八年级数学上册 全等三角形讲义 (新版)苏科版
苏教版八年级数学上册知识点总结(苏科版)
知识点总结第一章三角形全等一、全等三角形的定义1、全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、理解:(1)全等三角形形状与大小完全相等,与位置无关;(2)一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形,与原三角形仍然全等;(3)三角形全等不因位置发生变化而改变。
二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等、对应角相等。
理解:(1)长边对长边,短边对短边;最大角对最大角,最小角对最小角;(2)对应角的对边为对应边,对应边对的角为对应角。
2、全等三角形的周长相等、面积相等。
3、全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
三、全等三角形的判定1、边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
2、角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
3、推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
4、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等。
5、斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
四、证明两个三角形全等的基本思路1、已知两边:(1)找第三边(SSS);(2)找夹角(SAS);(3)找是否有直角(HL)。
2、已知一边一角:(1)找一角(AAS或ASA);(2)找夹边(SAS)。
3、已知两角:(1)找夹边(ASA);(2)找其它边(AAS)。
第二章轴对称一、轴对称图形相对一个图形的对称而言;轴对称是关于直线对称的两个图形而言。
二、轴对称的性质1、轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
2、如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线。
三、线段的垂直平分线1、性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
2、判定定理:到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
3、拓展:三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等。
四、角的角平分线1、性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等。
苏科版八年级数学上册1.2《全等三角形》中常见辅助线
全等三角形⑴----常见辅助线一.已知中点D1.线段倍长(或作平行线)A模型:如图,已知OA=OC,再倍长DO,使OB=OD,则△AOB≌△COD(SAS) C⑴.如图,在△ABC中,D是BC边的中点. BB A①.求证:AB+AC>2AD;②.若AB=5,AC=7,AD的取值范围为.CD1⑵如图,CE是△ACD中线,点B在AD的延长线上,BD=AC,∠ACD=∠ADC,求证:CE= BC.2CA BDEE⑶.如图,AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,点M为BC的中点,求证:DE=2AM.DAB CME⑷.如图,四边形BEFC中,D为BC中点,∠EDF=90 ,求证:BE+FC>EF.FB CD2.作垂线(知中点作垂线;证中点作垂线)C模型:如图,OA=OB,BC⊥CD,AD⊥CD,则△AOD ≌△BOC(AAS) A⑴.如图,△ABC 中,D 为 BC 的中点.BO①在图中作出 CM⊥AD,BN⊥AD,垂足分别为点 M,N; D②⑵求证:DM=DN; ③若 AD=3,求 AM+AN 的值.A DBC⑵.如图,CD 为△ABC 的角平分线,E,F 分别在 CD,BD 上,且 DA=DF,EF=AC.求证:EF ∥BC.C EBADFE⑶.如图,BC⊥CE,BC=CE,AC⊥CD,AC=CD,DE 交 AC 的延长线于点 M,M 是 DE 的中点. ①求证:AB⊥AC;②若 AB=8,求 CM 的长.BAC MD⑷.如图,已知 A(-2,1),C(0,2),且 C 为线段 AB 的中点,求点 B 的坐标.y BCAxO3.证中点【方法技巧】证线段的中点,常过线段的端点构造一组平行线,或过线段的两端点向过中点的线段作垂线,根据AAS或ASA构造全等三角形,证题关键往往是证明一组对应边相等.【作平行证中点】⑴.如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,D,E分别是AC和AC的延长线上的点,连接BD,BE,若AB=CE,∠DBC=∠EBC.求证:D是AC的中点.ADCBE⑵.如图,AB⊥AE,AB=AE,AC⊥AD,AC=AD,AH⊥DE于点H,延长AH交BC于点M.求证:M是BC的中点.ADHCB ME【作垂线证中点】⑶.如图,AB⊥AC,AB=AC,D是AB上一点,CE⊥CD,CE=CD,连接BE交AC于点F,求证:F是BE的中点.EAFDB C⑷如图,A,B,C三点共线,D,C,E三点共线,∠A=∠DBC,EF⊥AC于点F,AE=BD.①求证:C是DE的中点;②求证:AB=2CF. ABFD E二、线段的和差处理1.等线段代换法C⑴如图,CD为△ABC的中线,M,N分别为直线CD上的点,且BM∥AN.①求证:AN=BM;②求证:CM+CN=2CDMA BDN⑵如图,△ABC中,∠BAC=90︒,AB=AC,AN是过点A的一条直线,且BM⊥AN于点M,CN⊥AN于点N.①求证:AM=CN;②求证:MN=BM-CN.AMCBN⑶如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,且AD平分∠BAC,CE⊥AB于点E,交AD于点F.①求证:BD=CD; A②若AF=BC,求证:AC-CE=EF.E FB CD⑷.如图,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90︒,D为BC延长线上一点,BF⊥AD于点F,交AC于点E. A①求证:BE=AD;②过C点作CM∥AB交AD于点M,连接EM,求证:BE=AM+EM. FEMB DC2.截长补短法(直接和间接)如图,△ABC 中,∠CAB=∠CBA=45 ,CA=CB,点 E 为 BC 的中点,CN ⊥AE 交 AB 于点 N. ①求证:∠1=∠2;②求证:AE=CN+EN. (用多种方法) 方法 1:直接截长BN E12CA方法 2:间接载长BN E12CA方法 3:直接补短BN E12C AAB方法 4:间接补短N E12C三、角平分线模型 A1.作垂线1 P模型:如图,∠1=∠2,PA⊥OA,PB⊥OB,则PA=PB. 2O B⑴如图,△ABC中,CD是角平分线,AC=3,BC=5,求S△ACD∶S△BCD的值.CBA D⑵.如图,四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,且∠B+∠D=180︒,求证:AE=AD+BE.CDBA E⑶.如图,△ABC中,AC>AB,F为BC的中点,FD⊥BC,交∠BAC的平分线于点D,DE⊥AC于点E.A C-A B①求证:BD=CD;②求证:AB+AC=2AE;③直接写出的值C EA是.EFB CD⑷如图,△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点,且∠1=∠2,AB⊥BD于点M.①求证:AD平分△BDC的B D-CD A外角;②求的值.D M B 1M2C D2.截长补短 A模型:如图,若∠AOP=∠BOP,OA=OB,则△OAP≌△OBP P ⑴.如图,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠B+∠D=180 ,求证:CD=CB. O BCD12B B⑵.△ABC中,AB>AC,AD平分∠BAC,AE=AC,连DE.①求证:∠C>∠B;②若AB-AC=2,BC=3,求△BED的周长.AB CD⑶.如图,AD∥BC,E是CD上一点,且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AB=AD+BCCED12 43A B⑷.如图,BC>AB,AD=CD,∠1=∠2,探究∠BAD与∠C之间的数量关系.(多种方法)D DA A1 12 2B C CB3.角平分线+垂线:延长法 AC 模型:如图,若∠1=∠2,AC⊥OC,延长AC交OB于点B,则△OCA≌△OCB.⑴.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,CE⊥AD于点E,探究∠ACE,∠B,O B∠ECD之间的数量关系.AEB CD⑵.如图,在△ABC中,AB<BC,BP平分∠ABC,AP⊥BP于P点,连接PC,若△ABC的面积为4,求△BPC 的面积.APB C⑶.如图,在△AOB中,AO=OB,∠AOB=90 ,BD平分∠ABO交AO于点D,AE⊥BD交BD的延长线于点E,求证:BD=2AE.AEDBO⑷.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AE,BE分别平分∠DAB,∠CBA.①求证:AE⊥BE;②求证:DE=CE;③若AE=4,BE=6,求四边形ABCD的面积.DAEBC四、半角与倍角模型⑴如图,已知 AB=AC,∠BAC=90°,∠MAN=45°,过点 C 作 NC⊥AC 交 AN 于点 N,过点 B 作 BM⊥AB 交 AM 于点 M ,连接 MN.①当∠MAN 在∠BAC 内部时,求证:BM+CN=MN.MBNCA②如图,在①的条件下,当 AM 和 AN 在 AB 同侧时,①的结论是否成立?请说明理由.NCMBA⑵如图,在△ABC 中,CA=CB,∠ACB=120°,E 为 AB 上一点,∠DCE=60°,∠DAE=120°,求证: DE-AD=BE.CABED⑶如图,在△ABC 中,CA=CB,∠ACB=120°,点 E 为 AB 上一点,∠DCE=∠DAE=60°,求证:AD+DE=BE.DCBAE1 ⑷.①如图 1,在四边形 ABCD 中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F 分别是 BC,CD 上的点,且∠EAF= ∠2 DBAD,求证:EF=BE+DF;AFCBE②如图 2,在①条件下,若将△AEF 绕点 A 逆时针旋转,当点 E,F 分别 FD运动到 BC,CD 延长线上时,则 EF,BE,DF 之间的数量关系是.A。
苏科版初中八年级数学上册1-3探索三角形全等的条件第六课时斜边、直角边证全等(HL)课件
1.(2023四川甘孜州中考)如图,AB与CD相交于点O,AC∥BD, 只添加一个条件,能判定△AOC≌△BOD的是 ( B )
A.∠A=∠D B.AO=BO C.AC=BO D.AB=CD 解析 由AC∥BD可得∠A=∠B,∠C=∠D,可添加AO=BO,利 用AAS证明△AOC≌△BOD.故选B.
2.(2024江苏南京鼓楼期中)如图,在四边形ABCD中,∠B= ∠D,要使△ABC≌△CDA,可添加下列选项中的 ( C )
A.AB=CD B.AD=BC C.AB∥CD D.∠B=∠CAB
解析 添加AB∥CD,得出∠BAC=∠DCA,利用AAS证明△ ABC≌△CDA,符合题意.故选C.
在Rt△ABF和Rt△CDE中,
AF BF
CE, DE,
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).故答案为AF=EC.
4.(教材变式·P28例8)如图,AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC,CE⊥ AB,DF⊥AB,垂足分别是E,F.求证:CE=DF.
证明 ∵AC⊥BC,AD⊥BD,∴∠ACB=∠BDA=90°.
AB BA,
在Rt△ABC和Rt△BAD中,
BC
AD,
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL),∴S△ABC=S△BAD.
∵CE⊥AB于点E,DF⊥AB于点F1,∴ AB·1CE=
2
2
∴CE=DF.
AB·DF,
5.如图,已知AD,AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,如 果AD=AF,AC=AE. 求证:BC=BE.
BD CE,
∴△BOD≌△COE(AAS),∴OB=OC,OD=OE.
在Rt△ADO和Rt△AEO中,
OA OD
OA, OE,
苏科版初中八年级数学上册第一章《全等三角形》PPT课件
C
BC=EF,
CA=FD,
∴ △ABC ≌△ DEF(SSS).
E
F
1.3 探索三角形全等的条件(6)
二、自主探究
如果一个三角形三边的长度确定,那么这个三角 形的形状和大小就完全确定.三角形的这个性质叫做 三角形的稳定性.
1.3 探索三角形全等的条件(6)
三、知识应用
1.下列图形中,哪两个三角形全等?
分别以点C、 D为圆心,大 于为半12 径CD作的弧长, 两弧在 ∠AOB的内部 交于点M.
画射线OM 作射线OM
C
M
D
∴射线OM就是所求作的图形.
1.3 探索三角形全等的条件(7)
3.证 请对你的作法进行证明. 证明:在△MOC和△MOD中,
OC=OD,
4.用 用直尺和圆规完成以下作图:OM=OM,
四、尝试练习
1.已知:如图,AB=CD,AD=CB,
求证:∠B=∠D.
D
C 证明:连结AC,
在△ABC 和△CDA中,
A
B
AB=CD(已知),
BC=DA(已知),
AC=CA(公共边),
∴ △ABC≌△CDA(SSS),
∴∠B=∠D .
1.3 探索三角形全等的条件(6)
四、尝试练习
2.如图,AC、BD相交于点O,且AB=DC, AC=BD.求证:∠A=∠D.
1.3 探索三角形全等的条件(1)
探索活动:
(二)如图,△ABC与△DEF、 △MNP能完全重合
吗?
A
1.5
45
B
3
D
1.5 60
M
3
E C
F
3
N
45
全等三角形的性质(3个考点八大题型)(原卷版)-2024-2025学年八年级数学上册(苏科版)
全等三角形的性质(3个考点八大题型)【题型01:全等图形的概念】【题型02:全等三角形的对应元素的判断】【题型03:全等三角形的性质-求长度】【题型04:全等三角形的性质-求角度】【题型05:全等三角形的性质-判断结论】【题型06:全等三角形的性质-探究线段和角度之间的关系】【题型07:全等三角形的性质-动点问题】【题型08:全等三角形的性质-证明题】【题型01:全等图形的概念】1.下列各组图形中,是全等图形的是()A.B.C.D.2.下列各组图形中,属于全等图形的是()A.B.C.D.3.下列叙述中错误的是()A.能够完全重合的两个图形称为全等图形B.全等图形的形状和大小都相同C.所有正方形都是全等图形D.平移、翻折、旋转前后的图形全等4.下列各选项中的两个图形属于全等图形的是()A.B.C.D.【题型02:全等三角形的对应元素的判断】5.(2022秋•荆州月考)如图,四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′,若∠B=90°,∠C=60°,∠D′=105°,则∠A′= °.6.(2022春•南阳期末)如图,四边形ABCD≌四边形A'B′C'D',若∠A=110°,∠C=60°,∠D′=105°,则∠B= .7.如图,四边形ABCD与四边形A′B′C′D′全等,则∠A′= ,∠A= ,B′C′= ,AD= .8.如图,△ABC 中,点A(0,1),点C(4,3),如果要使△ABD 与△ABC 全等,那么符合条件的点 D 的坐标为 .【题型03:全等三角形的性质-求长度】9.如图,A,B,C三点共线,D,E,B三点共线,且△ABD≌△EBC,AB=5,BC=12,则DE长为()A.5B.6C.7D.810.如图,△ABC≌△DEF,点A与D,B与E分别是对应顶点,若测得∠A=∠D=90°,AB=3,DG=1,AG=2,则梯形CFDG的面积是( )A.5B.6C.7D.811.如图,点B、C、D在同一直线上,若△ABC≌△CDE,DE=3,BD=10,则AB等于()A.5B.6C.7D.812.如图,△ABC≌△DEC,B、C、D在同一直线上,且CE=6,AC=8,则BD长()A.12B.14C.16D.1813.如图,△ABC≌△DEF,BC=7,则EF的长为()A.7B.5C.3D.214.如图,△ABC≌△DEC,点E在AB上,AC与DE相交于点F,BC=6,BE=3.则△EBC的周长为()A.15B.16C.17D.1215.如图所示,△ABC≌△DEF,AD=8,AE=2,则AB的长是()A.10B.8C.6D.416.如图,已知△AEC≌△ADB,若AB=5,AD=3,则BE的长为()A.5B.4C.3D.2【题型04:全等三角形的性质-求角度】17.已知下图中的两个三角形全等,则∠α等于()A.72°B.58°C.60°D.50°18.如图,△ABC≌△ADE,∠B=30°,∠E=115°,则∠BAC的度数是()A.35°B.30°C.45°D.25°19.如图,点D,E分别在线段AB,AC上,BE与CD相交于点N.若△ABE≌△ACD,且∠A=65°,∠C=25°,则∠AEB的度数为( )A.80°B.90°C.100°D.105°20.如图,△ABC≌△A′B′C,若∠B=25°,∠A=70°,∠A′CB=45°,则∠B′CB的度数为()A.25°B.30°C.35°D.40°21.如图,△ABC≌△BAD,点A和点B,点C和点D是对应点,若∠D=79°,∠CAB=41°,则∠DBC的度数为()A.19°B.20°C.41°D.60°22.如图,AB⊥CD,△ABC≌△ADE,∠C=53°,则∠D=()A.47°B.35°C.37°D.53°23.如下图,已知△ABC≌△DBE,点D恰好在AC的延长线上,∠DBE=20°,∠BDE=41°.则∠BCD的度数是()A.60°B.62°C.61°D.63°24.如图,△ABC≌△AED,点E在线段BC上,∠1=56°,则∠BAE的度数为()A.34°B.56°C.62°D.68°25.如图,△ABC≌△DBE,∠ABC=80∘,∠E=35∘,则∠D的度数为()A.80∘B.35∘C.65∘D.115∘【题型05:全等三角形的性质-判断结论】26.如图,△ABD≌△EBC,AB=12,BC=5,A、B、C三点共线,则下列结论中:①CD⊥AE;②AD⊥CE;③ED=8;④∠EAD=∠ECD;正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个27.如图,△ABC≌△CDA,AB与CD,BC与DA是对应边,则下列结论错误的是()A.∠BAC=∠DCA B.AB∥DCC.∠BCA=∠DCA D.BC∥DA28.如图,已知△ABC≌△AED,则下列边或角的关系正确的是()A.∠C=∠D B.∠CAB=∠AED C.AC=ED D.BC=AE29.如图,已知△OAB≌△OA1B1,AB与A1O交于点C,AB与A1B1交于点D,则下列说法错误的是( )A.∠A=∠A1B.AO=COC.OB=OB1D.∠AOC=∠A1DC30.如图所示,△ABD≌△CDB,下面四个结论中,不正确的是().A.△ABD和△CDB的面积相等B.△ABD和△CDB的周长相等C.∠ABD=∠CBD D.AD∥BC,且AD=CB31.如图,若△ABC≌△DCB,则下列结论错误的是()A.∠A=∠D=90°B.S△ABC=S△DCBC.CD∥AB D.AC=DB【题型06:全等三角形的性质-探究线段和角度之间的关系】32.如图所示,已知AD⊥BC于点D,△ABD≌△CFD.(1)若BC=10,AD=7,求BD的长.(2)试判断AB和CF的关系,并说明理由33.已知:如图所示,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F,在AB 上有一点M,且CM=CD.(1)若AF=12,DF=4,求AM的长.(2)试说明∠CDA与∠CMA的关系.34.如图,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD,BE=CF.(1)求证:AD平分∠BAC;(2)直接写出AB,AC,AE之间的等量关系.35.△ABC在中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN 于点E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,猜想线段DE、AD与BE有怎样的数量关系?请写出这个关系,并加以证明;(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:DE=AD―BE;(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请直接写出这个等量关系不必证明.36.阅读理解:课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:在△ABC中,AB=7,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.(1)小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法(如图1):①延长AD到Q使得DQ=AD;②再连接BQ,把AB、AC、2AD集中在△ABQ中;③利用三角形的三边关系可得4<AQ<10,则AD的取值范围是___________.感悟:解题时,条件中若出现“中点”“中线”等条件,可以考虑倍长中线,构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.(2)请写出图1中AC与BQ的位置关系并证明;(3)思考:已知,如图2,AD是△ABC的中线,AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠FAC=90°,试探究线段AD与EF的数量和位置关系,并加以证明.37.(1)如图1,△ABC为直角三角形,∠A=90°,若沿图中虚线剪去∠A,则∠1+∠2=__________;(2)如图2,在△ABC中,∠A=40°,剪去∠A后成为四边形,则∠1+∠2=__________;(3)如图2,根据(1)和(2)的求解过程,请归纳∠1+∠2与∠A的关系是______________;(4)若没有剪去∠A,而是将∠A折成如图3的形状,试探究∠1+∠2与∠A的关系,并说明理由.【题型07:全等三角形的性质-动点问题】38.如图,在△ABC中,AB=AC=12厘米,BC=8厘米,点D为AB的中点.如果点P 在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上以a厘米/秒的速度由C点向A点运动.当△BPD与△CQP全等时,a的值为()A.3B.4C.4或6D.2或339.如图,∠A=∠B=90°,AB=60,E、F分别为线段AB和射线BD上的一点,若点E从点B出发向点A运动,同时点F从点B出发向点D运动,二者速度之比为3:7,运动到某时刻同时停止,在射线AC上取一点G,使△AEG与△BEF全等,则AG的长为()A.18B.70C.88或62D.18或7040.如图,在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,AB=10.点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B向终点B运动,同时点Q从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿折线B﹣C﹣A向终点A运动,点P,Q都运动到各自的终点时停止.设运动时间为t(秒),直线l经过点C,且l∥AB,过点P,Q分别作直线l的垂线段,垂足为E,F.当△CPE与△CQF全等时,t的值不可能是( )A.2B.2.8C.3D.641.如图,AB=12m,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,且AC=4m,P点从B向A运动,每分钟走1m,Q点从B向D运动,每分钟走2m,当P、Q两点同时出发t分钟后△CAP全等于△PBQ,则此时t的值是()A.4B.6C.8D.1042.《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品,全长1241cm,如图,AB=12cm,∠A=∠B=60°,AC=BD=9cm,点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上以x(cm/s)的速度由点B向点D运动,它们运动的时间为t(s),当△ACP 与△BPQ全等时,x的值是()A.2B.1或1.5C.2或1.5D.2或343.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点M,N分别在AC的垂线AX与线段AC上移动,MN=AB,AC=12cm,BC=6cm,若△ABC和以点M、N、A为顶点的三角形全等,则AN 的值为()A.12cm B.12cm或6cm C.11cm或7cm D.6cm【题型08:全等三角形的性质-证明题】44.如图,△ABD≌△CFD,且点B,D,C在一条直线上,点F在AD上,延长CF交AB于点E.(1)试说明:CE⊥AB.(2)若BD=3,AF=1,求BC的长.45.如图所示,△ABC≌△ADE,若∠BAD=100°,∠CAE=40°,求∠BAC的度数.46.如图,点D,A,E在同一条直线上,BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E,且△ABD≌△CAE,AD=2cm,BD=4cm.求:(1)DE的长;(2)∠BAC的度数.47.如图,A,E,C三点在同一直线上,且△ABC≌△DAE.(1)求证:DE=CE+BC;(2)猜想:当△ADE满足什么条件时DE∥BC?并证明你的猜想.48.如图所示,已知AD⊥BC于点D,△ABD≌△CFD.(1)若BC=10,AD=7,求BD的长;(2)求证:CE⊥AB.49.如图,已知△ABF≌△CDE.(1)若∠B=45°,∠DCF=25°,求∠EFC的度数;(2)若BD=10,EF=5,求BF的长.。
苏科版八年级数学上册第一章数学活动关于三角形全等的条件(课件)
B
O
D
C
谢谢
B
C
解答
B
5.如图(5)∠CAE=∠BAD,∠B=∠D,E
D
AC=AE,△ABC与△ADE全等吗?
解答
6为.“什三么月?三,放风筝”如图(6)是小东同C学自 A
己做的风筝,他根据AB=AD,BC=DC,不用度
量,就知道∠ABC=∠ADC。请用所学的知识
给予说明。
解答
4.如图(4)AE=CF,∠AFD=∠CEB,DF=BE, △AFD与△ CEB全等吗?为什么?
数学活动 关于三角形全等的 条件
知识点回顾
全等图形的定义: 能完全重合的图形叫全等图形
全等三角形的定义: 能完全重合的三角形是 全等三角形.
全等三角形的性质:全等三角形的对应边、对应角相等.
全等三角形的判定
一般三角形全等的判定:SAS、ASA、AAS、SSS
直角三角形全等的判定:SAS、ASA、AAS、SSS、HL
一、发掘“隐含条件”判全等
AD
1.如图(1),AB=CD,AC=BD,则
△ABC≌△DCB吗?说说理由
B 图(1) C
2.如图(2),点D在AB上,点E在AC上, B
D
CD与BE相交于点O,且AD=AE,AB=AC.若 O
A
∠B=20°,CD=5cm,则 ∠C= 20°,BE= 5.说cm说理由.
C
A
即∠BAC=∠DAE
又∵∠B=∠D
AC=AE 根据“AAS”,就可以得到
∴ △ABC≌ △ADE
6.“三月三,放风筝”如图(6)是小东同 学自己做的风筝,他根据AB=AD,BC=DC, 不用度量,就知道∠ABC=∠ADC。请用 所学的知识给予说明。
苏科版数学八年级上册1.2《全等三角形》教学设计
苏科版数学八年级上册1.2《全等三角形》教学设计一. 教材分析《全等三角形》是苏科版数学八年级上册的教学内容。
本节课主要让学生掌握全等三角形的概念、性质及判定方法。
教材通过引入生活中的实例,引导学生探索全等三角形的性质和判定方法,培养学生的观察能力、思考能力和动手操作能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前,已经掌握了相似三角形的知识,并具备了一定的观察、操作和推理能力。
但部分学生可能对全等三角形的概念和判定方法理解不透彻,容易与相似三角形混淆。
因此,在教学过程中,教师需要关注学生的学习差异,针对性地进行讲解和辅导。
三. 教学目标1.理解全等三角形的概念,掌握全等三角形的性质。
2.学会用SSS、SAS、ASA、AAS四种方法判定两个三角形全等。
3.能够运用全等三角形的性质和判定方法解决实际问题。
4.培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。
四. 教学重难点1.全等三角形的概念及判定方法。
2.不同判定方法之间的联系和运用。
五. 教学方法1.情境教学法:通过生活实例引入全等三角形的概念,激发学生的学习兴趣。
2.动手操作法:让学生动手剪拼三角形,加深对全等三角形性质的理解。
3.推理教学法:引导学生运用逻辑推理证明三角形全等。
4.小组合作法:鼓励学生分组讨论,共同探索全等三角形的判定方法。
六. 教学准备1.教学课件:制作全等三角形的相关课件,便于引导学生直观地认识和理解全等三角形。
2.教学素材:准备一些三角形图形,用于学生的动手操作和练习。
3.教学视频:收集一些与全等三角形相关的实例视频,用于导入和新课讲解。
七. 教学过程1.导入(5分钟)播放一段关于全等三角形的实例视频,引导学生关注全等三角形在现实生活中的应用。
提出问题:“为什么说这两个三角形是全等的?”激发学生的思考和兴趣。
2.呈现(10分钟)教师展示一组全等的三角形,引导学生观察并总结全等三角形的性质。
学生通过观察,发现全等三角形对应边和对应角相等。
八年级数学上册1-3第4课时用“角角边”判定三角形全等习题课件新版苏科版
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9. [2024昆山期末]如图,∠ DCE =90°, CD = CE , AD ⊥
AC , BE ⊥ AC ,垂足分别为 A 、 B . 求证: AD + AB =
BE .
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证明:∵∠ DCE =90°,∴∠ ECB +∠ ACD =90°.
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2. [荣德原创]如图,已知点 B 、 E 、 C 、 F 在同一条直线
上,∠ B =∠ DEF , BC = EF ,现要说明△ ABC ≌△
DEF ,若要以“ASA”为依据,还需添加条件
=∠ EFD
件
∠ BCA
;若要以“AAS”为依据,还需添加条
∠ A =∠ D
1
.
件后,仍无法判定△ ABC ≌△ DEF 的是(
A. ∠ A =∠ D
B. AC = DF
C. AB = ED
D. BF = EC
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A
)
8. 如图,在四边形 ABEF 中, AB =4, EF =6,点 C 是 BE
上一点,连接 AC 、 CF ,若 AC = CF ,∠ B =∠ E =
∴ AD + AB = BC + AB = AC ,∴ AD + AB = BE .
苏科版八年级上册 第一章 全等三角形 培优讲义设计(无答案)
B AC D EF 2019年9月培优 全等三角形的性质与判定知识储备1.能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同; 2.全等三角形性质:①全等三角形对应边相等,对应角相等;②全等三角形对应高、角平分线、中线相等;③全等三角形对应周长相等,面积相等;3.全等三角形判定方法有:SAS ,ASA ,AAS ,SSS ,对于两个直角三角形全等的判定方法,除上述方法外,还有HL 法;4.证明两个三角形全等的关键,就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件,具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角,再根据选定的判定方法,确定还需要证明哪些相等的边或角,再设法对它们进行证明;5..证明两个三角形全等,根据条件,有时能直接进行证明,有时要证的两个三角形并不全等,这时需要添加辅助线构造全等三角形,构造全等三角形常用的方法有:平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.典例【例1】如图,AB ∥EF ∥DC ,∠ABC =90°,AB =CD ,那么图中有全等三角形( ) A .5对 B .4对 C .3对 D .2对【解法指导】从题设题设条件出发,首先找到比较明显的一对全等三角形,并由此推出结论作为下面有用的条件,从而推出第二对,第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解:⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC =90. ∴∠DCB =90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB (SAS ) ∴∠A =∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE =CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC (HL )故选C . 【变式题组】 01.(天津)下列判断中错误的是( )A .有两角和一边对应相等的两个三角形全等B .有两边和一角对应相等的两个三角形全等C .有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D .有一边对应相等的两个等边三角形全等A F C E DB 02.(丽水)已知命题:如图,点A 、D 、B 、E 在同一条直线上,且AD =BE ,∠A =∠FDE ,则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题,如果是真命题,请给出证明;如果是假命题,请添加一个适当条件使它成为真命题,并加以证明.03.(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ,E 为OB 的中点,F 为OC 的中点,连接EF (如图所示).⑴添加条件∠A =∠D ,∠OEF =∠OFE ,求证:AB =DC ; ⑵分别将“∠A =∠D ”记为①,“∠OEF =∠OFE ”记为②,“AB =DC ”记为③,添加①、③,以②为结论构成命题1;添加条件②、③,以①为结论构成命题2.命题1是______命题,命题2是_______命题(选择“真”或“假”填入空格).【例2】已知AB =DC ,AE =DF ,CF =FB . 求证:AF =DE .【解法指导】想证AF =DE ,首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中,而DE 在△CDE 和△DEF 中,因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明:∵FB =CE ∴FB +EF =CE +EF ,即BE =CF 在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF (SSS ) ∴∠B =∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF =DE【变式题组】01.如图,AD 、BE 是锐角△ABC 的高,相交于点O ,若BO =AC ,BC =7,CD =2,则AO 的长为( ) A .2 B .3 C .4 D .5A B C D O FE A CEFBD02.如图,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =90°,AE 是过A 点的一条直线,AE ⊥CE 于E ,BD⊥AE 于D ,DE =4cm ,CE =2cm ,则BD =__________. \ 03.(北京)已知:如图,在△ABC 中,∠ ACB =90°,CD ⊥AB 于点D ,点E 在AC 上,CE =BC ,过点E 作AC 的垂线,交CD 的延长线于点F . 求证:AB =FC .【例3】如图①,△ABC ≌△DEF ,将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合,把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转,这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置,点B (E )、C 、D 在同一直线上时,∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时,⑴中的结论成立吗?请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD =∠DCA⑵∠AFD =∠DCA 理由如下:由△ABC ≌△DEF ,∴AB =DE ,BC =EF , ∠ABC =∠DEF , ∠BAC =∠EDF ∴∠ABC -∠FBC =∠DEF -∠CBF , ∴∠ABF =∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF =∠DEC ∴∠BAC -∠BAF =∠EDF -∠EDC , ∴∠FAC =∠CDF∵∠AOD =∠FAC +∠AFD =∠CDF +∠DCA∴∠AFD =∠DCAB (E )OC F 图③DAAFECB DAE第1题图A BCDEBCDO第2题图【变式题组】01.(绍兴)如图,D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点,将此三角形沿DE折叠,使点C 落在AB边上的点P处.若∠CDE=48°,则∠APD等于()A.42°B.48°C.52°D.58°02.如图,Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF,下列结论中错误的是()A.△ABC≌△DEF B.∠DEF=90°C.AC=DF D.EC=CF03.一张长方形纸片沿对角线剪开,得到两种三角形纸片,再将这两张三角形纸片摆成如下图形式,使点B、F、C、D在同一条直线上.⑴求证:AB⊥ED;⑵若PB=BC,找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并证明.【例4】(第21届江苏竞赛试题)已知,如图,BD、CE分别是△ABC的边A C和AB边上的高,点P在BD的延长线,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB.求证:⑴AP=AQ;⑵AP⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等,也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察,证AP=AQ,也就是证△APD和△AQE,或△APB和△QAC全等,由已知条件BP=AC,CQ=AB,应该证△APB≌△QAC,已具备两组边对应相等,于是再证夹角∠1=∠2即可. 证AP⊥AQ,即证∠PAQ=90°,∠PAD+∠QAC=90°就可以.证明:⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高,∴∠BDA=∠CEA=90°,∴∠1+∠BAD=90°,∠2+∠BAD=90°,∴∠1=∠2.在△APB和△QAC中, 2AB QCBP CA=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠∴△APB≌△QAC,∴AP=AQE FBACDG第2题图21ABCPQEFD⑵∵△APB ≌△QAC ,∴∠P =∠CAQ , ∴∠P +∠PAD =90° ∵∠CAQ +∠PAD =90°,∴AP ⊥AQ 【变式题组】01.如图,已知AB =AE ,∠B =∠E ,BC =ED ,点F 是CD 的中点,求证:02.直距离MA 为am ,此时梯子的倾斜角为75°,如果梯子底端不动,顶端靠在对面的墙上,此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ,梯子倾斜角为45°,这间房子的宽度是( )A .2a bm + B .2a bm - C .bm D .am03.如图,已知五边形ABCDE 中,∠ ABC =∠AED =90°,AB =CD =AE =BC +DE =2,则五边形ABCDE 的面积为__________巩固提高01.(海南)已知图中的两个三角形全等,则∠α度数是( )A .72°B .60°C .58°D .50°02.如图,△ACB ≌△A /C /B /,∠ BCB /=30°,则∠ACA /的度数是( )A .20°B .30°C .35°D .40° 03.(牡丹江)尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下:以O 为圆心,任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ,再分别以点C 、D 为圆心,以大于12CD 长为半径画弧,两弧交于点P ,作射线OP ,由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是( )第1题图a αcca50° b72° 58°AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图DA .SASB .ASAC .AASD .SSS 04.(江西)如图,已知AB =AD ,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是( )A . CB =CD B .∠BAC =∠DAC C . ∠BCA =∠DCAD .∠B =∠D =90°05.有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ,将它们的一个锐角顶点放在一起,将它们的一个锐角顶点放在一起,如图,当A 、B 、D 不在一条直线上时,下面的结论不正确的是( )A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE =∠CBDC . ∠ABC =∠EBD =45° D . AC ∥BE06.如图,△ABC 和共顶点A ,AB =AE ,∠1=∠2,∠B =∠E . BC 交AD 于M ,DE 交AC 于N ,小华说:“一定有△ABC ≌△AED .”小明说:“△ABM ≌△AEN .”那么( ) A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07.如图,已知AC =EC , BC =CD , AB =ED ,如果∠BCA =119°,∠ACD =98°,那么∠ECA 的度数是___________. 08.如图,△ABC ≌△ADE ,BC 延长线交DE 于F ,∠B =25°,∠ACB =105°,∠DAC =10°,则∠DFB 的度数为_______.09.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°, DE ⊥AB 于D , BC =BD . AC =3,那么AE +DE =______10.如图,BA ⊥AC , CD ∥AB . BC =DE ,且BC ⊥DE ,若AB =2, CD =6,则AE =_____. 11.如图, AB =CD , AB ∥CD . BC =12cm ,同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发,沿CB 方向爬行,P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时,△APB ≌△QDC .DA C .Q P.BA E FB DC 12.如图, △ABC 中,∠BCA =90°,AC =BC ,AE 是BC 边上的中线,过C 作CF ⊥AE ,垂足为F ,过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证:AE =CD ;⑵若AC =12cm , 求BD 的长.13.(吉林)如图,AB =AC ,AD ⊥BC 于点D ,AD 等于AE ,AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形,并选取其中一对加以证明.14.如图,将等腰直角三角板ABC的直角顶点C 放在直线l 上,从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线,垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形,并加以证明; ⑵若DE =a ,求梯形DABE 的面积.(温馨提示:补形法)15.如图,AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD =BC ,CE ⊥AB ,DF ⊥AB ,垂足分别是E 、F .求证:CE =DF .16.我们知道,两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等,那么在什么情况下,它们会全等? ⑴阅读与证明:对于这两个三角形均为直角三角形,显然它们全等;对于这两个三角形均为钝角三角形,可证明它们全等(证明略); 对于这两个三角形均为锐角三角形,它们也全等,可证明如下;已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形,AB =A 1B 1,BC =B 1C 1,∠C =∠C 1.求证:△ABC ≌△A 1B 1C 1.(请你将下列证明过程补充完整)⑵归纳与叙述:由⑴可得一个正确结论,请你写出这个结论.ABCDA 1B 1C 1D 1D B A C EF A E B F D CAEF C DB 培优升级01.如图,在△ABC 中,AB =AC ,E 、F 分别是AB 、AC 上的点,且AE =AF ,BF 、CE 相交于点O ,连接AO 并延长交BC 于点D ,则图中全等三角形有( ) A .4对 B .5对 C .6对 D .7对02.如图,在△ABC 中,AB =AC ,OC =OD ,下列结论中:①∠A =∠B ②DE =CE ,③连接DE , 则OE 平分∠AOB ,正确的是( ) A .①② B .②③ C .①③ D .①②③03.如图,A 在DE 上,F 在AB 上,且AC =CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于()A .DCB . BC C . ABD .AE +AC04.下面有四个命题,其中真命题是( )A .两个三角形有两边及一角对应相等,这两个三角形全等B .两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05.在△ABC 中,高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH =AC ,则∠ABC =_______.06.如图,EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ,∠E =∠F =90°,∠B =∠C , AE=AF . 给出下列结论:①∠1=∠2;②BE =CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD =DB ,其中正确的结论有___________.(填序号)07.如图,AD 为在△ABC 的高,E 为AC 上一点,BE 交AD 于点F ,且有BF =AC ,FD =CD .⑴求证:BE ⊥AC ;⑵若把条件“BF =AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换,这个命题成立吗?证明你的判定.08.如图,D 为在△ABC 的边BC 上一点,且CD =AB ,∠BDA =∠BAD ,AE 是△ABD 的中线.求证:AC =2AE .AB E D CF第6题图2 1AB CE N M3 21ADEBC FADECOA E O BFC D 第1题图B第2题图第3题图AB C DEAE B DC 09.如图,在凸四边形ABCD 中,E 为△ACD 内一点,满足AC =AD ,AB =AE , ∠BAE +∠BCE=90°, ∠BAC =∠EAD .求证:∠CED =90°.10.(沈阳)将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放,其中∠ACB =∠DEB =90°,∠A =∠D =30°,点E 落在AB 上,DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证:AF +EF =DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α,且0°<α<60°,其他条件不变,请在图②中画出变换后的图形,并直接写出(1)中结论是否仍然成立;⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β,且60°<β<180°,其他条件不变,如图③你认为(1)中结论还成立吗?若成立,写出证明过程;若不成立,请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系,并说明理由。
八年级数学上册全等三角形教案苏科版
全等三角形知识梳理【教学目标】1.通过全等三角形的概念和识别方法的复习,让学生体会辨别、探寻、运用全等三角形的一般方法,体会主动实验,探究新知的方法;2.培养学生观察和理解能力,几何语言的叙述能力及运用全等知识解决实际问题的能力.3.通过自主探究,提升独立思考分析解决问题的能力;通过小组合作,增强团队合作学习意识.【教学重难点】重点:运用全等三角形的识别方法来探寻三角形以及运用全等三角形的知识解决实际问题.难点:探究复杂问题的方法.【教学过程】一、知识结构梳理:请同学们看书或参阅学习材料列出全等三角形知识结构图.给学生充分的时间,然后利用实物展台展示.二、具体知识梳理:1. 全等三角形的定义: .2.全等三角形的性质: .3.一般三角形全等的判别方法: .直角三角形全等的判别方法: .4.三角形全等的条件思路:当两三角形已具备两角对应相等时,第三条件应找 .当两三角形已具备两边对应相等时,第三条件应找 .当两三角形已具备一角一边对应相等时,第三条件应找 . 5.找三角形全等的条件时经常见到的隐含条件有: . 6.三个角对应相等的两个三角形全等吗?两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗?试举反例说明.三、题型梳理:(一).挖掘“隐含条件”判全等1.如图,AB=CD,AC=BD,则△ABC≌△DCB吗?说说理由.2.如图(2),点D在AB上,点E在AC上,CD与BE相交于点O,且AD=AE,AB=AC.若∠B=20°,CD=5cm,则∠C= ,BE= .(二).添条件判全等1.如图,已知AD平分∠BAC,要使△ABD≌△ACD,根据“SAS”需要添加条件;根据“ASA”需要添加条件;根据“AAS”需要添加条件 .2.已知AB//DE,且AB=DE,(1)请你只添加一个条件,使△ABC≌△DEF,你添加的条件是 .(2)添加条件后,试说明△ABC≌△DEF.(三).转化“间接条件”判全等1.如图,AE=CF,∠AFD=∠CEB,DF=BE,△AFD与△ CEB全等吗?为什么?2.如图,∠CAE=∠BAD,∠B=∠D,AC=AE,△ABC与△ADE全等吗?为什么?(四).根据条件画全等在下列网格中画出与⊿ABC全等的三角形.要求:以BC为公共边,且三角形的顶点也在格点上(即所画三角形也是格点三角形)AB CCB(五).添辅助线判全等如图,AB =AE ,BC =ED ,∠B =∠E ,AF ⊥CD 于F .试说明:F 是CD 中点.(六).实际问题用全等 测量如图河的宽度,某人在河的对岸找到一参照物树木A, 视线AB与河岸垂直,然后该人沿河岸步行10步(每步约0.75M )到O 处,进行标记,再向前步行10步到D 处,最后背对河岸向前步行20步到达C,此时树木A ,标记O ,点C 恰好在同一直线上,则河的宽度为多少米?(七).拓展题如图,已知AC∥BD,EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA,CD 过点E ,则AB 与AC+BD 相等吗?请说明理由. B CA O D四、课堂小结跟大家分享一下本节课你的收获吧……1.学习全等三角形应注意以下几个问题:(1) 要正确区分“对应边”与“对边”,“对应角”与“对角”的不同含义;(2)表示两个三角形全等时,表示对应顶点的字母要写在对应的位置上;(3)要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等;(4)时刻注意图形中的隐含条件,如“公共角” 、“公共边”、“对顶角”等。
苏科八年级数学上册《全等图形1》课件
You made my day!
我们,还在路上……
第一章 全等三角形
1.1 全等图形
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像上面那些能完全重合的图形叫做全等形 8
两个图形全等,它们的形状和大小都相同
观察下图中的全等三角形,在各组图形 中,第2个图形是怎
做一做
用不同的方法沿网格线把正方 形分割成两个全等的图形.
随堂练习
1、下列各组中是全等形的是( D ) A、两个周长相等的等腰三角形 B、两个面积相等的长方形 C、两个面积相等的直角三角形 D、两个周长相等的圆
课堂 作业:
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月22日星期五2022/4/222022/4/222022/4/22 2、科学的灵感,决不是坐等可以等来的。如果说,科学上的发现有什么偶然的机遇的话,那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人,给那些善于 独立思考的人,给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/222022/4/222022/4/224/22/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/222022/4/22April 22, 2022
2、两个全等图形中可以不同的是( A ) A、位置 B、长度 C、角度 D、面积
3、下列各组中可能不是全等形的是( C )
A、两条长度相等的线段
B、两个大小相等的角
C、两条长度的圆弧
D、两条互相垂直的直线
将如图的一个等边三角形分割成 (1)三个全等的三角形; (2)四个全等的三角形; (3)六个全等的三角形。
苏科数学八上 全等三角形的多次判定讲义
全等三角形的多次判定 重难点易错点辨析 全等的多次判定
题一:如图,AB =CD ,AE ⊥BC ,DF ⊥BC ,垂足分别为E 、F ,CE =BF ,求证:AC =BD .
F D
E B C A
金题精讲
题一:如图,AC =BD ,∠CAB =∠DBA .求证:OC =OD .
O
D A B C
题二:如图,已知AB =DC ,AE =DF ,CE =FB ,求证:AF =DE .
F
E
A
B C D
思维拓展
题一:△A BC 中,AB =9,AC =5,AD 为BC 边上中线,则AD 的取值范围是 .
全等三角形的多次判定
讲义参考答案
重难点易错点辨析
题一:HL SAS.
金题精讲
题一:SAS AAS.题二:SSS SAS.
思维拓展
题一:
2<AD<7.
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苏科版数学八年级上册第一章全等三角形复习课件
类型1:平移型
模型展示
常见模型
隐含条件:平行线;重叠线段的等式性质应用转化
基本图形
类型2:轴对称型
模型展示常见模型
隐含条件:公共边,公共角,对顶角
模型说明:轴对称模型的图形,可以看成一个轴对称图形,对应角相等,对应边相等,对应图形全等.
基本图形
类型3:旋转型模型展示常见模型
隐含条件:公共边,对顶角,重叠角和重叠线段利用等式性质的转化
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
2、“角边角”或“ASA”
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
3、“角角边”或“AAS”
两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等.
4、“边边边”或“SSS”
三边分别相等的两个三角形全等。
5、“斜边、直角边”或“HL”
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
一线三等角
变:
A
B
C
A
B
C
分别根据上面所画的两幅图,猜想线段AD,BE,DE的数量关系,并证明你的猜想。
一线三等角
如图,有一直角三角形ABC,∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm,一条线段PQ=AB,P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动,问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等.
知识回顾
SSS
1、三边对应相等的两个三角形全等——SSS
2、几何语言表达:
在△ABC与△DEF中
AB=DEAC=DFBC=EF
∴△ABC≌△DEF(SSS)
知识回顾
例:
如图,AB=AC,AE=AD,BSAS
1、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等——SAS
探索三角形全等的条件-【帮课堂】2021-2022学年八年级数学上册同步精品讲义(苏科版)(解析版)
第1章全等三角形1.3探索三角形全等的条件课程标准课标解读1.理解和掌握全等三角形判定方法1——“角边角”,判定方法2——“边角边”;能运用它们判定两个三角形全等.2.能把证明角相等或线段相等的问题,转化为证明它们所在的两个三角形全等.3.理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边,直角边”(即“HL”).1.理解和掌握全等三角形判定方法3——“边边边”,和判定方法4——“角角边”;2.能把证明角相等或线段相等的问题,转化为证明它们所在的两个三角形全等.3.能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.知识点01 全等形的判定1.全等三角形判定1——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).【微点拨】如果∠A=∠,AB=,∠B=∠,则△ABC≌△.【即学即练1】1.如图,为了测量池塘两岸相对的两点A,B之间的距离,小颖在池塘外取AB的垂线BF 上两点C,D,使BC CD,再画出BF的垂线DE,使点E与A,C在同一条直线上,这时,可得ABC EDC△≌△,因此,测得DE的长就是AB的长.这里判定ABC EDC△≌△的依据是()A.ASA B.SAS C.AAS D.SSS【答案】A【分析】'A''A B'B'''A B C目标导航知识精讲根据全等三角形的判定进行判断,注意看题目中提供了哪些证明全等的要素,要根据已知选择判断方法. 【详解】解:因为证明在△ABC △△EDC 用到的条件是:BC =CD ,△ABC =△EDC =90°,△ACB =△ECD (对顶角相等), 所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA 这一方法. 故选:A .【即学即练2】2.下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( ) A .一条直角边和斜边分别对应相等 B .两条直角边分别对应相等 C .一个锐角和一条斜边分别对应相等 D .两个锐角分别对应相等 【答案】D 【分析】根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解. 【详解】解:A. 可以利用边角边或HL 判定两三角形全等,不符合题意; B. 可以利用边角边判定两三角形全等,不符合题意; C. 可以利用角角边判定两三角形全等,不符合题意.D. 两个锐角对应相等,不能说明两三角形能够完全重合,符合题意; 故选:D .2. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS ”). 【微点拨】如果AB = ,∠A =∠,AC = ,则△ABC ≌△. 注意:这里的角,指的是两组对应边的夹角.3. 有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等.△ABC 与△ABD 中,AB =AB ,AC =AD ,∠B =∠B ,但△ABC 与△ABD 不完全重合,故不全等,也就是有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等. 4.全等三角形判定3——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.(可以简写成“边边边”或“SSS ”). 【微点拨】''A B 'A ''A C '''A B C如果=AB ,=AC ,=BC ,则△ABC ≌△. 5.全等三角形判定4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS ”) 【微点拨】由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等,也就是说,用角边角条件可以证明角角边条件,后者是前者的推论. 6.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.在△ABC 和△ADE 中,如果DE ∥BC ,那么∠ADE =∠B ,∠AED =∠C ,又∠A =∠A ,但△ABC 和△ADE 不全等.这说明,三个角对应相等的两个三角形不一定全等.知识点02 判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知,对于两个直角三角形,满足一边一锐角对应相等,或两直角边对应相等,这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS ”,“ASA ”或“SAS ”判定定理.【即学即练3】3.如图,在ABC 中,90C ∠=︒,D 是AC 上一点,DE AB ⊥于点E ,BE BC =,连接BD ,若8cm AC ,则AD DE +等于( )A .6cmB .7cmC .8cmD .10cm【答案】C 【分析】证明Rt△BCD△Rt△BED (HL ),由全等三角形的性质得出CD=DE ,则可得出答案. 【详解】解:DE AB ∵⊥,90DEB ∴∠=︒,在Rt BCD 和Rt BED △中,BD BDBE BC =⎧⎨=⎩, Rt Rt (HL)BCD BED ∴≅△△,CD DE ∴=,''A B ''A C ''B C '''A BCAD DE AD CD AC∴+=+=,8AC =cm,8AD DE AC∴+==cm.故选:C.【即学即练4】4.如图,△ACB=90°,AC=BC,AD△CE,BE△CE,垂足分别是点D、E,AD=3,BE=1,则DE的长是()A.2B.4C.D【答案】A【分析】根据条件可以得出△EBC=△DCA,进而得出△CEB△△ADC,就可以得出BE=DC,就可以求出DE的值.【详解】解:△BE△CE,AD△CE,△△E=△ADC=90°,△△EBC+△BCE=90°.△△BCE+△ACD=90°,△△EBC=△DCA,在△CEB和△ADC中,E ADCEBC DCA BC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,△△CEB△△ADC(AAS),△BE=DC=1,CE=AD=3,△DE=EC-CD=3-1=2.故选:A.考法01 判断方法的选择已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA两角对应相等ASA AAS两边对应相等SAS SSS如何选择三角形证全等(1)可以从求证出发,看求证的线段或角(用等量代换后的线段、角)在哪两个可能全等的三角形中,可以证这两个三角形全等;(2)可以从已知出发,看已知条件确定证哪两个三角形全等;(3)由条件和结论一起出发,看它们一同确定哪两个三角形全等,然后证它们全等;(4)如果以上方法都行不通,就添加辅助线,构造全等三角形.【典例1】如图,要测量河两岸相对的两点A、B的距离,先在AB的垂线BF上取两点C、D,使BC CD=,再作出BF的垂线DE,使点A、C、E在同一条直线上,可以说明ABC EDC△≌△,得AB DE=,因此测得DE的长就是AB的长,判定ABC EDC△≌△,最恰当的理由是()A.SAS B.HL C.SSS D.ASA【答案】D【分析】根据全等三角形的判定进行判断,注意看题目中提供了哪些证明全等的要素,要根据已知选择判断方法.【详解】解:因为证明在△ABC△△EDC用到的条件是:CD=BC,△ABC=△EDC=90°,△ACB=△ECD,能力拓展所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA 这一方法. 故选:D .考法02 判断直角三角形全等的特殊方法---斜边,直角边定理在两个直角三角形中,有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”).这个判定方法是直角三角形所独有的,一般三角形不具备.(1)“HL ”从顺序上讲是“边边角”对应相等,由于其中含有直角这个特殊条件,所以三角形的形状和大小就确定了.(2)判定两个直角三角形全等的方法共有5种:SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三角形全等,首先考虑用斜边、直角边定理,再考虑用一般三角形全等的证明方法.(3)应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件,书写时必须在两个三角形前加上“Rt ”【典例2】如图,AB DE =,A D ∠=∠,要说明ABC DEF △≌△,需添加的条件不能是( )A .//AB DE B .//AC DF C .AC DE ⊥D .AC DF =【答案】C 【分析】直接根据三角形证明全等的条件进行判断即可; 【详解】A 、△AB△DE ,△△ABC=△DEC ,△根据ASA 即可判定三角形全等,故此选项不符合题意;B 、△AC△DF ,△△DFE=△ACB ,△根据AAS 即可判定三角形全等,故此选项不符合题意;C 、AC△DE ,不符合三角形全等的证明条件,故此选项符合题意;D 、△AC=DF ,△根据SAS 即可判定三角形全等,故此选项不符合题意; 故选:C .题组A 基础过关练1.如图,MB ND =,MBA D ∠=∠,添加下列条件不能判定ABM CDN ≌的是( )分层提分A .M N ∠=∠B .AM CN =C .AB CD = D .AC BD =【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理可解. 【详解】A 选项:根据ASA 可以判定ABM CDN ≌,故A 错误;B 选项:根据SSA 不能判定ABM CDN ≌,故B 正确;C 选项:根据SAS 可以判定ABM CDN ≌,故C 错误;D 选项:根据AC BD =,可推AB CD =,所以根据SAS 可以判定ABM CDN ≌,故D 错误. 故答案选:B .2.如图,在ABC 和ABD △中,已知AC AD =,BC BD =,则能说明ABC ABD △≌△的依据是( )A .SASB .ASAC .SSSD .HL【答案】C 【分析】由题意,结合AB=AB ,即可由SSS 判定ABC ABD △≌△ 【详解】解:在△ABC 和△ABD 中, △AC AD =,BC BD = 又△AB=AB△ABC ABD △≌△(SSS )故选:C3.在△ABC 和△DEF 中,下列给出的条件,能用“SAS”判定这两个三角形全等的是( ) A .AB =DE ,BC =DF ,△A =△D B .AB =BC ,DE =EF ,△B =△E C .AB =EF ,AC =DF ,△A =△D D .BC =EF ,AC =DF ,△C =△F【答案】D 【分析】根据三角形全等的判定条件“SAS”逐项判断即可. 【详解】A .BC 边和EF 边是对应边,所以所给条件证明不出ABC DEF ≅.故A 不符合题意.B .边AB 与BC 都在ABC 中,边DE 与EF 都在DEF 中,所给条件不是对应边相等,所以证明不出ABC DEF ≅,故B 不符合题意.C .AB 边和DE 边是对应边,所以所给条件证明不出ABC DEF ≅,故C 不符合题意.D .相邻两对应边分别相等且所夹的角相等,可以利用SAS 证明ABC DEF ≅,故D 符合题意. 故选:D .4.如图,要测量池塘两岸相对的两点A ,B 的距离,可以在池塘外取AB 的垂线BF 上的两点C ,D ,使BC =CD ,再画出BF 的垂线DE ,使E 与A ,C 在一条直线上,可得△ABC △△EDC ,这时测得DE 的长就是AB 的长.判定△ABC △△EDC 最直接的依据是( )A .HLB .SASC .ASAD .SSS【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定进行判断,注意看题目中提供了哪些证明全等的要素,再根据已知选择判断方法. 【详解】解:根据题意,△ABC=△EDC ,BC=CD ,△ACB=△ECD , △能证明△ABC△△EDC 最直接的依据是ASA . 故选:C .5.如图,DC CA ⊥,EA AC ⊥,BC AE =,CD AB =,证明BCD EAB △≌△的理由是( ).A .HLB .SASC .ASAD .AAS【答案】B 【分析】根据SAS 可证明两个三角形全等. 【详解】因为DC CA ⊥,EA AC ⊥, 所以90BCD EAB ︒∠=∠=, 所以在BCD △与EAB 中,BC EA BCD EAB CD AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, 所以BCD EAB △≌△(SAS ), 故选B .6.下列说法正确的是( )A .在ABC 中,若::1:2:3ABC ∠∠∠=,则ABC 是直角三角形 B .每条边都相等的多边形是正多边形 C .所有正方形都是全等图形D .如果两个三角形有两边和一角分别对应相等,那么这两个三角形全等 【答案】A 【分析】直角三角形的判定、正多边形的定义及三角形判定分别判断后即可确定正确的选项. 【详解】解:A. 若::1:2:3A B C ∠∠∠=,设△A=a ,则△B=2a, △C=3a .△ △A+△B+△C=180°, △a+2a+3a=180°△a=30°,3a=90°,△ABC 是直角三角形,说法正确; B. 各边都相等,各角也相等的多边形是正多边形,故说法错误; C. 所有正方形不是全等图形,说法错误;D. 如果两个三角形有两边和两边的夹角分别对应相等,那么这两个三角形全等,故说法错误. 故答案为:A .7.下列条件中,能利用“SAS ”判定△ABC △△A′B′C′的是 ( ) A .AB=A′B′,AC=A′C′,△C=△C′ B .AB=A′B′,△A=△A′,BC=B′C′ C .AC=A′C′,△C=△C′,BC=B′C′ D . AC=A′C′,△A=△A′,BC=B′C′ 【答案】C 【分析】依据全等三角形的判定定理进行判断,并结合线段与角的位置关系准确分析即可. 【详解】解:A 、边边角不能证明两个三角形全等,故A 错误; B 、边边角不能证明两个三角形全等,故B 错误;C 、AC=A'C',△C=△C',BC=B'C',符合ASA ,故C 正确;D 、边边角不能证明两个三角形全等,故D 错误. 故选:C .题组B 能力提升练1.在ABC 和DEF 中,条件:△AB DE =;△BC EF =;△AC DF =;△A D ∠=∠;△B E ∠=∠;△C F ∠=∠;则下列各组给出的条件不能保证ABC DEF △≌△的是( ) A .△△△ B .△△△C .△△△D .△△△【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定方法 对各选项分析判断后利用排除法求解. 【详解】解:A 、△△△可以利用“SSS”证明△ABC△△DEF ,故本选项不符合; B 、△△△可以利用“SAS”证明△ABC△△DEF ,故本选项不符合; C 、△△△可以利用“AAS”证明△ABC△△DEF ,故本选项不符合; D 、△△△符合“SSA”,不能证明△ABC△△DEF ,故本选项符合. 故选:D .2.如果两个三角形的两条边和其中一条边上的中线分别对应相等,那么这两个三角形第三条边所对的角的关系是( ) A .相等 B .互余C .互补D .以上答案都不正确【答案】A 【分析】如图,在ABC 和DEF 中,AG ,DH 分别是两个三角形的中线,AB DE =,BC EF =,AG DH =,则B E ∠=∠.根据SSS 证明ABG DEH ≅即可. 【详解】解:如图,在ABC 和DEF 中,AG ,DH 分别是两个三角形的中线,AB DE =,BC EF =,AG DH =,则B E ∠=∠.理由:在ABC 和DEF 中,AG ,DH 分别是两个三角形的中线,12BG BC ∴=,12EH EF =,BC EF =,BG EH ∴=,AB DE =,AG DH =,△ABG DEH ≅(SSS ),B E ∴∠=∠,∴这两个三角形的第三条边所对的角的关系是相等,故选A .3.以下命题是假命题的是( ) A .两个全等三角形的三条边对应相等B .三条边对应相等的两个三角形全等C .两个全等三角形的面积相等D .面积相等的两个三角形全等【答案】D 【分析】根据假命题的定义,再根据全等三角形的判定方法及性质逐个选项进行判断即可得出结果. 【详解】A 、两个全等三角形的三条边对应相等,是真命题,不符合题意;B 、三条边对应相等的两个三角形全等,是真命题,不符合题意;C 、两个全等三角形的面积相等,是真命题,不符合题意;D 、面积相等的两个三角形不一定全等,原命题是假命题,符合题意. 故选:D .4.下列判断中错误..的是( ) A .有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B .有两边和一角对应相等的两个三角形全等C .有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D .有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 【答案】B 【分析】根据三角形全等判定的条件逐一判断即可. 【详解】解:A 、有两角和一边对应相等的两个三角形全等(AAS 或ASA ),故正确;B 、有两边和一角对应相等的两个三角形全等,可能为(SSA )或者(SAS ),其中只有(SAS )能够作为三角形全等的判定条件,故错误;C 、有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等:对应两边与中线所构成的三角形全等(SSS ),可证得对应两边的夹角相等,再根据(SAS )可证得两个三角形全等,故正确;D 、有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等(SAS ),故正确; 故选:B .5.如图,ABC 中,90ACB ∠=︒,AC CB =,D 为CB 延长线上一点,AE AD =,且AE AD ⊥,BE 与AC 的延长线交于点P ,若3AC PC =,则DBBC=__________.【答案】23【分析】作EM AP ⊥于M ,根据全等三角形性质得出CP =PM ,DC =AM ,设PC =PM =x ,AC =BC =3x ,AM =DC =5x ,求出BD =2x ,即可求出答案. 【详解】解:作EM AP ⊥于M ,90ACB ∠=︒,M ACD ∴∠=∠,AD AE ⊥,90DAE ∴∠=︒,90EAM AEM ∴∠+∠=︒,90EAM DAC ∠+∠=︒, DAC AEM ∴∠=∠,在ADC 和EAM △中,DAC AEMACD MAD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ()ADC EAM AAS ∴≅△△,AC EM ∴=,AC BC =,BC EM ∴=, 90ACB ∠=︒,BCP M ∴∠=∠,在BCP 和EMP 中BCP M BPC EPM BC EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BCP EMP AAS ∴≅△△,BCP EMP ≅△△,ADC EAM ≅△△, CP PM ∴=,AMDC =,设PC PM x ==,3AC BC x ==,5AM DC x ==,2BD x ∴=,∴23DB BC =, 故答案为:23.6.如图,在四边形ABCD 中,,90,AB BC ABC CDA BE AD ︒=∠=∠=⊥于,10ABCD E S =四边形,则BE 的长为__________【分析】过点B 作BF CD ⊥ 交DC 的延长线交于点F ,证明AEB △()CFB AAS 推出BE BF =,ABEBFC S S =,可得BEDF ABCD S S 12==正方形四边形,由此即可解决问题; 【详解】解:过点B 作BF CD ⊥交DC 的延长线交于点F ,如右图所示, △BF CD ⊥,⊥BE ADBFC BEA 90∠∠∴==ABC ADC 90∠∠==ABE EBC 90∠∠∴+= ,EBC CBF 90∠∠+=ABE CBF ∠∠∴= AB CB =△AEB △()CFB AASBE BF ∴=,ABEBFC SS =BEDF ABCD S S 10∴==正方形四边形,BE BF 10∴⨯=,即2BE 10=,BE ∴=.7.如图,AC=BC ,△ACD=90°,AE 平分△BAC ,BF△AE ,交AC 的延长线于F ,且垂足为E ,则下列结论:△AD=BF ;△BF=AF ;△AB=BF ;△AC+CD=AB ;△AD=2BE .其中正确的结论有________.【答案】△、△、△ 【分析】利用ASA 证明△ADC△△BFC 判断△正确;由AF>AD ,推出BF ≠AF 判断△错误;利用角平分线的性质及垂直的定义证明△AEB△△AEF ,得到AB=AF ,BE=FE ,即可判断△错误;根据△ADC△△BFC 推出CF=CD ,由AF=CF+AC 判断△正确;由AD=BF ,BF=2BE ,判断△正确. 【详解】 △BF△AE ,△△AEF=△BCF=△ACD=90°,△△F+△FAE=90°,△F+△FBC=90°,△△FAE=△FBC,又△AC=BC,△△ADC△△BFC,△AD=BF,故△正确;△AF>AD,△BF≠AF,故△错误;△AE平分△BAC,△△BAE=△FAE,△AE△BF,△△AEB=△AEF=90°,△AE=AE,△△AEB△△AEF,△AB=AF,BE=FE,△BF≠AF,△BF≠AB,故△错误;△△ADC△△BFC,△CF=CD,△AF=CF+AC,△AB=CD+AC,故△正确;△AD=BF,BF=2BE,△AD=2BE,故△正确;故答案为:△、△、△.题组C 培优拔尖练1.如图,AB,CD相交于点E,且AB=CD,试添加一个条件使得△ADE△△CBE.现给出如下五个条件:△△A=△C;△△B=△D;△AE=CE;△BE=DE;△AD=CB.其中符合要求有( )A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】D【分析】延长DA、BC使它们相较于点F ,首先根据AAS证明△FAB△△FCD,然后根据全等三角形的性质即可得到AF=FC,FD=FB,进而得到AD=BC,即可证明△ADE△△CBE,可判断△、△的正误;根据SAS证明△ADE△△CBE,即判断△、△的正误;连接BD,根据SSS证明△ADB△△CBD,根据全等三角形的性质得到△A=△C,结合△即可证明△.【详解】延长DA、BC使它们相较于点F△△DAB=△DCB,△AED=△BEC△△B=△D又△△F=△F,AB=CD△△FAB△△FCD△AF=FC,FD=FB△AD=BC△△ADE△△CBE,即△正确;同理即可证明△正确;△AE=CE,AB=CD△DE=BE 又△△AED=△BEC △△ADE△△CBE ,△正确; 同理即可证明△正确; 连接BD ,△AD=CB ,AB=CD ,BD=BD △△ADB△△CBD △△DAB=△BCD△△ADE△△CBE ,△正确; 故选D .2.如图,已知120AOB ∠=︒,在AOB ∠的平分线OM 上有一点C ,将一个60°角的顶点与点C 重合,它的两条边分别与直线OA ,OB 相交于点D ,E .下列结论:(1)CD CE =;(2)OE OD OC +=;(3)OE OD OC -=;(4)OC a =,OD b =,则=-OE a b ;其中正确的有( ).A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】A 【分析】过C 点作CN OB ⊥于N 点,CF OA ⊥于F 点,根据AOB ∠的平分线OM 上有一点C ,得60AOC BOC ∠=∠=︒,CF CN =,从而得12ON OC =,12OF OC =,36060∠=︒-∠-∠-∠=︒FCN AOB CFO CNO ;当D ,E 在射线OA ,OB 上时,通过证明≌CFD CNE △△,得OE OD OC +=;当D ,E 在直线OA ,射线OB 上时,通过≌CFD CNE △△,得OE OD OC -=;当D ,E 在直线OA 、OB 上时,得OD OE OC -=,即可完成求解. 【详解】过C 点作CN OB ⊥于N 点,CF OA ⊥于F 点△OC 平分AOB ∠ 又△120AOB ∠=︒△60AOC BOC ∠=∠=︒,CF CN =, △30∠=∠=︒OCF OCN △12ON OC =,12OF OC =,36060∠=︒-∠-∠-∠=︒FCN AOB CFO CNO△当D ,E 在射线OA ,OB 上时60∠=∠=︒FCN DCE△∠=∠FCD ECN△CF CN =,90∠=∠=︒CFD CNE △≌CFD CNE △△ △CD CE =,=FD NE△+=++=++=+=OE OD ON NE OD ON DF OD ON OF OC . △如图,当D ,E 在直线OA ,射线OB 上时≌CFD CNE △△=+=+=++=+OE ON NE ON DF ON OF OD OC OD△OE OD OC -=;△如图,当D,E在直线OA、OB上时△△≌CFD CNE-=△OD OE OC综上:△△△错误;故选:A.3.如图,已知△ABC与△CDE都是等边三角形,AD与BE相交于点G,BE与AC相交于点F,AD与CE 相交于点H,则下列结论:△△ACD△△BCE;△△AFB=60°;△BF=AH;△△ECF△△DCG;△连CG,则△BGC=△DGC.其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】运用等边三角形的性质和角的和差可得出条件,△△ACD△△BCE;由△ACB=60°,可得△AFB=△ACB+△FBC >60°,可知△错误;由△ACD△△BCE可得出△CBF=△CAH,以及由题意得BC=AC,但找不到其他条件是,不能证明△BCF△△ACH;在△BCF和△DCG中△CEG=△CDG,缺少其他条件,说明△错误;作CJ△BE,CK△AD,由△BCE△△ACD,可得△BGC=△DGC.【详解】解:△ △ABC与△CDE都是等边三角形△△BCA=△DCE=60°△△BCA+△ACE=△ACE+△DCE,△△BCE=△ACD,在△BCE和△ACD中BC=AC,△BCE=△ACD,CE=CD△△ACD△△BCE(SAS),△正确;△△ACB=60°,△△AFB=△ACB+△FBC>60°,可知△错误;△△ACD△△BCE△△CBF=△CAH;在△BCF和△ACH中△CBF=△CAH,BC=AC,缺少其他条件故△错误;△△ACD△△BCE△△CEG=△CDG;在△BCF和△DCG中△△CEG=△CDG,缺少其他条件,故△错误;作CJ△BE,CK△AD,△△BCE△△ACD,△CJ=CK,△GC平分△BGD,△△BGC=△DGC,故△正确;故选B.4.如图1,已知AB=AC,D为△BAC 的平分线上一点,连接BD、CD;如图2,已知AB= AC,D、E 为△BAC的平分线上两点,连接BD、CD、BE、CE;如图3,已知AB=AC,D、E、F为△BAC的平分线上三点,连接BD、CD、BE、CE、BF、CF;…,依次规律,第n个图形中全等三角形的对数是()A.n B.2n-1C.()12n n+D.3(n+1)【答案】C【分析】根据条件可得图1中△ABD△△ACD有1对三角形全等;图2中可证出△ABD△△ACD,△BDE△△CDE,△ABE△△ACE有3对三角形全等;图3中有6对三角形全等,根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数.【详解】解:△AD是△BAC的平分线,△△BAD=△CAD.在△ABD与△ACD中,AB=AC,△BAD=△CAD,AD=AD,△△ABD△△ACD.△图1中有1对三角形全等;同理图2中,△ABE△△ACE,△BE=EC,△△ABD△△ACD.△BD=CD,又DE=DE,△△BDE△△CDE,△图2中有3对三角形全等;同理:图3中有6对三角形全等;由此发现:第n个图形中全等三角形的对数是(1)2n n.故选:C.5.如图,点C是线段AE上一动点(不与A,E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,有以下5个结论:△AD=BE;△PQ△AE;△AP=DQ;△DE=DP;△△AOB=60°.其中一定成立的结论有()个A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】△由于△ABC和△CDE是等边三角形,可知AC=BC,CD=CE,△ACB=△DCE=60°,从而证出△ACD△△BCE,可推知AD=BE;△由△ACD△△BCE得△CBE=△DAC,加之△ACB=△DCE=60°,AC=BC,得到△ACP△△BCQ(ASA),所以AP=BQ;故△正确;△根据△△CQB△△CPA(ASA),再根据△PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形,又由△PQC=△DCE,根据内错角相等,两直线平行,可知△正确;△根据△DQE=△ECQ+△CEQ=60°+△CEQ,△CDE=60°,可知△DQE≠△CDE,可知△错误;△利用等边三角形的性质,BC△DE,再根据平行线的性质得到△CBE=△DEO,于是△AOB=△DAC+△BEC=△BEC+△DEO=△DEC=60°,可知△正确.【详解】△△等边△ABC和等边△DCE,△BC=AC,DE=DC=CE,△DEC=△BCA=△DCE=60△,△△ACD=△BCE,在△ACD和△BCE中,AC=BC,△ACD=△BCE,DC=CE,△△ACD△△BCE(SAS),△AD=BE;故△正确;△△△ACD△△BCE(已证),△△CAD=△CBE,△△ACB=△ECD=60°(已证),△△BCQ=180°-60°×2=60°,△△ACB=△BCQ=60°,在△ACP与△BCQ中,△CAD=△CBE,AC=BC,△ACB=△BCQ=60°,△△ACP△△BCQ(ASA),△AP=BQ;故△正确;△△△ACP△△BCQ,△PC=QC,△△PCQ是等边三角形,△△CPQ=60△,△△ACB=△CPQ,△PQ△AE;故△正确;△△AD=BE,AP=BQ,△AD−AP=BE−BQ,即DP=QE,△DQE=△ECQ+△CEQ=60°+△CEQ,△CDE=60°,△△DQE≠△CDE,△DE≠QE ,则DP≠DE ,故△错误;△△△ACB=△DCE=60°,△△BCD=60°,△等边△DCE ,△EDC=60°=△BCD ,△BC△DE ,△△CBE=△DEO ,△△AOB=△DAC+△BEC=△BEC+△DEO=△DEC=60°.故△正确;综上所述,正确的结论有:△△△△,错误的结论只有△,故选D .6.如图,D 为BAC ∠的外角平分线上一点并且满足BD CD =,过D 作DE AC ⊥于E ,DF AB ⊥交BA 的延长线于F ,则下列结论:△△△CDE BDF ≅,△CE AB AE =+,△BDC BAC ∠=∠,△DAF CBD ∠=∠,其中正确的结论有( )A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】D【分析】 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE =DF ,再利用“HL”可证明Rt△CDE 和Rt△BDF 全等,根据全等三角形对应边相等可得CE =AF ,利用“HL”证明Rt△ADE 和Rt△ADF 全等,根据全等三角形对应边相等可得AE =AF ,然后求出CE =AB +AE ;根据全等三角形对应角相等可得△DBF =△DCE ,根据三角形内角和是180°和△AOB=△COD (设AC 交BD 于点O ),得到△BDC =△BAC ;根据三角形内角和是180°易得△DAE =△CBD ,再根据角平分线可得△DAE =△DAF ,然后求出△DAF =△CBD .【详解】△AD 平分△CAF ,DE△AC ,DF△AB△DE =DF在Rt△CDE 和Rt△BDF 中BD CD DE DF ⎧⎨⎩== △Rt△CDE△Rt△BDF (HL ),故△正确;△CE =AF在Rt△ADE 和Rt△ADF 中AD AD DE DF ==⎧⎨⎩△Rt△ADE△Rt△ADF (HL )△AE =AF△CE =AB +AF =AB +AE ,故△正确;△Rt△CDE△Rt△BDF△△DBF =△DCE△△AOB=△COD (设AC 交BD 于点O )△△BDC =△BAC ,故△正确;△△BAC+△ABC+△ACB=180°△BDC+△DBC+△DCB=180°△DBF =△DCE△△DAE =△CBD ,△△DAE =△DAF ,△△DAF =△CBD ,故△正确;综上所述,正确的结论有△△△△.故选D7.如图,在△ABC 中,△BAC 和△ABC 的平分线AE ,BF 相交于点O ,AE 交BC 于E ,BF 交AC 于F ,过点O作OD△BC于D,下列四个结论:△△AOB=90°+12△C;△当△C=60°时,AF+BE=AB;△若OD=a,AB+BC+CA=2b,则S△ABC=ab.其中正确的是()A.△△B.△△C.△△△D.△△【答案】C【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解△AOB与△C的关系,进而判定△;在AB上取一点H,使BH=BE,证得△HBO△△EBO,得到△BOH=△BOE=60°,再证得△HBO△△EBO,得到AF=AH,进而判定△正确;作OH△AC于H,OM△AB于M,根据三角形的面积可证得△正确.【详解】解:△△BAC和△ABC的平分线相交于点O,△△OBA=12△CBA,△OAB=12△CAB,△△AOB=180°﹣△OBA﹣△OAB=180°﹣12△CBA﹣12△CAB=180°﹣12(180°﹣△C)=90°+12△C,△正确;△△C=60°,△△BAC+△ABC=120°,△AE,BF分别是△BAC与ABC的平分线,△△OAB+△OBA=12(△BAC+△ABC)=60°,△△AOB=120°,△△AOF=60°,△△BOE=60°,如图,在AB上取一点H,使BH=BE,△BF是△ABC的角平分线,△△HBO=△EBO,在△HBO 和△EBO 中,BH BE HBO EBO BO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,△△HBO △△EBO (SAS ),△△BOH =△BOE =60°,△△AOH =180°﹣60°﹣60°=60°,△△AOH =△AOF ,在△HBO 和△EBO 中,HAO FAO AO AO AOH AOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,△△HBO △△EBO (ASA ),△AF =AH ,△AB =BH +AH =BE +AF ,故△正确; 作OH △AC 于H ,OM △AB 于M ,△△BAC 和△ABC 的平分线相交于点O , △点O 在△C 的平分线上,△OH =OM =OD =a ,△AB +AC +BC =2b△S △ABC =12×AB ×OM +12×AC ×OH +12×BC ×OD =12(AB +AC +BC )•a =ab ,△正确. 故选:C .。
苏教版八年级上册数学[全等三角形全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳理]
苏教版八年级上册数学[全等三角形全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳理]本文介绍了八年级上册数学中的全等三角形知识点,包括全等三角形的概念和性质,三角形全等的判定方法,角的平分线的性质以及全等三角形证明方法。
要点一介绍了全等三角形的判定与性质,其中包括边角边(SAS)、角边角(ASA)、角角边(AAS)、斜边、直角边定理(HL)、边边边(SSS)等判定方法,并说明了对应元素相等的性质。
要点二介绍了全等三角形的证明思路,包括找夹角、找直角、找另一边、边为角的对边等方法。
要点三介绍了角平分线的性质和判定定理,以及与角平分线有关的辅助线。
要点四介绍了全等三角形证明方法,包括证明线段相等的方法、证明角相等的方法等。
XXX∠FAE。
又∠EAG+∠XXX∠BAG=180°。
AEF≌△AGF(AAS)。
XXX.结论:BE=FD,EF=FD/2.2、(2014•北京市海淀区期末)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,且AD=AC.连接CD,交AB于E点.证明:AE=DE.思路点拨】1)延长AD交CE于点F;2)证明△AFE≌△CFD,得到∠AFE=∠CFD,再证明△AED≌△CED,得到AE=DE.答案与解析】证明:(1)连接AF,CF,DF,因为AB=AC,AD=AC,∴∠BAD=∠CAD,∠AFD=∠CFD。
又∠AFE=∠XXX,∴△AFE≌△CFD(AAS)。
AE=DE.证明:作角平分线AD,连接BD,CD.AB=AC。
BAD=∠CAD。
又∠ABD=∠ACD。
ABD≌△ACD(AAS)。
BD=CD。
又∠BDA=∠CDA。
BDA≌△CDA(SAS)。
B=∠C.总结升华】本题考查了角平分线的性质,以及全等三角形的判定方法,即AAS和SAS定理。
证明:过点A作AD⊥BC,则在Rt△ABD与Rt△ACD 中,由于AB=AC,AD=AD,根据HL(斜边-直角边-斜边)可得Rt△ABD≌Rt△ACD,因此∠B=∠C。
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全等三角形
重难点易错点解析
题一
题面:下列说法中:
①能够完全重合的两个三角形是全等三角形;
②通过旋转得到的两个图形全等,全等的两个图形旋转后一定能重合;
③大小相同的两个图形是全等图形;
④一个图形经过平移、翻折、旋转后.得到的图形一定与原图形全等.
其中正确的个数有().
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
全等的定义与形成
两个能够完全重合的图形叫做全等形
我们可以通过平移、翻折、旋转得到全等图形
题二
(1)已知△ABC≌△ABD,AB=6,AC=7,BC=8,则AD=()
A.5 B.6 C.7 D.8
(2)已知△ABC≌△ADC,∠BAC=60°,∠ACD=23°,那么∠D=()A.87°B.97° C.83° D.37°
全等的性质
全等图形对应边相等,对应角相等
金题精讲
题一
题面:
(1)如图,△ABC≌△DCB,若∠A=80°,∠ACB=40°,则∠ACD等于()A.80°B.60°C.40°D.20°
E D B A
C
(2)如图所示,△ACE ≌△DBF ,AD =9cm ,BC =5cm ,则AB 的长是( )cm
A .5
B .4
C .2
D .1
B F
C A
D E
全等图形边和角的性质
题二
题面:如果△ABC 的三边长分别为5,12,13,△DEF 的三边长分别为5,52x ,x 24,若这
两个三角形全等,则x 为 .
全等三角形对应边相等
题三
题面:
(1)在平面直角坐标系中有不同的三点A 、B 、C ,其中A (4,0)、B (0,2),当△COB ≌△AOB 时,点C 的坐标为 .
(2)在平面直角坐标系中有不同的三点A 、B 、C ,其中A (4,0)、B (0,2),当点B 、O 、C 组成的三角形与△AOB 全等时,点C 的坐标为 .
全等三角形的性质
题四 题面:如图,A 、D 、E 三点在同一直线上,且△BAD ≌△ACE ,试说明:
(1)BD =DE +CE ;
(2)△ABD 满足什么条件时,BD ∥CE ?
D
E
B
A C
全等三角形的性质
思维拓展
题一
题面:如图已知△ABC 中,AB =A C =10厘米,∠B =∠C ,BC =6厘米,点D 为AB 的中点.如果点P 在线段BC 上以1厘米/秒的速度由B 点向C 点运动,同时,点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动.若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等,经过 秒后,△BPD 与△CQP 全等.
D B C
A P Q
全等三角形的性质
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一
答案:C
题二
答案:(1)C (2)B
金题精讲
题一
答案:(1)D (2)C
题二
答案: 4
题三
答案:(1)(4,0) (2)(4,0)(4,2)(4,2) 题四
答案:(1)利用全等的性质 (2)90° 思维拓展
答案: 1。