17.1.2反比例函数的图像与性质(总第 28 课时)
17.1.2反比例函数的图像和性质
17.1.2反比例函数的图像和性质一．学习目标1．会用描点法画反比例函数的图象2.结合图象分析并掌握反比例函数的性质3．积极展示，挑战自我。
学习重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质学习难点：正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质二．学法指导：自主学习课本第41--- 43页，用红笔划出重要知识，完成导学案，并记熟基础知识，用红笔做好疑难标记。
三．基础知识一、探究研讨：问题：我们已知道，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，•那么反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象是什么样呢？【活动1】尝试用描点法来画出反比例函数的图象．画出反比例函数y=6x和y=-6x的图象．描点，以表中各对应值为坐标，在直角坐标系中描出各点．连线，用平滑的曲线把所描的点依次连接起来．思考：反比例函数y=kx（k≠0）的图象在哪些象限由什么因素决定？•在每一个象限内，y随x 的变化情况如何？它可能与坐标轴相交吗？归纳：（1）反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线．（2）当k>0时，双曲线的两支分别位于第__________象限，在每个象限内，y•值随x值的增大而．____________（3）当k<0时，双曲线的两支分别位于第__________四象限，在每个象限内，y•值随x 值的增大而____________．四．拓展提升：（教材42页练习）五．整理导学案六．达标测评下列图象中，是反比例函数的图象的是（）七、归纳总结八、我的收获池北二中八年级数学学科导学案编号：14时间：年月日星期：班级：小组：姓名：设计人：姜春华课型：综合课备课组长：教研组长：装订线1。
17.1.2 反比例函数的图象和性质(2)25
班级：组别：姓名：钢屯中学八年级导学案（2011-2012学年度第二学期）学科：数学编号：25个性天地课题17．1．2 反比例函数的图象和性质（2）课型自学课总课时25 主创人刘国利教研组长签字王廷臣领导签字个性天地学习目标：1、能用待定系数法求反比例函数的解析式．2、能用反比例函数的定义和性质解决实际问题．学习重点：反比例函数图象性质的应用．学习难点：反比例函数图象图象特征的分析及应用。
学法指导：1、学生独立阅读课本P44—P45，探究课本基础知识，提升自己的阅读理解能力。
2、完成导学案设置的问题，由组长组织对学与群学，进行知识汇报，展示讨论。
3、教师巡视，及时指导、帮助学生解决疑难问题。
导学流程：一、旧知回顾1．什么是反比例函数？2．反比例函数的图象是什么？有什么性质？二、基础知识探究【活动1】老师在黑板上写了这样一道题：“已知点（2，5）在反比例函数y=?x的图象上，•试判断点（-5，-2）是否也在此图象上．”题中的“？•”是被一个同学不小心擦掉的一个数字，请你分析一下“？”代表什么数，并解答此题目．【活动2】已知反比例函数的图象经过点A（2，6）（1）这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大而如何变化？（2）点B（3，4）、C（-212，-445）和D（2，5）是否在这个函数的图象上？【活动3】如图是反比例函数y=（m-5）/x的图象的一支。
根据图象回答下列问题:（1）图象的另分布在哪些象限？常数m的取值范围是什么？（2）在函数的图象的某一支上任取点A(a，b)和点B(，b′)。
如果a﹥a′，那么b和b′有怎样的大小关系？三、综合应用探究1、判断下列说法是否正确（1）反比例函数图象的每个分支只能无限接近x轴和y轴，•但永远也不可能到达x轴或y轴．（）（2）在y=3x中，由于3>0，所以y一定随x的增大而减小．（）（3）已知点A（-3，a）、B（-2，b）、C（4，c）均在y=-2x的图象上，则a<b<c．（）（4）反比例函数图象若过点（a，b），则它一定过点（-a，-b）．（）2、设反比例函数y=3mx的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2），且当x1<0<x2时，有y1<y2，则m的取值范围是．3、点（1，3）在反比例函数y=kx的图象上，则k= ，在图象的每一支上，y随x•的增大而．4、正比例函数y=x的图象与反比例函数y=kx的图象有一个交点的纵坐标是2，求（1）x=-3时反比例函数y的值；（2）当-3<x<-1时，反比例函数y的取值范围．四、反馈检测：（书45页练习）反思与评价：。
17.1.2 反比例函数的图象和性质
（ 1 ）求函数的解析式，并说出这个函数的图 象分布在哪些象限？y随x的增大如何变化？
解： 设反比例函数解析式为 y 因为图象经过点（2，-5）
k 把x=2，y=-5 代入得 5 2 10 y 所以， x
k （k≠0） x
k=-10
因为k<0，所以这个函数的图象在第二、四象 限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
小练习
任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为 面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得
（B ） A．S1＞S2
B．S1＝S2
C．S1＜S2 D．大小关系不能确定
2．如图，P是反比例函数图象上的一点，由P 分别向x轴，y轴引垂线，阴影部分面积为 3，求这个反比例函数的解析式． 解：S矩形OAPB=|k|，∴|k|=3，
∴m= -2
例4 在一个反比例函数图象上任取两点P、Q， 过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的 面积为S1；过点Q分别作x轴、y轴的平行线，与坐 标轴围成的面积为S2，S1与S2有什么关系？为什么？
1 1．如图，过反比例函数 y （x＞0）的图象上 x
C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的
解： 因为点M（5 ， a）在图象上，把x=5，y= 10 10 a a代入 y , 得： a=-2．
x 5
小练习
k （2007新疆乌鲁木齐）若反比例函数 y （k为 x
常数，k≠0）的图象经过点（3，-4），则下列各点
在该函数图象上的是（ C ） A．（6，-8） C．（-3，4） B．（-6，8） D．（-3，-4）
（2）点B（1，3）、C （2，4）、 D （-5， 2）和 E （2.5，-4）是否在这个函数图象上？ 10 解：把点B、C、D和E的坐标代入 y x ， 可知点D，E的坐标满足函数关系式，点B、点 C的坐标不满足函数关系式，所以点D、点E在 10 函数 y 的图象上，点B、点C不在这个函数 x 的图象上． （3）若点M（5 ， a）在该图象上，求a的值．
17.1.2反比例函数的图象和性质
练一练
2
4k 已知反比例函数 y x
(1)若函数的图象位于第一三象限，
则k_____________; <4
(2)若在每一象限内，y随x增大而增大， >4 则k_____________.
如图，函数y=k/x和y=－kx+1(k≠0)在同 一坐标系内的图象大致是 （ D ）
6
y
6
y
4
4
2
2
x
增大 在每一象限内，y 随x 的增大而_________. 函数
y
x
,当x>0时,图象在第____ 一 象限,
减小 y随x 的增大而_________.
k＋1 ２.若关于x,y的函数 y 图象位于第一、三象限， x
k>－1 则k的取值范围是_______________
３.甲乙两地相距100km，一辆汽车从甲地开往乙地， 把汽车到达乙地所用的时间y(h)表示为汽车的平均 速度x(km/h)的函数，则这个函数的图象大致是（ C ）
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
x
A
-4
B
y
6
-4
先假设某个函数 图象已经画好， 再确定另外的是否 符合条件.
6
y
4
4
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
x
-4
C
D
-4
练一练
3
x
函数y=kx-k 与 y k k 0 在同一条直角坐标系中的 图象可能是
y
o x
D :
17.1.2反比例函数的图象和性质
17．1．2 反比例函数的图像和性质教学目标1．知识与技能会画反比例函数的图像，并知道该图像与正比例函数、一次函数图像的区别，能从反比例函数的图像上分析出简单的性质．能用反比例函数的定义和性质解决实际问题．2．过程与方法通过画图像，进一步培养“描点法”画图的能力和方法，并提高对函数图像的分析能力．同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法，归纳反比例函数一些性质特征．3．情感、态度与价值观由图像的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，并通过图像的直观教学激发学习兴趣．教学重点难点重点：反比例函数图像的画法及探究，反比例函数的性质的运用．难点：反比例函数图像是平滑双曲线的理解及对图像特征的分析．课时安排2课时第1课时（一）创设情境，导入新课问题：1．若y=(21)(1)n nx-+是反比例函数，则n必须满足条件n≠12或n≠-1 ．2．用描点法画图像的步骤简单地说是列表、描点、连线．3．试用描点法画出下列函数的图像：（1）y=2x；（2）y=1-2x．（二）合作交流，解读探究问题：我们已知道，一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线，•那么反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图像是什么样呢？尝试用描点法来画出反比例函数的图像．画出反比例函数y=6x和y=-6x的图像．（请把表中空白处填好）描点，以表中各对应值为坐标，在直角坐标系中描出各点．连线，用平滑的曲线把所描的点依次连接起来．探究 反比例函数y=6x 和y=-6x的图像有什么共同特征？它们之间有什么关系？ 做一做 把y=6x 和y=-6x的图像放到同一坐标系中，观察一下，看它们是否对称．归纳 反比例函数y=6x 和y=-6x的图像的共同特征：（1）它们都由两条曲线组成．（2）随着x 的不断增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴（x 轴、y 轴）． （3）反比例函数的图像属于双曲线． 此外，y=6x 的图像和y=-6x的图像关于x 轴对称，也关于y 轴对称．猜想 反比例函数y=kx（k ≠0）的图像在哪些象限由什么因素决定？•在每一个象限内，y 随x 的变化情况如何？它可能与坐标轴相交吗？ 【归纳】 （1）反比例函数y=kx（k 为常数，k ≠0）的图像是双曲线． （2）当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y •值随x 值的增大而减小．（3）当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，y •值随x 值的增大而增大．（三）应用1函数2xy =的自变量的取值范围是 ,图象位于 ,在每一象限内,Y 随X 的2函数xy 3-=的自变量的取值范围是 图象位于 ,在每一象限内,Y 随X 的3函数xk y 12+=的自变量的取值范围是 图象位于 ,在每一象限内,Y 随X 的4反比例函数xy 4-=的图象是 经过点(-2, ) 其图象的两个分支分别在( ) 象限内,并且在每个象限内,Y 随X 的增大而 5若反比例函数52-=mmx y 的图像在它所在的每个象限内,Y 随X 的增大而增大,则M的值为 6反比例函数)0(≠=k xky 的图象经过点（2，5），若点（100，N ）在反比例函数的图象上，则N=7已知点（2，6）在函数图象上，则函数xky =的图象在象限在 图象备选例题 1．（2005年中考·泉州）请你写出一个反比例函数的解析式，使它的图像在第一、三象限．2．（2005年中考·宣昌）如图所示的函数图像的关系式可能是（• ） A ．y=x B ．y=1x C ．y=x 2 D ．y=1||x （四）总结反思，拓展升华1．画反比例函数的图像． 2．反比例函数的性质．3．反比例函数的图像在哪个象限由k 决定，且y 值随x 值变化只能在“每一个象限内”研究． 4．在y=kx（k ≠0）中，由于x ≠0，同时y ≠0，因此双曲线两个分支不可能到达坐标轴．（五）课堂跟踪反馈 夯实基础1．已知反比例函数y=kx的图像如图所示，则k > 0，在图像的每一支上， y 值随x 的增大而 减小 ．2．下列图像中，是反比例函数的图像的是 （D ）3．（2005年中考·东营）在反比例函数y=kx（k<0）的图像上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且x 1>x 2>0，则y 1-y 2的值为 （A ）（A ）正数 （B ）负数 （C ）非正数 （D ）非负数 提升能力4．（2005年中考·苏州）已知反比例函数y=2k x的图像在第一、三象限内，则k 的值可是________（写出满足条件的一个k 值即可）． 【答案】 略5．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为倒数，•则这点一定在函数图像上 y=1x（填函数关系式）． 6．若一次函数y=kx+b 的图像经过第一、二、四象限，则反比例函数y=kbx的图像一定在 二、四 象限． 开放探究7．两个不同的反比例函数的图像是否会相交？为什么？【答案】 不会相交，因为当k 1≠k 2时，方程1k x ＝2k x 无解． 8．点A （a ，b ）、B （a-1，c ）均在反比例函数y=1x的图像上，若a<0，则b < c ．第2课时（一）创设情境，导入新课老师在黑板上写了这样一道题：“已知点（2，5）在反比例函数y=?x的图像上，•试判断点（-5，-2）是否也在此图像上．”题中的“？•”是被一个同学不小心擦掉的一个数字，请你分析一下“？”代表什么数，并解答此题目． （二）合作交流，解读探究探究 点（2，5）在反比例函数图像上，其坐标当然满足函数解析式，因此，代入后易求得？=10，即反比例函数关系式为y=10x，再当x=-5时，代入易求得y=-2，说明点（-5，•-2）适合此函数解析式，进而说明点（-5，-2）一定在其函数图像上． 交流 与同学们分享成功的喜悦． （三）应用迁移，巩固提高例1已知反比例函数的图像经过点A （2，6）（1）这个函数的图像分布在哪些象限？y 随x 的增大而如何变化？（2）点B （3，4）、C （-212，-445）和D （2，5）是否在这个函数的图像上？ 解：（1）设这个反比例函数为y=k x ，因为它过点A （2，6），所以把坐标代入得6=2k，•解得k=12，此反比例函数式为y=12x，又因k=12>0，所以图像在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小．（2）把点B 、C 、D 的坐标分别代入y=12x，知点B 、C 的坐标满足函数关系式，点D •的坐标不满足函数关系式，所以点B 、C 在函数y=12x的图像上，点D 不在这个函数的图像上．例2（2005年中考·河南）三个反比例函数（1） y=1k x （2）y=2kx （3）y=3k x在x 轴上方的图像如图所示，由此推出k 1，k 2，k 3的大小关系【分析】 由图像所在的象限可知，k 1<0，k 2>0，k 3>0；在（2）（3）中，为了比较k 2与k 3的大小，可取x=a>0，作直线x=a ，与两图像相交，找到y=2k x 与y=3k x的对应函数值b •和c ，由于k 2=ab ，k 3=ac ，而c>b>0，因而k 3>k 2>k 1． 【答案】 k 3>k 2>k 1．例3直线y=kx 与反比例函数y=-6x的图像相交于点A 、B ，过点A 作AC 垂直于y 轴于点C ，求S △ABC ．解：反比例函数的图像关系原点对称，又y=kx过原点，故点A、B必关于原点对称，从而有OA=OB，所以S△AOC=S△BOC．设点A坐标为（x1，y1），则xy=-6，且由题意AC=│x1│，OC=│y1│．故S△AOC=12AC·OC=12│x1y1│=12×6=3，从而S△ABC=2S△AOC=6．备选例题1．（2005年中考·兰州）已知函数y=-kx（k≠0）和y=-4x的图像交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为C，则S△BOC=_________．2．（2005年中考·常德）已知正比例函数y=kx和反比例函数y=3x的图像都过点A（m，1），求此正比例函数解析式及另一交点的坐标．【答案】1．2；2．y=13x，（-3，-1）（四）总结反思，拓展升华反比例函数的性质及运用（1）k的符号决定图像所在象限．（2）在每一象限内，y随x的变化情况，在不同象限，不能运用此性质．（3）从反比例函数y=kx的图像上任一点向一坐标轴作垂线，这一点和垂足及坐标原点所构成的三角形面积S△=12│k│．（4）性质与图像在涉及点的坐标，确定解析式方面的运用．（五）课堂跟踪反馈夯实基础1．判断下列说法是否正确（1）反比例函数图像的每个分支只能无限接近x轴和y轴，•但永远也不可能到达x 轴或y轴．（∨）（2）在y=3x中，由于3>0，所以y一定随x的增大而减小．（×）（3）已知点A（-3，a）、B（-2，b）、C（4，c）均在y=-2x的图像上，则a<b<c．（×）（4）反比例函数图像若过点（a，b），则它一定过点（-a，-b）．（∨）2．设反比例函数y=3mx的图像上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2），且当x1<0<x2时，有y1<y2，则m的取值范围是m<3 ．3．点（1，3）在反比例函数y=kx的图像上，则k= 3 ，在图像的每一支上，y随x•的增大而 减小 ．4．正比例函数y=x 的图像与反比例函数y=kx的图像有一个交点的纵坐标是2，求（1）x=-3时反比例函数y 的值；（2）当-3<x<-1时，反比例函数y 的取值范围． 【答案】 （1）-43， （2）-4<9-43提升能力5．（2005年中考·资阳）已知正比例函数y=k 1x （k 1≠0）与反比例函数y=2k x（k 2≠0）•的图像有一个交点的坐标为（-2，-1），则它的另一个交点的坐标是（A ） A ．（2，1） B ．（-2，-1） C ．（-2，1） D ．（2，-1） 6．（2005年中考·沈阳）如图所示，已知直线y 1=x+m 与x 轴、y •轴分别交于点A 、B ，与双曲线y 2=kx（k<0）分别交于点C 、D ，且C 点坐标为（-1，2）． （1）分别求直线AB 与双曲线的解析式； （2）求出点D 的坐标；（3）利用图像直接写出当x 在什么范围内取何值时，y 1>y 2．【答案】 （1）直线：y=x+3，双曲线：y=-2x； （2）（-2，1）； （3）-2<x<-1 7．画出y=-2x 与y=-2||x 的图像，并加以区别．【答案】 略开放探究8．（2005年中考·湖州）两个反比例函数y=3x ，6x，在第一象限内的图像如图所示，点P 1，P 2，P 3，…，P 2005在反比例函数y=6x图像上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…，x 2005，纵坐标分别1，3，5，…，共2005年连续奇数，过点P 1，P 2，P 3，…，P 2005分别作y轴的平行线，与y=3x的图像交点依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），…，Q2005（x2005，y2005），则y2005= 2004.5 ．。
17.1.2 反比例函数的图象和性质
3 y= x
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 -1 0
-3 -4 -5
·
1 2 3 4
x
y=
k 的图象关于原点对称 x
y -6 =
k k 、 y = − 的图象关于坐标轴对称 -6 x x
发现函数值y怎样随着自变量 的变化而变化 发现函数值 怎样随着自变量x的变化而变化？ 怎样随着自变量 的变化而变化？
12 把点Ｂ、Ｃ Ｂ、Ｃ和 （２）把点Ｂ、Ｃ和Ｄ的坐标代入 y = x
，可知点Ｂ、 可知点Ｂ、
点Ｃ的坐标满足函数关系式，点Ｄ的坐标不满足函数关系式， 的坐标满足函数关系式， 的坐标不满足函数关系式，
12 所以点Ｂ、 Ｂ、点 的图象上， 所以点Ｂ、点Ｃ在函数 y = 的图象上，点Ｄ不在这个 x
函数的图象上。 函数的图象上。
1、在每一个象限内 、
y
6 6 观察y = 和y = − 的图象 x x
2、在整个自变量的取值范围内 、
6 y=− x
如图x 如图 B< xA 但yB< yA xB
-6 -5 -4 -3 -2 -1
6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1
6 y= x
C
·
y
6 5 4 3 2 1
解析式 图象名称
K>0
y=kx (k≠0) 过原点） 过原点 直 线 (过原点）
图象位于： 图象位于：一、三象限 y随 的增大而增大 的增大而 增减性： 增减性： 随x的增大而增大
性 质
图象位于：二、四象限 图象位于： K<0 增减性： y随x的增大而减小 的增大而减小 增减性： 随 的增大而
研究反比例函数的图象和性质
2反比例图象和性质
y
3 2 1 2 3
o
1
x
-3
-2 -1
-1 -2 -3
o
1
2 3
x
(A)
3 2 1
(B)
3 2 1
y
y
-3
-2 -1
-1 -2 -3
o
1
2 3
x
-3
-2 -1
-1 -2 -3
o
1
2 3
x
(C)
(D)
3. 如图，这是下列四个函数中哪 如图， 一个函数的图象？ 一个函数的图象？ y
（A） ）
y=5x y=2x+3
-6 -4 -2
6 4 2
（B） ）
o
-2 -4 -6
2
4
6x
（C） y= 4 ） x （D） y= ） 4
x
例4 右图是反比例函数 一支. 一支. 根据图象回答下列问题: 根据图象回答下列问题:
m-5 的图象的 y = x y
(1)图象的另一支在哪个象限? (1)图象的另一支在哪个象限? 图象的另一支在哪个象限 o
x
常数m的取值范围是什么? 的取值范围是什么? (2)在这个函数图象的某一支上任取 (2)在这个函数图象的某一支上任取 和点B( ).如果 点A( a,b)和点B(a’,b’).如果 a ﹥a ’ ,那么b和b ’有怎样的大小关 系?
+7 y = nx 2. 右图是反比例函数 的图象的一支, 的图象的一支,根据图象回答下列问 题:
跟踪练习
1.确定下列反比例函数的图象 1.确定下列反比例函数的图象 所在象限? 所在象限?
8 (1) y = x
反比例函数的图像和性质(人教版-八年级)
x
-6 -5
-4
-3 -2 -1
1 6
2 3
4
5
6
y=6/x -1 -1.2 -1.5 -2 -3 -6 y=-6/x 1 1.2 1.5 2 3 6
3 2 1.5 1.2 1
-1.2 -1
-6 -3 -2 -1.5
反 比 例 函 数 的 图 象 和 性 质
y
6 y= x
x 0
y
0
6 y= x
17.1.2反比例函数的图象和性质 反比例函数的图象和性质
主讲: 主讲:鄢小春
浠水县兰溪中学
反 比 例 函 数 的 图 象 和 性 质
形如 为反比例函数.其中x是自变量,y是 x函数.自变量x的取值范围是不等于 0的一切实数. 那些是反比例函数? 那些是反比例函数? ① y = 3x-1 ② y = 2x2 ③ y = 1 x
的图象位于哪个象限由什 么因素决定的? 么因素决定的? 2.在每个象限内,Y随X的 在每个象限内, 随 的 在每个象限内 变化如何变化? 变化如何变化?
y
6 y=x
x
y
0
6 y= x
x
反 比 例 函 数 的 图 象 和 性 质
-----------------------------------------------
两者关系: 两者关系: 将它们两个的图象画在同一直角坐标系内时,图象关于 轴对称 也关于Y 轴对称, 将它们两个的图象画在同一直角坐标系内时,图象关于X轴对称,也关于 轴对称. 轴对称.
反 比 例 函 数 的 图 象 和 性 质
3 y=x
观察图象: 观察图象:
3 y= x k y =x ( k是常数,k≠0 ) k是常数,k≠0 是常数,k 1.函数 函数
17.1.2反比例函数的图象和性质教学设计
反比例函数的图像和性质
例题讲解： 例1 例2 随堂练习： 堂课总结： 反比例函数图象的性质 布置作业：
七、课后作业
1．函数 y= 的图象是_______，当 x>0 时，该图象在第_______ 象限． 2．函数 y= 的图象经过点 A（－4，3） ，则 k=________． 3．已知 y 是 x 的反 比例函数，根据表格所给的信息完成下列问 题： x － 3[ 来 源 :Z 。 xx 。 ] 1 － 1 2 3
5 2 x
a 2 6
，当 x 0 时，y 随 x 的增大而增
（五）教学小结
你对本节知识有哪些认识？ 教师可由学生随意说出一个反比例函数， 然后由一个学生说出它 的性质。 在活动中，教师应重点关注 ： 1.不同层次学生对本节课知识的认识程度； 2.学生独立面对困难和克服困难的能力。
六、板书设计 17、1、2
y
6 6 y x 的图象。 x与
1、学生能否顺利进行三种表示方法的相互转换； 2、 是否熟悉作出函数图象的主要步骤， 会作反比例函数的图象； 3、在动手作图的过程中，能否勤于动手，乐于探索。 反比例函数是我们第一次遇到的非直线函数图象， 而且反比例函 数的图象是由断开的两支曲线组成的， 我们从描出的点的变化趋势可 看出，切记不能用直线连接。 师生共析： 用平滑的曲线按自变量从小到大的顺序把描出的点连 接起来，就可得到下图。
这个过程由学生独立思考、操作、交流、回答；教师可与学生平 等交流，提问学生。 问：1、什么叫做反比例函数？ 学生：如果两个变量 x 、 y 之间的关系可以表示成
反比例函数的图象和性质课件
函数值的无限性
01
由于x不能为0，所以y的值是无限 的，即反比例函数图像上存在无穷 多个点。
02
在每一个象限内，随着x的增大或 减小，y的值会趋近于无穷大或无 穷小。
函数值的单调性
当k>0时，函数在(0, +∞)区间内单调 递减，在(-∞, 0)区间内也单调递减。
当k<0时，函数在(0, +∞)区间内单调递 增，在(-∞, 0)区间内也单调递增。
反比例函数的定义
反比例函数是指形如 y = k/x (k ≠ 0) 的函数，其中 k 是 常数。
反比例函数的性质
反比例函数的图象是双曲线，当 k > 0 时，双曲线的两支 分别位于第一、第三象限；当 k < 0 时，双曲线的两支分 别位于第二、第四象限。
反比例函数的单调性
在各自象限内，反比例函数是单调递减的。
反比例函数的图象和性质课件
目录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图像性质 • 反比例函数的性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数的扩展知识
01 反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数是指函数形式为$f(x) = frac{k}{x}$（其中$k neq 0$）的函数。
当$k > 0$时，反比例函数的图像分布在 第一象限和第三象限；当$k < 0$时，图 像分布在第二象限和第四象限。
经济问题
在经济学中，反比例函数可以用 于描述商品价格与市场需求之间 的关系，通过分析反比例函数的 特性，可以预测市场价格的变动
趋势。
在物理中的应用
磁场问题
在电磁学中，磁场与电流之间的 关系可以用反比例函数描述，通 过分析反比例函数的特性，可以 解决与磁场和电流相关的问题。
17.1.2反比例函数的图像及性质2
轴对称。 轴对称。
两部分图象能重合吗？将反比例函数的图象绕原点旋转180° 能与原来 两部分图象能重合吗？将反比例函数的图象绕原点旋转180°后， 180 的图象重合吗？从中你能得出什么结论？ 的图象重合吗？从中你能得出什么结论？
探究三：在同一直角坐标系内画出k=1,2,3 k=1,2,3时反比例函数 探究三：在同一直角坐标系内画出k=1,2,3时反比例函数 y =
四、巩固练习
1、 正比例函数
y = ax 与反比例函数 y =
b 的一个交点为（-1，2）， 两图象 一个交点为 则 交点 x
作业： 作业：小卷 反思（收获） ： 反思（收获）
D
的另一个交点为 的另一个交点为 。 已知： 轴作垂线形成矩形面积为 2、已知：反比例函数图象上一点向 x 轴、y 轴作垂线形成矩形面积为 5，则反 比例函数解析式为 。
像；再在同一直角坐标系内画出k=-1,-2,-3时反比例函数 再在同一直角坐标系内画出k=-1,-2,k=
y=
k 图象，观察图象，你能发现什么规律 随着|k| |k|的 的图象，观察图象，你能发现什么规律？随着|k|的 x = k 的图象的位置相对于坐标原点是越 x
增大， 增大，反比例函数 y
来越远还是越来越近？ 来越远还是越来越近？
补 充
学习目标：1.进一步巩固反比例函数的性质 进一步巩固反比例函数的性质. 学习目标：1.进一步巩固反比例函数的性质.
2.通过实际操作逐步提高从函数图象中获取信息的能力， 2.通过实际操作逐步提高从函数图象中获取信息的能力， 通过实际操作逐步提高从函数图象中获取信息的能力 探索并掌握反 比例函数的更多性质 性质. 比例函数的更多性质. 3.通过对图象性质的研究 训练学生的探索能力和语言组织能力. 通过对图象性质的研究， 3.通过对图象性质的研究，训练学生的探索能力和语言组织能力.
辽宁省瓦房店市第八初级中学八年级数学下册《17.1.2 反比例函数的图象和性质》教案 新人教版
辽宁省瓦房店市第八初级中学八年级数学下册《17.1.2 反比例函数的图象和性质》教案 新人教版[教学目标]知识技能：1、进一步熟悉用描点法作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象；2、体会函数三种方式的相互转换，对函数进行认知上的整和；3、逐步提高从函数图象中获取知识的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质； 数学思考：通过观察反比例函数图象，分析和探究反比例函数的性质，培养学生的探究，归纳及概括能力。
在探究过程中渗透分类讨论思想和数形结合的思想。
解决问题：会画反比例函数图象，并能根据反比例函数图象探究其性质。
情感态度：1、积极参与探索活动，注意多和同伴交流看法；2、在动手做图的过程中体会乐趣，养成勤于动手，乐于探索的习惯； [教学重点和难点]1、重点：画反比例函数的图象，理解反比例函数的性质；2、难点：理解反比例函数的性质，并能灵活应用 [课型和课时]1、课型：本课为新授课2、课时：本节“反比例函数的图象和性质”共2课时，本课为第1课时，待学习了函数的图象和能根据函数图象探究其性质后，在下一课时主要研究如何利用函数图象性质解决数学问题。
[授课方法] 合作探究式[教学手段] 多媒体课[教学结构][教学过程]活动一 情景导入 激发兴趣 复习巩固1、什么是反比例函数？答：形如(),0ky k k x=≠为常数的函数称为反比例函数 2、作出一次函数6y x =的图象，图象是什么形状？作图的步骤是什么？答：一次函数6y x =的图象是一条直线，作图的步骤包括列表、描点、连线。
3、比一比,你能否找到2个数使得他们的乘积是6?利用几何画板演示找到的点以及对应的轨迹。
引入课题3、由问题2，猜测：反比例函数6y x=的图象会是什么形状呢？我们可以用什么方法画这个反比例函数的图象？ 答：（学生自由猜测，教师引导学生对比反比例函数与一次函数的不同）活动二 类比联想 探索交流 1、 画出反比例函数6y x =与6y x=-的图象（图一）（图一）教师先引导学生思考，示范画出反比例函数6y x=的图象再让学生尝试画出反比例函数6y x=-的图象。
17.1.2_反比例函数的图象和性质
别在哪两个象限？
4 4 （1）函数 y 和函数 y 的图象分 x x
（2）它们之间有什么相同点和不同点？
4 （1）函数4y 的图象在第一和第三象 x y 的图象在第二和第四象限． 限，函数 x
（2）它们都由两条曲线组成，并且随着x的 不断增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴．
4 3 2 1
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1 -1 -2 -3 -4 -5 -6
0
1
2
3
4
5
6
x
y
y=-6/x
6 5 4 3 2 1
y=6/x
x
1 2 3 4 5 6
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
o
-2
-3
y=6/x
-4 -5 -6
y=-6/x
k y x
y
y
小练习
x
0 1
x
0 1
k 两支曲线 （1）反比例函数 y 的图象是由________组成 x 的． 三 一 （2）当 k>0 时，两支曲线分别位于第___、___象限， 减小 在每一象限内，y的值随x值的增大而 _____； 二 四 （3）当 k<0 时，两支曲线分别位于第___、___象限. 增大 在每一象限内，y的值随x值的增大而_____．
1 y x 请你写一个满足上述性质的函数解析________．
3．如图所示：比较k1，k2，k3，k4的大小． k1>k2>k3>k4
y=k1/x y=k2/x y=k3/x 双曲线离原点越远k 的绝对值越大 双曲线离原点越近k 的绝对值越小
反比例函数图像和性质教学课件
THANK YOU
反比例函数图像和性质教学 课件
contents
目录
• 反比例函数简介 • 反比例函数的图像绘制 • 反比例函数的性质分析 • 反比例函数的应用举例 • 反比例函数与其他知识点的关联
01
反比例函数简介
反比例函数的定义
1 2
反比例函数
形如 (f(x) = frac{k}{x}) (其中 (k neq 0)) 的函数 被称为反比例函数。
反比例函数的渐近线
反比例函数的图像没有界限，但可以无限接近两条渐近线，分别是 (y = 0) 和 (x = 0)。
反比例函数的应用
在物理学、工程学和其他科学领域中，反比例函数有广泛的应用，例如电阻、电容和电感 之间的关系。
02
反比例函数的图像绘 制
使用数学软件绘制反比例函数图像
软件选择
选择适合的数学软件，如 GeoGebra、Desmos等，这些
运动与减肥的关系
在减肥过程中，运动量与减肥效果之 间存在反比关系，即当运动量增大时 ，减肥效果不一定更明显，需要合理 控制饮食和运动量。
05
反比例函数与其他知 识点的关联
与一次函数的关联
一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k和b是常数，且k≠0。当b=0时，一次函数退化为正比例函数 ，其图像是一条过原点的直线。反比例函数与正比例函数在形式上相似，只是自变量x的次数为-1。 因此，反比例函数的图像也位于坐标轴的两侧，并随着x的增大而趋近于无穷远。
一次函数和反比例函数在图像上都是单调的，但方向相反。一次函数随着x的增大而增大或减小，而 反比例函数则随着x的增大而减小或增大。
17.1.2反比例函数的图象和性质
第三届全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教案评选
教案设计
图像的画法：
三象限，
四象限，
）师生共同探讨：如何画出反比例函数教师示范画出反比例。
）动手画图（单号同学）画反比例函数（双号同学）画反比例函数【学生动手画图】 以刚才反比例函数
x y 6
为例。
在教师引导下，学生借鉴画反比例函数的图象的经验，自主画出反比例函数的图象，教师巡视指导。
作图完成后，学生展示作品，并说出该函数图象的特征，教师适时点评。
教师展示学生所画图象
）首先展示学生所画正确的函数图象）展示部分学生作图错误图象
【师生互动】教师展示，学生观察图象，思考，反思怎
样才能画得更好。
图中不应用折线段连接，而应用平滑的曲线连
接；
图中的趋势不对，因为根据分式的性质，分式值要为
0，而分母不能为，但该分式的分子是个确定不等于零的
关注反比例系数“
【师生互动】
教师演示课件，赋予不同的值，教师借助计算机，利用
反比例函数（时，、号相同，以（，
的增大而减小；时，、
，
的增大而增大。
同时，从解析式
，
轴、
（、。
17.1.2反比例函数的图象和性质 共28页
(1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的增大如何
变化?
(2)点B(3，4)、C( 2
这个函数的图象上？
1 2
,
4
4 5
）和D（2，5）是否在
解：（１）设这个反比例函数为 y
k
，
x
∵图象过点A（2，6）
6 k
解得： ｋ＝１２
2
∴这个反比例函数的表达式为 y 1 2
x
∵ｋ＞０
∴这个函数的图象在第一、第三象限， 在每个象限内，ｙ随ｘ的增大而减小。
解：（１）反比例函数图象的分布只有两种 可能，分布在第一、第三象限，或者分布在 第二、第四象限。这个函数的图象的一支在 第一象限，则另一支必在第三象限。
∵函数的图象在第一、第三象限
∴ ｍ－５＞０ 解得 ｍ＞５
例2. 如图是反比例函数 y m 5 的图象一支， 根据图象回答下列问题 ： x （1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值 范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点
6、如图，已知反比例函数 y 1 2 的图象与一次函数 x
y= kx+4的图象相交于P、Q两点，且P点的纵坐标
是6。
（1）求这个一次函数的解析式
y
（2）求三角形POQ的面积
D
P
C
o
x
Q
1、已知反比例函数的图像经过点(-1,2), 则该函数的解析式为__y _ _ _2x____;又若点 (2,a)在此图像上则a=__-_1____.
点(2,a)在此图像上则a=__-_1____.
4.已知反比例函数
y
k
与一次函数
x
y2xk 的图像的一个交点的
反比例函数及其性质
（2）根据图像写出使一 次函 数的值小于反比例函数的值的 x的取值范围。
O
x
B
一三象限 y随x的增大而减小 二四象限 y随x的增大而增大
例1:已知反比例函数的图象经过点A(2，6).
(1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的增大如何变
化?
(2)点B(3，4)、C( 2
这个函数的图象上？
Hale Waihona Puke 1 2,44 5
）和D（2，5）是否在
解：（１）设这个反比例函数为
y
k
，
x
∵图象过点A（2，6）
垂 足为D记 . R tΔ AO的 B 面积为S1, y
R tΔ OC的 D 面积为S2,则_C__.
A.S1>S2 B.S1<S2
o S1 A
C.S1 = S2 D.S1和S2的大小关系不能确定.
S2
C
B D
x
8.如图 ,在y1(x0)的图像上有A,三 B,C点 , x
经过三点分x轴 别引 向垂,交 线x轴于 A1,B1,C1三点 ,
,
4
4 5
）和D（2，5）是否
（２）把点Ｂ、Ｃ和Ｄ的坐标代入 y 1 2 ，可知点Ｂ、 x
点Ｃ的坐标满足函数关系式，点Ｄ的坐标不满足函数关系式，
所以点Ｂ、点Ｃ在函数 函数的图象上。
y 12 x
的图象上，点Ｄ不在这个
练习：
1、反比例函数 y 的k 图象经过（2，-
x
1），则k的值为
；1
2、反比例函数 y k的图象经过点（2，5）， x
；且S△kAOP
S△BOP =
。
k
2
2.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点 P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为 3,则这个反比例函数的
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AOB
=____________在函数图像上运动，△
是反比例函数
6
y=
AOB
=____________
在函数图像上运动，△
的图像上运动，过点
B
A
O
y
B
A
O
y
x
能够得到AOB
S
=____________.
（三）教师点拨与例题讲解
例2如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数x
m
y =的图象交于A （－2，1）、B （1，n ）两点
（1）求反比例函数和一次函数的解析式
（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围
课堂练习：1.如图，若点A 是反比例函数k
y x
=的图像上一点，过点A 作AB ⊥x
轴于点B ，连结AO ，若AOB
S =4，求反比例函数的解析式.
2. 如图，若点A 是反比例函数k
y x
=
的图像上一点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，若矩形ABOC 的面积为4，求函数解析式.
3. 如图，反比例函数5
y x
=
图像上有A 、B 、C 三点，过三点反别作x 轴 或者y 轴的垂线，连结AO 、BO 、CO ，则AOD S ___
BOE
S
___COF
S
=_____.
B
A
O
y
x
F
E
D C
B
A
O
y x
B 组
4 如图，P 是反比例函数图象上第二象限内的一点，且矩形PEOF 的面积为3，则反比例函数的解析式是______．
5. 如图，已知一次函数y 1＝x ＋m (m 为常数)的图象与反比例函数
x
k
y =
2(k 为常数，k ≠0)的图象相交于点A (1，3)． (1)求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B 的坐标； (2)观察图象，写出使函数值y 1≥y 2的自变量x 的取值范围．
课后作业：
1. 如图，A 、B 是函数x
y 2
=
的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，A C ∥
y
轴
，
△ABC 的面积记为S ，则( )． (A)S ＝2 (B)S ＝4 (C)2＜S ＜4 (D)S ＞4
2.如图，一次函数1(0)y kx b k =+≠的图像与反比例函数2(0)m
y m x
=≠的图像相较于A 、B 两点.
⑴求出这两个函数的解析式；
⑵判断定点C （6,3）在哪个函数图像上；
⑶根据图像，写出使函数值y 1≥y 2的自变量x 的取值范围．
23
-1-6B A
O
y x
3. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OCD的一边OC在x轴上，∠C＝90°，点D在第一象限，OC＝3，DC＝4，反比例函数的图象经过OD的中点A．
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)若该反比例函数的图象与Rt△OCD的另一边交于点B，
求过A、B两点的直线的解析式．。