新人教选修4-4教案参数方程的概念曲线的参数方程

曲线的参数方程

教学目标

1．通过圆及弹道曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方程的概念，初步掌握求曲线的参数方程的思路．

2．通过弹道曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立圆的参数方程，培养学生探索发现能力以及解决实际问题的能力．

3．从弹道曲线的方程的建立,对学生进行数学的返璞归真教育,使学生体会数学来源于实践的真谛,帮助学生树立空间和时间是运动物体的形式这一辩证唯物主义观点．

教学重点与难点

曲线参数方程的探求及其有关概念是本节课的重点;难点是弹道曲线参数方程的建立．

教学过程

师:满足什么条件时,一个方程才能称作曲线的方程,而这条曲线才能够称作方程的曲线?

生:1.必须同时满足两个条件：（１）曲线上任一点的坐标都是这个方程的解；（２）同时以这个方程的第一组解作为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程就称作曲线的方程，而这条曲线就称作这个方程的曲线．

师：请写出圆心在原点，半径为r的圆Ｏ的方程，并说明求解方法．

(师板书——⊙O:)

师：求圆的方程事实上是探求圆上任一点Ｍ（x,y）的横、纵坐标之间的关系式.能用别的方法来探x、y之间的关系吗？

生：……

师：（诱导一下）不用刚才的方法给我们直接求x、y的关系带来了困难，能否考虑用间接的方法来求？即在x、y之间是否能建立一座桥梁，使之联系起来？

（计算机演示动画，如图３－１）

师：驱使Ｍ运动的因素是什么？

生：旋转角θ.

师：当我们把x轴作为θ角始边，并使ＯＭ绕Ｏ点逆时针旋转，请考虑θ在什么范围内取值就可以形成整个圆了？

生：

师：至此x、y之间的关系已通过θ联系起来了，谁能具体地说说它们之间的关系？

生3：（c∈[0,2π],θ为变量，r为常数）

（生３叙述，师板书）

师：①式是⊙Ｏ的方程吗？

生４：①式是⊙Ｏ的方程.

师：请说明理由.

生４：（生４叙述，师板书）（１）任取⊙Ｏ上一点，总存在，由三角函数定义知

，显然满足方程①；

（２）任取,

由①得即M（）．

所以．

所以Ｍ在⊙Ｏ上.

由（１）、（２）知①是⊙Ｏ的方程.

师：既然①是⊙Ｏ的方程，那么它应该和是一致的，两者能统一起来吗？

生：能，消去θ即可．

师：这里，我们从另一个角度重新审视了圆，通过第三个变量θ把圆上任意一点的横、纵坐标x、y联系了起来，获得了圆的方程的另一种形式.

通过间接的方法把某两个变量联系起来的例子不仅几何中有，在生产实践、军事技术、工程建设中也有.特别在两个变量之间的直接关系不易建立时，常用间接的方法将它们联系起来.

请同学们再看一个例子.

炮兵在射击目标时，需要考虑炮弹的飞行轨迹、射程等等.现在，我们假设一个炮兵射击目标，炮弹的发射角为α，发射的初速度为ν０.请同学们帮他求出弹道曲线的方程。（不计空气阻力）

师：同学们是否知道炮弹飞行轨迹的形状？请同学们大概地画一下.（师从同学们画出的图形中，选出一种画在黑板上，如图３－２.）

师：一般同学们都知道是轨物线的一段.现在的问题就是怎样求弹道曲线的方程（即点的轨迹方程），请思考求点的轨迹方程的首要工作是什么？

生：建系.

师：怎样建系？（请同学们自行建系）

（师将同学们４种不同的建系方式依样画在黑板上或用投影仪直接打出。如图３－３－（１）、（２）、（３）、（４））

师：怎样建系由我们自己决定，然而我们总希望建立的坐标系较合乎常理，且使问题的求解方便一些，方程简单一些.现在请同学们从上述４种建系方式中选择较恰当的一种.

生：（较一致地否定了（１）、（２），对（３）、（４）众说纷纭.）

师：（引导学生作常规分析）炮弹飞行与时间t有关，当t=0时，炮弹还在炮口位置，它是炮弹飞行的初始位置（起始点），这个起始点放在坐标系的什么位置才较好地合乎常理呢？

生：放在原点位置，即取炮口为原点，水平方向为x轴，建立直角坐标系，因此选图３－３（４）.

师：坐标系建立起来了，接着该做什么了呢？

生：设标，设炮弹发射后的位置为Ｍ（x，y）.

师：下面该进行哪一步了？

生：列式.

师：怎么列？x与y之间的直接关系明显吗？

生：不明显.

师：那么怎样把x、y之间的关系联系起来呢？

生５：像刚才用第三变量θ表示圆上任一点的坐标x、y之间的关系一样，通过间接的办法把x、y联系起来.

师：很好！那么这里的第三变量是什么呢？它又能怎样把x、y联系起来呢？

生５：刚才圆上点Ｍ是依赖于角θ的运动而运动的，第三变量就选择了θ，我想这里要把x、y之间的关系建立起来，也要分析一下炮弹的运动方式，看看炮弹的位置是依赖于哪个量的变化而变化的.

师：非常好！让我们一起来分析炮弹的运动方式.这里，炮弹的运动实际上是物理学中的斜抛运动.

炮弹在水平方向作匀速直线运动，在竖直方向上作竖直上抛运动（由于受重力作用，炮弹作初速度不为零的匀

速直线运动）.

显然在x、y分别是炮弹飞行过程中的水平位移和竖直位移（竖直高度），因此“怎样列式”事实上是解决如何刻画水平位移和竖直位移的问题.故应考虑运动物体的位移与哪些量有关.

生：和速度、时间有关.

师：这里既有水平位移，又有竖直位移，那么在水平方向的初速度和竖直方向的初速度分别是多少？

生６：（如图３－４）在水平方向的初速度是ν0cosα,在竖直方向的初速度是ν0cosα.（生６口述，师标在图３－４上）

师：时间有吗？

生：没有.

师：怎么办？

生：设出来，设为t.

师：现在能分别求x和y了吗？

生６：能！．

师：能对竖直方向上的位移作一解释吗？

生７：在竖直方向上，炮弹作竖直上抛运动，即炮弹受重力的作用作初速度不为零的匀减速直线运动.所以．

师：这里我们把水平位移和竖直位移都用时间t表示出来了，即把x、y都表示成了t的函数，t是否应该有一个确定的范围？