5.3_平行线的性质课件1
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平行线的性质ppt课件

(3) 移: 以关键点为起点作与移动方向平行且与移动距离相
等的线段,得到关键点的对应点;
(4) 连: 按原图顺次连结对应点 .
知4-讲
特别警示
确定一个图形平行移动后的位置需要三个条件:
(1)图形原来的位置;
(2)平行移动的方向;
(3)平行移动的距离.
这三个条件缺一不可.
知4-练
例4 如图 4.2-33,现要把方格纸(每个小正方形的边长均为
知1-讲
特别警示
1. 两条直线平行是前提,只有在这个前提下才
有同位角相等.
2. 按格式进行书写时,顺序不能颠倒,与判定
不能混淆.
知1-讲
3. 平行线的性质与平行线的判定的区别
(1) 平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线的位
置关系,而平行线的性质是根据两条直线的位置关系得
到两角的数量关系;
又∵ EG 平分∠ BEF,∴∠ BEG=
∠
BEF=70° .
∵ AB ∥ CD, ∴∠ 2= ∠ BEG=70° .
答案:A
知2-练
2-1. [中 考·烟 台]一杆 古 秤 在 称 物 时 的状 态 如 图
所 示,已 知∠ 1=102°,则 ∠ 2 的度数为
78°
______.
感悟新知
知识点 3 平行线的性质3
若是,可直接求出;若不是,还需要
通过中间角进行转化 .
知1-练
1-1. [中考·台州]用一张等宽的纸条折成如图所示的图
140° .
案,若∠ 1=20 ° ,则 ∠ 2的度数为_______
感悟新知
知识点 2 平行线的性质2
知2-讲
1. 性质 2 两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等 .
等的线段,得到关键点的对应点;
(4) 连: 按原图顺次连结对应点 .
知4-讲
特别警示
确定一个图形平行移动后的位置需要三个条件:
(1)图形原来的位置;
(2)平行移动的方向;
(3)平行移动的距离.
这三个条件缺一不可.
知4-练
例4 如图 4.2-33,现要把方格纸(每个小正方形的边长均为
知1-讲
特别警示
1. 两条直线平行是前提,只有在这个前提下才
有同位角相等.
2. 按格式进行书写时,顺序不能颠倒,与判定
不能混淆.
知1-讲
3. 平行线的性质与平行线的判定的区别
(1) 平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线的位
置关系,而平行线的性质是根据两条直线的位置关系得
到两角的数量关系;
又∵ EG 平分∠ BEF,∴∠ BEG=
∠
BEF=70° .
∵ AB ∥ CD, ∴∠ 2= ∠ BEG=70° .
答案:A
知2-练
2-1. [中 考·烟 台]一杆 古 秤 在 称 物 时 的状 态 如 图
所 示,已 知∠ 1=102°,则 ∠ 2 的度数为
78°
______.
感悟新知
知识点 3 平行线的性质3
若是,可直接求出;若不是,还需要
通过中间角进行转化 .
知1-练
1-1. [中考·台州]用一张等宽的纸条折成如图所示的图
140° .
案,若∠ 1=20 ° ,则 ∠ 2的度数为_______
感悟新知
知识点 2 平行线的性质2
知2-讲
1. 性质 2 两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等 .
平行线的性质课件

利用平行线性质解决几何最值问题
平行线定义:在同一平面内,永不 相交的两条直线
几何最值问题:求线段、角度、面 积等几何量的最大值或最小值
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
平行线性质:平行线之间的线段相 等
利用平行线性质解决几何最值问题 的方法:通过平行线之间的线段相 等,找到几何量的最大值或最小值
平行线的性质在解析几 何中的应用
面的交点
平行线与平面 的夹角:平行 线与平面的夹 角为直线与平
面的夹角
平行线与平面的 平行性:平行线 与平面的平行性 为直线与平面的
平行性
总结与思考
总结平行线的性质及其应用
平行线的定义: 在同一平面内, 永不相交的两
条直线
平行线的性质: 平行线之间的 角度相等,平 行线之间的线
段相等
平行线的应用: 在几何证明、 工程测量、建 筑设计等领域
利用平行线性质解决函数问题
平行线与函数的 关系:平行线是 函数的基本性质 之一,可以应用 于求解函数问题
平行线性质的应 用:利用平行线 性质可以求解函 数的最大值、最 小值、极值等问
题
平行线性质的证 明:利用平行线 性质可以 在更高级的数学 领域中也有广泛 的应用,如微积 分、线性代数等
平行线的性质在代数中 的应用
利用平行线性质解决线性方程组问题
平行线性质:两条直线平行,同位角相等
线性方程组:一组线性方程组成的方程组
利用平行线性质解线性方程组:通过观察方程组中的同位角,找出方程组中的平行线, 从而解出方程组
应用实例:求解线性方程组,如3x+2y=5,4x+3y=6,通过观察方程组中的同位角, 找出方程组中的平行线,从而解出方程组
平行线的性质 优秀课件ppt

素材:探索平行线的性质(播放状态下,点击画面操作)
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当堂练习
1.如图,已知平行线AB、CD被直线AE所截
(1)从 ∠1=110o可以知道∠2 是多少度吗,为什么?
(2)从∠1=110o可以知道 ∠3是多少度吗,为什么?
(3)从 ∠1=110o可以知道∠4 是多少度吗,为什么?
又∵∠A=100°,∠C=110°(已知),
∴∠ 1 = 80 °, ∠ 2 = 70 °.
∴∠AEC=∠1+∠2= 80 °+ 70 ° = 150 °.
4.已知AB⊥BF,CD⊥BF,∠1= ∠2,试说明∠3=∠E.
65
度数
78
c
观察 ∠1~ ∠8中,哪些是同位角?它们的度数 之间有什么关系?说出你的猜想:
a
21
34
b
65
78
c
猜想 两条平行线被第三条直线所截,同位角_相_等_.
再任意画一条截线d,同样度量各个角的度 数,你的猜想还成立吗?
d
a
b
如果两直线不平行,上述结论还成立吗?
总结归纳
一般地,平行线具有如下性质:
当堂练习
1.填空:如图,
(1)∠1=∠2 时,AB∥CD. (2)∠3= ∠5或∠4时,AD∥BC.
A 1 B
D
5 2
3 C
4 F
E
2.直线a,b与直线c相交,给出下列条件:
①∠1= ∠2;
②∠3= ∠6;
③∠4+∠7=180o; ④∠3+ ∠5=180°, c
其中能判断a//b的是( B )
A. ①②③④ B .①③④
3.如图,直线 a ∥ b,直线b垂直于直线c,那么直线a
人教版七年级数学下册《平行线的性质》公开课PPT

判断下列说法是否正确 1.两直线被第三条直线所截,同位角相等。 2.两直线平行,同旁内角相等。 3.“内错角相等,两直线平行”是平行线的性质。 4.“两直线平行,同旁内角互补”是平行线的性质。
A1
D
B
C
1、如果AD//BC,根据___________
可得∠B= _______
2、如果AD//BC,根据___________
为∠1=85º
1
如图,梯子的各条横档互相 平行,∠1=1000,求∠2的度 数。
A
2 B
C
1D
如图,在汶川大地震当 中,一辆抗震救灾汽车 经过一条公路两次拐弯 后,和原来的方向相同, 也就是拐弯前后的两条 路互相平行.第一次拐的 角∠B等于1420,第二次 拐的角∠C是多少度?为 什么?
1420
AB
C
D
?
如图,是举世闻名的三星堆考古中发掘出 的一个梯形残缺玉片,工作人员从玉片上已经 量得∠A=115°,∠D=100°。已知梯形的两底 AD//BC,请你求出另外两个角的度数。
A
D
115° 110°
B
C
已知:直线a∥b, ∠1=115°. 则: ∠2=___,理由:________.
若∠3= 115°,则:直线c与d有
把下列句子颠倒一下前后顺序,能得到 怎样的一句话?这句话正确吗?
1.对顶角相等;
2.如果两个数的和为0,那么这两个数互 为相反数; 3.我爱我的学生;
• 同位角相等,两直线平行 • 内错角相等,两直线平行 • 同旁内角互补,两直线平行
两直线平行,同位角相等 两直线平行,内错角相等 两直线平行,同旁内角互补
何位置关系?并说明理由.
c
《平行线的性质》课件(共33张PPT)000

如图,是举世闻名的三星堆考古中发掘出 的一个梯形残缺玉片,工作人员从玉片上已经 量得∠A=115°,∠D=110°。已知梯形的两底 AD//BC,请你求出另外两个角的度数。
A
D
115° 110°
B
C
苹果
草莓
梨子
桃子
香蕉
桔子
西瓜
桃子题:
如图,梯子的各条横档互相平行, ∠1=1000,求∠2的度数。
解:∠1=∠3; ∠2 =∠4 理由如下:
∵AB∥DE (已知) A
DC
F
∴∠1=∠3(两直线平行, 同位角相等) ∵ ∠1=∠2 ,∠3=∠4
1
23
4
B
E
∴ ∠2=∠4 (等量代换)
(2 )反射光线BC与EF也平行吗?
平行:∵ ∠2=∠4 ∴ BC∥EF(同位角相等,两直
线平行)
比一比 、乐一乐:(分组比赛)
4
31
56
8
7
∠1=∠5
a b
探索新知
①已知直线a,画直线b,使b∥a,c
②任画截线c,使它与a、
11718°25°8°b
b都相交,则图中∠1与 ∠2是什么角?它们的 大小有什么关系?
21185728°° a
③旋转截线c,同位角
∠1与∠2的大小关系又
如何? ∠1=∠2
通过上面的实验测量,可以得到性质1(公理):
3 2
目前,它与 地面所成的 较小的角
为∠1=85º
1
苹果
草莓
梨子
桃子
香蕉
桔子
西瓜
杨梅
草莓题:
1 A
D
B
C
1、如果AD//BC,根据___________ 可得∠B= _______
平行线的性质优质数学课件

a
1
b
2
c
问题2:(3)你能结合图形,用文字语言表达 你得到的结论吗?
(4)你能用符号语言表达平行线的性 质1吗?
问题3(1)如图,两条平行线a 、b被第三条直线c
所截形成了八个角。你能否看出来这八个角还会 有什么样的数量关系呢?
(2)怎样验证你的想法呢?
为了简约化原则,两条平行线被第三条直线 所截形成的八个角,我们只需要研究同位角、 内错角、和同旁内角的数量关系即可。
小结
问题4 (1)平行线的性质是什么?平行线的判定与性质的区别与联
系是什么? (2)你能用自己的语言叙述研究平行线性质的过程吗?
(3)本节课通过简单推理得到性质2和性质3,在推理 过程中需要注意哪些问题?
小结
问题4 (4)本节课常见基本图形在现实生活中的体现:
字母F型
字母U型
字母Z型
金字塔型
作业: 1. 基础知识强化:教科书习题5.3第2,4,6题 2.更进一步:练习册第11页—13页 5.3.1
人民教育出版社 数学 七年级下
5.3.1 平行线的性质
问题1:我们班级的数学爱好者小民同学设计了一系列的数学 魔术,其中有一个魔术是这样的: 他在纸上任意画了一个∠A, 准备用量角器测量它的度数时,将纸片撕破,只剩下如图的 一部分,小民同学仍然能够迅速得到∠A的度数。同学们想想 他是怎么做到的?
D
F
C
E
A
a
1
b
2
c
问题2 如图,两条平行线a 、b被第三条直线c所
截, 猜想∠1=∠2。 (1)怎样验证你的猜想呢?请同学们自己在
笔记本上画出图形并研究。
a
1
b
2
《平行线的性质》课件PPT1

系吗?说说你的看法.
解:过点E作EF//AB. ∴∠B=∠BEF. ∵AB//CD.∴EF//CD.
A
B
E
F
∴∠D =∠DEF.
C
D
∴∠B+∠D=∠BEF+∠DEF=∠DEB.
即∠B+∠D=∠DEB.
巩固新知
如图,AB//CD,探索∠B、∠D与∠DEB的大小关系.
解:过点E作EF//AB.
∴∠B+∠BEF=180°.
当有两个拐点时: ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠C = 540° 当有三个拐点时: ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠ E3 +∠C = 720°
若有n个拐点,你能找到规律吗
?
A
B
E1
E2 …
En
C
D
当有n个拐点时: ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +…+∠ En +∠C = 180°(n+1)
理由如下:
B
A
∵∠ECD=∠E, ∴CD∥EF( 内错角相等,两直线平行 又AB∥EF,
D
C
)E
F
∴CD∥AB(平行于同一直线的两条直线互相__平__行_ ).
∴∠A=∠ECD( 两直线平行,同位角相等 __ ).
合作探究
新知二 添加辅助线的证明题
如图,若AB//CD,你能确定∠B、∠D与∠BED 的大小关
【讨论2】如图,若AB∥CD, 则:
A
B
Aபைடு நூலகம்
BA
E
F
E
F1
C
DC
DC
B E1
E2 D
5.3平行线的性质课件(共19张PPT)

(1)请你谈谈本节课的收获和感受。 (2)说说平行线的“判定”与“性质”有什么不同?
已知
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
判定 性质
得到
两直线平行
得到
已知
类比 由角的大小关系转化为直线的位置关系
直线平行的 条件
平行线的 性质
由直线的位置关系转化为角的大小关系
❖1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 ❖2、科学的灵感,决不是坐等可以等来的。如果说,科学上的发现有什么偶然的机遇的话,那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人,给那些善于 独立思考的人,给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 ❖3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 ❖4、享受阅读快乐,提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
一、快速抢答
1、如图,已知平行线AB、CD被直线AE所截 (1)从 ∠1=110o可以知道∠2 是多少度?为什么? (2)从∠1=110o可以知道 ∠3是多少度?为什么? (3)从 ∠1=110 o可以知道∠4 是多少度 43
E ∠∵位同∵∠∵内3两两角旁=2两∠错直=1直相内4直11角线=线01等角线7o0相平平0o互行o等行行补,,,同
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等)
猜想:两直线平行,内错角、同旁 内角有怎么关系呢?相互讨论一下.
得出结论
a
1
平行线的性质: b
34 2
两直线平行,内错角相等. 两直线平行,同旁内角互补.
已知
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
判定 性质
得到
两直线平行
得到
已知
类比 由角的大小关系转化为直线的位置关系
直线平行的 条件
平行线的 性质
由直线的位置关系转化为角的大小关系
❖1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 ❖2、科学的灵感,决不是坐等可以等来的。如果说,科学上的发现有什么偶然的机遇的话,那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人,给那些善于 独立思考的人,给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 ❖3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 ❖4、享受阅读快乐,提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
一、快速抢答
1、如图,已知平行线AB、CD被直线AE所截 (1)从 ∠1=110o可以知道∠2 是多少度?为什么? (2)从∠1=110o可以知道 ∠3是多少度?为什么? (3)从 ∠1=110 o可以知道∠4 是多少度 43
E ∠∵位同∵∠∵内3两两角旁=2两∠错直=1直相内4直11角线=线01等角线7o0相平平0o互行o等行行补,,,同
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等)
猜想:两直线平行,内错角、同旁 内角有怎么关系呢?相互讨论一下.
得出结论
a
1
平行线的性质: b
34 2
两直线平行,内错角相等. 两直线平行,同旁内角互补.
平行线的性质课件

符号语言:
∵a∥b,
∴∠2=∠3.
1 a
3
b
2
c
合作交流三
如图,已知a//b,那么2与4有什么关系呢?为什 么?
1 a
4
b
2
c
解: ∵a//b (已知),
∴ 1= 2(两直线平行, 同位角相等).
∵ 1+ 4=180° (邻补角定义),
∴ 2+ 4=180° (等量代换).
性质发现
结论
平行线的性质3
解: ∵AB∥CD (已知), ∴∠B=∠C (两直线平行, 内错角相等).
又∵∠B=142° (已知), ∴∠B=∠C=142°
1420
A
B
(等量代换).
C
D
?
挑战无处不在
小明在纸上画了一个角∠A,准备用量角器测量它的度数时,因不小心将纸片撕破,只剩下如图的一部分,如 果不能延长DC、FE的话,你能帮他设计出多少种方法可以测出∠A的度数?
如:相等的角是对顶角。
2、如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题。
如:画线段AB=CD。
命题是由题设(或条件)和结论两部分组成。题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项。
两直线平行, 同位角相等。
题设(条件)
结论
命题一般都写成“如果…,那么…”的形式。
“如果”后接的部分是题设,“那么”后接的部分是结论。 如命题:熊猫没有翅膀。改写为:
否
是
假命题
否
是
真命题
是
真命题
是
假命题
否 否
1、数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真 命题叫做公理。
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2 1
c
3
a b
4
变式1:已知条件不变,求∠3,∠4的度数?
变式2:已知∠3 =∠4,∠1=47°,求∠2的度数?
解:∵ ∠3 =∠4( ∴ a∥ b (
) )
d
c
2 1
a
b )
4
3
又∵∠ 1 = 470 (
∴∠ 2= 470 (
)
如图在四边形ABCD中,已知AB∥CD, ∠B = 600. ①求∠C的度数; ②由已知条件能否求得∠A的度数?
推导 利用性质1来说明性质2和性质3
已知: a ∥ b ,
请说明∠2=∠3.
பைடு நூலகம்
a 3 b 2
1 4
∵ a ∥ b (已知) ∴∠1=∠2( 两直线平行,同位角相等 ) ∵ ∠1=∠3(对顶角相等) ∴∠2=∠3 (等量代换)
书写方法
a 3
b 如图, (1)∵ a ∥ b (已知) =∠2 ( 两直线平行,同位角相等) ∴ ∠1__ 2 1
2、已知
∠ADE=60 ° ∠B=60 °∠AED=40°
证:(1)DE∥BC (2) ∠C的度数
A
(1)∵∠ADE=60 ° ∠B=60 ° (已知) ∴∠ADE=∠B (等量代换)
E
D
∴DE∥BC
C
(同位角相等,两直线平行)
B
(2)∵ DE∥BC
(已证)
∴∠AED=∠C (两直线平行,同位角相等)
解: ① ∵ AB∥CD(已知), ∴ ∠B + ∠C= 1800(两直线平行,同旁内角互补). 又∵ ∠B = 600 (已知), A 0 ∴∠C = 120 (等式的性质). ②根据题目的已知条件, 无法求出∠A的度数.
D
B
C
如图,在汶川大地震当中,一辆抗震救灾汽 车经过一条公路两次拐弯后,和原来的方向相 同,也就是拐弯前后的两条路互相平行 .第一次 拐的角∠ B 等于 142 0 ,第二次拐的角∠ C是多少 度?为什么? C D 解: ∵AB∥CD (已知),
b
两条平行线被第三条直线所截, c 同位角相等.
简写为: 两直线平行,同位角相等. 符号语言: ∵a∥b,
∴∠1=∠2.
合作交流二
如图:已知a//b,那么2与3相等吗? 为什么?
解∵a∥b(已知), ∴∠1=∠2(两直线平行, a
3
2 1
同位角相等). b
又∵ ∠1=∠3(对顶角相等),
∴ ∠2=∠3(等量代换).
请你动动手
方 法 二 : 裁 剪 叠 合 法
c
a∥ b
1
4 2 3
∠1=∠5
a
1
6
5
8
b
7
得出结论 平行线性质1:
两条平行线被第三条直线 所截,同位角相等.
a 3
b 2 1
4
简单地说:两直线平行,同位角相等. 几何语言表述:
∵a∥b(已知) ∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等)
猜想并讨论
a
1
性质发现
a
1
结论
平行线的性质3
b
4 2
两条平行线被第三条直线所截, c 同旁内角互补.
简写为: 两直线平行,同旁内角互补. 符号语言: ∵a∥b,
∴ 2+ 4=180°.
师生互动,典例示范
例 如图,已知直线a∥b, ∠1 = 500, 求∠2的度数.
解:∵ a∥b(已知), ∴∠ 1= ∠ 2 (两直线平行,内错角相等). 又∵∠ 1 = 500 (已知), ∴∠ 2= 500 (等量代换).
c
a
2 3 1
b
平行线的性质3 两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。 简单说成:两直线平行,同旁内角互补。
结论
平行线的性质:
性质1:两直线平行,同位角相等. 平行线的性质 1(公理) 两条平行线被第三条直线所截, 性质2:两直线平行,内错角相等. 同位角相等。 简单说成:两直线平行,同位角相 性质3:两直线平行,同旁内角互补. 等。
又∵∠AED=40° (已知)
∴∠C=40 ° (等量代换)
一、快速抢答
1、如图,已知平行线AB、CD被直线AE所截 (1)从 ∠1=110o可以知道∠2 是多少度?为什么? (2)从∠1=110o可以知道 ∠3是多少度?为什么? o (3)从 ∠1=110 可以知道∠4 是多少度?为什么?
A
1 4
像这样的一些命题,叫做假命题. 定理:经过推理证实而得到的真命题.
判断下列命题是真命题还是假命题,如果是假命 题,举出一个反例. 真命题 (1)邻补角 是互补的角; 假命题 (2)互补的角是邻补角 ; (3)两个锐角的和是锐角; 假命题 (4)不等式的两边同乘以同一个负数,不等号的 方向不变。 假命题 反例:在符合题设的情况下,不满足结论的例子, 也就是反驳命题成立的例子.
解决问题:
例 如图所示是一块梯形铁片的残余部 分,量得∠A=100º , ∠B=115°,梯形 另外两个角各是多少度?
比一比
平行线的“判定”与“性质”有什么不同
已知角之间的关系(相等或互补),得到两直线平行 的结论是平行线的判定。 已知两直线平行,得到角之间的关系(相等或互补) 的结论是平行线的性质。
下列四个语句有什么共同点? (1)如果两条直线都与第三条直线平行,那么 这两条直线也互相平行; (2)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角 互补; (3)对顶角相等; (4)等式两边加同一个数,结果仍是等式. 这些语句都是对某一件事情作出“是”或“不 是”的判断. 命题的定义:判断一件事情的语句,叫做命题.
c
4
(2)∵ a ∥ b (已知) ∴ ∠2____ = ∠3 ( 两直线平行,内错角相等 ) (3)∵ a ∥ b (已知) ∴ ∠2+∠4=____ ( 两直线平行,同旁内角互补) 180 °
思考
回答
如图,已知:a// b 那么3与2有什么关系?
1 a b
例如:如右图因为 a∥b, 所以 ∠1= ∠2( 两直线平行,同位角相等 ) 又 ∠3 = ∠1 (对顶角相等), 所以∠ 2 = ∠3.
1、如图,直线a∥b, ∠1=54°,∠2, ∠3, ∠4各是多少度? 解:
∵ ∠2=∠1 (对顶角相等) ∴ ∠2=∠1 =54° ∵ a∥b(已知) ∴ ∠4=∠1=54°(两直线平行,同位角相等)
3 2 4
b a
1
∠2+∠3=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∴ ∠3= 180°- ∠2= 180° - 54°=126° 即 ∠2=54° ,∠3=126°, ∠4=54°。
2
C
3
E
∠4=70 ∵两直线行, ∵两直线平行 , ∵两直线平行, 内错角相等 同位角相等 同旁内角互补
o o ∠ 2=110 ∠ 3=110 o
B
D
一、快速抢答 2、如图,一条公路两次拐弯前后两条路 互相平行。第一次拐的角∠B是142゜,
第二次 拐的角∠C是多少度?为什么?
C B
∠C=142
o
∵两直线平行,内错角相等
下列语句是命题吗? (1)画线段AB=CD. (2)你多大了? (3)请你吃饭。 以上语句没有判断成分,不是命题.
命题的组成 : 命题由题设和结论两部分组成. 题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.
命题通常写成“如果……,那么……”的形式, “如果”后接的部分是题设,“那么”后接的 部分是结论. 例如: 如果两条直线都与第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行; 题设:两条直线都与第三条直线平行,
两直线平行,同位角相等.
b 几何语言表述:
3
2
4
∵a∥b(已知) ∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等) 猜想:两直线平行,内错角、同旁 内角有怎么关系呢?相互讨论一下.
得出结论
a
1
平行线的性质:
3
b 2
4
性质1:两直线平行,同位角相等.
性质2:两直线平行,内错角相等.
性质3:两直线平行,同旁内角互补.
指出下列命题的题设和结论: (1)如果AB⊥CD,垂足是O,那么∠AOC=90°。 (2)两直线平行, 同位角相等 . (3)如果两个角互补,那么它们是邻补角 . (4)如果一个数能被2整除,那么它也能被4整除.
解:(1) 题设是“AB⊥CD,垂足是O”,结 论是“∠AOC=90°”.
(2) 题设是“两直线平行”,结论是“同 位角相等 ”. (3) 题设是“两个角互补”,结论是“它 们是邻补角 ”. (4) 题设是“一个数能被2整除”,结论是 “它也能被4整除”.
(2)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补; (4)等式两边加同一个数,结果仍是等式.
解:(2)改写:如果两条平行线被第三条直 线所截,那么同旁内角互补. 题设是“两条平行线被第三条直线所截”, 结论是“同旁内角互补”. (4)改写:如果在等式两边加同一个数,那么结 果仍是等式. 题设是“在等式两边加同一个数”,结论是 “结果仍是等式”.
(1)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条 直线也互相平行; (2)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补; (3)对顶角相等; (4)等式两边加同一个数,结果仍是等式. 上述四个命题都是正确的,就是说,如果题设成立, 那么结论一定成立。
像这样的一些命题,叫做真命题.
(3)如果两个角互补,那么它们是邻补角 . (4)如果一个数能被2整除,那么它也能被4整除. 上述两个命题中题设成立时,不能保证结论一定成 立,它们都是错误的命题。
2 4 180 (2与4互补)
已知 a//b
结果
1 2
理由 两直线平行 同位角相等
b
a
c
3
a b
4
变式1:已知条件不变,求∠3,∠4的度数?
变式2:已知∠3 =∠4,∠1=47°,求∠2的度数?
解:∵ ∠3 =∠4( ∴ a∥ b (
) )
d
c
2 1
a
b )
4
3
又∵∠ 1 = 470 (
∴∠ 2= 470 (
)
如图在四边形ABCD中,已知AB∥CD, ∠B = 600. ①求∠C的度数; ②由已知条件能否求得∠A的度数?
推导 利用性质1来说明性质2和性质3
已知: a ∥ b ,
请说明∠2=∠3.
பைடு நூலகம்
a 3 b 2
1 4
∵ a ∥ b (已知) ∴∠1=∠2( 两直线平行,同位角相等 ) ∵ ∠1=∠3(对顶角相等) ∴∠2=∠3 (等量代换)
书写方法
a 3
b 如图, (1)∵ a ∥ b (已知) =∠2 ( 两直线平行,同位角相等) ∴ ∠1__ 2 1
2、已知
∠ADE=60 ° ∠B=60 °∠AED=40°
证:(1)DE∥BC (2) ∠C的度数
A
(1)∵∠ADE=60 ° ∠B=60 ° (已知) ∴∠ADE=∠B (等量代换)
E
D
∴DE∥BC
C
(同位角相等,两直线平行)
B
(2)∵ DE∥BC
(已证)
∴∠AED=∠C (两直线平行,同位角相等)
解: ① ∵ AB∥CD(已知), ∴ ∠B + ∠C= 1800(两直线平行,同旁内角互补). 又∵ ∠B = 600 (已知), A 0 ∴∠C = 120 (等式的性质). ②根据题目的已知条件, 无法求出∠A的度数.
D
B
C
如图,在汶川大地震当中,一辆抗震救灾汽 车经过一条公路两次拐弯后,和原来的方向相 同,也就是拐弯前后的两条路互相平行 .第一次 拐的角∠ B 等于 142 0 ,第二次拐的角∠ C是多少 度?为什么? C D 解: ∵AB∥CD (已知),
b
两条平行线被第三条直线所截, c 同位角相等.
简写为: 两直线平行,同位角相等. 符号语言: ∵a∥b,
∴∠1=∠2.
合作交流二
如图:已知a//b,那么2与3相等吗? 为什么?
解∵a∥b(已知), ∴∠1=∠2(两直线平行, a
3
2 1
同位角相等). b
又∵ ∠1=∠3(对顶角相等),
∴ ∠2=∠3(等量代换).
请你动动手
方 法 二 : 裁 剪 叠 合 法
c
a∥ b
1
4 2 3
∠1=∠5
a
1
6
5
8
b
7
得出结论 平行线性质1:
两条平行线被第三条直线 所截,同位角相等.
a 3
b 2 1
4
简单地说:两直线平行,同位角相等. 几何语言表述:
∵a∥b(已知) ∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等)
猜想并讨论
a
1
性质发现
a
1
结论
平行线的性质3
b
4 2
两条平行线被第三条直线所截, c 同旁内角互补.
简写为: 两直线平行,同旁内角互补. 符号语言: ∵a∥b,
∴ 2+ 4=180°.
师生互动,典例示范
例 如图,已知直线a∥b, ∠1 = 500, 求∠2的度数.
解:∵ a∥b(已知), ∴∠ 1= ∠ 2 (两直线平行,内错角相等). 又∵∠ 1 = 500 (已知), ∴∠ 2= 500 (等量代换).
c
a
2 3 1
b
平行线的性质3 两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。 简单说成:两直线平行,同旁内角互补。
结论
平行线的性质:
性质1:两直线平行,同位角相等. 平行线的性质 1(公理) 两条平行线被第三条直线所截, 性质2:两直线平行,内错角相等. 同位角相等。 简单说成:两直线平行,同位角相 性质3:两直线平行,同旁内角互补. 等。
又∵∠AED=40° (已知)
∴∠C=40 ° (等量代换)
一、快速抢答
1、如图,已知平行线AB、CD被直线AE所截 (1)从 ∠1=110o可以知道∠2 是多少度?为什么? (2)从∠1=110o可以知道 ∠3是多少度?为什么? o (3)从 ∠1=110 可以知道∠4 是多少度?为什么?
A
1 4
像这样的一些命题,叫做假命题. 定理:经过推理证实而得到的真命题.
判断下列命题是真命题还是假命题,如果是假命 题,举出一个反例. 真命题 (1)邻补角 是互补的角; 假命题 (2)互补的角是邻补角 ; (3)两个锐角的和是锐角; 假命题 (4)不等式的两边同乘以同一个负数,不等号的 方向不变。 假命题 反例:在符合题设的情况下,不满足结论的例子, 也就是反驳命题成立的例子.
解决问题:
例 如图所示是一块梯形铁片的残余部 分,量得∠A=100º , ∠B=115°,梯形 另外两个角各是多少度?
比一比
平行线的“判定”与“性质”有什么不同
已知角之间的关系(相等或互补),得到两直线平行 的结论是平行线的判定。 已知两直线平行,得到角之间的关系(相等或互补) 的结论是平行线的性质。
下列四个语句有什么共同点? (1)如果两条直线都与第三条直线平行,那么 这两条直线也互相平行; (2)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角 互补; (3)对顶角相等; (4)等式两边加同一个数,结果仍是等式. 这些语句都是对某一件事情作出“是”或“不 是”的判断. 命题的定义:判断一件事情的语句,叫做命题.
c
4
(2)∵ a ∥ b (已知) ∴ ∠2____ = ∠3 ( 两直线平行,内错角相等 ) (3)∵ a ∥ b (已知) ∴ ∠2+∠4=____ ( 两直线平行,同旁内角互补) 180 °
思考
回答
如图,已知:a// b 那么3与2有什么关系?
1 a b
例如:如右图因为 a∥b, 所以 ∠1= ∠2( 两直线平行,同位角相等 ) 又 ∠3 = ∠1 (对顶角相等), 所以∠ 2 = ∠3.
1、如图,直线a∥b, ∠1=54°,∠2, ∠3, ∠4各是多少度? 解:
∵ ∠2=∠1 (对顶角相等) ∴ ∠2=∠1 =54° ∵ a∥b(已知) ∴ ∠4=∠1=54°(两直线平行,同位角相等)
3 2 4
b a
1
∠2+∠3=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∴ ∠3= 180°- ∠2= 180° - 54°=126° 即 ∠2=54° ,∠3=126°, ∠4=54°。
2
C
3
E
∠4=70 ∵两直线行, ∵两直线平行 , ∵两直线平行, 内错角相等 同位角相等 同旁内角互补
o o ∠ 2=110 ∠ 3=110 o
B
D
一、快速抢答 2、如图,一条公路两次拐弯前后两条路 互相平行。第一次拐的角∠B是142゜,
第二次 拐的角∠C是多少度?为什么?
C B
∠C=142
o
∵两直线平行,内错角相等
下列语句是命题吗? (1)画线段AB=CD. (2)你多大了? (3)请你吃饭。 以上语句没有判断成分,不是命题.
命题的组成 : 命题由题设和结论两部分组成. 题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.
命题通常写成“如果……,那么……”的形式, “如果”后接的部分是题设,“那么”后接的 部分是结论. 例如: 如果两条直线都与第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行; 题设:两条直线都与第三条直线平行,
两直线平行,同位角相等.
b 几何语言表述:
3
2
4
∵a∥b(已知) ∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等) 猜想:两直线平行,内错角、同旁 内角有怎么关系呢?相互讨论一下.
得出结论
a
1
平行线的性质:
3
b 2
4
性质1:两直线平行,同位角相等.
性质2:两直线平行,内错角相等.
性质3:两直线平行,同旁内角互补.
指出下列命题的题设和结论: (1)如果AB⊥CD,垂足是O,那么∠AOC=90°。 (2)两直线平行, 同位角相等 . (3)如果两个角互补,那么它们是邻补角 . (4)如果一个数能被2整除,那么它也能被4整除.
解:(1) 题设是“AB⊥CD,垂足是O”,结 论是“∠AOC=90°”.
(2) 题设是“两直线平行”,结论是“同 位角相等 ”. (3) 题设是“两个角互补”,结论是“它 们是邻补角 ”. (4) 题设是“一个数能被2整除”,结论是 “它也能被4整除”.
(2)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补; (4)等式两边加同一个数,结果仍是等式.
解:(2)改写:如果两条平行线被第三条直 线所截,那么同旁内角互补. 题设是“两条平行线被第三条直线所截”, 结论是“同旁内角互补”. (4)改写:如果在等式两边加同一个数,那么结 果仍是等式. 题设是“在等式两边加同一个数”,结论是 “结果仍是等式”.
(1)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条 直线也互相平行; (2)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补; (3)对顶角相等; (4)等式两边加同一个数,结果仍是等式. 上述四个命题都是正确的,就是说,如果题设成立, 那么结论一定成立。
像这样的一些命题,叫做真命题.
(3)如果两个角互补,那么它们是邻补角 . (4)如果一个数能被2整除,那么它也能被4整除. 上述两个命题中题设成立时,不能保证结论一定成 立,它们都是错误的命题。
2 4 180 (2与4互补)
已知 a//b
结果
1 2
理由 两直线平行 同位角相等
b
a