二重积分,
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第八节二重积分
第八节 二重积分 一,二重积分的概念与性质 二,二重积分在直角坐标系中计算 三,二重积分在极坐标系中的计算 四,二重积分的几何应用
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第八节 二重积分 导言: 导言:本节我们将一元函数定积分的概念 和思想扩展到二元函数的二重积分上, 和思想扩展到二元函数的二重积分上,由于二 重积分是一元函数定积分在二元函数中的进一 步推广.因此,二重积分概念, 步推广.因此,二重积分概念,性质与定积分 类似, 类似,二重积分的计算方法也是将其转化为定 积分.学习中要注意与定积分的对比, 积分.学习中要注意与定积分的对比,把握两 者之间的共性与区别. 者之间的共性与区别.
D D D
(2) ∫∫ kf (x, y)dσ = k ∫∫ f (x, y)dσ
D
D +D2 1 D 1
(k为常数 ).
D
D2
(3) ∫∫ f (x, y)dσ = ∫∫ f (x, y)dσ + ∫∫ f (x, y)dσ. (4) 若在D上处处有f (x,y)≤g(x,y),则有
∫∫ f (x, y)dσ ≤ ∫∫ g(x, y)dσ.
y1( x)
z = f (x, y)
y1
y2 y
故曲顶柱体的体积, 故曲顶柱体的体积 也就是二重积分为
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫
D
b b y2 ( x) S(x)dx = a[ y ( x) f (x, y)dy]dx. a 1
∫ ∫
上式将二重积分化成先对y 积分, 后对x 积分的 二 上式将二重积分化成先对 积分 后对 次积分或称为累次积分. 次积分或称为累次积分 需要指出, 需要指出 计算 ∫
z = f (x, y)
f (ξi ,ηi )σi . 以此作为小曲
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第八节 二重积分 导言: 导言:本节我们将一元函数定积分的概念 和思想扩展到二元函数的二重积分上, 和思想扩展到二元函数的二重积分上,由于二 重积分是一元函数定积分在二元函数中的进一 步推广.因此,二重积分概念, 步推广.因此,二重积分概念,性质与定积分 类似, 类似,二重积分的计算方法也是将其转化为定 积分.学习中要注意与定积分的对比, 积分.学习中要注意与定积分的对比,把握两 者之间的共性与区别. 者之间的共性与区别.
D D D
(2) ∫∫ kf (x, y)dσ = k ∫∫ f (x, y)dσ
D
D +D2 1 D 1
(k为常数 ).
D
D2
(3) ∫∫ f (x, y)dσ = ∫∫ f (x, y)dσ + ∫∫ f (x, y)dσ. (4) 若在D上处处有f (x,y)≤g(x,y),则有
∫∫ f (x, y)dσ ≤ ∫∫ g(x, y)dσ.
y1( x)
z = f (x, y)
y1
y2 y
故曲顶柱体的体积, 故曲顶柱体的体积 也就是二重积分为
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫
D
b b y2 ( x) S(x)dx = a[ y ( x) f (x, y)dy]dx. a 1
∫ ∫
上式将二重积分化成先对y 积分, 后对x 积分的 二 上式将二重积分化成先对 积分 后对 次积分或称为累次积分. 次积分或称为累次积分 需要指出, 需要指出 计算 ∫
z = f (x, y)
f (ξi ,ηi )σi . 以此作为小曲
二重积分
0
f (r cosθ , r sinθ )r d r.
2) 如果坐标原点不在积分域 D 内部， ) 内部， 则从原点作 两条射线 θ = α 和 θ = β (α ≤ β) (如图)夹紧域 D . α, β 如图) 积分(外积分)的下限和上限， 分别是对 θ 积分(外积分)的下限和上限， 在 α 与 β 之 的边界交两点， 间作任一条射线与积分域 D 的边界交两点，它们的极 径分别为 r = r1(θ)，r = r2(θ)， ， ， 假定 r1(θ ) ≤r2(θ )， 那么 ， r1(θ ) 与 r2(θ ) 分别是对 r 积分(内积分)下限与上限， 积分(内积分)下限与上限，
(2) 在D′上 雅可比行列式
y
∂(x, y) xu xv = ≠ 0; J (u, v) = 定积分换元法 , v) ∂(u yu yv
b
D
(3) 变换 f (x) d x = ∫ Df是一一对应的 ,( x = ϕ(t) ) ∫a T : D′ →α [ϕ(t)]ϕ′(t) d t
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sinθ
∴∫∫ f (x, y) d x d y = ∫∫
D
D′
− r cosθ f (r cosθ, r sinθ ) r d r dθ
其中 0 ≤ r < +∞,0 ≤ θ < 2π (或 − π ≤ θ ≤ π ).
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四、极系下的二重积分化为二次积分 将直系下的二重积分化为极系后， 将直系下的二重积分化为极系后，极系下的 二重积分仍然需要化为二次积分来计算。 二重积分仍然需要化为二次积分来计算
1
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二重积分的概念及性质
积分对变量的可加性
定义
如果f(x,y)在平面上是可积的，那么对于任 意的a和b，有 ∫∫Df(x,y)dσ=∫a→bf(x,y)dσ+∫∫Df(x,y)dσ， 其中D是包含在区间[a,b]内的可积区域。
应用
该性质可以用于计算二重积分，特别是当被 积函数与某个变量的关系较为简单时。
04 二重积分的物理应用
个小弧段进行积分，然后将结果相加得到总长度。
平面曲线的曲率与挠率
曲率
曲率是描述曲线弯曲程度的量，可以 通过二重积分计算出曲线的曲率。
挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的弯曲 程度的量，也可以通过二重积分计算 出曲线的挠率。
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感谢您的观看
积分区域的可加性
定义
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二重积分。 即，如果D=D1∪D2，则∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
应用
该性质可以用于简化复杂的积分区域，将复杂区域分解为简单区域进行计算。
积分对区域的可加性
转换坐标
将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。
分层积分
将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。
逐个计算
对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。
得出结果
将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。
二重积分的概念及性质
目录
• 二重积分的定义 • 二重积分的计算方法 • 二重积分的性质和定理 • 二重积分的物理应用 • 二重积分的数学应用
二重积分
（2）在还原积分区域时，首先根据积分上下限用不等式表示出积分区域，然后 再画出积分区域的草图。 例 2、设函数 f ( x, y ) 连续,交换二次积分次序得
dy
0
1
0
2 y 2
f ( x, y)dx A
A 2 dx 0
0
1
x 2
f ( x, y )dy .
B 2 dx 1 x f ( x, y)dy .
2
2
或含有较多的 x
D
2
y 2 时，可以考虑用极坐标计算。
直角坐标与极坐标的转换公式为
f ( x, y)dxdy f ( cos , sin ) d d 。
D
例 3、设 D
x, y x
2
y 2 x ,求 xdxdy .
D
二重积分
二重积分的计算思路，是将它化为累次积分，也就是两次定积分，可用的坐标有直角 坐标与极坐标。二重积分的内容包括概念、不等式的性质以及二重积分的计算。 一、二重积分的计算 1、直角坐标系 1）步骤：画出积分区域草图；选择积分次序；确定积分上下限，做定积分计算 2）确定积分次序时遵循两原则：尽可能地避免分类讨论；尽可能地使第一步的积分简单 3）定限方法（以先对 y 积分的情况为例） ： a、画一条与 y 轴平行的直线，观察这条直线与积分区域边界的两交点，下交点为下限，上 交点为上限，即
2 ( x )
1 ( x)
f ( x, y)dy ；
b、使得直线与积分区域交点 x 的范围便是积分变量 x 的上下限，即 2、极坐标 1）计算公式:
dx
a
b
2 ( x )
二重积分
1. 1. 直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算
2.2.极坐标系极坐标系下二重积分的计算下二重积分的计算181.直角坐标系下二重积分的计算设非负连续函数z=f(x, y)定义在由连续曲线与直线x=a, x=b围成的有界闭区域D上(图6.2.1)二重积分的几何意义是以D为底以曲面z=f (x, y)为顶的曲顶柱体的体积V现在应用计算“平行截面面积为已知的立体体积”的方法来计算体积V用平行于yOz面的平面截曲顶柱体得截面的面积A(x)
n
i
ii
Df
dyxf
)
,(lim),(1
0(6.1.1)由二重积分定义可知二重积分的值是与区域D的分法无关的.在直角坐标系下可以用分别平行于坐标轴的直线网来分割D此时除了包含边界点的一些小子区域外其余的都是边界分别为的矩形闭区域其面积为iixy
1
2
1)
,(),(x
x
b
a
x
x
b
adx
dyyxfdyyxfdx
并称它为先对y再对x的二次积分(或累次积分)因此
)(
)(2
1)
,(),(x
x
b
a
Ddy
yxfdxdxdyyxf
(6.2.2)22除上述常用的区域D外还有另外一类常用的区
趋于零时, 若上述和式的极限存在就定义此极限值为曲顶柱体的体积即曲顶柱体的体积8(2) 平面薄片的质量
设有一平面薄片占据xOy平面上的有界闭区域D如果薄片的面密度是D上的正值连续函数要计算此平面薄片的质量)
,(yx可以采取类似于上面求曲顶柱体的体积的方法先将D分成n个子区… (如图6.1.2),12n返回返回图6.1.2 9和式是整个薄片质量M的一个近似值于是i
2.2.极坐标系极坐标系下二重积分的计算下二重积分的计算181.直角坐标系下二重积分的计算设非负连续函数z=f(x, y)定义在由连续曲线与直线x=a, x=b围成的有界闭区域D上(图6.2.1)二重积分的几何意义是以D为底以曲面z=f (x, y)为顶的曲顶柱体的体积V现在应用计算“平行截面面积为已知的立体体积”的方法来计算体积V用平行于yOz面的平面截曲顶柱体得截面的面积A(x)
n
i
ii
Df
dyxf
)
,(lim),(1
0(6.1.1)由二重积分定义可知二重积分的值是与区域D的分法无关的.在直角坐标系下可以用分别平行于坐标轴的直线网来分割D此时除了包含边界点的一些小子区域外其余的都是边界分别为的矩形闭区域其面积为iixy
1
2
1)
,(),(x
x
b
a
x
x
b
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dyyxfdyyxfdx
并称它为先对y再对x的二次积分(或累次积分)因此
)(
)(2
1)
,(),(x
x
b
a
Ddy
yxfdxdxdyyxf
(6.2.2)22除上述常用的区域D外还有另外一类常用的区
趋于零时, 若上述和式的极限存在就定义此极限值为曲顶柱体的体积即曲顶柱体的体积8(2) 平面薄片的质量
设有一平面薄片占据xOy平面上的有界闭区域D如果薄片的面密度是D上的正值连续函数要计算此平面薄片的质量)
,(yx可以采取类似于上面求曲顶柱体的体积的方法先将D分成n个子区… (如图6.1.2),12n返回返回图6.1.2 9和式是整个薄片质量M的一个近似值于是i
二重积分的概念及性质
∬_D [af(x,y)+bg(x,y)]dxdy = a∬_D f(x,y)dxdy + b∬_D g(x,y)dxdy
2
面积加法
∬_D [f(x,y)+g(x,y)]dxdy = ∬_D f(x,y)dxdy+∬_D g(x,y)dxdy
3
积分可交换
与积分上下限无关：
∬_D[f(x,y)+g(x,y)]dxdy = ∬_D f(x,y)dxdy + ∬_D g(x,y)dxdy
极坐标下的二重积分
轮换对称性
交换二重积分中的积分极限 和被积函数中的变量，可得 到相同的结果。
转化公式
从直角坐标系转化为极坐标 系的公式为：
∬_D f(x,y)dxdy = ∬_D f(r*co sθ, r*sinθ)rd rd θ
相关例题
可以将某个区域在直角坐标 系中的极坐标方程转换成在 极坐标系下的积分形式。
对二重积分的符号化表示
累加表示
二重积分可以通过累加的方式求 解即：
∬_D f(x,y)dxdy = ∆ x ∆ y Σ f(x_i, y_j)
积分表示
二重积分可以用积分符号表示如 下：
∬_D f(x,y)dxdy = ∫ ∫ _D f(x,y)d A
计算方法
按照累加或积分的方式计算。
基本性质
1
线性性
总结
本次讲座全面介绍了二重积分的定义及性质、极坐标下的二重积分，坐标变 换下的二重积分，以及应用。相信我们的学生已经得到了充分的掌握。
极坐标与直角坐标之间的 转换
常用在圆、椭圆、其他轮换面 上等的二重积分中转换。
弧坐标与直角坐标之间的 转换
用于圆周上对于弧长的积分的 计算及二重积分的变换。
微积分-二重积分
顶柱体的体积的相反数D。
3)、若 z f ( x, y) 在区域 D 上的值有正有负，则曲顶柱体
的体积取其二重积分的代数和。
（其中xoy面上方柱体的体积取正， xoy面下方柱体的体 积取负）。
三、二重积分的性质
calculus
性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号 的外面，即：
kf x, yd k f x, yd
ms f ( x, y) d Ms
D
calculus
性质７ 中值定理 如果 f ( x, y) 在闭区域 D 上连续，
s 是 D的面积，则在 D 内至少存在一点 ( ,) ，
使得
f ( x, y)d f ( ,) s
D
中值定理的几何意义：在区域 D 上以曲顶 z f (x, y)为顶 的曲顶柱体的体积，等于区域 D上以某一点( ,) 的函数值
dx
2(x) f ( x, y )dy
a
1(x)
D
注: 若 ƒ(x,y)≤0 仍然适用。
calculus
（2）Y-型域： c y d , 1( y) x 2( y).
d
x 1( y) c
D
d
x 1( y) x 2( y)
c
［Y－型］ D
x 2( y)
Y型区域的特点：a、穿过区域且平行于x轴的直线与区 域边界的交点不多于两个；
D
D
(3,0) x
calculus
2） ln(x y)d 与 [ln(x y)]2d,其中区域 D为
D
D
顶点为A(1，0)B(1，1)，C(2，0)的三角形闭区域。
解：BC的方程 x+y=2
B(1,1)
D内 1 x y 2, 0 ln(x y) 1
3)、若 z f ( x, y) 在区域 D 上的值有正有负，则曲顶柱体
的体积取其二重积分的代数和。
（其中xoy面上方柱体的体积取正， xoy面下方柱体的体 积取负）。
三、二重积分的性质
calculus
性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号 的外面，即：
kf x, yd k f x, yd
ms f ( x, y) d Ms
D
calculus
性质７ 中值定理 如果 f ( x, y) 在闭区域 D 上连续，
s 是 D的面积，则在 D 内至少存在一点 ( ,) ，
使得
f ( x, y)d f ( ,) s
D
中值定理的几何意义：在区域 D 上以曲顶 z f (x, y)为顶 的曲顶柱体的体积，等于区域 D上以某一点( ,) 的函数值
dx
2(x) f ( x, y )dy
a
1(x)
D
注: 若 ƒ(x,y)≤0 仍然适用。
calculus
（2）Y-型域： c y d , 1( y) x 2( y).
d
x 1( y) c
D
d
x 1( y) x 2( y)
c
［Y－型］ D
x 2( y)
Y型区域的特点：a、穿过区域且平行于x轴的直线与区 域边界的交点不多于两个；
D
D
(3,0) x
calculus
2） ln(x y)d 与 [ln(x y)]2d,其中区域 D为
D
D
顶点为A(1，0)B(1，1)，C(2，0)的三角形闭区域。
解：BC的方程 x+y=2
B(1,1)
D内 1 x y 2, 0 ln(x y) 1
二重积分
s 1 ds ds
D D
这个性质的几何意义是:高为1的平顶柱体的体积在数 值上就等于柱体的底面积．
9
性质5
如果在 D 上，f ( x , y ) ( x , y ) ，则有不等式
f ( x , y )ds ( x , y )ds
D D
特殊的，由于
f ( x, y)ds
D
b
a
b
2 ( x ) f ( x, y )dydx . 1 ( x )
dx
2 ( x ) 1 ( x )
f ( x, y )ds
D
a
f ( x , y )dy
计算时，先把x看作常量,把 f(x,y) 只看作y的函数,并对y计 算从 1 ( x ) 到 2 ( x ) 的定积分,然后把算得的结果再对x计算在区 间[a,b]上的定积分.这种连续的积分计算称为：累次积分
y (x, 1) 1 y=x
1 1 2 (1 x y ) dx 3 1 x 3 1 1 ( x 1)dx 1 3 1 2 1 3 ( x 1)dx 3 0 1 2
3 2 2
1
O ( x, x) 1
1
x
25
解法(2) 画出区域D， 可把D看成是Y型区域：
16
d
d y
c
d
x2 ( y )
x1 ( y )
f ( x , y )dx
3. 计算公式及方法：
当 D 为X型区域时： y
y=2(x)
y=1(x)
y
y=2(x) y=1(x)
O a
b
x
O a
b
二重积分
二重积分一．二重积分定义：设D 为xy 平面上的有界闭区域，(,)f x y 为定义在D 上的函数。
用任意的曲线把D 分成n 个小区域12,,.n σσσ 以i σ∆表示小区域的面积，这些小区域构成D 的一个分割T , 以i d 表示小区域i σ的直径，称1max i i nT d ≤≤=为分割T 的细度。
在每个i σ上任取一点(,)i i ξη，作和式1(,)ni i i i f ξησ=∆∑，称它为函数(,)f x y 在D 上属于分割T 的一个积分和。
如果1lim(,)niiiT i f ξησ→=∆∑存在，则称(,)f x y 在D 上可积，此极限值就称为(,)f x y 在D 上的积分，记为(,)Df x y d σ⎰⎰，即1(,)lim (,)ni i i DT i f x y d f σξησ→==∆∑⎰⎰。
定理：有界闭区域上的连续函数必可积。
性质：1. 若(,)f x y 在区域D 上可积，k 为常数，则(,)kf x y 在D 上也可积，且(,)(,).DDkf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰2. 若(,),(,)f x y g x y 在D 上都可积，则(,)(,)f x y g x y ±在D 上也可积，且[(,)(,)](,)(,).DDDf x yg x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰3. 若(,)f x y 在1D 和2D 上都可积，且1D 与2D 无公共内点，则(,)f x y 在12D D ⋃上也可积，且1212(,)(,)(,).D D D D f x y d f x y d g x y d σσσ⋃=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰4. 若(,),(,)f x y g x y 在D 上都可积，且(,)(,)f x y g x y ≤，(,),x y D ∈ 则(,)(,)DDf x y dg x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰5. 若(,)f x y 在区域D 上可积，则函数(,)f x y 在区域D 上也可积，且(,)(,).DDf x y d f x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰6. 若(,)f x y 在区域D 上可积，且(,),(,),m f x y M x y D ≤≤∈ 则 (,),D D DmS f x y d MS σ≤≤⎰⎰这里D S 是积分区域D 的面积。
第九讲 二重积分的概念与计算
D
D
2.二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１
D
当k为常数时，
k f ( x , y )d .
D
kf ( x , y )d
性质２
D
[ f ( x, y ) g( x, y )]d
f ( x , y )d g( x , y )d .
D D
1
1 1
8
例2
ex y dxdy ,其中区域 D 为矩形： 计算二重积分
D : 0 x 1, 1 y 2
解
x y e x e y,所以 因为 e
D
e
D
x y
dxdy ( e dx)( e dy ) e
x y 0 1
1
2
x 1 0
e
y 2 1
y 1 ( x)
o a
x
b
x
o a
x
b
x
o a x
b
x
由二重积分的几何意义知:
z
A( x)
f ( x, y)d 是区域 D 上以曲面
z f ( x, y) 为顶的曲顶柱体的
D
y
体积.
为确定曲顶柱体的体积,可在
x 处用垂直 x 轴的平面去截曲
顶柱体,设其截面面积为 A( x)
o
a
x
例3
计算二重积分 xydxdy .其中积分区域 D 分
D
别如下图所示： ⑴ 三角形；⑵ 四分之一椭圆。 解 ⑴因为下图所示的三角形 区域的斜边方程是 x y 1 所以 D 可表示为
a b
y
b
x o a D : 0 x a, 0 y b(1 ) a 2 x x b (1 ) a b (1 ) a xy xydxdy dx a xydy ( ) 0 a dx 0 0 0 2 D 2 ab x 2 1 2 a 2 x 2 x3 (1 ) xdx b ( x 2 )dx 0 2 0 a 2 a a 1 2 x 2 2 x3 x 4 a 1 2 2 b ( 2) 0 a b 2 2 3 a 4a 24
D
2.二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１
D
当k为常数时，
k f ( x , y )d .
D
kf ( x , y )d
性质２
D
[ f ( x, y ) g( x, y )]d
f ( x , y )d g( x , y )d .
D D
1
1 1
8
例2
ex y dxdy ,其中区域 D 为矩形： 计算二重积分
D : 0 x 1, 1 y 2
解
x y e x e y,所以 因为 e
D
e
D
x y
dxdy ( e dx)( e dy ) e
x y 0 1
1
2
x 1 0
e
y 2 1
y 1 ( x)
o a
x
b
x
o a
x
b
x
o a x
b
x
由二重积分的几何意义知:
z
A( x)
f ( x, y)d 是区域 D 上以曲面
z f ( x, y) 为顶的曲顶柱体的
D
y
体积.
为确定曲顶柱体的体积,可在
x 处用垂直 x 轴的平面去截曲
顶柱体,设其截面面积为 A( x)
o
a
x
例3
计算二重积分 xydxdy .其中积分区域 D 分
D
别如下图所示： ⑴ 三角形；⑵ 四分之一椭圆。 解 ⑴因为下图所示的三角形 区域的斜边方程是 x y 1 所以 D 可表示为
a b
y
b
x o a D : 0 x a, 0 y b(1 ) a 2 x x b (1 ) a b (1 ) a xy xydxdy dx a xydy ( ) 0 a dx 0 0 0 2 D 2 ab x 2 1 2 a 2 x 2 x3 (1 ) xdx b ( x 2 )dx 0 2 0 a 2 a a 1 2 x 2 2 x3 x 4 a 1 2 2 b ( 2) 0 a b 2 2 3 a 4a 24
二重积分概念
f ( x , y)d f ( , )SD ,
D
积分中值定理的几何意义: 在 D 上, 以 z f ( x , y)
( f ( x , y) 0) 为顶的曲顶柱体体积,等于一个同底 的平顶柱体的体积, 这个平顶柱体的高等于 f ( x , y)
在 D 中某点 ( , ) 处的函数值 f ( , ).
设 P 是一平面有界图形, 用平行于坐标轴的某一
组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 这时直线网 T
的网眼 (小闭矩形) i 可分为三类: y
(i) i 上的点都是 P 的内点;
P
(ii) i 上的点都是 P 的外点, 即
i P ;
O
x
图 21 1
(iii) i 上含有 P 的边界点. 将所有属于第(i) 类小矩形 y
D
例如 ？ R2 x2 y2d
x2 y2 R2
n
D
f ( x, y)d lim 0 i1
f (i , i ) i
o xD
y
(i ,i )
i
z
o D x
(i ,i ) y
i
z f (x, y)
例如 ？ R2 x2 y2d x2 y2 R2
定义2 设 f ( x , y) 是定义在可求面积的有界闭域 D
上的函数. J 是一个确定的实数, 若对任给的正数 ,
总存在某个正数 , 使对于 D 的任何分割 T, 当它的
细度 || T || 时, 属于 T 的所有积分和都有
n
f (i , i ) i J ,
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、 取极限”的方法，如下动画演示．
D
积分中值定理的几何意义: 在 D 上, 以 z f ( x , y)
( f ( x , y) 0) 为顶的曲顶柱体体积,等于一个同底 的平顶柱体的体积, 这个平顶柱体的高等于 f ( x , y)
在 D 中某点 ( , ) 处的函数值 f ( , ).
设 P 是一平面有界图形, 用平行于坐标轴的某一
组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 这时直线网 T
的网眼 (小闭矩形) i 可分为三类: y
(i) i 上的点都是 P 的内点;
P
(ii) i 上的点都是 P 的外点, 即
i P ;
O
x
图 21 1
(iii) i 上含有 P 的边界点. 将所有属于第(i) 类小矩形 y
D
例如 ？ R2 x2 y2d
x2 y2 R2
n
D
f ( x, y)d lim 0 i1
f (i , i ) i
o xD
y
(i ,i )
i
z
o D x
(i ,i ) y
i
z f (x, y)
例如 ？ R2 x2 y2d x2 y2 R2
定义2 设 f ( x , y) 是定义在可求面积的有界闭域 D
上的函数. J 是一个确定的实数, 若对任给的正数 ,
总存在某个正数 , 使对于 D 的任何分割 T, 当它的
细度 || T || 时, 属于 T 的所有积分和都有
n
f (i , i ) i J ,
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、 取极限”的方法，如下动画演示．
二重积分的概念与性质
四、小结
和式的极限） 二重积分的定义 （和式的极限） （曲顶柱体的体积） 二重积分的几何意义 曲顶柱体的体积）
二重积分的性质（7条性质） 二重积分的性质
∫∫ f ( x , y )dσ = D
f ( ξ , η) σ
（二重积分中值定理） 二重积分中值定理）
利用二重积分的几何意义， 例2 利用二重积分的几何意义，确定下列二重积分 的值： 的值：
∫∫
D
4 x y dxdy , 其其 D = {( x , y ) x + y ≤ 2}
2 2 2 2
= ∫∫ f ( x , y )dσ ± ∫∫ g ( x , y )dσ .
D D
性质３ 性质３ 对区域具有可加性 ( D = D1 + D2 )
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫∫ f ( x , y )dσ + ∫∫ f ( x , y )dσ .
D D1 D2
性质４ 性质４ 若 σ 为D的面面积 σ
D D
性质５ 若在D上 性质５ 若在 上 f ( x , y ) ≤ g ( x , y ), 则有 ∫∫ f ( x , y )dσ ≤ ∫∫ g ( x , y )dσ .
D D
练习： 练习：
比较下列各组积分的大小： 比较下列各组积分的大小：
(1) I 1 = ∫∫ ( x + y )2 dxdy , I 2 = ∫∫ ( x + y )3 dxdy
分割、 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 取极限”的方法，如下动画演示． 、取极限”的方法，如下动画演示．
分割、近似、 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求和、取极限”的方法，如下动画演示．
二重积分
2 1
8
y x2
x
(1,1)
20
例5 计 算 xy d , 其 中D是 由 抛 物 线y2 x及
D
y x 2所 围 成 的 闭 区 域 。y
解 两曲线的交点 (4,2) (1,1)
y2 x
(4, 2)
若选择先 y 后 x ,
xy d
1
dx
x
xy dy
o
0
x
D
4
dx
x
xy dy ,
x
y 1( x)
12
一般地，积分区域为：
1( x) y 2( x)，a x b .
y
y 2(x)
D
f (x, y)d
D
y 1(x)
b a
2 ( x) 1( x)
f
(
x
,
y
)
dy
dx
ao
bx
记为
b
dx
2 ( x) f ( x, y) dy .
a
1( x)
—— 先对 y 积分，后对 x 积分的二次积分
D2
y
1
0 y 2 x,
D2 :
1
x2
.
D1 D2
o
1
2x
y2 x
24
设 D D1 D2
将 D 向 y 轴投影,
D:
1
1 y2 x 2 y,
0 y 1.
y
1
D1 D2
o
1
2x
y2 x
原式 f ( x, y) d
D
1 2 y
dy
f ( x, y)dx .
0
1 1 y2
第一讲二重积分三重积分
(5)如果积分区域D关于原点对称，关于原点 对称的两部分为 D1和 D 2
D
0, f ( x , y ) f ( x , y ) f ( x , y ) d 2 f ( x , y ) d ， f ( x , y ) f ( x， y ) D 1
1. k f ( x, y )d k f ( x, y ) d ( k 为常数) D
D
3. f ( x, y )d
D
D1
f ( x, y ) d
D2
f ( x, y ) d
为D 的面积, 则
1 d d
D1
( B ) 4 ( x y c o s x s in y ) d x d y
D1
(C ) 2
D1
xydxdy
(D )
0
第二节
第九章
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
*三、二重积分的换元法
机动
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结束
一、利用直角坐标计算二重积 分
若D为 X – 型区域
22
13 18 30 27
4
12 12
2004
4
4
12
20
第九章
重 积 分
一元函数积分学 重积分 多元函数积分学 曲线积分 曲面积分
第一节 二重积分的概念与性质
一、二重积分的定义与可积性 二、二重积分的性质
第九章
三、二重积分的应用
机动
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结束
一定义 如果 f ( x, y ) 在D上可积,
第八章 二重积分
第八章 二重积分8.1 二重积分的概念设函数),(y x f 是闭区域D 上的有界函数，将区域D 任意分成n 个小区域1σ∆、2σ∆、…，n σ∆，其中i σ∆既是第i 个小区域也是第i 个小区域的面积。
在每个小区域i σ∆上任意取一点),(i i ηξ做乘积i i i f σηξ∆⋅),(，并作和式∑=∆⋅ni i i i f 1),(σηξ。
如果当各个小闭区间直径中的最大值0→λ时，极限i ni i i f σηξλ∆∑=→1),(lim 存在，则称为函数),(y x f 在D 上的二重积分，记为σd y x f D⎰⎰),(。
其中),(y x f 为被积函数，D 为积分区域，σd y x f ),(为被积表达式，σd 为面积微元。
（1）积分区域D 的划分和点的选取是任意的。
（2）σd y x f D⎰⎰),(的几何意义表示以积分区域D 为底面积，高为),(y x f 的曲顶柱体体积的代数和。
（3）函数),(y x f 可积的充分条件：若),(y x f 在D 上连续，则),(y x f 在D 上可积。
（4）函数),(y x f 可积的必要条件：若),(y x f 在D 上可积，则),(y x f 在D 上有界。
（5）直角坐标系下的面积微元dxdy d =σ。
8.2 二重积分的性质 （1）线性运算性质[]σβσασβαd y x g d y x f d y x g y x f DDD⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+),(),(),(),(（βα,均为常数）（2）积分区域的可加性 )(),(),(),(2121D D D d y x f d y x f d y x f D D D+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰σσσ（3）σσ=⎰⎰Dd （σ为积分区域D 的面积）（4）比较定理：设函数),(y x f 与),(y x g 在D 上有),(),(y x g y x f ， 则σσd y x g d y x f DD⎰⎰⎰⎰),(),(推论：①若0),( y x f ，则0),( σd y x f D⎰⎰。
二重积分知识点
二重积分知识点一、基本概念二重积分是在平面上对一个有界区域内的函数进行积分，其本质是对该区域进行分割，然后对每个小部分进行近似求和，最后取极限得到积分值。
二重积分也可以看作是将一个曲面投影到平面上，并对其在平面上的投影面积进行积分。
二、计算方法1. 通过直角坐标系计算：将被积函数表示为x和y的函数，根据被积区域的形状选择合适的坐标系，然后按照一元函数求导法则进行计算即可。
2. 通过极坐标系计算：将被积函数表示为r和θ的函数，根据被积区域的形状选择合适的极坐标系，在极坐标系下进行计算即可。
三、应用领域1. 物理学：在物理学中，二重积分常用于求解质心、转动惯量等问题。
2. 经济学：在经济学中，二重积分可以用于估算市场需求曲线和供给曲线之间的交点。
3. 工程学：在工程学中，二重积分可以用于计算物体表面或体内某些特性（如温度、压力等）的平均值。
四、注意事项1. 被积函数必须在被积区域内连续，否则二重积分不存在。
2. 被积区域必须是有界的，否则二重积分不存在。
3. 选择合适的坐标系或极坐标系可以简化计算过程。
4. 在计算过程中要注意积分上下限和被积函数的表达式是否正确。
五、常见误区1. 计算二重积分时忘记乘以微元面积，导致结果错误。
2. 选择不合适的坐标系或极坐标系，导致计算过程复杂或无法进行。
3. 对于非简单闭合曲线围成的区域，需要将其拆分为多个简单闭合曲线围成的子区域进行计算。
4. 忘记对被积函数进行化简或变形，导致计算结果错误。
六、例题解析1. 求解二重积分∬Dxydxdy，其中D为由y=x^2和y=4-x^2所围成的区域。
解：首先画出该区域图形，并确定其在直角坐标系下的边界方程为y=x^2和y=4-x^2。
因此可以将被积区域拆分为两个子区域D1和D2，其中D1为x从-2到2，y从0到4-x^2，D2为x从-2到2，y 从x^2到4-x^2。
然后根据题目要求进行计算，得到二重积分的值为16/15。
2. 求解二重积分∬D(x^3+y^3)dxdy，其中D为由y=x和y=x^3所围成的区域。
第11讲二重积分及其计算
D
性质 6 (中值定理)
设 D R2 为有界闭区域，f (x, y) C(D)，则至少存在
一点( ,) D，使得
f (x, y) d x d y f ( ,) | D | 。
D
性质 7
设 D1 与D2 关于 x 轴对称，D D1 D2 。 若函数 f (x, y) 关于变量 y 为偶函数：f (x, y) f (x, y)，则
二重积分记为：
n
D
f (x, y) d
lim 0 i1
f (i ,i ) i ,
式中： f (x, y) —— 被积函数；
—— 二重积分号；
D —— 积分区域；
d ——积分元素( 或平面面积元素) ;
x，y ——积分变量；
n
f (i ,i ) i —— 积分和( 黎曼和) 。
i 1
二重积分定义的几点说明：
(1) z f (x, y) 0,
曲
顶
n
柱
D
f (x, y) d
lim 0ຫໍສະໝຸດ i 1f (i ,i ) i
V.
体 的
体
(2) z f (x, y) 0,
积
n
D
f (x, y) d
lim 0 i1
f (i ,i ) i
V.
曲z
顶 柱 体 的 体 积
.a O
bx0
x
z f (x, y) 0
D
围成的区域。
D {(x, y) | 1 x 2，1 y x }
2
x
xy d xy d x d y 1 d x1 xy d y
D
D
y 2
2 yx
x[ ] d x
12
性质 6 (中值定理)
设 D R2 为有界闭区域，f (x, y) C(D)，则至少存在
一点( ,) D，使得
f (x, y) d x d y f ( ,) | D | 。
D
性质 7
设 D1 与D2 关于 x 轴对称，D D1 D2 。 若函数 f (x, y) 关于变量 y 为偶函数：f (x, y) f (x, y)，则
二重积分记为：
n
D
f (x, y) d
lim 0 i1
f (i ,i ) i ,
式中： f (x, y) —— 被积函数；
—— 二重积分号；
D —— 积分区域；
d ——积分元素( 或平面面积元素) ;
x，y ——积分变量；
n
f (i ,i ) i —— 积分和( 黎曼和) 。
i 1
二重积分定义的几点说明：
(1) z f (x, y) 0,
曲
顶
n
柱
D
f (x, y) d
lim 0ຫໍສະໝຸດ i 1f (i ,i ) i
V.
体 的
体
(2) z f (x, y) 0,
积
n
D
f (x, y) d
lim 0 i1
f (i ,i ) i
V.
曲z
顶 柱 体 的 体 积
.a O
bx0
x
z f (x, y) 0
D
围成的区域。
D {(x, y) | 1 x 2，1 y x }
2
x
xy d xy d x d y 1 d x1 xy d y
D
D
y 2
2 yx
x[ ] d x
12
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xdx .
1
xx
21
4
(3) (2x y) d
D
解： (2x y)d
D
1 ,其中 D 是由 y x, y 及 y 2 所围成的闭区域；
x
2
y
2
2
1
19
dy 1 (2x y)dx (2y
1
1
y
1 2 )dy y
.
6
(4) ex y d ,其中 D 是由 | x | | y | 1 所确定的闭区域 .
D
D
解： (x2 y2)d
D
b
dx
d ( xyex2
y2 )dy
1 (ed 2
ac
2
1
2
(eb
4
2
2
ea )( ed
2
ec ) .
y d} ； ec2 ) b xex2 dx .
a
(3) (3x 2 y)d
D
解： (3x 2y)d
D
,其中 D 是由两坐标轴及直线
2 2x
2
dx (3x 2y)dy (4 2x
二重积分
第九章 二重积分
习题 9-1
1、设 I1
( x2 y 2) 3d ,
D1
其中 D1 {( x, y) | 1 x 1, 2 y 2} ;
又 I2
( x2 y2 )3 d ,
D2
其中 D 2 {( x, y) | 0 x 1,0 y 2} ,
试利用二重积分的几何意义说明 I1 与 I 2 之间的关系 .
y sin x ,试计算所需挖掉
500
20
的土方量 .
图形 > plot3d(10*sin(Pi*y/500)+ sin(Pi*x/20),y=0..500,x=0..20);
解： V
zd
D
20
500
dx (10 sin
y sin x)dy 70028(m3 ) .
解： I
a
a2 x2
dx
f ( x, y)dy
0
a2 x2
a
a2 y2
dy
f (x, y)dx .
a
0
(3) 由抛物线 y x2 与直线 2x y 3 所围成的闭区域 .
图形 > plot([x^2, 3-2*x],x=-3..1, color=1);
解： I
1
y
dy f ( x, y)dx
0
y
3y
5
二重积分
即
f ( x, y)d
D
b
a f1( x)dx
d
c f 2( y)dy .
证明：
f (x, y) d
D
b
d
b
d
dx f ( x, y)dx
a
c
dx
a
c
f1( x) f 2 ( y)dy
b
d
a f1 (x) c f2 ( y)dy dx
b
a f1 (x)dx
d
c f 2( y) dy .
4、化二重积分 I
00
0
x y 2 所围成的闭区域；
2
20
2x )dx .
3
(4) xcos(x y) d
D
闭区域 .
解： xcos(x y)d
D
,其中 D 是顶点分别为 (0,0), ( ,0) 和 ( , ) 的三角形
x
dx xcos(x y)dy
x(sin2x sinx)dx
3
.
00
0
2
2、画出积分区域 , 并计算下列二重积分：
解： V [(1 x y) 1] d
D
1
1x
dx (x
y) dy
1
1
(1
x2) dx
1
.
0
0
20
3
8、 为修建高速公路 , 要在一山坡中辟出一条长 500m , 宽 20m 的通道 ,据测量 , 以出发点一侧为原点 ,往另一侧方向为 x 轴 ( 0 x 20 ),往公路延伸方向为 y
轴 ( 0 y 500 ), 且山坡高度为 z 10 sin
2
图形 > plot([sin(x),-sin(x/2),[[Pi,0],[Pi,-1]]], x=0..Pi,color=1);
解： I
0
1
arcsin y
dy
f ( x, y)dx dy
f ( x, y)dx .
1
2 arcsin y
0
arcsin y
2a
2ax
2
2x
(6)
0
dx
2ax x2 f ( x, y)dy
解： e x yd
D
0
x1
dx ex ydy
1
x1
1
x1
dx
ex ydy
0
x1
0
(e2x 1 e 1)dx
1
(e e2x 1)dx
e
3
e
1
1 e.
1
0
2 2e 2 2e e
a:=0..1; b:=x-1..-x+1; f:=exp(x+y); int(f,y=b); int(int(f,y=b),x=a); simplify(");
100 .
(3) I
d D 100 cos2 x cos2 y ,
其中 D {( x, y) | | x | | y | 10} ；
解：由于 D 的面积为 200 ,且在 D 内 ,
1
1
1
102
100
cos2 x cos2 y
,那么
100
100＝ 200 51 102
d
200
D 100 cos2 x cos2 y 100
解：由于二重积分 I 1表示的立体关于坐标面 x 0 及 y
卦限部分与 I 2 一致 ,因此 I1 4 I 2 .
0 对称 ,且 I 1位于第一
2、利用二重积分的几何意义说明 :
(1) 当 积 分 区 域 D 关 于 y 轴 对 称 , f ( x, y) 为 x 的 奇 函 数 , 即
f ( x, y) f (x, y)时 ,有 f ( x, y)d 0 ;
2.
3
习题 9-2
二重积分
1、计算下列二重积分：
(1) ( x2 y2 )d ,其中 D 是矩形区域 : | x | 1,| y | 1 ；
D
解：
2
2
(x y )d
D
1
1
2
2
1 21
8
dx ( x y )dy 2 (x )dx .
1
1
1
3
3
(2) xyex2 d y2 ,其中 D {( x, y) | )d 8 2 16 .
D
(2) I
( x2 4 y2 9)d ,
D
其中 D {( x, y) | x2 y2 4} ；
解：由于 D 的面积为 4 ,且在 D 内 , 9 x2 4 y 2 9 13 3 y2 25 ,那么
36 9 4
( x2 4 y2 9)d 25 4
D
(1) x yd ,其中 D 是由两条抛物线 y
D
x , y x2 所围成的闭区域；
4
解： x yd
D
二重积分
1
x
dx
0
x2
x
ydy
2
7 1
(x4
30
x4 )dx
6
.
55
y
(2)
d ,其中 D 是由直线 y x, y 2x 及 x 1, x 2 所围成的闭区域；
Dx
解：
y d
Dx
2
2x y
32
9
dx dy
(I)
xy4d ; (II)
2
yR
D
D
2
x
2
yd
;
y3 cosx
(III)
D1
x2
y2 d
.
解：令 I
f ( x, y)d , I 1
f ( x, y)d ,其中 D1 为 D 在 x 0 的部分 ,
D
D1
1
二重积分
(1) 由于 D 关于 y 轴对称 , f ( x, y) 为 x 的奇函数 ,那么 I 表示的立体关于坐标
D
D
x y 1所围成 ;
解：由于在 D 内 , 0 x y 1 ,有 0 ( x y) 3 ( x y)2 ,所以
I2
( x y) 3d
( x y) 2 d I 1 .
D
D
(2) I 1
ln( x y)d 与 I 2
[ln( x y)] 2d ,
D
D
其中 D {( x, y) | 3 x 5,0 y 1} .
D
(III) 由于 D {( x, y) | x2
y2
R2} 关于 x 轴对称 ,且 f (x, y)
y3 cosx 1 x2 y2
为
y 的奇函数
,于是
D
y 3 cosx 1 x2 y2 d
0.
3、根据二重积分的性质 ,比较下列积分的大小 :
(1) I 1
(x y)2 d 与 I 2
(x y) 3d ,其中 D 是由 x 轴、 y 轴与直线
是 I 2I 1. (I) 由于 D {( x, y) | x2 y 2 R2} 关于 y 轴对称 , 且 f (x, y) xy4 为 x 的奇