小波变换分析

可以由母小波 通过伸缩因子a和平移因子 获得不同性质的函数。
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常用小波函数（小波分析的基）：
• Haar小波（本身是个阶跃函数） • Marr小波（墨西哥草帽小波） 主要用于机器视觉信息加工和边缘检测领域 • Morlet小波（调制高斯小波） 利用它能够同时提取信号的的幅值和相位信息
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离散小波变换：
Ws (m, n) DWT [x(t )] x(t ), m,n (t ) a
m / 2 0



m x(t ) (a0 t n 0 )dt
离散小波重构：
选取合适的离散参数 a 0 和 0 ，使离散分析小波 (对不同的m和n)构成 L2 R 空间的框架。就能够 利用重构定理，由离散小波结果重构原信号。
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4.2基于小波的图像压缩
二抽取 近 似 部 分 小波分解 对细节部分 二抽取 量化 编码 存储
图像信号
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仿真结果：
原始图像 压缩图像
50
50
100
100
150
150
200
200
50
100
150
200
250
300
50
wk.baidu.com
100
150
200
250
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连续小波离散化：
针对尺度参数a和连续平移参数 加以离散化 自变量t仍是连续变量。
m a a0 , m n 0a0 ,
a0 1, 0 1,
m, n Z
所以，离散小波为：
m / 2 m m,n (t ) a0 (a0 t n 0 )
重构算法： C
H j 1
'
h
' '
v
d
'
C
H G Dj H H j
'
h
'
D G G D G
j j
v
'
d
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仿真结果：
原始图像1 原始图像2 融合图像
50
50
50
100
100
100
150
150
150
200
200
200
250 50 100 150 200 250
250 50 100 150 200 250
x1 ，x2

a;b 1 ,b 2
x1 ， x 2
x1， x2 的尺度伸缩
与二维平移
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2、多分辨率分析
沿x1 分别用尺度函数 t 和小波函数 t 作分析， 把 f x1， x2 分成平滑逼近和细节； 对这两部分沿x 2 分别用 t 和 t 作类似分析。
~ (t ) x(t ) Ws (m, n) m, n
m n
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二维小波变换： x ， x 一般用 f x ， x 表示一个二维图像， 表示二维基本小波，二维连续小波即为：
1 2
1 2
WTf a; b1 , b2 = f x1 ，x2 ，
a;b 1 ,b 2
2、多分辨率分析
LL1
HL1
LL2 LH2
HL2 HH2
HL1
原 始 图 像
LH1
HH1
LH1
HH1
一级分解
二级分解
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3.数字图像的小波分解
原始图像 小波一层分解 小波二层分解
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4.小波变换的应用
4.1 基于小波的图像降噪
基本思想：对小波分解后的各层系数模大于 和小于某阈值的系数分别进行处理，利用处理后 的小波系数重构出消噪后的图像。
把一称为基本小波的函数做位移，再在不 同尺度下与待分析信号x（t）做内积：
1 +∞ x a −∞ ∗ t −τ a
WTx a, τ =
t
dt
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母小波：
L2 R 基本小波也称为母小波，指定义在平方空间 (t )： 并满足以下条件的函数
+∞ −∞
t d t =0
小波变换在图像处理中的基本应用
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报告内容
1、小波变换 2、多分辨率分析 3、数字图像的小波分解 4、小波变换的应用 5、总结
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1、小波变换
小波分析：
一种窗口面积固定不变但其形状可变，时 间窗和频率窗都可改变的时频局域化分析方法。
连续小波变换：
步骤：
① 二维图像的小波分解； ② 对分解后的高频系数进行阈值量化； ③ 重构图像信号。
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仿真结果：
原来图像 20 40 60 80 100 120 20 40 60 80 100 120 20 40 60 80 100 120 20 40 60 80 100 120 噪声图像 20 40 60 80 100 120 20 40 60 80 100 120 降噪后图像
x2
x 1
D
3
1
f
x ， x
1 2
x
1
方向的细节
x 2
D
2
1
f x1， x2
f x ， 2 1 x
x 1
x2
x
D
1
1
f x 1， x 2
1
方向的逼近
x 2
A f x ， x
1 1 2
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300
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4.3 基于小波变换的图像融合
对一个图像进行N层小波分解，得到3N+1层子 d 带，低频子带 Cj和3N层的高频子带 D ， D ，D 。 设尺度系数和小波系数对应的滤波器系数矩阵 分别为H和G。 ' H C j 1 C j H 分解算法：
h v
D j 1 G C j H D j 1 H C j G D j 1 G C j G
250 50 100 150 200 250
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5.总结
① 小波变换在图像处理中具有独特的优越性，
目前应用较多的是图像去噪与融合技术；
② 电力系统、机电设备故障检测和突变信号识
别等中应用较多。
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敬请各位老师同学批评指正！
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