复旦大学2013～2014学年《高等数学A上》第一学期期末考试试卷及答案
高等数学A(一)期末试题及答案
大学2013～2014学年第一学期课程考试试卷（A 卷） 课 程 考试时间………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。
………………一、填空题（每小题2分，共10分） (1) =-∞→x x x )11(lim e1 ． (2) 设)tan(2x x y +=，则=dy dx x x x )(sec )21(22++ ．(3) 曲线36223+++=x x x y 的拐点是 )6,1(- . (4) =-⎰10211dx x 2π . (5) =⎰∞+121dx x1 ． 二、选择题（每小题2分，共10分） (1) =∞→x x x 2sin lim (A) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D)21. (2) 设xx x f tan )(=，则0=x 是函数)(x f 的(A) (A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点.(3) 当0→x 时，下列变量中与x 是等价无穷小的是(B)(A) x 3sin . (B) 1-x e . (C) x cos . (D) x +1.(4) 函数)(x f 在0x 点可导是它在该点连续的(C)(A) 充分必要条件. (B) 必要条件. (C) 充分条件. (D) 以上都不对.(5) 设)(x f 在),(∞+-∞内有连续的导数，则下列等式正确的是(D)(A) ⎰=')()(x f dx x f . (B)C x f dx x f dx d +=⎰)()(. (C) )0()())((0f x f dt t f x-='⎰. (D) )())((0x f dt t f x ='⎰.三、计算下列极限、导数（每小题6分，共18分） (1) 213lim 21-++--→x x x x x .解： )13)(2()13)(13(lim 213lim 2121x x x x x x x x x x x x x x ++--+++-+--=-++--→→ 62)13)(2(1lim 2)13)(2)(1(22lim 11-=++-+-=++-+--=→→x x x x x x x x x x(2) 22)2(sin ln lim x x x -→ππ.解：)2(4sin cos lim )2(sin ln lim 222x x xx x x x --=-→→ππππ 812sin lim 41sin 12cos lim 4122-=---=⋅--=→→x x x x x x πππ (3) 设函数)(x y y =由方程0ln =+-y x y y 所确定，求：dxdy 和22dx y d . 两边对x 求导得：01)1(ln ='+-'+y y y所以得; yy ln 21+=' yy ln 21+='四、计算下列积分（每小题8分，共32分）(1) ⎰-dx x x )2sin(2. 解：C x x d x dx x x +-=---=-⎰⎰)2cos(21)2()2sin(21)2sin(2222 (2) ⎰-dx x 21. 解：令t x sin =，2||π≤t ，则：⎰⎰=-tdt dx x 22cos 1 C t t t C t t dt t ++=++=+=⎰cos sin 2122sin 412)2cos 1(21 C x x x +-+=2121arcsin 21 (3) ⎰10arctan xdx . 解：⎰⎰+-=10210101]arctan [arctan dx x x x x xdx 2ln 214)]1ln(21[4102-=+-=ππx (4) ⎰10dx e x . 解：令x t =，则2t x =，tdt dx 2=，⎰⎰=10102dt te dx e t x 22][22101010=-==⎰⎰dt e te tde t t t 五、综合题（每小题10分，共20分）(1) 设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=⎰22031t u du e y t t x 所确定，求函数)(x y y =的极值. 解：23124t te dx dy t +=，令0=dxdy ，得0=t ，代入得：1=x 。
2013—2014上高数期末考试(A卷)
x cos t 2 dt
4.求极限 lim 0
.
x0
x
解: 原式 洛
第9页，共15页。
9
三、解答题(每小题7分,共35分)
5.计算
２ -
x(sin x cos4 x)dx.
2
解：原式
２
x sin
xdx
２
x cos4 xdx
2
2
2 ２ x sin xdx 0 2 2 xd( cos x)
13-14上期高数终考试题
一、填空题(每小题2分,共14分)
f ( x)dx
2
0 ex cos x
y e P( x)dx ( Q( x)e P( x)dxdx C )
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1
二、单项选择题 (每小题3分,共24分)
1.设f ( x) x2 1 1，则x 0是f ( x)的( A )
y
解:
1
o
x
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14
五、应用题(本题６分)
求抛物 线 y2 2x和直线 x 1 所围成的平面图形绕直线
2
y
y 1旋转而成的立体的体积.
1
解:
o
x
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15
x
( A) 可去间断点； (B) 无穷间断点； (C) 连续点； (D) 跳跃间断点.
2. f ( x) x 2 在点 x 2处的导数是( D )
( A) 1; (B) 0; (C ) 1; (D) 不存在.
3.当x 0时，无穷小量sin x(1 cos x)是x2的( A )
(2) 最大值
最小值
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7
高数期末考试题及答案复旦
停车场停车券活动方案一. 活动目标本次停车场停车券活动的目标是吸引更多的用户使用停车场服务，增加停车场的收入。
通过发行停车券，提供优惠价位的停车服务，提高用户的体验及满意度，同时提升停车场的知名度和竞争力。
二. 活动时间活动时间为2022年1月1日至2022年3月31日，共计三个月。
三. 活动内容1. 停车券发行在活动期间，停车场将发行特定面额的停车券，用户可以在购买时获得相应的折扣或免费停车时间。
停车券的发行方式包括：•定期会员赠送：停车场会定期向会员赠送停车券，以奖励他们的忠诚度和支持。
•社交媒体活动：通过停车场的社交媒体平台，开展相关活动，让用户有机会赢得免费停车券。
•合作伙伴赞助：与合作伙伴合作，通过赞助方式提供免费或折扣停车券，吸引更多用户关注和使用停车场服务。
2. 会员特权为增加用户粘性和提高会员参与度，停车场将为定期会员提供特殊服务和特权，例如：•优先停车位：为会员提供专门的VIP停车区域或优先选择的停车位，方便会员快速进出停车场。
•免费车辆清洗：定期会员在停车期间，停车场将提供免费的车辆清洗服务，提升会员的停车体验。
3. 推荐奖励通过推荐活动，停车场将为用户提供额外的停车券作为奖励。
当用户成功推荐朋友或家人使用停车场服务时，推荐者将获得相应面额的停车券作为奖励。
4. 良性竞争在活动期间，停车场将与周边的其他停车场进行良性竞争。
通过提供更好的服务和更有竞争力的价格，吸引更多用户选择停车场停车券，并增加停车场的使用率。
四. 活动宣传为确保活动的成功，停车场将进行全方位的宣传推广。
宣传渠道和方式包括但不限于：•广告投放：通过户外广告牌、公交车身广告等方式进行线下宣传；•线上宣传：通过停车场官方网站、社交媒体平台、电子邮件等进行线上宣传；•合作推广：与相关合作伙伴进行合作推广，如APP推广、OTA平台推广等。
五. 活动效果评估活动结束后，停车场将根据以下指标对活动的效果进行评估：•停车场的总收入增长情况；•会员数量的增加情况；•用户对停车场服务的评价及满意度提升情况。
13级《高等数学I、II》(上)期末考试卷及答案
2013—2014学年第一学期《高等数学I 、II 》考试试卷（A 卷）一、填空题（每小题3分，共48分）1. 2()ln(1)f x x =-, 已知 000()(2)3lim2h f x f x h h →--=, =0x 13- .2. 2sin 10()0ax x e x f x x a x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a = 1- . 3. 函数32()391f x x x x =--+的既递减又上凸的区间是 (1,1)- .4. 21tx t y e ⎧=+⎨=⎩，则22d d y x 4t t． 5. 设)(x f 在0=x 点处连续，且0()lim12x f x x→=，那么(0)f '= 2 6. 222||2x x dx x -++⎰ ln3 .7.x y dye dx+=的通解为 y x e e c --=+ 8. 设3(1)f x x +=，则(1)f x '-= 23(2)x - ．9. 方程2610y e xy x ++-=确定隐函数()y y x =，则(0)y '= 0 。
10. 若函数)(x f 具有二阶连续导数，,0)()(21='='x f x f ),(0)( 21x f x f ''<<''则12(),().f x f x 的大小关系为 ).()(21x f x f >11. 变上限函数⎰21sin x tdt 的导数等于 2sin 2x x12. 设x ，x e ，x e -是二阶非齐次线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，则该方程的通解为x x e C x e C y x x +-+-=-)()(21。
得 分13. 广义积分21(ln )edx x x +∞⎰= 1 。
14. 微分方程052=+'-''y y y 的通解为12(cos 2sin 2)x y e c x c x =+ 15. ⎰⎰'+=dx x f x c x dx x f )( ,sin )(2 2sin 2sin x x x C -+ .16. 函数x e x f -=)(的四阶麦克劳林公式是)(!!!443243211x o xx x x ++-+-二、计算题（满分24分，每小题6分）17.求020()lim (0,0)ln(1)xt t xx a b dt a b t dt→->>+⎰⎰)(b a ≠原式=-+→limln()x x x a b x 0212 3分=-+→lim ln ln x x x a a b b x 0412=14lna b 3分18、求曲线xex y 12-+=)(的渐近线。
高数(大一上)期末试题及答案
高数(大一上)期末试题及答案第一学期期末考试试卷（1）课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级：学号：姓名：得分：一、填空（每小题3分，满分15分）1.lim (3x^2+5)/ (5x+3x^2) = 02.设 f''(-1) = A，则 lim (f'(-1+h) - f'(-1))/h = A3.曲线 y = 2e^(2t) - t 在 t = 0 处切线方程的斜率为 44.已知 f(x) 连续可导，且 f(x)。
0，f(0) = 1，f(1) = e，f(2) = e，∫f(2x)dx = 1/2ex，则 f'(0) = 1/25.已知 f(x) = (1+x^2)/(1+x)，则 f'(0) = 1二、单项选择（每小题3分，满分15分）1.函数 f(x) = x*sinx，则 B 选项为正确答案，即当x → ±∞ 时有极限。
2.已知 f(x) = { e^x。
x < 1.ln x。
x ≥ 1 }，则 f(x) 在 x = 1 处的导数不存在，答案为 D。
3.曲线 y = xe^(-x^2) 的拐点是 (1/e。
1/(2e))，答案为 C。
4.下列广义积分中发散的是 A 选项，即∫dx/(x^2+x+1)在区间 (-∞。
+∞) 内发散。
5.若 f(x) 与 g(x) 在 (-∞。
+∞) 内可导，且 f(x) < g(x)，则必有 B 选项成立，即 f'(x) < g'(x)。
三、计算题（每小题7分，共56分）1.lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)sinx)lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)/x)*x*cosxlim x(e^(2x)-e^(-x))/(sinx/x)*cosxlim (2e^(2x)+e^(-x))/(cosx/x)应用洛必达法则)2.lim {arcsin(x+1) + arcsin(x-1) - 2arcsin(x)}/xlim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - 2arcsin(x)/√(1+x^2)}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x+1)^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x-1)^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)]} π/2 (应用洛必达法则)3.y = y(x) 由 x + y - 3 = 0 确定，即 y = 3 - x，因此 dy/dx = -1.4.f(x) = arctan(2x-9) - arctan(x-3) 的导数为 f'(x) = 1/[(2x-9)^2+1] - 1/[(x-3)^2+1]，因此 f'(x)。
2013-2014高等数学A(1)_A卷答案
π
六 (7 分) 求由曲线 y = arcsin x (0 ≤ x ≤ 1) ， y = 绕 y 轴旋转的旋转体体积. 解： Vy = π
∫
π 2
0
sin ydy = π ∫
2
π 2
0
2 1 − cos 2 y 1 ⎡1 ⎤2 π . dy = π ⎢ y − sin 2 y ⎥ = 2 4 ⎣2 ⎦0 4
−1 0
−1
−1
0
t 0 dt = [t − 2 ln(2 + t ) ]−1 = 1 − 2 ln 2 . 2+t
三、计算下列各题. (每小题 6 分，满分 24 分) 1.
∫ x( x
1
2
+ 1)
dx . (拆项) 解： ∫
1 1 x dx = ∫ ( − 2 )dx = ln | x | − ln( x 2 + 1) + C . x( x + 1) x x +1 2
x − 1 ln x = 0 ； f (1) = 0 ；
因 f (1 ) = f (1 ) = f (1) ，故 f ( x) 在 x = 1 处连续. (2) f −′(1) = lim −
x →1
−
+
−1 − ln x f ( x) − f (1) 1 − x ln x x = lim = = = 0； lim lim 1 x →1− x →1− x −1 x −1 1 − x x →1− − 2 1 −x
∫
四 (7 分) 试分析函数 f ( x ) = | x − 1| ln x ， ( x > 0) 在 x = 1 处的连续性和可导性(说明理由). 解：(1) f (1 ) = lim f ( x) = 1 − x ln x = 0 ； f (1 ) = lim f ( x) = − +
上海市复旦大学附中高一数学上学期期末试卷(含解析)
2014-2015学年上海市复旦大学附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（每题4分，共48分）1．设集合M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，则使N⊊M成立的a的值是．2．不等式，当且仅当a= 时，等号成立．3．已知函数g（x）=x﹣，那么函数f（x）=g（x）+h（x）的解析式是f（x）= ．4．求值：= ．5．函数的定义域为．6．函数y=x2+1（x≤﹣1）的反函数为．7．设函数f（x）=ax2+bx+1（a、b∈R），若f（﹣1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立，则a+b= ．8．函数f（x）=ax2+bx+6满足条件f（﹣1）=f（3），则f（2）的值为．9．若函数y=的反函数的图象的对称中心是点（1，3），则实数a的值为．10．在同一平面直角坐标系中，函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称．而函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，若f（m）=﹣1，则m的值是．11．设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时，f（x）是单调的函数，则满足的所有的x的和为．12．定义两种运算：a⊕b=，则函数f（x）=的奇偶性为．二、选择题（每题4分，共16分）13．“a=0”是“函数f（x）=x2+ax在区间（0，+∞）上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件14．若函数f（x）在（4，+∞）上为减函数，且对任意的x∈R，有f（4+x）=f（4﹣x），则（）A． f（2）＞f（3）B． f（2）＞f（5）C． f（3）＞f（5）D． f（3）＞f（6）15．已知函数f（x）=（）x﹣log2x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且0＜x1＜x0，则f（x1）（）A．恒为负值B．等于0 C．恒为正值D．不大于016．若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y=2x2+1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有（）A． 15个B． 12个C． 9个D． 8个三、解答题17．已知log a484=m，log a88=n，试用m、n表示log211．18．f（x）=（1）作出函数的大致图象；（2）求不等式f（x）＞f（1）的解集．19．如果函数y=x+的最小值为6，求b的值．20．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下公式：f（x）=（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？（3）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？21．已知函数f（x）=为奇函数，（1）求a的值；（2）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）解关于x的不等式：f﹣1（x）＞log2．22．已知函数，其中x＞0．（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b），求ab的取值范围；（2）是否存在实数a、b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域和值域都是，若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由；（3）若存在a、b（a＜b），使得y=f（x）的定义域为，值域为（m≠0），求m的取值范围．2014-2015学年上海市复旦大学附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共48分）1．设集合M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，则使N⊊M成立的a的值是﹣1 ．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：由真子集的定义即知N的元素都是集合M的元素，从而分别让a取﹣1，0，1，看得到的集合N能否满足N⊊M，以及能否符合集合元素的性质，从而便得到a的值．解答：解：N⊊M，∴N的元素都是M的元素；若a=0，1时，显然不满足集合的互异性；若a=﹣1，则N={﹣1，1}，满足N⊊M；∴a的值是﹣1．故答案为：﹣1．点评：考查列举法表示集合，真子集的定义，以及集合元素的性质．2．不等式，当且仅当a= ±1时，等号成立．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：不等式，当且仅当a2=1，即a=±1时，等号成立．故答案为：±1．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．3．已知函数g（x）=x﹣，那么函数f（x）=g（x）+h（x）的解析式是f（x）= x+，（x≥﹣，且x≠0）．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知，求出函数g（x），h（x）的定义域，进而可得函数f（x）=g（x）+h（x）的解析式．解答：解：∵函数g（x）=x﹣，（x≥﹣），h（x）=，（x≥﹣，且x≠0）∴函数f（x）=g（x）+h（x）=x+，（x≥﹣，且x≠0）故答案为：x+，（x≥﹣，且x≠0）点评：本题考查的知识点是函数的解析式及求法，函数的定义域，解答时一定要注意两个基本函数定义域对复合函数定义域的影响．4．求值：= 4 ．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用有理指数幂的运算性质及对数的运算性质计算．解答：解：===．故答案为：4．点评：本题考查对数的运算性质，关键是对对数运算法则的记忆与运用，是基础题．5．函数的定义域为（0，7）．考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：根据使函数的解析式有意义的原则，我们可以构造出自变量x的不等式组，解不等式组，求出x的取值范围，即可得到函数的定义域．解答：解：要使函数的解析式有意义，自变量必须满足：解得：0＜x＜7故函数的定义域为（0，7）故答案为：（0，7）点评：本题考查的知识点是对数函数的定义域，函数的定义域及其求法，其中正确理解，求函数的定义域即求使函数的解析式有意义的自变量的取值范围，是解答本题的关键．6．函数y=x2+1（x≤﹣1）的反函数为（x≥2）．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由原函数求得x，把x，y互换求得原函数的反函数．解答：解：由y=x2+1（x≤﹣1），得x2=y﹣1，∴x=（y≥2），x，y互换得：（x≥2），∴函数y=x2+1（x≤﹣1）的反函数为（x≥2），故答案为：（x≥2）．点评：本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域为原函数的值域，是基础题．7．设函数f（x）=ax2+bx+1（a、b∈R），若f（﹣1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立，则a+b= 3 ．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（﹣1）=0，可得b=a+1，又对任意实数x均有f（x）≥0成立，可得恒成立，可求出a，b的值；解答：解：∵函数f（x）=ax2+bx+1（a、b∈R），f（﹣1）=0，∴a﹣b+1=0即b=a+1，又对任意实数x均有f（x）≥0成立∴恒成立，即（a+1）2﹣4a≤0，可得（a﹣1）2≤0恒成立∴a=1，b=2；a+b=3．故答案为：3．点评：本题考查了函数的恒成立问题及二次函数的性质的应用，难度一般，关键是掌握二次函数的性质．8．函数f（x）=ax2+bx+6满足条件f（﹣1）=f（3），则f（2）的值为 6 ．考点：函数的值；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题．分析：由题意应对a进行分类：a=0时和a≠0时，再由条件分别判断出函数为常函数和二次函数的对称轴，再由函数的性质求值．解答：解：①当a=0时，∵f（﹣1）=f（3），∴函数f（x）是常函数，即a=b=0，∴f（x）=6，则f（2）=6，②当a≠0时，则函数f（x）是二次函数，∵f（﹣1）=f（3），∴f（x）的对称轴是：x=1，∴f（2）=f（0）=6，综上得，f（0）=6故答案为：6．点评：本题考查了利用常函数和二次函数的性质求值，特别再求出对称轴后，不用a和b的值直接由f（2）=f（0）求解，易错点易忘对a进行讨论．9．若函数y=的反函数的图象的对称中心是点（1，3），则实数a的值为 3 ．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得函数f（x）=的对称中心是（3，1），再由函数的解析式可得对称中心是（a，1 ），比较可得a的值解答：解：由题意可得函数f（x）=的对称中心是（3，1），又函数f（x）==1+的对称中心是（a，1 ），∴a=3，故答案为：3．点评：本题考查函数与反函数的图象间的关系，函数的对称中心，由函数y=得到对称中心为（a，1）是解题的关键，是基础题．10．在同一平面直角坐标系中，函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称．而函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，若f（m）=﹣1，则m的值是．考点：反函数．专题：计算题．分析：由函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称，则y=g（x）的图象与y=e x互为反函数，易得y=g（x）的解析式，再由函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，进而可以得到函数y=f（x）的解析式，由函数y=f（x）的解析式构造方程f（m）=﹣1，解方程即可求也m的值．解答：解：∵函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称∴函数y=g（x）与y=e x互为反函数则g（x）=lnx，又由y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称∴f（x）=ln（﹣x），又∵f（m）=﹣1∴ln（﹣m）=﹣1，故答案为﹣．点评：互为反函数的两个函数图象关于线y=x对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（b，a）点一定在其反函数的图象上；如果两个函数图象关于 X轴对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（a，﹣b）点一定在函数g（x）的图象上；如果两个函数图象关于 Y轴对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（﹣a，b）点一定在函数g（x）的图象上；如果两个函数图象关于原点对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（﹣a，﹣b）点一定在函数g（x）的图象上．11．设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时，f（x）是单调的函数，则满足的所有的x的和为﹣8 ．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：f（x）为偶函数⇒f（﹣x）=f（x），x＞0时f（x）是单调函数⇒f（x）不是周期函数．所以若f（a）=f（b）⇒a=b或a=﹣b，再结合已知条件可得正确答案．解答：解：∵f（x）为偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数∴若时，即或，得x2+3x﹣3=0或x2+5x+3=0，此时x1+x2=﹣3或x3+x4=﹣5．∴满足的所有x之和为﹣3+（﹣5）=﹣8，故答案为﹣8．点评：本题属于函数性质的综合应用，属于中档题．解决此类题型要注意变换自变量与函数值的关系，还要注意分类讨论和数形结合的思想方法的应用．12．定义两种运算：a⊕b=，则函数f（x）=的奇偶性为奇函数．考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用新定义把f（x）的表达式找出来，在利用函数的定义域把函数化简，根据函数奇偶性的定义进行判断即可．解答：解：由定义知f（x）==，由4﹣x2≥0且|x﹣2|﹣2≠0，得﹣2≤x＜0或0＜x≤2，即函数f（x）的定义域为{x|﹣2≤x＜0或0＜x≤2}，关于原点对称；此时f（x）===，则f（﹣x）==﹣=﹣f（x），故f（x）是奇函数．故答案为：奇函数点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，根据新定义将函数进行化简是解决本题的关键．二、选择题（每题4分，共16分）13．“a=0”是“函数f（x）=x2+ax在区间（0，+∞）上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的单调性及单调区间．分析：函数f（x）=x2+ax在区间（0，+∞）上是增函数，结合二次函数的图象求出a的范围，再利用集合的包含关系判充要条件．解答：解：函数f（x）=x2+ax在区间（0，+∞）上是增函数，0，a≥0，“a=0”⇒“a≥0”，反之不成立．故选A点评：本题考查充要条件的判断，属基本题．14．若函数f（x）在（4，+∞）上为减函数，且对任意的x∈R，有f（4+x）=f（4﹣x），则（）A． f（2）＞f（3）B． f（2）＞f（5）C． f（3）＞f（5）D． f（3）＞f（6）考点：抽象函数及其应用．分析：因为所给选项为比较函数值的大小，所以要根据已知条件将所给函数值都转化到同一个单调区间上去，因此分析f（4+x）=f（4﹣x）的含义也就成了解答本题的关键．解答：解：∵f（4+x）=f（4﹣x），∴f（x）的图象关于直线x=4对称，∴f（2）=f（6），f（3）=f（5），又∵f（x）在（4，+∞）上为减函数，∴f（5）＞f（6），∴f（5）=f（3）＞f（2）=f（6）．故选D．点评：（1）f（a+x）=f（a﹣x）⇔函数f（x）的图象关于直线x=a对称；（2）f（a+x）=﹣f（a﹣x）⇔函数f（x）的图象关于点（a，0）对称；（3）f（a+x）=f（b﹣x）⇔函数f（x）的图象关于直线x=对称；（4）f（a+x）=﹣f（b﹣x）⇔函数f（x）的图象关于点对称．特别地，当a=b=0时，有f（﹣x）=f（x）及f（﹣x）=﹣f（x），f（x）分别表示偶函数与奇函数．15．已知函数f（x）=（）x﹣log2x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且0＜x1＜x0，则f（x1）（）A．恒为负值B．等于0 C．恒为正值D．不大于0考点：函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由于y=（）x在x＞0上递减，log2x在x＞0上递增，则f（x）在x＞0上递减，再由条件即可得到答案．解答：解：由于实数x0是方程f（x）=0的解，则f（x0）=0，由于y=（）x在x＞0上递减，log2x在x＞0上递增，则f（x）在x＞0上递减，由于0＜x1＜x0，则f（x1）＞f（x0），即有f（x1）＞0，故选C．点评：本题考查函数的单调性及运用，考查运算能力，属于基础题．16．若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y=2x2+1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有（）A． 15个B． 12个C． 9个D． 8个考点：函数的定义域及其求法；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：根据“孪生函数”的定义确定函数定义域的不同即可．解答：解：由y=2x2+1=3，得x2=1，即x=1或x=﹣1，由y=2x2+1=19，得x2=9，即x=3或x=﹣3，即定义域内﹣1和1至少有一个，有3种结果，﹣3和3至少有一个，有3种结果，∴共有3×3=9种，故选：C．点评：本题主要考查函数定义域和值域的求法，利用“孪生函数”的定义是解决本题的关键．三、解答题17．已知log a484=m，log a88=n，试用m、n表示log211．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：把已知利用对数的运算性质变形求解log a2，log a11的值，然后利用对数的换底公式得到log211．解答：解：∵log a484=m，∴，即①，又log a88=n，∴log a8+log a11=n，即3log a2+log a11=n②，联立①②得：，．∴log211===．点评：本题考查对数的运算性质，考查了对数的换底公式，是基础的计算题．18．f（x）=（1）作出函数的大致图象；（2）求不等式f（x）＞f（1）的解集．考点：其他不等式的解法；函数的图象．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）分类讨论化简函数的解析式，从而画出函数的图象．（2）结合函数f（x）的图象可得f（﹣3）=f（1）=f（3）=0，数形结合可得不等式f（x）＞f（1）的解集．解答：解：（1）对于函数f（x）=，当x≥0时，f（x）=（x﹣3）（x ﹣1）；当 x＜0时，f（x）=﹣=﹣（）=﹣（+）=﹣﹣，故函数f（x）的图象如图所示．（2）结合函数f（x）的图象可得f（﹣3）=f（1）=f（3）=0，数形结合可得不等式f（x）＞f（1）的解集为{x|﹣3＜x＜1，或x＞3}．点评：本题主要考查分段函数的应用，分式不等式的解法，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．19．如果函数y=x+的最小值为6，求b的值．考点：基本不等式．专题：不等式．分析：先求出函数的导数，得到函数的单调区间，结合x的范围，从而求出函数取最小值时的b的值．解答：解：y′=1﹣=，令y′＞0，解得：x＞，令y′＜0，解得：x＜，∴函数在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴函数在x=时取得最小值，∴+=6，解得：2b=9，代入函数的不表达式得：x=3，∵x≥4，不合题意，∴x=4时，函数值最小，此时：4+=6，解得：b=3．点评：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查不等式取最小值时的条件，是一道中档题．20．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下公式：f（x）=（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？（3）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？考点：函数模型的选择与应用；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）通过分别求出当0＜x≤10、10＜x≤16、x＞16时各自f（x）的最大值即得结论；（2）通过计算f（5）与f（20）的大小即得结论；（3）通过令f（x）=55，计算出0＜x≤10、x＞16时各自的解并比较两个解的差的绝对值与13的大小关系即可．解答：解：（1）依题意，①当0＜x≤10时，f（x）=﹣0.1x2+2.6x+43=﹣0.1（x﹣13）2+59.9，故f（x）在0＜x≤10时递增，最大值为f（10）=﹣0.1（10﹣13）2+59.9=59，②当10＜x≤16时，f（x）≡59，③当x＞16时，f（x）为减函数，且f（x）＜59，因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力（为59），能维持6分钟时间．（2）∵f（5）=﹣0.1（5﹣13）2+59.9=53.5，f（20）=﹣3×20+107=47＜53.5，∴开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些．（3）当0＜x≤10时，令f（x）=55，解得x=6或20（舍），当x＞16时，令f（x）=55，解得x=17，因此学生达到（含超过）55的接受能力的时间为17﹣6=11＜13，∴老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．点评：本题考查函数模型的性质与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知函数f（x）=为奇函数，（1）求a的值；（2）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）解关于x的不等式：f﹣1（x）＞log2．考点：反函数；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用函数的奇偶性，得到f（﹣x）=﹣f（x），解方程即可求a的值；（2）根据反函数的定义即可f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）根据对数函数的单调性，结合分式不等式的解法进行求解即可．解答：解：（1）∵函数的定义域为{x|x≠0}且f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，即+=0，则+=0，即﹣a﹣2x+a•2x+1=0，则（1﹣a）（1﹣2x）=0，∵x≠0，∴1﹣a=0．即a=1．此时f（x）=．（2）由y=得（2x﹣1）y=2x+1．即y•2x﹣y=1+2x，即（y﹣1）•2x=1+y，当y=1时，方程等价为0=1，不成立，∴y≠1，则2x=，由2x=＞0得y＞1或y＜﹣1，即函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），由2x=，得x=log2，即f（x）的反函数f﹣1（x）=log2，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；（3）∵f﹣1（x）＞log2．∴log2＞log2．①若k＞0，则x+1＞0，即x＞﹣1，∵x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；∴此时x＞1，此时不等式等价为＞，即，则0＜x﹣1＜k，即1＜x＜k+1，②若k＜0，则x+1＜0，即x＜﹣1，∵x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；∴此时x＜﹣1，此时不等式等价为＞，即＜，则x﹣1＞k，即﹣1＞x＞k+1，综上若k＞0，不等式的解集为（1，1+k），若k＜0，不等式的解集为（1+k，﹣1）．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数反函数的求解，对数不等式的求解，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．22．已知函数，其中x＞0．（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b），求ab的取值范围；（2）是否存在实数a、b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域和值域都是，若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由；（3）若存在a、b（a＜b），使得y=f（x）的定义域为，值域为（m≠0），求m的取值范围．考点：函数的值域；函数的定义域及其求法．专题：分类讨论；函数的性质及应用．分析：（1）讨论a，b的范围，确定a∈（0，1），b∈，由此出发探究a，b的可能取值，可分三类：a，b∈（0，1）时，a，b∈（1，+∞）时，a∈（0，1），b∈（1，+∞），分别建立方程，寻求a，b的可能取值，若能求出这样的实数，则说明存在，否则说明不存在；（3）由题意，由函数y=f （x）的定义域为，值域为（m≠0）可判断出m＞0及a＞0，结合（1）的结论知只能a，b∈（1，+∞），由函数在此区间内是增函数，建立方程，即可得到实数m所满足的不等式，解出实数m的取值范围．解答：解：（1）f（x）=，若a，b∈（0，1），f（x）递减，f（a）＞f（b）不成立；若a，b∈，而y≥0，x≠0，所以应有a＞0，又f（x）=，①当a，b∈（0，1）时，f（x）在（0，1）上为减函数，故有，即，由此可得a=b，此时实数a，b的值不存在．②当a，b∈（1，+∞）时，f（x）在∈（1，+∞）上为增函数，故有，即，由此可得a，b是方程x2﹣x+1=0的根，但方程无实根，所以此时实数a，b也不存在．③当a∈（0，1），b∈（1，+∞）时，显然1∈，而f（1）=0∈不可能，此时a，b也不存在．综上可知，符合条件的实数a，b不存在；（3）若存在实数a，b使函数y=f（x）的定义域为，值域为（m≠0）．由mb＞ma，b＞a得m＞0，而ma＞0，所以a＞0，由（，1）知a，b∈（0，1）或a∈（0，1），b∈（1，+∞）时，适合条件的实数a，b不存在，故只能是a，b∈（1，+∞），∵f（x）=1﹣在∈（1，+∞）上为增函数∴，即，∴a，b是方程mx2﹣x+1=0的两个不等实根，且二实根均大于1，∴，解之得0＜m＜，故实数m的取值范围是（0，）．点评：本题的考点是函数与方程的综合应用，考查了绝对值函数，函数的定义域、值域，构造方程的思想，二次方程根与系数的关系等，解题的关键是理解题意，将问题正确转化，进行分类讨论探究，属于难题和易错题．。
关于高等数学A一期末试题及答案
济南大学2013～2014学年第一学期课程考试试卷（A 卷）课 程 高等数学A （一） 考试时间 2013 年 12 月 31 日………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。
………………一、填空题（每小题2分，共10分）(1) =-∞→x x x )11(lim e1．(2) 设)tan(2x x y +=，则=dy dx x x x )(sec )21(22++ ． (3) 曲线36223+++=x x x y 的拐点是 )6,1(- . (4) =-⎰10211dx x2π. (5) =⎰∞+121dx x 1 ． 二、选择题（每小题2分，共10分）(1) =∞→xxx 2sin lim (A)(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 21. (2) 设xxx f tan )(=，则0=x 是函数)(x f 的(A) (A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点. (3) 当0→x 时，下列变量中与x 是等价无穷小的是(B)(A) x 3sin . (B) 1-x e . (C) x cos . (D) x +1. (4) 函数)(x f 在0x 点可导是它在该点连续的(C)(A) 充分必要条件. (B) 必要条件. (C) 充分条件. (D) 以上都不对. (5) 设)(x f 在),(∞+-∞内有连续的导数，则下列等式正确的是(D)(A) ⎰=')()(x f dx x f . (B)C x f dx x f dx d+=⎰)()(. (C) )0()())((0f x f dt t f x -='⎰. (D) )())((0x f dt t f x ='⎰. 三、计算下列极限、导数（每小题6分，共18分） (1) 213lim21-++--→x x x x x .解： )13)(2()13)(13(lim 213lim 2121x x x x x x x x x x x x x x ++--+++-+--=-++--→→ (2) 22)2(sin ln lim x x x -→ππ.解：)2(4sin cos lim )2(sin ln lim 222x x xx x x x --=-→→ππππ(3) 设函数)(x y y =由方程0ln =+-y x y y 所确定，求：dxdy和22dx y d .两边对x 求导得：01)1(ln ='+-'+y y y 所以得; yy ln 21+=' 四、计算下列积分（每小题8分，共32分） (1) ⎰-dx x x )2sin(2. 解：C x x d x dx x x +-=---=-⎰⎰)2cos(21)2()2sin(21)2sin(2222 (2) ⎰-dx x 21. 解：令t x sin =，2||π≤t ，则：⎰⎰=-tdt dx x 22cos 1(3) ⎰1arctan xdx . 解：⎰⎰+-=102111]arctan [arctan dx x xx x xdx (4) ⎰10dx e x . 解：令x t =，则2t x =，tdt dx 2=，⎰⎰=1102dt te dx e t x五、综合题（每小题10分，共20分）(1) 设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=⎰22031t udu e y t t x 所确定，求函数)(x y y =的极值. 解：23124t te dx dy t +=，令0=dxdy，得0=t ，代入得：1=x 。
大学第一学期高等数学期末考试A(含答案)打印
第一学期期末考试机电一体化专业《 高等数学 》 试卷( A )1．函数()314ln 2-+-=x x y 的定义域是（),2[]2,(∞+--∞Y ）。
2．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)1(f （ -5 ）。
3．=→xx x 20lim （ 0 ） 4．函数xxx f -=)(的间断点是x =（ 0 ）。
5． 设735223-+-=x x x y 则y '＝（ 31062+-x x ）。
1、设()00=f , 且()00='f 存在, 则()=→xx f x 0lim ( C )；Ａ. ()x f ' Ｂ. ()0f ' Ｃ. ()0f Ｄ. ()021f 2、17下列变量中是无穷小量的有 ( C )； Ａ. )1ln(1lim0+→x x Ｂ. )1)((2()1)(1(lim 1-++-→x x x x x Ｃ. x x x 1cos 1lim ∞→ Ｄ. xx x 1sin cos lim 0→3、下列各组函数为同一函数的原函数的是 ( C )；Ａ. 31)(x x F =与324)(x x F -= Ｂ. 31)(x x F =与32214)(x x F -=Ｃ. C x x F +=21sin 21)(与x C x F 2cos 41)(2-=Ｄ.x x F ln )(1=与22ln )(x x F =4、在函数()x f 连续的条件下, 下列各式中正确的是 ( C )；Ａ. ()()x f dx x f dx d b a =⎰ Ｂ. ()()x f dx x f dx d ab =⎰Ｃ. ()()x f dt t f dx d x a =⎰ Ｄ. ()()x f dt t f dxd ax =⎰ 5、下列说法正确的是 ( D )； Ａ. 导数不存在的点一定不是极值点 Ｂ. 驻点肯定是极值点 Ｃ. 导数不存在的点处切线一定不存在Ｄ. ()00='x f 是可微函数()x f 在0x 点处取得极值的必要条件1、函数的三要素为: 定义域, 对应法则与值域. (√ )2、函数)(x f 在区间[]b a ,上连续是)(x f 在区间[]b a ,上可积的充分条件。
2013-2014-1工科高数(2-1)期末试卷A答案
2013—2014学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A 卷（工科类）参考答案及评分标准一．（共5小题，每小题3分，共计1 5 分）判断下列命题是否正确？在题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明. 1．若)(x f 在),(∞+a 无界，则∞=∞+→)(lim x f x .（ ⨯ ）------------- （ 1分 ）例如：x x x f sin )(=，在),1(∞+无界，但∞≠∞+→x x x sin lim . ------- （ 2分 ）2．若)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点必可导.（ ⨯ ）------------- （ 1分 ） 例如：x x f =)(，在0=x 点连续，但x x f =)( 在 0=x 不可导. ------ （ 2分 ） 3．若0lim =∞→n n n y x ，则0lim =∞→n n x 或.0lim =∞→n n y （ ⨯ ）-------------- （ 1分 ）例如：,0,1,0,1:n x,1,0,1,0:n y有0lim =∞→n n n y x ，但n n x ∞→lim ，n n y ∞→lim 都不存在. ---------------------------- （ 2分 ） 4．若0)(0='x f ，则)(x f 在0x 点必取得极值.（ ⨯ ）------------------- （ 1分 ）例如：3)(x x f =，0)0(='f ，但3)(x x f =在0=x 点没有极值. ---------（ 2分 ）5．若)(x f 在],[b a 有界，则)(x f 在],[b a 必可积.（ ⨯ ）------------- （ 1分 ） 例如：⎩⎨⎧=.,0,1)(为无理数当为有理数，当x x x D ，在]1,0[有界，但)(x D 在]1,0[不可积. （ 2分 ）二．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1. 指出函数x x x f cot )(⋅=的间断点，并判断其类型. 解 函数x x x f cot )(⋅=的间断点为：,2,1,0,±±==k k x π ------------------------------------------------------- ( 3分 )当 ,0=k 即 0=x 时, ,1sin cos limcot lim )(lim 0===→→→xxx x x x f x x x 0=∴x 为函数x x x f cot )(⋅=的第一类可去间断点; ----------------------- ( 2分 )当 ,2,1,±±==k k x π时, ,sin cos limcot lim )(lim ∞===→→→xxx x x x f k x k x k x πππ),2,1(, ±±==∴k k x π为函数x x x f cot )(⋅=的第二类无穷间断点 . --------- ( 2分 )2．求极限⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim解 ⎰-+∞→+x xt x dt e t x 022)1(1lim⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 202)1(lim-------------------（3分） xxx e x x e x )2()1(lim22++=+∞→----------------------------------------------------------------- ( 3分 ).121lim 22=++=+∞→x x x x ---------------------------------------------------------------（1分） 3．设方程)0,0(>>=y x x y yx 确定二阶可导函数)(x y y =，求22d ydx.解1 对yx x y =两边取对数，得 x yy x ln 1ln 1=，即 x x y y ln ln =，-------------------------------------------------------------- ( 2分 )等式两边关于x 求导，得：x dx dy y ln 1)ln 1(+=+，即yx dx dy ln 1ln 1++=，------- ( 2分 ) ⎪⎭⎫⎝⎛=∴dx dy dx d dxy d 222)ln 1(1)ln 1()ln 1(1y dxdyy x y x +⋅⋅+-+=---------------------------- ( 2分 ) 322)ln 1()ln 1()ln 1(y xy x x y y ++-+=.------------------------------------------------ ( 1分 ) 解2 对yx x y =两边取对数，得 x yy x ln 1ln 1=，----------------- ( 2分 )等式两边关于x 求导，x y dx dy x y dx dy y x y x 11ln 111ln 122⋅+⋅⋅-=⋅⋅+-xx xy yy xy dx dy ln ln 22++=∴ （直接再求导比较繁琐，需化简后再求导）----------------------------------------------------------------------------------------- ( 2分 )由x yy x ln 1ln 1=得x x y y ln ln =， xx xy y y xy dx dy ln ln 22++=y xy xy x xy xy ln ln ++=y xln 1ln 1++=, 以下同解1. 三．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1．求不定积分⎰+dx xx x 23sin 1cos sin . 解 ⎰⎰+-=+)(s i n s i n 1)s i n 1(s i n s i n 1c o s s i n 2223x d xx x dx x x x ------------------------（2分） （令t x =sin ） =⎰+-dt t t t 221)1(=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-dt t t t 212 ------------------（2分） C t t +++-=)1ln(222=.)sin 1ln(sin 2122C x x +++-----------------（3分）2．设x 2ln 是函数)(x f 的一个原函数，求⎰'dx x f x )(.解 )(ln 2)ln (2x f xxx ==' ，------------------------------------------------- ( 2分 ) C x dx x f +=∴⎰2ln )(，------------------------------------------------------- ( 2分 ) ⎰⎰='∴)()(x df x dx x f x⎰-=dx x f x f x )()(.ln ln 22C x x +-=-------------------------------------------- ( 3分 )3．求定积分dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ.解dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ⎰⎰--+=44743442c o s s i n ππππdx x dx x x ------- ( 1分 )dx x 2cos 0744⎰-+=ππ-------------------------------------------------------（2分）dx x 2cos 274⎰=π----------------------------------------------------------（2分）（令t x =2） dt t 720cos ⎰=π----------------------------------------------------------------（1分）.!!7!!6=---------------------------------------------------------------------------（1分） 四．（共2小题，每小题6分，共计1 2分）1．已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速度增加，宽w 以3cm/s 的速度增加，则当长为12cm ，宽为5cm 时，它的对角线的增加率是多少？解：设长方形的对角线为y ，则 222w l y += ----------------------------------- ( 2分 )两边关于t 求导，得 dt dww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅222， 即 dtdw w dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅------（1）-------------------------------- ( 2分 ) 已知,2=dt dl ,3=dtdw ,13512,5,1222=+=⇒==y w l 代入（1）式，得 对角线的增加率：3=dt dy（cm/s ）. -------------------------------------------------- ( 2分 ) 2．物体按规律2x ct =做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为1，计算该物体由0x =移至x a =时克服阻力所做的功.解 ct dtdxt v 2)(== ----------------------------------------------------------- ( 2分 ) cx t c t c k x f 444)(2222===, -------------------------------------------------- ( 2分 )⎰=acxdx W 04＝22ca . ------------------------------------------------------ ( 2分 )五．（本题10分）已知x x x f arctan 5)(-=，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐近线解 函数的定义域为.),(+∞-∞22214151)(x x x x f +-=+-='，令0)(='x f 得驻点.2±=x ----------------------------------------------------------------------------------- ( 1分 ),)1(10)(22x xx f +=''令0)(=''x f ，得可能拐点的横坐标：.0=x -------- ( 1分 ) 列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：----------------------------------------------------------------------------------------------------- ( 6分 ),1)arctan 51(lim )(lim1=-==∞+→∞+→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 11π-=-=-=∞+→∞+→x x a x f b x x ,1)arctan 51(lim )(lim2=-==∞-→∞-→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 22π=-=-=∞-→∞-→x x a x f b x x 渐近线为：.25π±=x y ---------------------------------------------------------------- ( 2分 ) 六．（共2小题，每小题7分，共计14分） 1. 试求曲线)0(2≥=-x ex y x与x 轴所夹的平面图形绕x 轴旋转所得到的伸展到无穷远处的旋转体的体积 . 解：⎰⎰∞+-∞+==02dx xe dx y V x ππ------------------------------------------------------（4分）[]x x xe x ex -+∞→∞+-+-=+-=)1(lim )1(0πππππππ=-=+-=+∞→01limxx e x ----------------------------------------------（3分）2.求微分方程x y y y 2345-=+'+''的通解.解 特征方程为：,0452=++r r 特征根：.1,421-=-=r r ----------------- ( 2分 ) 对应齐次方程的通解为：.241x xe C eC y --+=------------------------------ ( 2分 )而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为B Ax y +=*----------------- ( 1分 )代入原方程可得，.811,21=-=B A .8112*+-=∴x y -------------------- ( 1分 ) 故所要求的通解为.8112241+-+=--x e C eC y x x-------------------------------- ( 1分 )七．（本题7分）叙述罗尔)(Rolle 中值定理，并用此定理证明：方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n在),0(π内至少有一个实根，其中n a a a ,,21为常数.罗尔)(Ro lle中值定理：设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ，使得.0)(='ξf -------------------------------------------------------------- ( 3分 )令nnx a xa x a x f n sin 22sin sin )(21+++= ，-------------------------------------- ( 2分 ) 在],0[π上连续，在),0(π内可导，且nx a x a x a x f n cos 2cos cos )(21+++=' ，0)()0(==πf f ,由罗尔中值定理，),0(πξ∈∃,使得)(ξf '0cos 2cos cos 21=+++=ξξξn a a a n ，即方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n 在),0(π内至少有一个实根. ---- ( 2分 )各章所占分值如下：第 一 章 函数与极限 13 %； 第 二 章 一元函数的导数与微分 16 %； 第 三 章 微分中值定理与导数的应用 20 %； 第 四 章 不定积分 14 %； 第 五 章 定积分及其应用 30 % . 第 六 章 常微分方程 7 % .。
高等数学试卷A上2012
复旦大学数学科学学院2012～2013学年第一学期期末考试试卷A 卷数学科学学院1.设函数 )(x f y =由方程1=-+xy ey x 确定，求二阶导数)0(f '' ;2.计算⎰+++dx x x x 54642;3.计算⎰+∞+12211dx x x ;4.求x x dtxt x x sin tan )1ln(lim 00-+⎰→.二. （本题共24分，每小题6分）1.求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=2311112313522231A 的秩;2.设矩阵B ,A 满足B 3A AB +=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=120210002A ，求矩阵B ;3.设A 是一个43⨯的矩阵，2)A (rank =，方程组b A =x 有三个特解T )3(T )2(T )1(1)3,2,(1,4)3,1,(2,3)2,1,(1,-=-=-=x ,x ,x ,求方程组b A =x 的通解。
4.设=)(x f 81212sin 41111sin 21010sin 842xx xe x e x e x ，求)0(f '的值。
三. （本题8分）（1）求极限()3233231212lim++--+-++∞→x x x x x x x 。
四. （本题10分）讨论方程a xex =-的根的个数。
五. （本题10分）设有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.93,3,4321321321x bx x x bx x x x ax ，问b a ,为何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？有无穷多解时请求出其通解。
六. （本题10分）设A 是一个三阶实对称阵，其特征值为3,1,1，对应于特征值3=λ的特征向量为T)0,1,1(-。
（1） 求矩阵A ；（2） 设3R 上的线性变换A 由Ax x =)(A 所确定，求A 在基T )0,0,1(，T )0,1,1(，T )1,1,1(下的表示矩阵B ，问A 与B 是否相似，为什么？七. （本题8分）平面图形D 由曲线2,1,2y ==-=y x x 所围， 将上述图形D 绕轴1=x 旋转一周得到一个旋转体，求此旋转体的体积和表面积。
2013-2014第一学期 高等数学试卷A及答案
郑州轻工业学院2013-2014学年第一学期 高等数学A 试卷A试卷号：A20140100（1）一、单项选择题(每题3分，共15分)1．xx e 10lim →=（ D ）（A ）0 （B ）+∞ （C ）-∞ （D ）不存在 2．当0x →时，下列与x 不等价的无穷小是（ C ） （A ）tan x ； （B ）sin 1xe-；（C1； （D3．已知),)()()(()(d x c x b x a x x f ----=且))()(()(0d a c a b a x f ---='，则（ Ａ ）． （A ） a x =0；（B ） b x =0； （C ）c x =0； （D ） d x =0。
4．下列命题中，正确的是（ Ｂ ）A 若函数()y f x =在点0x 没有定义，则)(lim 0x f x x →一定不存在；B 若函数()y f x =在点0x 可导，则它在点0x 必然连续；C 即使函数()y f x =在点0x 可导，它在点0x 不一定可微；D 若)(lim 0x f x x →存在，则函数)(x f 在点0x 一定连续5．若⎰⎰'=',)()(dx x g dx x f 则必有 Ｃ 。
（A ）)()(x g x f = （B ）dx x g dx x f )()(⎰⎰=（C ）c x g x f +=)()( （D ）0)()(=-x g x f二、填空题(每题3分，共15分)1．设点(1,2)为曲线23bx ax y +=的拐点，则数组=),(b a （－１,３） ． 2．设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，则在至少存在一点(),a b ξ∈，使得()f ξ'=()()f b f a b a-- .3. 极限203050(21)(32)lim (35)x x x x →∞+-=+ 202()3.4．设,a x y x a dy =+=则 1(ln )a x ax a a dx -+5．⎰=-+dx x x x)cos 156(2565tan ln 5x x x c +-+ 三、计算题 (每题6分，共36分) 1．已知函数)1)(1()(2--=x x x f ，求函数的单调区间 解：()(1)(31)f x x x '=-+令()0f x '= 得1x =或13x =- 3分当1(,)3x ∈-∞-时 0y '> ，()y f x =单增当1(,1)3x ∈-时 0y '< ，()y f x =单减当(1,)x ∈+∞时 0y '> ，()y f x =单增 6分 2．求极限：x x x x 2)1212(lim +-∞→解：21222221212lim()lim(1)2121x x x x x x x x x +-⋅⋅-+→∞→∞--=+++ 4分 2e -= 6分3．验证e sin x y x =满足关系式''2'20y y y -+=解：'e sin e cos ,x x y x x =+， 2分 ''e sin 2e cos e sin 2e cos x x x x y x x x x =+-= 4分代入等式左边''2'22e cos 2(e sin e cos )2e sin 0xxxxy y y x x x x =-+=-++==右边。
13~14(一)高数(工)1期末考试(A)试卷解答
上海应用技术学院2013—2014学年第一学期《高等数学（工）1》期（末）试卷A一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．B ； 2．A ； 3．B ； 4．C ； 5．C ； 6．C ； 7．D ； 8．B ； 9．D ； 10．A ．二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分），请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分． 11．a be； 12．2； 13．1111(1)e e y x y x e e e++-=-=-或；14．4e-； 15．43； 16．122(1)y x -=+．三．计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）． 17．求极限111lim 1ln x x x →⎛⎫-⎪-⎝⎭． 解：1111ln 1lim lim 1ln (1)ln x x x x x x x x →→-+⎛⎫-=⎪--⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 111lim 1ln x xx x x →-=-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 2121lim 11x xx x →-=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 12=- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）18．设arctan ln(y x x =+，求221x d ydx=．解：2211111y x x ⎛⎫'=+=++．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 332222222221122121(3)(3)x xx y x x x x x --''=-=-++++（）（）．．．．．．．．．．．．．．．．（3分）158x y =''=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）19．设函数)2arcsin(2)1(x x y +=，求dxdy． 解：2ln arcsin(2)ln(1)y x x =+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）2212)arcsin(2)1xy x x y x '=+++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分）2arcsin(2)222(1))arcsin(2)1x x y x x x x ⎛⎫'=+++⎪+⎭．．．．．．．．（1分） 另解：2arcsin(2)ln(1)x x y e+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）()2arcsin(2)ln(1)2arcsin(2)ln(1)x xy e x x +''=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）2arcsin(2)222=(1))arcsin(2)1x x x x x x ⎛⎫+++⎪+⎭．．．．．．．．．．．．．．（3分）20．判定曲线2()(714)xf x e x x =-+的凹凸性与拐点．解：22()(714)(27)(57)x x x f x e x x e x e x x '=-++-=-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）22()(57)(25)(32)(2)(1)x x x x f x e x x e x e x x e x x ''=-++-=-+=--．．．．．．．（1分）令()0f x ''=，得到1,2x x ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）在(,1)-∞内，曲线2()(714)x f x e x x =-+是凹的；在(1,2)内，曲线2()(714)x f x e x x =-+是凸的；在(2,)+∞内，曲线2()(714)x f x e x x =-+是凹的；拐点2(1,8),(2,4)e e ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）21．计算不定积分()cos ln 2x x dx x+⎰．解：()()2cos ln 2cos ln ln (1)x x dx x d x x x+=++⎰⎰．．．．．．．．（4分） （注：加号前后各2分）3222sin(ln )(1)3x x C =+++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）（注：前两个一个一分，但是两个都写对了C 漏写还是要扣一分）22．计算定积分2． 解： sec x t =令，sec tan dx t tdt =，23x t π=→=，4x t π=→=．．．．．．．．（2分）22334344tan tan sec sec t t tdt dt t t ππππ==⎰⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 234sin cos t tdt ππ=⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 234sin sin td t ππ=⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） ()334sin 324t ππ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）23．计算定积分1320arctan()x x dx ⎰．解：1320arctan()x x dx ⎰1241arctan()4x dx =⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）()142142001arctan()arctan()4x x x d x =-⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 144012441x x dx x π⎛⎫=- ⎪+⎝⎭⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 14012441x x dx x π⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 112400112441xdx dx x π⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎰⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 1122001arctan()44x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1214448πππ-⎛⎫=-+=⎪⎝⎭ (注：或者11arctan124-)．．．．．．．（1分）24．求微分方程2223,xdy xy x e dx-=满足初始条件01==x y 的特解．解：（解法一）dyxy dx=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） dy xdx y = dy xdx y⇒=⎰⎰ 2l n l n 2x y C ⇒=+ 22xy C e ⇒=．．．．．．．．．．（1分） 令原方程的通解为22()x y C x e =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）则2222()()x x y C x e C x e x ''=+，代入原方程得222222222()()()3x x x x C x e C x e x xC x e x e '+-=2()3C x x '⇒=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 23()3C x x dx x C ==+⎰通解为232()x y x C e =+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）由01==x y ，则1C =-232(1)x y x e =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） （解法二）令()P x x =-，222()3x Q x x e =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）通解()()(())P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 222(3)x xdxxdxe x e e dx C -⎰⎰=+⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）2222222(3)x x x e x e edx C -=+⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）222(3)x e x dx C =+⎰232()x e x C =+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）由于01==x y ，则1C =-，所以特解为232(1)x y e x =-．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）四．应用与证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）． 25．求由曲线xy 1=，直线x y +=1,1=x 及2=x 所围图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积． 解：（1）22111(1)S x dx dx x=+-⎰⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 22211(1)5ln ln 222x x +=-=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） （2） 2222111(1)x V x dx dx x ππ=+-⎰⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 22311(1)13x x ππ+=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 278135(1)326πππ-=+-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） （注：如果公式全写错但图形画对了但可以给1分）26．设)(x f 在[0,1]上可导，且11(1)022f f ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭．又设 212()()x x F x f t dt +=⎰． （1）求()F x '；（2）证明：至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0F ξ'=；（3）证明：至少存在一点(0,1)η∈，使得()()0F F ηηη'''+=．证：（1）211()()2()22x F x f x x f +'=-；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） （2）13(1)2(1)(1)(1)22F f f f '=-=且11(0)()22F f '=-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）则()23(1)(0)(1)02F F f ''=-<，由于()F x '在[0,1]上连续，由零点存在定理，存在一点(0,1)ξ∈，使得()0F ξ'=。
高数a上册期末试题及答案
高数a上册期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20题）1. 设函数 $f(x) = \sqrt{3x-2}$，则其定义域为A. $(-\infty, \frac{2}{3}]$B. $\left[ \frac{2}{3}, \infty \right)$C. $[\frac{2}{3}, \infty)$D. $(-\infty, \frac{2}{3}) \cup [\frac{2}{3}, \infty)$答案：C2. 函数 $y = \sin^2 x + \cos^2 x$ 的值域为A. $(-\infty, 1]$B. $[0, 1]$C. $[1, \infty)$D. $[\frac{1}{2}, 1]$答案：B3. 设函数 $f(x) = e^x \ln x$，则 $f'(x) = $A. $e^x \ln x$B. $e^x \left( \frac{1}{x} + \ln x \right)$C. $e^x \left( \ln x - \frac{1}{x} \right)$D. $e^x \left( \frac{1}{x} - \ln x \right)$答案：B4. 若直线 $y = 3x + b$ 与抛物线 $y = ax^2 + bx + 1$ 相切，则 $a + b = $A. 2B. 3C. 4D. 5答案：D5. 函数 $f(x) = \frac{x-1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ 的渐近线为A. $y = x - 1$B. $y = x + 1$C. $y = -x + 1$D. $y = -x - 1$答案：A6. 函数 $f(x) = \ln(1 + e^{2x})$ 的反函数为A. $f^{-1}(x) = \ln(x) - \ln(1 - x^2)$B. $f^{-1}(x) = \ln(x^2 - 1)$C. $f^{-1}(x) = \frac{e^x - 1}{2}$D. $f^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln(x) + \ln(1 - x)$答案：D7. 设函数 $f(x) = \arcsin (\sin x)$，则当 $x = \frac{5\pi}{6}$ 时，$f(x) =$A. $\frac{5\pi}{6}$B. $\frac{\pi}{6}$C. $\frac{\pi}{3}$D. $\frac{2\pi}{3}$答案：C8. 函数 $f(x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$ 的最大值为A. 1B. $\sqrt{3}$C. 2D. $2\sqrt{3}$答案：D9. 函数 $f(x) = x^2 + 2x + 1$ 在区间 $[-1, 1]$ 上的最大值为A. 0B. 1C. 2答案：D10. 函数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ 的图像关于直线 $x = a$ 对称，则 $a = $A. 1B. 0C. -1D. 2答案：B11. 设 $\sin \alpha = \frac{1}{4}$，$\cos \beta = \frac{4}{5}$，且$\alpha$ 和 $\beta$ 都是第二象限角，则下列四个式子中成立的是A. $\sin (\alpha - \beta) = -\frac{3}{4}$B. $\sin (\alpha + \beta) = \frac{3}{8}$C. $\cos (\alpha - \beta) = \frac{1}{5}$D. $\cos (\alpha + \beta) = \frac{2}{5}$答案：C12. 如果点 $A(1, 2)$ 在抛物线 $y = -x^2 + 3x + k$ 上，那么 $k = $A. -3B. -5D. -9答案：B13. 设函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12$，则 $f'(x)$ 的零点有A. -2, 2B. -1, 3C. -4, 3D. -1, 4答案：A14. 设点 $P(x, y)$ 满足 $y^2 = px$，其中 $p > 0$ 是常数，则焦点所在的直线方程为A. $y = -\frac{p}{2}$B. $x = -\frac{p}{2}$C. $y = \frac{p}{2}$D. $x = \frac{p}{2}$答案：B15. 函数 $f(x) = x^3 - 3x + 1$ 在区间 $[0, 2\pi]$ 上的最小值为A. -1B. 0D. 2答案：A16. 设直线 $y = 2x + 1$ 与曲线 $y = x^2 + bx + c$ 相切，则 $b + c = $A. 0B. $\frac{1}{2}$C. 1D. 2答案：C17. 设函数 $f(x) = (1 - x^2) \cos x$，则 $f''(x)$ 的一个零点在A. $(0, \frac{\pi}{2})$B. $(0, \pi)$C. $(\pi, 2\pi)$D. $(\pi, 3\pi)$答案：B18. 设函数 $f(x) = \sin^2 x - \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x$，则$f(x)$ 的最大值为A. 2B. $2\sqrt{2}$C. 3D. $2 + \sqrt{3}$答案：C19. 设函数 $f(x) = e^x$，$g(x) = x^2$，则 $f(x) \cdot g(x) = $A. $e^{x^2}$B. $x^2 e^x$C. $x^2 e^{x^2}$D. $x^2 + e^x$答案：B20. 设 $a > 0$，则 $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^a}{e^x}$ 的值为A. 0B. $\frac{1}{e}$C. 1D. $+\infty$答案：A二、计算题（每题10分，共4题）1. 求函数 $f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$ 的极限 $\lim\limits_{x\to 1} f(x)$.解：使用“分子分母可约”的性质，可将函数 $f(x)$ 化简为 $f(x) = 2x - 1$，则 $\lim\limits_{x \to 1} f(x) = \lim\limits_{x \to 1} (2x - 1) = 2(1) - 1 = 1$.答案：12. 求曲线 $y = e^x$ 与直线 $y = kx$ 相交的两个点的坐标，其中 $k > 0$ 是常数.解：将曲线 $y = e^x$ 和直线 $y = kx$ 代入方程中，得到 $e^x = kx$，然后可以使用迭代法或图像法求得相交点的坐标.答案：相交点的坐标为 $(x_1, e^{x_1})$ 和 $(x_2, e^{x_2})$，其中$x_1$ 和 $x_2$ 是满足方程 $e^x = kx$ 的两个解.3. 求曲线 $y = \sin x$ 与直线 $y = x$ 相交的点的个数，并说明理由.解：将曲线 $y = \sin x$ 和直线 $y = x$ 代入方程中，得到 $\sin x = x$，然后可以通过分析函数的周期性和图像来确定相交点的个数.答案：方程 $\sin x = x$ 的解存在无穷个，但相交点的个数取决于给定的区间. 在区间 $[0, \pi]$ 上，方程有一个解；在区间 $[2\pi, 3\pi]$ 上，方程又有一个解. 因此，相交点的个数是不确定的.4. 求函数 $y = x^2 + x$ 在区间 $[-2, 2]$ 上的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值的点.解：首先求导数 $y' = 2x + 1$，然后令 $y' = 0$，解得 $x = -\frac{1}{2}$，将 $x = -2, -\frac{1}{2}, 2$ 代入函数 $y = x^2 + x$，得到对应的 $y$ 值. 最大值为 $y = y_{\text{max}}$ 对应的点为 $(-\frac{1}{2},y_{\text{max}})$，最小值为 $y = y_{\text{min}}$ 对应的点为 $(-2,y_{\text{min}})$ 和 $(2, y_{\text{min}})$.答案：最大值为 $y_{\text{max}} = \frac{5}{4}$，取得最大值的点为 $(-\frac{1}{2}, \frac{5}{4})$；最小值为 $y_{\text{min}} = -2$，取得最小值的点为 $(-2, -2)$ 和 $(2, -2)$.三、证明题（每题20分，共2题）1. 证明函数 $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x$ 的导数 $f'(x)$ 恒大于零.证明：求导数 $f'(x) = x^2 - 2x + 2$，我们可以通过判别式来判断 $f'(x)$ 的正负性.判别式为 $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$，由于 $\Delta < 0$，所以判别式小于零，即 $f'(x)$ 的二次项系数小于零，说明二次项的系数是正的，从而导数 $f'(x)$ 恒大于零.证毕.2. 证明函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ 的图像关于直线 $x = 1$ 对称.证明：要证明函数的图像关于直线 $x = 1$ 对称，需证明对于任意$x$ 值，函数 $f(x)$ 和 $f(2 - x)$ 的函数值相等.将 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ 代入 $f(2 - x)$，得到 $f(2 - x) = (2 - x)^3 -3(2 - x)^2 + 3$，对其进行展开和化简得到 $f(2 - x) = (2 - x)^3 - 3(2 -x)^2 + 3 = x^3 - 3x^2 + 3 = f(x)$，即 $f(x) = f(2 - x)$，证明了函数的图像关于直线 $x = 1$ 对称.证毕.四、应用题（每题50分，共1题）1. 求函数 $f(x) = x^3 + x^2 - 3x$ 的驻点及其对应的极值.解：求导函数 $f'(x) = 3x^2 + 2x - 3$，令 $f'(x) = 0$，求得驻点的 $x$ 坐标，然后将其代入原函数求得对应的 $y$ 坐标.求导的一阶导数方程为 $f'(x) = 3x^2 + 2x - 3 = 0$，通过求根公式求得 $x = -1$ 和 $x = \frac{1}{3}$，将其代入原函数 $f(x)$ 得到对应的$y$ 坐标.将 $x = -1$ 代入 $f(x)$，得到 $f(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - 3(-1) = -1 + 1+ 3 = 3$，将 $x = \frac{1}{3}$ 代入 $f(x)$，得到 $f(\frac{1}{3}) =(\frac{1}{3})^3 + (\frac{1}{3})^2 - 3(\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} +\frac{1}{9} - 1 = 0$.因此，函数 $f(x) = x^3 + x^2 - 3x$ 的驻点及其对应的极值为 $(-1, 3)$ 和 $(\frac{1}{3}, 0)$.答案：驻点为 $(-1, 3)$ 和 $(\frac{1}{3}, 0)$，分别对应极大值和极小值.。
高等数学试卷A上2014
复旦大学数学科学学院2014～2015学年第一学期期末考试试卷 A 卷数学科学学院 1．（本题满分48分，每小题6分）计算下列各题： （1）求函数⎩⎨⎧-=+=t t y t x arctan ),1ln(2的导数dx dy ；（2）求极限⎪⎭⎫⎝⎛-+→x x x 1cot lim 00；（ 装订线内不要答题）（3）求函数⎰--=xdt t t x f 02)2)(1()(的单调区间和极值；（4）求曲线x x y ln 2=的凸性与拐点；（5）求不定积分⎰xdx 3sin ；（6）计算定积分⎰+102)1ln(dx x ；（7）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=523012101A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011201B ，求解矩阵方程B AX =；（8）已知0321=++a a a ，问线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-313232121,,a x x a x x a x x 是否一定有解？请说明理由。
（ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）2．（本题满分8分） 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-+≥+=0,1cos sin ,0,)(x x x x x b ax x f 在0=x 点可导，求常数a 、b 的值。
3．（本题满分8分）设函数f 在0=x 点附近有定义，且满足0)(2sin lim30=+→x x xf x x 。
（1）求20)(2lim xx f x +→；（2）若f 在0=x 点二阶可导，问0=x 是否为函数f 的极值点？若是，指出它是极小值点还是极大值点。
4．（本题满分10分）已知抛物线的一段L ：12+-=x y （10≤≤x ）。
（1）设),(00y x 为L 上一点，求L 在这点的切线、L 和两个坐标轴所围成的图形的面积；（2）确定),(00y x ，使得（1）中图形的面积最小。
5．（本题满分8分）证明：当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π,0x 时成立 x x x >+sin 32tan 31。
（ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）6．（本题满分8分）已知定义在),1(∞+-上的连续函数f 满足20)1(2e 1)()(x x dt t f x f x x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰， 求)(x f 的表达式。
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复旦大学数学科学学院
2013～2014学年第一学期期末考试试卷
A 卷
数学科学学院
1．（本题满分48分，每小题6分）计算下列各题：
（1）设)cos(ln x y =，求y ''；
（2）求极限30sin lim x
x x x -→；
（
装 订 线 内 不 要 答 题 ）
（3）求函数x
x x f 2ln )(=的单调区间和极值；
（4）求曲线)1ln(2++=x x y 的拐点；
（5）求不定积分⎰dx x x )e 2cos(e ；
（6）计算反常积分⎰∞+-0sin e xdx x ；
（7）问矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=321021001A 是否可逆？若可逆，求其逆矩阵；
（8）问当a ，b 取何值时，齐次线性方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=++=++=++02,0,0z by x z by x z y ax 只有零解？
2．（本题满分8分）设⎩⎨⎧∈∈=].2,1[,2),1,0[,)(2x x x x x f 求⎰=x
dt t f x F 0)()(在]2,0[上的表达式，并讨论)(x F 在1=x 点的可导性。
3．（本题满分8分）已知抛物线L ：342-+-=x x y 。
（1）求L 分别在点)3,0(-和)0,3(处的切线的方程；
（2）求（1）中的两条切线与L 所围图形的面积。
4．（本题满分8分）讨论方程a x x =ln 有几个实根。
5．（本题满分8分）设)(x f 在),(∞+-∞上连续，且满足方程
)2(e )()(20x x dt t f t x x x -=-⎰。
（1）求)(x f 的表达式；（2）求)(x f 的极值。