第三节 隐函数的导数与取对数求导法
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隐函数及参数方程确定函数求导法则
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.
解: 先求速度大小:
速度的水平分量为
dx dt
v1
,
垂直分量为
dy dt
v2
gt
,
故抛射体速度大小
v
(dx)2 (dy)2 dt dt
v12(v2g)t2
再求速度方向 (即轨迹的切线方向): y
设 为切线倾角, 则
tan d y
dy dt
d x v2 gt
o
x
dx
dt
v1
抛射体轨迹的参数方程
x y
v1t v2t
12
gt2
速度的水平分量
dx dt
v1
,
垂直分量
dy dt
v2
gt ,
速度的方向 tan v2 gt
v1
y
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
arctanv2
(x2)/+(y2)/=（R2）/
2x 2 y dy 0 dx
dy x dx y
例2 求由方程ysinx+lny=1所确定的隐
函数的导数 y
/ x
解 将方程的两边同时对 x 求导，得
yx/
sin
x
y
cos
x
1 y
yx/
0
整理得
yx/
y2 cos x
1 y sin x
例3. 求由方程 y52yx3x70确定的隐函数
yy(x) 在
x
=
0
处的导数
dy 方程两边对 x 求导
ddx(y52yx3x7)0
解: 先求速度大小:
速度的水平分量为
dx dt
v1
,
垂直分量为
dy dt
v2
gt
,
故抛射体速度大小
v
(dx)2 (dy)2 dt dt
v12(v2g)t2
再求速度方向 (即轨迹的切线方向): y
设 为切线倾角, 则
tan d y
dy dt
d x v2 gt
o
x
dx
dt
v1
抛射体轨迹的参数方程
x y
v1t v2t
12
gt2
速度的水平分量
dx dt
v1
,
垂直分量
dy dt
v2
gt ,
速度的方向 tan v2 gt
v1
y
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
arctanv2
(x2)/+(y2)/=（R2）/
2x 2 y dy 0 dx
dy x dx y
例2 求由方程ysinx+lny=1所确定的隐
函数的导数 y
/ x
解 将方程的两边同时对 x 求导，得
yx/
sin
x
y
cos
x
1 y
yx/
0
整理得
yx/
y2 cos x
1 y sin x
例3. 求由方程 y52yx3x70确定的隐函数
yy(x) 在
x
=
0
处的导数
dy 方程两边对 x 求导
ddx(y52yx3x7)0
隐函数的导数
例9
求摆线
x y
a(t a(1
sin t ) cos t )
在t
2
处的切线
方程
.
解
dy
dy dx
dt dx
a
a
sin t a cos
t
sin t dy 1 cos t dx
t os
1.
dt
当 t 时,
x a(
1),
y a.
2
2 所求切线方程为
2 ya
x a(
y的导数 y, y x0 .
x 0, y 0
解 设想把xy e x e y 0所确定的函数y y( x)
代入方程, 则得恒等式
xy e x e y 0
恒等式两边同时对x求导,得
( xy)x (e x )x (e y )x (0)
因为y是x的函数,
所以 e y是x的复合函数,
用复合函数求导法,
如
y
( x 1) 3 x 1 ( x 4)2 e x ,
y
x sin x .
方 法 先在方程两边取对数,
然后利用隐函数的
求导法求出导数.
--------对数求导法
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
例7 解
设
y
(
x (
x
1) 3 x 4)2 e
x
1
,
求y.
等式两边取对数得
ln
定义 由二元方程 F ( x, y) 0 所确定的函数
y y( x) 称为 隐函数(implicit function).
y f ( x)的形式称为 显函数.
F( x, y) 0
y f ( x) 隐函数的 显化.
隐函数对数函数参数方程求导数
由参数方程所确定的函数的导数
存在问题 消参困难或无法消参如何求导?
一般地,设 x (t)具有单调连续的反函数 21
由参数方程所确定的函数的导数
存在问题 消参困难或无法消参如何求导?
一般地,设 x (t)具有单调连续的反函数
t 1( x),则变量 y与x构成复合函数关系 y [ 1( x)].
将方程(1)两边再对 x 求导得 12x2 2 y' xy''12 y2 ( y')2 4 y3 y'' 0,
代入 x 0, y 1,
y'
x0
1 4
y1
7
例4 设 x4 xy y4 1, 求 y''在点(0,1)处的值.
解
代入 x 0, y 1得 y' x0 14; y1
将方程(1)两边再对 x 求导得 12x2 2 y' xy''12 y2 ( y')2 4 y3 y'' 0,
a(t a(1
sin t) cos t)
所表示的函数 y y( x) 的二阶导数.
dy
解
dy dx
dt dx
a
a sin t a cos
t
1
sin t cos
t
dt
(t 2n ,n Z )
d2y dx 2
d dx
dy dx
d dx
1
sin t cos
t
d dt
1
sin t cos
dy dx
sin( x y) y cos x sin( x y) sin x
.
2
例2 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函
第三节 隐函数求导法则
上一页下一页 返回
x a ( t sin t ) 例8 求摆线 在t 处的切线 2 y a (1 cos t )
方程 .
dy
解
dt a sin t sin t a a cos t 1 cos t dx dx dy dt
dy dx
t 2
y x0 y0
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例2 设曲线C的方程为 x 3 y 3 3 xy , 求过C上
3 3 点( , )的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 2 2 线通过原点.
解
方程两边对x求导,
3 x 3 y y 3 y 3 xy
2 2
y
3 3 ( , ) 2 2
1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4
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三、由参数方程确定的函数的导数
x t 由参数方程 所确定的函数 y f y t
x 的导数
dy dx
为：
dy dy dt dt ' t dx dx dt dx 't dt dy
法线斜率为
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二、 解答题 1、 求由方程 x y sin 2 x ln y 0 所确定的方程 y y x 的导数
2 2
dy dx
。
解：方程两边同时对x求导，得
x
2
' y
x
2
y ' co s 2 x 2 x '
2
y'
两边同时对x 求导得
d3_4隐函数的求导与对数求导法则
则
dy
dy
dx
dt dx
( t ( t
) )
dt
18
例6求椭圆
x a cost
y
b
sin
t
在t
4
相应的点处的切线方程.
解
t
4
相应的点为: M
2a , 2
2b 2
dy dx
( b sin t ( a cos t
) )
b cos t a sin t
b a
cot t,
k
dy dx
t
b a
4
所求切线方程为: y
2b 2
b a
x
2a 2
即 bx ay 2ab 0.
这是新方法，想一想，不用这个办法你会求切线方程吗？ 19
四 、综合举例
例7.设 y ln[sin(10 2x2 )] , 求 y
解
y
1 sin(10
2x2
)
[sin(10
2x2
)]
1 sin(10
2x2
)
[cos( 10
15
例5.设 y
(x 1)1(x 2)2
(x 3)3(x 4)4 ,求 y
解
两边取自然对数
ln y 1 lnx 1 2lnx 23lnx 3 4lnx 4
2 方程两边对x求导
y 1 1
y 2 x 1
2 x2
3 x3
4
x4
1234
x 1 x 21).取对数, ln y v(x) ln u(x)
y e 2).变形成复合指数函数,
v( x)lnu( x)
13
一般地:
第二章第三节隐函数的导数参数方程导数
解: 曲线上与 t
3 对应的点为 M (2 2 , 2 ), 4
曲线在 M 处的切线的斜率为
dy dx
t 3 4
(2 sin t ) (4 cos t )
t
3 4
2 cos t 4 sin t
1 3 t 2 4
于是,所求的切线方程为 即
1 y 2 (x 2 2) 2
t ( , ),
所确定的函数y=y(x)的 sin t
则，
dy 2sin t d y dt 2cos t cot t . d x d x 2cos t 2sin t dt
例6
设参数方程 x arctan t 2 y ln(1 t )
y' 4x 4x3 2x 2 4 2 , y x 2 x 1 x 1
4x 4x3 2x 于是 y' y ( 2 4 2 ), x 2 x 1 x 1 ( x 2 2) 2 4x 4x3 2x 即 y' 4 ( 2 4 2 ) 2 ( x 1)( x 1) x 2 x 1 x 1
三、由参数方程确定的函数的导数
若方程 x ( t )和 y ( t ) 确定y与x间的 函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参 数方程 x (t )
y (t ) t ( , ),
所确定的函数．
1 t ( x) x ( t ) 这个函数是由 的反函数
课堂练习：用对数求导法则求下列函数的导数：
1.
yx
y
x2
2.
x 2( 3 x ) 4 ( x 1) 5
解答： x2 1.ln y ln x x 2 ln x
2-3隐函数导数和由参数方程确定的函数的导数
sin x xcos x cos 2x
3（4）解一：
y=－sec2 xsecx+1－tanxsec xtanx
=secx tanx－tan2x－sec2x
3（4）解二：
y= sec x－tanxsecx
=sec xtanx-sec3 x - tan2xsecx
=secx tanx－sec2x－tan2x
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1
dx
(t) (t)
dt
dy
即
dy dx
dt dx
dt
14
例5求摆线
x
y
a(t sin t) a(1 cost)
在t
2
处的切线方程
dy
解 dy dt a 1 cost a sin t sin t dx dx a t sin t a a cos t 1 cos t
切线斜率为
dt
k
dy dx
t 2
sin
1
2
cos
1.
2
当t
时,
x
a(
1),
y a.
所求切线方程为
2
2
y a x a( 1) 即 x y a(2 ) 0
2
2
15
练习
求曲线
xy
t2 1 t t3
在
t
1处的切线方程
y的导数 dy , dy dx dx
3（4）解一：
y=－sec2 xsecx+1－tanxsec xtanx
=secx tanx－tan2x－sec2x
3（4）解二：
y= sec x－tanxsecx
=sec xtanx-sec3 x - tan2xsecx
=secx tanx－sec2x－tan2x
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1
dx
(t) (t)
dt
dy
即
dy dx
dt dx
dt
14
例5求摆线
x
y
a(t sin t) a(1 cost)
在t
2
处的切线方程
dy
解 dy dt a 1 cost a sin t sin t dx dx a t sin t a a cos t 1 cos t
切线斜率为
dt
k
dy dx
t 2
sin
1
2
cos
1.
2
当t
时,
x
a(
1),
y a.
所求切线方程为
2
2
y a x a( 1) 即 x y a(2 ) 0
2
2
15
练习
求曲线
xy
t2 1 t t3
在
t
1处的切线方程
y的导数 dy , dy dx dx
高等数学随堂讲义隐函数及参数方程及高阶导数
复杂函数 求导法则：
u v
求
(n)
u(n) v (n)
n
k (n k ) (k ) uv ( n ) C n u v k 0
莱不尼茨公式
例11
1 y 2 2 2 a b x
y
(n)
例12
y x e 求 y
2 2x
(n)
(二)高阶导数求法
1．显函数
2．隐函数 3．参数方程确定的函数
5 7 y 2 y x 3 x 0 求 y x 0 例1 e xy e 0 求 y 例2
2 2 x y 例3求 在 1 16 9
3 处的切线方程 2, 3 2
一、隐函数的导数
（一）隐函数的导数
（二）对数求导法
一、隐函数的导数
1
y
t
x
参数方程确定的函数的导数
参数方程确定的函数
x (t )
参数方程
t ( x)
1
y
t
y (t )
y 1 ( x )
参数方程确定的函数
x
参数方程确定的函数的导数
d y d y d x ( t ) d x d t d t ( t )
例9
当气球升至500m时停住,有一观测者以 100m／min 的速率向气球出发点走来, 当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?
第三讲
一、隐函数的导数
二、参数方程确定的函数的导数 三、高阶导数
第三讲
一、隐函数的导数
二、参数方程确定的函数的导数 三、高阶导数
三、高阶导数
（一）概念
（二）求法
（一）隐函数的导数
隐函数的求导法则__取对数求导法
隐函数的求导法则__取对数求导法隐函数是指用一个或多个自变量与一个或多个函数关系式所定义的函数。
在一般情况下，我们可以通过将隐函数转化为显函数来求导。
然而，有时候转化为显函数非常困难或不可行，这时我们可以使用隐函数求导法则来求解。
在隐函数求导法则中，最常用且重要的方法之一是取对数求导法。
本文将详细介绍隐函数的取对数求导法则，包括基本原理、具体步骤以及一些实际应用。
1.基本原理：隐函数的取对数求导法则基于以下数学原理：如果一些变量随着另一个变量的变化而变化，我们可以通过取对数来将这个关系式转化为线性关系，从而更容易进行求导。
2.取对数求导法的具体步骤：(1)首先，将隐函数表示为等式或方程的形式，用x和y表示自变量和函数变量，记隐函数为f(x,y)=0。
(2) 对等式两边同时取对数，得到ln(f(x, y)) = ln(0)。
(3) 使用链式法则对等式两边进行求导。
对左侧进行求导时，考虑y是x的函数，即y = g(x)，则ln(f(x, y)) = ln(f(x, g(x)))。
根据链式法则，左侧的导数为f'(x, y) / f(x, y)。
对右侧进行求导时，由于ln(0)为常数，其导数为0。
(4)最后，解方程求得f'(x,y)/f(x,y)的表达式，即为隐函数的导数。
3.举例说明：假设有一个方程为x^2 + y^2 = 1、我们想要求解方程中y关于x的导数。
首先，我们将隐函数表示为等式的形式：f(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0。
然后，取等式两边的对数，得到ln(f(x, y)) = ln(x^2 + y^2 - 1)。
根据链式法则，左侧的导数为 f'(x, y) / f(x, y)。
右侧的导数为0。
于是，我们可以得到 f'(x, y) / f(x, y) = 0。
最后，解方程可得f'(x, y) = 0，即 y 关于 x 的导数为0。
4.实际应用：隐函数的取对数求导法则在实际问题中有着广泛的应用。
3.3 隐函数求导 对数求导法
y x x (2 x ln x x ) (tan ax )
2
x b cot
2a x ln(tan ax ) 2 x [ cot csc ] sin 2ax b b b
例10 y e
xx
x x , 求y.
ex xx
xx ex xx
解 设y y1 y 2 +y 3，其中，y1 e , y2 x , y3 x
x2
,
两边对x求导，整理得，u x (2 x ln x x )
x2
对于v (tan ax )
x cot b
，两边取对数，
x ln v cot ln tan ax b
两边对x求导，整理得，
v (tan ax )
所以，
x cot b
2a x ln(tan ax ) 2 x [ cot csc ] sin 2ax b b b
解得，y x x (ln x 1).
(3 x 1)2 (2 x 5) y , 求y ' . 例7 3 (2 x 1)( x 3) 解 等式两边取对数，得
1 ln y [2ln(3 x 1) ln(2 x 5) ln(2 x 1) 3ln( x 3)] 2
1 x 例8 y x ( ) , 求y. x 解 这是两项和，每项都是幂指函数，不能整体取对数，令
则 y y1 y 2
1 x
1 x
1 x y1 x , y2 ( ) , x
1 x
1 对于y1 x ，两边取对数， y1 ln x ln x
1 1 1 1 2 ln x 两边对x求导， y1 y1 x x x
第3-4节 隐函数求导法 高阶导数
dn y (n) 阶导数, 导数称为 f ( x ) 的 n 阶导数,记 f ( x ) 或 . n dx
例1 解
1 设 y = arctan + x ln x ， y′′ . 求 x
1 1 1 y′ = ⋅ (− 2 ) + ln x + 1 2 2 x 1+ 2 x 1 1 1 =− + ln x + ， 2 2 1+ x 2 1
19 2x
= 2 e ( x + 20 x + 95) .
20 2x 2
阶导数公式: 常用n阶导数公式
(1) ( a )
x (n)
= a ⋅ ln a (a > 0)
x n
( n) n
(e )
x (n)
=e
x
π ( 2) (sin kx ) = k sin( kx + n ⋅ ) 2 π ( n) n ( 3) (cos kx ) = k cos( kx + n ⋅ ) 2
解得
比较: 比较
y′ = −
x . y
显化后, y = a 2 − x 2 ,
y′ =
−x a2 − x2
x =− ； y
2 2
另一分支: 另一分支: y = − a − x , y ′ =
x a2 − x2
x =− . y
例 2 求由方程 e + xy = e 所确定的隐函数 y = y( x )
1 ( n ) ( −1) n n! 例6 ( ) = x x n+1 1 1 1 1 y= ) = ( + 2 1− x 2 1− x 1+ x 1 ( −1) n n! y(n) = [ ] + n+1 n+1 2 (1 − x ) (1 + x )
高等数学上24隐函数的导数对数求导法由参数方程所确定函数的导数
3、由参数方程所确定的函数的导数 P107
若参数方 xy 程 ((tt))确定 y与x间的函数 , 关
称此为由参数 定方 的程 函 . 所 数确
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
消去参数 t
yt2 (x)2 x 2 24
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
例4 设y(x1)3 x1,求 y. (x4)2ex
解 等式两边取对数得
ly n ln x 1 ) ( 1 ln x 1 ) ( 2 ln x 4 ) ( x 3
上式两边 x求对导得 y1 1 2 1 y x1 3(x1) x4
y (x (x 1 ) 4 3 )2 x e x 1 [x 1 1 3 (x 1 1 ) x 2 4 1 ]
在方程 xy ((tt))中,
设函x数 (t)具有单调连续 t的 1(x反 ), 函
y[1(x)]
再设 x ( t)y 函 , ( t) 都 数 ,且 可 ( t) 0 ,导
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dx dt dx
解 方程两x边 求对 导得
4 x 3 y x y 4 y 3 y 0
( 1 )
代x入 0, y1 得y
x0 y1
1 4
;
将方 (1)两 程边x求 再导 对得
1 x 2 2 2 y x y 1 y 2 ( y ) 2 2 4 y 3 y 0
代x 入 0 ,y 1 ,y
x0 y1
1 4
得
y
高等数学：第三节 隐函数、参数方程
5
例3（课本P.90 例4）
设 xy ln x 1确定了函数x x( y). 试证：函数x( y)满足关系式 x2 ( xy 1) dx 0. dy
小结：隐函数求导步骤
6
二、对数求导法
观察函数
( x 1)3 x 1 y ( x 4)2 e x ,
y x sin x .
方法:
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
15
在方程
x y
(t (t
)中, )
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t (1 x),
y [ 1( x)]
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt
dt dx
10
u( x)v(x) (u( x) 0)导数的求法二：
u( x)v( x)＝ev(x)lnu(x) (u( x)v( x))'=(ev( x)lnu( x) )'
＝ev( x)lnu( x)[v' ln u v 1 u']
＝uv[v' ln u vu' ].
u
u
11
练习：求下列函数的导数
(1) y aax a xa xaa; (2) y a xx xax x xa ; (3) y x xx .
解. (1) y aax lna ax lna axa lna axa1 aa xaa 1
aax x ln2 a a xa 1 xa1 ln a aa xaa 1 .
ln f ( x) v( x) ln u( x)
两边同时对x求导得
f ( x) v( x)ln u( x)
例3（课本P.90 例4）
设 xy ln x 1确定了函数x x( y). 试证：函数x( y)满足关系式 x2 ( xy 1) dx 0. dy
小结：隐函数求导步骤
6
二、对数求导法
观察函数
( x 1)3 x 1 y ( x 4)2 e x ,
y x sin x .
方法:
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
15
在方程
x y
(t (t
)中, )
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t (1 x),
y [ 1( x)]
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt
dt dx
10
u( x)v(x) (u( x) 0)导数的求法二：
u( x)v( x)＝ev(x)lnu(x) (u( x)v( x))'=(ev( x)lnu( x) )'
＝ev( x)lnu( x)[v' ln u v 1 u']
＝uv[v' ln u vu' ].
u
u
11
练习：求下列函数的导数
(1) y aax a xa xaa; (2) y a xx xax x xa ; (3) y x xx .
解. (1) y aax lna ax lna axa lna axa1 aa xaa 1
aax x ln2 a a xa 1 xa1 ln a aa xaa 1 .
ln f ( x) v( x) ln u( x)
两边同时对x求导得
f ( x) v( x)ln u( x)
3(3)隐函数与参数方程的导数
求下列函数的导数.
x (1) y 2 1 x
(3) y sin x
tan x
sin x
(2) 设x y , 求y.
y x
cos x
2
cot x
x 1 (4) y 3 x 1 x 2
15
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
所确定的函数的导数. 例8 求旋轮线(摆线,速降线)
x a t sin t y a 1 cos t
0 t 2
y( x).
18
上斜率为1的切线方程. 并求
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
x (t ) 进一步,假设在参数方程 y (t ) 中, (t ), (t ) 二阶可导,则
2 x 4 y y 0, y ( 2,
2)
再对x 2 2 2 y两边关于 求导得: x
1 . 2
2 x 2 2 y, y ( 2,
2)
2. 即证.
8
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
3. 对数求导法
作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍 对数求导法, 它可以利用对数性质使某些函数的 求导变得更为简单. 适 (1) 许多因子相乘除、乘方、开方的函数. 用 ( 2)幂指函数u( x )v ( x ) . 于 ( x 1) 3 x 1 sin x 如y ,y x . 2 x ( x 4) e
v( x)
v ( x )u( x ) [v ( x ) ln u( x ) ] u( x )
11
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
第3章第3节隐函数与参数方程
dy dy dt dx dt dx
dt 1 dx dx dt dy d dy d( ) ( ) d2y dt dx dt dx dx 2 dt dx dx dt
dy dy yt dt dx xt dx dt
注意一阶导数 也是 t 的函数
问题
x (t ) ( t ) 设 ，由 y ( ( t ) 0) x ( t ) y (t ) ( t ) 可知 y ，对吗？ x ( t )
代入 x 0, y 1, y x 0
y 1
1 得 y 4
x0 y 1
1 . 16
幂指函数的导数
求yx
解法1
sin x
的导数 y
eln N N
y ( xsin x ) (esin x ln x )
e
sin x ln x
sin x (cos x ln x ) x
1 1 1 cos x 1 e x y ( ) x y 2 x sin x 2 1 e
1 1 1 ex y x sin x 1 e x ( cot x ) x 2 x 1 e
由参数方程所确定的函数的导数
x (t ) dy 由参数方程 确定的函数的导数 dx y (t ) y (t ), t 1 ( x)
第三节
隐函数的导数和参数式求导
隐函数的导数
由方程 e y xy e 0 可以确定变量 x 和变量 y之间的 函数关系 y y( x)， 这样的函数称为隐函数。
一般地， 如果变量 x 和 y 满足一个方程 F ( x, y ) 0, 在一定的条件下，当 x取某区间的任一值时， 相应地总有 满足着方程的唯一的 y 值存在，那么就说方程 F ( x, y ) 0 在该区间确定了一个隐函数。
3.6.13.6隐函数的导数
dx
例4设y x 1(x 2）, 求y /
（x 3)(x 4)
解：两边同时取自然对数得
ln y 1 (ln(x 1) ln( x 2) ln( x 3) ln( x 4)) 2
两边对x求导得
1 y/ 1 ( 1 1 1 1 )
y
2 x 1 x 2 x 3 x 4
二、隐函数的导数 1.隐函数的定义
如果在方程F (x, y) 0中，当x取某区间I x内 的任一值时，相应地在某个范围I y内总有满足 这个方程唯一的y值存在，那么就说方程 F (x, y) 0在x I x，y I y的范围内确定了一个 隐函数。
2.隐函数的导数 求导方法：
(1)将F (x, y) 0两端同时对x求导，其左式在求导 过程中视y为x的函数； （2）求导之后得到一个关于y /的方程，解此方程得 y /的表达式，在该表达式中允许含有y.
所以y / 1 x 1(x 2）( 1 1 1 1 )
2 （x 3)(x 4) x 1 x 2 x 3 x 4
小结
1.隐函数求导法则 2.利用对数求导法计算函数的导数
2y 9 0
例3设y xsin x , 求 dy dx
解：ln y sin x ln x
1 y / cos x ln x sin x
y
x
y / y(c osx ln x sin x ) xsin x (c osx ln x sin x )xxFra bibliotek对数求导法
对数求导法： 1.等式两边取对数 2.等式两边对x求导数 3.求出 dy
dx x e y
例2求椭圆 x2 y 2 1在点1，4
94
3
解：椭圆曲线如右图所示
2 处的切线方程。
例4设y x 1(x 2）, 求y /
（x 3)(x 4)
解：两边同时取自然对数得
ln y 1 (ln(x 1) ln( x 2) ln( x 3) ln( x 4)) 2
两边对x求导得
1 y/ 1 ( 1 1 1 1 )
y
2 x 1 x 2 x 3 x 4
二、隐函数的导数 1.隐函数的定义
如果在方程F (x, y) 0中，当x取某区间I x内 的任一值时，相应地在某个范围I y内总有满足 这个方程唯一的y值存在，那么就说方程 F (x, y) 0在x I x，y I y的范围内确定了一个 隐函数。
2.隐函数的导数 求导方法：
(1)将F (x, y) 0两端同时对x求导，其左式在求导 过程中视y为x的函数； （2）求导之后得到一个关于y /的方程，解此方程得 y /的表达式，在该表达式中允许含有y.
所以y / 1 x 1(x 2）( 1 1 1 1 )
2 （x 3)(x 4) x 1 x 2 x 3 x 4
小结
1.隐函数求导法则 2.利用对数求导法计算函数的导数
2y 9 0
例3设y xsin x , 求 dy dx
解：ln y sin x ln x
1 y / cos x ln x sin x
y
x
y / y(c osx ln x sin x ) xsin x (c osx ln x sin x )xxFra bibliotek对数求导法
对数求导法： 1.等式两边取对数 2.等式两边对x求导数 3.求出 dy
dx x e y
例2求椭圆 x2 y 2 1在点1，4
94
3
解：椭圆曲线如右图所示
2 处的切线方程。
隐函数的导数对数求导法
v
2 2 2 v 2 v gt sin g t0 v v 0 0 0
2 x
3 x a cos t 表示的函数的二阶导数. 例8 求由方程 3 y a sin t dy dy dt 3a sin2 t cos t tan t 解 2 dx dx 3a cos t ( sin t ) dt
d f ( x ) f ( x ) ln f ( x ) dx
f ( x ) u( x )
v( x)
v ( x )u( x ) [v ( x ) ln u( x ) ] u( x )
3、由参数方程所确定的函数的导数 P79
x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数.
具有单调连续的反函数设函数都可导再设函数由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdydtdxdtdydtdxdtdydxdy二阶可导若函数dxdydxdxdtdtdxdtdydxdycossindxdy方程处的切线dxdydxdysinsincoscos曲线在点处的切线的斜率为sincoscossin的速度大小炮弹在时刻的运动方向炮弹在时刻其运动方程为发射炮弹发射角以初速度不计空气的阻力可由切线的斜率来反映时刻的切线方向轨迹在时刻的运动方向即dxdycossincossindxdy轴方向的分速度为时刻沿炮弹在dtdxdtdysingtsincos表示的函数的二阶导数求由方程dtdxdtdydxdycossindxdydxsincos
解 方程两边对x求导得
3 4 x y xy 4 y y 0 3
(1)
1 ; 4
代入 x 0, y 1得
y
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--------对数求导法 适用范围:
多个函数相乘和幂指函数u( x)v( x)的情形.
例4 设 y ( x 1)3 x 1 , 求y. ( x 4)2 e x
解 等式两边取对数得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导得
dy dx
x0
ex y xey
x0 y0
1.
例2 设曲线C的方程为x3 y3 3xy,求过C上
点(3 , 3)的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 22
线通过原点.
解 方程两边对x求导, 3x2 3 y2 y 3 y 3xy
y (3,3) 22
y x2 y2 x
1.
33 (,)
二：求下列方程所确定的隐函数y的导数
1：y 1 xe y
2：y tan(x y)
三：用对数求导法则求下列函数的导数： 1、 y x x2 ； 2、 y x 2(3 x)4 ； ( x 1)5
3、 y x sin x 1 e x .
四：求椭圆xy
a cost bsin t
在t
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dy dx dx
. x0
解 方程两边对x求导,
y x dy e x e y dy 0
dx
dx
解得
dy dx
ex y xey
,
由原方程知 x 0, y 0,
五：求椭圆xy
a cost bsin t
在t
4
处的切线方程。
第三节 隐函数的求导与 取对数求导法
一、隐函数的导数
定义:由方程所确定的函数 y y( x)称为隐函数.
y f ( x) 形式称为显函数.
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
消去参数 t
y t2 ( x)2 x2 24
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
在方程
x y
(t )中, (t )
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t (1 x),
y [ 1( x)]
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
dt
d2y dx 2
d (dy ) dx dx
( tan t) (a cos3 t )
sec2 t 3a cos2 t sin t
sec4 t 3a sin t
三、小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;
4
处的切线方程。
二：求下列函数的导数:
1：y=
1 x
3
x 0.1x 2 e2
3 : y sin(3x 1) 1 2x
5 : y 2x x3 arctan 3x 2
5x2 3x x 7: y
x
9 : y 9x23x loga[cos(5 3x3)]
2 : y x4 sin 3x 4 : y ln[sin(2x 5)] 6: y x x x x 8 : y ln a bx
a bx 10 : y x(1 x)2
(1 x)3
三：设函数
x2 f (x)
x 1
ax b x 1
为了使函数 f (x)在 x 1 处连续且可导，a, b
应取什么值？
四：设
f (x)可导，求下列函数
y
的导数 dy
dx
(1) y f (sin 2x)
(2) y f (sin2 x) f (cos2 x)
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
1[
x
1
1
1 3( x
1)
x
2
4
1]
例5 设 y xsinx ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
1.
2
当 t 时, x a( 1), y a.
2
2
所求切线方程为
y a x a( 1)
2
即 y x a(2 )
2
例7
求由方程
x y
a cos3 a sin3
t t
表示的函数的二阶导数.
dy
解
dy dx
dt dx
3a sin2 t cos t
3a cos2 t( sin t) tan t
dx
f ( x) dx
f ( x) f ( x) d ln f ( x) dx
f ( x) u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x)
三、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t )确定 (t)
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
22
所求切线方程为 y 3 ( x 3) 即 x y 3 0.
2
2
法线方程为 y 3 x 3 即 y x, 显然通过原点.
2
2
例3 设 x4 xy y4 1, 求y在点(0,1)处的值 .
解 方程两边对x求导得
4x3 y xy 4 y3 y 0
(1)
代入 x 0, y 1得
由复合函数及反函数的求导法则得
dy
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
即
dy dx
dt dx
dt
dt
若函数
x y
(t )二阶可导, (t )
d2 dx
y
2
d dx
( dy dx
)
d dt
( (t )) (t )
dt dx
(t)(t) (t)(t) 1
2(t)
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
一般地
f ( x) u( x)v( x) (u( x) 0)
ln f ( x) v( x) ln u( x)
又 d ln f ( x) 1 d f ( x)
5、 设
3 x2
y f (x)
5 x 5
f (0) =________.
,
则
6、 曲线 y sin x 在 x 0 处的切线与 x 轴 正向
2
的夹角为_________.
7：由方程
xy
tan(x
y)所确定的隐函数y的导数
dy dx
8 : 设 y x cos x xn 1 ,则 y/ .
y
x0 y1
1; 4
将方程(1)两边再对x求导得
12x2 2 y xy 12 y2( y)2 4 y3 y 0
代入 x 0,
y 1,
y
x0 y1
16
二、对数求导法
观察函数
y
(
x 1)3 ( x 4)
x 2ex
1
,
方法:
y x sin x .
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
一． 填空题：
1、 设 y x sin x ，则 y= __________.
2、 设 y 3a x e x 2 ，则 dy =__________. x dx
3、 设 y e x ( x 2 3x 1),则 dy = __________. dx x0
4、 设 y 2 tan x sec x 1,则 y=_________.
(t )
即
d2y dx 2
(t
)
(t) (t 3(t)
)
(t
)
.
例6
求摆线
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解 dy dt a sin t sin t dx dx a a cos t 1 cos t
dt
dy dx
t 2
sin
1
2 cos
练习题
一、 填空题： 1、设 x 3 2x 2 y 5xy2 5 y 1 0确定了 y 是 x 的函 数，则 dy =________. dx (1,1) 2、曲线 x 3 y 3 xy 7在点（1，2）处的切线方程 是___________. 3、设 xy e x y ,则 dy =________. dx
多个函数相乘和幂指函数u( x)v( x)的情形.
例4 设 y ( x 1)3 x 1 , 求y. ( x 4)2 e x
解 等式两边取对数得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导得
dy dx
x0
ex y xey
x0 y0
1.
例2 设曲线C的方程为x3 y3 3xy,求过C上
点(3 , 3)的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 22
线通过原点.
解 方程两边对x求导, 3x2 3 y2 y 3 y 3xy
y (3,3) 22
y x2 y2 x
1.
33 (,)
二：求下列方程所确定的隐函数y的导数
1：y 1 xe y
2：y tan(x y)
三：用对数求导法则求下列函数的导数： 1、 y x x2 ； 2、 y x 2(3 x)4 ； ( x 1)5
3、 y x sin x 1 e x .
四：求椭圆xy
a cost bsin t
在t
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dy dx dx
. x0
解 方程两边对x求导,
y x dy e x e y dy 0
dx
dx
解得
dy dx
ex y xey
,
由原方程知 x 0, y 0,
五：求椭圆xy
a cost bsin t
在t
4
处的切线方程。
第三节 隐函数的求导与 取对数求导法
一、隐函数的导数
定义:由方程所确定的函数 y y( x)称为隐函数.
y f ( x) 形式称为显函数.
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
消去参数 t
y t2 ( x)2 x2 24
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
在方程
x y
(t )中, (t )
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t (1 x),
y [ 1( x)]
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
dt
d2y dx 2
d (dy ) dx dx
( tan t) (a cos3 t )
sec2 t 3a cos2 t sin t
sec4 t 3a sin t
三、小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;
4
处的切线方程。
二：求下列函数的导数:
1：y=
1 x
3
x 0.1x 2 e2
3 : y sin(3x 1) 1 2x
5 : y 2x x3 arctan 3x 2
5x2 3x x 7: y
x
9 : y 9x23x loga[cos(5 3x3)]
2 : y x4 sin 3x 4 : y ln[sin(2x 5)] 6: y x x x x 8 : y ln a bx
a bx 10 : y x(1 x)2
(1 x)3
三：设函数
x2 f (x)
x 1
ax b x 1
为了使函数 f (x)在 x 1 处连续且可导，a, b
应取什么值？
四：设
f (x)可导，求下列函数
y
的导数 dy
dx
(1) y f (sin 2x)
(2) y f (sin2 x) f (cos2 x)
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
1[
x
1
1
1 3( x
1)
x
2
4
1]
例5 设 y xsinx ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
1.
2
当 t 时, x a( 1), y a.
2
2
所求切线方程为
y a x a( 1)
2
即 y x a(2 )
2
例7
求由方程
x y
a cos3 a sin3
t t
表示的函数的二阶导数.
dy
解
dy dx
dt dx
3a sin2 t cos t
3a cos2 t( sin t) tan t
dx
f ( x) dx
f ( x) f ( x) d ln f ( x) dx
f ( x) u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x)
三、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t )确定 (t)
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
22
所求切线方程为 y 3 ( x 3) 即 x y 3 0.
2
2
法线方程为 y 3 x 3 即 y x, 显然通过原点.
2
2
例3 设 x4 xy y4 1, 求y在点(0,1)处的值 .
解 方程两边对x求导得
4x3 y xy 4 y3 y 0
(1)
代入 x 0, y 1得
由复合函数及反函数的求导法则得
dy
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
即
dy dx
dt dx
dt
dt
若函数
x y
(t )二阶可导, (t )
d2 dx
y
2
d dx
( dy dx
)
d dt
( (t )) (t )
dt dx
(t)(t) (t)(t) 1
2(t)
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
一般地
f ( x) u( x)v( x) (u( x) 0)
ln f ( x) v( x) ln u( x)
又 d ln f ( x) 1 d f ( x)
5、 设
3 x2
y f (x)
5 x 5
f (0) =________.
,
则
6、 曲线 y sin x 在 x 0 处的切线与 x 轴 正向
2
的夹角为_________.
7：由方程
xy
tan(x
y)所确定的隐函数y的导数
dy dx
8 : 设 y x cos x xn 1 ,则 y/ .
y
x0 y1
1; 4
将方程(1)两边再对x求导得
12x2 2 y xy 12 y2( y)2 4 y3 y 0
代入 x 0,
y 1,
y
x0 y1
16
二、对数求导法
观察函数
y
(
x 1)3 ( x 4)
x 2ex
1
,
方法:
y x sin x .
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
一． 填空题：
1、 设 y x sin x ，则 y= __________.
2、 设 y 3a x e x 2 ，则 dy =__________. x dx
3、 设 y e x ( x 2 3x 1),则 dy = __________. dx x0
4、 设 y 2 tan x sec x 1,则 y=_________.
(t )
即
d2y dx 2
(t
)
(t) (t 3(t)
)
(t
)
.
例6
求摆线
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解 dy dt a sin t sin t dx dx a a cos t 1 cos t
dt
dy dx
t 2
sin
1
2 cos
练习题
一、 填空题： 1、设 x 3 2x 2 y 5xy2 5 y 1 0确定了 y 是 x 的函 数，则 dy =________. dx (1,1) 2、曲线 x 3 y 3 xy 7在点（1，2）处的切线方程 是___________. 3、设 xy e x y ,则 dy =________. dx