空间向量与立体几何课件

PM//CO，交平面AOB于点M，
Cc
P
O PO M M P
O
Aa
B
b
M
O M x O A y O B
M PzO C
O Px O Ay O BzO C
空间向量基本定理: 若三个向量a，b，c不共面，则对空间 任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，
使得p＝xa＋yb＋zc.
其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a， b，c都叫做基向量.
第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
3.1.4空间向量的正交分解 及其坐标表示
复习巩固 1.在空间四边形ABCD中，已知AB⊥CD， AC⊥BD，求证：AD⊥BC．
D
A
C
B
2. 在正四面体OABC中，E、F分别是AB、
OC的中点，求异面直线OE与BF所成的角
的余弦值.
O
A
E B
F C
若将向量a的起点移到坐标原点，则其 终点坐标就是向量a的坐标.
3.根据平面向量基本定理，平面内的任 意一个向量p都可以用两个不共线的向量 a，b来表示，我们设想将这个原理类推 到空间，并建立空间向量基本定理及其 坐标表示.
空间向量基本定理
设a，b，c是空间不共面的三个向量，作
OA a，OB b，OC c，OP p，过点P作
cos 2 3
3.如图，在空间四边形OABC中，OA＝8， AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°， ∠OAB＝60°，求OA与BC的夹角的余弦值.
O
8
A
4C
6
5
B
c o s O A ,B C O A B C 2 4 1 6 2 3 2 2 |O A ||B C | 8 5 5
D1 A1
D
A
N
C1
M B1
A M2 1 A BA D2 1 A A 1
B
C A N2 1A BA DA A 1
小结作业
1.空间向量基本定理表明，空间任意一 个向量都可以用三个不共面的向量线性 表示，并且基向量的系数是惟一的，它 是平面向量基本定理的推广，也是空间 向量的合成与分解原理.
2.把空间向量放到空间直角坐标系中进 行研究，向量可以用坐标表示，从而使 空间向量的几何运算转化为坐标运算， 其运算原理下节课再学习.
p
e1 O
y
x
例题讲解
例1 如图，点M、N分别是四面体OABC
的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分
点，用向量 O A ，O B ，OC 表示 O P 和O Q .
O M
O P1 6 O A1 3 O B1 3 O C
AQ
C
P N O Q1 O A1 O B1 O C
B
366
例2 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中， M、N分别是CD1，C1D1的中点，用基底 { A B ,A D ,A A 1 }分别表示向量AM 和AN .
P94练习：1，2，3.
作业： 《学海》第4课时
复习引入
1.平面向量基本定理是什么？
如果e1、e2是同一平面内的两个不共 线向量，那么对于这一平面内的任意向 量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.
2.平面向量的坐标表示的基本原理是什 么？
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、 y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基 底，若a＝xi＋yj，则把有序数对（x，y） 叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).
y
x
若p＝xe1＋ye2＋ze3，则把x，y，z称为
向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐 标，记作p＝(x，y，z). 对一个给定的
向量p，其坐标惟一吗？ 相等向量的坐
标相等吗？
z
p e3 e2
e1 O
yБайду номын сангаас
x
若向量p＝(x，y，z)，作OP p，则 点P的坐标是什么？
z p (x，y，z)
e3 e2
空间任意三个不共面的向量都能构成
空间的一个基底。
以{a，b，c }为基底，空间所有向量组 成的集合为：
{ p | p x a y b z c , x , y , zR }
对于基底{a，b，c }，设pxay bzc
当x，y，z至少一个为0时，向量p的位置 分别如何？
空间向量的坐标表示
若空间向量的一个基底中的三个基向量 互相垂直，则称这个基底为正交基底。
若三个基向量是互相垂直的单位向量， 则称这个基底为单位正交基底。
特别地，设e1，e2，e3为有公共起点O的 单位正交基底，分别以e1，e2，e3的方向
为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角
坐标系Oxyz. 对于空间任意一个向量p，
用基底{e1，e2，e3}可以怎样表示？
z
p e3 e2 e1 O
p＝xe1＋ye2＋ze3