二重积分,

9
dy 2 f ( x, y)dx .
1
y
5、改换下列二次积分的积分顺序：
1
y
(1) dy f ( x, y)dx ；
0
y
解： I
1
x
dx
0
x2
f ( x, y)dy .
7
1
e
(2)
dy
0
ey
f ( x, y)dx ；
二重积分
e
ln x
解： I dx f (x, y) dy .
1
0
1
1 1 y2
(3) dy
0 0 2 xy( x y 1)d 8 2 16 .
D
(2) I
( x2 4 y2 9)d ,
D
其中 D {( x, y) | x2 y2 4} ；
解：由于 D 的面积为 4 ,且在 D 内 , 9 x2 4 y 2 9 13 3 y2 25 ,那么
36 9 4
( x2 4 y2 9)d 25 4
D
二重积分
第九章 二重积分
习题 9-1
1、设 I1
( x2 y 2) 3d ,
D1
其中 D1 {( x, y) | 1 x 1, 2 y 2} ;
又 I2
( x2 y2 )3 d ,
D2
其中 D 2 {( x, y) | 0 x 1,0 y 2} ,
试利用二重积分的几何意义说明 I1 与 I 2 之间的关系 .
dx
1
0
f ( x, y)dy .
图形 > plot([(2*x-x^2)^(1/2),(2*x)^(1/2),[[2,0],[2,2]]], x=0..2,color=1);
解： I
a
a a2 y2
dy y2
0 2a
f (x, y) dx
a
2a
dy
0
a
a 2 y2 f ( x, y ) dx
2a
2a
解： e x yd
D
0
x1
dx ex ydy
1
x1
1
x1
dx
ex ydy
0
x1
0
(e2x 1 e 1)dx
1
(e e2x 1)dx
e
3
e
1
1 e.
1
0
2 2e 2 2e e
a:=0..1; b:=x-1..-x+1; f:=exp(x+y); int(f,y=b); int(int(f,y=b),x=a); simplify(");
100 .
(3) I
d D 100 cos2 x cos2 y ,
其中 D {( x, y) | | x | | y | 10} ；
解：由于 D 的面积为 200 ,且在 D 内 ,
1
1
1
102
100
cos2 x cos2 y
,那么
100
100＝ 200 51 102
d
200
D 100 cos2 x cos2 y 100
(1) x yd ,其中 D 是由两条抛物线 y
D
x , y x2 所围成的闭区域；
4
解： x yd
D
二重积分
1
x
dx
0
x2
x
ydy
2
7 1
(x4
30
x4 )dx
6
.
55
y
(2)
d ,其中 D 是由直线 y x, y 2x 及 x 1, x 2 所围成的闭区域；
Dx
解：
y d
Dx
2
2x y
32
9
dx dy
y sin x ,试计算所需挖掉
500
20
的土方量 .
图形 > plot3d(10*sin(Pi*y/500)+ sin(Pi*x/20),y=0..500,x=0..20);
解： V
zd
D
20
500
dx (10 sin
y sin x)dy 70028(m3 ) .
解： I
a
a2 x2
dx
f ( x, y)dy
0
a2 x2
a
a2 y2
dy
f (x, y)dx .
a
0
(3) 由抛物线 y x2 与直线 2x y 3 所围成的闭区域 .
图形 > plot([x^2, 3-2*x],x=-3..1, color=1);
解： I
1
y
dy f ( x, y)dx
0
y
3y
xdx .
1
xx
21
4
(3) (2x y) d
D
解： (2x y)d
D
1 ,其中 D 是由 y x, y 及 y 2 所围成的闭区域；
x
2
y
2
2
1
19
dy 1 (2x y)dx (2y
1
1
y
1 2 )dy y
.
6
(4) ex y d ,其中 D 是由 | x | | y | 1 所确定的闭区域 .
D
5
二重积分
即
f ( x, y)d
D
b
a f1( x)dx
d
c f 2( y)dy .
证明：
f (x, y) d
D
b
d
b
d
dx f ( x, y)dx
a
c
dx
a
c
f1( x) f 2 ( y)dy
b
d
a f1 (x) c f2 ( y)dy dx
b
a f1 (x)dx
d
c f 2( y) dy .
4、化二重积分 I
D
(III) 由于 D {( x, y) | x2
y2
R2} 关于 x 轴对称 ,且 f (x, y)
y3 cosx 1 x2 y2
为
y 的奇函数
,于是
D
y 3 cosx 1 x2 y2 d
0.
3、根据二重积分的性质 ,比较下列积分的大小 :
(1) I 1
(x y)2 d 与 I 2
(x y) 3d ,其中 D 是由 x 轴、 y 轴与直线
f (x, y) dx ；
0
2y
解： I
2
2 x x2
dx
f (x, y) dy .
1
2x
1
x2
2
2x
(4) dx f (x, y)dy dx f (x, y)dy ；
0
0
1
0
8
二重积分
1
2y
解： I dy f (x, y) dx .
0
y
sin x
(5)
dx
0
sin x f (x, y) dy ；
解： V [(1 x y) 1] d
D
1
1x
dx (x
y) dy
1
1
(1
x2) dx
1
.
0
0
20
3
8、 为修建高速公路 , 要在一山坡中辟出一条长 500m , 宽 20m 的通道 ,据测量 , 以出发点一侧为原点 ,往另一侧方向为 x 轴 ( 0 x 20 ),往公路延伸方向为 y
轴 ( 0 y 500 ), 且山坡高度为 z 10 sin
0
y
1(8 4y 4y2
8 y3) dy
4
.
03
3
3
x 和 x 轴所围成 ,它的面
9
二重积分
7、求由平面 x 0, y 0, z 1, x y 1 及 z 1 x y 所围成的立体的体积 .
图形 > with(plots):A:=plot3d([x,y,1],x=0..1,y=0..1-x):
B:=plot3d([x,1-x,z],x=0..1,z=1..2):F:=plot3d([x,0,z],x=0..1,z=1..1+x):
解： I
2
ln x
dx f ( x, y) dy
1
0
ln 2
2
0 dy ey f ( x, y) dx .
(2) 由 y 轴及右半圆 x a2 y2 所围成的闭区域；
图形 > plot([(1-x^2)^(1/2), -1*(1-x^2)^(1/2)],x=0..1, color=1);
6
二重积分
2
二重积分
解：由于在 D 内 , e 3 x y 6 ,有 ln( x y) 1, ln( x y) [ln( x y)] 2 ,
所以
I 1 ln( x y)d
[ln( x y)] 2d I 2 .
D
D
4、利用二重积分的性质估计下列二重积分的值：
(1) I xy(x y 1)d ,
D
其中 D {( x, y) | 0 x 1,0 y 2} ； 解：由于 D 的面积为 2 ,且在 D 内, 0 xy( x y 1) 8 ,那么
3 、如果二重积分
f ( x, y)d 的被积函数 f ( x, y) 是两个函数 f1 (x) 及
D
f2 ( y) 的 乘 积 , 即 f ( x, y) f1( x) f2( y) , 积 分 区 域
D {( x, y) | a x b, c y d} ,证明这个二重积分等于两个单积分的乘积 ,
面 x 0 对称 ,且在 x 0 的部分的体积为 I 1, 在 x 0 的部分的体积为 I 1 ,于 是 I 0; (2) 由于 D 关于 y 轴对称 , f ( x, y) 为 x 的偶函数 ,那么 I 表示的立体关于坐标
面 x 0 对称 ,且在 x 0 的部分的体积为 I1 ,在 x 0 的部分的体积也为 I 1 ,于
2.
3
习题 9-2
二重积分
1、计算下列二重积分：
(1) ( x2 y2 )d ,其中 D 是矩形区域 : | x | 1,| y | 1 ；
D
解：
2
2
(x y )d
D
1
1
2
2
1 21
8
dx ( x y )dy 2 (x )dx .
1
1
1பைடு நூலகம்
3
3
(2) xyex2 d y2 ,其中 D {( x, y) | a x b, c
2
图形 > plot([sin(x),-sin(x/2),[[Pi,0],[Pi,-1]]], x=0..Pi,color=1);
解： I
0
1
arcsin y
dy
f ( x, y)dx dy
f ( x, y)dx .
1
2 arcsin y
0
arcsin y
2a
2ax
2
2x
(6)
0
dx
2ax x2 f ( x, y)dy
f ( x, y) d 为二次积分 (分别列出对两个变量先后次序不
D
同的两个二次积分 ),其中积分区域 D 是：
(1) 由曲线 y ln x 、直线 x 2 及 x 轴所围成的闭区域；
图形 >
plot([ln(x),0,[[2,0],[2,ln(2)]]],x=0..2,y=0..0.8,color=1);
D
D
x y 1所围成 ;
解：由于在 D 内 , 0 x y 1 ,有 0 ( x y) 3 ( x y)2 ,所以
I2
( x y) 3d
( x y) 2 d I 1 .
D
D
(2) I 1
ln( x y)d 与 I 2
[ln( x y)] 2d ,
D
D
其中 D {( x, y) | 3 x 5,0 y 1} .
是 I 2I 1. (I) 由于 D {( x, y) | x2 y 2 R2} 关于 y 轴对称 , 且 f (x, y) xy4 为 x 的奇
函数 ,
于是 xy4d 0 ;
D
(II)
由于
2
D {( x, y) | x
2
y
2
R}
关于
x
轴
对称,且
f ( x, y) y R2 x2 y 2 为 y 的奇函数 ,于是 y R 2 x 2 y 2d 0 ;
D
(2) 当 积 分 区 域 D 关 于 y 轴 对 称 , f ( x, y) 为 x 的 偶 函 数 , 即
f ( x, y) f ( x, y) 时 , 有 f ( x, y)d
D
2 f ( x, y)d , 其 中 D1 为 D 在
D1
x 0 的部分 . 并由此计算下列积分的值 ,其中 D {( x, y) | x2 y2 R2 } .
(I)
xy4d ; (II)
2
yR
D
D
2
x
2
yd
;
y3 cosx
(III)
D1
x2
y2 d
.
解：令 I
f ( x, y)d , I 1
f ( x, y)d ,其中 D1 为 D 在 x 0 的部分 ,
D
D1
1
二重积分
(1) 由于 D 关于 y 轴对称 , f ( x, y) 为 x 的奇函数 ,那么 I 表示的立体关于坐标
00
0
x y 2 所围成的闭区域；
2
20
2x )dx .
3
(4) xcos(x y) d
D
闭区域 .
解： xcos(x y)d
D
,其中 D 是顶点分别为 (0,0), ( ,0) 和 ( , ) 的三角形
x
dx xcos(x y)dy
x(sin2x sinx)dx
3
.
00
0
2
2、画出积分区域 , 并计算下列二重积分：
G:=plot3d([0,y,z],y=0..1,z=1..1+y):H:=plot3d([x,y,1+x+y],x=0..1,y=0..1-x):
display({A,B,F,G,H},grid=[25,20], axes= BOXED ,
scaling=CONSTRAINED,style= PATCHCONTOUR);
dy y2 f ( x, y)dx .
a 2a
6、设平面薄片所占的闭区域 D 由直线 x y 2, y
密度 (x, y) x 2 y2 ,求该改薄片的质量 .
图形 > plot([2-x,x], x=0..2,y=0..1,color=1);
解： m
( x, y)d
D
1
2x 2
2
dy (x y )dx
D
解： (x2 y2)d
D
b
dx
d ( xyex2
y2 )dy
1 (ed 2
ac
2
1
2
(eb
4
2
2
ea )( ed
2
ec ) .
y d} ； ec2 ) b xex2 dx .
a
(3) (3x 2 y)d
D
解： (3x 2y)d
D
,其中 D 是由两坐标轴及直线
2 2x
2
dx (3x 2y)dy (4 2x
解：由于二重积分 I 1表示的立体关于坐标面 x 0 及 y
卦限部分与 I 2 一致 ,因此 I1 4 I 2 .
0 对称 ,且 I 1位于第一
2、利用二重积分的几何意义说明 :
(1) 当 积 分 区 域 D 关 于 y 轴 对 称 , f ( x, y) 为 x 的 奇 函 数 , 即
f ( x, y) f (x, y)时 ,有 f ( x, y)d 0 ;