复旦大学2013～2014学年《高等数学A上》第一学期期末考试试卷及答案

复旦大学数学科学学院

2013～2014学年第一学期期末考试试卷

A 卷

数学科学学院

1．（本题满分48分，每小题6分）计算下列各题：

（1）设)cos(ln x y =，求y ''；

（2）求极限30sin lim x

x x x -→；

（

装 订 线 内 不 要 答 题 ）

（3）求函数x

x x f 2ln )(=的单调区间和极值；

（4）求曲线)1ln(2++=x x y 的拐点；

（5）求不定积分⎰dx x x )e 2cos(e ；

（6）计算反常积分⎰∞+-0sin e xdx x ；

（7）问矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=321021001A 是否可逆？若可逆，求其逆矩阵；

（8）问当a ，b 取何值时，齐次线性方程组⎪⎩

⎪⎨⎧=++=++=++02,0,0z by x z by x z y ax 只有零解？

2．（本题满分8分）设⎩⎨⎧∈∈=].2,1[,2),1,0[,)(2x x x x x f 求⎰=x

dt t f x F 0)()(在]2,0[上的表达式，并讨论)(x F 在1=x 点的可导性。

3．（本题满分8分）已知抛物线L ：342-+-=x x y 。

（1）求L 分别在点)3,0(-和)0,3(处的切线的方程；

（2）求（1）中的两条切线与L 所围图形的面积。

4．（本题满分8分）讨论方程a x x =ln 有几个实根。

5．（本题满分8分）设)(x f 在),(∞+-∞上连续，且满足方程

)2(e )()(20x x dt t f t x x x -=-⎰

。 （1）求)(x f 的表达式；（2）求)(x f 的极值。