高考文科数学考前培优练习异面直线所成的角与点、线、面位置关系判断

5.2异面直线所成的角与点、线、面位置关系判断高考命题规律1.高考常考考题,属于立体几何“两小”常见的一个考点.2.选择题或填空题,5分,中高档难度.3.全国高考有2种命题角度,分布如下表.命题角度1两条异面直线所成的角高考真题体验·对方向1.(2019浙江·8)设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为α,直线PB与平面ABC所成的角为β,二面角P-AC-B的平面角为γ,则()A.β<γ,α<γB.β<α,β<γC.β<α,γ<αD.α<β,γ<βG 为AC 中点,点V 在底面ABC 上的投影为点O ,则点P 在底面ABC 上的投影点D 在线段AO 上,过点D 作DE 垂直AE ,易得PE ∥VG ,过点P 作PF ∥AC 交VG 于点F ,过点D 作DH ∥AC ,交BG 于点H ,则α=∠BPF ,β=∠PBD ,γ=∠PED ,所以cos α=PFPB=EG PB=DH PB<BDPB=cos β,所以α>β,因为tan γ=PD ED>PDBD=tan β,所以γ>β.故选B .2.(2018全国Ⅱ·9)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为棱CC 1的中点,则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( )A.√22 B.√32 C.√52 D.√72DD 1的中点F ,连接AC ,EF ,AF ,则EF ∥CD ,故∠AEF 为异面直线AE 与CD 所成的角.设正方体边长为2a ,则易知AE=√AC 2+CE 2=3a ,AF=√AD 2+DF 2=√5a ,EF=2a.∴cos ∠AEF=(3a )2+(2a )2-(√5a )22×3a×2a=23.∴sin ∠AEF=√53.∴tan ∠AEF=√52.典题演练提能·刷高分1.(2019四川成都一模)在各棱长均相等的四面体A-BCD 中,已知M 是棱AD 的中点,则异面直线BM 与AC 所成角的余弦值为( )A.√23B.√25C.√36D.√26设各棱长均相等的四面体A-BCD 的棱长为2,取CD 的中点N ,连接MN ,BN ,∵M 是棱AD 的中点,∴MN ∥AC ,∴∠BMN 是异面直线BM 与AC 所成角(或所成角的补角).又BM=BN=√4-1=√3,MN=1,∴cos ∠BMN=BM 2+MN 2-BN 2=2×√3×1=√3,∴异面直线BM 与AC 所成角的余弦值为√3,故选C .2.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是边长为1的正方形,若其外接球的表面积为16π,则异面直线BD 1与CC 1所成的角的余弦值为 .R ,则4πR 2=16π,解得R=2,设长方体的高为x ,则x 2+12+12=(2R )2=16,故x=√14,在Rt △BDD 1中,∠DD 1B 即为异面直线所成的角,其余弦值为√144. 3.(2019山东淄博一模)如图所示,平面BCC 1B 1⊥平面ABC ,∠ABC=120°,四边形BCC 1B 1为正方形,且AB=BC=2,则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为 .由题意知,可将原图补为如图所示的直四棱柱.∵BC 1∥AD ,∴异面直线BC 1与AC 所成角即为直线AD 与AC 所成角∠DAC ,由余弦定理可得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC cos ∠ABC=4+4-8cos 120°=12,∴AC=2√3.又AD=CD=√4+4=2√2,∴cos ∠DAC=AD 2+AC 2-CD 22AD ·AC=2×2√2×2√3=√64.4.如图1,在矩形ABCD 中,AB=2,BC=1,E 是DC 的中点;如图2,将△DAE 沿AE 折起,使折后平面DAE ⊥平面ABCE ,则异面直线AE 和DB 所成角的余弦值为 .AE 的中点为O ,连接DO ,BO ,延长EC 到F 使EC=CF ,连接BF ,DF ,OF ,则BF ∥AE ,所以∠DBF 或它的补角为异面直线AE 和DB 所成角.∵DA=DE=1,∴DO ⊥AE ,且|AO|=|DO|=√22,在△ABO 中,根据余弦定理得cos ∠OAB=cos45°=|AO |2+|AB |2-|BO |22|AO |·|AB |=√22.∴|BO|=√102.同理可得|OF|=√262. 又∵平面DAE ⊥平面ABCE ,平面DAE ∩平面ABCE=AE ,DO ⊂平面DAE ,∴DO ⊥平面ABCE.∵BO ⊂平面ABCE ,∴DO ⊥BO , ∴|BD|2=|BO|2+|DO|2=12+52=3,即|BD|=√3,同理可得|DF|=√7.又∵BF=AE=√2,∴在△DBF 中,cos ∠DBF=|DB |2+|BF |2-|DF |22|DB |·|BF |=2×√3×√2=-√66,∵两直线的夹角的取值范围为0,π2, ∴异面直线AE 和DB 所成角的余弦值为√66.命题角度2空间位置关系的综合判断高考真题体验·对方向(2019全国Ⅲ·8)如图,点N 为正方形ABCD 的中心,△ECD 为正三角形,平面ECD ⊥平面ABCD ,M 是线段ED 的中点,则( )A.BM=EN ,且直线BM ,EN 是相交直线B.BM ≠EN ,且直线BM ,EN 是相交直线C.BM=EN ,且直线BM ,EN 是异面直线D.BM ≠EN ,且直线BM ,EN 是异面直线,连接BD ,BE.在△BDE 中,N 为BD 的中点,M 为DE 的中点,∴BM ,EN 是相交直线,排除选项C 、D .作EO ⊥CD 于点O ,连接ON. 作MF ⊥OD 于点F ,连接BF.∵平面CDE ⊥平面ABCD ,平面CDE ∩平面ABCD=CD ,EO ⊥CD ,EO ⊂平面CDE , ∴EO ⊥平面ABCD.同理,MF ⊥平面ABCD.∴△MFB 与△EON 均为直角三角形.设正方形ABCD 的边长为2,易知EO=√3,ON=1,MF=√32,BF=√22+94=52,则EN=√3+1=2,BM=√3+25=√7,∴BM ≠EN.故选B .典题演练提能·刷高分1.(2019北京顺义统考二)已知m ,n 是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则( )A.若m⊥α,α⊥β,则m∥βB.若m∥α,n⊥α,则m⊥nC.若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥βD.若m∥α,n∥α,则m∥nA中,m∥β或m⊂β,故A错;易知选项B正确;选项C中,没有m,n相交的条件,故C错;选项D中,m,n的关系也可以相交或异面,故D错.故选B.2.已知直线l,m,平面α,β,且l⊥α,m⊂β,下列命题:①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③l∥m⇒α⊥β;④l⊥m⇒α∥β,其中正确的序号是()A.①②B.①③C.②④D.③④⊥α,α∥β⇒l⊥β,而m⊂β,所以l⊥m,①对;l⊥α,m⊂β,α⊥β时,l,m位置关系不定;l⊥α,l∥m⇒m⊥α,而m⊂β,所以α⊥β,③对;l⊥α,m⊂β,l⊥m时,α,β位置关系不定.故选B.3.设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,给出下列四个命题:①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α;②若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m⊥n;③若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ;④如果m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β.则错误的命题个数为()A.4B.3C.2D.1若m∥l,且m⊥α,则l⊥α是正确的,垂直于同一个平面的直线互相平行;②若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m⊥n是错误的,当m和n平行时,也可能满足前边的条件;③若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ,不对,垂直于同一个平面的两个平面可以是交叉的;④如果m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β是错误的,平面β和α能相交.故答案为B.4.如图,在三棱锥A-BCD中,AC⊥AB,BC⊥BD,平面ABC⊥平面BCD.①AC⊥BD;②AD⊥BC;③平面ABC⊥平面ABD;④平面ACD⊥平面ABD.以上结论中正确的个数有()A.1B.2C.3D.4平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,BC⊥BD,∴BD⊥平面ABC,又AC⊂平面ABC,∴BD⊥AC,故①正确.∵BD⊂平面ABD,∴平面ABD⊥平面ABC,故③正确.∵AC⊥AB,BD⊥AC,AB∩BD=B,∴AC⊥平面ABD,又AC⊂平面ACD,∴平面ACD⊥平面ABD,故④正确.综上①③④正确,故选C.5.(2019四川成都二模)已知a,b是两条异面直线,直线c与a,b都垂直,则下列说法正确的是()A.若c⊂平面α,则a⊥αB.若c⊥平面α,则a∥α,b∥αC.存在平面α,使得c⊥α,a⊂α,b∥αD.存在平面α,使得c∥α,a⊥α,b⊥αa,b是两条异面直线,直线c与a,b都垂直可知,在A中,若c⊂平面α,则a与α相交、平行或a⊂α,故A错误;在B中,若c⊥平面α,则a,b与平面α平行或a,b中有一条在平面α内,故B错误;在C 中,由线面垂直的性质得,存在平面α,使得c⊥α,a⊂α,b∥α,故C正确;在D中,若存在平面α,使得c∥α,a⊥α,b⊥α,则a∥b,与已知a,b是两条异面直线矛盾,故D错误.6.给出下列四个命题:①如果平面α外一条直线a与平面α内一条直线b平行,那么a∥α;②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直;③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线与这个平面垂直;④若两个相交平面都垂直于第三个平面,则这两个平面的交线垂直于第三个平面.其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4①,根据线面平行的判定定理,如果平面外一条直线a与平面α内一条直线b平行,那么a ∥α,故正确;对于②,因为垂直同一平面的两直线平行,所以过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直,故正确;对于③,平面内无数条直线均为平行线时,不能得出直线与这个平面垂直,故不正确;对于④,因为两个相交平面都垂直于第三个平面,所以在两个相交平面内各取一条直线垂直于第三个平面,可得这两条直线平行,则其中一条直线平行于另一条直线所在的面,可得这条直线平行这两个相交平面的交线,从而交线垂直于第三个平面,故正确.故选C.7.如图所示为一正方体的平面展开图,在这个正方体中,有下列四个命题:①AF⊥GC;②BD与GC成异面直线且夹角为60°;③BD∥MN;④BG与平面ABCD所成的角为45°.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4将平面展开图还原成正方体(如图所示).对于①,由图形知AF与GC异面垂直,故①正确;对于②,BD与GC显然成异面直线.连接EB,ED,则BM∥GC,所以∠MBD即为异面直线BD与GC所成的角(或其补角).在等边△BDM中,∠MBD=60°,所以异面直线BD与GC所成的角为60°,故②正确;对于③,BD与MN为异面垂直,故③错误;对于④,由题意得GD⊥平面ABCD,所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角.但在Rt△BDG中,∠GBD不等于45°,故④错误.综上可得①②正确.故选B.。