= ADc∴AD=12cCos30°= BDc，∴BD =32c∴b －BD －AD = 31 2-ca = 22326 222BD c c ==()∴a：b：c = 62312c c c ::-= 36222::-解法二：如图，作AD⊥BC，交BC于D，在AB 上取AE = AC，连CE，作AF⊥CE，交CE于F，则∠ACE = ∠AEC= 180120230︒-︒=︒，∠BCE= ∠ACB－30°= 45°－30°= 15°∴△BEC为等腰三角形，∴BE= CE设AD = CD = 1，则AC = 2，即b = 2∴CE = 2 AC Cos30°= 6∴AB= AE + EB = 2+6，即c = 2+6∴BD = AB AD22226174323-=+-=+=+()∴BC = BD + DC = 3 + 3，即a = 3 + 3∴a：b：c = （3+ 3）：2：（2+6）= 36222::-解法三：如图，作AD⊥BC, 交BC于D, 在BC上取点E，使∠BAE = ∠B = 15°,那么，连接AE，得：∠AEC = 30°，AE = BE. 设AD = DC = 1，则AC =2，即b = 2，AE= BE = 2AD = 2，DE = AE·Cos30°=3∴ AB AD DB =+=++=+22212326()即c =2+6∴ a ：b ：c = (3+ 3) ：2：(2+6)=36222::- 解法四：如图，BD = x ，则2x 2 = a 2，∴x = 223066a AD BD tg a ,=⋅︒=∴=-=-b a a a 22663266,∴==c AD a 263∴=-a b c a a a ::::326663= 36232::- （参照解法一图）解法五：以BC 为直径作⊙o ，延长CA 交⊙o 于在，连BD ，设a =2r ，则BD =2r , AD=63r ∴=-=-==∴=-b r r rc AD r a b c r r r2633263226323263263::::=36232::- 解法六：建立如图坐标系，则可求：OB c OA c OC OB c ====321232,, ∴=-=-==∴=-=-AC OC OA c BC OB c a b c c c c3122626231236222,::::::解法七：建立如图坐标系，由B 点引X 轴的垂线，垂足为D ，则||||,||||::::::BD CD a c BD Sin a aDA c a a b c a a===︒=⋅===∴=-=-2260222363126632666336222解法八：建立如图坐标系，设C(－1，0)，B(1，0)，延长CA 交Y 轴于点D ，连结BD ，则D 点坐标是(0，1) ，那么|BD|= |CD| =2c BD Sin =︒=⋅=||60223263∴==∴==-=-=-∴=-=-||||||||::::::AD c b AC DC AD a b c 126326332632326326336222本例还可用面积法证明，如S △CBD = 12a ·BD ，Sin45°= 12BD 2 ∴BD= 22a ……。

九年级数学上册《锐角三角函数》教案、教学设计

3.小组合作题需充分发挥团队协作精神，共同完成任务；
4.作业完成后，请学生认真检查，确保答案的正确性。
4.利用信息技术手段，如动态课件、网络资源等，丰富教学手段，提高学生的学习兴趣和积极性。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生的学习热情，提高学生的自主学习能力。
2.通过解决实际问题，使学生认识到数学知识在实际生活中的重要作用，增强学生的应用意识。
3.培养学生勇于探索、克服困难的精神，提高学生的自信心和自尊心。
九年级数学上册《锐角三角函数》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.使学生掌握锐角三角函数的定义，理解正弦、余弦、正切函数的概念，并能够运用这些概念进行简单的计算。
2.培养学生运用三角函数解决实际问题的能力，如测量物体的高度、计算角度等。
3.使学生掌握特殊角的三角函数值，并能熟练运用到实际问题中。
（2）运用三角函数解决实际问题，尤其是将实际问题抽象为数学模型，并运用三角函数进行求解；
（3）掌握特殊角的三角函数值，并能灵活运用到实际问题中。
（二）教学设想
1.教学策略：
（1）采用情境教学法，创设实际问题情境，引导学生主动探究锐角三角函数的定义和性质；
（2）运用任务驱动法，设计具有挑战性的任务，让学生在实践中掌握三角函数的计算方法和应用；
（3）了解三角函数在其他学科领域的应用，如物理、工程等。
4.小组合作题：
（1）分组讨论：如何利用三角函数解决实际问题？举例说明；
（2）小组合作完成一份关于锐角三角函数在实际问题中应用的报告。
作业要求：
1.学生需独立完成基础题，提高题和拓展题可根据个人能力选择完成；
2.作业过程中，要求学生注重解题思路和方法的总结，养成良好的学习习惯；

北京版数学九年级上册《20.1 锐角三角函数》教学设计3

北京版数学九年级上册《20.1 锐角三角函数》教学设计3一. 教材分析北京版数学九年级上册《20.1 锐角三角函数》是学生在学习了三角函数的概念、正弦、余弦、正切的基础知识后，进一步深入研究三角函数的性质和应用。

本节内容通过具体的例子，让学生了解锐角三角函数的定义和性质，以及如何运用锐角三角函数解决实际问题。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固知识，提高解题能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对三角函数的概念和性质有一定的了解。

但学生在学习过程中，可能对锐角三角函数的定义和性质理解不够深入，对实际问题的解决能力有待提高。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解和掌握锐角三角函数的定义和性质，并通过实际问题，提高学生的应用能力。

三. 教学目标1.让学生理解锐角三角函数的定义和性质。

2.培养学生运用锐角三角函数解决实际问题的能力。

3.提高学生的数学思维能力和创新能力。

四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的定义和性质。

2.难点：运用锐角三角函数解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

通过提出问题，引导学生思考和探索，通过案例分析和小组讨论，提高学生的参与度和合作能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实际问题。

2.准备教学PPT和教学素材。

3.准备练习题和测试题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生回顾三角函数的概念和性质。

例如：“你们知道什么是三角函数吗？三角函数有哪些性质？锐角三角函数又是怎样的呢？”2.呈现（10分钟）通过PPT呈现锐角三角函数的定义和性质，以及相关的例题。

让学生直观地了解锐角三角函数的概念和特点。

3.操练（10分钟）让学生通过解决实际问题，运用锐角三角函数。

例如：“一个直角三角形，其中一个锐角的正弦值是0.5，求这个锐角的度数。

”4.巩固（10分钟）通过练习题，巩固学生对锐角三角函数的理解和掌握。

例如：“判断题：一个锐角的余弦值等于0.5，那么这个锐角的度数是30度。

20.1锐角三角函数-北京版九年级数学上册教案

20.1 锐角三角函数-北京版九年级数学上册教案一、教学目标1.掌握正弦、余弦和正切的定义。

2.掌握锐角三角函数的基本性质。

3.能够应用锐角三角函数求角度或边长。

二、教学重点1.正弦、余弦和正切的定义。

2.锐角三角函数的基本性质。

三、教学难点1.应用锐角三角函数求解问题。

2.应用锐角三角函数的应用场景。

四、课前准备1.教师准备：教案、教学PPT。

2.学生准备：笔记本、笔、习题册。

五、教学过程1. 自然界和日常生活中的三角函数在自然界和日常生活中，三角函数在很多场景中都有应用。

比如，在海浪中，我们常常能够看到波浪呈现正弦曲线的形状；太阳的高度和阴影的长度，也涉及到了正切函数的应用。

2. 正弦、余弦和正切的定义正弦、余弦和正切是三角函数的三种基本函数，其中正弦和余弦都是取值在-1到1之间的周期函数，而正切的定义是tanA = sinA / cosA。

在教学中，我们重点教授正弦、余弦和正切函数的定义和函数图像。

3. 锐角三角函数的基本性质锐角三角函数有很多基本性质，其中最重要的是正弦、余弦和正切函数的正负关系，以及它们在不同象限的取值情况。

在教学中，我们会详细讲解这些性质，并且引导学生进行相关练习。

4. 应用锐角三角函数求解问题在教学过程中，我们会带领学生应用锐角三角函数来求解一些具体问题，比如在不知道角度的情况下，如何确定三角函数的具体值，以及如何应用三角函数来计算三角形的各个边角。

5. 应用锐角三角函数的应用场景在教学过程中，我们还会介绍锐角三角函数在日常应用中的一些场景，比如在地理学中应用到的地球经纬度和方位角的计算等。

六、课堂练习为了帮助学生更好地理解锐角三角函数的概念，教师会在课堂上安排一些练习，让学生通过计算具体问题来锻炼运用锐角三角函数的能力。

1.若sinA = 3 / 5，且A为锐角，则cosA = 。

2.若cosA = -4 / 5，且A为锐角，则tanA = 。

3.若tanA = -1 / 3，且A为锐角，则cosA = 。

北京课改版数学九年级上册20.1《锐角三角函数》教学设计

北京课改版数学九年级上册20.1《锐角三角函数》教学设计一. 教材分析北京课改版数学九年级上册20.1《锐角三角函数》是学生在学习了平面几何、代数基础知识后的进一步拓展，主要介绍了锐角三角函数的定义、性质和应用。

本节内容对于学生来说，既是对前面知识的巩固，又是为后面学习更高级的数学知识打下基础。

教材通过丰富的实例，引导学生探究锐角三角函数的定义和性质，从而培养学生的探究能力和思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何和代数基础知识，对于图形的认知和逻辑推理能力有一定的培养。

但同时，由于学生的学习能力和兴趣各有不同，因此在教学过程中，需要针对不同层次的学生进行差异化教学，激发他们的学习兴趣，提高他们的学习主动性。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解锐角三角函数的定义、性质和应用，能够运用锐角三角函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生探究问题和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的学习态度。

四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的定义、性质和应用。

2.难点：锐角三角函数的性质的理解和运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的实例，引导学生进入学习情境，提高学生的学习兴趣。

2.问题驱动法：提出问题，引导学生思考和探究，培养学生的解决问题的能力。

3.合作学习法：鼓励学生之间的合作交流，共同解决问题，提高学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作精美的PPT，展示锐角三角函数的相关实例和知识点。

2.实例材料：准备相关的实际问题，用于引导学生探究锐角三角函数的定义和性质。

3.学习任务单：设计学习任务单，引导学生进行自主学习和合作交流。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题，如测量一个未知角度的直角三角形的对边长度，引出锐角三角函数的概念。

2.呈现（10分钟）通过PPT展示锐角三角函数的定义和性质，引导学生理解和记忆。

九年级数学上册20_1锐角三角函数教案新版北京课改版

强调：“sinA”是一个完整的符号，不要误解为sin.A，记号里适应省去角的符号“∠”。单独写成符号sin是没成心义的，因为他离开了确信的锐角无法显示它的含义。
在△ABC中，∠C=90°，咱们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，
cosA=∠A的邻边/斜边=AC/AB=b/c
强调：“cosA”是一个完整的符号，不要误解为cos.A，记号里适应省去角的符号“∠”。单独写成符号cos是没成心义的，因为他离开了确信的锐角无法显示它的含义。
A. BC/A B B. BC/AC
C. AC/AB D. AC/BC
4.在Rt△ABC中，∠C为直角，AC=5，AB=13，那么以下正确的选项是（）
A. sinA=5/13 B. cotA=13/5
C . tanA=12/5 D. cosA=12/13
5.若是∠A为锐角，sinA=1/4那么（）
在△ABC中，∠C=90°，咱们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，
tanA=∠A的对边/邻边=BC/AC= a/b
强调：“tanA”是一个完整的符号，不要误解为tan.A，记号里适应省去角的符号“∠”。单独写成符号tan是没成心义的，因为他离开了确信的锐角无法显示它的含义。
活动2：锐角三角函数的增减性
解答：∵45°＜A＜90°，
∴依照sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，
当∠A＞45°时，sinA＞cosA。
应选：B。
（四）归纳小结
求三角函数的方式：
1.直接利用概念进行求解。
2.明白一边和一个特殊角，先求出一边，再利用概念求解。
3.利用等角来代换，
4.若是不是直角三角形，要构造成直角三角形。常见的几种情形如下：

数学九年级北师大版锐角三角函数(教案)

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解锐角三角函数的基本概念。锐角三角函数是指在直角三角形中，锐角的对边、邻边与斜边之间的比值关系。这些函数包括正弦、余弦和正切函数，它们在解决实际问题中具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们需要测量一座建筑物的高度，通过观察角度和已知距离，运用锐角三角函数可以轻松解决这个问题。
4.培养学生的数据分析观念：在解决实际问题的过程中，培养学生对数据的收集、整理、分析和处理能力，形成数据分析观念。
5.提高学生的数学建模能力：通过构建锐角三角函数模型解决实际问题，使学生掌握数学建模的基本方法，提高数学建模能力。
本节课将紧密围绕核心素养目标，引导学生深入探究锐角三角函数相关知识，培养其学科素养。
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过学习锐角三角函数的定义、图像与性质，使学生掌握推理、论证的方法，提高逻辑思维能力。
2.提升学生的空间观念：通过分析锐角三角函数的图像与性质，培养学生对图形的观察、分析、想象和创造能力，形成良好的空间观念。
3.增强学生的数学应用意识：将锐角三角函数应用于解决实际问题，使学生体会数学与现实生活的联系，提高数学应用意识。
最后，关于课堂总结和回顾，我觉得这部分时间分配得较为合理。在总结时，我强调了锐角三角函数在实际生活中的应用，希望学生们能够将所学知识内化为自己的能力。但同时，我也意识到在课堂总结时，应该更加关注学生的疑问和困惑，鼓励他们大胆提问，及时解答他们的疑惑。
1.采用更生动、直观的教学方法，帮助学生理解锐角三角函数的定义。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。

《锐角三角函数》教案

锐角三角函数【教学内容】锐角三角函数【教学目标】1、正确理解锐角三角函数的定义。

2、熟记0°、30°、45°、60°、90°角的四个三角函数值。

3、掌握互余两角的三角函数之间的关系：sin(90°-α)=cos α， cos(90°-α)=sin α tg(90°-α)=ctg α， ctg(90°-α)=tg α 4、理解同角三角函数之间的关系：（1）平方关系 sin 2α+cos 2α=1 （2）倒数关系 tg α·ctg α=1（3）弦切间的关系 tg α=ααcos sin ，ctg α=ααsin cos5、掌握三角函数值的大小变化规律：若0°<α<β<90°，则0<sin α<sin β<1 0<cos β<cos α<1 0<tg α<tg β 0<ctg β<ctg α6、会用科学计算器（尚无条件的学校可使用算表）由已知锐角求它的三角函数值，会由一个特殊锐角的三角函数值，求出它对应的角度。

【知识讲解】1、锐角三角函数的定义如图，△ABC 中，∠C=90°，把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA ，即：sinA=caA =∠斜边的对边把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即：cosA=c bA =∠斜边的邻边把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tgA ，即：tgA=b aA =∠邻边的对边把锐角A 的邻边与对边之比叫做∠A 的余切，记作ctgA ，即：ctgA=abA =∠对边的邻边2、特殊角的三角函数值可列表如下：对边邻边3 4 证明：（1）在又∵ ∴sin 2α （2）∵tg α ∴tg α （3）∵sin α=c a ，cos α=c b ，tg α=ba∴bacb c a==ααcos sin =tg α 又∵tg α·ctg α=1∴ctg α=ααsin cos5、当角度在0°～90°间变化时，正弦（正切）值随角度的增大而增大，余弦（余切）值随角度的增大而减小。

北京版-数学-九年级上册-20.1.3 锐角三角函数(教学设计)

20.1锐角三角函数（3）过程与方法：1.经历构造合适的直角三角形求一个锐角的三角函数值探求过程.体会锐角三角函数中边角之间的关系，初步体验三角函数与边、角之间的转化的重要性。

情感态度价值观：在探索、分析、论证、总结获取新知识过程中体验成功的喜悦，从解决实际问题中感悟数学的实用性，从而培养学生学习数学的兴趣．二、教学要点熟练根据定义求锐角三角函数值. 三、教学难点构造合适的直角三角形求一个锐角的三角函数值，以及锐角三角函数与边、角之间的关系式的转化. 四教学流程一、复习引入1.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，求∠A 的三角函数值。

解：因为在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，所以由勾股定理可得：AB=13，所以5sin ,13BC A AB == 125cos ,tan 1312AC BC A A AB AC ====2.在Rt △ABC 中，当锐角A 的值确定时，我们知道锐角A 的三角函数值确定，那么当两个锐角相等时，它们的锐角三角函数值相等吗？二、探究新知例1：已知，如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90º，一、教学目标知识与技能：掌握锐角三角函数的概念，会求一个锐角的三角函数值。

CD ⊥AB 于D,AB=16,BC=12,求sin ∠DCA 和tan ∠DCA 的值。

解：∵∠ACB ＝90º，AB=16,BC=12 ∴AC=又CD ⊥AB 于D ，∴∠DCA ＝∠B. ∴sin ∠DCA ＝sin ∠B=tan ∠DCA=tan ∠B=跟踪练习：在Rt △ABC 中，当∠BCA =90º，CD 是中线，DC=5,B C=8,求sinA ，cos ∠DCA,tan ∠DCB 的值。

解：由已知，可得，AD=BD=CD=5, ∴AB=10，∠A =∠DCA ,∠B =∠DCB, 由勾股定理，可得，AC=6.84105=BC AB sinA =∴=,63cos cos 105AC DCA A AB ∠====，D CAB2247AB BC -=7473DCAB63tan tan 84AC DCB B BC ∠====，例2.在等腰三角形ABC 中，AB=AC=13,BC=24,求sinB ，cosB,tanB.解：过点A 作AD ⊥BC ,于点D ，因为AB=AC ，BC=24,所以BD=CD=12，在Rt △ABD 中，由勾股定理可得AD=5，所以512sin cos 1313AD BD B B AB AB ====，，5tan 12AD B BD ==.跟踪练习：已知：在△ABC 中， AB=AC=6，BC=4，BD ⊥AC 于D ，（1）求 t an ∠ABC （2）求DC 的长.解：(1)过点A 作AE ⊥BC,BDACDCBA∵AB=AC=6，BC=4，∴122BE BC ==．在Rt △ABE 中，226242AE =-=， ∴tan ∠ABC=4222=2． (2)∵∠ABC=∠C ，∴BD ：DC=22 设DC=x ，则BD=2x 2，在Rt △BCD 中，根据勾股定理解得x=43．即DC 的长为43．思考：在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，a ，b ，c 分别为∠A,∠B,∠C 的对边，（1）写出由a 、c 、sinA 组成的三种不同的关系式；（2）写出由b 、c 、cosA 组成的三种不同的关系式；（3）写出由a 、b 、tanA 组成的三种不同的关系式；解：（1）sin ,sin ,sin a aA a c A c c A ==⋅=（2）cos ,cos ,cos b bA b c A c c A==⋅=（3）tan ,tan ,tan a aA a b A b b A ==⋅=.练习：如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交成的锐角为α，若AC=a ，BD=b ，求▱ABCD 的面积.解析：过点C 作CE ⊥DO 于点E ，∵在▱ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交成的锐角为α，AC=a ，BD=b ，∴sinα=EC CO ，∴EC=COsinα=12asinα， ∴S △BCD=12CE×BD=12×12asinα×b=14absinα，∴▱ABCD 的面积是：14absinα×2=12absinα．巩固练习：1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，下列式子必定成立的是（）A ．a=c•sinB B ．a=c•cosBC ．a=c•tanBD ．a=c•1tan B解析：A 、sinB=bc ，则b=c•sinB ，故选项错误；B 、cosB=ac ，则a=c•cosB ，故选项正确；C 、tanB=ba，故a=c•tanB 错误；D 、tanB=b a ，故a=c•1tan B错误．故选B ．2.如图在等腰Rt △ABC 中，∠C=90o ，AC=3，D 是AC上一点，若tan ∠DBA=51，则AD 的长为.分析：作DE ⊥AB 于E 点． ∵tan ∠DBA=51=DE BE，∴BE=5DE ， ∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠A=45°，∴AE=DE ．∴BE=5AE ，又∵AC=3，∴AB=32．∴AE+BE=5AE+AE=32，∴AE=22， ∴在等腰直角△ADE 中，由勾股定理，得AD=2AE=2212⨯=．3.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，D 是AC 中点，则（1）sin ∠DBC ＝；（2）tan ∠DBA ＝．分析：（1）∵AC ＝BC ＝4，D 是AC 中点，∴DC=2，∴BD=22222425DC BC +=+=，∴sin ∠DBC ＝进一步巩固本节所学知识。

北京版-数学-九年级上册-20.1.2 锐角三角函数(教学设计)

20.1锐角三角函数（2）一、教学目标知识与技能：⒈通过实例让学生理解并认识锐角三角函数的概念； ⒉正确理解余弦、正切符号的含义，掌握锐角三角函数的表示； 3．学会根据定义求锐角的余弦值和正切值．过程与方法：1.经历锐角的余弦和正切的探求过程，确信三角函数的合理性，体会数形结合的思想．三角函数的学习中，初步体验探索、讨论、论证对学习数学的重要性。

情感态度价值观：在探索、分析、论证、总结获取新知识过程中体验成功的喜悦，从解决实际问题中感悟数学的实用性，从而培养学生学习数学的兴趣．二、教学要点根据定义求锐角的余弦值和正切值. 三、教学难点锐角的余弦和正切概念建立、表示及计算. 四教学流程一、复习引入1.说出锐角A 的正弦的概念、表示方法及性质：在Rt △ABC 中，∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦。

记做“sinA ”A sin BC a A AB c ∠===的对边斜边让学生探求直角三角形两边的比值．学习余弦、正切的概念.统称锐角三角函数3：思考：当0°＜∠A ＜90°时，cosA 、tanA 的值会在什么范围内？为什么？如图：在Rt △ABC 中，∠Ｃ＝90°，AB=c ，BC=a ，AC=b ，因为0＜b ＜c ，所以01bc＜＜，所以0＜cosA ＜1；而a >0，b>0，所以0ab>.所以tanA >0.性质：当0°＜∠A ＜90°时，0＜cos A ＜1;tanA >0.4．巩固新知例题分析例1、在R t △ABC 中，∠C ＝90°，a,b,c 分别为∠A, ∠B, ∠C 的对边。

（1）已知：b=24,c=25，求∠A 的三角函数值。

（2）已知3tan 2A =，求∠B 的三角函数值。

解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，（1）∵b=24,c=25，由勾股定理可得，222225247a c b =-=-=，学生写出证明过程学生熟悉概念学生根例1的设置是为了巩固余弦和正切概念，通过教师示范，使学生会求余∴7247sin ,cos ,tan 252524a b a A A A c c b ======. （2）∵3tan 2A =，∴32a b =，不妨设a=3k ，b=2k（k>0），由勾股定理可得2222(3)(2)13c a b k k k =+=-=，2213sin ,1313b k B c k=∴==3313cos ,1313a k B c k===22tan 33b k B a k ===.例2、已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，CD=12，AD=9，BD=5，求cosA 、cos ∠ACD 、tanB 和tan ∠BCD 的值．解：在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，∴∠ADC=∠BDC=90°，在Rt △ADC 中，AD=9，CD=12，由勾股定理得222291215AC AD CD =+=+=,93cos 155AD A AC ===124cos 155CD ACD AC ∠===;据余弦和正切的定义解答.学生自主解答.学生交巩固练习：1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=4，b=3，则cosA 的值是·解析：∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=4，b=3， ∴c=22453=+，∴cosA=35b c =．2．在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则tanA 的值为.解：在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AB=5，由勾股定理得：AC=4， ∴tanA==，3．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝，则tanB ＝_________．解析：根据sinA 的值可得：BC=4x ，AB=5x ，根据勾股定理可得：AC=3x ，则tanB=34ACBC . 4.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，E 为AB 上一点且AE ：EB=4：1，EF ⊥AC 于F ，连接FB ，则tan ∠CFB 的值等于．54解析：设BC=x，∵∠A=30°，∴AC=3x．又∵AE：EB=4：1，EF∥BC，∴FC=15AC=35x．在Rt△BFC中，tan∠CFB=53335CB xCF x==．归纳总结,知识回顾通过本节课的学习，你的收获和体会是什么？1.掌握了锐角余弦、正切的概念：能用所学的知识去计算锐角的余弦值和正切；2.锐角三角函数的性质：0＜cosA＜1；tanA>0.(∠A为锐角).课后练习：拓展自我如图，△ABC是一张直角三角形纸片，∠C=90°，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为EF，则tan∠CAE=．解：设CE=x ，则BE=AE=8﹣x ，因∠C=90°，AC=6，由勾股定理可得62+x 2=（8﹣x ）2，解得x=47，所以tan ∠CAE=247647==AC CE .。