求锐角三角函数值常用方法
求锐角三角函数值的常用方法
求锐角三角函数值的常用方法作者：王小艳来源：《理科考试研究·初中》2013年第06期锐角三角函数是沟通代数与几何知识的桥梁，它剥去代数知识的外表转化为解直角三角形的问题，或以锐角三角函数知识为工具将几何知识转化为解代数问题，从而将平面几何中对直角三角形的研究转化为定量研究，达到化难为易的目的.多年来，锐角三角函数一直是中考命题的热点之一.从题型上看，选择题、填空题、解答题、综合题、压轴题，型型皆有.但是，课本上“解直角三角形”一节中这方面例题很少，因而一些同学对这类题的解答感到无从入手.为了解决这个问题，现将求锐角三角函数值的常用方法总结如下：一、直接用锐角三角函数的定义二、用同角三角函数间的关系我们知道，直角三角形的两锐角互余，两直角边的平方和等于斜边的平方，那么在直角三角形中，这些锐角三角函数之间又有怎样的关系呢？三、用等角来替代当直接用三角函数的定义求某锐角的三角函数值较为困难时，可通过相等角进行转换求值.四、构造直角三角形要解含有特殊角（或已知角的三角函数值）的锐角三角形，往往要作某条边上的高线，将其分成两个直角三角形，且使已知角成为构造的直角三角形的一个内角，以便展开推理和计算.求锐角三角函数值的方法较多，且方法灵活，是中考中常见的题型. 我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法.当题目直接用定义求某锐角三角函数值不方便时，经常分析图形、条件，观察图中有没有与所求锐角相等的锐角，然后改求其相等角的三角函数值，这是一个非常重要的解题技巧.当题目直接用定义求其锐角三角函数值不方便时，还常分析图形，观察图形中有没有与这个锐角互余的锐角，然后利用互余两角的三角函数关系式，改求其余角的相应三角函数值.由于初中阶段求三角函数值常用方法是用定义，故若题目图形中所求锐角不在直角三角形中时，常用的处理手段是适当作垂线，使所求锐角含在直角三角形中.当然，如何作垂线应推敲一下，在有30，45或者60度角条件时，经常设法作出含30，45，60度角的直角三角形，这一常用解题思路在解题中的应用.。
锐角三角函数值的求解攻略
锐角三角函数值的求解攻略浙江嘉善县泗洲中学（314100）杨晓霞［摘要］锐角三角函数是历年中考数学的重点和热点内容，研究锐角三角函数对中考应用题的复习备考乃至中考数学命题模式的把握都有非常重要的指导意义.［关键词］三角函数；锐角；求解［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2021）08-0020-02一、定义法［例1］如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=15，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点D，垂足为E，求sin∠CAD的值.分析：在图1中，∠CAD为直角三角形CAD的一个内角，根据锐角的正弦的定义，可知sin∠CAD=CDAD.因此，本题的解题关键是求出∠CAD的对边CD和斜边AD的长度.根据线段的垂直平分线的性质易知AD=BD.已知条件BC=3，可表示出CD长.在Rt△CAD中运用勾股定理求解.当然，这里最好引入一个未知数，以简便表示相关线段长度.解：因为AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点D，所以有AD=BD.不妨设AD=BD=x，又BC=3，则CD=x-3，而AC=15，在Rt△CAD中，根据勾股定理知AC2+CD2=AD2，即15+()x-32=x2，解得x=4.即AD=4，CD=1，所以sin∠CAD=CDAD=14.点评：本题主要考查锐角三角函数中正弦的定义，并检测学生对一元二次方程的求解的掌握程度，勾股定理在解题中起了关键作用.二、参数法［例2］如图2，在△ABC中，∠C=90°，sin A=25，求sin B的值.分析：根据已知条件中的sin A=25，可以结合锐角三角函数中正弦的定义，引入一个参数，设出角A的对边CB和斜边AB的长度，再运用勾股定理求得角A的邻边AC的长度后，问题得解.解：因为∠C=90°，sin A=25，根据此比值可设CB=2x，AB=5x，其中x>0，再由勾股定理得AC2=AB2-CB2=21x2，即AC=21x，结合锐角三角函数中正弦的定义可知，sin B=ACAB=21x5x=点评：熟练掌握锐角三角函数中正弦的定义是解决本题的关键所在，若已知条件中给出具体角的比值，通常的做法是引入一个大于0的参数，根据比值设出相应边的长度，然后根据勾股定理求解.三、构造法1.三角形中的构造［例3］如图3，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使得DC=12BD，连接AC，若tan B=53，求tan∠CAD的值.分析：本题要求tan∠CAD，但由于∠CAD不在图中已知的直角三角形中，需要另外构造直角三角形，使得∠CAD置于其中.可以过点D作边AD的垂线，构造出直角三角形ADH来解决.解：过点D作边AD的垂线DH交AC于H，垂足为D，如图4所示，根据△BAD为直角三角形可知，∠BAD=∠ADH=90°，所以AB∥DH，易证得△CDH∽△CBA，进而得到DH AB=CD CB，因为已知条件中有DC=12BD，则DH AB=CD CB=13，又在Rt△BAD中，tan B=53，不妨设AD=5k，AB=3k，这样DH=k，故在Rt△ADH中，有tan∠CAD=DHAD=k5k=15.点评：如果在三角形中求相关角的三角函数值时，所求角并不在已知直角三角形中，这时我们就需要通过作垂线段来构造直角三角形，从而将所求角置于直角三角形中，再结合三角函数值的定义求解.本题还运用了相似三角形的相关性质.此外，本题亦可图1图2图3图4［基金项目］本文系全国教育科学“十三五”规划2017年度教育部重点课题“核心素养视角下的中学数学命题模式研究”（批准号：DHA17035）成果.数学·解题研究过点C 作直线AD 的垂线，通过构造出两个相似的直角三角形，利用相似比计算出相应的边长求解.2.圆中的构造［例4］如图5，在半径为3的圆O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC =2，求tan D 的值.分析：题中已知条件提及直径AB ，又要求角D 的正切值，自然联想到这里应该是要借助“直径AB 所对的圆周角为直角”这一性质来构造直角三角形，然后将角D 置于其中求解.解：连接BC ，如图6所示，因为AB 为直径，则∠ACB =90°，这样在直角三角形ACB 中，有tan A =BCAC，根据圆周角的性质，不难发现∠A =∠D ，故tan D =BCAC，又圆O 的半径为3，AC =2，那么BC =AB 2-AC 2=36-4=42，所以tan D =BCAC=422=22.点评：在圆中求锐角三角函数值时，利用直径来构造直角三角形是最常用的构造方法，一般还会利用“同弧（或等弧）所对的圆周角相等”这一性质，将目标角进行等量转化.3.网格中的构造［例5］如图7所示，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cos A 的值为.图7图8分析：因为网格中无直角三角形，所以需要借助网格格点构造直角三角形，不妨通过点B 来构造，连接格点B 、D ，如图8所示，易知△ABD 为直角三角形.解：如图8所示，连接格点B 、D ，根据正方形的对角线的特征，易知△ABD 为直角三角形，可设小正方形的边长为1，则AB =10，AD =22，所以cos A =AD AB =2210=255.点评：在网格中求锐角三角函数值，一般都是借助网格中的格点去构造直角三角形，通常构造的方法也不是唯一的，本题也可以通过补网格，利用格点C 来构造直角三角形.四、等量转化法1.网格中的转化［例6］如图9，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P，则tan∠APD 的值为.图9图10分析：本题可将∠APD 转化为∠BPC ，然后通过小正方形的对角线构造直角三角形解决.解析：连接格点B 、Q ，交DC 于点H ，如图10所示，则BH ⊥DC ，所以tan∠APD =tan∠BPH =BHPH ，若设小正方形的边长为1，那么BH=易知△BDP ∽△ACP ，则DP PC =BD AC =13，所以DP =14DC=那么PH =DH -DP 故tan∠APD =BH PH =22=2.点评：在网格中，若对所求角直接构造直角三角形较困难，可以进行适当的等量转化.本题将∠APD 等量转化为∠BPC 是解题的关键.2.折叠中的转化［例7］如图11，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，将△ABC 折叠，使点A 落在BC边上的点D 处，EF 为折痕，若AE =3，则sin∠BFD =.分析：根据折叠的性质，∠A =∠EDF =45°，注意到∠BFD =180°-∠B -∠BDF =135°-∠BDF ，∠CDE =180°-∠EDF -∠BDF =135°-∠BDF .这样将∠BFD 等量转化成∠CDE ，再在Rt△CDE 中求解.解析：由题意知，∠A =∠EDF =∠B =45°，在△BFD 中，∠BFD =180°-∠B -∠BDF =135°-∠BDF ，又因为∠CDE =180°-∠EDF -∠BDF =135°-∠BDF ，所以∠BFD =∠CDE ，易知CE =1，DE =3，故sin∠BFD =sin∠CDE =CE DE =13.点评：折叠问题中，要紧扣相关角、边之间的等量关系.将∠BFD 等量转化成∠CDE 是成功解决本题的关键一步.锐角三角函数值的求解是中考数学的必考题型，其涉及的题目类型多变，可采用的解题策略也较多，在平时的教学过程中，教师要注意归纳、小结各种解题方法，以便学生在解题时可以信手拈来.（责任编辑黄桂坚）图5图6图11数学·解题研究。
求锐角三角函数值的七种常用方法学年春人教版九年级数学下册练习课件
∵DO∥AC，∴△AEC∽△DEF，且相似比为 3∶1. 设 EF＝k，则 CE＝3k，BC＝8k. ∴AC＝2CE＝6k. ∴AB＝ AC2＋BC2＝ （6k）2＋（8k）2＝10k. ∴sin∠CDA＝sin∠ABC＝AACB＝160kk＝35.
5．如图所示，在矩形 ABCD 中，AB＝10，BC＝8，E 为 AD 边 上一点，沿 CE 将△CDE 折叠，使点 D 正好落在 AB 边上的 点 F 处，求 tan∠AFE 的值．
∵AC＝5，∴AB＝13. ∴BC＝12. ∴PD＝CE＝BE＝6. ∵OA＝OB，CE＝BE，∴OE＝12AC＝52. ∵OP＝OB＝123，∴CD＝PE＝123－52＝4. ∴AD＝9. ∴AP＝ AD2＋PD2＝ 92＋62＝3 13.
7．(2020·遵义)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的
(1)求证：AD 平分∠BAE； 【点拨】连接 OD，根据切线的性质得到 OD⊥DE， 结合题意即可判定 OD∥AE，从而得到∠1＝∠ODA， 然后利用∠2＝∠ODA 得到∠1＝∠2；
第28章 锐角三角函数
第28章 锐角三角函数
第5课时 求锐角三角函数值的七种常用方法
第28章 锐角三角函数
第5课时 求锐角三角函数值的七种常用方法
第5课时 求锐角三角函数值的七种常用方法
第28章 锐角三角函数
第28章 锐角三角函数
解：如图，作 CH⊥AB 于 H.
在 Rt△ACH 中，CH＝AC·sin A＝4 3×sin 30°＝2 3，
AH＝AC·cos A＝4 3×cos 30°＝6，
∴BH＝AB－AH＝4.
∴tan
B＝CBHH＝
3 2.
第5课时 求锐角三角函数值的七种常用方法
专题——求锐角三角函数值的常用方法+课件+2024-2025学年鲁教版(五四制)九年级数学上册
【解】连接 EF，设 CF＝k. 则 CD＝AD＝AB＝BC＝4k，∴DF＝3k. ∵E 为 BC 的中点，∴BE＝EC＝2k，
根据勾股定理，得 AF＝5k，EF＝ 5k，AE＝2 5k，
∴EF2＋AE2＝25k2＝AF2. ∴△AEF 是直角三角形，且∠AEF＝90°.
∴sin∠EAF＝EAFF＝ 55kk＝ 55，
(2)利用(1)中的结论，解答下面问题：已知∠α 与∠β 互余， sin α＝25，求 sin β 的值． 【解】∵∠α 与∠β 互余，∴sin2α＋sin2β＝1， ∴sin β＝ 1－sin2α＝
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6.如图，在正方形 ABCD 中，E 为 BC 的中点，点 F 在 CD 边上，且 CF＝14CD，求∠EAF 的正弦值、余弦值．
的面积为 5，则 sin ∠CEF 的值为( )
A．35 C．45
B．
5 5
D．2 5 5
【点拨】连接 BF. ∵CE 是斜边 AB 上的中线，EF⊥AB， ∴EF 是 AB 的垂直平分线． ∴AF＝BF，S△ AFE＝S△ BFE＝5. ∴∠FBA＝∠A，S△AFB＝10＝12AF·BC. ∵BC＝4，∴AF＝BF＝5. 在 Rt△ BCF 中，BC＝4，BF＝5，∴CF＝ 52－42＝3.
cos∠EAF＝AAEF＝2
5k5k＝2 5
5 .
【点方法】当出现边与边的比时，可引入参数，用 这个参数表示三角形三边长，再用定义求解．
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7.如图，在 Rt△ACB 中，∠C＝90°，D 是 AC 的中点， AC＝8，tan A＝12，求 sin∠ABD 的值.
【解】过点 D 作 DE⊥AB 于点 E. ∵D 是 AC 的中点，∴AD＝CD＝12AC＝12×8＝4. ∵在 Rt△ABC 中，tan A＝BACC＝12，AC＝8，∴BC＝4. ∴BD2＝CD2＋BC2＝32，∴BD＝4 2.
专题训练(六) 锐角三角函数求值的六种方法讲解
专题训练(六) 锐角三角函数求值的六种方法讲解►方法一运用定义求锐角三角函数值1．在下列网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠O的正弦值是________．图ZT－6－12．如图ZT－6－2所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5.(1)求AB的长；(2)求两个锐角的三角函数值．图ZT－6－2►方法二巧设参数求锐角三角函数值3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝513，则cos A的值是()A.512B.813C.23D.12134．2017·铜仁如图ZT －6－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，ED ⊥AB 交AC 于点E.设∠A ＝α，且tan α＝13，则tan 2α＝________．图ZT －6－35．已知：如图ZT －6－4，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝12，求∠B 的正弦值、余弦值．图ZT －6－46．如图ZT －6－5，∠C ＝90°，∠DBC ＝30°，AB ＝BD ，根据此图求tan 15°的值．图ZT －6－5► 方法三 利用边角关系求锐角三角函数值7．如图ZT －6－6所示，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tan C 的值是( )图ZT －6－6A.34B.43C.35D.458．如图ZT －6－7所示，在△ABC 中，点D 在AC 上，DE ⊥BC ，垂足为E ，若AD ＝2DC ，AB ＝4DE ，则sin B 的值是( )图ZT －6－7A.12B.73C.3 77D.349．已知锐角三角形ABC 中，点D 在BC 的延长线上，连结AD ，若∠DAB ＝90°，∠ACB ＝2∠D ，AD ＝2，AC ＝32，根据题意画出示意图，并求出tan D 的值．►方法四利用等角求锐角三角函数值10．如图ZT－6－8所示，∠ACB＝90°，DE⊥AB，垂足为E，AB＝10，BC＝6，求∠BDE的正弦值、余弦值、正切值．图ZT－6－811．如图ZT－6－9所示，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE折叠后，点D正好落在AB边上的点F处，求tan∠AFE的值．图ZT －6－9► 方法五 利用同角三角函数的关系求锐角三角函数值同角三角函数之间有如下关系：对于锐角α，有sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α. 12．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos B ＝23，则sin B 的值为( )A.2 53B.53C.2 55D.5513．已知α为锐角，且cos α＝13，求tan α＋cos α1＋sin α的值．► 方法六 利用互余两角三角函数的关系求锐角三角函数值 若∠A ＋∠B ＝90°，则sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B.对于锐角α，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小，tan α随α的增大而增大．14．已知0°＜∠A ＜90°，那么cos (90°－∠A)等于( ) A ．cos A B ．sin (90°＋∠A) C ．sin A D ．sin (90°－∠A)15．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝3，求cos B 的值．16．在△ABC 中，(1)若∠C ＝90°，cos A ＝1213，求sin B 的值；(2)若∠A＝35°，∠B＝65°，试比较cos A与sin B的大小，并说明理由．教师详解详析1．[答案]10 10[解析] 如图，过点C作CD⊥OB于点D，根据正方形的性质可知点D为小正方形对角线的中点，∴CD＝22，由勾股定理得OC＝22＋12＝5，∴在Rt△OCD中，sin O＝CDOC＝225＝1010.2．解：(1)AB＝AC2＋BC2＝13.(2)sin A＝BCAB＝513，cos A＝ACAB＝1213，tan A＝BCAC＝512；sin B＝ACAB＝1213，cos B＝BCAB＝513，tan B＝ACBC＝125.3．D4．[答案]34[解析] 连结BE.∵D是AB的中点，ED⊥AB，∴ED是AB的垂直平分线，∴EB＝EA，∴∠EBA ＝∠A ＝α，∴∠BEC ＝2α.∵tan α＝13，设DE ＝a ，则AD ＝3a ，∴AE ＝10a ，AB ＝6a ，∴BC ＝3 10a 5，AC ＝9 10a 5，∴CE ＝9 10a 5－10a ＝4 10a 5，∴tan2α＝BCCE ＝3 10a 54 10a5＝34. 5．解：∵∠C ＝90°，tan A ＝BC AC ＝12， ∴设BC ＝x ，AC ＝2x ， ∴AB ＝5x ，∴sin B ＝AC AB ＝2x 5x ＝2 55，cos B ＝BC AB ＝x 5x ＝55.6．解：设AB ＝BD ＝2x . ∵AB ＝BD ，∠DBC ＝30°， ∴∠A ＝12∠DBC ＝15°.∵∠DBC ＝30°，∠C ＝90°， ∴CD ＝x ，由勾股定理可求出BC ＝3x ， ∴AC ＝AB ＋BC ＝2x ＋3x ， ∴tan15°＝CDAC ＝2－ 3.7．[解析] B 连结BD .∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点， ∴BD ＝2EF ＝4.∵BC ＝5，CD ＝3，BD ＝4， ∴BD 2＋CD 2＝BC 2，∴△BCD 是直角三角形，且∠BDC ＝90°， ∴tan C ＝BD CD ＝43.8．[解析] D 如图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则有DE ∥AF . ∵AD ＝2DC ，∴DC ∶AC ＝1∶3＝DE ∶AF ， ∴AF ＝3DE . ∵AB ＝4DE ， ∴sin B ＝AF AB ＝3DE 4DE ＝34.9．解：示意图如图所示．∵∠ACB ＝∠D ＋∠CAD ，∠ACB ＝2∠D ， ∴∠CAD ＝∠D ， ∴AC ＝DC .∵∠BAD ＝90°，∴∠B ＋∠D ＝90°.∵∠BAC ＋∠CAD ＝90°，∴∠B ＝∠BAC ，∴BC ＝AC ，∴BD ＝2AC .∵AC ＝32， ∴BD ＝3.在Rt △BAD 中，∵AD ＝2，BD ＝3，∴AB ＝5，∴tan D ＝AB AD ＝52. 10．解：∵在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝6， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝8.∵∠C ＝∠DEB ＝90°，∠B ＝∠B ，∴△ACB ∽△DEB ，∴∠A ＝∠BDE ，∴sin ∠BDE ＝sin A ＝35， cos ∠BDE ＝cos A ＝45， tan ∠BDE ＝tan A ＝34.11．解：根据图形得∠AFE ＋∠EFC ＋∠BFC ＝180°. 根据折叠的性质，得∠EFC ＝∠EDC ＝90°，∴∠AFE ＋∠BFC ＝90°.在Rt △BCF 中，∠BCF ＋∠BFC ＝90°，∴∠AFE ＝∠BCF .又根据折叠的性质，得CF ＝CD ＝10.在Rt △BCF 中，BC ＝8，CF ＝10，由勾股定理，得BF ＝CF 2－BC 2＝6，∴tan ∠BCF ＝34， ∴tan ∠AFE ＝tan ∠BCF ＝34. 12．[解析] B ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos B ＝23， ∴sin B ＝1－（23）2＝53. 故选B.13．解：∵cos α＝13， ∴sin α＝1－（13）2＝2 23， tan α＝sin αcos α＝2 2313＝2 2， ∴tan α＋cos α1＋sin α＝2 2＋131＋2 23＝2 2＋3－2 2＝3.14．C15．解：∵tan A ＝3，∴∠A ＝60°，sin A ＝32. 又∵∠A ＋∠B ＝90°，∴cos B ＝sin A ＝32. 16．解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠A ＋∠B ＝90°，∴sin B ＝cos A ＝1213. (2)cos A ＜sin B .理由：∵cos A ＝cos35°＝sin55°＜sin65°， ∴cos A ＜sin B .。
求锐角三角函数值的几种方法
ｃ 。 ｓ ／ － Ｃ Ａ Ｄ
， Ａ Ｂ的长可 以根 据 勾股定理 求
例７ 已知 ＡＡ Ｂ Ｃ中 ， Ｃ ＝ ９ ０ 。 ，
ｓ ｌ ｎ Ａ
＝
＋
得， 即可求得 ｓ ｉ ｎ ／ＡＣ Ｄ ．
解： 在 Ｒｃ △Ａ Ｂ Ｃ中， 。 ． ‘ Ａ ｃ ＝ ～ ， Ｂ Ｃ ＝ ２ ，
评 注 ：注 意锐 角三 角 函数 的 定 义 只适 用 于 直角三 角形 ，在斜 三角形 中不能直接 用锐 角三 计算起来稍麻烦 ． 若根据 直 角三 角形 两锐 角之 角 函数 的 定 义 求 三 角 函 数值 ，需要 将 斜 三 角 形 间的关 系， 可得 ｓ ｉ ｎ ＺＡＣ Ｄ ＝ ｃ ｏ ｓ Ｃ Ａ Ｄ， 只要 求得 转化成 直角三 角形再求值． 七 、 方程法 Ｃ Ｏ Ｓ ０ｔ Ｄ 的 值 即 可 ．而 在 Ｒｔ △Ａ Ｂ Ｃ中 ，
Ｃ
， ｔ ａ ｎ Ａ＝
Ｏ
六、 构造法
． ．
一
＋ ＿ ＿ ＿ ： ＋ ： 丛 ： ５
ｔ ａ ｎ Ａ ａ ０ ａ
Ｓ ｌ ｎ Ａ
例 ６ 如图 ２ ， 已知 Ａ Ｄ为 等腰三角形 Ａ Ｂ Ｃ 底边上 的高 ，
且 ｔ ａ ｎ厶 Ｂ ＝ ４
，
即 ｂ ＋ ｃ ＝ Ｓ ａ ， 联 立 方 程 ｛ ≥ ，
利用公式 ， 得：
ｔ ａ
嘉 １ ５．
— 一
Ａ ． 音 Ｂ ．
解： ‘ ． ’ ｔ ａ ｎ Ａ ＝ 羔，
・ ． ．
ｃ ．
Ｄ ．
分析 ：由 已知锐 角三 角函数 式 ，设 比值 ｈ 二、 定 义 法 （ ｋ ＞０ ） ， 用含 的式子表 示两边 ， 再利用 勾股定 然后用锐角三角函数 的定义求解 ． 例 ２ 在 ＡＡ Ｂ Ｃ中 ，已知 Ｃ ＝ ９ ０ 。 ， ｓ ｉ ｎ Ａ＝ 理求 出第三边，
锐角三角函数的解题技巧
(1)平方关系：sin2α＋cos2α=1
(2)商数关系：
（三）两角的关系
任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正切值与它的余角的正切值的积等于1．即若A+B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1．
答案：D
分析：
(1)要求sinα与cosα的关系的值，而已知tanα的值，故可通过 来求值．
(2)已知tanα的值，也可通过 ，把要求的式子的分子，分母同时除以cos2α转化成关于tanα的关系，这样便可求出结论．
点评：在进行三角函数有关计算时，常利用有关公式进行变换．
2、化简计算
例3、计算
分析：
这是一组有关特殊角三角函数值的计算题，计算中最关键是将它们先化成具体的数值，同时还要应用其它一些知识帮助求值，如(1)注意分母有理化，(2)应掌握整数指数幂的意义．
(5)0＜sinA＜1，0＜cosA＜1
2、同名三角函数值的变化规律
当角α在0°～90°间变化时，它的正切和正弦三角函数值随着角度的增大而增大；余弦三角函数值随着角度的增大而减少．
三、解题方法技巧点拨
1、求锐角三角函数的值
例1、(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，若 ，求cosB，tanB的值．
分析：本题主要考查锐角三角函数的定义，结合图形求解可化繁为简，迅速得解．
5、求线段长与面积
例6、如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求BC的长．
分析：
题中有30°，45°特殊角，想把它们放到直角三角形中，利用三角函数来解题．
点评：
（1）在作高线构造直角三角形时，一般不过特殊角的顶点作垂线，这样便于利用特殊角解题．
求锐角三角函数值的几种常用方法
求锐角三角函数值的几种常用方法锐角三角函数是初中数学的重要内容，也是中考的热点之一．求锐角的三角函数值 方法较多，下面举例介绍求锐角三角函数值的几种常用方法，供参考．一、定义法当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( )(A )513 (B )1213 (C )512 (D )135分析 题目中已知乞A 的对边BC 和斜边AB 的长，可直接运用锐角三角函数的定义求解．解 ∵在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，∴sin A 513BC AB =故选A 二、参数法锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题．例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =512，那么sin B 的值是 ． 分析 由已知条件∠A 的正切，可知直角三角形中两边的比值，据此可用参数法将第三边表示出来，进而求出sin B 的值．解如图2 ∵tan A =512BC AC =， ∴设BC =5k ，AC =12k (k >O )．由勾股定理，得AB =13k ，∴1212sin 1313AC k B AB k === 三、等角代换法当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决．例3 如图3，在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ．分析 由已知条件，不难知道∠ACD 与∠A 相等，所以欲求cos ∠ACD ，只要求cos A 即可．解 在Rt △ABC 中，∵CD 是AB 边上的中线，∴CD =AD =BD ，∴∠ACD =∠A ．又∵CD =4，∴AB =2 CD =8，由勾股定理，得AC =∴cos A =AC AB =∴cos ∠ACD =cos A =8 四、构造法直角三角形是求解或运用三角函数的前提条件，故当题目中已知条件并非直角三角 形时，需通过添加辅助线构造直角三角形，然后求解．例4 在△ABC 中，∠A =120°，AB =4，AC =2，则sinB 的值是( )(A (B (C (D 分析 由于∠B 不在直角三角形中，因此需添加辅助线构造直角三角形，从而求解． 解 如图4，过点C 作CD ⊥BA ，交BA 的延长线于点D ．∵∠BAC =120°，∴∠DA C =180°一∠BAC=180°一120°=60°．在Rt △ABC 中，∵A C =2，∠DAC =60°，∴CD =AC ·sin ∠DAC =2=∴AD =1．又∵AB =4 ∴BD =AB +AD =5， 在Rt △ABC 中，由勾股定理，得BC =∴sin CD B BC === 故选D ．。
一般锐角的三角函数值
随着科技的发展，三角函数的应用领 域越来越广泛，特别是在信号处理、 图像处理、通信等领域，三角函数的 应用前景非常广阔。
THANKS
感谢观看
等问题的求解。
三角函数在其他领域的应用
工程学
在工程学中，三角函数用于解决各种实际问题，如结 构设计、机械运动等。
经济学
在经济学中，三角函数可以用于统计分析、成本效益 分析等方面。
计算机图形学
在计算机图形学中，三角函数用于生成二维和三维图 形、进行图像处理等。
05
总结
锐角三角函数的特性与计算方法
极坐标系中的点表 示
在极坐标系中，三角函数可以用 于表示点，并解决与极坐标相关 的问题。
三角函数在物理学中的应用
振动和波动
01
在物理学中，三角函数常用于描述振动和波动现象，如简谐振
动和波动方程。
电磁学
02
在电磁学中，三角函数用于描述交流电、磁场等物理量的变化
规律。
力学
03
在力学中，三角函数可以用于描述力的合成与分解、运动轨迹
勾股定理是直角三角形的一个重要性 质，可以用于推导三角函数值。例如 ，在45度直角三角形中，利用勾股定 理可以推导出$cos 45^circ = frac{sqrt{2}}{2}$。
三角函数之间存在一些基本关系式，如 $sin^2 theta + cos^2 theta = 1$和 $tan theta = frac{sin theta}{cos theta}$。通过这些关系式，可以进一 步推导出特殊角度的三角函数值。例如， 利用$tan 60^circ = sqrt{3}$，可以 推导出$sin 60^circ = frac{sqrt{3}}{2}$和$cos 60^circ = frac{1}{2}$。
用锐角三角函数概念解题的常见方法(含答案页)
用锐角三角函数概念解题的常见方法(含答案11页)用锐角三角函数概念解题的常见方法1．锐角三角函数（1）锐角三角函数的定义我们规定：sinA=abab，cosA=，tanA=，cotA=．ccba锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角函数．（2）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三角函数值求角度对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可以背诵下来，但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题．①已知角求三角函数值；②已知三角函数值求锐角．2直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．3．锐角三角函数的性质（1）0<sinα<1，o<cosα<1（0°<α<90°）1（2）tanα·cotα=1或tanα=（3）tanα=1；cot?sin?cos?，cotα=．cos?sin?（4）sinα=cos（90°-α），tanα=cot（90°-α）．有关锐角三角函数的问题，常用下面几种方法：一、设参数例1. 在?ABC中，?C?90?，如果tanA?5，那么sinB的值等于（）12D.12 5A.513B.1213C.512解析：如图1，要求sinB的值，就是求AC5的值，而已知的tanA?，也就是AB12BC5? AC12可设BC?5k，AC?12k则AB?(5k)2?(12k)2?13k?sinB?12k12?，选B 13k13二、巧代换例2. 已知tan??3，求sin??2cos?的值。
5sin??cos?解析：已知是正切值，而所求的是有关正弦、余弦的值，我们可以利用关系式sin??3，作代换sin??3cos?，代入即可达到约分的目的，也可以把所求的cos?分式的分子、分母都除以cos?。
tan??2sin??2sin??2cos? ?cos?sin5sin??cos?5?1cos?再把sin?1?3代入，得：原式? cos?16三、妙估计例3. 若太阳光与地面成37?角，一棵树的影长为10m，则树高h的范围是（取?1.7）A. 3?h?5B. 5?h?10C. 10?h?15D. h?15 解析：如图2，树高h?10tan37?，要确定h的范围，可根据正切函数是增函数，估计tan30??tan37??tan45?即10tan30??10tan37??10tan45??10??h?10 3?5?h?10，故选B四、善转化例4. 在?ABC中，1?A?30?，tanB?BC?，求AB的长。
小专题(八) 求锐角的三角函数值的常用方法
方法 4 构造直角三角形
若要求的三角函数值的角不在直角三角形中，则需要根据 已知条件构造直角三角形来解决．
9．如图，在△ABC 中，AE⊥BC 于点 E，D 为 AB 边上一点．如
果 BD＝2AD，CD＝10，sin∠BCD＝35，那么 AE 的长为
(D)
A．3
B．6
C．7.2
D．9
10．(合肥市庐阳区期末)如图，网格中的每一个正方形的边长
∴BC＝ AB2－AC2＝ 9m2－4m2＝ 5m.
ห้องสมุดไป่ตู้∴在
Rt△ABC
中，tanB＝ABCC＝
2m ＝ 5m
2 5.
在 Rt△EFB 中，EF＝BF·tanB＝2m5，
∴CE＝EF＝2m5.
2m
∴在
Rt△ACE
中，tan∠CAE＝ACEC＝2m5＝
5 5.
方法 3 等角转换
当一个锐角的某个三角函数不容易求解时，可以借助与其 相等的一个角进行转化，进而求出其三角函数值．
解：(1)在 Rt△ABD 中，∵BD＝DC＝9，AD＝6，
∴AB＝ BD2＋AD2＝ 92＋62＝3 13.
∴sinB＝AADB＝3
6 ＝2 13
1313.
(2)∵EF∥AD，BE＝2AE， ∴AEDF＝BBDF＝BBAE＝23.∴E6F＝B9F＝23. ∴EF＝4，BF＝6.∴DF＝3. 在 Rt△DEF 中，DE＝ EF2＋DF2＝ 42＋32＝5.
在 Rt△ADC 中，tanA＝32， 设 AC＝2a，CD＝3a(a>0)，∴DE＝a. 在 Rt△CDE 中，由勾股定理，得 CE＝ CD2＋DE2＝ （3a）2＋a2＝ 10a. ∴cos∠BCD＝CCDE＝ 31a0a＝130 10.
求锐角三角函数值方法全接触
求锐角三角函数值方法全接触学习锐角三角函数的重点是掌握锐角三角函数的定义以及求锐角三角函数值．求三角函数值的方法较多，且方法灵活．是中考中常见的题型．下面列举求锐角三角函数值的方法． 一、定义法例1 (08宁夏回族自治区)如图1，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =54，AB =15，则△ABC 的周长为______,tan A 的值为_______. 分析: 根椐已知的一个锐角三角函数值和一边长，应用三角函数的定义和勾股定理，可以求出其它两边，最后用定义就可以求出锐角三角函数值．解:在Rt △ABC 中, ∠C =90°, AB =15，A sin =AB BC =54，∴ 12=BC ，912152222=-=-=BC AB AC ，∴△ABC 的周长为36，tan A=34=AC BC . 二、参数法例2 （08威海）在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝31，则sin B ＝( ) DA ．1010B ．32C ．43D ．10103分析: 根椐已知的一个锐角三角函数值，应用三角函数的定义，引入参数k 表示两个边长，根据勾股定理用k 表示第三边，最后用定义就可以求出锐角三角函数值．解：由tan A ＝31，可得31=b a ．故设a =k ，b =3k ．根据勾股定理，得c=()，k k k 10322=+应用三角函数定义，得sin B ＝101010==kk c a .故选A. 三、网格法例3 （08甘肃庆阳市）正方形网格中，AOB ∠如图2放置，则sin AOB ∠=（ ）Ａ．5Ｂ．5Ｃ．12 Ｄ．2图1分析：本题考察了锐角三角函数，主要是正弦的概念.把∠AOB 置于直角三角形中来求其正弦值,这就需要找出正方形网格中∠AOB 所在的直角三角形MON.解:在Rt △MON 中,∵ON=1,MN=2,∴OM=52122=+,∴sin ∠MON=，55252==OM MN ∴sin AOB ∠故本题应选B. 四、等角法例4 如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，若AC =4，BC =3，则sin ∠ACD 的值为（ ） A ．43B ．34C ．45D ．35分析：根据三角函数的定义，sin ADACD AC=∠，但是AD 的长不便求出．由于易证∠ACD ＝∠B ，因此可以通过求sin B 的值来解决此题.解：由已知可得，∠ACD +∠A ＝90°，∠B +∠A ＝90°，所以∠ACD ＝∠B .根据勾股定理，得5AB ==.在Rt △ABC 中，4sin 5AC B AB ==,所以sin ∠ACD 的值为45.故应选C. 五、构造直角三角形法例5 如图4，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3sin 5B =，点D 在BC 边上，且∠ADC ＝45°，DC ＝6，求∠BAD 的正切值． 分析：由于∠BAD 不在直角三角形中，应设法把∠BAD 转化到直角三角形中．结合已知条件，可以考虑作DE ⊥AB ，因为ABO图2MN 图 4图3tan DEBAD AE=∠，所以只要求出DE 、AE 的长即可． 解：因为∠ADC ＝45°，所以AC ＝DC ＝6． 又因为3sin 5AC B AB ==，所以AB ＝10．根据勾股定理，得8BC ==，从而BD ＝2．在Rt △BDE 中，因为3sin 5DE B BD ==， 所以DE ＝BD ×sin B ＝1.2．所以 1.6BE =，AE ＝AB －BE ＝8.4．所以 1.21tan 8.47DE BAD AE ===∠．锐角三角函数亮相中考河北 欧阳庆红在中考中，对锐角三角函数的概念及简单应用的考查是中考试卷上的重要得分点.有时在有些综合题中，也用到三角函数的知识,但它往往不起主导作用,只是为了确定边或角的大小或关系.现采撷几例予以分析如下:一、计算三角函数值例1 (08泰安)直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图1那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（ ）A ．247BC ．724 D ．13解析:由折叠可知AE=BE,不妨设CE=x,则BE=AE=8-x,由勾股定理得,222CE BC BE +=68CEABD图1∴()22268x x +=-,∴47=x ,所以tan CBE ∠=.247647==BC CE 例2 (08湖北孝感)四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）.如果小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较小锐角为θ，那么sin θ= .解析:设θ所对的边为x,则较长直角边为x+1,由题意可知大正方形的边长为5,由勾股定理得()22215++=x x ,解得x=3,所以sin θ=53. 二、求角度数例3 (08江苏宿迁)已知α为锐角，且23)10sin(=︒-α，则α等于( ) Ａ．︒50 Ｂ．︒60 Ｃ．︒70 Ｄ．︒80 解析:由sin60°=23,得α-10°=60°, 所以α=70°,故选Ｃ． 三、求线段长度例3 (08益阳)如图3，AC 是电杆AB 的一根拉线，测得BC =6米，∠ACB =52°，则拉线AC 的长为（ ）A ．6sin 52︒米B ．6tan 52︒米C ． 6·cos52°米D ．6cos52︒米 解析:在Rt △ABC 中，∵cos=∠ACB=AC BC ,∴AC=,52cos 6cos 0=∠ACB BC 故选B. 四、求比值例4 (08福建龙岩)如图4，在Rt △ABC 中，∠CAB =90°，AD 是∠CAB 的平分线，tan B =21，则CD ∶DB = . 解析:此题考查解直角三角形的有关知识.,解题关键在于用一个未知数表示出两个相关AB C ┐图 3图2的量.在Rt △ABC 中，∠CAB =90°，tan B =21，若设AC=x ，则AB=2x ，BC=5x.过点D 作DE ⊥AB 于E,因为AD 是∠CAB 的平分线,所以DE=AE.设DE=a,则AE=a,BE=2a,DB=5a,所以3a=2x,解得a x 23=,所以CB=.255253,253a a a CD a =-= 则CD:DB=.2:15:25=a a 五、求值例5 (08扬州)计算：02200860cos 16)21()1(-+---。
求锐角三角函数的常用方法教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与锐角三角函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量教室的某物高度，演示锐角三角函数的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“锐角三角函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-例如：在求解过程中，如何根据已知条件选择合适的公式和计算方法。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《求锐角三角函数的常用方法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量高度或距离的情况？”（如测量树的高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索锐角三角函数的奥秘。
在实践活动方面，虽然学生们对实验操作很感兴趣，但在数据处理和分析方面仍存在一定的困难。这可能是因为他们对计算方法和步骤不够熟悉。因此，在接下来的教学中，我会重点强调计算过程中的注意事项，并指导学生如何处理和分析实验数据。
另外，对于教学难点和重点的把握，我觉得自己还需要进一步改进。在讲解过程中，要注意突出核心知识，让学生明确学习目标。同时，对于难点内容，要通过多种方式反复讲解，确保学生理解透彻。
求锐角三角函数常用方法
求锐角三角函数常用方法锐角三角函数是三角函数中的一部分，它们是正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域在锐角范围内的部分。
在数学中，常用的锐角三角函数常见方法有：单位圆法、加法公式、倍角公式和倒数关系等。
1.单位圆法：单位圆法是研究锐角三角函数最基本的方法之一、单位圆法的基本思想是，把一个角落在标准位置的角看做单位圆上的一条弧，角的顶点作为圆心，角的边所在的直线成为弧的切线。
这样可以通过单位圆上的坐标来表示角的边上的函数值。
以正弦函数为例，假设角为A，边所在的线段与单位圆交于点P(x,y)。
可以得到如下关系：sin(A) = y2.加法公式：加法公式是指锐角三角函数在角度A和角度B的和角度(A+B)时，对应的函数值之间的关系。
常用的加法公式如下：sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)tan(A + B) = (tan(A) + tan(B))/(1 - tan(A)tan(B))3.倍角公式：倍角公式是指锐角三角函数在角度A的两倍角度2A时，对应的函数值之间的关系。
常用的倍角公式如下：sin(2A) = 2sin(A)cos(A)cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A)tan(2A) = 2tan(A)/(1 - tan^2(A))4.倒数关系：倒数关系是指锐角三角函数之间的倒数关系。
常用的倒数关系如下：cosec(A) = 1/sin(A)sec(A) = 1/cos(A)cot(A) = 1/tan(A)5.三角函数的特殊值：在锐角三角函数中，特殊的角度对应的函数值是常用的。
常见的特殊角度包括：- sin(0) = 0- cos(0) = 1- tan(0) = 0- sin(30°) = 1/2- cos(30°) = √3/2- tan(30°) = √3/3- sin(45°) = √2/2- cos(45°) = √2/2- tan(45°) = 1除了以上常见的方法外，还有其他一些方法也能在特定的问题中应用。
求锐角三角函数的方法归类
求锐角三角函数的方法归类锐角三角函数是沟通代数与几何知识的桥梁，一直是中考命题的热点之一，从题型上看，选择题、填空题、解答题、综合题、压轴题，型型皆有，然面课本上的例题又比较少，使我们在求锐角三角函数值时无从下手，现将求锐角三角函数值常用的方法做个归纳：一、直接用锐角三角函数的定义例.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为点D.已知BC=14,AD=12，tan∠BAD=,求sinC的值,分析：已知条件中的tan∠BAD==,由AD=12，可得BD的值，问题中的sinC=,而AD=12是已知条件，所以我们只需求AD的值就可解了，这道题就是直接利用正弦值的定义求值。
解：∵在直角△ABD中，，∴BD=AD•tan∠BAD=12× =9. ∴CD=BC-BD=14-9=5.∴.∴．如果直接找不到边的值，该怎么办？在格点图形中，经常采用适当的方法求边例：如图,△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上,求sin∠ACB的值分析根据勾股定理，可得BC、AC的长，采用补全图形求出△ABC的面积，求出高AN，解直角三角形求出即可．解：由勾股定理可得：BC==5,AC==,∵∴∴AN=1二、巧用参数求锐角三角函数若已知两边的比值或一个三角函数值，而不能直接求出三角函数相应边的长，则可采用设参数的方法，先用参数表示出三角函数相应边的长，再根据三角函数公式计算它们的比值，即可得出三角函数值.例：已知a、b、c是的三边，且a、b、c满足,若5b-4c=0,求sinA+sinB的值。
分析：这是一道中档题，已知条件没有直接说明三角形的形状，所以先从入手，由勾股定理的逆定理判断出三角形为直角三角形，且斜边为c，再由5b-4c=0得出b,c之间的数量关系，此时用设参数的方法可以轻松得到三边之间的关系，问题就迎刃而解了。
三，用同角三角函数间的关系例.如图，在正方形网格中，求∠AOB的正切值.分析：连接AB，就可以根据勾股定理求出OA，OB，AB的长度，根据余弦定理就可以求出cos∠AOB，根据同角三角函数的关系，就可以求出，∠AOB的正切值．解：方法一：连接AB，根据勾股定理可以得到OA=OB=，AB=根据余弦定理可以得到：OA2+OB2-2OA•OB•cos∠AOB=AB2即：10+10-20cos∠AOB=8，解得cos∠AOB=．∴∠AOB的正切值．方法二：根据勾股定理可以得到OA=OB=，AB=过点A作AC⊥OB于C,=4=,可得AC=, sin∠AOB=,∴∠AOB的正切值．四、用等角来替代当直接用三角函数的定义求某锐角的三角函数值较为困难时，可通过相等角进行转换求值，这是一个非常重要的解题技巧。
求锐角三角函数值常用方法
求锐角三角函数值常用方法求锐角三角函数值，是“锐角三角函数”一节中重要内容，也是中考中常见的题型.现将求锐角三角函数值的常用方法总结如下，供同学们在学习时参考.一、直接用锐角三角函数的定义例1 在△ABC 中，∠C = 900，AC =6，BC =8.则sinA = （ ）. A 、54 B 、53C 、43 D 、34分析 由定义知锐角A 的正弦等于角A 的对边比斜边，只要求出斜边AB 即可. 解：由勾股定理知，AB =22BC AC + = 10, ∴sinA =54 故选A.二、用同角三角函数间的关系 例2 若∠A 为锐角，且sinA = 23，则cosA = ( ) A 、1 B 、23 C 、22D 、21分析 本题可由sin 2A + cos 2A = 1直接求得.cosA = A 2sin 1- = 2)23(1-= 21故选D.(注：本题也可用三角函数的定义求解) 例3 已知 tanA =32, 则cotA = 析解：由tanA ×cotA = 1.得 cotA =即cotA = 32.三、用等角来替换例4如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB = 900,CD ⊥AB 于D,BC=3,AC = 4,设∠BCD = a,求sina.析解 ：由题意可知，∠BCD = ∠A ，sin a =sinA = ABBC,只要求出AB 即可.在Rt △ABC 中，BC = 3,AC = 4,∴AB = 5.∴sinA =53 ∴sina = 53四、构造直角三角形例5 如图2，已知 △ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC,且cotA = 23,求∠BCD 的四个三角函数值.分析 为了求出∠BCD 的三角函数值，必须构造一个以∠BCD 为锐角的直角三角形，可作DE ⊥CD,接下来的关键是求出Rt △CDE 的三边长或三边之比.在Rt △CDE 中，由cotA =23，可设AC = 3a, CD = 2a,而DE= 21AC = 23a .在Rt △CDE 中，利用勾股定理可求出CE,故∠BCD 的四个三角函数值可求出.解：过D 点作DE ⊥CD 交BC 于点E. ∵∠ACD = ∠CDE = 900 ∴AC ∥DE 又∵D 为AB 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线. 在Rt △ACD 中，由cotA =23，可设AC = 3a ,CD = 2a , ∴ DE = 23a. 在Rt △CDE 中，由勾股定理CE =22DE CD +=22)23()2(a a +=25a , ∴sin ∠BCD =CE DE = 53,cos ∠BCD =CE CD =54 tan ∠BCD =CD DE =43, cot ∠BCD =DE CD =34锐角三角函数走进中考一、利用概念进行判断在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则sinA=c a ,cosA=c b ,tanA=ab 。
专题 求锐角三角函数值的常用方法
专题 求锐角三角函数值的常用方法题型一 定义法直接根据定义求三角函数值,首先求出相应边的长度﹐然后代入三角函数公式计算即可. 类型1 直接定义法例1、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =12,BC =5 (1)求AB 的长.(2)求sinA ,cosA ,tanA ,sinB , cosB , tanB 的值.巩固练习1、如图,在△ABC 中,AB =15,AC =13,AD 上BC 于点D .CD =5时,求tan C 的值;2、如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =4,AC =3,则cos B 的值为 。
类型2、网格中的三角函数例2、如图,在4×8的矩形网格中,每个小正方形的边长都是1,若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为巩固练习1、正方形网格中，∠AOB 如图放置,则cos ∠AOB 的值为2、如图所示，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则cos ∠AOB ＝3、如图,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,点A 、B 、C 都在格点上,则 cos ∠BAC 的值为 。
类型3、构造直角三角形例3、如图,在△ABC 中,AB =AC =13,BC =10, 则tan ∠BDE 的值等于巩固练习1、如图,在四边形ABCD 中,E ,F 分别是AB ,AD 的中点,若EF =2,BC =5,CD =3,则sinC 等于2、如图,在 Rt △ABC 中,∠C =90°,∠ABC =45° ,D 是AC 的中点,则sin ∠DBA =3、如图,在 Rt △BAD 中,延长斜边BD 到点C ,使DC =13BD ,连接AC ,若tanB =74,则tan ∠CAD 的值为 。
题型二 参数法若已知两边的比值或一个三角函数值,而不能直接求出三角函数相应边的长,则可采用设参数的方法﹐先用参数表示出三角函数相应边的长,再根据三角函数公式计算它们的比值,即可得出三角函数值.例3、在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =6，cosA =23 求 BC 的长，sinA ,tanA巩固练习1、在△ABC 中,∠C =90 , BC :CA =8:15,那么 sinA 等于 。
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求锐角三角函数值常用方法求锐角三角函数值，是“锐角三角函数”一节中重要内容，也是中考中常见的题型.现将求锐角三角函数值的常用方法总结如下，供同学们在学习时参考.一、直接用锐角三角函数的定义例1 在△ABC 中，∠C = 900，AC =6，BC =8.则sinA = （ ）. A 、54 B 、53C 、43 D 、34分析 由定义知锐角A 的正弦等于角A 的对边比斜边，只要求出斜边AB 即可. 解：由勾股定理知，AB =22BC AC + = 10, ∴sinA =54 故选A.二、用同角三角函数间的关系 例2 若∠A 为锐角，且sinA = 23，则cosA = ( ) A 、1 B 、23 C 、22D 、21分析 本题可由sin 2A + cos 2A = 1直接求得.cosA = A 2sin 1- = 2)23(1-= 21故选D.(注：本题也可用三角函数的定义求解) 例3 已知 tanA =32, 则cotA = 析解：由tanA ×cotA = 1.得 cotA =即cotA = 32.三、用等角来替换例4如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB = 900,CD ⊥AB 于D,BC=3,AC = 4,设∠BCD = a,求sina.析解 ：由题意可知，∠BCD = ∠A ，sin a =sinA = ABBC,只要求出AB 即可.在Rt △ABC 中，BC = 3,AC = 4,∴AB = 5.∴sinA =53 ∴sina = 53四、构造直角三角形例5 如图2，已知 △ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC,且cotA = 23,求∠BCD 的四个三角函数值.分析 为了求出∠BCD 的三角函数值，必须构造一个以∠BCD 为锐角的直角三角形，可作DE ⊥CD,接下来的关键是求出Rt △CDE 的三边长或三边之比.在Rt △CDE 中，由cotA =23，可设AC = 3a, CD = 2a,而DE= 21AC = 23a .在Rt △CDE 中，利用勾股定理可求出CE,故∠BCD 的四个三角函数值可求出.解：过D 点作DE ⊥CD 交BC 于点E. ∵∠ACD = ∠CDE = 900 ∴AC ∥DE 又∵D 为AB 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线. 在Rt △ACD 中，由cotA =23，可设AC = 3a ,CD = 2a , ∴ DE = 23a. 在Rt △CDE 中，由勾股定理CE =22DE CD +=22)23()2(a a +=25a , ∴sin ∠BCD =CE DE = 53,cos ∠BCD =CE CD =54tan ∠BCD = CD DE =43, cot ∠BCD =DE CD =34锐角三角函数走进中考一、利用概念进行判断在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则sinA=c a ,cosA=c b ,tanA=ab。
例1（滨州市）．如图1，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A ，关于A ∠的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）A A ．sin A 的值越大，梯子越陡 B ．cos A 的值越大，梯子越陡 C ．tan A 的值越小，梯子越陡D ．陡缓程度与A ∠的函数值无关分析：根据锐角三角函数的意义，可以知道一个锐角的正弦是这个锐角 的对边与斜边的比，角度越大，斜边就越陡，而本题中，梯子越陡，说明梯子 与地面的夹角的正弦值就越大，因此可以选择A 。
点评：熟练掌握并正确理解锐角三角函数的概念是解答问题的关键。
二、已知三角函数值，求角度 例2（广东韶关市）已知1sin 2A =，且∠A 为锐角，则∠A=（ ）A A.30° B.45° C.60° D.75° 分析：本题主要考查的是特殊角三角函数值的应用，由1sin 2A =，可以知道∠A=30°，故选择A 。
点评：特殊角的三角函数在中考当中出现的概率很大，同学们应该熟记，但不要死记，可以结合图形，根据定义理解记忆。
三、已知一个锐角三角函数值，求两条线段的比 例3 （佳木斯）在Rt ABC △中，90C =∠，3sin 5B =，则BCAB=图1分析：在Rt ABC △中，90C =∠，根据正弦三角函数定义可以知道，B sin =ABAC，而3sin 5B =，所以可以设,3k AC =k AB 5=，再由勾股定理，得：BC=4k 。
因此，根据∠A 的正弦，即AB BC A =sin =k k 54=54，故答案应该为54。
点评：利用三角函数概念，再运用勾股定理是解答问题的关键。
四、已知一个锐角三角函数值，求另一个锐角三角函数值 例4（天水市）在ABC △中，90C ∠=，若1sin 3B =，则cos A 的值为（ ） A ．13B ．233C ．1D ．32分析：在Rt △ABC 中，∠C=90°，由三角函数的意义可以知道ABACB =sin ，cos A =AB AC 而1sin 3B =，所以，cos A =31，故选择A 。
点评：本题主要是考查互余的两个锐角三角函数之间的关系。
五、三角函数的应用例5（甘肃白银市）某市为改善交通状况，修建了大量的高架桥．一汽车在坡度为30°的笔直高架桥点A 开始爬行，行驶了150米到达点B ，则这时汽车离地面的高度为 米．分析：汽车离地面的高度就是由点B 向地面做垂线，此时，垂线段与地面构成一个直角三角形，再由sin 30°=c a =150a =21，所以，75=a ，故这时汽车离地面的高度为 75米．点评：本题比较简单，主要考查的是三角函数意义。
挑战自我：1、（天津市）45cos 45sin +的值等于（ ）A.2B.213+ C.3D. 130o图2ABC2、（大连）如图2，在ABC △中，9010C AB ∠==，cm ，4sin 5A =， 则BC 的长为 cm ．3、（四川雅安）．若α是直角三角形式一个锐角，sin 3cos αα=，则αααα22cos cos sin 2sin ⋅-（ ）A ．323+B ．1232- C ．223- D ．34、（兰州）把Rt ABC △各边的长度都扩大3倍得Rt A B C '''△，那么锐角A ，A '的余弦值的关系为（ ）Ａ．cos cos A A '=Ｂ．cos 3cos A A '=Ｃ．3cos cos A A '=Ｄ．不能确定5、（武汉市）如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌，现测得斜坡与水平面所成角的度数是30，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备的水管的长为（ ）Ａ．17.5mＢ．35mＣ．353mＤ．70m6、（郴州市）如图7，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面AB 平行的护栏MN （MN=AB ）．小明量得每一级石阶的宽为32cm ，高为24cm ，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，如果每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求出坡角∠BAC 的大小（精确到度）和护栏MN 的长度．以下数据供选用：B30参考答案：1、A.；2、8；3、C ；4、A 、5、D 、6、AC ＝0.32×200＝64（米）， BC ＝0.24×200＝48（米）48tan 0.75,3764BAC BAC ∠==∠≈︒所以80MN AB ===（米）巧记特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值有着广泛的应用，要求大家必须熟记，为了帮助记忆，可采用下面的方法．1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=21sin45°=cos45°=22tan30°=cot60°=33tan 45°=cot45°=12、列表法：NMCBA图730˚12 3 145˚ 1212 60˚ 3说明：正弦值随角度变化，即0˚→30˚ →45˚ →60˚ →90˚变化；值从0→21→22 →23 →1变化，其余类似记忆．3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律：① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。
②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sinA ＜sinB ；tanA ＜tanB ；cosA ＞cosB ；cotA ＞cotB ；特别地：若0°＜α＜45°，则sinA ＜cosA ；tanA ＜cotA 若45°＜A ＜90°，则sinA ＞cosA ；tanA ＞cotA ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为2m 形式，正切、余切值可表示为3m形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七．。