用配方法把二次函数一般式转化为顶点式

合集下载

二次函数动点问题解答方法技巧含例解答案

函数解题思路方法总结：⑴ 求二次函数的图象及x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大〔小〕值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax ²+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或及x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 及二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax ²+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，提醒二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形，考察问题也是特殊图形，所以要把握好一般及特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性〔特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

〕动点问题一直是中考热点，近几年考察探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

二、抛物线上动点5、〔湖北十堰市〕如图①，抛物线32++=bx ax y 〔a ≠0〕及x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，及y 轴交于点C ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴及x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？假设存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；假设不存在，请说明理由．(3) 如图②，假设点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．注意：第〔2〕问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM 为半径画弧，及对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，及对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线及对称轴交点即为所求点P。

二次函数的顶点式

二次函数的顶点式一、教学目标：22h)－＝a(xc＋bx＋通过配方化成顶点式、经历把二次函数的一般式1y＝axy＋k 的过程，推导出顶点坐标公式，并求其开口方向、对称轴、顶点坐标与最值。

2、在探索过程中，学生经历了知识的产生过程，从而培养勇于探究、积极进取的精神。

二、重难点：重点：将二次函数一般式通过配方化成顶点式，并求其有关性质。

难点：运用配方法把二次函数一般式化成顶点式。

三、教学过程：（一）承上启下，自然导入通过提问的方式进行复习，讲完第3、4题后，引导学生回忆二次函数y＝a(x2＋kh)的性质，再出示：－（二）提出问题，启发思考2－4x＋5化成y＝y师：下面，我们思考一个问题：如何把二次函数＝xa(x－2＋k的形式？ h)生：两边加上一次项系数一半的平方。

生：不对，这里只有一边。

生：加上并减去就可以了。

出示：师：看看，解答过程正确吗？12+1，这里是完全平方差公式。

y=(x-2) 学生很快发现了：应该是师：我们总结一下：二次项系数是1的二次函数应该如何配方？生：加上并减去一次项系数一半的平方。

（三）探索——我行师：如果二次项系数不是1呢？出示课件：学生进入了思考、讨论的状态……待学生完成后，出示：2－6x＋5？3x师：我们把它这个结果化简一下，看能否得到y＝学生马上运算，不一会儿就纷纷表示：不能。

师：错在哪里？生：没有把二次项系数提取出来，配方时二次项系数要先化为1。

师：对！二次项系数要先化为1，这是用配方法的前提条件。

做错的同学请重新做一遍。

接着出示：2－6x＋5？y师：这个解答过程正确吗？我们把结果化简一下，看能否得到＝3x 学生马上运算，不一会儿就纷纷表示：不能。

师：错在哪里？2。

1 没有乖以－生：运用乘法分配率时，3出示：2师：同学们，自己总结：在配方的时候应注意什么问题。

请做以下一道题：，又应该怎么做？改为－3师：这道题将系数3 学生进入了思考、讨论的状态……待学生完成后，出示：师：同学们，看看，这种做法有多少个错误。

一般式怎么转化为顶点式

一般式怎么转化为顶点式
二次函数一般式怎么化成顶点式：y=a（x+b/2a）²+（4ac-b²）/4a。

二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。

变量不同于未知数，不能说二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。

未知数只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），变量可在一定范围内任意取值。

在方程中适用未知数的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。

从函数的定义也可看出二者的差别。

二次函数一般式转化为顶点式

二次函数一般式转化为顶点式
二次函数一般式和顶点式是解题时常用的两种方式，二次函数一
般式指的是$y=ax^2+bx+c$，而顶点式指的则是$y=a(x-h)^2+k$。

那么
接下来，我将为大家详细阐述如何将二次函数一般式转化为顶点式。

步骤一：求得抛物线的对称轴
首先，我们需要求出抛物线的对称轴，这可以通过使用$x=-
\frac{b}{2a}$来求得。

其中，$a$为一次项系数，$b$为二次项系数。

这个$x$值的坐标即为抛物线的对称轴。

步骤二：计算顶点坐标
接下来，我们可以使用已求得的对称轴坐标，代入二次函数一般
式所得到的顶点式中，即可得到顶点坐标。

顶点坐标可用$(h,k)$表示，其中$h$表示对称轴的横坐标，$k$表示抛物线的最低或最高点的纵坐标。

而$a$则相当于抛物线的开口方向以及大小。

步骤三：将顶点式写出
当我们求得了顶点坐标后，我们就能够将顶点式写出来了。

顶点
式即为$y=a(x-h)^2+k$，其中$a$、$h$、$k$的含义同上所述。

通过以上步骤，我们可以将二次函数一般式转化为顶点式，这样
有利于我们更好地研究和分析二次函数的图像，例如确定抛物线的开
口方向、最高点或最低点的坐标等信息。

因此，当我们使用二次函数时，掌握这种转化方法是非常必要的。

当然，在实际操作时，我们还需要多多练习、反复推导，才能更
好地掌握这种转化方法。

希望本文能够为大家提供一定的帮助。

二次函数的三种形式-初中数学习题集含答案

二次函数的三种形式（北京习题集）（教师版）一．选择题（共3小题）1．（2018秋•丰台区期末）将二次函数241y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为( ) A ．2(4)1y x =-+B ．2(4)3y x =--C ．2(2)3y x =--D ．2(2)3y x =+-2．（2017秋•房山区期中）将二次函数241y x x =--化为2()y x h k =-+的形式，结果为( ) A ．2(2)5y x =++B ．2(2)5y x =--C ．2(2)5y x =-+D ．2(2)5y x =+-3．（2016秋•昌平区期末）将二次函数表达式223y x x =-+用配方法配成顶点式正确的是( ) A ．2(1)2y x =-+B ．2(1)4y x =++C ．2(1)2y x =--D ．2(2)2y x =+-二．填空题（共7小题）4．（2019秋•朝阳区校级月考）将二次函数解析式2285y x x =-+配方成2()y a x h k =-+的形式为． 5．（2017秋•怀柔区期末）将245y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式．6．（2017秋•平谷区期末）将二次函数223y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，则h = ，k = ． 7．（2018秋•朝阳区期中）将抛物线265y x x =-+化成2()y a x h k =--的形式，则hk = ． 8．（2017秋•顺义区校级期中）若将二次函数223x x --配方为2()y x h k =-+的形式，则． 9．（2016秋•通州区期末）把二次函数223y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为．10．（2016秋•房山区期中）若把函数265y x x =++化为2()y x m k =-+的形式，其中m 、k 为常数，则k m -= ．三．解答题（共5小题）11．（2019秋•通州区期末）把二次函数表达式24y x x c =-+化为2()y x h k =-+的形式． 12．（2018秋•门头沟区期末）已知二次函数243y x x =-+．（1）用配方法将其化为2()y a x h k =-+的形式；（2）在所给的平面直角坐标系xOy 中，画出它的图象．13．（2019秋•西城区校级期中）将下列各二次函数解析式化为2()y a x h k =-+的形式，并写出顶点坐标．（1）261y x x =-- （2）2246y x x =--- （3）213102y x x =++． 14．（2018秋•房山区期中）已知二次函数223y x x =--．（1）将223y x x =--化成2()y a x h k =-+的形式；（2）与y 轴的交点坐标是，与x 轴的交点坐标是；（3）在坐标系中利用描点法画出此抛物线．x ⋯⋯ y ⋯⋯（4）不等式2230x x -->的解集是．15．（2018秋•西城区校级期中）已知二次函数21322y x x =-++（1）将21322y x x =-++成2()y a x h k =-+的形式：（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线x⋯⋯y⋯⋯（3）当33-<<时，观察图象直接写出函数值y的取值的范围．x（4）将该抛物线在x上方的部分（不包含与x的交点）记为G，若直线y x b=+与G只有一个公共点，则b的取值范围是．二次函数的三种形式（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2018秋•丰台区期末）将二次函数241y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为( ) A ．2(4)1y x =-+B ．2(4)3y x =--C ．2(2)3y x =--D ．2(2)3y x =+-【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：241y x x =-+2(44)14x x =-++- 2(2)3x =--．所以把二次函数241y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为：2(2)3y x =--．故选：C ．【点评】本题考查了二次函数的三种形式．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：2(0y ax bx c a =++≠，a 、b 、c 为常数）；（2）顶点式：2()y a x h k =-+；（3）交点式（与x 轴）12:()()y a x x x x =--．2．（2017秋•房山区期中）将二次函数241y x x =--化为2()y x h k =-+的形式，结果为( ) A ．2(2)5y x =++B ．2(2)5y x =--C ．2(2)5y x =-+D ．2(2)5y x =+-【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：222414441(2)5y x x x x x =--=-+--=--．故选：B ．【点评】本题主要考查二次函数的三种形式的知识点，二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：2(0y ax bx c a =++≠，a 、b 、c 为常数）；（2）顶点式：2()y a x h k =-+；（3）交点式（与x 轴）12:()()y a x x x x =--． 3．（2016秋•昌平区期末）将二次函数表达式223y x x =-+用配方法配成顶点式正确的是( ) A ．2(1)2y x =-+B ．2(1)4y x =++C ．2(1)2y x =--D ．2(2)2y x =+-【分析】利用配方法把一般式化为顶点式即可．【解答】解：2223(1)2y x x x =-+=-+．故选：A ．【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠，该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y 轴的交点坐标是(0,)c ；顶点式：2()(y a x h k a =-+，h ，k 是常数，0)a ≠，其中(,)h k 为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为(,)h k ；交点式：12()()(y a x x x x a =--，b ，c 是常数，0)a ≠，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x 轴的两个交点坐标1(x ，0)，2(x ，0)．二．填空题（共7小题）4．（2019秋•朝阳区校级月考）将二次函数解析式2285y x x =-+配方成2()y a x h k =-+的形式为22(2)3y x =-- ．【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数一半的平方，即得出顶点式的形式．【解答】解：提出二次项系数得，22(4)5y x x =-+，配方得，22(44)58y x x =-++-，即22(2)3y x =--．故答案为：22(2)3y x =--．【点评】本题考查了二次函数的三种形式，一般式：2y ax bx c =++，顶点式：2()y a x h k =-+；两根式：12()()y a x x x x =--．5．（2017秋•怀柔区期末）将245y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式 2(2)1y x =-+ ．【分析】化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：245y x x =-+，2441y x x ∴=-++， 2(2)1y x ∴=-+．故答案为2(2)1y x =-+．【点评】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：2(0y ax bx c a =++≠，a 、b 、c 为常数）；（2）顶点式：2()y a x h k =-+；（3）交点式（与x 轴）12:()()y a x x x x =--．6．（2017秋•平谷区期末）将二次函数223y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，则h = 1 ，k = ．【分析】利用配方法把函数解析式写成2(1)2y x =-+，进而可得答案．【解答】解：22223212(1)2y x x x x x =-+=-++=-+，则1h =，2k =，故答案为：1；2；【点评】此题主要考查了二次函数的顶点式，关键是掌握顶点式：2()(y a x h k a =-+，h ，k 是常数，0)a ≠，其中(,)h k 为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为(,)h k ．7．（2018秋•朝阳区期中）将抛物线265y x x =-+化成2()y a x h k =--的形式，则hk = 12 ．【分析】利用配方法把一般式化为顶点式，得到h 、k 的值，代入求值即可．【解答】解：265y x x =-+2694x x =-+-2(3)4x =--， 3h ∴=，4k =， 3412hk ∴=⨯=．故答案是：12．【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，灵活运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．8．（2017秋•顺义区校级期中）若将二次函数223x x --配方为2()y x h k =-+的形式，则 2(1)4y x =-- ．【分析】根据配方法整理即可得解．【解答】解：223y x x =--，2(21)31x x =-+--， 2(1)4x =--，所以，2(1)4y x =--．故答案为：2(1)4y x =--．【点评】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法是解题的关键．9．（2016秋•通州区期末）把二次函数223y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为 2(1)2y x =-+ ．【分析】根据配方法的操作整理即可得解．【解答】解：223y x x =-+， 2212x x =-++，2(1)2x =-+，所以，2(1)2y x =-+．故答案为：2(1)2y x =-+．【点评】本题考查了二次函数的三种形式，主要利用了配方法．10．（2016秋•房山区期中）若把函数265y x x =++化为2()y x m k =-+的形式，其中m 、k 为常数，则k m -= 1- ．【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，比较系数，可知m 、k 的值，再代入k m -，计算即可求解．【解答】解：265y x x =++2(69)95x x =++-+ 2(3)4x =+-，所以，3m =-，4k =-，所以，4(3)1k m -=---=-．故答案为：1-．【点评】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．三．解答题（共5小题）11．（2019秋•通州区期末）把二次函数表达式24y x x c =-+化为2()y x h k =-+的形式．【分析】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式．【解答】解：2224444(2)4y x x c x x c x c =-+=-++-=-+-，即2(2)4y x c =-+-．【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：2(0y ax bx c a =++≠，a 、b 、c 为常数）；（2）顶点式：2()y a x h k =-+；（3）交点式（与x 轴）12:()()y a x x x x =--．12．（2018秋•门头沟区期末）已知二次函数243y x x =-+．（1）用配方法将其化为2()y a x h k =-+的形式；（2）在所给的平面直角坐标系xOy 中，画出它的图象．【分析】（1）利用配方法把二次函数解析式化成顶点式即可；（2）利用描点法画出二次函数图象即可．【解答】解：（1）243y x x =-+22224223(2)1x x x =-+-+=--；（2）2)(2)1y x =--，∴顶点坐标为(2,1)-，对称轴方程为2x =．函数二次函数243y x x =-+的开口向上，顶点坐标为(2,1)-，与x 轴的交点为(3,0)，(1,0)，∴其图象为：【点评】本题考查了二次函数的配方法，用描点法画二次函数的图象，掌握配方法是解答此题的关键． 13．（2019秋•西城区校级期中）将下列各二次函数解析式化为2()y a x h k =-+的形式，并写出顶点坐标．（1）261y x x =-- （2）2246y x x =---（3）213102y x x =++．【分析】（1）加上一次项系数6的一半的平方是9，再减去9；（2）提取二次项2-后，再加一次项系数2的一半的平方1，再减去1；（3）提取二次项系数12后，再加上一次项系数6的一半的平方9，再减去9．【解答】解：（1）222616991(3)10y x x x x x =--=-+--=--，∴顶点( 3，10- )；（2）2222462(211)62(1)4y x x x x x =---=-++--=-+-，顶点(1-，4- )；（3）22211111310(699)10(3)2222y x x x x x =++=++-+=++，顶点(3-，112)．【点评】本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式，解题思路为：化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 14．（2018秋•房山区期中）已知二次函数223y x x =--．（1）将223y x x =--化成2()y a x h k =-+的形式；（2）与y 轴的交点坐标是 (0,3)- ，与x 轴的交点坐标是；（3）在坐标系中利用描点法画出此抛物线．x ⋯⋯ y ⋯⋯（4）不等式2230x x -->的解集是．【分析】（1）利用配方法将一次项和二次项组合，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．（2）将已知方程转化为两点式方程即可得到该抛物线与x 轴的交点坐标；令0x =即可得到该抛物线与y 轴交点的纵坐标；（3）将抛物线223y x x =--上的点的坐标列出，然后在平面直角坐标系中找出这些点，连接起来即可；（4）结合图象可以直接得到答案．【解答】解：（1）222232131(1)4y x x x x x =--=-+--=--，即2(1)4y x =--；（2）令0x =，则3y =-，即该抛物线与y 轴的交点坐标是(0,3)-，又223(3)(1)y x x x x =--=-+，所以该抛物线与x 轴的交点坐标是(3，0)(1-，0)．故答案是：(0,3)-；(3，0)(1-，0)；（3）列表：x⋯ 1-0 1 2 3 ⋯ y⋯3-4-3-⋯图象如图所示：；（4）如图所示，不等式2230x x -->的解集是1x <-或3x >．故答案是：1x <-或3x >．【点评】本题考查了二次函数的三种形式、二次函数的对称性和由函数图象确定坐标、直线与图象的交点问题，综合体现了数形结合的思想．15．（2018秋•西城区校级期中）已知二次函数21322y x x =-++（1）将21322y x x =-++成2()y a x h k =-+的形式：（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线x ⋯⋯ y⋯ ⋯ （3）当33x -<<时，观察图象直接写出函数值y 的取值的范围 52y -< ．（4）将该抛物线在x 上方的部分（不包含与x 的交点）记为G ，若直线y x b =+与G 只有一个公共点，则b 的取值范围是．【分析】（1）用配方法把二次函数一般式写成顶点式．（2）由顶点式得对称轴为直线1x =，列表描点画图象．（3）观察图象，在31x -<<时，y 随x 的增大而增大，随后y 减小，结合计算可得3x =-时y 的值，即求出y 的范围．（4）利用抛物线方程和直线方程联立求出两函数图象只有一个交点时b 的值．由于抛物线只取x 轴上方的部分，故需求直线经过抛物线与x 轴的交点时b 的值，再根据直线的平移得到相应b 的范围．【解答】解：（1）222221313131131(2)(211)(1)(1)22222222222y x x x x x x x x =-++=--+=--+-+=--++=--+（2）列表得：用描点画图象得：（3）3x =-时，6y =-，3x =时，0y =当31x -<<时，y 随x 的增大而增大，且1x =时，2y =故答案为：52y -<（4）21322y x b y x x =+⎧⎪⎨=-++⎪⎩ 整理得：232x b =- 当方程只有一个解时，即对应的两函数图象只有一个交点320b ∴-=，解得：32b = 把1x =-，0y =代入y x b =+，得1b =把3x =，0y =代入y x b =+，得3b =-3b ∴-时，直线y x b =+与G 没有交点；31b -<时，直线y x b =+与G 有一个交点；312b <<时，直线y x b =+与G 有两个交点；32b =时，直线y x b =+与G 有一个交点，32b >，直线y x b =+与G 无交点．故答案为：31b -<或32b =【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数与二次函数的交点问题，根据图象利用数形结合是解决此类问题的关键．。

二次函数一般式转化为顶点式公式

二次函数一般式转化为顶点式公式
二次函数是一种经常在高中数学课程中出现的函数形式，也被
广泛应用于各个领域中的实际问题。

在解决问题时，有时我们需
要将给定的二次函数从一般式转换为顶点式公式。

本文将介绍如
何将二次函数从一般式转化为顶点式公式。

一般式的二次函数公式可以表示为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不为零。

顶点式公式的形式为：y = a(x-h)^2 + k，其中(h, k)表示顶点的
坐标。

要将一般式转化为顶点式，我们需要完成以下步骤：
步骤1：求出顶点的横坐标 h。

公式 h = -b / (2a) 可以用来计算
顶点的横坐标。

通过将一般式中的b和a代入该公式，我们可以
得到顶点的横坐标。

步骤2：将顶点的横坐标h 代入一般式，求出顶点的纵坐标k。

将顶点的横坐标 h 代入一般式中的 x，计算得到顶点的纵坐标 k。

步骤3：用顶点的坐标 (h, k) 和 a 的值代入顶点式公式中，得到相应的顶点式。

通过以上三个步骤，我们可以将一般式的二次函数转化为顶点式公式。

这种转化的好处是，顶点式直观地表示了二次函数的顶点，并且更容易分析函数的整体形状。

希望本文的内容能够帮助你理解如何将二次函数从一般式转化为顶点式公式。

如果有任何问题或需要进一步的解释，请随时告诉我。

二次函数怎么化顶点式

二次函数怎么化顶点式二次函数是数学中非常重要的一个概念，常常应用于物理、经济等各个领域中。

在解决二次函数问题的过程中，化顶点式是一个非常关键的步骤，通过化顶点式我们可以更好地解决问题。

下面就为大家介绍二次函数怎么化顶点式。

一、二次函数的一般式二次函数的一般式是：$y = ax^2 + bx + c$在这个公式中，a,b,c分别代表二次函数的系数，而x,y分别代表函数中的变量和函数值。

二、二次函数的顶点式二次函数的顶点式表示会更加的简洁，它的公式为：$y = a(x - h)^2 + k$其中，a,h,k都是常数，而且a不能为0，他们的意义如下：1.参数a决定了二次函数的开口方向和大小2.参数(h,k)代表了函数的顶点坐标二次函数的顶点式更加的直观，易于我们使用，接下来我们就一起来看看怎么将一般式转化为顶点式。

三、二次函数如何化顶点式1.先确定二次函数的系数当我们面对一个二次函数问题时，我们需要先确定其系数a,b,c的值，也就是将一般式中的值代进去计算。

2.将一般式的b项移到另一边，通过配方得出顶点式我们可以通过配方来完成顶点式的化简，具体的顺序如下：1. 将公式中的b项移到等式的另一侧$y - c = ax^2 + bx$2. 确定一般式中$x^2$项的系数$y - c = a(x^2 + \frac{b}{a}x)$3.将$x^2$项的系数提取出来，即$a$$y - c = a[(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2}]$4.利用完全平方公式进行拆分$y - c = a(x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b^2}{4a})$5.将式子进行移项和合并$y = a(x+\frac{b}{2a})^2 + (\frac{4ac-b^2}{4a})$6.整理出顶点式的形式$y = a(x - \frac{-b}{2a})^2 + (\frac{4ac-b^2}{4a})$通过以上步骤，我们就将一般式化简成了顶点式，也就是说，我们已经找到了二次函数的顶点坐标和开口方向，从而更容易地解决问题。

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)

二次函数动点问题解答方法技巧（含例解答案）函数解题思路方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+c�va≠0�w本身就是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

二、抛物线上动点5、（湖北十堰市）如图①，已知抛物线y?ax2?bx?3（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C． (1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。

专题12 二次函数的图像与性质(解析版)2021年中考数学

2021年中考数学一轮复习过关训练汇编专题12 二次函数图像与性质一、选择题1．二次函数2282y x x =--的最小值是（）A ．2-B ．10-C ．6-D ．6【答案】B【分析】把二次函数化为顶点式，即可求出最小值．【详解】解：∵2282y x x =--， ∵22(2)10y x =--，当2x =时，二次函数有最小值10-；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是正确的把二次函数的一般式化为顶点式．2．把二次函数243y x x =-+化成2()y a x h k =++的形式是（）A ．2(2)1y x =++B ．2(2)7y x =++C ．2(2)1y x =--D ．2(2)7y x =-- 【答案】C【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式．【详解】解：()()22243443421y x x x x x =-+=-++-=--．故选：C ．【点睛】此题考查了二次函数的顶点式，掌握利用配方法将二次函数一般式转化为顶点式是解题的关键． 3．若()14,A y -，()21,B y -，()31,C y 为二次函数()2450y ax ax a =+-<的图像上的三点，则1y ，2y ，3y 的从小到大顺序是（）A ．123y y y <<B ．312y y y <<C ．321y y y <<D ．213y y y << 【答案】B【分析】由二次函数解析式找出抛物线的对称轴，判断出开口向下，根据抛物线开口向下时，离对称轴越远的点的纵坐标越小，判断A 、B 及C 离对称轴的远近，即可得出其对应函数值y 1，y 2，y 3的大小关系．【详解】抛物线245=+-y ax ax 的对称轴为：直线22b x a=-=-，且0a <，则抛物线开口向下，∵在抛物线上，离对称轴越远的点，纵坐标越小，点A 到对称轴的距离为：()422---=；点B 到对称轴的距离为：()121---=；点C 到对称轴的距离为：()123--=；∵312y y y <<，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线开口向下时，离对称轴越远函数值越小；抛物线开口向上时，离对称轴越远函数值越大．4．若函数()2m y m x =+是二次函数，那么m 的值是（） A ．2B ．-2或2C ．-2D ．0或2【答案】A【分析】根据二次函数的定义得出20m +≠且2m =，继而即可求解．【详解】∵函数()2my m x =+是二次函数， ∵20m +≠且2m =，∵2m =故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的定义，解题的关键是根据二次函数的定义得出：20m +≠且2m =．5．在同一平面坐标系中，一次函数2y mx n =+与二次函数2y x m =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】结合一次函数和二次函数的图象与系数的关系逐项分析即可．【详解】A 、由直线得：0m <，20n <，不可能，不符合题意；B 、由直线得：0m >，20n >，由抛物线得：0m >，但开口方向向下错误，不符合题意；C 、由直线得：0m <，20n >，由抛物线得：0m <，有可能，符合题意；D 、由直线得：0m >，20n >，由抛物线得：0m <，不可能，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查一次函数与二次函数图象的综合分析，理解各系数与函数图象之间的联系是解题关键． 6．抛物线y ＝3（x ﹣1）2﹣1的顶点坐标是（）A ．（1，1）B ．（﹣1，1）C ．（﹣1，﹣1）D ．（1，﹣1）【答案】D【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．【详解】解：因为y ＝2（x +1）2﹣1是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，﹣1），故选：D ．【点睛】本题考查了求抛物线顶点坐标的方法，牢记二次函数的顶点式是解答本题的关键．7．将抛物线1C ：()22y x =-向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到抛物线2C ，则抛物线2C 的函数表达式为（）A ．()252=-+y xB ．()252=--y xC ．()212y x =++D ．()=+-2y x 12 【答案】A【分析】根据平移变化,求出新抛物线的顶点坐标,判断即可．【详解】解：()22y x =-的顶点坐标为（2,0），向右平移3个单位，再向上平移2个单位，顶点坐标变为（5,2）， ∵得到抛物线解析式为：()252=-+y x ，故选：A ．【点睛】本题考查了抛物线平移，解题关键是熟知抛物线平移的变化规律,会利用顶点坐标变化写抛物线解析式． 8．若二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的交点坐标分别是(,0)m 、(,0)n ，且m n <，图象上有一点(,)M p q 在x 轴下方，对于以下说法：①240b ac ->；②x p =是方程20ax bx c q ++-=的解；③m p n <<；④()()0a p m p n --<，对于以上说法正确的是（）A ．①②③④B ．①②④C ．③④D ．①③【答案】B【分析】结合题意，根据二次函数图像、判别式的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】∵二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的交点坐标分别是(,0)m 、(,0)n ，∵20ax bx c ++=有两个不相等的根∵240b ac ->，故①正确；∵图象上有一点(,)M p q 在x 轴下方，∵()()0y a p m p n =--<，故④正确，又∵图象上有一点(,)M p q 在x 轴下方，∵x p =时，2ax bx c q ++=，∵x p =是方程20ax bx c q ++-=的解，故②正确，当0a >时，图象上有一点(,)M p q 在x 轴下方，∵m p n <<当0a <时，图象上有一点(,)M p q 在x 轴下方，∵p m n <<或m n p <<，故③错误故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程和二次函数图像、解析式性质，从而完成求解．二、填空题9．抛物线2245y x x =++的顶点坐标是________．【答案】（-1，3）【分析】先将题目中的函数解析式化为顶点时，即可得到该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．【详解】解： 2245y x x =++y =22(21)x x +++3y =22(1)x ++3故抛物线2245y x x =++的顶点的坐标是(-1，3) ，故答案为：（-1，3）．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点．若点A 的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴为直线x ＝2，则线段AB 的长为___________．【答案】8【分析】由抛物线的对称性可知点B 的坐标（6，0），从而可求得AB 的长．【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点．抛物线的对称轴为x =2，∵点A 与点B 关于x =2对称．∵点B 的坐标为（6，0）．∵AB =8．故答案为：8．【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象和性质，根据抛物线的对称性求得点B 的坐标是解题的关键． 11．二次函数()2213y x =---的最大值是___________．【答案】3-【分析】因为此题中解析式为顶点式的形式，所以根据其解析式求出顶点坐标，即可求解．【详解】解：∵二次函数y =-（x -2）2-3，抛物线开口向下，顶点坐标是（2，-3）∵当x =2时，二次函数y =-（x -2）2-3的最大值为-3．故答案为-3．【点睛】本题考查二次函数的最大（小）值的三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．12．抛物线(1)(3)y x x =+-的顶点坐标是_____．【答案】(1,4)-【分析】先把(1)(3)y x x =+-展开成一般式解析式，再利用配方法配成顶点式解析式，即可得到顶点坐标．【详解】解：∵(1)(3)y x x =+-，＝223x x --，＝2(1)4x --∵抛物线的顶点坐标为(1,4)-，故答案为：(1,4)-．【点睛】本题考查二次函数的顶点式解析式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．13．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝m 有实数根，则m 的取值范围是_____．【答案】m ≥﹣3【分析】由于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝m 有实数根，可得y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）和y =m 有交点，由此即可解答．【详解】解：∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点的纵坐标为－3，∵当关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝m 有实数根时，即抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）和直线y =m 有交点，∵m ≥﹣3故答案为：m ≥﹣3【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数，根据一元二次方程有实数根可得y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）和y =m 有交点是解决问题的关键．14．如图，二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y mx n =+在同一平面直角坐标系中的图象交点于(3,0)-，(0,3)，则不等式2ax bx c mx n ++>+的解集是____________．【答案】-3＜x ＜0．【分析】根据图象可直接判断．【详解】观察图象可知，在-3到0之间，抛物线在一次函数图象上方，故当-3＜x ＜0时，2ax bx c mx n ++>+；故答案为：-3＜x ＜0．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，解题关键是树立数形结合思想，通过图象直观的解题．三、解答题15．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表所示：（1）求这个二次函数的表达式：（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象：（3）当40x -≤≤时，直接写出y 的取值范围．【答案】（1）y =x 2+2x -3；（2）见解析；（3）-4≤y ≤5【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（-1，-4），则可设顶点式y =a （x +1）2-4，然后把点（0，-3）代入求出a 即可；（2）利用描点法画二次函数图象；（3）根据x =-4，0时的函数值即可写出y 的取值范围．【详解】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（-1，-4），设二次函数的解析式为：y =a （x +1）2-4，把点（0，-3）代入y =a （x +1）2-4，得a =1，故抛物线解析式为y =（x +1）2-4，即y =x 2+2x -3；（2）如图所示：（3）∵y =（x +1）2-4，∵当x =-1时，y 有最小值-4，当x =-4时，y =（-4+1）2-4=5，当x =0时，y =-3，∵当-4≤x ≤0时，y 的取值范围是-4≤y ≤5．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．16．如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且经1,0A 、()0,3B -两点．（1）求抛物线的函数关系式；（2）当函数值0y <时，则对应的自变量x 取值范围是__________．（3）在抛物线的对称轴1x =-上，是否存在点M ，使它到点A 的距离与到点B 的距离之和最小，如果存在求出点M 的坐标，如果不存在请说明理由．【答案】（1）223y x x =+-；（2）31x -<<；（3）存在，M 坐标为(-1,-2)，理由见解析．【分析】（1）根据待定系数法解出,,a b c 的值即可得；（2）令（1）所得解析式等于0，解得两个与横坐标的交点值，观察图像则可得；（3）观察图形可得AM CM =，根据“将军饮马”模型，AM BM CM BM +=+，根据B 、C 点的坐标可得BC 的直线解析式，代入1M x =-即可解得M 的坐标．【详解】解：（1）由对称轴为x =-1得：12b a-=- 代入1,0A 、()0,3B -得：0a b c ++=，3c =-解得1,2,3a b c ===-所以有223y x x =+-（2）令2230y x x =+-=解得13x =-，21x =由图像可知0y < 时有31x -<<故答案为31x -<<；（3）存在；由（2）抛物线与坐标轴交于C (-3,0)、A (1,0)点，如图，对称轴在AC 的中垂线上，所以AM CM =, AM BM +为所求，故AM BM CM BM +=+，观察图像可知B 、M 、C 在同一直线上即BC 上时AM BM CM BM +=+取得最小值，设BC 解析式为：y kx b =+，代入B (0,-3)、C (-3,0)两点有3b -=，03k b =-+，解得：3b =-，1k =-，故3y x =--，由题知1M x =-，则有(1)32M y =---=-故M 坐标为(-1,-2)．【点睛】本题（1）考查了用待定系数法解二次函数的解析式；（2）解一元二次方程，根据图像的判断图像位于x轴下方的函数自变量取值范围；（3）“将军饮马”模型，求图像交点坐标．解决这类问题的关键在于要结合好题干中的条件，熟练的运用待定系数法计算解析式，要有数形结合的思想，多总结常见的模型．17．如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果∵P AC的周长最小，求点P的坐标．【答案】P(1，－2)．【分析】根据“将军饮马”问题，将A点沿对称轴对称至B点，连接BC，与对称轴交点即为所求P点，从而结合图形性质求解即可．【详解】如下左图，点A与点B对称，连结BC，那么在∵PBC中，PB＋PC总是大于BC的．如下右图，当点P落在BC上时，PB＋PC最小，因此P A＋PC最小，∵P AC的周长也最小．由y＝x2－2x－3，令y=0，解得：x=-1或3，∵A（-1,0），B（3,0），对称轴为直线x=1，∵可知OB＝OC＝3，OD＝1，∵OBC=45°，∵DB＝DP＝2，∵P(1，－2)．【点睛】本题考查二次函数的对称性以及最短路径问题，理解常见的求最短路径的模型是解题关键．18．如图，已知抛物线212y x bx c =++与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是x 轴上方抛物线上一点，且∵ACE 面积为4，求点E 坐标．（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使∵ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由．【答案】（1）211122y x x =--；（2）E 坐标为（-2，2）或（4，5 ）；（3）存在四个点：P 1（2，1-），P 2（1-），P 3（1，－2），P 4（52，－72）【分析】（1）由于抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将A 、C 两点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．（2）设y 轴上有点M （0，m ）使∵CAM 面积为4，求出M 点坐标，过点M 作MN ∵CA 与抛物线交于E 1，E 2两点，求出MN 解析式与抛物线解析式联立即可．（3）根据抛物线的解析式，可求出B 点的坐标，进而能得到直线BC 的解析式，设出点P 的横坐标，根据直线BC 的解析式表示出P 点的纵坐标，然后利用坐标系两点间的距离公式分别表示出∵ACP 三边的长，从而根据：①AP =CP 、②AC =AP 、③CP =AC ，三种不同等量关系求出符合条件的P 点坐标．【详解】解：（1）∵二次函数212y x bx c =++的图像经过点A （2，0）C （0，－1） ∵2201b c c ++=⎧⎨=-⎩解得： b =－12c =－1 ∵二次函数的解析式为211122y x x =-- （2）设y 轴上有点M （0，m ）使∵CAM 面积为4，则S ∵CAM =12CM ×OA =12×2×CM =4 ∵CM =4 ∵OM =3 ∵M （0，3）过点M 作MN ∵CA 与抛物线交于E 1，E 2两点，由A （2，0）C （0，－1），可求CA 解析式为：y =12x -1，设MN 解析式为y =12x +b ，过点M （0，3） ∵b =3，∵MN 解析式为y =12x +3，联立方程y =12x +3与211122y x x =--, 解得：1122x y =-⎧⎨=⎩，2245x y =⎧⎨=⎩，所以点E 坐标为（-2，2）或（4，5 ）（3）存在由（1）知：二次函数的解析式为211122y x x =-- 设y =0则2110122x x =-- 解得：x 1=2 x 2=－1 ∵点B 的坐标为（－1，0） C （0，－1）设直线BC 的解析式为：y =kx ＋b∵ 01k b b -+=⎧⎨=-⎩ 解得：11k b =-⎧⎨=-⎩， ∵直线BC 的解析式为： y =－x －1在Rt ∵AOC 中，∵AOC =900 OA =2 OC =1由勾股定理得：AC ∵点B （－1，0）点C （0，－1）∵OB =OC ∵BCO =450①当以点C 为顶点且PC =AC设P （k ，－k －1）过点P 作PH ∵y 轴于H∵∵HCP =∵BCO =450CH =PH =∵k ∵ 在Rt ∵PCH 中k 2+k 2=2解得k 1 k 2=∵P11-）P21-）②以A为顶点，即AC=AP设P（k，－k－1）过点P作PG∵x轴于GAG=∵2－k∵ GP=∵－k－1∵在Rt∵APG中AG2＋PG2=AP2（2－k）2+（－k－1）2=5解得：k1=1，k2=0（舍）∵P3（1，－2）③以P为顶点，PC=AP设P（k，－k－1）过点P作PQ∵y轴于点QPL∵x轴于点L∵L（k，0）∵∵QPC为等腰直角三角形PQ=CQ=k由勾股定理知CP=P A k∵AL=∵k-2∵，PL=｜－k－1｜在Rt∵PLA中k）2=（k－2）2＋（k＋1）2解得：k=52∵P4（52，－72）综上所述：存在四个点：P11-）P2（-21-）P3（1，－2）P4（52，－72）【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、等腰三角形的构成条件等重要知识，同时还考查了分类讨论、数形结合的数学思想，难度较大，解题关键是熟练综合运用所学知识，准确进行计算．。

用配方法把二次函数一般式转化为顶点式

反思：很荣幸，我被安排到北京密云三中上了一节“同课异构”的课，从中展示我数学科组多年来开展的教学改革的成果。

接到任务后，我精心准备，用心请教，按照阳光课堂的精神要求，即“教育是一种相互感染、相互呵护、相互促进的，充满生机与活力的教育”，认真开展了工作。

这节课取得了预期效果，得到了较好评价，再次说明我们数学科组开展的教学改革，它是充满生机与活力的。

当然，这节课既有优点，也有许多不足之处。

优点是我能够认真落实“初学---深学---拓学”的模式，整个教学过程嵌入了“群学、组学、独学”的活动，发挥了教师主导型，体现了学生主体性，努力做到“以阳光之心育阳光之人”。

缺点是教学过程中语言还不够简练，教态不够自然，影响了部分学生的学习兴趣。

相比较这节课的优点与缺点，我更想谈一下我整个备课的过程，从中总结经验，以便以后更好地开展异地教学工作。

记得当我接受这一节课的时候，我首先考虑三个方面，按照三方面的要求依次做好准备。

首先是了解教学内容，以便备课；其次是了解学生，以便开展教学活动；最后是落实我数学科组的教学模式，以便展示阳光教育理念。

在了解教学内容方面，我不仅与组办方沟通，而且与三中教师沟通，熟悉情况。

在整个备课的过程当中，我用心请教了我数学组的许多有经验的老师，并借用初三（8）班上了一节试讲课，采纳了许多意见，特别是教学的重点与次重点，教学容量的控制，教学内容在细节上的把握，最终敲定教学内容。

在了解学生方面，经过我沟通与了解，我知晓了三中学生的特点：成绩是中上水平，学生不乐于发言，往往做完题目就不愿意多交流，自顾自个。

鉴于此，我带了一些奖品，通过转盘的形式加以奖励。

通过奖励规则，我强调了两个方面内容：一是询问喜欢的奖品，学生举手示意，要求学生做完题后举左手，右手继续做题，不浪费时间，老师会过去批改，同时勇于发言；二是四人小组参与抽奖，只需派一个代表，让学生课前讨论中意的礼物，要求学生善于小组讨论。

在落实我数学科教学模式方面，我的最大感受是：最大限度地调动孩子积极性，尽可能地挤时间让孩子练题，不时对孩子好的行为加以表扬肯定，有意地对一些不良行为加以制止。

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解标准答案)

其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
二、抛物线上动点
5、（湖北十堰市）如图①，已知抛物线（a≠0）与轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的对称轴与轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当为何值时，四边形的面积有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形能否形成矩形？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由．
[解]（1）点，点，点关于原点的对称点分别为，，．
设抛物线的解析式是
，
则
解得
所以所求抛物线的解析式是．
（2）由（1）可计算得点．
过点作，垂足为．
⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax²+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax²+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
当运动到时刻时，，．
根据中心对称的性质，所以四边形是平行四边形．
所以．
所以，四边形的面积．
因为运动至点与点重合为止，据题意可知．
所以，所求关系式是，的取值范围是．
（3），（）．