第六章 非线性微分方程 常微分方程课件 高教社ppt 王高雄教材配套课件

稳定性定理推广
d x f (x), f (0) 0, x Rn (14) dt
• 进一步的推广有
定理5 如果对微分方程组（14）存在定正函数V(x)，其 通过方程组(14)的全导数dV(x)/dt为常负，但使 dV(x)/dt=0的x的集中除零解x=0外不包含方程(14)的整 条正半轨线，则方程组（14）的零解是渐近稳定的。
1
a1, 2
a1 a3
a0 a2
, 3
a1 a3 a5
a0 a2 a4
其中ai=0(对一切i>n)。
0 a1 , a3
a1 , n a3
a2n1
a1 a2
a2n2
0 0
ann1
an
定理3 方程(8)的一切根均具负实部充分必要条件为成立不等
式
a1 0, 2 0, 3 0, , n1 0, an 0
x0
D时，满足初值条件x(t0)=
x0的解x(t)均有
lim
t
x(t)
0
则域D0称为(渐近)稳定域或吸引域。
• 若稳定域为全空间，即 0 =+∞，则称零解x=0是全局渐近
稳定的或简称为全局稳定的。
• 当零解x=0不是稳定时，称它是不稳定的，
• 即：如果对某给定的 ，不管怎样小，总有x0满足||x0||≤ ， 使方程组(5)的由初值条件x(t0)= x0确定的解x(t) ，至少存在 某有t1>t0，有||x(t1)||= 。
其中a>0,b>0,c>0. 考虑其根均具负实部时参数c的变化范围. 解 对应方程,有
a0 1, a1 a b 1, 2 (a b 1)(b(a c) 2ab(c 1), a3 2ab(c 1)
• 由定理3,方程的根均具负实部的充要条件是c>1及 2>0, •即
a b 1, 1 c
定理2 若特征方程(10)没有零根或零实部特征根(特征值)，
则非线性方程组(11)的零解的稳定性态与其线性近似方程(8) 零解的稳定性态一致：当特征方程(11)的根均具负实部根 (包括负根)时，方程组(8)的零解是渐近稳定的；当特征方 程(10)具正实部根(包括正根)时,方程组(11)的零解不稳定。
• 平面一阶微分方程组 的相空间为平面。 相平面上V(x)=c为 闭曲线族。轨线的 走向如图(6.3)所示。
17 第六章 非线性微分方程§6.1
例4
例4 讨论平面一阶微分方程组 d x y ax3, d y x ay3
dt
dt
• 零解的稳定性态。
解 其线性近似方程组x’=-y,y’=x的特征方程λ2+1=0的根为
• 注 定理4是李雅普诺夫稳定性的基本定理。对含时间t的驻 定微分方程及含时间t的函数V(t,x)也有相应的定理，V(t,x) 定理条件及函数V(t,x)的有关定义要作一些改变，如V(t,x定 正的含义应改为存在定正函数W(x)，使得V(t,x) ≥ W(x) 。
18 第六章 非线性微分方程§6.1
定正；
• V (x, y) sin(x y)2 •
在域x2+y2< 上定正， 在全平面变号；
• V (x, y) ax2 bxy cy2 当a>0,4ac-b2>0时定正， 当a<0,4ac-b2>0时定负；
15 第六章 非线性微分方程§6.1
李雅普诺夫定理 d x f (x), f (0) 0, xRn (14) dt
• 若特征方程有零根或零实部特征根时方程组(11)属临界情 形，其零解的稳定性态不能由其线性近似方程组(8)的零解 的稳定性态决定，需考虑高次项的影响。
10
第六章 非线性微分方程§6.1
霍维茨判别法
• n次常系数代数方程 a0n a1n1 an1 an 0, a0 0 的霍维茨行列式定义为
定理4 如果对微分方程组（14）存在定正函数V(x)，其通过 方程组(14)的全导数为常负函数或恒为零，则方程组（14） 的零解是稳定的。
• 如果存在定正函数V(x)通过方程组(14)的全导数为定负时， 则方程组（14）的零解是渐近稳定的。
• 如果存在函数V(x)和某非负常数 ，其通过方程组(14)的 全导数可表为 dV V W (x)
其特征方程为 det(A E) 0 (10)
由第五章(5.52)式知线性微分 方程组的任一解均可表为形如
li cimt meit , 1 i n
m0
• 的线性组合。其中λi 为特征方程(10)的根，li≥0为由根λi的 重数确定的整数。
定理1 若特征方程(10)的根均具负实部根(包括负根)，则方程 组(8)的零解是渐近稳定的；若特征方程(10)具正实部根(包括 正根)，则方程组(8)的零解是不稳定的；若特征方程(10)没有 正实部根(包括正根)的根，但有零根或零实部的根，则方程 组(8)的零解可能是稳定的也可能是不稳定的，这要看零根或 零实部的根的重数是否等于1而定。
9 第六章 非线性微分方程§6.1
按线性近似的稳定性 dx Ax (8) dt
现考虑非线性驻定微分方程组 d x Ax R(x), R(0) 0 (11)
右端函数满足条件
dt R(x)
lim
0
x 0 x
显然，方程组有零解x=0。 可以按(11)的线性近似方程组
(8)零解的稳定性态决定非线性驻定微分方程组(11)的稳定性 态。即
dt
• 即y的方程组的特解y= φ(t)变为x的方程组的零解。
3
第六章 非线性微分方程§6.1
例 d y Ay By2 (4) dt
例 对方程(4)的特解y2(t)= A/B ，可通过变换 x=y-A/B
• 化为方程
d x Ax Bx2 (7) dt
• 这样，讨论方程(4)的特解y2(t)= A/B的稳定性态 便可化为讨论上方程的零解x=0的稳定性态。
•
霍维茨行列式为
4 a0 1, a1 4, 2 3
1 5 17, a3 3
• 根据定理3, 特征方程的根均具负实部。
• 由定理2知非线性微分方程组的零解x=y=z=0是渐近稳 定的。
12 第六章 非线性微分方程§6.1
例2
例2 对三次代数方程
3 (a b 1)2 b(a c) 2ab(c 1) 0
• 定理的证明见高等代数课本。
11 第六章 非线性微分方程§6.1
例1
例1 考虑一阶非线性微分方程组
dx dt
2x
y
z
x2ex
dy dt
x
y
x3 y
z2
零解的稳定性。
d z d t
x
y
z
ex
(y2
z2)
2 1
1
1 1 0 0
解 这里对应的线性近似方程组的特征方程为 1 1 1
即 3 42 5 3 0
和当A<0,B<0时的特解y2(t)
为不稳定的。
• 对方程组
d y g(t, y) dt
• 的某特解 y= φ(t), 可以通过变换 x=y-φ(t)化为方程组
d x f (t, x), f (t, 0) 0
dt
的零解。
其中
f (t, x) g(t, y) d(t) g(t, x (t)) g(t,(t))
λ=±i，属于临界情形。
• 如取定正函数 V 1 (x2 y2)
• 根据定理4有
2
则 dV a(x4 y4) dt
（1） 如a<0，则dV/dt定负，方程组的零解为渐近稳定；
（2） 如a>0 ，则dV/dt定正，方程组的零解为不稳定；
（3） 如a=0 ，则dV/dt = 0，方程组的零解稳定。
• 可将方程组(14)的解代入再对求导得
dV
dt
n V i1 xi
d xi dt
n V i1 xi
fi
V x
f
• 此导数称为通过方程组(14)的全导数。
14
第六章 非线性微分方程§6.1
例1 函数 • V (x, y) (x y)2
V 函数例
常正；
• V (x, y) (x y)2 y2
dt
且当 =0时W为定正函数，当 ≠0时W为常负函数或恒为 零，又在x=0的任意小邻域内至少存在某个x使得V(x)>0， 则方程组（14）的零解是不稳定的。 • 证明方法见后面几何解释，详细证明略。
16 第六章 非线性微分方程§6.1
稳定性几何解释
• 在由未知函数x组成的n维相空间(x)中，方程组（14）的解 在相空间中的轨迹为轨线。V(x)=c当c足够小时在相空间中 是围绕原点的n-1维闭曲面。方程组（14）的零解x=0稳定 时，其原点附近的由||x0||≤ 为初值出发的轨线x(t)均停留 在某闭曲面V(x)=c内。零解x=0渐近稳定时，轨线将沿闭 曲面一层层趋于原点。
或
a b 1, 1 c c0,
其中 c0
a(a b 3) a b 1
13 第六章 非线性微分方程§6.1
V 函数方法
d x f (x), f (0) 0, x Rn (14) dt
• 考虑n维一阶非线性驻定微分方程组(14) ，其中f(x)在某域 G:|||x||≤ A内有连续的偏导数，从而方程组的在域G内满足初 值条件x(t0)=x0的解在原点的某邻域内存在且唯一。
• 微分方程（4）右端不含自变量，其右端为零得到的代数 方程Ay-By2=0的解y1(t)= 0 ,y2(t)= A/B是微分方程（4）的 常数解，称为平衡解。
• 微分方程（7）右端不含自变量时为驻定微分方程。
• 驻定微分方程右端为零得到的代数方程的解
是微分方程的常数解，也是特解，称为驻定解或平衡解。