第三节 隐函数的导数与取对数求导法

练习题
一、 填空题： 1、设 x 3 2x 2 y 5xy2 5 y 1 0确定了 y 是 x 的函 数，则 dy =________. dx (1,1) 2、曲线 x 3 y 3 xy 7在点（1，2）处的切线方程 是___________. 3、设 xy e x y ,则 dy =________. dx
五：求椭圆xy
a cost bsin t
在t
4
处的切线方程。
第三节 隐函数的求导与 取对数求导法
一、隐函数的导数
定义:由方程所确定的函数 y y( x)称为隐函数.
y f ( x) 形式称为显函数.
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
y
x0 y1
1; 4
将方程(1)两边再对x求导得
12x2 2 y xy 12 y2( y)2 4 y3 y 0
代入 x 0,
y 1,
y
x0 y1
1 4
得
y
x0 y1
1. 16
二、对数求导法
观察函数
y
(
x 1)3 ( x 4)
x 2ex
1
,
方法:
y x sin x .
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
a bx 10 : y x(1 x)2
(1 x)3
三：设函数
x2 f (x)
x 1
ax b x 1
为了使函数 f (x)在 x 1 处连续且可导，a, b
应取什么值？
四：设
f (x)可导，求下列函数
y
的导数 dy
dx
(1) y f (sin 2x)
(2) y f (sin2 x) f (cos2 x)
4
处的切线方程。
1.
2
当 t 时, x a( 1), y a.
2
2
所求切线方程为
y a x a( 1)
2
即 y x a(2 )
2
例7
求由方程
x y
a cos3 a sin3
t t
表示的函数的二阶导数.
dy
解
dy dx
dt dx
3a sin2 t cos t
3a cos2 t( sin t) tan t
二：求下列函数的导数:
1：y=
1 x
3
x 0.1x 2 e2
3 : y sin(3x 1) 1 2x
5 : y 2x x3 arctan 3x 2
5x2 3x x 7: y
x
9 : y 9x23x loga[cos(5 3x3)]
2 : y x4 sin 3x 4 : y ln[sin(2x 5)] 6: y x x x x 8 : y ln a bx
由复合函数及反函数的求导法则得
dy
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
即
dy dx
dt dx
dt
dt
若函数
x y
(t )二阶可导, (t )
d2 dx
y
2
d dx
( dy dx
)
d dt
( (t )) (t )
dt dx
(t)(t) (t)(t) 1
2(t)
dy dx
x0
ex y xey
x0 y0
1.
例2 设曲线C的方程为x3 y3 3xy,求过C上
点(3 , 3)的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 22
线通过原点.
解 方程两边对x求导, 3x2 3 y2 y 3 y 3xy
y (3,3) 22
y x2 y2 x
1.
33 (,)
(t )
即
d2y dx 2
(t
)
(t) (t 3(t)
)
(t
)
.
例6
求摆线
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解 dy dt a sin t sin t dx dx a a cos t 1 cos t
dt
dy dx
t 2
sin
1
2 cos
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
消去参数 t
y t2 ( x)2 x2 24
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
在方程
x y
(t )中, (t )
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t (1 x),
y [ 1( x)]
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
二：求下列方程所确定的隐函数y的导数
1：y 1 xe y
2：y tan(x y)
三：用对数求导法则求下列函数的导数： 1、 y x x2 ； 2、 y x 2(3 x)4 ； ( x 1)5
3、 y x sin x 1 e x .
四：求椭圆xy
a cost bsin t
在t
dt
d2y dx 2
d (dy ) dx dx
( tan t) (a cos3 t )
sec2 t 3a cos2 t sin t
sec4 t 3a sin t
三、小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
一般地
f ( x) u( x)v( x) (u( x) 0)
ln f ( x) v( x) ln u( x)
又 d ln f ( x) 1 d f ( x)
22
所求切线方程为 y 3 ( x 3) 即 x y 3 0.
2
2
法线方程为 y 3 x 3 即 y x, 显然通过原点.
2
2
例3 设 x4 xy y4 1, 求y在点(0,1)处的值 .
解 方程两边对x求导得
4x3 y xy 4 y3 y 0
(1)
代入 x 0, y 1得
5、 设
3 x2
y f (x)
5 x 5
f (0) =________.
,
则
6、 曲线 y sin x 在 x 0 处的切线与 x 轴 正向
2
的夹角为_________.
7：由方程
xy
tan(x
y)所确定的隐函数y的导数
dy dx
8 : 设 y x cos x xn 1 ,则 y/ .
dx
f ( x) dx
f ( x) f ( x) d ln f ( x) dx
f ( x) u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x)
三、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x y
源自文库
(t )确定 (t)
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
1[
x
1
1
1 3( x
1)
x
2
4
1]
例5 设 y xsinx ( x 0), 求y.
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
一． 填空题：
1、 设 y x sin x ，则 y= __________.
2、 设 y 3a x e x 2 ，则 dy =__________. x dx
3、 设 y e x ( x 2 3x 1),则 dy = __________. dx x0
4、 设 y 2 tan x sec x 1,则 y=_________.
--------对数求导法 适用范围:
多个函数相乘和幂指函数u( x)v( x)的情形.
例4 设 y ( x 1)3 x 1 , 求y. ( x 4)2 e x
解 等式两边取对数得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导得
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dy dx dx
. x0
解 方程两边对x求导,
y x dy e x e y dy 0
dx
dx
解得
dy dx
ex y xey
,
由原方程知 x 0, y 0,